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“Valigette aritmetiche”:
artefatti come strumenti per
costruire significati matematici
Rita Canalini
ottobre/novembre 2011
LABORATORIO DI MATEMATICA
Laboratorio di Matematica (dal Curricolo
Matematica 2003 – dell’UMI-CIIM)
Il laboratorio di matematica […] si presenta
come una serie di indicazioni metodologiche
trasversali, basate certamente sull’uso di
strumenti, tecnologici e non, ma
principalmente finalizzate alla costruzione di
significati matematici.
Il laboratorio di matematica non è (necessariamente) un luogo fisico diverso dalla classe, è piuttosto un insieme strutturato di attività volte alla costruzione di significati degli oggetti matematici. Il laboratorio, quindi, coinvolge persone (studenti e insegnanti), strutture (aule, strumenti, organizzazione degli spazi e dei tempi), idee (progetti, piani di attività didattiche, sperimentazioni).
È necessario ricordare che uno strumento è sempre il risultato di un'evoluzione culturale, che è prodotto per scopi specifici e che, conseguentemente, incorpora idee.
Sul piano didattico ciò ha alcune implicazioni importanti: innanzitutto il significato non può risiedere unicamente nello strumento né può emergere dalla sola interazione tra studente e strumento.
In sintesi:
1. Si entra in laboratorio per capire, o meglio motivati a capire
2. Il lavoro non è mai individuale
3. Si parte dal problema, non dalla sua soluzione
4. Tutto ciò che viene prodotto ha un senso, compreso l’errore
5. Non c’è una demarcazione netta tra teoria e prassi e vanno mobilitate tutte le conoscenze pregresse
6. Grande attenzione viene dedicata ai processi
7. Quanto prodotto è sempre oggetto di confronto collettivo, la discussione è fondamentale per rendere patrimonio comune della classe quanto compreso e i problemi rimasti aperti
L’ambiente del laboratorio di matematica è in
qualche modo assimilabile a quello della bottega
rinascimentale, nella quale gli apprendisti
imparavano facendo e vedendo fare, comunicando
fra loro e con gli esperti
Strumenti
come sussidi
Finalità del quadro teorico:
Sviluppare e valorizzare (per capire per
programmare attività didattiche) il complesso
sistema di relazioni semiotiche tra:
• un artefatto (o un insieme di artefatti)
• un compito (o un insieme di compiti)
• un elemento (o una parte) del sapere
matematico
• i processi di insegnamento apprendimento
in classe
Bartolini (2007)
LE MANI
(Luca Pacioli, Venezia 1494)
L’età nelle mani in Occidente
e in Africa
A ottobre in prima: disegna le tue mani
mentre contano
LA RAPPRESENTAZIONE DI SCHEMI D’USO
DITA,
FILASTROCCA NUMERICA
E SCRITTURA DEL NUMERO
MANI, SENSO CARDINALE DEL NUMERO
LIMITI E POTENZIALITA’ DELLO STRUMENTO
MANI E DITA STILIZZATE (“TACCHE”)
SIMMETRIA DELLE MANI ED ESPLORAZIONE DI REGOLARITA’ NUMERICHE
Nuovi Programmi della scuola primaria
(1985):
“il concetto di numero …richiede un
approccio che si avvale di diversi punti di
vista…la sua acquisizione avviene a livelli
sempre più elevati di interiorizzazione e di
astrazione durante l’intero corso della scuola
elementare ed oltre”
ALESSIO (5 anni): 7,6,5,4,3,2,1
MADRE: Cosa stai facendo?
ALESSIO: Sto contando fino a 7
MADRE: Ma non si conta così, si conta 1,2,3,4,5,6,7
ALESSIO: Non sempre
Qualche tempo dopo, in ascensore
ALESSIO (osservando il quadrante dei comandi mentre
scende dal settimo piano): Vedi mamma che si conta
anche 7,6,5,4,3,2,1!
