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UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
MAESTRÍA EN INGENIERÍA MECÁNICA
MODELAJE NUMÉRICO DE ALUDES TORRENCIALES UTILIZANDO EL MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS
Trabajo de Grado presentado a la Universidad Simón Bolívar por
Carmen María Rodríguez Pastrano
Como requisito parcial para optar al grado de
Magíster en Ingeniería Mecánica
Realizado con la tutoría del Profesor
Armando José Blanco Alvarez
Enero, 2006
i
ii
A Dios, mis padres, hermanos, especialmente a Vanessa, mi sobrinita Camila y mi
maravilloso compañero Ceilan Oreste. Los quiero mucho…
Carmen M. Rodríguez P.
iii
AGRADECIMIENTOS
A la Universidad Simón Bolívar por brindarme sus instalaciones y recursos humanos para
lograr mí grado de Maestría.
A mi tutor el Dr. Armando José Blanco A. por su guía, enseñanzas, consejos sabios y
especialmente por su amistad. Gracias.
Al grupo de CEMFA-USB por todo el apoyo y cariño prestado durante mis estudios de
Maestría.
A mi compañera de estudio Andreina Acosta por motivarme, comprenderme, apoyarme e
invalorable amistad durante este tiempo.
Al Magíster Juan Carlos Marín y al Dr. Luis R. Rojas S. por sus consejos y amistad
incondicional en todo momento.
A la secretaria de la coordinación de postgrado Silvia Pernia, por su valiosa colaboración,
paciencia y amistad bridada.
A la Academia de Ciencias Matemáticas Físicas y Naturales por el apoyo económico otorgado
para la realización de mi tesis.
Al Dr. Carlos Azuaje por su apoyo en la culminación de mi trabajo de grado.
iv
RESUMEN
El trabajo de investigación consiste en el desarrollo de un modelo numérico unidimensional integrado en la vertical para predecir el comportamiento de los aludes torrenciales en canales rectangulares y no-rectangulares. El modelo incorpora diversas leyes de resistencia al flujo, utilizando el esquema de volúmenes finitos tipo Godunov para resolver las ecuaciones generalizadas de Saint-Venant. Los flujos numéricos de masa y momento son calculados usando el método de Riemann tipo Roe y una versión simplificada del mismo. La aproximación MUSCL (Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws) es aplicada para asegurar una precisión espacial de segundo orden.
Este modelo permite comparar los resultados obtenidos al utilizar diferentes modelos reológicos para caracterizar las mezclas agua-arcilla-sólidos que se forman durante un alud y predecir el comportamiento del flujo en lo referente a la evolución de la profundidad del flujo en el tiempo. Se incluye además un modelo sencillo que considera los procesos de erosión/deposición con los correspondientes cambios en el nivel de elevación del fondo. La comparación de los resultados obtenidos a partir de este modelo con soluciones exactas y con otros modelos numéricos y su validación con data experimental muestran que el esquema es preciso y robusto.
El modelo fue aplicado para un evento real de aludes torrenciales que ocurrió en el Valle Kamikamihori en Japón y comparado, para el mismo caso con un modelo numérico desarrollado por Rickenmann & Koch. Un mejor ajuste a la data observada en campo pudo ser realizado con el modelo aquí desarrollado utilizando las relaciones reológicas de Manning, Voellmy, inercial-dilatante y Bingham.
Los resultados reflejan que con las relaciones de Manning, Voellmy o la formulada por Takahashi se pueden reproducir mejor eventos reales que con las relaciones de Bingham e inercial-dilatante. Así mismo, es puesto en evidencia que la práctica usual de ajustar los parámetros asociados a cada modelo reológico con experimentos de laboratorio, a pequeña escala, es cuestionable debido a la posibilidad real de obtener un adecuado ajuste para cada relación reológica a esa escala.
Palabras claves: Aludes torrenciales, volúmenes finitos, leyes de resistencia al flujo, comportamiento reológico de mezclas, dinámica de fluidos computacional CFD.
v
INDICE GENERAL
Pág. APROBACION DEL JURADO...……………………………………………………………………………….....i DEDICATORIA ……………………………………………………………………………………………….......ii AGRADECIMIENTOS………………………………………………………………………………………...….iii RESUMEN…………..………………………………………………………………………………………...…...iv INDICE GENERAL………………………………………………………………………………………...………v INDICE DE FIGURAS………………………………………………………………………………………...…viii INDICE DE TABLAS………………………………………………………………………………………...…....xi INTRODUCCIÓN............................................................................................................................1 MOTIVACIÓN ................................................................................................................................1 ANTECEDENTES............................................................................................................................3 OBJETIVOS Y ALCANCES ..............................................................................................................6
CAPITULO I: ALUDES TORRENCIALES..........................................................................8 1.1 LA VERTIENTE UN SISTEMA FÍSICO COMPLEJO............................................................8 1.2 TIPO DE TRANSPORTE.................................................................................................10 1.3 INICIALIZACIÓN, MOVIMIENTO Y DEPOSICIÓN DE UN ALUD TORRENCIAL .................12 1.3.1 Inicialización .........................................................................................................13 1.3.2 Movimiento ............................................................................................................14 1.3.3 Deposición.............................................................................................................16 1.4 CLASIFICACIÓN DE LOS ALUDES TORRENCIALES.........................................................17 1.4.1 Alud torrencial lodoso...........................................................................................17 1.4.2 Alud torrencial granular .......................................................................................18 1.4.3 Alud torrencial volcánico ......................................................................................18 1.5 MODELAJE DE LOS ALUDES TORRENCIALES ...............................................................19 1.5.1 Aproximación Estadística......................................................................................19 1.5.2 Aproximación Determinística................................................................................20 1.5.2.1 Modelo Empírico: adaptación del modelo PCM al comportamiento del alud torrencial. .......................................................................................................................21 1.5.2.2 Modelos de profundidad promedio ...............................................................22 1.6 RELACIONES REOLÓGICAS Y ECUACIONES CONSTITUTIVAS.......................................24 1.6.1 Modelos Newtonianos ...........................................................................................25 1.6.2 Modelos Plástico de Bingham ...............................................................................26 1.6.3 Modelos Ley de Potencia.......................................................................................27 1.6.4 Modelos Herschel-Bulkley.....................................................................................27 1.6.5 Fluido Visco-Plástico Generalizado .....................................................................28 1.6.6 Fluido inercial dilatante........................................................................................29 1.6.7 Modelo Bilineal .....................................................................................................29 1.6.8 Liu & Huang..........................................................................................................30 1.6.9 O’Brien & Julien ...................................................................................................30 1.6.10 Fluido de Voellmy..................................................................................................31
vi
Pág. 1.6.11 Modelo de Egashira, Miyamoto & Itoh.................................................................32
CAPITULO II: MODELO MATEMATICO .......................................................................35 2.1 ECUACIONES QUE RIGEN LOS ALUDES TORRENCIALES ...............................................35 2.1.1 Conservación de Masa ..........................................................................................36 2.1.2 Conservación de Momento lineal ..........................................................................36 2.1.3 Ecuación Conservativa de Saint Venant ...............................................................37 2.2 RELACIONES DE RESISTENCIA AL FLUJO O REOLOGÍA EN ALUDES TORRENCIALES ....38 2.2.1 Ecuación Empírica de Manning............................................................................38 2.2.2 Fluido Voellmy ......................................................................................................39 2.2.3 Fluido Inercial-Dilatante ......................................................................................39 2.2.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica .......................................................................39 2.2.5 Fluido Bingham simplificada ................................................................................41 2.2.6 Formulación de Takahashi: Efectos de Erosión-Deposición................................41
CAPITULO III: MODELO NUMERICO ............................................................................44 3.1 MÉTODO DE VOLÚMENES FINITOS..............................................................................44 3.2 ESQUEMA TIPO GODUNOV..........................................................................................45 3.3 PASO PREDICTOR........................................................................................................46 3.4 EXTRAPOLACIÓN MUSCL..........................................................................................48 3.5 FLUJOS NUMÉRICOS ...................................................................................................48 3.6 PASO CORRECTOR ......................................................................................................54 3.7 ACOPLE DE LOS MODELOS REOLÓGICOS O RELACIONES DE RESISTENCIA AL FLUJO ..54 3.7.1 Ecuación Empírica de Manning............................................................................55 3.7.2 Fluido Voellmy ......................................................................................................57 3.7.3 Fluido Inercial-Dilatante ......................................................................................57 3.7.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica .......................................................................58 3.7.5 Fluido Bingham simplificada ................................................................................60 3.7.6 Formulación de Takahashi....................................................................................61 3.8 ACOPLE DEL MODELO DE EROSIÓN/DEPOSICIÓN........................................................62 3.9 CONDICIONES DE BORDES Y CELDAS IMÁGENES ........................................................65 3.10 CONDICIÓN DE ESTABILIDAD......................................................................................67
CAPITULO IV: VALIDACION DEL MODELO................................................................68 4.1 ESTABILIDAD NUMÉRICA DEL MODELO .....................................................................68 4.1.1 Caso plano Horizontal sin Fricción ......................................................................69 4.1.2 Caso plano Inclinado con Fricción.......................................................................72 4.2 COMPARACIÓN CON SOLUCIONES ANALÍTICAS Y CON OTROS MODELOS NUMÉRICOS ..75 4.2.1 Comparación del modelo con solución analítica ..................................................75 4.2.2 Comparación del modelo con otros modelos numéricos ......................................77 4.3 AJUSTE DEL MODELO DE EROSIÓN/DEPOSICIÓN ..........................................................81 4.4 VALIDACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO CON EXPERIMENTOS DE LABORATORIO ........83 4.4.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1) ...........................................................84 4.4.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2) ............................................................85
vii
Pág.
CAPITULO V: RESULTADOS DEL MODELO ................................................................87 5.1 APLICACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO A UNA DATA EXPERIMENTAL.........................87 5.1.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1) ...........................................................88 5.1.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2) ............................................................91 5.2 APLICACIÓN DEL MODELO NUMÉRICO A UN EVENTO REAL .......................................93 5.2.1 Calibración del Modelo Numérico........................................................................95 5.2.1.1 Simulaciones aplicando la relación de la ecuación de Manning ...................95 5.2.1.2 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Voellmy ...........................96 5.2.1.3 Simulaciones aplicando la relación del fluido inercial-dilatante...................97 5.2.1.4 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham simplificado .....98 5.2.1.5 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham ..........................99 5.2.1.6 Simulaciones aplicando la relación formulada por Takahashi ....................100 5.2.1.7 Comparación de los seis modelos reológicos ..............................................101 5.2.2 Comparación del Modelo Numérico con simulaciones realizadas en FLO2D...102 5.2.3 Comparación del Modelo Numérico con el Modelo de Rickenmann & koch .....103 5.3 ALGUNAS OBSERVACIONES FINALES.........................................................................107
CAPITULO VI: CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES .....................................108
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS ................................................................................110
viii
INDICE DE FIGURAS
Pág. Figura 1-1: Una vertiente típica (Según Ancey, 2001)................................................................9
Figura 1-2: Simulación a menor escala del transporte de arrastre de fondo en el laboratorio. La fase sólida y liquida son distinguida (el agua fue coloreada con fluorescencia). La profundidad de flujo típica en este experimento fue 1 cm. (Según Ancey, 2001) ............11
Figura 1-3: Simulación a menor escala de un alud torrencial en el laboratorio. Las fases líquidas y sólidas están mezcladas (Según Ancey, 2001). ................................................11
Figura 1-4: Diagrama Esquemático de la sección vertical transversal del movimiento de una ola de alud torrencial sobre un plano inclinado.................................................................15
Figura 1-5: Formas de los canales en la deposición de los aludes torrenciales (según VanDine, 1996)..................................................................................................................................16
Figura 3-1: Flujos en la interfaces para la celda jth....................................................................49
Figura 3-2: El dominio Computacional [0, L] es extendido con dos celdas imágenes para especificar las condiciones de bordes................................................................................66
Figura 4-1: Diagrama para rompimiento de presa horizontal....................................................69
Figura 4-2: Sensibilidad del perfil de profundidad ante variaciones del número de Courant ...70
Figura 4-3: Efecto del número de celdas (∆x) en el perfil de profundidad ...............................71
Figura 4-4: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal horizontal sin fricción .........................................................................................................................71
Figura 4-5: Diagrama para rompimiento de presa inclinado.....................................................72
Figura 4-6: Perfil de profundidad de fluido a lo largo de un canal inclinado con fricción .......73
Figura 4-7: Efecto del coeficiente de resistencia al flujo (n) en el perfil de profundidad de un canal inclinado con fricción...............................................................................................73
Figura 4-8: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal inclinado con fricción........................................................................................................................74
Figura 4-9: Comparación del modelo numérico con solución analítica....................................76
Figura 5-10: Comparación del modelo numérico usando la RFF y SFF con la solución analítica (Henderson, 1966)...............................................................................................76
ix
Pág. Figura 4-11: Comparación entre las variaciones del volumen total (% error) usando las
aproximaciones RFF y SFF en función del tiempo ...........................................................77
Figura 4-12: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack ......................78
Figura 4-13: Perfiles de velocidad comparados con el modelo MacCormack ..........................78
Figura 4-14: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack (h0=1m)........79
Figura 4-15: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.01) comparados con el modelo MacCormack..............................................................................................79
Figura 4-16: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.03) comparados con el modelo MacCormack..............................................................................................80
Figura 4-17: Perfiles de número de Fraude en un canal triangular comparados con el modelo Sanders ..............................................................................................................................81
Figura 4-18: Estados inicial, intermedio y final del nivel de fondo ..........................................82
Figura 4-19: Diagrama esquemático de la ubicación de los sensores a lo largo del canal en las pruebas WES .....................................................................................................................84
Figura 4-20: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios hidrográficos del caso WES 1.1 (condición de baja resistencia).......................................85
Figura 4-21: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios hidrográficos del caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)........................................86
Figura 5-1: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=-31.5 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)......................................................88
Figura 5-2: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=0 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)..............................................................89
Figura 5-3: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=24.4m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia) ..................................................90
Figura 5-4: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=45.7m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia) ..................................................90
Figura 5-5: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=-31.5 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia).......................................................91
Figura 5-6: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=0 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)...............................................................92
Figura 5-7: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=24.4 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia) ..................................................92
Figura 5-8: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario x=45.7 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia) ..................................................93
Figura 5-9: Perfil longitudinal (Japón) y cambios en el ancho del tramo del Valle Kamikamihori seleccionado para el estudio......................................................................94
x
Pág. Figura 5-10: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning (n) y las
velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ..................................................96
Figura 5-11: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Chezy (C2) y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ..................................................97
Figura 5-12: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de rugosidad (ζ2) y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ..................................................98
Figura 5-13: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la ecuación simplificada y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón......99
Figura 5-14: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la ecuación cúbica y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ...............99
Figura 5-15: Simulaciones obtenidas para diferentes diámetros de sedimentos promedios (d) y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...........................................100
Figura 5-16: Simulaciones de los mejores ajuste de los parámetros en las relaciones reológicas con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ...................101
Figura 5-17: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el simulador comercial FLO2D y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón................................................................................................................................102
Figura 5-18: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el simulador comercial FLO2D y en el modelo numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón ....................................................................103
Figura 5-19: Simulaciones usando la Ec. De Manning – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...........................................................................................................104
Figura 5-20: Simulaciones usando el Fluido de Voellmy – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...............................................................................................105
Figura 5-21: Simulaciones usando el Fluido Inercial Dilatante – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...............................................................................................105
Figura 5-22: Simulaciones usando el Fluido Bingham (Ec. Cúbica) – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón...............................................................................................106
xi
INDICE DE TABLAS
Pág. Tabla 1-1: Cuadro resumen modelos reológicos para Aludes Torrenciales..............................33
Tabla 4-1: Características de un problema de rompimiento de presa horizontal, sin fricción. .69
Tabla 4-2: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción...72
Tabla 4-3: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, sin fricción con canal triangular. .................................................................................................................75
Tabla 4-4: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica. ..............................................................................................................82
Tabla 5-5: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica. ..............................................................................................................83
Tabla 5-1: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.1...........................................................................................................................................88
Tabla 5-2: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.2...........................................................................................................................................91
Tabla 6-3: Características y condiciones de entrada del evento real de alud torrencial. ...........95
1
INTRODUCCION
1. Motivación
Los aludes torrenciales son uno de los mayores peligros naturales, acabando con miles de
vidas y ocasionando pérdidas materiales cuantiosas cada año, en muchas áreas montañosas de
la Tierra. El estudio del comportamiento de los aludes torrenciales tomo mayor auge después
de una erupción catastrófica ocurrida en Mount St. Helen en los Estados Unidos en mayo de
1980 (Scout, 1988), cuando toda el agua proveniente de la nieve derretida, de las lluvias
torrenciales y del desbordamiento del Lago Spirit se mezcló con grandes depósitos de cenizas
y barros produciéndose un enorme alud torrencial que causó daños en extensas áreas y causó
una cantidad importante de perdidas de vidas. En Colombia, durante la erupción de Nevado
del Ruiz, miles de personas fallecieron al desatarse un inmenso alud torrencial por el rápido
derretimiento de la nieve y el hielo en la cima del volcán (Voight, 1990). En 1991, la erupción
del volcán Pinatubo en Filipina (Ancey, 2001), dispersó más de cinco kilómetros cúbicos de
ceniza volcánica dentro de los valles; buena parte de éste sedimento fue subsecuentemente
movilizado como alud torrencial por las lluvias desbastando más de trescientos kilómetros
cuadrados de terreno de agricultura. En mayo de 1998, en Sarno y Quindici en el sur de Italia,
murieron aproximadamente doscientas personas por causa de un gran alud torrencial (Ancey,
2001). En diciembre de 1999, en Venezuela, estado Vargas, debido a fuertes y continuas
lluvias que ocasionaron el desprendimiento de extensas áreas montañosas llevaron a la
formación de un enorme alud torrencial que causó considerables daños materiales y miles de
pérdidas humanas.
El carácter catastrófico de estos aludes en vertientes montañosas es consecuencia del
transporte significativo de materiales sólidos asociados con el flujo de agua.
2
En general los aludes torrenciales son sistemas de fases dispersas líquidas y sólidas, con
propiedades reológicas condicionadas por los componentes sólidos y el contenido de agua.
Este tipo de flujo ocurre cuando masas cargadas con sedimentos de talla diversa, agitadas y
saturadas con agua, causan la formación de frentes fluidos, que descienden por altas
pendientes como respuesta a la atracción gravitacional. Ambos componentes, sólidos y
líquidos, influyen de manera apreciable en el movimiento.
La identificación de las áreas potencialmente peligrosas es esencial para el diseño de una
estrategia de prevención de catástrofes. A través de muchas formas estadísticas y empíricas
(Koulinski, 1993 y Rickenmann, 1996 y 1999) se han hecho propuestas para la estimación del
área afectada por el alud torrencial, obteniéndose resultados muy variables. El problema de
escalamiento entre experiencias de laboratorio y situaciones reales es particularmente
importante debido a la presencia de un fluido cuyo comportamiento reológico es en general no
newtoniano. De esta manera, la simulación numérica se convierte en una aproximación viable,
y económica, para la determinación de las variables físicas asociadas a estos fenómenos.
En acuerdo con lo antes planteado, estos fenómenos han sido estudiados considerablemente en
años recientes, disponiéndose de alguna información experimental y simulaciones numéricas,
así como con relaciones empíricas y modelos que son capaces de predecir buenas
aproximaciones a los parámetros característicos de estos flujos tales como velocidades y
elevaciones máximas y zona de influencia. Los esfuerzos iniciales para estudiar la propagación
de flujo en zonas con altas pendientes se han focalizado en los modelos de rompimiento de
presas incluyendo las variaciones que permitan considerar tanto la erosión como la deposición
de materiales de los lechos por los que transitan los aludes torrenciales. Sin embargo, las
simplificaciones necesarias a las hipótesis consideradas para la elaboración de modelos de
rompimiento de presas no representan completamente el flujo complejo que se presenta
durante un alud torrencial debido en buena parte a lo difícil de caracterizar reológicamente el
fluido y a las altas pendientes involucradas, que a su vez deben ser incorporadas en las
ecuaciones de movimiento, lo que hace que los modelos para aludes torrenciales sean
necesariamente más complejos.
Por otro lado, lo impredecible de este tipo de fenómenos dificulta la obtención de datos
experimentales con los que sea factible calibrar los modelos numéricos. La base de datos de
3
campo disponible para el análisis científico de los aludes torrenciales ha sido construida
principalmente de observaciones cualitativas y altamente idealizadas.
En función de lo anteriormente planteado y vista la ocurrencia en los últimos años de aludes
torrenciales en el territorio nacional, se hace evidente la necesidad de contar con modelos
numéricos que permitan la simulación de aludes torrenciales. Además de satisfacer estas
necesidades y alcanzar un mayor entendimiento de los mecanismos que gobiernan el
fenómeno de los aludes torrenciales, desarrollar un modelo propio permite la realización a
futuro de modificaciones como podrían ser incluir, adaptar y acoplar otros modelos reológicos
que se muestren más apropiados para la simulación de la física de los aludes torrenciales. Otra
ventaja que tiene la creación de un modelo con estas características es conocer las
discrepancias numéricas producto de validaciones con resultados experimentales y reales, lo
que permite predecir su funcionalidad y su potencial para la caracterización de los aludes
torrencial en condiciones reales.
Finalmente, este trabajo permite avanzar hacia la independencia tecnológica así como la
económica de la nación en lo relativo a la disminución de la dependencia causada por la
utilización de modelos foráneos.
2. Antecedentes
Existen evidencias que demuestran un aumento en la incidencia de aludes torrenciales desde
los ochenta (Scott, 1988). Tanto lo impredecible como la magnitud de los aludes torrenciales
impiden la recolección de datos precisos que permitan describir de manera detallada la física
de estos fenómenos. Debido a esto, el entendimiento científico ha sido realizado sobre la base
de un gran número de observaciones de campo, cualitativas y altamente idealizadas, para
luego continuar con la generación de experimentos de laboratorio y modelos. Durante la
década pasada, una enorme cantidad de trabajos han sido desarrollados. Los avances de
técnicas computacionales más poderosas han pavimentado la vía para generación de modelos
matemáticos en todas las áreas de ingeniería, incluyendo la hidráulica y también, de manera
específica, la propagación de inundaciones. Los mayores esfuerzos realizados para el avance
4
de estas investigaciones se iniciaron en los años ochenta, aun cuando existen referencias de
trabajos pioneros en los años cincuenta (Isaacson et al., 1958). La mayoría de estas
investigaciones iniciales abordan el estudio de la física de las inundaciones la cual ha
representado el primer paso hacia la compresión del modelaje de la propagación de los frentes
de fluidos durante la propagación de un alud torrencial.
