View
268
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
VEKTOR
Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besardan arah
Besar vektor artinya panjang vektor
Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengansumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk ruas garisberarah
2
A
B
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkalB disebut titik ujung
u
45X
Gambar Vektor
Notasi Penulisan Vektor
Bentuk vektor kolom:
4
3u
0
2
1
PQatau
Bentuk vektor baris:
4 ,3 AB atau 0 ,3 ,2 v
Vektor ditulis dengan notasi:i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah
vektor yang terletak di satu Bidang
Atau
Vektor yang hanya mempunyaidua komponen yaitu x dan y
VEKTOR DI R2
OA PA OP
OA OQ OP
O Pi
j
X
A(x,y)Y
OP = xi; OQ= yj
Jadi OA =xi + yj
atau a = xi + yj
a
x
y
i vektor satuan searah
sumbu Xj vektor satuan searah
sumbu Y
Q
Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z
Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
X
Y
Z
T(x,y,z)
Oxi
yj
zk
PQ
S
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
t
P
QR(x,y)
S
xiyj
zk
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OROR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Jadi
OT = xi + yj + zk
atau t = xi + yj + zk
Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’
Di R2, panjang vektor:
2
1
a
a a
atau a = a1i + a2jDapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
2
2
2
1 a aa
Di R3 , panjang vektor:
222 y x zv
z
y
x
v
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
Contoh:
1. Panjang vektor:
4
3 a
adalah 22 4 3a = 25 = 5
2. Panjang vektor: 2k -j i2 v
adalah 222 )2(1 2 v
= 9 = 3
Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu
Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k
1
0
0
dan
0
1
0
,
0
0
1
kji
ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan
bilangan real
Kesamaan Vektor
Misalkan: a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , makaa1 = b1
a2 = b2
dan
a3 = b3
Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bilabesar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d
18
19
a b
Dua vektor sama,
a = b
a b
Dua Vektor
mempunyai besar
sama, arah
berbeda
a b
Dua vektor arah
sama, besaran
beda
a
b
Dua Vektor besar
dan arah berbeda
Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....
Jawab:a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a = b
1 = x - y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y; y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5
Penjumlahan Vektor
33
22
11
c
ba
ba
ba
a
a
a
a
3
2
1
b
b
b
b
3
2
1
Misalkan: dan
Jika: a + b = c , maka vektor
Contoh
1-
2p-
3
a
3
6
p
b
2
4q
5-
c
Diketahui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
dan
2
4
5
3)1(
6 2
3
qp
p
jawab: a + b = c
2
4
5
3
6
p
1-
2p-
3
q
2
4
5
3)1(
6 2
3
qp
p
3 + p = -5 p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½
Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 -
b3)k
Misalkan: a = a1i + a2j + a3k
danb = b1i + b2j + b3k
X
Y
O
A(4,1)
B(2,4)
a
b
Perhatikan gambar:
3
2-
vektor posisi:
titik A(4,1) adalah:
1
4 a
titik B(2,4) adalah:
4
2 b
vektor AB =
Jadi secara umum: ab AB
1
4
4
2 ab
3
2-
1
4 a
4
2 b
3
2- AB
vektor AB =
Contoh 1
2
3
2
2
5
3
-
4
2
1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan
B(1,2,4). Tentukan komponen-komponen vektor AB
ab AB
2
3
2
AB Jadi
Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0)
dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ
(atau jarak P ke Q)
Jawab: P(1,2,-2)
Q(-1,3,0)
PQ = q – p =
2
1
2
2-
2
1
-
0
3
1-
2
2
1
p
0
3
1
q
2
1
2
PQ
222 )2()1(2PQ
39PQ Jadi
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real
3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
am
am
am
a
a
a
m
a
a
a
a
3
2
1
Misalkan:
Jika: c = m.a, maka
dan
m = bilangan real
Contoh
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x
Diketahui:
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal
6
1-
2
a
4
1-
2
b
dan
x
3
2
1
x
x
x
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x
12
3
6
2
2
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
2 – 2x1 = 6 -2x1 = 4 x1= -2
-1 – 2x2 = -3 -2x2 = -2 x2 = 1
6 – 2x3 = 12 -2x3 = 6 x3 = -3
Jadi
3
1
2
xvektor
Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u + 0 = 0 + u = u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0
36
Sifat-Sifat Operasi Vektor
• Komutatif a + b = b + a
• Asosiatif (a+b)+c = a+(b+c)
• Elemen identitas terhadap penjumlahan
• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor
• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
• 1u = u
• 0u = 0, m0 = 0.
• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 037
Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanj.)
• (mn)u = m(nu)
• |mu| = |m||u|
• (-mu) = - (mu) = m (-u)
• Distributif : (m+n)u = mu + nu
• Distributif : m(u+v) = mu + mv
• u+(-1)u = u + (-u) = 0
38
Dot Product (Inner Product)
• Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.
39
cos|||| baba
Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
212121 ccbbaaba
a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}
Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
• Besar Sudut γ dapat dihitung dgn:
40
bbaa
ba
ba
ba
||||cos
Contoh Perkalian Dot Product
• a = [1,2,0] dan b = [3,-2,1]
• Hitung sudut antara dua vektor tsb
41
Recommended