Il “senso” del numero
I cinque principi di Gelman e Gallistel
• principio di iniettività: stabilire una corrispondenza
biunivoca tra oggetti e segni distinti (etichettamento)
tenendo conto degli oggetti già contati (ripartizione)
• principio dell’ordine stabile: utilizzare una
sequenza ordinata, dunque ripetibile di etichette
• principio di cardinalità: assegnare all’ultima
etichetta un significato “speciale”
• principio di astrazione: applicare i precedenti
principi a qualsiasi collezione di oggetti
• principio di irrilevanza dell’ordine: comprendere
che l’ordine seguito non incide sull’esito del conteggio
IL DUBBIO DI MARIANNA E CRISTIANO (classe III, 2 dicembre) Marianna e Cristiano hanno inventato questi problemi “contrari”.
1) Gabriele ha comprato 50 petardi, ma l’ultimo dell’anno ne ha scoppiati 32. Quanti petardi non ha scoppiato?
2) 2) Gabriele ha ora 18 petardi, 32 li ha scoppiati l’ultimo dell’anno. Quanti petardi aveva prima di quella sera?
Marianna e Cristiano hanno espresso questo dubbio:
“Ha senso il testo del secondo problema? Come possiamo aggiungere petardi che sono scoppiati e che dunque non ci sono più?”
- COSA NE PENSATE?
- UN MATEMATICO COSA POTREBBE DIRCI IN PROPOSITO?
-32
+3
2
50 18
L’attività
• è stata proposta il 2 dicembre, in una classe
terza di livello medio,
• 21 allievi presenti sono stati suddivisi in 7 gruppi
eterogenei da 3
• ciascun bambino, nel corso dell’attività, ha
scritto sul quaderno le riflessioni del gruppo
• l’insegnante, se chiamata in causa, si limita a
rileggere la consegna e quanto gli allievi hanno
scritto fino a quel momento
Le potenzialità della matematica (Marianna, Cristiano e Miriam)
Abbiamo capito che Gabriele ha comprato 50 petardi ma per
l’ultimo dell’anno ne ha scoppiati 32. A Gabriele gli sono rimasti
18 petardi. I matematici con la fantasia vanno indietro nel tempo
e così si ritorna al numero iniziale che è 50.
Nella realtà tutti gli uomini se vogliono scoprire il numero iniziale
devono fare una addizione. Per questo problema bisogna eseguire
questa addizione:
18 +32 = 50
Un matematico direbbe che si può contare anche quello che non
si vede. I numeri stanno nella mente. Dato che sono nella mente
sono infiniti e possono contare le cose inesistenti.
Esempio
Le muffe e i batteri che non si vedono
I matematici con la fantasia vanno
indietro nel tempo e così si ritorna al
numero iniziale che è 50.
Nella realtà tutti gli uomini se
vogliono scoprire il numero iniziale
devono fare una addizione. Per
questo problema bisogna eseguire
questa addizione:
18 +32 = 50
Un matematico direbbe che si può
contare anche quello che non si vede.
I numeri stanno nella mente. Dato
che sono nella mente sono infiniti e
possono contare le cose inesistenti.
Esempio
Le muffe e i batteri che non si vedono
-“andare indietro nel
tempo”: metafora che
appartiene alla cultura della
classe
- dall’enunciato generale
(senza ricorso a forma
impersonale) al caso
specifico
- la “voce” del matematico:
il numero come oggetto
mentale e l’idea di infinito
- il senso comune riemerge:
ciò che non si vede non
esiste
Secondo Giulia,
8 anni autrice
del disegno, la
matematica
utilizza un
linguaggio
specifico e
richiede
strumenti che
appartengono al
“pensiero
alfabetizzato” e
tempo per
riflettere.
Le mani e il principio di astrazione?
Un apparente paradosso…
Brian Butterworth (1999), Intelligenza matematica,
Milano: Rizzoli.
Capitolo 5 Mani, spazio e cervello.