Los trabajos existentes en la literatura sobre la comprensión de la dinámica de los fluidos
durante los aludes torrenciales, les otorgan un peso significativo a los modelos reológicos que
representan la mezcla fluyente de sólidos y líquidos. Este aspecto se ha convertido en uno de
los puntos claves en el modelaje de este tipo de flujo y ha sido estudiado por diversos autores
(Bagnold, 1954, Koerner, 1976 y Voellmy, 1955). Por ejemplo Bagnold (1954) mostró que el
esfuerzo cortante en una dispersión densa de granos dentro de un fluido depende del cuadrado
de la tasa de deformación de corte, en el caso del régimen inercial. Basándose en estos
estudios fueron definidos los modelos reológicos aplicados específicamente a los aludes
torrenciales por Koerner (1976) quien adoptó el modelo de dos parámetros de Voellmy (1955)
introduciéndole un parámetro que considera los efectos de la turbulencia sobre el componente
friccionar. Este modelo de Voellmy fue construido empíricamente para avalanchas de nieves
por combinación con modelos de fricción tipo Coulomb y las formulas de Chezy. Otros
trabajos importantes fueron realizados por Takahashi (1991), O’Brien & Julien (1985) y Julien
& Lan (1991). Takahashi distingue dos regiones para establecer las leyes de comportamiento
del fluido, a saber la zona macro-viscosa en la que la dependencia entre la tasa de corte y el
esfuerzo cortante es lineal y la zona inercial en la cual la dependencia es cuadrática mientras
que Julien y Lan mejoraron el modelo a tres parámetros desarrollado por O’Brien y Julien.
Diversos trabajos han sido realizados en áreas relativamente próximas al flujo de mezclas
líquido-sólido y en consecuencia de esencial interés para la comprensión de los aludes
torrenciales. Entre estos figuran los estudios: de flujos de ondas viscosas de Jan & Shen (1993)
y Lang et al. (1979), de deslizamientos de rocas por Trunk et al (1986), de flujo de lodos
debidos a Lang y Dent (1987) y de las avalanchas de nieve por Dent & Lang (1983). Para
hacer viable el modelaje numérico de los flujos, estos autores plantean la hipótesis de un
medio viscoso continuo como lo sugirieren experimentos verificados por Jan & Shen (1993).
En principio, estos flujos deberían ser considerados como multifásicos pero sus relaciones
constitutivas son muy complejas y aún no han sido formuladas de manera universal. Además,
5
la integración numérica de las ecuaciones del flujo multifásico presenta severas dificultades
computacionales.
Basados en los trabajos mencionados anteriormente, Ayotte y Hungr (2000) realizaron un
análisis dinámico del flujo inestable a través de aludes torrenciales de casos históricos en
ciertas regiones del mundo el cual les permitió hallar importantes relaciones entre las
propiedades de la pendiente y los parámetros de entrada del modelo que fueron ajustadas; Liu
& Lai (2000) presentan un modelo basados en la ley constitutiva propuesta por Julien & Lan
(1991) el cual fue cotejado con pruebas en canales experimentales, a escala de laboratorio,
obteniéndose un buen acuerdo entre las simulaciones experimentales y numéricas. Znamensky
& Gramani (2000) realizaron un análisis detallado del tamaño de grano contribuyendo a
modificar las curvas de graduación de la fase sólida y consecuentemente las propiedades
reológicas del alud torrencial. Rickenmann & Koch (1997) comparan varias leyes de
resistencia al flujo, obteniendo que los modelos basados en modelos reológicos turbulento
Newtoniano y de fluido Voellmy pueden reproducir los aludes torrenciales para eventos
reales.
Como se puede observar, muchos autores han propuestos trabajos que detallan la física de este
tipo de flujo pero solo algunos de ellos toman en cuenta los efectos del proceso
erosión/deposición del lecho y el comportamiento de las diferentes clases de sedimentos en el
flujo. Brufau et al. (2001) presentan un trabajo muy interesante donde consideran la tasa de
erosión/deposición tal como la plantean Egashira el al. (1997), como una función de la
concentración de sedimentos, obteniendo buenos resultados en la predicción de aludes
torrenciales para experiencias de laboratorio. Una revisión de once modelos reológicos es
propuesta para la caracterización de los aluviones torrenciales es realizada por Blanco (2003)
donde se afirmó que los modelos que deberían ser implantados son aquellos que tienen la
capacidad de modelar tanto el régimen de flujo laminar como el turbulento, para poder ser
aplicados en el análisis de eventos en campo.
Los esquemas de volúmenes finitos no-oscilatorios para las ecuaciones de aguas pocas
profundas, en una y dos dimensiones, han sido el sujeto de muchas investigaciones entre las
que se pueden mencionar las realizadas por Glasiter (1988), Alcrudo et al. (1992), Alcrudo y
Gacia-Navarro (1993), Nujic (1995) y Mingham & Causon (1998). Los progresos en el área
6
han sido desarrollados usando los esquemas de volúmenes finitos tipo Godunov que utiliza el
método Roe y la aproximación MUSCL (Monotone Upwind Scheme for Conservation Laws),
el cual es un método con precisión espacial de segundo orden, para evaluar los flujos en la
interfaces. Mas tarde, Sanders (2001) presenta un trabajo que detalla la aplicación del método
de los volúmenes finitos tipo Godunov en la solución de las ecuaciones de movimiento para
flujo con superficie libre.
En este trabajo se presenta un modelo numérico unidimensional que permite simular el flujo
durante la propagación de un alud torrencial. El fluido se representa a partir de seis modelos
reológicos distintos, incluyendo en uno de ellos los procesos de erosión/deposición. El
esquema de discretización aplicado para resolver numéricamente las ecuaciones de Saint-
Venant modificadas para incluir altas pendientes, que son utilizadas para representar la física
de los aludes torrenciales, es el método de Volúmenes Finitos tipo Godunov con precisión
espacial de segundo orden.
3. Objetivos y Alcances
La presente investigación incluye una amplia revisión de trabajos previos y su objetivo
principal es el desarrollo de un modelo numérico unidimensional, utilizando el método de los
volúmenes finitos, para la simulación y estudio de los aludes torrenciales considerando
diversos modelos de fricción o resistencia al flujo.
Para ello se cumplieron los siguientes objetivos específicos:
Desarrollo de un modelo numérico unidimensional integrado en la vertical de flujo con
superficie libre usando el modelo de fricción convencional propuesto por Manning
sobre una superficie inicialmente seca.
Desarrollo de leyes de resistencia al flujo a partir de diversos modelos reológicos para
tratar de representar el comportamiento de los aludes torrenciales en el modelo
numérico unidimensional.
7
Incorporación de los efectos de tasa de erosión/deposición del lecho en función de la
concentración de los sedimentos al modelo numérico unidimensional.
Validación de los resultados numéricos del modelo unidimensional con soluciones
analíticas, data proveniente de experiencias de laboratorio y con casos reales
simplificados y análisis de las discrepancias.
Realización de comparaciones de los resultados obtenidos entre los diferentes modelos
reológicos implementados en el modelo numérico unidimensional y análisis de las
discrepancias entre los mismos.
Comparación de los resultados numéricos del modelo numérico unidimensional con
resultados numéricos del paquete comercial FLO2D bajo las mismas condiciones de
estudio y análisis de las diferencias.
Este documento se organiza de la siguiente manera. Se presenta un capítulo inicial en el cual
se definen los conceptos necesarios para la comprensión y descripción teórica del
comportamiento de un alud torrencial; el tercer capítulo detalla los fundamentos matemáticos
y físicos del modelo desarrollado para la descripción del flujo durante un alud torrencial
mientras que en el cuarto capítulo se presenta la descripción del esquema numérico empleado.
El capítulo quinto y el sexto, contienen la validación y los resultados obtenidos por la
aplicación del modelo respectivamente para finalmente incluir un séptimo capitulo que
contiene conclusiones y recomendaciones más relevantes de la investigación.
8
1 CAPITULO I
ALUDES TORRENCIALES
El capítulo presenta los fundamentos teóricos necesarios para la comprensión y descripción
tanto física como matemática y los tipos de modelaje existentes para la predicción del
comportamiento de los aludes torrenciales, partiendo de su definición como sistemas de fases
dispersas líquidas y sólidas con propiedades reológicas condicionadas por los contenidos y
naturaleza de los componentes sólidos y el contenido de agua.
1.1 La Vertiente Un Sistema Físico Complejo
La noción de torrente es referida para una corriente de agua circulando típicamente en un
ambiente montañoso. Una corriente puede ser referida como un torrente tan pronto como la
pendiente media del lecho por el que circula exceda el 6%. Para pendientes de fondo en el
intervalo de 1% al 6%, se trata de un torrente fluvial. Para pendientes de fondo menor que 1%
se puede referir a un río. En adición a la pendiente, el suministro de sedimentos es
generalmente considerado como un ingrediente clave en vertientes torrenciales (Ancey, 2001).
Dependiendo en la naturaleza del suelo y el relieve, la pendiente puede proveer una gran
cantidad de material sólido, de tallas bastante diversas, a los torrentes. El material
suministrado tiene un rango de tamaño que varía de 1 µm a 10 m. La situación es muy
diferente cuando la corriente ocurre en un plano, donde el material de fondo es mucho mas
fino y típicamente comprendido entre 1 µm y 10 cm. Esto generalmente resulta en el
transporte que ocurre previo al alud. Finalmente, uno de los componentes principales de la
vertiente torrencial es el agua.
9
Debido a las dimensiones de las vertientes torrenciales (típicamente de 0.1 km2 a 1000 km2) y
las pendientes empinadas, los aludes son repentinos, cortos y violentos. El régimen de aludes
en pendientes es muy diferente en superficies planas, las cuales son caracterizadas por
variaciones lentas en la cinética con el tiempo.
En la figura 1-1 se puede observar una vertiente típica. La parte superior es generalmente
degradada y sometida a grandes procesos de erosión (cuencas). Esta vertiente suministra agua
y sedimento para el alud. Debajo de estas cuencas, el torrente entra a una sección angosta o
garganta, algunas veces con flancos muy abruptos, dependiendo de la naturaleza del suelo.
Luego el torrente es descargado sobre un abanico aluvial. La pendiente de transición entre la
garganta y el abanico provee información interesante sobre el equilibrio del fondo.
Generalmente, una vertiente con un abundante suministro de sedimento y transporte intenso
del arrastre de fondo es caracterizada por una transición suave del canal al abanico.
Figura 1-1: Una vertiente típica (Según Ancey, 2001)
Para ríos planos, el transporte de sedimento resulta de la acción del agua: el agua arrastra
materiales, los cuales a su vez empujan a otros a lo largo del fondo (transporte de arrastre de
fondo) o son mantenidos en suspensión como resultado de la turbulencia (suspensión). En un
contexto torrencial, tan pronto como la pendiente del fondo es suficientemente alta, la
gravedad tiene una influencia más pronunciada en el transporte de sedimento, ocasionando un
Cuencas
Garganta
Abanico Aluvial
10
transporte de arrastre de fondo más intenso y un nuevo modo de transporte aparece, el alud
torrencial, este puede ser definido como sigue (Ancey, 2001): Los aludes torrenciales son
mezclas altamente concentradas de sedimentos y agua, fluyendo como un sistema de una sola
fase. Los aludes torrenciales se muestran como un flujo de lodos y material proveniente de
derrumbes excepto que sus velocidades y las distancias que recorren son mucho más grandes
que las que alcanzarían cada uno de sus componentes de manera independiente. Usualmente
los términos de deslizamiento de lodo, avalanchas, inundaciones, etc. tienden a ser usados para
referir a los aludes torrenciales, el cual son fuente de confusión. En particular, los aludes
torrenciales son distintos del transporte por arrastre de fondo, el cual involucra la
movilización de sedimentos por agua. En este último mecanismo, partículas gruesas (arena,
grava y escombros) ruedan y se deslizan en una fina capa (sedimentos y arcillas) cerca del
fondo, llamada capa de fondo además es desplazada en suspensión como resultado de la
turbulencia del agua y el sistema es típicamente compuesto de dos fases distintas: fase líquida
(agua) y fase dispersa (sólido).
1.2 Tipo de Transporte
En laboratorio es posible simular un fenómeno torrencial usando canales inclinados con un
fondo móvil compuesto de arena y grava. Las figuras 1-2 y 1-3 muestran dos situaciones muy
diferentes que pueden ser observadas cuando la pendiente del canal es incrementada en tan
solo un pequeño porcentaje.
La figura 1-2 corresponde a una pendiente de 17%, con una descarga alta, las partículas finas
están en suspensión mientras que las partículas más gruesas son empujadas abajo en el fondo.
En dicha fotografía las partículas más grandes son estacionarias y el efecto del flujo de agua es
significativo. Las dos fases (sólida y liquida) están separadas y el agua fluye mucho más
rápido que las partículas sólidas. Cuando la inclinación excede el valor crítico
(aproximadamente 20%), cambios repentinos significativos pueden ser observados: ocurre una
11
transición muy rápida de un flujo de dos fases a un flujo de una fase. La mezcla toma una
apariencia de un fluido homogéneo “viscoso” fluyendo abajo del fondo.
Figura 1-2: Simulación a menor escala del transporte de arrastre de fondo en el laboratorio. La fase sólida y liquida son distinguida (el agua fue coloreada con fluorescencia). La
profundidad de flujo típica en este experimento fue 1 cm. (Según Ancey, 2001)
Figura 1-3: Simulación a menor escala de un alud torrencial en el laboratorio. Las fases líquidas y sólidas están mezcladas (Según Ancey, 2001).
La figura 1-3, correspondiente a una pendiente del 27% ilustra tal transición y el movimiento
de la masa resultante. Tal como es observado por Koulinski, (1993) y Lanzoni, (1993) la
inclinación del fondo θ es un factor clave en la dinámica del transporte de sedimentos. A partir
de lo observado en experiencia de laboratorios conducidos con flujos de agua en fondos
12
erosionables, se tienen diversos comportamientos del flujo de las mezclas sólido-líquido para
una descarga de agua lo suficientemente alta, en función de la pendiente del fondo a saber:
θ < 20%: el flujo de agua induce a un intenso transporte de arrastre cerca del fondo. Como
una primera aproximación, la descarga de agua y sólido (qw y qs respectivamente) son
linealmente aproximadas como28.2s wq qθ= . Esta relación es una expresión muy
simplificada de la descarga obtenida por Smart & Jeaggi (1983) o Rickemann (1992). Tres
leyes pueden ser distinguidas: el fondo está compuesto de partículas estacionarias (que
pueden erosionar), la capa del fondo (activo) en la que los sedimentos de todos los
tamaños quedan puestos en movimiento (rodando o deslizando), y una capa de agua,
donde las partículas finas están en suspensión. En flujos de dos fases de este tipo la
concentración de sólido (relación de volumen del sólido al volumen total) no excede el
30%.
θ > 20%: el transporte de arrastre de fondo es inestable. Los cambios ocurren dentro de un
flujo denso de una fase. La concentración de sólidos es muy alta, en un rango de 50% a
90% dependiendo del tamaño de la distribución de partículas. Tales flujos simulados en el
laboratorio corresponde a aludes torrenciales en el campo.
En el laboratorio, la transición de un transporte de arrastre de fondo a un alud torrencial es
reflejada por una discontinuidad en la concentración de sólido, se supone que tal
discontinuidad existe en la realidad, por lo menos en los Alpes (Iverson, 1997), pero los
mecanismos subyacentes son desconocidos.
1.3 Inicialización, Movimiento y Deposición de un Alud Torrencial
Tres fases pueden distinguirse en la vida de un alud torrencial. La fase inicial o de puesta en
movimiento conocida como inicialización, la fase de movilización propiamente dicha y en la
cual un pulso o una secuencia de ellos, se desplaza pendiente abajo y una fase final de
esparcimiento de deposición. A continuación se detallan estas tres fases.
13
1.3.1 Inicialización
La actividad torrencial de una vertiente depende de muchos parámetros. Los aludes
torrenciales son comunes en algunas áreas. En estas areas la frecuencia de aparición de aludes
también varía teniéndose que en algunas vertientes, muchos aludes torrenciales ocurren cada
año mientras que para otras son muy raros. Las condiciones para inicialización de los aludes
torrenciales usualmente incluyen:
Altas pendientes. Las altas pendientes son propensas a procesos de erosión de superficie
debido al transporte de sedimentos inducido por desbordamientos de agua almacenada o de
un cauce natural y los deslizamientos como consecuencia del desprendimiento del suelo
aportando grandes masas de material saturado de agua.
Abundante suministro de material no consolidado. Los aludes torrenciales pueden ser
originados de contribuciones simultaneas de muchas fuentes de material o por una fuente
única (derrumbes):
Procesos erosivos lentos y continuos en pendientes de la cuenca de drenaje forman
depósitos de materiales en el fondo del torrente. Tales depósitos pueden ser
subsecuentemente movilizados durante intensos aludes torrenciales. En este caso,
el alud torrencial originado como una lechada, primeramente de agua y finas
partículas, erosiona los canales y crece en tamaño. Probablemente surgen
inestabilidades en el transporte de arrastre de fondo y ocasionan la inicialización de
los aludes torrenciales. Usualmente el volumen de sólidos producido todos los años
por la erosión durante el drenaje de la cuenca es pequeño y así la cantidad de
sedimento que puede ser involucrada por un alud torrencial único es limitado (<105
m3). En la realidad, el desprendimiento de la superficie y la presencia de riachuelos
en la cuenca de drenaje son generalmente evidencias que un alud torrencial ha
recogido material grueso del fondo.
Antiguos depósitos no consolidados (depósitos masivos de rocas caídas, o material
no biodegradable como enseres producidos por el hombre, etc.) pueden movilizarse
dentro de derrumbes para formar aludes torrenciales. En este caso, el volumen de
material involucrado puede ser muy grande (>105 m3) dependiendo del volumen
14
total disponible para la fuente. Igualmente, ciertos suelos (por ejemplo: yeso) son
muy propensos a derrumbe y pueden suministrar material a los aludes torrenciales.
La inicialización es debido a una combinación de diversos mecanismos: rápida
filtración, incremento en la presión de poro, incremento en la carga, erosión al pie
del derrumbe de masas, etc. La presencia de una falla de superficie puede
claramente servir para identificar el origen del material.
Grandes fuentes de humedad. La mayor cantidad de aludes torrenciales ocurre durante o
después de caídas de lluvias fuertes y sostenidas. En algunos casos, derretimiento de nieve
puede ser suficiente para fórmalos. Hay muchas otras maneras en el cual el agua puede ser
proporcionada para la formación de los aludes torrenciales: descongelación del suelo,
repentino desagüe de lagos, rompimiento de presas, etc., pero estas son las menos
frecuentes. Un alto contenido de agua líquida parece ser una condición necesaria para que
el suelo sea saturado, este causa intenso corrimiento de la superficie y un incremento en la
presión de poro interna en el suelo.
Escasa vegetación. La vegetación juega un papel para la intercepción de las caídas de
lluvias (limitación de corrimiento) e incrementa la cohesión del suelo (anclaje de raíces).
Una vegetación reducida es una fuente potencial para la inicialización de un alud, pero una
amplia vegetación no inhibe completamente su aparición. Muchas observaciones han sido
hechas (Ancey, 2001), donde los aludes torrenciales también ocurren en áreas forestales.
1.3.2 Movimiento
Una vez iniciado el alud torrencial, un pulso se desliza pendiente abajo, mostrando tres zonas
diferenciadas, frente, cuerpo y cola, que pueden evolucionar con el tiempo, como se representa
esquemáticamente en la figura 1-4:
En el borde del pulso se presenta un frente granular que contiene concentraciones grandes
de rocas de diversas tallas. Materiales sólidos (rocas) parecen ser empujadas y ruedan
dentro del cuerpo del alud torrencial. El frente es usualmente más alto que el resto del
flujo. En algunos casos no es observado porque ambos (cuerpo y frente) han sido
15
sobrepuesto en el cuerpo (muy frecuentemente cuando el alud torrencial se propaga
encima del abanico aluvial), o los materiales están bien clasificados y no hay variaciones
significativas en la composición del volumen que puedan ser diferenciadas.
Frente
Cuerpo
Cola
Frente
Cuerpo
Cola
Figura 1-4: Diagrama Esquemático de la sección vertical transversal del movimiento de una ola de alud torrencial sobre un plano inclinado.
Detrás del frente, el cuerpo tiene la apariencia de un fluido compuesto por una mezcla de
roca y lodo. Usualmente, el cuerpo del alud torrencial no está en un estado estacionario,
representa un olaje transitorio. Este puede transportar bloques de cualquier tamaño,
muchos autores tienen reportado que las escombros de tamaño relativamente pequeños
parece flotar en la superficie libre mientras que los bloques de unos pocos metros en
tamaño se mueven libremente dando vueltas por todo el alud torrencial. Las características
morfológicas del alud torrencial son diversas dependiendo de las características de los
escombros (distribución de tamaño, concentración y mineralogía) y la geometría del canal
(pendiente, forma, sinuosidad y ancho). La velocidad del alud torrencial varía muy
ampliamente, en rangos de 1 m/s a 10 m/s (Major, 1996). Los aludes torrenciales más
rápidos son reportados con velocidades mayores a los 20 m/s (Major, 1996). Los aludes
torrenciales pueden parecerse a concreto húmedo, agua sucia o material granular pero para
cualquier característica y apariencia que tenga el alud, su viscosidad es mucho mas alta
que la del agua. La mayoría del tiempo, en el que el alud torrencial se encuentra en
movimiento lo hace en forma completamente laminar, pero también puede desplazarse con
turbulencia moderada o alta (Ancey, 2001).
16
En la cola, la concentración de sólido decrece significativamente y el flujo parece como un
flujo de lodo aguado, en régimen turbulento. Su espesor es bastante menor al del frente y
el cuerpo.
1.3.3 Deposición
La distancia que un alud torrencial puede viajar depende de la combinación en las
características mecánicas así como del volumen total del alud, la geometría del canal y la
inclinación del fondo. Es generalmente observado que un movimiento de alud torrencial que
se propaga sobre un terreno inclinado se detiene repentinamente, cuando el espesor alcanza un
valor crítico. Sin embargo, si dicho alud es canalizado, este puede viajar sin problema una
larga longitud sobre pendientes ligeramente inclinadas.
Deposito Deposito parcial Diques Lóbulo
Figura 1-5: Formas de los canales en la deposición de los aludes torrenciales (según VanDine,
1996)
Para algunos aludes torrenciales, ocurre una deposición constante a lo largo de todo el canal y
la formación diques en los bordes laterales del torrente. Dependiendo de la distribución de
tamaño de los materiales involucrado en el alud torrencial, un dique puede variar de forma. En
la mayoría de los casos, la sección transversal muestra un perfil curveado, como se muestra en
la figura 1-5, y cuando el depósito es seco, este es caracterizado por una fuerte cohesión. En
otros casos, la sección transversal tiene una superficie libre lisa e igual cuando está seca, el
depósito muestra una menor cohesión y apariencia como arena o un monto de grava. La
formación de diques no es sistemática. Después que un alud torrencial ha pasado a través de
un canal, el fondo del canal y los lados han sido barridos completamente de escombros.
Depósito parcial Depósito
17
El abanico fluvial es el área preferencial para la deposición del alud torrencial debido a la
disminución de la pendiente de fondo y al ensanchamiento del canal. La disminución de la
pendiente usualmente lleva a repentinas paradas del frente granular e incremento en la
profundidad del flujo para el cuerpo. En muchos casos, los aludes torrenciales se desbordan,
distribuyéndose como depósitos a los lados del canal, como un lóbulo ancho en un abanico
aluvial. Así como los diques, las características morfológicas de los lóbulos varían
ampliamente. Por un instante, el perfil longitudinal de un lóbulo puede ser curveado (forma de
parábola), recta, inclinado o de forma escalonada (ver figura 1-5). En los casos anteriores, el
depósito se parece un depósito aluvial. Moviéndose a bajas velocidades en los abanicos
aluviales, los aludes torrenciales pueden impactar o enterrar estructuras.
