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2Automatique
Contenu! Introduction
" Éléments d'une structure d'asservissement
! Système en boucle fermée"Fonction de transfert en boucle ouverte – notion de chaîne
directe
" Fonction de transfert en boucle fermée
" Propriétés des systèmes asservis
! Analyse de la stabilité d'un système asservi" Critère de Routh" Critère de Nyquist" Critère du revers
3Automatique
Introduction (1) ! Schéma de principe d'un asservissement
Correcteur
Système
Capteur
yc + - ε
actionneur y u
d
! yc : consigne
! ε = yc – y : signal d'erreur (écart entre consigne et sortie du système)
! Correcteur : élabore la loi de commande u
! Actionneur : applique la commande au système. Joue en général le rôle d'amplificateur de puissance
! y : sortie du système ou grandeur à asservir
4Automatique
Introduction (2)! Structure fonctionnelle d'un asservissement
C(s) H(s) yc + − ε y u
d
++ +
+
be
F1(s)
G(s) ++r
bm
F2(s)
! C(s) : fonction de transfert du correcteur
! H(s) : fonction de transfert du système
! G(s) : fonction de transfert de la boucle de retour (capteur en général)
! r : signal de retour
! d : perturbation externe (mesurable ou non), bm : bruit de mesure
! be : bruit d'entrée (bruit de transmission de u aux actionneurs)
5Automatique
Introduction (3)! Types d'asservissement
" Régulation : consigne yc constante" Poursuite de trajectoire : consigne yc varie
! Objectifs de l'asservissement" Stabilité du système asservi" Précision : en régime permanent, la sortie doit suivre la
consigne " Rapidité : Le système asservi doit répondre le plus
rapidement possible aux variations de la consigne" Rejet des perturbations et des bruits càd " Robustesse : le système en BF doit résister aux
variations de paramètres, à l'imprécision du modèle H(s)Le travail de l'automaticien est de régler convenablement le correcteur pour répondre au mieux à ces exigences
0=by
6Automatique
Analyse du système asservi (1)
! Définitions" Fonction de transfert en boucle ouverte HBO(s)
Supposons les perturbations et les bruits nuls. La fonction de transfert en boucle ouverte est la transmittance entre le signal d'erreur ε et le signal de retour r
C (s) H (s) yc + − ε y u
d
++ +
+
be
F1(s)
G (s) ++r
bm
F2(s)
)()()()()()( sGsHsCs
sRsHBO =Ε=
7Automatique
Analyse du système asservi (2)" Chaîne directe
" Fonction de transfert en boucle fermée HBF(s)
Si G(s)=1, on parle de retour unitaire
C'est la transmittance entre la consigne yc et la sortie y
)(1)()()( sH
sHsCsHBO
BF +=
C'est la cascade de transmittance entre une entrée (yc ou les perturbations d, bm, be) et la sortie y
Entre yc et y : C(s)H(s), Entre d et y : F2(s)
Entre be et y : F1(s)H(s), Entre bm et y : C(s)H(s)
Dans ce cas particulier, on a : )(1)()( sH
sHsHBO
BOBF +=
)()()(1)()(
)()()( sGsHsC
sHsCsYsYsH
cBF +==
8Automatique
Analyse du système asservi (3)
! Fonction de transfert entre la sortie y et les perturbations
! Expression de la sortie du système bouclé
Remarque La fonction de transfert entre la sortie asservie y et une entrée est le rapport de la transmittance de la chaîne directe sur 1+HBO(s).