Le Dita, per disposizione della natura
e per l’irrevocabile decisione del grande Aritmetico,
sono state incaricate di servire al conteggio,
alla stregua di rapide e naturali cifre,
sempre pronte e sotto Mano
ad assisterci nei nostri calcoli.
(J. Buwler, Chirologia, 1644)
B. Butterworth:
La rete corticale
attivata quando si
stanno elaborando
numeri è
parzialmente
sovrapposta con
quella utilizzata per il
movimento delle mani
e delle dita.
Il “contamani-accarezzatore”
Il “contamani” e il numero 8
• Il calcolo di addizioni e sottrazioni richiede schemi d’uso più complessi rispetto al conteggio. Per esemplificare, l’esecuzione della seguente addizione: 3+4=, implica:
• un azzeramento dello strumento
• il sollevamento di 3 dita contando da 1 a 3
• il sollevamento di 4 dita contando da 1 a 4
• il conteggio di tutte le dita precedentemente sollevate
Nel caso della sottrazione, ad esempio 10-4=:
• un azzeramento dello strumento
• il sollevamento di 10 dita contando da 1 a 10
• l’abbassamento di 4 dita contando da 1 a 4
• il conteggio delle 6 dita rimaste sollevate.
RAGGRUPPAMENTO IN
BASE DIECI,
VALORE POSIZIONALE
DELLE CIFRE E
PAROLA NUMERO
Classe seconda:
Le mani e la
“stanghetta
decina”: ogni dito
rappresenta dieci.
Lo strumento
acquista nuove
funzioni che
integrano le
precedenti
La parola ai bambini
Rifletti sugli strumenti della
valigetta, soprattutto su quelli ti
hanno aiutato di più a
comprendere il mondo dei numeri
e le sue regole.
Immagina di regalare uno dei nostri
“strani” oggetti ad un bambino di
prima, cosa gli diresti?
IL “CONTADECINE” Marianna rappresenta graficamente un possibile uso dello
strumento
In classe quarta (attività a coppie e a gruppi di 3, maggio 2011)
In prima e in seconda abbiamo utilizzato
alcuni strumenti che ci hanno aiutato nella
comprensione del nostro sistema di scrittura
dei numeri e delle operazioni aritmetiche.
Ora siamo in quarta, scrivete una relazione
che spieghi quali significati matematici è
possibile “scoprire” considerando ciascuno
degli strumenti che la valigetta contiene
Manuele e Filippo
Il contamani ti aiuta a capire la decina e le
singole unità e tutte le dita abbassate
contano 0. Il contamani ci ha aiutato con
l’addizione e la sottrazione. Il contadecine
in un dito conta 10 unità. In tutto sono 100
unità, in seconda noi non sapevamo bene
la moltiplicazione ma senza accorgercene
abbiamo fatto una moltiplicazione
10x10=100
Basma Alyssa e Alessia N.
Osservazioni sul contamani
Il contamani rappresenta inizialmente con un dito una
unità poi si è sviluppato e con un dito rappresenta una
decina, oggi potremmo immaginare di fare
raggruppamenti per 3,6,5…
Un dito potrebbe contare delle decine di decimi e
potremmo fare i calcoli con la virgola più velocemente, ad
esempio 2,4+ 2,6 = 5 copri due dita e 4 decimi, poi
vedi molto velocemente quanto manca
Oltre i numeri naturali con il contamani possiamo usare
altre forme di scrittura, in questo caso quella decimale
funziona perché anche nella scrittura dei numeri con la
virgola si raggruppa per 10
La linea dei numeri
La linea dei numeri è un
artefatto di natura
simbolica:
la linea dei numeri naturali
è una semiretta orientata
con origine 0 che
rappresenta in modo
analogico la successione
dei numeri naturali: ogni
spazio tra una tacca e
l’altra rappresenta una
unità (sulla linea dei
numeri si contano i
“passi”)
Potenzialità semiotiche:
- approccio ordinale- ricorsivo al
numero
- intuizione della possibile
continua iterazione
dell’operatore +1
- significato di operazione come
operatore: nell’addizione
l’addendo successivo modifica il
precedente iterando l’operatore
+1 tante volte quante ne indica il
numero da addizionare
(viceversa nella sottrazione
viene iterato l’operatore -1 tante
volte quante ne indica il
sottraendo)
La linea
dei
numeri: le
ipotesi dei
bambini
DISCUSSIONE MATEMATICA ≠ CONVERSAZIONE
La “discussione matematica” è un costrutto teorico che definisce peculiari modalità di interazione sociale all’interno della classe
(o più in generale, di due o più persone, non necessariamente
compresenti, coinvolte in attività di insegnamento-apprendimento).