1.4 Clasificación de los aludes torrenciales
La diversidad en las características morfológicas de los aludes torrenciales suministra
evidencias de diferentes familias con comportamientos másicos específicos. Diversas
clasificaciones han sido propuestas en los últimos años, muchas basadas en el tamaño de la
distribución de material mientras que otras solo consideran el mecanismo de inicio. En esta
sección se presenta una clasificación propuesta por Ancey (2001) basada en el
comportamiento mecánico másico, de acuerdo con la manera en que se propaga el alud
torrencial, a saber aludes torrenciales lodosos, granular o volcánico.
1.4.1 Alud torrencial lodoso
El transporte de material es usualmente caracterizado por una amplia distribución de tamaños
de partículas, siendo suficientemente rico en material arcilloso, la matriz tiene una
consistencia de lodo y existe un contacto lubricador entre partículas grandes. La mayor parte
del tiempo, el comportamiento másico es típicamente viscoplástico. En promedio, el material
exhibe propiedades plásticas y viscosas (Coussot, 1997; Coussot & Piau, 1995 y Phillips,
18
1991). Cuando el nivel de esfuerzo excede el valor crítico (esfuerzo de cedencia), esta mezcla
fluye como lo hace un líquido. El esfuerzo de cedencia confiere propiedades específicas al
material; cuando un volumen dado de material es descargado y distribuido descendiendo un
plano inclinado, la profundidad del flujo decrece regularmente. Cuando la profundidad del
flujo alcanza un valor crítico (dependiendo del esfuerzo de cedencia y la inclinación del plano)
y el esfuerzo cortante es menor que el esfuerzo de cedencia, el flujo se detiene abruptamente.
En la mayoría de los casos el rango de esfuerzo de cedencia se encuentra entre 0.5 KPa y 15
Kpa. Los aludes torrenciales lodosos pueden usualmente propagarse sobre pendientes mayores
al 5%. Los límites de depósito son puntiagudos y bien delineados. Los escombros y las gravas
son distribuidos al azar en una matriz cohesiva de granos más finos. Los aludes torrenciales
lodosos son muy frecuentes en los Alpes (Ancey, 2001).
1.4.2 Alud torrencial granular
Aunque la distribución de tamaños es amplia, el material es pobre en partículas finas
(arcillosa). El comportamiento másico se supone que es friccionar-colisionar (Takahashi, 1991
y Jenkins & Askari, 1994), principalmente gobernado por colisión y fricción entre las
partículas más grandes. La energía de disipación es usualmente más grande para alud
torrencial granular que para el lodoso, el alud torrencial granular requiere pendientes
empinadas (>15%) para fluir, así como derrumbes muy grandes de rocas. Un alud torrencial
granular involucra una gran cantidad de material que puede viajar largas distancias sobre
pendientes suaves. Los depósitos son generalmente distribuidos, con grandes escombros
formando depósitos de masas y los escombros más finos transportados corriente abajo, debido
al desagüe.
1.4.3 Alud torrencial volcánico
La distribución de tamaños de partículas es estrecha y el material contiene sólo una pequeña
porción de material arcilloso. Este tipo de alud torrencial es típico de áreas de suelos
19
volcánicos (suelos compuestos de cenizas finas), pero puede ser observado en otros terrenos
(por ejemplo: yeso, marga). El comportamiento másico es supuesto friccionar/viscoso; a bajas
velocidades las partículas están en contacto y el comportamiento másico puede ser descrito
usando una ecuación friccionar de Coulomb. Para altas velocidades, debido a la dilatancia e
incremento en la inercia del fluido, el contacto entre los granos gruesos es lubricado por fluido
intersticial (Ancey & Coussot, 1999). En el laboratorio, tales materiales exhiben propiedades
muy sorprendentes: en reposo se parecen a un suelo fino (sedimentos) pero puestos en
movimiento se licuan repentinamente y pueden fluir aproximadamente como fluidos
Newtonianos. A diferencia del alud torrencial lodoso, el esfuerzo cortante es bajo y por lo
tanto, los volcánicos pueden moverse sobre pendientes suaves menores que 1%. Los depósitos
son muy finos, planos y parecen depósitos aluviales.
1.5 Modelaje de los Aludes Torrenciales
Hay muchas similitudes entre las avalanchas y los aludes torrenciales: ambos fluyen
rápidamente bajo efecto de la gravedad arrastrando materiales muy densos en pendientes
montañosas, lo que sugiere la posibilidad de estudiar los aludes a partir de las avalanchas. Otra
manera de abordar el modelaje de los aludes torrenciales es a través de su similitud con las
inundaciones, siendo ésta una primera aproximación que permite luego incluirle los efectos
resistencia al flujo causados por la presencia de materiales densos. Las aproximaciones para
desarrollar el modelaje de los aludes torrenciales que han sido propuestas pueden clasificarse
como estadísticas y determinísticas, descritas a continuación.
1.5.1 Aproximación Estadística
Varios investigadores han intentado relacionar la distancia de alcance (y otras características
de los aludes torrenciales) a las características de la vertiente. Extensos trabajos realizados por
científicos e ingenieros han permitido la obtención de diferentes ecuaciones. Usando análisis
20
de regresión, Zimmermann et al. (1997) encontraron que la variable mas significativa en la
determinación de la distancia de alcance era la superficie de la vertiente S expresada como
α=0.2S-0.26 donde S está [en km2] y α es el ángulo entre la línea de unión del tope del
comienzo de la vertiente al punto de parada con respecto a la horizontal. Estudios realizados
por Rickenmann (1999) permitieron la obtención de una correlación entre la distancia de
alcance y el volumen del alud torrencial usando datos de 82 eventos infirió estadísticamente la
siguiente ecuación:
0.25350L V= (1.1)
donde L (m) es la distancia máxima que un volumen dado de alud torrencial V (m3) puede
viajar. Igualmente, Rickenmann (1999) encontró que un alud torrencial lodoso, la descarga
pico Qp (m3/s) puede ser estimada en:
0.80.0225pQ V= (1.2)
Para un alud torrencial granular, esta puede ser estimada como:
0.780.135pQ V= (1.3)
Es de hacer notar que la descarga pico es mucho más alta para aludes torrenciales granulares
que para aludes torrenciales lodosos.
1.5.2 Aproximación Determinística
Las aproximaciones determinísticas de los aludes torrenciales han sido basados en gran parte
en la escala espacial y modelo de complejidad que describen el comportamiento de las
avalanchas e inundaciones; como por ejemplo para avalancha el modelo de Perla-Cheng-
McClung, Voellmy, etc. y para inundaciones la adaptación de efectos resistencia al flujo a los
modelos de rompimiento de presas. En su mayoría estas aproximaciones coinciden en el
modelo de la profundidad promedio ha sido propuesta con las ecuaciones de masa y momento
lineal.
21
1.5.2.1 Modelo Empírico: adaptación del modelo PCM al comportamiento del alud
torrencial.
Zimmermann et al. (1997) aplicaron el modelo dinámico de avalanchas de Perla-Cheng-
McClung para predecir el comportamiento de los aludes torrenciales. Para ello consideraron
que un alud torrencial puede ser aproximado al movimiento de un bloque sólido de masa M,
sometido a una fuerza friccionar incluyendo dos contribuciones:
Una contribución friccionar (suelo / alud torrencial): FC=µ M g cosθ
Un arrastre dinámico: FD=Dv2
Donde µ y D son dos parámetros, θ es la pendiente de fondo, g la gravedad. La ecuación de
momento en dirección aguas abajo puede ser expresada como sigue:
( ) 21 sin cos2
dv Dg vdx M
θ µ θ= − − (1.4)
La elevación de la zona en la que se produce el evento es representada por un perfil, que se
extiende desde el tope de la zona de inicio hasta el final de la zona de alcance de un alud
torrencial.
Los valores de los dos parámetros µ y D han sido ajustado para 49 eventos que han ocurrido
en los Alpes Swiss. Este tamaño de muestra puede ser considerado insuficiente para trazar
correlaciones fiables, pero puede proveer tendencias útiles: µ y D son independientes del
volumen V; µ depende de la superficie de la vertiente S. De acuerdo a Zimmermann et al.
(1997), esta dependencia µ y S entre muestra que el desagüe sobre la cuenca de drenaje afecta
la concentración de sólidos y el coeficiente friccionar µ. Proponiéndose dos correlaciones:
Valores bajos de viscosidad: µ=0.18S-0.30
Valores altos de viscosidad: µ=0.13S-0.35
La relación masa-arrastre M/D depende de la distribución de tamaños encontrando que:
Material fino (arcilla, pocos bloques): 20≤M/D≥60 (promedio: 40),
Grano fino y materiales gruesos (arcilla, escombros): 80≤M/D≥180 (promedio:
130),
22
Materiales granulares (arena y grava): 40≤M/D≥100 (promedio: 70).
1.5.2.2 Modelos de profundidad promedio
En estos modelos, la principal aproximación es considerar el material involucrado en un alud
torrencial como un fluido homogéneo cuyo comportamiento puede ser descrito a través de una
ecuación constitutiva. Muchos experimentos con barros y escombros han permitido lograr
comprender la reología de estos materiales (Coussot, 1997 y Phillips, 1991). En un estado
estacionario, el esfuerzo cortante puede ser escrito:
( ),fτ γ ζ= & (1.5)
donde τ denota el esfuerzo cortante, γ& es la tasa de corte, y ζ está referido a un grupo de
parámetros mecánicos los cuales dependen del comportamiento másico (este grupo de
parámetros puede incluir la concentración φ y otros parámetros pertenecientes a la distribución
de diámetros de la fase sólida). Dependiendo del tipo de alud torrencial, varias ecuaciones
constitutivas han sido propuestas para describirlos:
Los aludes torrenciales volcánicos pueden ser descrito usando la ecuación constitutiva de
Newton como primera aproximación: ( )τ µ φ γ= & . La viscosidad es usualmente muy alta,
con valores típicos de 103 Pa.s (Wan & Wang, 1994).
En el caso de los aludes torrenciales lodosos su comportamiento es mejor descrito usando
un modelo de Bingham o Herschel-Bulkley: ( ) ( ) nc kτ τ φ φ γ= + & , donde τc es el esfuerzo
de cedencia, k un parámetro, n un índice de corte (n≤1, n=1 correspondiendo al modelo de
Bingham). Para que un flujo pueda ocurrir ( )0γ >& , el esfuerzo cortante debe exceder el
esfuerzo de cedencia τc. Por ejemplo, en los Alpes, el rango de los valores de esfuerzos de
cedencia van desde 0.5 kPa a 15 kPa y el radio τc/k usualmente en el rango 3-10 s-1
(Coussot, 1996).
Los aludes torrenciales granulares tienen un comportamiento friccionar y/o colisionar.
Existe una no continuidad concerniente a las ecuaciones constitutivas para describir los
23
flujos friccionar y colisionar. Diferentes modelos han sido propuesto con diferentes
mecanismo de generación de esfuerzos: modelo colisionar Bagnold (Takahashi, 1991),
modelos cinético colisionar (Jenkins, 1994), ecuaciones constitutiva colisionar-friccionar
(Ancey, 1997), modelos basados en efectos de presión de poro (Iverson, 1997), etc.
En el caso de un fluido Herschel-Bulkley que fluye en un plano inclinado un ángulo θ, las
ecuaciones de conservación resultantes son:
0h hut x
∂ ∂+ =
∂ ∂ (1.6)
2
sin / cosphu hu hg ght x x
θ τ ρ θ∂ ∂ ∂
+ = − −∂ ∂ ∂
(1.7)
donde u (barra) es la velocidad promedio en la sección, h la profundidad, τc es el esfuerzo
cortante en el fondo
Generalmente las ecuaciones de conservación deben ser resueltas numéricamente sólo si no
tiene solución analítica. Estas pueden ser resueltas usando el modelo numérico de volúmenes
finitos para ecuaciones diferenciales hiperbólicas (Laigle & Coussot, 1997). Estos modelos
son usados en problemas de ingeniería cuando resultados precisos en una topografía compleja
son necesarios. Aproximaciones analíticas o soluciones cuasi-analíticas han sido también
propuesta por Hunt (1983 y 1994), mas recientemente por Huang & Garcia (1997).
/ cosrF u gh θ= (1.8)
Coussot (1997) usó un modelo de profundidad promedio para demostrar que la superficie libre
del flujo de los fluidos de Herschel-Bulkley es inestable cuando el numero de fraude obtenido
por la ecuación (1.8) excede un valor crítico, aproximadamente 0.1. Cuando Fr>0.1, ondas,
conocidas como roll waves, se propagan a lo largo de la superficie libre. Este fenómeno puede
explicar la presencia de olas observadas, con frecuencia, en aludes torrenciales lodosos. Otro
problema de gran interés es la forma de los depósitos. El perfil longitudinal de los lóbulos y
diques pueden ser calculados usando ecuaciones similares a (1.6) y (1.7) (para ecuaciones de
movimiento más generales son planteadas bidimensionales y tridimensionales). En el caso de
un lóbulo en movimiento sobre un plano inclinado con θ, el perfil longitudinal h(x) es dado
por:
24
2sin sin sinln 1
cosc c c
g g gx h h
ρ θ ρ θ ρ θτ θ τ τ
⎛ ⎞= − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠ (1.9)
La ecuación (1.9) puede ser usada para determinar el esfuerzo cortante en el campo. De las
ecuaciones presentadas se pueden obtener dos parámetros adimensionales como son el número
de Reynolds generalizado y el número de Froude donde se introduce el término de esfuerzo
cortante (Coussot, 1997 y Huang & Garcia, 1997):
2 2sin,n
ec
u h gR GK uρ ρ θ
τ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.10)
Estos parámetros adimensionales pueden ser usados para predecir el comportamiento de
aludes torrenciales en modelos a pequeña escala.
1.6 Relaciones Reológicas y Ecuaciones Constitutivas
El termino “reología” fue introducido por el profesor Bingham de Lafayette College, Indiana y
se refiere al estudio de los fenómenos relacionados con el flujo y la deformación de los
materiales.
Las relaciones reológicas de estado o ecuaciones constitutivas son ecuaciones que relacionan
los esfuerzos y variables de deformación. Estas ecuaciones son necesarias cuando el tensor de
los esfuerzos no es despreciable y requiere ser calculado. En general, estas relaciones son
sumamente complejas, pero en la mayoría de los casos es suficiente con una aproximación
más sencilla, que se conoce como fluido newtoniano, en los cuales existen relaciones lineales
entre las componentes del tensor de los esfuerzos y las componentes del tensor de la tasa de
deformación. Cuando esa relación no es lineal los fluidos son conocidos como fluidos no
Newtonianos, los cuales presentan un comportamiento curioso, en el sentido que resultan poco
familiares porque difieren de los del agua que es el líquido más común. Por lo tanto es
conveniente tener una idea acerca de las mismas con miras a las aplicaciones de la mecánica
de los fluidos, tanto tecnológicamente como para otras disciplinas científicas.
25
Para aludes torrenciales, se presentan diversos modelos reológicos, como fueron recopilados
por Blanco (2003). Un resumen de las características de los distintos modelos se presenta a
continuación.
1.6.1 Modelos Newtonianos
La ecuación de Manning es la ecuación básica para determinar el caudal de flujo uniforme en
canales abiertos la cual fue derivada hace muchos años por R. Manning (1816-1897).
Refinamientos continuos han permitido obtener los mejores valores de coeficientes empíricos,
n.
La mayoría de los trabajos orientados a la compresión del comportamiento de los aludes
torrenciales tienen como primer paso para lograr el modelaje de la propagación de estos
frentes, la adaptación de modelos utilizados para la simulación de rompimiento de presas,
donde la ecuación de Manning esta ampliamente ajustada para este tipo de fenómeno.
2 2
2 4/3fh
n qSA R
= (1.11)
siendo Rh es el radio hidráulico, q el caudal de descarga, n el coeficiente de Manning.
Takahashi et al. (2000) utilizó un modelo del tipo Newtoniano para modelar aludes
torrenciales cuya matriz líquida es altamente viscosa, la cual se presenta cuando el flujo recoge
a su paso partículas finas altamente cohesivas de manera que los esfuerzos viscosos son mas
importantes que los esfuerzos debido a colisiones inter-partículas. En su modelo, Takahashi
considera que la viscosidad aparente µa de la mezcla puede ser expresada en función de la
concentración de partículas como
1.82
*
1−
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠
aCC
µ µ (1.12)
donde C es la concentración local de partículas (adimensional), C* es la concentración de
partículas empacadas (adimensional) y µ la viscosidad dinámica
26
Dado que este modelo no incluye un esfuerzo de cedencia, para representar la etapa final
(culminación) se considera que la deposición de partículas obedece la ley de Stokes,
definiendo este proceso a través del flujo de partículas que sedimentan como
( ) ( )2 cos2
9p
s
d gN C g C
σ ρ θµ
−= − (1.13)
donde dp es el diámetro de los partículas, ρ la densidad del fluido, σ la densidad de las
partículas, g la aceleración de gravedad, θ la pendiente del canal y g(C) es la función
( ) 1
a
Cg C µµ−
= (1.14)
Cuando todas las partículas sedimentan, se considera que el movimiento “se congela”,
deteniéndose el flujo.
1.6.2 Modelos Plástico de Bingham
El modelo plástico de Bingham incorpora un esfuerzo de cedencia o esfuerzo inicial no nulo
para que el fluido comience a moverse. Las ecuaciones constitutivas se expresan como
0 0
0
si
0 si
ij p ij ij
ij ij
τ τ µ γ τ τ
γ τ τ
= + >
= ≤ (1.15)
Este modelo ha sido ampliamente utilizado tanto para la caracterización reológica de muestras
reconstituidas a partir de material sedimentado en aludes torrenciales como para la
implementación de modelos numéricos. Los parámetros del modelo son ajustados de manera
distinta según los distintos autores (Malet et al., 2003, Armanini et al, 2003 y McArdell et
al.,2003)
27
1.6.3 Modelos Ley de Potencia
A pesar de existir consenso en la comunidad científica internacional de la necesidad de incluir
un esfuerzo de cedencia inicial en la expresión del esfuerzo cortante para modelar el
comportamiento reológico de los aludes torrenciales, algunos trabajos han sido presentados
que utilizan como base el modelo de ley de potencia. Las ecuaciones constitutivas se expresan
como:
nuKy
τ⎛ ⎞∂
= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (1.16)
donde K es el índice de consistencia.
1.6.4 Modelos Herschel-Bulkley
Sin ninguna duda, este es el tipo de modelo (junto con algunas de sus variantes) que ha sido
más utilizado para la simulación de aludes torrenciales. Recientemente, ha sido ampliamente
aplicado tanto para determinar el comportamiento experimental de muestras reconstituidas a
partir de depósitos naturales de sólidos provenientes de aludes torrenciales como para el
modelaje numérico. La presencia de un esfuerzo de cedencia así como la disminución de la
viscosidad aparente al aumentar la tasa de corte, le permiten representar de manera cualitativa
las tendencias típicamente observadas en la naturaleza.
Las ecuaciones constitutivas se expresan como:
0n
ij ijKτ τ γ= + (1.17)
Algunos autores logran expresar los parámetros reológicos en función de la concentración
volumétrica de sólidos como Martino (2003):
12.0710 0.0589 ceτ = (1.18)
9.38260.0020 cK e= (1.19)
28
1.772n = (1.20)
donde c es la concentración volumétrica de sólidos.
1.6.5 Fluido Visco-Plástico Generalizado
Conocido en inglés como Generalized Viscoplastic Fluid (GVP) se expresa como:
0 cos sin nm gh Kτ τ φ ρ φ γ= + + (1.21)
donde τ0 representa el esfuerzo de cadencia, K el índice de consistencia, n la potencia , φ el
ángulo de fricción interna, ρm: densidad promedio del lodo, g la aceleración de gravedad y h la
profundidad total del flujo.
La suma de los dos primeros términos representa el esfuerzo de cedencia (que ahora requiere
de dos parámetros para su ajuste) en el fondo. El factor ρmgh representa el esfuerzo normal
(parte hidrostática) en el fondo, por lo que esta ecuación involucra una relación entre los
esfuerzos de corte y los esfuerzos normales.
Una variación del mismo fue introducida por Chen (1988) escribiendo los esfuerzos como:
1cos sin nzx c pτ φ φ µ γ= + + (1.22)
2n
zz pτ µ γ= − + (1.23)
donde c es la concentración volumétrica de sedimentos, p la presión, µ1 el índice de
consistencia y µ2 el índice de consistencia cruzada.
Esta relación fue utilizada por Arattano & Franci (2003) quienes concluyen que, desde el
punto de vista macroscópico, este modelo conduce en muchos casos a una descripción acorde
con eventos reales y pruebas de laboratorio.
29
1.6.6 Fluido inercial dilatante
Uno de los modelos mas utilizados es el denominado Fluido Inercial Dilatante. Según el valor
de un número adimensional denominado número de Bagnold, dos expresiones distintas se
utilizan para estimar el esfuerzo cortante. El número de Bagnold se expresa como (Takahashi,
1991):
1/ 2 2s
f
dN ρ λγ
µ= (1.24)
donde ρs es la densidad de los sólidos, λ la concentración lineal de sólidos en la mezcla agua-
sólidos, d el diámetro promedio de las partículas, µf la viscosidad del fluido, γij el tensor tasa
de deformación.
El esfuerzo cortante se calcula de acuerdo a
2 2 2sin si N 450sa dτ αρ λ γ= > (1.25)
3/ 22.25 si N 40fτ λ µ γ= < (1.26)
donde a es un parámetro experimental, α el ángulo de fricción interna del material granular
(tg(α)=0.75 (N<40)) y (tg(α)=0.32 (λ<12) y tg(α)=0.4 (λ>12) (N>450)).
Cada una de estas expresiones define un régimen de flujo: para N<40 se dice que el flujo es
macro-viscoso (dependencia lineal entre el esfuerzo y la tasa de corte) mientras que para
N>450 el flujo es inercial (dependencia cuadrática entre el esfuerzo y la tasa de corte).
1.6.7 Modelo Bilineal
Introducido por Locat (1997), este modelo se expresa como
00
cτ τ ηγ
γ γ⎛ ⎞
= + + ⎜ ⎟+⎝ ⎠ (1.27)
30
donde τ0 es el esfuerzo cortante, γ la tasa de corte, γ0 la tasa de corte en el punto de cedencia, η
la viscosidad plástica (τc/γ0).
Este modelo combina los modelos de Herschel-Bulkley (con n=-1) a bajas tasas de corte con
plástico de Bingham a altas tasas. Aun cuando su autor pregona la superioridad de este modelo
con respecto al de Herschel-Bulkley, luego de analizar diversas muestras naturales, su
receptividad en la comunidad científica internacional ha sido baja. Su comparación con los
modelos plástico de Binham y Herschel Bulkley para el ajuste reológico de muestras naturales
por Malet et al.(2003) condujo a mejores resultados con el modelo de Hershel-Bulkley.