)(1)()(
)()()( 1
sHsHsF
sBsYsP
BOee +== )()(1
)()()(
)()( sHsHsHsC
sBsYsP BF
BOmm =+==
)(1)(
)()()( 2
sHsF
sDsYsP
BOd +== )()()()( sGsHsCsHBO =avec
)()()()()()()()()( sBsHsDsPsBsPsYsHsY mBFdeecBF −++=
9Automatique
Propriétés d'un système asservi
! Stabilité
! Précision
! Performances dynamiques
Le système asservi doit fonctionner automatiquement. Il est indispensable qu'il soit stable. Autrement, le système évolue ens'éloignant de son point (ou trajectoire) d'équilibre, ce qui peut engendrer des saturations voire une dégradation du système
En régime permanent, la sortie du système asservi doit suivre laréférence sans erreur et rejeter rapidement les perturbations
Elles caractérisent le temps de réaction du système lorsque la consigne varie et la rapidité avec laquelle le système asservi "efface" les perturbations
10Automatique
Stabilité des systèmes linéaires asservis (1)
! Notion de stabilité : définitions
! Théorème de stabilité
# Un système est stable si et seulement si écarté de sa position d'équilibre (point ou trajectoire), il tend à y revenir. Une faible perturbation des conditions initiales du système engendre une faible perturbation de sa trajectoire
# Un système est stable si en réponse à une entrée bornée, la sortie du système est borné
Un système linéaire continu à temps invariant est asymptotiquement stable si et seulement si les pôles de sa fonction de transfert sont à parties réelles strictement négatives
11Automatique
Stabilité des systèmes linéaires asservis (2)
! Elements de démonstration
( )∏∏∏
+−−−
=k kki i
l l
cbsaszsK
sH 22)()()(
)(
Décomposition en éléments simples ∑∑
+−++−= k
kk
kki
i
i
cbsCsB
asAsH 22)(
)(
Réponse impulsionnelle ∑ ∑ ++= i k k
tbk
tai tceDeAth ki )sin()( φ
La réponse impulsionnelle converge si les termes sont convergents c'est-à-dire si ai et bk sont négatifs
tkbtia ee et
Soit le système de fonction de transfert01
01)(asasabsbsbsH n
n
mm
++++++=
L
L
H(s) a des pôles réels λi=aiet/ou complexes λk=bk+jck, λ∗
k=bk−jck
⇒
⇓
⇒
12Automatique
Stabilité des systèmes linéaires asservis (3)! Application du théorème de stabilité aux systèmes en BF
! Outils d'analyse de la stabilité en BF à partir de HBO(s)" Critère algébrique de Routh" Critère graphique de Nyquist
)(1)()()( sH
sHsCsHBO
BF += )()()()( sGsHsCsHBO =avec
Le système asservi est stable asymptotiquement si et seulement si les pôles de HBF(s) sont à parties réelles strictement négatives
Equation caractéristique du système asservi : 0)(1 =+ sHBO
Le système asservi est stable ssi les racines de l'équation caractéristique sont à parties réelles strictement négatives.
Peut-on analyser la stabilité en BF à partir de HBO(s) sans calculer explicitement la fonction de transfert en BF? Oui!
13Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (1)
! Intérêt du critère
! Principe du critère de Routh
" Condition nécessaire (CN) de stabilité
Soit D(s) le dénominateur de la fonction de transfert d'un système
)()()( sD
sNsH = 01)( asasasD nn +++= Lavec
Le critère de Routh permet de déterminer si les racines de l'équation caractéristique D(s)=0 du système sont à parties réelles positives ou non sans calculer explicitement ces racines
01)( asasasD nn +++= L
Une condition nécessaire de stabilité est que tous les coefficients ai de D(s) soient strictement de même signe.
14Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (2)! Principe du critère de Routh
" Condition nécessaire et suffisante (CNS) de stabilité
Si la CN est vérifiée, il faut construire le tableau de Routh
………………
…a44a43a42a41Ligne 4
…a34a33a32a31Ligne 3
…an-7an-5an-3an-1Ligne2
…an-6an-4an-2anLigne 1
Le tableau a au plus n+1 lignes (n : ordre de D(s))
131
2
31 −−−
−
−=n
nn
nn
aaaaa
a
151
4
32 −−−
−
−=n
nn
nn
aaaaa
a
313231
31
41 aaaaa nn
a−−
−=
313331
51
42 aaaaa nn
a−−
−=
15Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (3)Enoncé du critère de Routh : CNS
! Application du critère de Routh à un système en BF
Un système est asymptotiquement stable ssi tous les coefficients de la première colonne du tableau de Routh sont tous de même signe
Remarques # Le nombre de changements de signe dans la première colonne est égal au nombre de pôles à parties réelles positives# Si dans la première colonne il existe un élément nul, le système admet au moins un pôle à partie réelle positive ou une paire de pôles conjugués imaginaires purs
)()()()()(
)(1)()()( sNsD
sHsCsDsHsHsCsH
BOBO
BO
BOBF +=+=
Appliquer le critère de Routh au dénominateur de la fonction de transfert en BF c'est-à-dire DBO(s) +NBO(s)
)()()( sD
sNsHBO
BOBO = ⇒Soit
16Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (4)
! Exemple 1 : étude de la stabilité du système en BF
Boucle fermée à retour unitaire :
H (s) yc + −
ε y
)3(10)( 2 ++
=sss
sH
10310
)(1)()( 23 +++
=+=ssssH
sHsH BF
Tableau de Routh
010Ligne 4
0-7Ligne 3
101Ligne2
31Ligne 1
103)( 23 +++= ssssDBF
Il y a un changement de signe dans la première colonne de ce tableau
Le système en boucle fermée à retour unitaire est instable
17Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (5)
! Exemple 2 : étude de la stabilité du système en BF
yc + − ε y K )1(
1+ss
51+s
)5)(1()( ++= sssKsH BO
0KLigne 4
0Ligne 3
K6Ligne2
51Ligne 1D'après le critère de Routh, la condition de stabilité impose :
et
⇒Ksss
sKsH BF ++++=
56)5()( 23
630 K−
0>K 0630 >− K
⇒ 300 << K
K : gain variable
18Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Routh (6)! Remarques
" Stabilité absolue
" Stabilité conditionnelle
H (s) yc + −
ε y
G (s)
Soit un système de gain KB0 en boucle ouverte
Le système est à stabilité absolue s'il existe une valeur limite du gain Klim telle que le système soit stable en boucle fermée pour KB0< Klim et instable pour KB0 > Klim
Le système est à stabilité conditionnelle s'il est stable pour un certain intervalle de valeurs [Klim,1, Klim,2] du gain KB0 et instable en dehors de cet intervalle
19Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (1)
! Théorème de Cauchy
C'est une méthode graphique permettant de déterminer si le dénominateur de HBF(s) n'a pas de pôles instables à partir de la connaissance de HBO(s). Elle est basée sur le théorème suivant :
Soit F(s) une fonction de la variable complexe s admettant P pôles et Zzéros dans un contour fermé C. Lorsque s décrit le contour C, la courbe F(C), image de C par F(s)effectue T=P−Z tours autour de l'origine. T est compté positivement si C et F(C) sont orientés dans le même sens et négativement autrement
Re(s)
Im(s)
C
pôle
zéro
+
Re(F(s))
Im(F(s))
F(C)
20Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (2)! Contour de Nyquist
Le contour d'exclusion de Nyquist Γenglobe tout le demi-plan droit correspondant aux pôles et zéros à parties réelles strictement positives de la fonction de transfert F(s)
Im
R→+∝
ω → +∞
ω → −∞
ω → 0+
ω → 0−
Reε
I
IIIIIIV
] [ ωω js =∞−∈ ,0, :I
] [ ωω js =∞+∈ ,,0:II
∞→
−∈= Rs j ,
2,
2,Re : III ππθθ
0 ,2
,2
, : IV →
−∈= εππθε θjes
L'image de Γ par F(s) est le diagramme de Nyquist de F(s)
R→+∝
ω → +∞
ω → −∞
Re
Im
I
II
III
21Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (3)
! Etape préliminaire
)()()()()(
)(1)()()( sNsD
sHsCsDsHsHsCsH
BOBO
BO
BOBF +=+=
)()()( sD
sNsHBO
BOBO =
⇒
Soit un système asservi de transmittance en BO
De plus )(
)()()(1 sDsNsDsH
BO
BOBOBO
+=+
Remarques
# Les zéros de 1+HBO(s) sont les pôles de HBF(s)
# 1+HBO(s) et HBO(s) ont les mêmes pôles
22Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (4)! Application du théorème de Cauchy à 1+HBO(s)
Le diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) effectue T=P−Ztours dans le sens trigonométrique autour de l'origine.