Si tratta di modalità finalizzate alla progressiva appropriazione di
significati matematici da parte degli allievi.
aspetti epistemologici
aspetti cognitivi
aspetti pedagogico-didattici
DISCUSSIONE
MATEMATICA
LA DISCUSSIONE MATEMATICA
Dal punto di vista
epistemologico
considera:
•il sapere
matematico
•la storia della
matematica (grande
attenzione per gli
ostacoli di carattere
epistemologico)
Dal punto di vista
cognitivo dà grande
rilevanza al contributo
di Vygotskij:
•legge genetica
generale dello
sviluppo
(interiorizzazione)
•zona di sviluppo
prossimale
Dal punto di vista
didattico investe
sulla co-costruzione
sociale delle
conoscenze:
•problem solving
•domande aperte
•rispecchiamento
•parafrasi
“Discussione matematica”: uno stralcio 76. Basma: Uffa ha sbagliato…c’è cinque cinque
e poi uno non va lì
77. Alessia V.: Forse Uffa non lo sa perché è un cane.
78.INS: Cosa non sa Uffa?
78. Marco M: Uffa non sa che i numeri ci sono solo una volta e poi non vanno così
79. Soufian: I numeri sono 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 e tanti altri
80. Ergi: No c’è anche zero, bisogna mettere prima 0
81. Giulia M.: Sì bisogna cominciare con 0 e poi mettere 1,2,3,4,5, 6 …come nella riga in alto
82. INS: Se ho capito bene state dicendo che i numeri sulla linea devono seguire un ordine e in questo ordine uno stesso numero non si ripete mai. Avete anche detto che il primo numero che leggiamo sulla linea è 0 seguito da tanti altri numeri. Omar ha scritto la parola “continuano” perchè?
Istituzionalizzazione: stesura di un testo
collettivo che formalizza quanto compreso attraverso
la discussione. Il testo è coerente con il sapere adulto
Abbiamo capito che sulla linea dei numeri i
numeri sono in fila.
I numeri sono ordinati, si inizia da 0 e si va
avanti sempre di 1.
La linea dei numeri è infinita.
Sulla linea dei numeri uno stesso numero
non si ripete mai.
La linea dei numeri
L’ITERAZIONE
DELL’OPERATORE +1
METAFORE LEGATE AL CORPO
E AL GESTO
SIMBOLI E TERMINI MATEMATICI
LA LINEA DEI NUMERI E IL SIGNIFICATO
DELLE SCRITTURE MATEMATICHE
Ragionando in discussione sul
“caso” 12= 7+….