1.6.8 Liu & Huang
Este modelo extiende el modelo unidimensional de Julián & Lan (1991) a tres dimensiones.
Las relaciones constitutivas se expresan como
00 ij d c II ij II
II
ττ µ µ ε ε τ τ
ε⎛ ⎞
= + + >⎜ ⎟⎝ ⎠
(1.28)
00 ij IIε τ τ= < (1.29)
donde τij es el tensor de esfuerzos, εij es el tensor tasa de deformación, τ0 es el punto de
cedencia, µd la viscosidad dinámica, µc un parámetro dispersivo turbulento, εII el segundo
invariante del tensor tasa de deformación, τII el segundo invariante del tensor de esfuerzos.
Estas relaciones se introducen en un modelo de diferencias finitas con dos capas (la superior o
tapón y la inferior o capa limite). Comparando con soluciones analíticas en canales y con
eventos reales en Taiwan, Liu & Huang (2003) concluyen que el modelo permite predecir con
bastante éxito las etapas de detención y de deposición.
1.6.9 O’Brien & Julien
Este modelo se expresa como:
31
2y Cτ τ ηγ γ= + + (1.30)
donde τy es el esfuerzo de cedencia (incluye el esfuerzo de cedencia cohesivo y el esfuerzo
cortante de Mohr-Coulomb) η la viscosidad dinámica, γ la tasa de deformación, C el
coeficiente inercial de esfuerzo de corte dado por:
( )2 2,m m v sC l f C dρ ρ= + (1.31)
l la longitud de mezcla de Prandtl, ds el tamaño de los sedimentos y Cv la concentración
volumétrica de sedimentos.
Este modelo constituye la base reológica del software FLO-2D (O’Brien et al., 1993).
Aplicaciones recientes en el modelaje de eventos naturales en Italia por Aleotti & Polloni
(2003) y Venezuela (García et al., 2003) conducen a predicciones aceptables tanto en la
deposición final como en la predicción de áreas inundadas.
1.6.10 Fluido de Voellmy
Algunos modelos se expresan en términos de la pendiente de fricción. En el caso del fluido de
Voellmy (Hungr, 1995) la pendiente de fricción se expresa como:
2
2 2 cos tgfr
q qS
h C hα δ= + (1.32)
donde Sf es la pendiente de fricción, q el caudal de descarga, h la profundidad, hr el radio
hidráulico, C el coeficiente de Chezy, α la pendiente del canal y δ el ángulo de fricción
interna.
Este modelo fue desarrollado originalmente para describir avalanchas de nieve. Su
comparación con otros seis modelos (McArtell et al., 2003) condujo a excelentes resultados.
32
1.6.11 Modelo de Egashira, Miyamoto & Itoh
Presentado por Egashira et al. (1997) este modelo expresa el esfuerzo cortante en función de la
tasa de corte como:
( ) ( ) ( )5/32 1/3 2 2 2/3 2 21 1s s d fp tg k e c d k c c dστ φ ρ γ ρ γρ−= + − + − (1.33)
donde ps es la presión estática de contactos inter-partículas, φs el ángulo de fricción entre las
partículas, ρ la densidad del agua, Kd una constante empírica (0.0828), e el coeficiente de
restitución, σ la densidad de las partículas sólidas, c la concentración en volumen de
sedimentos, d el tamaño de partícula de los sedimentos y Kf una constante empírica (0.16).
Para la presión ps proponen la expresión:
( )1/
*
cosn
scp p g h zc
ρ θ⎛ ⎞
⎡ ⎤= − − ⎜ ⎟⎣ ⎦⎝ ⎠
(1.34)
donde p es la presión, g la aceleración de gravedad, h la profundidad total, z la profundidad, θ
el ángulo de inclinación, c la concentración de sedimentos y c* la concentración de sedimentos
empacada.
La tabla 1-1 muestra la diversidad de parámetros que presentan los diversos modelos,
especificando tanto los parámetros utilizados como la dependencia funcional entre el esfuerzo
cortante y la tasa de deformación. Un análisis mas detallado de cada uno de estos parámetros
es detallado en el trabajo realizado por Blanco (2003).
Los parámetros que aparecen en la siguiente tabla representa µ: viscosidad dinámica, τ0 es el
esfuerzo de cedencia, K el índice de consistencia, n la potencia (adimensional), φ el ángulo de
fricción interna, c la concentración de sedimentos, c* la concentración de sedimentos
empacada, d el tamaño de partícula de los sedimentos, γ0 la tasa de corte en el punto de
cedencia, µt la viscosidad turbulenta o parámetro turbulento, Ch el coeficiente de Chezy, hr el
radio hidráulico y θ el ángulo de inclinación.
33
Modelo µ τ0 K n n=1 n=2 φ c c* d γ0 µt Ch Rh θParámetro
experimentalNúmero de parámetros
1 Newtoniano X 1
2Pástico de Bingham X X 2
3 Ley de Potencia X X 24 Herschel-Bulkley X X X 3
5Visco-Plástico Generalizado X X X X 4
6aInercial dilatante (inercial) X X X X X 5
6bInercial dilatante (macro viscoso) X X X 3
7 Bilineal X X X 38 Liu & Huang X X X X X 59 O’Brien & Julien X X X X 410 Voellmy X X X 3
11Egashira, Miyamoto & Itoh X X X X X X X X (3) 8
Tabla 1-1: Cuadro resumen modelos reológicos para Aludes Torrenciales
Los diferentes tipos de relaciones friccionar al flujo presentado anteriormente pueden ser
resumidas en tres grandes categorías de leyes de flujo monofásicas, según Iverson (1997) de la
siguiente manera:
Leyes del flujo turbulento (Ej.: ley del flujo Voellmy, Ecuación empírica de Manning,
Bartelt et al., 1999)
Leyes del flujo laminar (Ej.: ley del flujo Bingham, la formulación Herschell-Bulkley,
Coussot, 1997)
Leyes de flujo grano-cortante (Ej.: la formulaciones inercial-dilatante, Takahashi,
1991).
En este trabajo se modelará numéricamente el comportamiento de los aludes torrenciales
basándose en una aproximación determinística a través del modelo de profundidades
promedios usando las ecuaciones de conservación de masa y momento lineal en canales de
sección transversal tanto rectangular como no rectangular, incluyéndoles la pendiente de fondo
(por efectos de gravedad) y una comparación sistemática entre ciertas categorías de leyes de
flujo (pendiente de fricción) donde se seleccionó dos ejemplos de las tres categorías de las
relaciones de resistencia para ser desarrolladas y aplicadas: ecuación empírica de Manning,
34
flujo Voellmy, flujo Inercial-Dilatante, flujo Bingham simplificado, flujo Bingham con
solución de la ecuación cúbica y la formulación de Takahashi.
35
2 CAPITULO II
MODELO FÍSICO Y MATEMÁTICO
En este capitulo se presentan la descripción del modelo físico y matemático aplicado para
predecir el comportamiento de los aludes torrenciales. Basándose en los fundamentos teóricos
presentados en el capitulo anterior, se puede afirmar que el comportamiento de los aludes
torrenciales pueden ser aproximados matemáticamente al de una onda viscosa, considerándose
un flujo impermeable, incompresible, viscoso y con superficie libre por un canal de pendiente
pronunciada y lecho seco.
2.1 Ecuaciones que rigen los Aludes Torrenciales
La suposición básica para un tratamiento matemático en dinámica de fluidos es que el medio
es continuo: el material es caracterizado físicamente para que se comporte continuo en el
tiempo y en el espacio. Las características promedio son definidas por integrales en volumen o
superficie y pueden ser diferenciables continuamente en el tiempo y en el espacio.
El flujo unidimensional, impermeable de un fluido que fluye en un canal abierto inclinado,
esta regido por un sistema de ecuaciones no lineales en derivadas parciales, hiperbólicas, que
se obtienen por simplificaciones a las ecuaciones más generales de continuidad y momento
lineal. A continuación se expresan cada una de ellas en función de las velocidades promedio y
profundidades.
36
2.1.1 Conservación de Masa
Para el flujo de un fluido, la ecuación de conservación de la masa se expresa como:
. 0tρ
ρu∂+ ∇ =
∂
siendo u la velocidad y ρ la densidad del fluido.
Para el flujo unidimensional de un fluido incompresible tenemos que estas se expresan como
(Munson et al., 1976):
0A A VV At x x
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ (2.1)
donde A es el área de la sección transversal del canal [L2], V la velocidad promedio del Flujo
[L/T], t es el tiempo [T], y x es el eje coordenado en la dirección horizontal [L].
2.1.2 Conservación de Momento lineal
La conservación del momento lineal se expresa como (Munson et al., 1976): 2
2
1sin
V V P VV g
t x x zθ ν
ρ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂
+ = − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ (2.2)
donde ν es la viscosidad cinemática [ML-1T-1]. P la presión [ML-1T-2], θ la pendiente del
fondo [adimensional], ρ la densidad del fluido [ML-3], g la aceleración de gravedad [LT-2], y x,
z los ejes coordenados en la dirección del lecho del canal de inclinación θ, y normal a ella [L].
El término de presión se expresa como:
1 1 1cos cos cosP P x P zg g gz z x x x
θ θ θρ ρ ρ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − = − = −∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2.3)
Por definición el esfuerzo cortante [ML-1 T-2] es expresado:
0Vz
τ ρν∂
=∂
(2.4)
Sustituyendo las ecuaciones (2-3), (2-4) en la ecuación (2-2) e introduciendo la condición
cinemática (Munson et al., 1976), nos queda:
01cos sin
V V hV g g
t x x hτ
θ θρ
∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +
∂ ∂ ∂ ∂ (2.5)
37
La ecuación (2-5) con la ayuda de las condiciones de contorno en el lecho del canal: para h=0,
V=0 y τ=τo, puede ser expresada como:
1cos sin oV V h
V g gt x x h
τθ θ
ρ∂ ∂ ∂
+ = − + −∂ ∂ ∂
(2.6)
En la ecuación (2.6) se definen los términos de pendiente de fondo oS y la pendiente de
fricción fS de la siguiente manera:
sin oo fS S
ghτ
θρ
= = (2.7)
por lo tanto:
( )cos o fV h Vg V g S St x x
θ∂ ∂ ∂
+ + = −∂ ∂ ∂
(2.8)
2.1.3 Ecuación Conservativa de Saint Venant
Un canal abierto unidimensional es usualmente descrito en términos de profundidades y
velocidades, y la evolución de esas variables están gobernadas por la ecuación de Saint
Venant, ella explica simplemente la conservación de masa y momento lineal a lo largo de la
dirección del flujo (Cunge et al., 1980). Las hipótesis bajo las cuales está descripción es
aplicada se resumen a continuación:
La distribución de presión es hidrostática.
La pendiente de fondo es pequeña, la cual no será considerada en este trabajo visto
nuestro interés por el flujo en altas pendientes.
Las variaciones de forma del canal con la distancia son muy suaves.
La fricción en el fondo y las paredes del canal es dominante sobre los esfuerzos
cortantes internos.
Expresando las ecuaciones (2.1) en forma de divergencia tenemos:
( ) 0AVA
t x∂∂
+ =∂ ∂
(2.9)
38
Multiplicando la ecuación (2.8) y la ecuación (2.9) por A y V, respectivamente, y luego
sumándolas, nos queda:
( ) ( ) ( )2c o f
AVV A gAy F gA S S
t x∂ ∂
+ + = + −∂ ∂
(2.10)
donde Fc es la componente de la fuerza hidrostática en la dirección x, y es la profundidad
desde la superficie libre hasta el centroide de la sección transversal del canal mojado. Las
ecuaciones (2.9) y (2.10) pueden ser integradas sobre una celda de longitud ∆x y escritas de
forma matricial de la siguiente forma:
x x x
dx dx dxt x∆ ∆ ∆
∂ ∂+ =
∂ ∂∫ ∫ ∫FU S (2.11)
donde las variables conservativas (U), flujos (F) y los términos fuentes (S) vienen dados por:
( )2
0
c o f
A VAy
VA V A gAy F gA S S
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
U F S (2.12)
2.2 Relaciones de Resistencia al Flujo o Reología en Aludes Torrenciales
En esta parte se realizara la incorporación del término fuente de fricción Sf que se presenta en
la ecuación (2.10) dentro de los modelo reológicos seleccionados en la sección 1.6 (ecuación
empírica de Manning, flujo Voellmy, flujo Inercial-Dilatante, flujo Bingham simplificado,
flujo Bingham con solución de la ecuación cúbica y la formulación de Takahashi).
2.2.1 Ecuación Empírica de Manning
El flujo uniforme en un canal abierto obtenido de la ecuación de Manning se escribe de la
siguiente manera: 2
4 / 3fh
n V VS
R= (2.13)
39
donde n es el coeficiente de Manning [L-1/3T] y Rh es el radio hidráulico definido como
hARP
= [L] siendo P el perímetro mojado [L].
2.2.2 Fluido Voellmy
La relación de resistencia de fluido Voellmy fue inicialmente desarrollado empíricamente para
describir el flujo de avalanchas de nieves por combinación de un termino de fricción tipo
Coulomb para la resistencia del flujo sobre superficies inclinadas y el coeficiente de
resistencia de flujo Chezy. Hungr (1995) aplicó esta relación en el flujo de aludes torrenciales
obteniéndose excelentes resultados. Esta relación viene expresada:
2 cos tanf
V VS
hCθ δ= + (2.14)
donde δ es el ángulo de fricción interna, Rh: radio hidráulico [L] y C el coeficiente de
resistencia al flujo Chezy [L1/2T-1].
2.2.3 Fluido Inercial-Dilatante
La relación de resistencia de flujo inercial-dilatante es una versión simplificada de la obtenida
por Takahashi (1991), considera los efectos del flujo grano-cortante y es expresada como:
2
3 2fVS
h ζ= (2.15)
donde ζ es un parámetro que considera la rugosidad [L1/2T-1].
2.2.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica
La ley de flujo de Bingham (Bird et al., 1960),
40
0o B B o B
o B
si
si
τ τ µ γ τ τ
γ τ τ
= + >
= ≤ (2.16)
donde τo es el esfuerzo cortante en el lecho [ML-1 T-2], τB es el esfuerzo de cedencia o de
Bingham [ML-1T-2] y µB es la viscosidad plastica o de Bingham [ML-1T-1].
La relación para la pendiente de fricción en la línea centrada de un canal rectangular es
expresada (ecuación (1.15)) como:
ofS
ghτρ
= (2.17)
donde ρ: densidad del alud [ML-3] g la aceleración de gravedad [LT-2] y h la profundidad.
La relación entre el esfuerzo en el fondo, la velocidad y la profundidad se expresa por medio
de la ecuación cúbica (Hungr, 1995, Rickenmann, 1991):
3 2 322 3 2 0B
o B o Bq
hµ
τ τ τ τ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.18)
La solución de ésta ecuación para cada valor particular de la velocidad y la profundidad se
presenta a continuación. Manipulando la ecuación (2.18):
3
2 3
3 11 3 0.5 02
B BB
o o o
VAh
τ τµ
τ τ τ− − + = (2.19)
Sustituyendo en el tercer término de la ecuación (2.19) el esfuerzo cortante de la ecuación
(2.17) se tiene:
3
2 3
1 33 1 0.52
B BB
f o o o
VAh S gh
τ τµ
ρ τ τ τ= − + (2.20)
donde la pendiente de fricción es dada por
3
3 3
31 1.5 0.5B B B
fo o
S VAghµ τ τ
ρ τ τ⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥⎣ ⎦
(2.21)
41
2.2.5 Fluido Bingham simplificada
La relación de resistencia al flujo de Bingham tratada en la ecuación anterior (2.17) puede ser
simplificada para casos en los cuales la relación de esfuerzos τB/τ0 es menor que 0.5
(Rickemann, 1991) para obteniéndose en este caso una diferencia en la velocidad de flujo
promedio que esta en orden del 6% al ser aplicadas a una data de campo y experimental por
McArdell et al. (2003):
21.5 3o B BVAh
τ τ µ= + (2.22)
21.5 3B B
f
VAhS
gh
τ µ
ρ
+= (2.23)
2.2.6 Formulación de Takahashi: Efectos de Erosión-Deposición
Todos los modelos planteados anteriormente consideran la forma del perfil de fondo fija en el
tiempo. En algunas aplicaciones, la forma del perfil de fondo puede variar de manera
importante. Takahashi (1991) planteó un modelo, basado en los trabajos realizados por
Bagnold (1954) modelando los fluidos como dilatantes para considerar las variaciones de la
concentración de sólidos en el tiempo. Takahashi (1991) utilizó con éxito este modelo
logrando reproducir el comportamiento de los aludes torrenciales. Dos tipos distintos de flujo
fueron distinguidos para determinar la pendiente de fricción en función de la concentración de
sedimentos, c:
Para c ≤ 0.2, la ecuación de Manning para fricción usada en flujo canales abiertos
(Chow, 1959) es utilizada y se expresa como:
2 2
20.49fh
d VSgh R
= (2.24)
donde d es el diámetro efectivo promedio [L] y Rh es el radio hidraulico [L].
42
Para concentraciones de sólidos c > 0.2 plantean la siguiente ecuación:
( )
2
22 1 1 15 sin
fl
hB s
VSh c c gR
d aρ
λ α ρ
=⎡ ⎤⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(2.25)
siendo λ la concentración lineal dependiendo de la granulometría del sólido:
11* 3
1cc
λ
−⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟⎝ ⎠
(2.26)
donde ρs y ρl la densidad de sedimento y agua respectivamente [M/L3], C* la fracción de
sedimento en el lecho, α el ángulo de fricción interna y aB una constante empírica (Bagnold,
(1954) utilizó aB=0.042)
Los efectos de la erosión/deposición son controlados por los excesos de la concentración local
instantánea sobre la concentración de equilibrio. Egashira & Aschida (1987) y Honda &
Egashira (1997) calcularon la tasa de erosión-deposición por relaciones de promedios simples
de concentración de sólidos, pendientes de fondos y velocidades de erosión, considerando
condiciones de no-equilibrio. Takahashi (1991) propone una expresión semi-empírica (ver
sección 2.2) en la cual considera los diferentes efectos deposición a erosión y la erosión
producida en depósitos insaturados.
Para considerar estos efectos matemáticamente es a través de una mezcla de dos fases
constituida por fracciones gruesas de sedimentos y un fluido intersticial. El flujo de esta
mezcla sólido-liquido es descrito igualmente usando un esquema unidimensional del modelo
de profundidades promedias, donde la fase sólida esta constituida por partículas con una
distribución de diámetro promedio d. Puesto que ambas fases fluyen a la misma velocidad se
presenta una ecuación para la conservación de momento lineal (ecuación (2.10)) y a la
ecuación de conservación de masa (ecuación (2.9)) se le incluye los efectos de erosión del
fondo:
( )AVA ibt x
∂∂+ =
∂ ∂ (2.27)
donde i es la velocidad de erosión/deposición [LT-1] y b el ancho del canal [L].
43
Considerando los efectos de erosión-deposición sobre el fondo se introduce una nueva ley de
evolución del fondo:
( ) ( )v
hc hVcic
t x∂ ∂
+ =∂ ∂
(2.28)
en la que c es la concentración de sedimentos promedia y cv un parámetro relacionado con la
concentración de sedimentos del fondo, dado por:
( )*
*
max , 0
0D
v
c c ic
c i
⎧ ≤⎪= ⎨>⎪⎩
(2.29)
siendo c* la concentración volumétrica en el fondo estático, c*D la concentración volumétrica
en el material depositado, el ángulo θ, es definido por la pendiente de fondo:
1sinzx
θ − ∂⎛ ⎞= −⎜ ⎟∂⎝ ⎠ (2.30)
z el nivel del fondo (variable en el tiempo )con respecto a una referencia horizontal fija.
Considerando un canal con paredes fijas, la evolución del nivel de fondo debido a la tasa de
erosión/deposición es dada por:
cos 0z it
θ∂
+ =∂
(2.31)
La velocidad de erosión/deposición se puede estimar a partir de la ecuación propuesta por
Egashira & Aschida (1987):
( )tan ei KV θ θ= − (2.32)
En la cual K=1 es un coeficiente empírico (Egashira & Aschida) y θe es el ángulo de equilibrio
del lechoel cual depende de la concentración de la mezcla.
44
3 CAPITULO III
MODELO NUMÉRICO
En este capítulo se presentan las técnicas numéricas utilizadas para resolver el modelo
matemático que describe el comportamiento de los aludes torrenciales presentado en el
capitulo anterior. Es importante destacar que en este trabajo se escogió como punto de inicio
para el desarrollo del modelo numérico la propuesta presentada por Sanders (2001) para flujo
de agua con superficie libre el cual resuelve las ecuaciones de Saint Venant.
El modelo unidimensional para la simulación de los aludes torrenciales aquí planteado
resuelve las ecuaciones de St. Venant modificadas para incluir altas pendientes, a través del
método de volúmenes finitos tipo Godunov, los flujos numéricos de masas y de momento
lineal fueron calculados utilizando tanto el método de Roe (1981) (RFF) para resolver el
problema de Riemann como una función de flujo simplificada (SFF) con el fin de obtener una
mayor eficiencia computacional. La aproximación MUSCL - Monotone Upwind Scheme for
Conservation Laws – (Hirsch, 1990) es aplicada para alcanzar una precisión espacial de
segundo orden. Una precisión de segundo orden en el tiempo es asegurada usando el esquema
temporal de Hancock a través de la aproximación del tipo predictor-corrector.
A continuación se describen detalladamente cada una de las técnicas numéricas empleadas.
3.1 Método de Volúmenes Finitos
El método de volumen finito tipo Godunov de segundo orden de exactitud en el espacio y el
tiempo es aplicado para resolver el problema de flujo en canales. Este esquema toma en cuenta
45
una solución monótona de alta resolución de ecuaciones hiperbólicas de primer orden, tales
como las ecuaciones de agua poco profundas, que admiten choques y discontinuidades.
El método está basado en expresar el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales (2.11) en
una formulación integral sobre volúmenes de control en los cuales se descompone el dominio
de flujo.
x x x
dx dx dxt x∆ ∆ ∆
∂ ∂+ =
∂ ∂∫ ∫ ∫FU S (2.11)
Para ello, el dominio espacial es discretizado en N celdas de igual longitud x∆ y aplicando el
teorema de Green la ecuación (2.11) se convierte:
( )1k kR L
t tx∆
∆∆
+ = − − +U U F F S (3.1)
donde los subíndices R y L que aparecen en los vectores de flujo numéricos refieren a los
flujos en los bordes derechos e izquierdos de cada celda respectivamente; los superíndices k+1
y k reflejan el nivel de tiempo t+∆t y t, respectivamente. Si el flujo y el termino fuente son
definidos para ser promediados en cada paso de tiempo, entonces la ecuación (3.1) es un
balance exacto de la conservación de masa y momento.
3.2 Esquema Tipo Godunov
Tal como se describió anteriormente, el modelo matemático para flujo en aguas poco
profundas es un grupo de ecuaciones hiperbólicas que representan típicamente la propagación
de un fenómeno. Orientados a reproducir correctamente tales fenómenos físicos, donde las
variables de flujo pueden ser discontinuas, fueron desarrollados esquemas upwind por Hirsch
(1990). Una familia de métodos que corresponde a ésta clase de esquema es el tipo Godunov.