Soit P le nombre de pôles instables de 1+HBO(s) (donc de HBO(s))
Soit Z le nombre de zéros à parties réelles positives de 1+HBO(s)
Remarques# Les zéros de 1+HBO(s) étant les pôles de HBF(s) , la condition de stabilité du système en BF impose que 1+HBO(s) ne possède pas de zéros à parties réelles positives càd Z=0 ⇒ T=P
# En pratique, étudier la position du diagramme de Nyquist de 1+HBO(s) par rapport à l'origine équivaut à analyser la position du diagramme de HBO(s) par rapport au point –1 appelé point critique
Théorème
23Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (5)
! Enoncé du critère de Nyquist
Un système en boucle fermée est asymptotiquement stable à la condition nécessaire et suffisante que le diagramme de Nyquistde sa transmittance en boucle ouverte HBO(s) effectue autour du point -1 et dans le sens trigonométrique, un nombre de tours T égal au nombre de pôles instables P de HBO(s)
# Les pôles instables et les zéros à parties réelles positives sont comptés avec leur ordre de multiplicité
# L'intérêt du critère de Nyquist est d'étudier les conditions de stabilité du système asservi à partir du diagramme deNyquist du système en boucle ouverte
Théorème
24Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (6)
! Exemple 1Soit un système en BF de transmittance en boucle ouverte
)1)(1()(21 sTsT
KsH BO ++=
avec 5.0 ,1,5 21 === TTK
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
-2 0 2 4 6 8 10 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-1
Point critique HBO(s) n'a pas de pôle instable P=0. Le nombre de tours autour de –1 est nul, T=0.
Le système est stable en boucle fermée
⇓
25Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (7)
! Exemple 2Soit un système en BF de transmittance en boucle ouverte )255)(1(
20)( 2 ++−=
ssssH BO
HBO(s) a un pôle instable λ=1 ⇒ P=1
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 -0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
Point critique
Or le nombre de tours autour de –1 est nul, T=0. Le système est donc instable en boucle fermée
Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point –1 dans le sens trigonométrique
Vérifier ce résultat par le critère de Routh
26Automatique
Analyse de la stabilité : critère de Nyquist (8)
! Exemple 3Soit un système en BF de transmittance en boucle ouverte )1)(14(
)(+−
=ss
ksH BO
HBO(s) a un pôle instable λ=1/4 ⇒ P=1.
La condition de stabilité impose que OM > OC c'est-à-dire k > 1
Le système sera stable en boucle fermée si le diagramme de Nyquist entoure une fois le point –1 dans le sens trigonométrique
-2.5 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 -0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Nyquist Diagrams
Point critique
k O C M
Vérifier ce résultat par le critère de Routh
27Automatique
Simplification du critère de Nyquist
! Critère du reversSi le système est stable en boucle ouverte (HBO(s) n'a pas de pôles ni zéros instables), une condition nécessaire et suffisante de stabilité asymptotique du système en boucle fermée est qu'en parcourant le lieu de Nyquist de HBO(s) dans le sens des pulsations ω croissantes, on laisse le point critique –1 à gauche
Re
Im
-1
ω ↑
Stabilité en boucle fermée mais non asymptotique (système juste oscillant)
Re
Im
-1
ω ↑
Re
Im
-1
ω ↑
Stabilité asymptotique en boucle fermée
Instabilité en boucle fermée
28Automatique
Critère du revers dans le plan de Black
! DéfinitionPlan de Black : point critique a pour coordonnées C(-π, 0dB)
Soit ωc0 la pulsation telle que |HBO(jωc0)|=1. La condition de stabilité asymptotique du critère du revers impose que le déphasage ϕBO(ωc0) soit supérieur à −π (arg(HBO(jωc0) > −π) c'est-à-dire en parcourant le lieu de Black dans le sens des ωcroissants, on laisse le point critique –1 à droite
Re
Im
-1
ω ↑
ϕ
G (dB)
-π/2-ππππ
ωc0
correspond à
Recommended