Manuele:12 non deve stare lì deve stare
dopo
INS: No, non ci sono errori in questa
scrittura, però bisogna capire bene cosa
vuol dire il segno è uguale a
Samantha: Io mi ricordo che sì… il
trenino dell’8 c’era il numero 8 e poi
uguale e poi tutti vagoncini che davano
quel numero lì 8
Soufian: E’ vero bisognava che faceva
sempre 8 per mettere uguale tra i
vagoncini
Basma: tu leggi 8 e dall’altra parte non
vedi 8 ma 4+4 che fa 8
…
Ergi anche nel gioco coi dadi il bambino
diceva i punti e dopo che erano uguali si
cioè ai punti di 3 dadi che mettevano tutto
insieme
INS: La linea dei numeri come ci può aiutare a scoprire il numero che manca
in 12= 7+…
Alessia V: parti da 12 e poi vai avanti 7
( i bambini eseguono e inseriamo 19)
INS: Sara leggi cosa abbiamo scritto
Sara: 12 uguale 7 più 19
PAUSA
Soufian: Mi sembra troppo ce ne abbiamo messi di più… forse dovevamo
partire da 7 e arrivare a 12, dobbiamo fare i passi da 7 a 12…(Soufian mostra
ai compagni la sua strategia, ma non conta i passi da 7 a 12)
Giulia R:Eh sì ma mica lo sai quanti passi hai fatto…forse li dobbiamo contare
sì mentre facciamo i passi li contiamo
INS: Vieni Giulia fai vedere come faresti tu
(Giulia “parte” da 7 va avanti contando 5 passi fino a 12)
Giulia R: Vedi ci dobbiamo mettere 5 7+5 fa 12
INS: 12 è uguale alla somma di 7 e 5, alla quantità che si trova unendo 7
e 5
La linea dei numeri in seconda
La linea dei numeri in terza
e in quarta commentando gli strumenti della valigetta
….oggi sappiamo che ad esempio potremmo dividere
da 0 a 1 per trovare i decimali, potremmo allungare la
linea a sinistra e trovare i negativi…
La parola ai bambini
Rifletti sugli strumenti della
valigetta, soprattutto su quelli ti
hanno aiutato di più a
comprendere il mondo dei numeri
e le sue regole.
Immagina di regalare uno dei nostri
“strani” oggetti ad un bambino di
prima, cosa gli diresti?
LA LINEA DEI NUMERI Alessia e i numeri naturali, insieme totalmente ordinato
Martina e la memorizzazione della sequenza numerica
Ergi spiega come eseguire addizioni con la linea dei numeri
RIFLESSIONI IN QUARTA
Linee dei numeri?
L’abaco
Il pallottoliere o abaco orizzontale e
l’abaco verticale
Il pallottoliere per: - consolidare capacità di conteggio con
riferimento ai principi individuati da Gelmann
e Gallistel
- sollecitare processi di subitizing
- promuovere la conquista di strategie di
calcolo
- far emergere la nozione di raggruppamento in
base dieci
Il
pallottoliere
utilizzato in
prima
1) l’artefatto-strumento acquista un
peculiare valore affettivo
2) una dotazione individuale di strumenti
permette di ricorrervi frequentemente
consentendo l’ iterazione di gesti e
schemi d’uso chiamati, progressiva-
mente,con tempi distesi e grazie
all’interazione sociale, ad essere
interiorizzati
3) l’assemblaggio-realizzazione dell’artefatto viene
proposta dall’insegnante secondo modalità che tendo-
no a far emergere, almeno in parte, il sapere incorpo-
rato nello strumento e/o a far ipotizzare schemi d’uso
Perché a ciascuno un “personale”
artefatto/strumento?
Un esempio, l’assemblaggio del
pallottoliere: • Per ogni bambino si preparano dei sacchetti contenenti
due stanghette in legno, due rettangoli in legno o cartone, ciascuno con 2 fori e 20 perline (pasta forata)
• L’insegnante mostra il contenuto di uno dei sacchetti, le palline vengono contate, e dichiara che sono i pezzi necessari per costruire uno strumento che si chiama pallottolliere e che serve per contare e calcolare. Dichiara di aver perso le istruzioni di montaggio quindi occorre ipotizzare come lo strumento debba essere montato
• Ad ogni allievo viene consegnato il materiale e ciascuno lo esplora provando a realizzare il pallottoliere
• Dopo qualche tempo, si discute sulle varie realizzazioni proposte
Dalla discussione emerge che
• in ogni stanghetta vanno infilate 10 palline tante quante sono le dita delle nostre mani (riferimento all’idea di raggruppamento)
• i rettangoli di legno servono per infilare le due stanghette, dunque non far uscire le palline (ogni strumento è anche il prodotto di soluzioni tecnologiche e come tale ha potenzialità e vincoli)
• la lunghezze delle stanghette è solo in parte occupata dalle palline così, mentre si conta, si possono separare quelle contate da quelle che si devono ancora contare (riferimento al processo di ripartizione , cfr. Gelmann e Gallistel)
Il pallottoliele e la “fila decina”
La cifra 1 che sta a sinistra conta la
fila-decina che abbiamo circondato con
una linea chiusa. La cifra 4 che sta a
destra conta le unità.