El método original de Godunov es organizado en tres pasos:
El primer paso consiste de una aproximación de la distribución espacial de las
variables a través de un ajuste a una solución constante sobre cada celda.
46
El segundo paso es la determinación de la solución exacta del problema local de
Riemann en la interfaces de las celdas.
El último paso consiste de un promedio espacial de las variables dependientes
sobre cada celda.
En este orden se reduce el tiempo de cómputo y la solución exacta del problema de Riemann
es reemplazada por una solución aproximada. La información derivada de la solución exacta
es simplificada en el tercer paso, asegurandose que la pérdida de información debido al uso de
soluciones aproximadas no es significativa en la práctica.
3.3 Paso Predictor
La integración en el tiempo de segundo orden de precisión es realizada usando una
aproximación tipo predictor-corrector conocida como el método de Hancock (Van Albada et
al., 1982). Esta aproximación resuelve la forma primitiva de las ecuaciones de aguas poco
profundas (2.1) y (2.8) para avances en la solución temporal a nivel intermedio en la celda jth,
calculándose como sigue:
( )1/ 2
2k
k kj j j
tA A V A A Vx
∆∆ ∆
∆+ = − + (3.2)
( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 21/ 2 1 12 2 2 2
k k kkk kj j o f fj j jj
t g tV V g h V V S S S
x∆ ∆
∆ ∆∆
++ ⎛ ⎞= − + + − −⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.3)
donde el subíndice j indica la posición y el sobre barra indica que los gradientes en las celdas
son limitados (como se explica mas adelante).
Se puede observa que la ecuación (3.3) no trata explícitamente la fuerza hidrostática Fc, este
termino es considerado dentro del termino hgx∂∂
.
Los gradientes limitados prevén las oscilaciones comúnmente presentados en esquemas de
segundo orden. Los gradientes limitados de profundidad y velocidad en las celdas j están
dados por (Sanders, 2001):
47
( )1 1,j j j j jh avg h h h h+ −∆ = − − (3.4)
( )1 1,j j j j jV avg V V V V+ −∆ = − − (3.5)
La función promedio, avg(α,β), es obtenida aplicando el flujo de promedios no lineales o
pendientes limitantes (Sweby 1984). El límite Superbee es usado (Hirsch 1990):
( ) ( ) ( )( )min mod max mod , ,min mod 2 ,2 , 0,
0 0avg
α β α β αβα β
αβ
⎧ >⎪= ⎨<⎪⎩
(3.6)
donde minmod y maxmod retornan los argumentos con el menor y mayor modulo
respectivamente.
La sección transversal del área es función de la profundidad, así que el gradiente del área de la
sección transversal puede ser aproximado de la siguiente forma:
( ) ( )1 1
2
j jj j j jj
A h h A h hA
∆ ∆∆
+ −+ − −= (3.7)
La profundidad es extrapolada hacia los centros de las celdas vecinas donde las áreas de la
sección transversal son calculadas. Las diferencias en dichas áreas permiten obtener sus
gradientes usando la ecuación (3.7).
Los términos fuentes que aparecen en la ecuación (3.3) son evaluadas usando las ecuaciones
de resistencia al flujo o modelos reológicos definidos en la sección 3.7, dando lugar a una
formulación semi-implícita, y la ecuación de pendiente de fondo en función de la elevación
del terreno es expresada de la siguiente forma:
( ) 1/ 2 1/ 2j jo j
z zS
x∆+ −−
= − (3.8)
Para el calculó de termino fuente de la pendiente de fricción será detallado en la sección 3.7.
En general una aproximación semi-implícita reduce los costos computacionales para
problemas de fondos secos comparado con una aproximación explicita ya que permite usar
pasos de tiempo relativamente grandes.
48
3.4 Extrapolación MUSCL
Para la extrapolación de las variables de velocidad y profundidad en el lado izquierdo y
derecho de cada cara de las celdas en nivel de tiempo intermedio (j+1/2) es utilizada la
aproximación MUSCL en la cual las variables extrapoladas en la interfaces de la celda son
limitadas y son dadas por:
( ) ( )111 12 2
j jL j R jh h h h h h∆ ∆ ++= + = − (3.9)
( ) ( )111 12 2
j jL j R jV V V V V V∆ ∆ ++= + = − (3.10)
Para el cálculo del área en las interfaces del lado derecho y izquierdo se utilizó las
profundidades extrapoladas de la ecuación (3.9) y la relación funcional entre el área y la
profundidad para obtener, en cada borde:
( ) ( )L L R RA A h A A h= = (3.11)
Con estos valores, el problema de Riemann es resuelto usando el esquema de Roe.
3.5 Flujos Numéricos
El esquema propuesto requiere disponer de un método de interpolación en varias etapas a
través de un proceso de cálculo, a saber:
Para evaluar los flujos numéricos no viscosos (flujo de Roe), en un esquema de alto orden,
se deben extrapolar los valores de las variables de flujo a las fronteras de los volúmenes de
control elementales (figura 3-1). Para ello se emplean desarrollos polinómicos de primer
orden definidos de manera independiente en cada celda. La construcción de estos
polinomios requiere de la estimación de los gradientes sucesivos de las variables en los
centros de las celdas.
49
Los flujos difusivos a diferencia de los flujos no viscosos, se calculan directamente en cada
interfaz. Para ello, se interpola velocidades, profundidades y sus respectivos gradientes
desde los lados de la celda.
Los flujos numéricos de masa y momento en las interfaces son resueltos a través del método
de Roe para resolver el problema de Riemann, dado por (Roe, 1981):
( )1 ˆ2l L R U ∆= + −F F F A U (3.12)
siendo FL y FR los flujos numéricos en el lado izquierdo y derecho en la interface de la celda
jth, obtenidos a partir de la ecuación (3.12):
2 2L L R R
L RL L L L R R R R
V A V AV A gA y V A gA y⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠F F (3.13)
y ˆUA es una aproximación a la matriz Jacobiana UA definida más adelante.
En la figura 3-1 se representan gráficamente los flujos numéricos en las interfaces j-1/2 y
j+1/2 y sus respectivos flujos al lado derecho e izquierdo de cada interfaz.
1/ 2j−F 1/ 2j+F
j-1 jj-1/2 j+1j+1/2
FRFLFL FR
1/ 2j−F 1/ 2j+F
j-1 jj-1/2 j+1j+1/2
FRFLFL FR
Figura 3-1: Flujos en la interfaces para la celda jth
La matriz Jacobiana UA es dada por /d dF U es definida a través de la linealización local del
sistema de ecuaciones de manera que:
x x∂ ∂
=∂ ∂UF UA (3.14)
Por definición la matriz viene expresada por = ∂ ∂UA F U , los elementos de esta expresión
vienen dados de manera a satisfacer:
50
t x∂ ∂
+ =∂ ∂UU UA H (3.15)
Sustituyendo las variables conservativas y los flujos, se tiene:
11 112
11 11
U U
U U
A AVA AA AV A gAy VAx x
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟+∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(3.16)
Desarrollando la ecuación anterior:
( ) ( )11 12U U
VA VAAA Ax x x
∂ ∂∂= +
∂ ∂ ∂ (3.17)
( ) ( )2
21 22U U
V A gAy VAAA Ax x x
∂ + ∂∂= +
∂ ∂ ∂ (3.18)
Con el fin de obtener las componentes de la matriz Au se consideró un canal rectangular de
ancho constante 2y h= y desarrollando las derivadas del lado izquierdo de la ecuación
(3.18):
221 22 222 U U U
V A gA A A V AVA V A A A A Vx x b x x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.19)
222 21 222 U U U
V gA A V A AVA V A A A A V
x b x x x x∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎛ ⎞+ + = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
(3.20)
de la igualdad (3.17) podemos obtener:
11 120 1U UA A= = (3.21)
y de la (4-20):
222 212U U
gAA V A Vb
= = − (3.22)
Para canales rectangulares se supone que T b≈ , T es el ancho de la superficie libre, de esta
manera se define la velocidad de onda a gA T= (Roe, 1981). Sustituyendo éste término en
la ecuación (3.22), se puede definir la matriz UA de la siguiente manera:
2 2
0 12UA
a V V⎛ ⎞
= ⎜ ⎟−⎝ ⎠ (3.23)
51
Los autovalores Λ y los autovectores por la derecha R de la matriz AU se pueden hallar
resolviendo la ecuación algebraica:
UA R IRΛ= (3.24)
Los autovalores son obtenidos resolviendo la ecuación homogénea algebraica:
( ) 0UA I RΛ− = (3.25)
Este sistema admite solución no nula si la matriz ( )UA IΛ− es singular:
( )det 0UA IΛ− = (3.26)
luego
( )( ) ( )( )
( )
2 22 2
2 2 2
12 1 0
2
2 0
V a Va V V
V V a
ΛΛ Λ
Λ
Λ Λ
−= − − − − =
− −
= − + − =
(3.27)
Planteando la solución conocida para la ecuación de segundo grado resultante, queda:
( )2 2 2
11 22
2 4 4 2 22 2
V V V a V a
V a V a
Λ
Λ Λ
± − − ±= =
= − = + Para obtener (3.28)
La matriz de autovalores es entonces dada por:
00
V aV a
Λ−⎛ ⎞
= ⎜ ⎟+⎝ ⎠ (3.29)
Sustituyendo las ecuaciones (3.23) y (3.29) en la ecuación (3.24), queda:
1 12 2
2 2
0 1 02 0
R RV aR Ra V V V a
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(3.30)
Resolviendo el sistema:
( )( ) ( )
2 1
2 21 2 22
R V a R
a V R VR R V a
= −
− + = + (3.31)
Suponiendo R1=1, las soluciones quedan de la siguiente manera:
52
1 21 1R R
V a V a⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (3.32)
Por lo tanto la matriz de autovectores por la derecha:
1 1R
V a V a⎛ ⎞
= ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ (3.33)
Los autovectores por la izquierda son obtenidos a través de la inversa de la matriz R,
obteniéndose como el adjunto de la matriz entre el determinante de dicha matriz:
( )( )
1
12 2
1det2 2
V aadj R a aL R
V aRa a
−
+ −⎛ ⎞⎜ ⎟
= = = ⎜ ⎟− +⎜ ⎟
⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.34)
Por lo tanto se obtiene para L:
1112
V aL
V aa+ −⎛ ⎞
= ⎜ ⎟− +⎝ ⎠ (3.35)
Los promedios de Roe representan un estimado no lineal de las variables V y a en la cara de la
celda, satisfaciendo diversas condiciones incluyendo la siguiente:
( )ˆR L U R L− ≡ −F F A U U (3.36)
La matriz ˆUA es una aproximación a UA y contiene los autovalores y autovectores
expresados en promedios de Roe, las cantidades denotadas con un sombrero (^) son conocidas
como los promedios de Roe, para dar solución a la función de flujo de Roe (RFF) definida en
la ecuación (3.12), se define:
ˆ ˆˆ ˆU =A R Λ L (3.37)
Los autovalores y autovectores de la matriz jacobiana son ampliamente aplicados en el estudio
de propagación de ondas. Para flujo uní-dimensional las matrices son expresadas como
aproximaciones de (3.29) , (3.33) y (3.35) de la siguiente manera:
ˆ ˆ1 1ˆ ˆ0 11ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ2ˆ ˆˆ ˆ0 1
V a V aaV a V aV a V a
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞− + −= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ++ − +⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Λ R L (3.38)
53
La velocidad promedio de Roe es dada por (Alcrudo et al., 1992):
ˆ L L R R
L R
A V A VV
A A+
=+
(3.39)
Basándonos en la ecuación (3.15), a debe satisfacer:
( )2ˆR L R LR LgA y gA y a A A− = − (3.40)
Para el caso de una sección transversal trapezoidal con las propiedades:
2A bh mh= + (3.41)
2 3/ 2 /32
bh mhybh mh
+=
+ (3.42)
donde ( )b b x= es el ancho del canal en el fondo, ( )m m x= es la pendiente inversa de las
paredes del canal, el promedio de Roe de la rapidez de la onda:
( )( )
2 22 3 2 3 2ˆ
6L L L R R R
L R
g mh bh mh h bh mha
mh b mh+ + + +
=+ +
(3.43)
Para secciones transversales de una geometría natural, la velocidad de la onda en la interfaz de
la celda puede ser seleccionada como (Alcrudo et al., 1992):
( ) ( )/ˆ R R L L R L R L
L R R L
gA y gA y A A A Aa
a a A A
⎧ − − ≠⎪= ⎨= =⎪⎩
(3.44)
Para obtener una mayor eficiencia computacional, una versión simplificada de la solución de
Roe puede ser usada en lugar de la ecuación (3.13) (Nujié, 1995), la función de flujo
simplificada (SFF) es dada por:
( )12l L R α∆= + −F F F U (3.45)
siendo α un parámetro calculado a partir de:
( )max ,V a V aα = + − (3.46)
54
3.6 Paso Corrector
Con los flujos numéricos calculados como se mostró anteriormente, el avance en la solución
temporal para el nivel próximo (k+1) basado en el esquema de Hancock emplea una
aproximación semi-implícita en el paso corrector para evitar inestabilidades asociadas con la
pendiente de fricción en la interfase húmeda / seca, quedando de la siguiente manera:
( ) ( ) ( ) ( )( )11/ 21 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 2
k kkk k K Kj j J J F S Sj j j
t tt S S Sx∆ ∆
∆∆
+++ + ++ −= − − + + +U U F F (3.47)
Siendo:
( )00
F Sc o fF gA S S
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠
S S (3.48)
Como se puede notar en la ecuación (3.25) la fuerza de presión cF y los flujos F son
evaluados explícitamente en el nivel de tiempo intermedio. Las pendientes de fondo y de
fricción son tratadas implícitamente, de la misma manera como se hizo en el paso predictor y
su cálculo es descrito en la siguiente sección.
3.7 Acople de los Modelos Reológicos o Relaciones de Resistencia al flujo
El acople de las modelos reológicos con las ecuaciones de conservación fue posible a través de
los términos fuentes presentes en la ecuación del paso predictor (3.3) y la del paso corrector
(3.25). Como se puede apreciar el término de resistencia, Sf, es discretizado implícitamente en
estas ecuaciones usando la regla trapezoidal. Este tratamiento es necesario cuando se modelan
propagaciones de ondas sobre pendientes con una capa seca/húmeda aguas abajo. En esta
sección se describirá las aproximaciones numéricas empleadas para cada uno de los modelos
reológicos propuestos.
55
3.7.1 Ecuación Empírica de Manning
La conocida ecuación de Manning (2.13) puede ser descretizada en la celda jth de la siguiente
manera:
( )( )
2
4 / 3j j
f jh j
n V VS
R= (3.49)
Sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (3.3) presentada en el paso predictor (k+1/2)
y reacomodando los términos, nos queda:
( )( )( )
( ) ( )
2 1/ 2 1/ 21/ 2
1/ 24 / 3
2 014
2 2
kk
k k j jj j kjk kk
h o fj jj
tV g h V Vn V V xg t Vg tR S S
∆∆ ∆
∆∆∆
+ ++
+
⎧ ⎫− + +⎪ ⎪⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬⎛ ⎞⎪ ⎪+ −⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭
(3.50)
La ecuación (3.5) es resuelta como una ecuación algebraica de segundo grado que puede ser
escrita como
( ) 1/ 21/ 2 2 1/ 2 0kk k k
j j jjD V V E
++ ++ + = (3.51)
siendo:
( ) 12 2 2
kk
k kj j o fj
j
t g tE V g h V V S Sx
∆ ∆∆ ∆
∆
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.52)
y
( )2
1/ 24 / 31/ 24
kj k
h
t nD gR
∆+
+= (3.53)
Luego tendremos
1/ 21/ 2
1/ 2
1 1 42
k kj jk
j kj
D EV s
D
++
+
− ± −= donde
56
( )1/ 2
1/ 2 1/ 21/ 2
1 1 42
k kj jk k
j j kj
D EV sign V
D
++ +
+
− + −= (3.54)
Es necesario realizar la evaluación del signo que la variable de descarga podría tener, antes.
Siguiendo el esquema propuesto por Brufau et al. (2001):
( ) ( ) ( )1/ 2 12 2 2
kk
k k kj j o f jj
j
t g tsign V sign V g h V V S S sign Ex
∆ ∆∆ ∆
∆+
⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ (3.55)
En el paso corrector (k+1) se aplicó la misma técnica que en el paso predictor, obteniendo de
la ecuación (3.55) la expresión para el cálculo de velocidad:
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 22 1 1 1/ 2 1/ 21 1
114 / 3 1/ 2
1 1
2 20
22 2
2 2
kj k k k
k k j j jk kj j j jk
jkk k k
h ok kj jj jj j
A tVn V V A xAg t V
t t tgR SA A
∆∆∆
∆ ∆ ∆
+ ++ + + −+ +
++
+
+ +
⎧ ⎫− − +⎪ ⎪
⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭
F S
F F
S S (3.56)
La ecuación algebraica de segundo grado para el paso de tiempo k+1 es escrita como
( ) 11 2 1 1/ 2 0kk k k
j j jjN V V M
++ + ++ + = (3.57)
siendo:
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1
1/ 2
1/ 2
1 1
2 2
2 22 2
kj k k k
j j jk kj jk
jk k k
ok k jj jj j
A tVA xA
Mt t tg S
A A
∆∆
∆ ∆ ∆
+ ++ −+ +
+
+
+ +
⎧ ⎫− −⎪ ⎪
⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭
F S
F F
S S (3.58)
( )2
14 / 312
kj k
h
t nN gR
∆+
+= (3.59)
y es resuelta tal como se hace con la ecuación (3.52). Este procedimiento se emplea
igualmente con todos los otros modelos reológicos abajo descritos.
57
3.7.2 Fluido Voellmy
La ecuación del fluido Voellmy (Hungr, 1995) dada en la sección (2.2.2) es descretizada
usando el mismo método presentado para la ecuación de Manning, donde los términos para
plantear la solución de la ecuación de segundo grado en el paso predictor son:
2 cos tanj jf j
j
V VS
h Cθ δ= + (3.60)
( ) 1 cos tan2 2 2 4
kk
k kj j o fj
j
t g t tE V g h V V S S gx
θ δ∆ ∆ ∆
∆ ∆∆
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.61)
1/ 22 1/ 2
14
kj k
j
tD gC h
∆++= (3.62)
En el paso corrector que M y N en el tiempo k+1 vienen dados:
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1 1
1/ 2
1
2 2 2
2 cos tan2 2 2
kkj k k k
j j jk k k jj j jk
jk k
ok jjj
A t tVA xA A
Mt tg tS g
Aθ δ
∆ ∆∆
∆ ∆ ∆
++ ++ −+ + +
+
+
⎧ ⎫− − +⎪ ⎪
⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + −⎪ ⎪⎩ ⎭
F
S
F F S
S (3.63)
12 1
12
kj k
j
tN gC h
∆++= (3.64)
3.7.3 Fluido Inercial-Dilatante
De igual manera que en las relaciones reológicas anteriores es este caso (ver ecuación (2.15))
también se resuelve una ecuación algebraica de segundo grado, donde:
2
3 2j
fj
VS
h ζ= (3.65)
58
Paso predictor:
( ) 12 2 2
kk
k kj j o fj
j
t g tE V g h V V S Sx
∆ ∆∆ ∆
∆
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.66)
( )1/ 2
32 1/ 2
14
kj k
j
tD ghζ
∆+
+= (3.67)
Paso corrector:
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1
1/ 2
1/ 2
1 1
2 2
2 22 2
kj k k k
j j jk kj jk
jk k k
ok k jj jj j
A tVA xA
Mt t tg S
A A
∆∆
∆ ∆ ∆
+ ++ −+ +
+
+
+ +
⎧ ⎫− −⎪ ⎪
⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭
F S
F F
S S (3.68)
( )1
32 1
12
kj k
j
tN ghζ
∆+
+= (3.69)
3.7.4 Fluido Bingham. Ecuación Cúbica
La discretización de la ecuación cúbica de Bingham (sección 2.2.4) viene dada por:
3
3 3
3 1 1.5 0.5B B Bf j
j o j o j
S VAghµ τ τ
ρ τ τ
⎡ ⎤= − +⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.70)
Como es de notarse en la ecuación (3.3) para el cálculo de la velocidad en el paso predictor, el
término de fricción requiere conocer τ0. Luego, al sustituir la ecuación (3.70) se nos presenta
el siguiente sistema de ecuaciones de dos incógnitas Vj y τoj:
( ) ( ) ( )1/ 2
1/ 2 1 12 2 2 2
kk kkk k o
j j o fj jjj
t g tV V g h V V S S
x ghτρ
∆ ∆∆ ∆
∆
+
+⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟= − + + − − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
(3.71)
( ) ( )1/ 2 1/ 2 3
2 31/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2
3 11 3 0.5 02
k kj jB B
Bk kk ko j o jj o j
V A
h
τ τµ
τ τ τ
+ +
+ ++ +− − + = (3.72)
59
A continuación se presentan los pasos para obtener el perfil de velocidad y esfuerzos de las
ecuaciones (3.71) y (3.72):
1. Se supone una velocidad inicial igual a la velocidad en el tiempo k, ki j jV V= y el
esfuerzo cortante inicial igual al esfuerzo de Bingham i j Bτ τ= .
2. Se resuelve la ecuación (3.72) aplicando el método de Newton Raphson para raíces
múltiples, se obtiene un jτ% .
3. Luego, con el esfuerzo obtenido en el paso anterior se resuelve la ecuación (3.72)
se obtiene una velocidad aproximada jV% .
4. Se le asigna a la velocidad y esfuerzo iniciales los valores obtenidos en el paso 2 y
3, respectivamente, i j jV V= % y i j jτ τ= % .
5. Se repiten iterativamente los del paso 1 al 4, hasta alcanzar una tolerancia
establecida para la variación de ambas variables, obteniéndose la velocidad y el
esfuerzo en el paso predictor, 1/ 2kj jV V+ = % y 1/ 2k
o j jτ τ+ = % .
En el paso corrector se presenta el siguiente sistema:
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 11
11
1/ 2
1 1
2 20
22 2
2 2
kj k k k
j j jk kkj jo j k
jkk k kj
ok k jj jj j
A tVA xAg t V
gh t t tg SA A
τρ
∆∆∆∆ ∆ ∆
+ ++ −+ ++
++
+
+ +
⎧ ⎫− −⎪ ⎪
⎪ ⎪+ − =⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭
F S
F F
S S(3.73)
( ) ( )1 1 3
2 31 11 1
3 11 3 0.5 02
k kj jB B
Bk kk ko j o jj o j
V A
h
τ τµ
τ τ τ
+ +
+ ++ +− − + = (3.74)
A continuación se presentan los pasos para obtener el perfil de velocidad y esfuerzos de las
ecuaciones (3.73) y (3.74):
1. Se supone una velocidad inicial igual a la velocidad en el tiempo k+1/2, 1/ 2k
i j jV V += y el esfuerzo cortante inicial igual al esfuerzo de Bingham 1/ 2k
i j ojτ τ += .
60
2. Se resuelve la ecuación (3.74) aplicando el método de Newton Raphson para raíces
múltiples, se obtiene un jτ% .
3. Luego, con el esfuerzo obtenido en el paso anterior se resuelve la ecuación (3.73)
se obtiene una velocidad aproximada jV% .
4. Se le asigna a la velocidad y esfuerzo iniciales los valores obtenidos en el paso 2 y
3, respectivamente, i j jV V= % y i j jτ τ= % .
5. Se repite de manera iterativa los pasos del 1 al 4, hasta alcanzar una tolerancia
establecida para la variación de ambas variables, obteniéndose la velocidad y el
esfuerzo en el paso corrector, 1kj jV V+ = % y 1k
o j jτ τ+ = % .
3.7.5 Fluido Bingham simplificada
En este caso se discretizará la ecuación (2.21):
21.5 3 jB B
jf j
j
V Ah
Sgh
τ µ
ρ
+= (3.75)
Como es de notarse la sustituyendo la ecuación (3.76) en la (3.3) resulta una expresión sencilla
para la velocidad en el nuevo paso de tiempo.
Paso predictor:
( ) 1/ 2
1 1.52 2 2 4
kk
k k Bj j o f kj
j j
t g t tE V g h V V S Sx h
τρ
∆ ∆ ∆∆ ∆
∆ +
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − + + − −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.76)
( )1/ 2
1/ 231/ 2
314
kB jk
j kj
t AD
h
µ
ρ
∆ ++
+= + (3.77)
La velocidad es calculada de la siguiente manera:
1/ 21/ 2
kjk
j kj
EV
D+
+= (3.78)
61
Paso corrector:
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
1/ 21/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1 1
1/ 2
1 1
2 2 2
1.522 2 2
kkj k k k
j j jk k k jj j jk
jk k B
ok kjjj j
A t tVA xA A
Mt tg tS
A hτρ
∆ ∆∆
∆ ∆ ∆
++ ++ −+ + +
+
+ +
⎧ ⎫− − +⎪ ⎪
⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪+ + −⎪ ⎪⎩ ⎭
F
S
F F S
S (3.79)
( )1
1/ 231
312
kB jk
j kj
t AD
h
µ
ρ
∆ ++
+= + (3.80)
3.7.6 Formulación de Takahashi
La discretización en la celda jth de las relaciones reológicas propuesta por Takahashi (1991)
considerando los efectos de la concentración de sedimentos tenemos:
c≤0.2
2 2
20.49j
f jj h j
d VS
gh R= (3.81)
c≥0.2
( )
2
22 1 1 15 sin
jf j
lj j j h j
B s
VS
h c c gRd a
ρλ α ρ
=⎡ ⎤⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦
(3.82)
Al igual que en los casos anteriores, al sustituir las ecuaciones (3.81 y 3.82) en la ecuación
(3.3) resulta una ecuación algebraica de segundo grado para Vj cuyos coeficientes son para el
Paso predictor:
c≤0.2
( ) 12 2 2
kk
k kj j o fj
j
t g tE V g h V V S Sx
∆ ∆∆ ∆
∆
⎧ ⎫⎪ ⎪⎛ ⎞= − − + + −⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭
(3.83)
62
21/ 2
1/ 2 1/ 24 0.49kj k k
j h j
t dDh R
∆++ += (3.84)
c≥0.2
1/ 2
1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2
14 2 1 1 1
5 sin
kj
k k k kLj j j h j
B S
tDh c c R
d a
∆+
+ + + +
=⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
ρλ α ρ
(3.85)
De igual manera para el paso corrector:
c≤0.2
( ) ( )( )
( )( ) ( )( ) ( )
1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 21 1
1/ 2
1/ 2
1 1
2 2
2 22 2
kj k k k
j j jk kj jk
jk k k
ok k jj jj j
A tVA xA
Mt t tg S
A A
∆∆
∆ ∆ ∆
+ ++ −+ +
+
+
+ +
⎧ ⎫− −⎪ ⎪
⎪ ⎪= −⎨ ⎬⎪ ⎪+ + +⎪ ⎪⎩ ⎭
F S
F F
S S (3.86)
21
1 14 0.49kj k k
j h j
t dNh R
∆++ += (3.87)
c≥0.2
1
1 1 1 1
14 2 1 1 1
5 sin
kj
k k k kLj j j h j
B S
tNh c c R
d aρ
λ α ρ
∆+
+ + + +
=⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ + −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
(3.88)
3.8 Acople del Modelo de Erosión/Deposición
En la sección (2.3) se describen las consideraciones físicas y matemáticas aplicadas en el
modelo de erosión/deposición, las cuales serán la base para la discretización y acoplamiento al
modelo numérico general.
Este modelo esta caracterizado por la solución de la ecuación de la evolución de fondo:
63
( ) ( )v
hC hCViC
t x∂ ∂
+ =∂ ∂
(3.89)
Apoyándose en la ecuación de continuidad expresada en términos de la profundidad:
( ) 0hVh
t x∂∂
+ =∂ ∂
(3.90)
y derivando las ecuaciones anteriores queda:
j j j j j j j vh c h c Vc h c V h V h c ict t x x x
∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (3.91)
0h V hh Vt x x
∂ ∂ ∂+ + =
∂ ∂ ∂ (3.92)
Multiplicando la ecuación (3.92) por (–c) se obtiene:
0
v
h V hc ch cV
t x x
h V h c cc hc cV h hV ict x x t x
∂ ∂ ∂⎧− − − =⎪ ∂ ∂ ∂⎪⎨⎪ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎪ + + + + =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎩
(3.93)
Restando las dos ecuaciones anteriores:
j j j Vc ch h V ict x
∂ ∂+ =
∂ ∂ (3.94)
La solución para el paso predictor es dada por:
( )1/ 2 1/ 2
4 2k k k k kvj j j j jk
j
c dt dtc c i i V ch dx
+ += + + − ∆ (3.95)
siendo la velocidad de erosión/deposición discretizada a partir de:
( )1/ 2 1/ 2 1/ 2tank k kj j j ei KV θ θ+ + += − (3.96)
c∆ es obtenido de la misma forma que los gradiente limitados de altura y velocidad (ver las
ecuaciones (3.4) y (3.5), respectivamente).
64
Es necesario reemplazar el cálculo del área en el tiempo k+1/2, realizada en la ecuación (3.2),
por una donde se incluyan explícitamente los efectos de la erosión/deposición:
( ) ( )1/ 2
2k kk k
j j jj
tA A V A A V tib+ ∆= − ∆ + ∆ + ∆
Ω (3.97)
Basándose en el método de los volúmenes finitos para obtener la solución el paso de tiempo
corrector (k+1) de la ecuación (3.89):
( )1k kR L
t tx∆
∆∆
+ = − − +U U F F S (3.98)
los términos están definidos de acuerdo a :
vhc hVc S ic= = =U F (3.99)
Aplicando la ecuación (3.98) bajo el mismo esquema que en el modelo numérico general
detallado anteriormente, el paso corrector nos queda:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )11 1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2 2
k kk k k kj j v vj j j j
t thc hc ic ic∆ ∆Ω
++ + ++ −= − − + +F F (3.100)
A los fines de obtener una simplificación numérica y computacional en la solución de la
ecuación (3.100) se utilizaron pasos de tiempo muy pequeños, con el fin de aproximar el
último término del lado derecho: ( ) ( )( ) ( )( )1
2k k k
v v vj j j
t ic ic t ic∆∆
++ ≈ .
El flujo numérico discretizado se expresó, con la finalidad de incrementar la eficiencia
computacional como:
( ) 1/ 21/ 21/ 2 1/ 2
12
kkj j
α∆ +++ +
= + −L RF F F U (3.101)
donde α, se utilizó tal como establece la ecuación (3.47) y, siendo FL y FR, los flujos en el lado
izquierdo y derecho en las caras (j+1/2) respectivamente de la celda jth obtenidos a partir de la
ecuación (3.99).
En este caso se consideran los efectos de erosión y deposición en la ecuación del área en el
tiempo k+1, reemplazando la ecuación (3.2) por:
65
( ) ( ) ( )( ) ( )1 1/ 2 1/ 2 11/ 2 1/ 21, 1, 1,k k k k k k
j j j j jtA A j j j t i b+ + + +
+ −
∆= − − + ∆
ΩF F (3.102)
La ecuación (3.3) tiene implícitamente el término fuente en el cual, para considerar los efectos
de evolución del fondo en la pendiente, se utiliza la ecuación:
1 ( 1) ( 1)arcsink L Lz j z jdx
θ + + − +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )1 1sink koS θ+ += (3.103)
Tanto para el paso predictor (ecuación (3.3)) como para el paso corrector (ecuación (3.48)) el
término que considera la resistencia al flujo Sf considerando la concentración de sólidos, se
encuentra discretizado implícitamente y su acople con las ecuaciones de conservación está
detallado en la sección (3.7.6).
3.9 Condiciones de Bordes y Celdas Imágenes
En esta sección se presentan las aproximaciones numéricas empleadas para la imposición de
las condiciones de borde, en particular, en lo referente al cálculo de los flujos numéricos
másicos y de momento lineal ( )1/ 2 1/ 21/ 2 1/ 2,k k
nF F+ ++ el cual es uno de los problemas mas difíciles
de resolver en el modelaje de la dinámica de fluidos. Una aproximación usada con frecuencia
es desarrollar formulas especiales para usarlas cercas de los bordes, las cuales dependen tanto
del tipo de condiciones de bordes que son especificadas como de la clase de método a aplicar.
En general es más fácil extender el dominio computacional para incluir dos celdas adicionales
en los extremos, llamadas celdas imágenes; los valores de estas celdas son impuestos en el
comienzo de paso de tiempo dependiendo de alguna manera de las condiciones de bordes y de
la solución obtenida en el paso de tiempo anterior (k).
La figura 3-2 muestra una malla representativa con las dos celdas imágenes en cada borde. En
estas celdas imágenes las variables y los gradientes respectivos son especificados aplicando
extrapolaciones de orden cero y uno a partir de las celdas vecinas, permitiéndose de esta
manera, aplicar el esquema numérico para resolver el problema del tipo Riemann, de la misma
66
forma en que se aplica para todas las celdas del dominio, sin aplicar métodos especiales con
posibles consecuencias artificiales que limiten o estimulen artificialmente el flujo en las
salidas del dominio.
....1 2 n - 1 n n + 10
x = 0 x = L
....1 2 n - 1 n n + 10
x = 0 x = L
Figura 3-2: El dominio Computacional [0, L] es extendido con dos celdas imágenes para especificar las condiciones de bordes
En la entrada distinguiremos las condiciones de borde dependiendo de que el flujo sea
subcrítico o supercrítico. Para un flujo subcrítico, en el borde donde la velocidad Vo es
especificada, el área es extrapolada en primer orden usando los valores de las celdas
adyacentes, además la profundidad es calculada a partir del área extrapolada, de la siguiente
forma:
(0) , (0) 2 (1) (2) (0) ( (0))oV V A A A y h h A= = − = (3.104)
El gradiente de profundidad es extrapolado usando los valores de las celdas adyacentes y el
gradiente de la velocidad es igual a cero. Para flujo supercrítico, tanto la velocidad como el
área son especificados (Vo, Ao) y los respectivos gradientes son igual a cero.
En la salida, para cualquier condición de flujo tanto el área como la velocidad son
extrapoladas en primer orden utilizando los valores de las celdas adyacentes:
( 1) 2 ( ) ( 1), ( 1) 2 ( ) ( 1) ( 1) ( ( 1))V n V n V n A n A n A n y h n h A n+ = − − + = − − + = + (3.105)
mientras que los gradientes son extrapolados en orden cero. Si el área es especificada en el
borde de la salida, es decir asignada en la celda imagen, la velocidad será extrapolada en
primer orden.
1/2 n+1/2
67
3.10 Condición de Estabilidad
La estabilidad del esquema numérico es asegurada por la aplicación del criterio de Courant-
Friedrichs-Lewy (CFL), el cual es dado por (Sweby, 1984):
max j
tt CV a∆
∆ =+
(3.106)
siendo C el valor del número de Courant menor a la unidad.
Con una malla determinada y un número de Courant prefijado, se obtiene el valor de t∆ que
satisface la ecuación (3.106), al final de un paso de tiempo dado, este valor es usado para
incrementar el tiempo de simulación que da inicio al próximo paso (t+∆t), de esta manera se
optimiza el incremento en el tiempo que puede ser utilizados en cada paso, obteniéndose una
mayor eficiencia computacional.
68
4 CAPITULO IV
VALIDACIÓN DEL MODELO
En este capítulo, con el fin de validar el modelo físico, matemático y numérico presentados en
los dos capítulos anteriores, se consideraran varios casos de flujo de agua tanto clara como
cargada de sedimentos. En primer lugar se comprobará la estabilidad y convergencia del
modelo considerando problemas de rompimiento de presa sobre un plano horizontal e
inclinado, a través del análisis de la sensibilidad de las simulaciones ante variaciones del
número de Courant, número de celdas y el coeficiente de rugosidad n, suponiendo un fondo
húmedo sobre cuyo espesor (hmin) también se realizarán simulaciones con diferente valores a
los fines de determinar los valores máximos a utilizar para no introducir ruido numérico, no
físico, sobre las soluciones para los perfiles de profundidad y velocidad de los flujos
resultantes. Posteriormente se harán diferentes comparaciones con resultados obtenidos de
problemas de flujo en canales con solución analítica así como con las soluciones obtenidas
aplicando otros modelos numéricos. Adicionalmente se incluyen los resultados obtenidos
aplicando el modelo de erosión-deposición sobre una corriente de alud torrencial uniforme del
tipo granular y finalmente se realizará la validación del modelo numérico general con datos
experimentales. A continuación se detallan cada una de las validaciones efectuadas al modelo
numérico.
4.1 Estabilidad Numérica del Modelo
La sección presenta varias simulaciones obtenidas en planos horizontales e inclinados, con y
sin efecto de fricción, enfocados en la comprobación de la estabilidad numérica del modelo y
en verificar la convergencia del mismo.
69
4.1.1 Caso plano Horizontal sin Fricción
En el caso del plano horizontal sin fricción representa una de las validaciones fundamentales
que se emplean para el estudio de estabilidad y convergencia de modelos numéricos ya que
han sido ampliamente estudiados y soluciones analíticas para satisfacer las ecuaciones de
conservación pueden ser obtenidas con relativa facilidad.
Figura 4-1: Diagrama para rompimiento de presa horizontal
Fueron realizadas varias simulaciones para determinar el efecto del incremento del numero de
Courant y del espacio ∆x sobre los perfiles de profundidad de fluido resultante. Para ello se
determinó el perfil de profundidades 25 segundos después del rompimiento de una presa
sobre un canal de las siguientes características:
Parámetros Valores
m 0 [adimensional] - (rectangular) n 0 [m-1/3s] θ 0 [grados] - (horizontal)
b 100000 [m] - (infinito) L 1000 [m] h0 10 [m] L0 500 [m]
hmin 0.01 [m] Vo 0 [m/s] t 25 [s]
Tabla 4-1: Características de un problema de rompimiento de presa horizontal, sin fricción.
hmin
h0
LpresaL
70
donde m es la es la pendiente inversa de las paredes del canal, n es el coeficiente de Manning,
θ es la pendiente del fondo, b es el ancho del canal, L es la longitud del canal, h0 y L0 es la
altura y longitud de la presa, respectivamente, hmin es el fondo del canal aguas abajo se
consideró húmedo con una capa de agua mínima, Vo es la velocidad inicial del fluido en todo
el dominio. Un diagrama esquemático de estas condiciones es presentado en la figura 4-1.
La figura (4-2) muestra el ajuste obtenido para diferentes números de Courant con 1000 celdas
(∆x=1m), donde se puede observar que a medida que este número disminuye los resultados
convergen hacia una solución única. Para efectos de economía computacional y en tiempo de
simulación se pudo observar que un número de Courant igual a 0.2 es suficiente para asegurar
la convergencia en este tipo de problema. Con respecto a ∆x se observa su efecto sobre la
solución en la figura 4-3, notándose que un incremento ∆x≤1m es suficiente para asegurar la
convergencia de la solución. El efecto de los cambios en ∆x y el numero de Courant no afectan
en gran manera la parte inicial y media del perfil de profundidad, un efecto un poco más
notable se observa en el frente de la onda donde los gradientes de las variables son más altos.
0
2
4
6
8
10
0 200 400 600 800 1000
x(m)
Prof
undi
dad
(m)
N°C = 0.08
N°C = 0.2
N°C = 0.4
N°C = 0.6
Figura 4-2: Sensibilidad del perfil de profundidad ante variaciones del número de Courant
En la ecuación (3.1) supone que existe una capa de agua fina en todo el canal, porque la
existencia de un fondo seco (hmin=0) causa el colapso o indeterminación de los autovalores y la
ecuación integrada (3.47) no describe el problema estrictamente hiperbólico. En La figura 4-4
se observa el efecto con diferentes capas de agua para considerar un fondo húmedo; para una
hmin=0.00001 m, no se observa formación de un frente de agua el cual va apareciendo
71
progresivamente a medida que se aleja de este valor, teniéndose que para el caso de hmin=0.1
m el frente que se forma tiene una altura aproximada de 2 m; en fin esta figura muestra
claramente que a medida que aumenta el espesor de la capa de agua se observar la formación
de un frente de fluido mas definido en completo acuerdo con la solución de Ritter (1982) tal
como es presentada por Henderson (1966) para superficies horizontales sin fricción.
0
2
4
6
8
10
0 200 400 600 800 1000x (m)
Prof
undi
dad
(m)
D x = 0 .2D x = 0 .5D x = 1D x = 2D x = 10
Figura 4-3: Efecto del número de celdas (∆x) en el perfil de profundidad
0
3
5
8
10
0 200 400 600 800 1000x (m)
Prof
undi
dad
(m
hmin=0.1
hmin=0.01
hmin=0.001
hmin=0.0001
hmin=0.00001
Figura 4-4: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal horizontal
sin fricción
72
4.1.2 Caso plano Inclinado con Fricción
Con el fin de analizar el comportamiento del modelo en presencia de fricción en el fondo, se
consideró un rompimiento de presa sobre un plano inclinado como el mostrado
esquemáticamente en la figura 4-5.
Figura 4-5: Diagrama para rompimiento de presa inclinado
Se simula un canal con las siguientes características:
Parámetros Valores
m 0 [adimensional] - (rectangular) n 0.03 [m-1/3s] θ 2 [grados] - (inclinado) b 100000 [m] - (infinito) L 1000 [m] h0 45 [m] L0 500 [m]
hmin 0.045 [m] Vo 0 [m/s] t 5 [s] ∆x 1 [m]
Tabla 4-2: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción.
Para un tiempo de simulación de cinco segundos se indica la forma del perfil de profundidad
resultante en la figura 4-6, donde se observa un frente de fluido producido por el efecto de la
gravedad sobre el fluido debido a la pendiente del fondo y la resistencia al flujo que se
presenta en el frente como consecuencia de la pendiente de fricción ó rugosidad.
Lpresa
θ
h0
hmin
L
73
0
15
30
45
60
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000x (m)
Prof
undi
dad
(m)
Figura 4-6: Perfil de profundidad de fluido a lo largo de un canal inclinado con fricción
0
15
30
45
60
0 200 400 600 800 1000x (m )
Prof
undi
dad
(m)
n=0
n=0.001
n=0.005
n=0.01
n=0.05
n=0.07
Figura 4-7: Efecto del coeficiente de resistencia al flujo (n) en el perfil de profundidad de un
canal inclinado con fricción
El efecto de variaciones del coeficiente de Manning sobre las profundidades de fluido a lo
largo del canal con hmin=0.045 m, se refleja en la figura 4-7. A medida que aumenta este
coeficiente, el fluido recorre menos distancia y la forma del perfil cambia debido al
incremento en la resistencia al flujo, el cual actúa como un aumento en la viscosidad del fluido
simulado, en completo acuerdo con lo cualitativamente esperado.
74
Fijando un coeficiente de Manning igual a 0.001 m-1/3s, el efecto de la profundidad de la capa
de agua ficticia (hmin) sobre las velocidades de propagación del frente se presenta en la figura
4-8 obtenidas bajo las mismas condiciones iniciales del caso anterior.
0
10
20
30
40
50
60
70
0 200 400 600 800 1000x (m)
Prof
undi
dad
(m)
t=0
hm in=0.000001
hmin/h0=0.001
hmin/h0=0.005
hmin/h0=0.01
hm in/h0=0.05
Figura 4-8: Efecto de la capa mínima (hmin) en el perfil de profundidad de un canal inclinado
con fricción
En esta figura se muestra claramente la presencia de un frente en cada una de las curvas, el
cual es más definido a medida que la capa de agua tiene mayor espesor, como consecuencia de
la resistencia artificial que este frente le proporciona al fluido, actuando como una especie de
obstáculo o barrera. Sin embargo para una hmin muy pequeña de 0.000001 m se observa la
formación de un perfil parabólico, tal como era de esperarse al no estar muy alejados del
dominio en la que es valida la solución de Ritter (1982), hasta aquellos resultados donde se
aprecia un núcleo con una elevación de agua bastante significativa como es el caso de un
hmin/h0 igual a 0.05.
En las pruebas numéricas realizadas para el estudio de la condición de estabilidad del modelo
se observó que el parámetro que tiene una mayor sensibilidad y afecta notablemente los
resultados es la profundidad o capa mínima de agua considerando fondo húmedo, lo cual
permitió tomar precauciones a la hora de seleccionar una hmin adecuada para cada caso a
simular.
75
4.2 Comparación con soluciones analíticas y con otros modelos
numéricos
En la sección se comparan los resultados del modelo presentado en este trabajo con soluciones
analíticas y con otros modelos numéricos obtenidos de trabajos realizados por otros
investigadores de este tipo de fenómenos.
4.2.1 Comparación del modelo con solución analítica
En este caso se plantea un problema de rompimiento de presa (ver tabla 4-3) con la solución
analítica de las ecuaciones de conservación obtenida por Henderson (1965), considerando un
canal con las caracteristicas resumidas en la siguiente tabla:
Parámetros Valores
m 1 [adimensional] - (triangular) n 0 [m-1/3s] – (liso) θ 0 [grados] - (horizontal) b 0 [m] L 1000 [m] h0 1 [m] para x≤500m L0 500 [m]
hmin 0.1 [m] para x>500m Vo 0 [m/s] t 112.9 [s] ∆x 1 [m]
Tabla 4-3: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, sin fricción con canal triangular.
Luego de 112.9 segundos se pueden observar el comportamiento de número de Froude a lo
largo del canal en la figura 4-9, obteniéndose los más altos valores en el frente de la onda,
debido a que es en esta zona donde se reflejan las mayores velocidades del fluido. Como es de
notarse el modelo presenta un buen ajuste a la solución analítica.
76
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 200 400 600 800 1000x (m )
Num
ero
Frou
deModelo Num érico (RFF)
Data Exacta
Figura 4-9: Comparación del modelo numérico con solución analítica
(Henderson, 1966)
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 200 400 600 800 1000x (m)
Num
ero
Frou
de
Modelo Numérico (RFF)
Modelo Numérico (SFF)
Data Exacta
Figura 4-10: Comparación del modelo numérico usando la RFF y SFF con la solución
analítica (Henderson, 1966)
El modelo presentado en la figura anterior esta basado en el cálculo de los flujos numéricos
usando la función de Roe; a continuación se presenta los resultados obtenidos con la función
de flujo simplificada presentada en la sección 3.5. En la figura 4-10 se percibe que la solución
obtenida a través de la SFF se ajusta muy bien al inicio del canal pero a medida que aumenta
la distancia se hace menos precisa, hasta llegar al final del canal donde presenta un porcentaje
de error promedio de 2.33 % con respecto a los resultados de la solución analítica. Sin
embargo es de destacar que los resultados obtenidos ocasionan menor gasto computacional al
ser comparado con los obtenidos usando RFF.