Vedo due file-decina sul pallottoliere Sposto una fila-decina Sposto 7 palline senza contarle perché ne lascio 3 a sinistra (subitizing)
Vedo due file-decina sul pallottoliere Sposto una fila-decina Sposto 7 palline senza contarle perché ne lascio 3 a sinistra (subitizing)
20 = 10 + 10 20 – 10 = 10 10 – 7 = 3 20 – 17 = 20 – 10 – 7 = 3
COMPITO
AZIONI sull’ARTEFATTO
SCHEMI D’USO
SIGNIFICATI MATEMATICI
20 = 10 + 10 20 – 10 = 10 10 – 7 = 3 20 – 17 = 20 – 10 – 7 = 3
Il pallottoliere e la “stanghetta decina”
La “stanghetta decina”
e la scrittura del
numero
La “stanghetta-
decina” ed esercizi
di calcolo
La strategia di Ergi per
trovare il numero
“misterioso”
20 - … = 12
La parola ai bambini, fine seconda
Scrive Miriam:
Aggiunge Manuele
Le riflessioni quarta
Mediazione semiotica:
SAPERE MATEMATICO (notazione posizionale)
COMPITI
TESTI SITUATI
(“palline infilate su una stanghetta”)
TRASFORMAZIONE DI SEGNI/TRASFORMAZIO-NE DI SIGNIFICATI
(la discussione introduce: termini ibridi come“fila decina”- e negozia rappresentazioni grafico-simboliche)
TESTI MATEMATICO (decina)
Le cannucce In altre culture: le bacchette di calcolo in
Cina (prima elementare, primo semestre)
Ma anche nella “nostra” didattica non è una
proposta nuova
Da un testo del 1929, biblioteca INDIRE
Le sperimentazioni condotte portano
a ritenere che non c’è una sequenza preordinata
“ottimale”. La scelta va operata tenendo conto del
potenziale semiotico di ogni artefatto/strumento
correlato ai motivi e agli obiettivi che l’insegnante
intende perseguire in una data fase del processo di
insegnamento-apprendimento
Le cannucce solo in prima?
Più in generale, quando introdurre un
artefatto/strumento?
Un esempio, le cannucce in terza
elementare per:
. ampliare il campo numerico “recuperando”
rispetto all’abaco la cardinalità
. “scoprire” regole di calcolo
. riflettere sul significato di addizione e
sottrazione come operazioni inverse
L’introduzione di un nuovo artefatto,
attività individuale
Andrea il “senso comune” e il
sapere matematico
Un caso più difficile proposto a gruppi di 3…
Una nuova consegna e la soluzione di
Samantha
Ricostruzione di un
abaco romano
Fu probabilmente l'abaco a suggerire agli indiani (forse nel VI sec.d.C.) il sistema posizionale. Per indicare le righe prive di sassolini, gli indiani pensarono di usare un puntino, così come noi oggi usiamo lo zero.
L’ABACO
VERTICALE
Codex Vigilanus: viene considerato il
più antico testo europeo contenente le nostre cifre decimali (risale al 976 d.C.).
Si nota che ancora non compare un simbolo per rappresentare lo zero.
Leonardo Pisano (1170-
1250) detto Fibonacci
Margarita Philosophica, Gregor Reisch (1503)
L’abaco verticale
Discutendo durante l’assemblaggio 42.Basma: secondo me manca il pezzetto di legno per infilare i
legnetti, ci devono essere due legnetti
43.INS: No ho controllato i pezzi vanno bene, questo è uno strumento diverso dal pallottoliere
44.Giulia M.: secondo me le astine devono stare dritte perché così ci puoi infilare la pasta, se no cade
45.Manuele: sì ci puoi mettere la pasta su due stanghette e poi vedere quante sono tutte …tutte quante.
46.INS: Non ho capito bene ci puoi far vedere un esempio..
47.Manuele (che ha inserito sulla base le due aste) : Tu metti 1,2,3 palline qui (infila contandole tre palline sull’asta a sinistra) poi ne mette 1,2,3,4 qui poi conti 1,2,3,4,5,6,7.
48.Ins: cosa ha voluto farci vedere Manuele?
49.Andrea: e che tu fai 3 poi ci metti 4 e poi poi conti tutto
50. Ins: sì ci vuol far vedere come si esegue una addizione
50.Ergi: ha fatto 4 + 3 che fa sette
51.Ins: se ho capito bene, voi dite che ha infilato tre palline sull’asta a sinistra e tre palline sull’asta a destra per sommare 3 e 5 per calcolare l’addizione 3+5. E’ un’idea. Ma noi possiamo fare questo calcolo anche con il pallottoliere, con il contamani, con la linea dei numeri. Forse questo strumento ci vuole proprio far vedere che c’è un’asta a sinistra e una a destra.
52. PAUSA
53. Sara: Per me ci dobbiamo mettere un altro legnetto
54. Samantha: No forse e che tu metti uno qui (infilando un gettoni a sinistra) e 3 qui poi dici che è 13.
55: Andrea: ma li ci hai messo 4 palline mica 13
56: Giulia M.: si ma …. forse si … è come le monete quella lì, la moneta dove c’è scritto dieci
57. INS.: Giulia e Samantha pensano che se metto un gettone a sinistra è una decina, quel gettone nella stanghetta sinistra vale dieci. Io ne vedo uno solo ma vale dieci come quando vediamo la moneta da 10 centesimi, è una sola ma vale come dieci monetine da un centesimo.
L’abaco verticale e il valore posizionale
Un conflitto che richiede tempi lunghi
L’abaco e composizioni
L’abaco e il calcolo in colonna
L’abaco suggerisce l’incolonnamento
La parola ai bambini
Rifletti sugli strumenti della
valigetta, soprattutto su quelli ti
hanno aiutato di più a
comprendere il mondo dei numeri
e le sue regole.
Immagina di regalare uno dei nostri
“strani” oggetti ad un bambino di
prima, cosa gli diresti?
Soufien e l’abaco
L’abaco grafico
nel corso degli
anni
Discussione e
redazione di un testo
collettivo
Ostacoli didattici
Classe
quarta
riflettendo
sugli
strumenti
della
valigetta
Abbiamo considerato l’abaco che ha delle stanghette
in verticale. E’ un ottimo strumento di calcolo. E’
diverso dalla linea dei numeri e dal pallottoliere
perché rappresenta i cambi, rappresenta il valore
posizionale. Gli errori che l’abaco ti aiuta ad evitare
sono quelli che si fanno quando ci sono i cambi
L’abaco e i decimali, un possibile
percorso in terza
• produzione di ipotesi individuale: com’è l’abaco del denaro?
• discussione per mettere a confronto le soluzioni proposte
• Istituzionalizzazione di quanto compreso
• Esercizi legati alla compravendita che ricorrono all’abaco grafico (incolonnamento dei decimali) e alla linea dei numeri.
CONSEGNA
Disegna come
immagini l’abaco del
denaro e scrivi le tue
riflessioni
ALCUNE SOLUZIONI
La discussione, l’apertura 1.Ins: Bene avete osservato la scheda? Ci sono tutte
soluzioni diverse c’è un problema che dobbiamo risolvere o potrebbero andare bene anche tante soluzioni diverse?