Solución analítica Este Modelo (RFF)
Este Modelo (RFF) Este Modelo (SFF) Solución analítica
77
0,001
0,01
0,1
1
10
0 20 40 60 80 100 120 140tiempo (sg)
% E
rror
(Vol
umen
)
RFF SFF
Figura 4-11: Comparación entre las variaciones del volumen total (% error) usando las
aproximaciones RFF y SFF en función del tiempo
Analizando un poco más los resultados obtenidos, se hicieron pruebas usando la función de
flujo tipo Roe (RFF) y la función de flujo simplificada (SFF) obteniéndose el porcentaje de
error en el cálculo de la conservación del volumen total dentro del sistema inclinado con
friccion sin considerar salida de masa de un canal durante 120 segundos; de la figura 4-11 se
obtiene que a medida que aumenta el tiempo aumenta el error volumétrico de forma
exponencial, presentándose con la RFF magnitudes de errores menores al 0.1% mientras que
con la SFF que alcanza un error de aproximadamente 5%, lográndose de esta manera mayor
precisión con el modelo usando RFF.
4.2.2 Comparación del modelo con otros modelos numéricos
Una vez comparado el modelo con soluciones analíticas, se simuló el caso presentado en la
sección 4.1.1 con hmin=0.1 m, para ser comparado los resultados obtenidos con un modelo ya
existente (Blanco & Garcia, 2006) en diferencias finitas basado en el esquema de
MacCormack en el que ha sido ampliamente validado. La figura 4-12 presenta las
profundidades a lo largo del canal luego de que el frente de onda ha recorrido 800 m,
mostrando una buena concordancia entre los resultados obtenidos con el modelo basado en el
78
esquema de MacCormack y usando la aproximación RFF para el cálculo de los flujos
numéricos. Cuando se utiliza la aproximación SFF se presenta un buen ajuste aguas arriba el
cual es menos preciso en el frente de la onda.
0
2
4
6
8
10
12
0 200 400 600 800 1000x (m )
Prof
undi
dad
(m)
M acCorm ackM odelo RFFM odelo S FF
Figura 4-12: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack
0
3
6
9
12
0 200 400 600 800 1000x (m)
Velo
cida
d P
rom
edia
(m/s
)
MacCorm ack
Modelo Num érico
Figura 4-13: Perfiles de velocidad comparados con el modelo MacCormack
A partir de este punto todos los resultados presentados fueron obtenidos usando la
aproximación RFF para el cálculo de los flujos numéricos. La figura 4-13 registra la
comparación de las respectivas velocidades promedias del fluido, donde las menores
velocidades están en aguas arriba (fluido en reposo) aumentando progresivamente hasta
obtenerse las mayores en las cercanías de la zona del frente de onda.
Este Modelo
79
Es de hacer notar que el modelo basado en el esquema de MacCormack presenta oscilaciones
en el frente de la onda aguas abajo. Los resultados obtenidos considerando un cambio en las
condiciones iniciales del caso anterior de h0=1 m se muestran en la figura 4-14, las
oscilaciones típicas del modelo de MacCormack las cuales no se presentan en el modelo
numérico aquí propuesto.
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0 200 400 600 800 1000x (m )
Pro
fund
idad
(m)
MacCorm ackModelo Num érico
Figura 4-14: Perfiles de profundidad comparados con el modelo MacCormack (h0=1m)
0
6
12
18
24
30
0 200 400 600 800 1000x (m )
Pro
fund
idad
(m)
MacCorm ack
Modelo Num érico
Figura 4-15: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.01)
comparados con el modelo MacCormack
Este Modelo
Este Modelo
80
Considerando el mismo caso que el presentado en la sección 4.1.1 se hicieron comparaciones
de los resultados del modelo incluyendo los efectos de las pendientes de fondo (θ=2°) y de
fricción (n) como se muestra en las siguientes figuras 4-15 y 4-16
Es de notarse que a medida que aumenta la resistencia al flujo el problema toma mayor
complejidad y los resultados entre ambos modelos muestran mayores diferencias en la zona
del frente. El modelo MacCormack es más sensible a la condición en el nodo en el que se
ubicaba inicialmente la represa, notándose un pequeño salto (apenas apreciable) en el nodo
central en la Fig. 4-16. Esta sensibilidad no se presenta para el modelo basado en volúmenes
finitos.
0
10
20
30
40
50
60
0 200 400 600 800 1000x (m)
Pro
fund
idad
(m)
MacCorm ack
Modelo Num érico
Figura 4-16: Perfiles de profundidad en un canal inclinado y con fricción (n=0.03)
comparados con el modelo MacCormack
En la figura 4-17 se consideró cambiar la forma del canal, donde para un canal triangular,
horizontal y sin fricción (tal como el caso que se describe en la sección 4.2.1) se obtienen los
números de Froude a lo largo del canal y son comparados con los simulados por Sanders
(2001). Esta figura refleja un buen ajuste en los resultados obtenido por los modelos,
obteniéndose una mayor precisión con nuestro modelo numérico de acuerdo a la solución
analítica presentada en la sección anterior (ver figura 4-9)
Este Modelo
81
-0,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
0 200 400 600 800 1000
x (m)
Num
ero
Frou
deModelo Sanders
Modelo Num érico
Figura 4-17: Perfiles de número de Fraude en un canal triangular comparados con el modelo
Sanders
4.3 Ajuste del modelo de erosión/deposición
Con el fin de evaluar la capacidad para representar fenómenos de erosión/deposición (ver
sección 3.8), se simuló un caso para aludes torrenciales del tipo granular. Las características
de los sedimentos gruesos y el fluido intersticial d,α, c* son definidas como valores de los
parámetros empíricos, por lo tanto para valores impuestos en el canal de θe y una descarga de
fluido constante (Q), los valores correspondiente para la profundidad de fluido, la
concentración y el cambio de nivel del fondo pueden ser calculado con las ecuaciones (2.25),
(2.28) y (2.31).
La simulación numérica presentada para este caso corresponde a un problema presentado por
Brufau et al. (2001), donde se tiene una corriente de flujo uniforme fluyendo en un canal:
Este Modelo
82
Parámetros Valores
m 0 [adimensional] - (rectangular) d 0.005 [m] θ 2θe y θe/2 θe 12.5 [grados] b 1 [m] L 30 [m] ρs 2000 [Kg/m3] ρl 1000 [Kg/m3] ho 0.043 [m] Vo 0.972 [m/s] t 0 - infinito [s] ∆x 0.1 [m]
Tabla 4-4: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica.
Donde para la fase sólida se consideró d como un diámetro promedio de las partículas, θe una
pendiente de equilibrio, ho una profundidad inicial fluido constantes, ρs una densidad del
sedimento y ρl una densidad de liquido. La concentración inicial se fijo igual a la
concentración de equilibrio. Se hicieron dos pruebas para pendientes iniciales uniformes, una
de θ= 2θe y otra de θ= θe/2, respectivamente.
0
2
4
6
8
10
12
14
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28x (m )
z (m
)
t=0 st=500 st=1500 st= infinitot=0 st=500 st=1500 st= infinito
30
Figura 4-18: Estados inicial, intermedio y final del nivel de fondo
θe/2
2θe
83
De la figura 4-18 se infiere la dependencia de la velocidad de erosión/deposición con la
variación de la pendiente de fondo; donde a medida que transcurre el tiempo la deposición de
sedimentos para el caso θ=2θe o la erosión del fondo para el caso θ=θe/2 evoluciona hasta
alcanzar la pendiente de equilibrio en un tiempo infinito. Estos resultados muestran una buena
concordancia con los resultados presentados en los trabajos de Brufau et al. (2001) y Blanco
(2004).
4.4 Validación del Modelo Numérico con Experimentos de
laboratorio Una serie de experimentos para problema de rompimiento de presa parcial fueron realizados
en la Waterways Experiments Station (WES), U.S. corps de Ingenieros (1960). Los resultados
de los casos referenciados como 1.1 y 1.2 fueron usados en este trabajo con propósitos de
comparación y validación del modelo numérico.
Para efectos de los experimentos se utilizó un canal rectangular de madera plastificada con las
siguientes características:
Parámetros Valores
m 0 [adimensional] - (rectangular) n 0.009 y 0.05 [m-1/3s] θ 0.28648 [grados] - (Inclinado) b 1.22 [m] L 122 [m] h0 0.305 [m] L0 61 [m]
hmin 0.1 [m] Vo 0 [m/s] t 120 [s] ∆x 0.1 [m]
Tabla 4-5: Características de un problema de rompimiento de presa inclinada, con fricción con solución analítica.
El modelo de la presa fue ubicada en la mitad del canal, imponiéndole una altura de agua de
0.305 m (ver tabla 4-5). Los dos casos difieren sólo en el valor de la resistencia hidráulica de
84
la pendiente del canal, el caso 1.1 se refiere a una pendiente casi lisa, mientras que el caso 1.2
corresponde a una muy rugosa. Los detalles de la técnica experimental en cuanto a la
rugosidad de la pendiente del canal para simular la alta resistencia al flujo y una breve
discusión obtenida de los resultados experimentales de las pruebas WES, pueden ser
detallados en el trabajo de Sakkas & Strelkoff (1976).
La figura 4-19 representa en forma esquemática las condiciones iniciales del problema y la
ubicación de los sensores en las cuatro estaciones del canal (-30.5, 0, 24.4 y 45.7 m), para
determinar la profundidad del fluido, siendo x = 0 m el punto medio de la longitud del canal,
donde también es ubicada la presa.
En esta sección se presentaran los resultados obtenidos aplicando el modelo Reológico de
Manning.
Figura 4-19: Diagrama esquemático de la ubicación de los sensores a lo largo del canal en las pruebas WES
4.4.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1)
Este caso corresponde a una superficie casi lisa con un coeficiente de Manning de 0.009 m-1/3s;
la figura 4-20 contiene las profundidades de flujo resultantes obtenidas por el modelo
comparado con los datos experimentales, en cada estación en ciertos intervalos de tiempo
hasta alcanzar los 120 segundos. Es de notar que el modelo es bastante estable, demostrando
que el esquema es muy robusto.
θ
h0
-30.5 m
0 m
24.4 m
x
45.7 m
-61 m
61 m
85
Las tendencias simuladas corresponden a las obtenidas por los experimentos donde se pueden
observar sólo pequeñas diferencias entre los valores medidos en cada estación con los
predichos numéricamente.
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
0,00
0,08
0,15
0,23
0,30
0,38
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0 20 40 60 80 100 120
tiempo (sg)
h(m
)
X =-31,5 m X = 0 m
X =24,4 m X = 45,7 m
Figura 4-20: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios
hidrográficos del caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)
4.4.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2)
Con el propósito de incluir un caso de mayor fricción en el canal se tomó el de alta pendiente
identificado como WES 1.2, con un coeficiente n=0.05 m-1/3s, al igual que el punto anterior se
obtuvieron las curvas de profundidad en función del tiempo, en las cuatros estaciones, ver
figura 4-21, donde se nota un ajuste satisfactorio a los datos experimentales; para la estación
donde x=45.7 m no se cuenta con resultados experimentales, pero los resultados numéricos
muestran una tendencia similar a la esperada para el perfil de profundidad ,de acuerdo con las
secuencias de perfiles anteriores.
Luego de todas estas validaciones, se consideró, a partir de los resultados presentados en este
capítulo, que el modelo reproduce simulaciones con bastante exactitud, precisa, con una buena
86
estabilidad numérica que permiten aplicar el modelo de manera confiable para el caso de los
aludes torrenciales.
0,04
0,07
0,1
0,13
0,16
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
0,05
0,13
0,20
0,28
0,35
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
0
0,03
0,06
0,09
0,12
0,15
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
0
0,03
0,06
0,09
0,12
0 20 40 60 80 100 120tiempo (sg)
h (m
)
X =-31,5 m X = 0 m
X =24,4 m X = 45,7 m
Figura 4-21: Validación del modelo usando la relación de Manning con los escenarios
hidrográficos del caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)
87
5 CAPITULO V
RESULTADOS
En este capítulo se presentan la calibración del modelo numérico aplicando las diferentes
relaciones reológicas con la data experimental obtenida por Waterways Experiments Station
(WES) y con data de campo (datos reales) las cuales fueron recolectadas en el evento de alud
torrencial ocurrido en el Valle Kamikamihori en Japón el 3 de Agosto de 1976 (Okuda et al.,
1980). Estas simulaciones cubren dos aspectos muy importantes como lo son el problema del
escalamiento de modelos reológicos a escala de laboratorio y real respectivamente.
Finalmente se muestra una comparación con los resultados del simulador comercial FLO2D y
con los del modelo publicado por Rickenmann & Koch (1997) con los datos de este mismo
evento en Japón.
5.1 Aplicación del Modelo Numérico a una Data Experimental
Una vez validado el modelo general con la ecuación de Manning (ver sección 4.4) se probaron
los cinco modelos reológicos restantes que están acoplados en el modelo numérico general:
fluido de Voellmy, fluido inercial-dilatante, fluido de Bingham ecuación cúbica, fluido de
Bingham simplificado y la formulación de Takahashi (detallados en la sección 2.2). Con el fin
de calibrar estos modelos fueron usados los experimentos realizados por WES para baja y alta
pendiente hidráulica:
88
5.1.1 Caso baja pendiente hidráulica (WES 1.1)
Como primera aproximación se utilizó el problema WES 1.1, para la obtención de los
resultados fue necesario ajustar cada uno de los modelos basándose en los obtenidos por la
ecuación de Manning (n=0.009 m-1/3s), los parámetros ajustados obtenidos se muestran en la
siguiente tabla:
Modelos Parámetros Valores
Manning n 0.009 [m-1/3s] C2 70.71 [m1/2s-1] Voellmy δ 0 [grados]
Inercial-Dilatante ξ 850 [m1/2s-1] τB 0.001 [Pa] Bingham
Simplificado µB 0.09 [Pa s] τB 0.001 [Pa] Bingham Cúbica µB 0.09 [Pa s] d 0.02 [m] θe 0.3 [grado] Takahashi ρs 1500 [Kg/m3]
Tabla 5-1: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.1
donde C2 es la constante de Chezy, δ es el ángulo de fricción interna, ξ es el parámetro de
rugosidad, τB es el esfuerzo de Bingham, µB la viscosidad de Bingham, d es el diámetro
promedio de sedimento, θe es la pendiente de equilibrio y ρs es la densidad del sedimento.
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0 20 40 60 80 100 120tiem po (s)
h (m
)
D ata W ES Ec. M anningF lu ido Voellm yF lu ido Inerc ia l D ila tanteF lu ido B ingham S im plificadoF lu ido B ingham Ec. CubicaM odelo T akahash i
Figura 5-1: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=-31.5 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)
89
En la figura 5-1 se presentan las profundidades del flujo para la primera estación (-31.5 m)
reflejándose que los ajustes realizados en cada uno de los modelos permitieron reproducir el
comportamiento de la profundidad del fluido durante los 120 segundos de simulación. Para el
intervalo de tiempo entre 0 y 30 segundos se alcanzó un ajuste excelente del modelo a los
datos experimentales, el que es ligeramente sobre estimado al incrementar el tiempo hasta
alcanzar los 70 segundos donde todos los modelos coinciden en sus resultados, a partir de allí
se hallan pequeñas diferencias con los datos experimentales, hasta el final de la simulación
donde el mejor ajuste es obtenido por el modelo de Voellmy seguido del modelo de Manning.
La figura 5-2 corresponde a la segunda estación (0 m), donde se colocó originalmente la presa
removible. Ésta figura exhibe inicialmente ciertas diferencias entre los resultados obtenidos
por los modelos y el primer dato experimental. No es sorprendente que los resultados del
modelo aparezcan de esta manera, ya que para el tiempo t=0s representa el instante en el que
se remueve la presa, colocándose la profundidad del agua en 0.305 m, ésta disminuye
rápidamente los primeros 10 segundos, de allí en adelante los todos los modelos reológicos se
ajustan muy bien a los datos del experimentos.
0,00
0,07
0,14
0,21
0,28
0,35
0 20 40 60 80 100 120tiem po (s)
h (m
)
Data W ES Ec. M anningF luido Voellm yF luido Inercia l D ilatanteF luido B ingham S im plificadoF luido B ingham Ec. CubicaM odelo Takahashi
Figura 5-2: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=0 m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)
Para la tercera estación se presentan los resultados en la figura 5-3 donde al inicio se observa
una capa de agua que representa la consideración de una superficie húmeda, luego de estos
primeros diez segundos, el agua comienza a irrumpir en este punto, siendo simulado bastante
90
bien por los seis modelos los cuales a partir de allí se tienen ciertas diferencias entres ellos,
pero logran predecir satisfactoriamente la tendencia de los datos experimentales.
0 ,00
0 ,02
0 ,04
0 ,06
0 ,08
0 ,10
0 20 40 60 80 100 120tiem p o (s )
h (m
)
D ata W E S E c. M ann ingF lu ido V oe llm yF lu ido Ine rc ia l D ila tan teF lu ido B ingham S im p lificadoF lu ido B ingham E c . C ub icaM ode lo T ak ahash i
Figura 5-3: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=24.4m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)
Los perfiles de profundidades obtenidos en la figura 5-4 son simulados en la ultima estación
(45.7 m). Como era de esperarse el agua comienza a irrumpir en esta zona a los veinte
segundos y al igual que la figura anterior, en este tiempo se puede ver la presencia de una
capa de agua inicial. En general, se presentan muy pequeñas diferencias entre los modelos y
un buen ajuste a los datos experimentales.
0,00
0,03
0,05
0,08
0,10
0 20 40 60 80 100 120tiempo (s)
h (m
)
Data W ES Ec. ManningFluido VoellmyFluido Inercial DilatanteFluido Bingham SimplificadoFluido Bingham Ec. CubicaModelo Takahashi
Figura 5-4: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=45.7m, caso WES 1.1 (condición de baja resistencia)
91
5.1.2 Caso alta pendiente hidráulica (WES 1.2)
Con el propósito de tener un caso experimental con mayor fricción se simuló el caso WES 1.2.
Al igual que en el caso anterior se tomó como guía la ecuación de Manning (n=0.05 m-1/3s);
para el ajuste de los cinco modelos restantes se tiene que:
Modelo Parámetros Valores
Manning n 0.05 [m-1/3s] C2 12.247 [m1/2s-1] Voellmy δ 0 [grados]
Inercial-Dilatante ξ 104 [m1/2s-1] τB 0.01 [Pa] Bingham
Simplificado µB 1.1 [Pa s] τB 0.01 [Pa] Bingham Cúbica µB 1.1 [Pa s] d 0.02 [m] θe 0.4 [grado] Takahashi ρs 1500 [Kg/m3]
Tabla 5-2: Parámetros ajustados para los diferentes modelos reológicos aplicados a WES 1.2
0 ,04
0 ,07
0 ,09
0 ,12
0 ,14
0 ,17
0 20 40 60 80 100 120tiem po (s )
h (m
)
D ata W E S E c . M ann ingF lu ido V oe llm yF lu ido Inerc ia l D ila tan teF lu ido B ingham S im p lif icadoF lu ido B ingham C ub icaM ode lo T akahash i
Figura 5-5: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=-31.5 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)
92
0 ,0 5
0 ,1 2
0 ,1 9
0 ,2 6
0 ,3 3
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0t ie m p o (s )
h (m
)
D a ta W E S E c . M a n n in gF lu id o V o e llm yF lu id o In e rc ia l D ila ta n teF lu id o B in g h a m S im p lif ic a d oF lu id o B in g h a m C u b ic aM o d e lo T a k a h a s h i
Figura 5-6: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=0 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)
Las figura 5-5 refleja los perfiles de profundidad de flujo en la primera estación donde se tiene
un buen ajuste de los resultados, siendo el modelo de fluido inercial-dilatante y la formulación
de Takahashi los que logran las mejores predicciones de los datos experimentales. Esto es
luego confirmado en las figuras 5-6 y 5-7 donde estos dos modelos también muestran
excelentes resultados. La figura 5-7 exhibe como el fluido tarda mucho más tiempo (30
segundos) en irrumpir en la tercera estación con respecto al caso de baja pendiente. La figura
5-8 representa las simulaciones del punto x= 45.7 m, la cual no pudo ser validada por ausencia
de los datos experimentales, sin embargo los modelos coinciden en la forma de la tendencia de
la curva obtenida; basándose en los casos ya estudiados, se asegura que el perfil presentado es
el esperado en esta ultima estación.
0 ,00
0 ,03
0 ,05
0 ,08
0 ,10
0 ,13
0 ,15
0 20 4 0 60 80 1 00 120tie m p o (s )
h (m
)
D a ta W E S E c . M ann in gF lu ido V oe llm yF lu ido Ine rc ia l D ila ta n teF lu ido B ingh am S im p lif icadoF lu ido B ingh am C u b icaM od e lo T ak a hash i
Figura 5-7: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=24.4 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)
93
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 20 40 60 80 100 120tiempo (s)
h (m
) Ec. ManningFluido VoellmyFluido Inercial DilatanteFluido Bingham SimplificadoFluido Bingham CubicaModelo Takahashi
Figura 5-8: Validación del modelo usando las diferentes relaciones reológicas el escenario
x=45.7 m, caso WES 1.2 (condición de alta resistencia)
Las consecuencias de estos resultados son sumamente importantes. La posibilidad de ajustar
distintos modelos reológicos a data experimental proveniente de un canal de una longitud tan
grande pone en entredicho la utilización de canales a escala de laboratorio para la
determinación de las propiedades de los fluidos que se movilizan durante un alud torrencial.
En efecto, la mayoría de las experiencias corresponden a canales cuya longitud es del orden de
los 10 m, la cual es sustancialmente menor a la utilizada en los experimentos de WES.
5.2 Aplicación del Modelo Numérico a un Evento Real
El evento de alud torrencial ocurrido en el valle de Kamikamihori en Japón se caracterizó por
contener un material de composición aproximadamente similar a la de un alud torrencial del
tipo alpino (Rickenmann & Koch, 1997).
La longitud del tramo donde se realizaron las observaciones fue de 3000 metros;
presentándose un ancho constante de 10 metros a lo largo del canal inicial, hasta llegar al
vértice del abanico a una distancia de 1900 metros, desde este punto es ampliado a un ancho
de 15 m en x= 2000 m; y más adelante, aguas abajo, tiene una ampliación de 10 m por cada
100 m de la distancia longitudinal. La figura 5-9 indica en forma esquemática los cambios de
ancho del canal así como su ubicación a lo largo del perfil longitudinal, en la que se puede
94
observar las fuertes variaciones de la pendiente de fondo a lo largo del tramo en estudio, la
cual se encuentra oscilando alrededor de un ángulo de 13 grados.