2.Stefano: Sì per me vanno bene tante diverse perché tipo quella di Gabriele è diversa da quella di tutti perché d sta proprio per denaro
3.Manuele: Io sono d’accordo con Stefano perché tutti i matematici potrebbero avere un loro abaco del denaro per sapere come fanno loro
4.Ergi Per me ognuno ha immaginato come fosse l’abaco del denaro come se lo immaginano loro, ma in verità secondo me ce ne è uno solo … perché tutti dicono che è così invece sono molto diversi l’uno dall’altro invece ce ne è uno solo come l’abaco che abbiamo nella scatola degli strumenti c’è solo quell’abaco.
14.Gabriele: Per me vanno bene
gli abaci con la virgola perché
dividono gli euro dai centesimi
perché ti fanno capire meglio che
nel denaro ci sono gli euro e i
centesimi
20.Marianna: Secondo me quello
che rappresenta meglio le cose è
quello della Giulia R. perché lo
divide tra euro e centesimi poi
dalle centinaia alle unità ha
messo il simbolo dell’euro e poi
anche dopo ha messo decine di
centesimi e unità di centesimi
In seguito i bambini notano che gli abaci della scheda hanno
un diverso numero di stanghette tuttavia non si tratta di una
differenza significativa poiché il numero delle stanghette
dipende dal numero che si intende considerare e non dalle
“regole” che dobbiamo rispettare per costruire questo abaco
Solo un bambino utilizza
il termine decimi e
posiziona questa marca
a destra delle unità di
euro.
78 Donato: non ho capito Manuele perché ha messo la d su
una stanghetta.
79 Manuele: quel simbolo d vuol dire decimi
….
82 Giulia R.: Io pensavo che in quello di Manuele quella d
fosse decine, io non ho capito la differenza tra decimi e
decine
83 INS: Giulia sta dicendo che non ha capito la differenza tra
decine e decimi e forse non ha capito nemmeno la differenza
tra centinaia e centesimi. Che differenza c’è tra decine e
decimi e tra centinaia e centesimi.
101Ins: Come è secondo voi la linea degli euro?
100Manuele: la linea degli euro sarebbe anche lunga perché per me i centesimi vanno messi in mezzo agli euro
101 PAUSA
102 Giulia R. Praticamente vuole dire che un euro non lo dobbiamo vedere sempre come uno, noi lo abbiamo sempre immaginato come uno e basta invece era 100 e perché è come 100 centesimi, tra lo 0 e l’uno ci sono dei centesimi, ce ne sono 100
103 INS: E se uno lo dividiamo in dieci parti cosa troviamo?
104 Giulia R.: I decimi?
105 INS: EUREKA, si è accesa la lampadina, spieghiamo bene questo ragionamento. La linea dei numeri ci aiuta (LA DISEGNA ALLA LAVAGNA). Questa è una linea dei numeri che arriva a due euro, dobbiamo mettere i centesimi su questa linea.
106 Ergi: Secondo me dobbiamo mettere come ha fatto Manuele, dobbiamo mettere dieci perché lui ha immaginato che ci sono i centesimi e dieci centesimi
107 Giulia R.: dieci centesimi sono i decimi
108 INS: E i decimi quanto valgono rispetto all’euro?
109 Manuele: dieci volte di meno
L’insegnante chiama in causa la linea dei numeri
Una rete di artefatti/strumenti
Una rete di artefatti, funzioni ipotizzate:
• Promuove un distacco dagli strumenti concreti,
orienta la riflessione sui saperi matematici
• Rende più ricca e articolata l’attività di carattere
semiotico relativa all’interazione con gli artefatti
fisici, alla rappresentazione di tale attività e alla
progressiva evoluzione di significati matematici.
• Il dialogo fra strumenti può generare conflitti
cognitivi produttivi rispetto alla costruzione di
significati matematici
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