1 4 00
1 5 00
1 6 00
1 7 00
1 8 00
1 9 00
2 0 00
0 200 40 0 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 260 0 2 80 0 3 00 0x (m )
Elev
acio
nes,
z (m
)
11
5 m
15
m
10
m
10
m
1010
10
10
1 4 00
1 5 00
1 6 00
1 7 00
1 8 00
1 9 00
2 0 00
0 200 40 0 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 260 0 2 80 0 3 00 0x (m )
Elev
acio
nes,
z (m
)
11
5 m
15
m
10
m
10
m
1010
10
10
Figura 5-9: Perfil longitudinal (Japón) y cambios en el ancho del tramo del Valle
Kamikamihori seleccionado para el estudio.
En cuanto al hidrógrama en la entrada (x = 0m), se fijó una profundidad de fluido inicial (hj=0
= h0) de 2.5 metros y con una velocidad inicial de flujo (Vj=0 = V0) de 6.5 m/s, estas
condiciones de entrada permanecieron constante hasta alcanzar una longitud de 270 metros y
un volumen total del hidrograma (sedimento + agua) de aproximadamente 6500 m3; a partir de
este punto (t > 40 segundos) se realiza un cambio en las condiciones de entrada a Vj=0= 0 m/s y
(∂h/∂x)j=0 = 0 hasta alcanzar el tiempo total de simulación.
Los parámetros seleccionados de acuerdo al estudio de estabilidad realizado en el capitulo
anterior fueron para el fondo húmedo, hmin/h0 = 0.0004, un número de Courant de 0.2 y un
tamaño de malla ∆x = 1.5 m.
95
Las ciertas características del evento y condiciones de entradas se encuentran resumidas en la
siguiente tabla:
Parámetros Valores
m 0 [adimensional] θ Variados b Variados L 3000 [m]
hj=0 2.5 [m] Vj=0 6.5 [m/s]
hmin/h0 0.0004 [adimensional] ∆x 1.5 [m]
NºC 0.2
Tabla 5-3: Características y condiciones de entrada del evento real de alud torrencial.
Es necesario destacar que Rickenmann & Koch (1997) en su trabajo supuso en la data medida
y observada en el campo un margen de incertidumbre de +/- 20 % el cual también es supuesto
en el presente trabajo.
5.2.1 Calibración del Modelo Numérico
Los parámetros físicos obtenidos para el ajuste de los modelos reológicos contenido en esta
sección, han sido calibrados con el propósito de hallar los mejores ajustes para la reproducción
de las velocidades observadas con la cual el frente de fluido llega a cada uno de los puntos del
tramo del terreno perteneciente al valle de Kamikamihori. A continuación se presentan los
resultados obtenidos para cada relación reológica para tres valores diferentes en sus
respectivos parámetros de ajuste.
5.2.1.1 Simulaciones aplicando la relación de la ecuación de Manning
Seleccionando el modelo reológico con la ecuación de Manning al evento seleccionado, se
tiene que las curvas para los tres coeficientes de fricción se ajustan bastante bien a las
velocidades del frente de fluido, representadas en la figura 5-10.
En forma general, se puede observar que las mayores velocidades con la cual el frente de
fluido irrumpe cada uno de los puntos del canal, son obtenidas al inicio del evento, durante los
96
primeros 1000 metros, a partir de allí el flujo pierde energía debido a los efectos de la alta
resistencia hidráulica de la superficie, como se muestra en la figura 5-9, la pendiente de fondo
es mas suave para una distancia entre 1000 y 1900 m, disminuyendo los efectos de gravedad
sobre el flujo; finalmente para una distancia mayor a 1900 m el fluido se deposita
completamente perdiendo todo su movimiento (V≈ 0 m/s) debido a la presencia del abanico
aluvial.
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
n=0.1
n=0.12
n=0.15
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
n=0.1
n=0.12
n=0.15
Figura 5-10: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning (n) y las
velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
La figura anterior revela que a medida que aumenta el coeficiente de Manning diminuye la
velocidad, lo cual era de esperarse de acuerdo a la ecuación (2.14); obteniéndose para n = 0.12
m-1/3s los mejores ajustes con la velocidad del frente medida a lo largo de 2500 metros. De
acuerdo a la literatura (Munson et al., 1990) el orden de este coeficiente corresponde a un flujo
con arrastre de árboles y vegetación.
5.2.1.2 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Voellmy
Para este caso se aplicó el modelo reológico del fluido Voellmy, las curvas para los tres
valores ajustados de Chezy (C2 igual a 80, 100 y 120 m-0.5s-1) se exhiben en la figura 5-11. Se
observo que a medida que se incrementa este valor, disminuye la pendiente hidráulica y por
ende aumenta la velocidad del fluido. El modelo de Voellmy tiene un buen ajuste a los datos
de campo, seleccionándose para C2 el valor de 100 m-0.5s-1 como la curva que presenta el
97
mejor ajuste en promedio entre los tres valores del coeficiente representados en la figura 5-11.
Las tendencias obtenidas con esta relación son similares a las obtenidas por la relación
newtoniana turbulenta de Manning.
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
C2=80
C2=100
C2=120
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
C2=80
C2=100
C2=120
Figura 5-11: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Chezy (C2) y las
velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
5.2.1.3 Simulaciones aplicando la relación del fluido inercial-dilatante
El modelo reológico del fluido inercial-dilatante presenta una diferencia considerable con la
tendencia de los datos medidos, presentados en la figura 5-12. Como es de notarse
inicialmente tiende a sobre estimar la velocidad del frente (x>1000 m), ocasionando la
disminución de la velocidad, el modelo subestima la velocidades observadas en dirección
aguas abajo del canal. Es necesario destacar que varias simulaciones fueron hechas con este
modelo y una vez que se lograba ajustar la tendencia inicial de los datos de campos al final del
tramo del terreno se presentaban diferencias muy grandes y viceversa. Los mejores ajuste
promedios obtenidos fueron con los tres coeficientes de rugosidad presentados en la figura.
98
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)E2=20
E2=31
E2=40
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)E2=20
E2=31
E2=40
Figura 5-12: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de rugosidad (ζ2) y las
velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
5.2.1.4 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham simplificado
Para el caso de coeficiente de Bingham simplificado se sensibilizaron dos parámetros el
esfuerzo y la viscosidad (τB y µB). En este trabajo se utilizaron diferentes valores para ambos
parámetros del modelo simplificado, observando que los resultados obtenidos en los intervalos
seleccionados de ajuste, los efectos por la variación de los valores del esfuerzos de Bingham
eran pequeños al compararse con los efectos ocasionados por los cambios en la viscosidad de
Bingham y es por esta razón que en la figura 5-13 solo se presentan variaciones en µB para un
valor de τB constante. Los ajustes presentados en esta figura revelan considerables diferencias
entre las tendencias de las velocidades del modelo y las reales. En este modelo la velocidad es
sobreestimada al inicio (como consecuencia de la ausencia de términos que tomen en cuenta la
turbulencia) y subestimada al final del canal (debido a la influencia del esfuerzo de cadencia)
en mayor porcentaje que en el modelo anterior.
Se considerará como mejor ajuste promedio de la relación simplificada de Bingham el caso
cuando τB= 100 Pa y µB= 650 Pa s.
99
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)tauB= 100 miuB=700
tauB= 100 miuB=650
tauB= 100 miuB=600
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)tauB= 100 miuB=700
tauB= 100 miuB=650
tauB= 100 miuB=600
Figura 5-13: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la
ecuación simplificada y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
5.2.1.5 Simulaciones aplicando la relación del fluido de Bingham
V e l. O b se rva d a (+ /- 20 % ), 3 A u g 1 9 76
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cidad
del
frent
e (m
/s)
tauB=100 miuB=650
tauB=100 miuB=700
tauB=100 miuB=800
V e l. O b se rva d a (+ /- 20 % ), 3 A u g 1 9 76
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cidad
del
frent
e (m
/s)
tauB=100 miuB=650
tauB=100 miuB=700
tauB=100 miuB=800
Figura 5-14: Simulaciones obtenidas para diferentes viscosidades de Bingham (µB) de la
ecuación cúbica y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
100
Para el modelo reológico de Bingham caracterizado por la ecuación cúbica (ver sección 2.2.4)
se observan tendencias muy parecidas a las del modelo simplificado pero mayores tiempos de
simulación y por ende un mayor gasto computacional. Se observa en la figura 5-14 que al
igual que los dos casos anteriores, en estas leyes de flujos laminares, la velocidad es
sobreestimada al inicio y subestimada al final del canal. El ajuste promedio seleccionado en
este caso para τB= 100 Pa y µB= 700 Pa s, a pesar de que no se diferencia en gran manera con
µB= 800 Pa s debido a lo alejado de la data real.
5.2.1.6 Simulaciones aplicando la relación formulada por Takahashi
Con la aplicación de esta relación reológica propuesta por Takahashi (1991) se están
considerando aparte de los efectos de propagación de flujo los efectos de la deposición de
sedimentos. Basándonos en un estudio de calibración para este modelo, se variaron los
diámetros promedios de sedimentos y se fijaron los siguientes parámetros: θe= 15°, ρs=1500
kg/m3, α=20°, c*=cv=0.7 y un coeficiente empírico de erosión muy pequeño de K=0.001, ya
que las velocidades de erosión obtenidas fueron muy elevadas. La figura 5-15 corresponde a
los resultados obtenidos en este caso.
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
12,5
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l Fre
nte
(m/s
) d=0.6 m
d=0.4 m
d=0.3 m
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
12,5
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l Fre
nte
(m/s
) d=0.6 m
d=0.4 m
d=0.3 m
Figura 5-15: Simulaciones obtenidas para diferentes diámetros de sedimentos promedios (d) y
las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
101
Es de notar en esta figura que los resultados se ajustan satisfactoriamente a los medidos en
campo y concuerdan con los valores de diámetros promedios de sedimentos utilizados para
este tipo de evento, los cuales varían de 1 µm a 10 m (ver sección 1.1). Sin embargo se
requiere un conocimiento mucho mayor de la granulometría local a los efectos de determinar
el diámetro de partículas óptimo. Se considera la curva para un diámetro promedio de
sedimentos de 0.4 m como la que presenta el mejor ajuste usando este modelo.
5.2.1.7 Comparación de los seis modelos reológicos
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Manning (n=0.12)Dilatante (E2=31)Voellmy (C2=100)Bingham simplificado (tauB= 100 miuB=700)Bingham Ec Cubica (tauB= 100 miuB=650)Takahashi (d=0.4)
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Manning (n=0.12)Dilatante (E2=31)Voellmy (C2=100)Bingham simplificado (tauB= 100 miuB=700)Bingham Ec Cubica (tauB= 100 miuB=650)Takahashi (d=0.4)
Figura 5-16: Simulaciones de los mejores ajuste de los parámetros en las relaciones reológicas con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
Los mejores ajustes obtenidos en las secciones anteriores para las velocidades de propagación
del frente de flujo con el modelo aplicando las seis relaciones reológicas a la data observada
en campo son mostradas en la figura 5-16. Es de notar usando el modelo newtoniano de
Manning, Voellmy y Takahashi se obtiene un buen ajuste a la data de campo, además se
muestran tendencias similares en las curvas de estas tres relaciones. Sin embargo los modelos
de Bingham e Inercial-dilatante no logran ajustar completamente la data del evento; esto es de
esperar ya que estos últimos modelos son del tipo laminar presentan la ausencia de termino
que tomen en cuenta la turbulencia predicendo altas velocidades de frentes artificiales al inicio
del canal que decae bruscamente al alcanzar alrededor de los 850 metros del tramo en estudio
102
debido a la influencia del esfuerzo de cedencia, subestimando las velocidades del frente hasta
el final del canal.
5.2.2 Comparación del Modelo Numérico con simulaciones realizadas en FLO2D
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
n=0.12
n=0.15
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
n=0.12
n=0.15
Figura 5-17: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el
simulador comercial FLO2D y las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
Usando el paquete comercial FLO2D (O’Brien et al., 1993) basados en el esquema numérico
de diferencias finitas, el cual es muy usado para la descripción de eventos de aludes
torrenciales, se utilizaron los datos recopilados del evento detallado en la sección 5.2.1.1 y se
hicieron dos simulaciones usando dos coeficientes de Manning n=0.12 y 0.15 m-1/3s. Las
velocidades de propagación del frente de onda a lo largo del canal obtenidas con FLO2D se
presentan en la figura 5-17, donde inicialmente se encuentran las oscilaciones típicas en los
perfiles aplicando este tipo de esquema numérico y luego se tiene un buen ajuste de las curvas
con los observados en campos.
En la figura 5-18 se comparan los resultados obtenidos por la herramienta computacional
FLO2D con los del modelo numérico usando la relación de Manning bajo las mismas
condiciones, donde para ambos la mejor calibración fue con un coeficiente de fricción igual a
n=0.12 m-1/3s. Además se tiene una solución más estable numéricamente y con una tendencia
103
más ajustada a la data observada durante el evento por parte del modelo numérico desarrollado
en este trabajo.
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Manning n=0.12Manning n=0.15FLO2D n=0.12FLO2D n=0.15
Vel. Observada (+/- 20%), 3 Aug 1976
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Manning n=0.12Manning n=0.15FLO2D n=0.12FLO2D n=0.15
Figura 5-18: Simulaciones obtenidas para diferentes coeficientes de Manning(n) en el simulador comercial FLO2D y en el modelo numérico con respecto a las velocidades
observadas para el alud torrencial en Japón
5.2.3 Comparación del Modelo Numérico con el Modelo de Rickenmann & koch
Rieckenmann & Koch (2003) incorporaron en su modelo cuatro relaciones reológicas
diferentes (Manning, Voellmy, Bingham con ecuación cúbica e inercial-dilatante), para
predecir las velocidades de propagación del frente de flujo en el mismo evento de alud
torrencial analizado anteriormente (ver sección 5.2).
La figura 5-19 expone la comparación entre las velocidades del frente de onda obtenidas a
través de la ecuación de Manning incluida en modelo numérico y a partir del modelo
presentado por Rickenmann & Koch con la data observada en campo; se puede apreciar que
usando un coeficiente de Manning igual a 0.15 m-1/3s inicialmente ambos modelos presentan
pequeñas diferencias y tendencias similares hasta alcanzar aproximadamente una longitud de
104
1000 metros donde los resultados son muy parecidos entre si, mostrándose un buen ajuste a la
data observada.
En esta figura se incluyó la calibración del modelo numérico obtenido para n = 0.12 m-1/3s, el
cual demuestra una mejor predicción de los datos reales a lo largo de todo el canal. El uso de
este valor del coeficiente de fricción esta más en acuerdo con lo esperado en campo
(Rieckenmann & Koch, 2003).
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Modelo Sanders (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.12)
0
2,5
5
7,5
10
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
0
2,5
5
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0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Modelo Sanders (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.15)Modelo Numérico (n=0.12)
Figura 5-19: Simulaciones usando la Ec. De Manning – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial
en Japón
Los ajustes obtenidos en las velocidades para ambos modelos considerando el fluido de
Voellmy son graficados en la figura 5-20, existen ciertas diferencias en ambas tendencias
considerando C2=120 m s-2 pero reproducen de manera aceptable las velocidades del frente de
fluido; sin embargo una mejor calibración se tiene usando este modelo con un C2=100 m s-2.
Modelo R&K (n= 0.15) Este Modelo (n= 0.15) Este Modelo (n= 0.12)
Modelo R& K (n=0.15) Este Modelo (n=0.15) Este Modelo (n=0.12)
105
0,0
2,5
5,0
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0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)Modelo Sanders (C2=120)
Modelo Numérico (C2=120)Modelo Numérico (C2=100)
0,0
2,5
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7,5
10,0
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
0,0
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5,0
7,5
10,0
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)Modelo Sanders (C2=120)
Modelo Numérico (C2=120)Modelo Numérico (C2=100)
Figura 5-20: Simulaciones usando el Fluido de Voellmy – Comparando Modelo de
Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
0,0
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
15,0
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20,0
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0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Modelo Sanders (ζ2=31)Modelo Numérico (ζ2=31)
0,0
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12,5
15,0
17,5
20,0
22,5
0 500 1000 1500 2000 2500x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Modelo Sanders (ζ2=31)Modelo Numérico (ζ2=31)Modelo Sanders (ζ2=31)Modelo Numérico (ζ2=31)
Figura 5-21: Simulaciones usando el Fluido Inercial Dilatante – Comparando Modelo de
Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el alud torrencial en Japón
Modelo R& K (C2=120) Este Modelo (C2=120) Este Modelo (C2=100)
Modelo R& K (ζ2=31) Este Modelo (ζ2=31)
106
La mejor predicción de la data real es obtenida aplicando la relación reológica de fluido
inercial-dilatante se obtiene con el modelo aquí desarrollado porque la reproducida con el
modelo de Riecknmann & Koch se aleja demasiado de la data real, como se presenta en la
figura 5-21, en este caso ambos modelos coinciden en el parámetro de rugosidad ajustado
empíricamente a ζ2 = 31 m-1/2s-1.
La figura 5-22 contiene los perfiles de las velocidades de frente a través de la relación del
fluido Bingham con τB= 100 Pa y µB= 800 Pa s para ambos modelos numéricos, mostrándose
que este tipo de ley de resistencia al flujo no logra predecir el comportamiento de este evento
con ninguno de los dos modelos.
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
0 500 1000 1500 2000 250x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Modelo Sanders (τB=100 µB=800)Modelo Numérico (τB=100 µB=800)
0
2,5
5
7,5
10
12,5
15
0 500 1000 1500 2000 250x (m)
Velo
cida
d de
l fre
nte
(m/s
)
Modelo Sanders (τB=100 µB=800)Modelo Numérico (τB=100 µB=800)Modelo R&K (τB=100 µB=800)Este Modelo (τB=100 µB=800)
Figura 5-22: Simulaciones usando el Fluido Bingham (Ec. Cúbica) – Comparando Modelo de Rickenmann & Koch y Modelo Numérico con respecto a las velocidades observadas para el
alud torrencial en Japón
Los perfiles obtenidos en las figuras 5-21 y 5-22 por el modelo numérico presenta la misma
forma de las curvas obtenidas por el modelo de Rickenmann & Koch, pero en este trabajo se
predicen de forma más precisa los datos observados durante el evento real.
107
5.3 Algunas observaciones finales
En este capítulo se presentó la aplicación del modelo con data experimental y de campo donde
se encontró un punto muy importante que ha sido obviado en trabajos anteriores, como es la
obtención de un buen ajuste con la aplicación de las seis relaciones reológicas a los datos
experimentales (WES), donde en unas estaciones se hace difícil saber cual relación se ajusta
mejor a la data experimental (ver sección 5.1) y en otras estaciones se montan unas curvas con
otras revelando un comportamiento muy similar a lo largo del canal con una longitud 122
metros. Las consecuencias de este hecho deberían ser tomadas en cuenta al tratar de ajustar
modelos en canales de laboratorio y pretender establecer luego consecuencias a escala real.
Sin embargo cuando se aplican estas relaciones reológicas a un evento real (valle
Kamikamihori) donde se tiene un tramo de canal de 3000 metros se encontró que los modelos
Manning, Voellmy y Takahashi producen resultados bastante exactos logrando reproducir el
comportamiento de los perfiles de velocidad del frente de onda del evento, a diferencia de las
relaciones de fluido inercial-dilatante y Bingham (ec. simplificada y cúbica) que no logran
predecir el comportamiento de los perfiles de velocidades en la data real, a diferencia de lo
observado para experimentos de laboratorio en los cuales presentaron, en muchos casos, los
mejores ajuste a la data experimental. Basándose en lo expuesto anteriormente es valido
afirmar que en este tipo de fenómeno influye en gran manera la escala y la formulación
empleada para modelar la pendiente de fricción con la que se realicen las simulaciones,
estableciendo que no necesariamente un modelo que sea validado a nivel experimental pueda
generar los parámetros reológicos necesarios para que un modelo dado pueda predecir la
magnitud de un evento real de aludes torrenciales.
Tanto este capítulo como el anterior muestran que este modelo basado en volúmenes finitos es
capaz de reproducir de manera estable y con un alto grado de exactitud el comportamiento
físico de los aludes torrenciales.
108
6 CAPITULO VI
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Las conclusiones más relevantes de este trabajo y recomendaciones de interés para trabajos
futuros se plantean a continuación.
Se generó un esquema numérico basado en el método de los volúmenes finitos que presenta
una alta resolución de la ecuación de St. Venant para canales no rectangulares y no
prismáticos usando el método de Volúmenes Finito tipo Godunov.
La función de Roe para resolver el problema de Riemann es más exacta que la función
simplificada para los cálculos de los flujos numéricos de las ecuaciones de conservación,
debido a que asegura una mayor conservación de volumen requiriendo sin embargo de un
mayor gasto computacional.
Física y numéricamente, el comportamiento de los resultados obtenidos usando el método de
Volúmenes finitos es más exacto, robusto y estable que los obtenidos con métodos basados en
Diferencias Finitas, para los distintos casos aquí analizados.
La comparación de los resultados del modelo con resultados de soluciones analíticas,
resultados de otros modelos numéricos y principalmente la validación con los datos
experimentales presentados en este trabajo, demuestran que el esquema es bastante preciso y
estable numéricamente, para el conjunto de relaciones de resistencia al flujo aquí
consideradas.
Las velocidades de propagación de onda obtenidas por el modelo son altamente afectadas por
la altura mínima de agua seleccionada para considerar fondo húmedo. La selección de la
profundidad a asignar a esta altura mínima de agua debería ser una variable a determinar
109
sistemáticamente para cada problema particular a resolver, de manera a garantizar la
independencia de los resultados de este parámetro numérico.
El modelo numérico predice muy bien el comportamiento físico de problemas de rompimiento
de presa y flujo continuo de agua tanto clara como cargada de sedimento.
El modelo con la incorporación de las diferentes leyes de resistencia de flujo y del modelo
erosión-deposición reproduce y describe satisfactoriamente el comportamiento físico de los
aludes torrenciales. La evolución de la elevación del fondo por efectos de erosión y deposición
de sedimentos es reproducida de manera satisfactoria por el modelo. Sin embargo la solución
numérica de la ecuación de concentración de sólidos es un punto que requerirá de mayor
análisis debido a que el modelo es fuertemente sensible cuando se consideran altas
velocidades de erosión o deposición.
Los resultados obtenidos son fuertemente influenciados por la selección del tipo de ley de
resistencia de flujo o modelo reológico que se aplique.
Los mejores ajustes al evento de alud torrencial que ocurrió en Japón en el año 1976 fueron
obtenidos con el término de resistencia de flujo Newtoniano turbulento de la ecuación de
Manning o con el coeficiente de Chezy considerando fluido tipo Voellmy.
Las predicciones de velocidades de propagación que se obtienen por el modelo numérico son
más precisas que las de otros modelos numéricos como el de Rickenmann & Koch.
Para la validación y calibración de las relaciones reológicas de un modelo numérico es muy
importante tomar en consideración los efectos de escalamiento; ya que un modelo que sea
validado experimentalmente no necesariamente puede reproducir el comportamiento de un
evento real.
El modelo numérico esta apto para incluir tributarios y/o servir de base para el desarrollo de
un modelo bidimensional (2D) que permita estudiar con más detalles el comportamiento de los
aludes torrenciales en la zona del abanico fluvial.
110
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