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Calculo Integral
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CALCULO INTEGRAL
AREAS DE UNA REGIN
PLANA
AREA DE REGIONES PLANAS
La integral definida de una funcin en un intervalo dado nos da como resultado el rea bajo la curva
AREA BAJO UNA CURVA
BARRIDO VERTICAL
x
y
x
y
a bx
Barrido Vertical
REA ENTRE CURVAS
Pasos para hallar el rea de una regin
plana en coordenadas rectangulares.
EJEMPLO
Determinar el rea de la regin definida por las dos curvas.
x
y
x
y
(3,7)
(-2,2)
Determinar los puntos de interseccin
Barrido Vertical
x
y
dx
REA DE REGIONES SIMPLE - Y
BARRIDO HORIZONTAL
x
y
x
y
c
dy
Barrido Horizontal
EN FORMA GENERAL
EJEMPLO
SOLUCIN
BARRIDO HORIZONTAL
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
MTODO DEL
DISCO
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCINMTODO DE LAS ARANDELAS:
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCINMTODO DE LA CORTEZA
El slido diferencial tendra la forma de una
CORTEZA:
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
x
y
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
VOLMENES DE SLIDOS DE REVOLUCIN
POR MEDIO DE SECCIONES TRANSVERSALES CONOCIDAS
Hasta ahora, nuestros slidos haban tenido secciones
transversales circulares. Sin embargo, el mtodo de encontrar
el volumen funciona tambin para slidos cuyas secciones
transversales son cuadrados o tringulos. En realidad, todo lo
que se necesita es que las reas de las secciones transversales
puedan determinarse, ya que, en este caso, tambin podemos
aproximar el volumen de la rebanada una capa con esta
seccin transversal.
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
a x1 x2 xi-1 xi xn=b
P0
P1 P2
Pi
Pi-1
Pn
C
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
35
Ejemplo 1:Calcula la longitud de arco de la parbola semicbicay2 = x3 entre los puntos (1; 1) y (4; 8)
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
x
y
37
Ejemplo 3:a) Plantee una integral para hallar la longitud de un arco de
la hiprbola xy = 1, de (1; 1) hasta (2; ).b) Con ayuda de un asistente matemtico calcule la integral
planteada en a).
38
Ejemplo 4:
Determina la longitud de un arco de la curva
, desde (1; 1) hasta un punto de
abscisa x.8
)xln(2xy
39
Ejemplo 5:
Calcula la longitud de cada una de las curvas en
los intervalos indicados.
21)1() 32 xxya
31) 24
81
4 xyb
xx
40)cos(ln) xxyc
40
Ejemplo 6:Trace la curva cuya ecuacin esy calcule su longitud aprovechando su simetra.
13/23/2 yx
41
Ejemplo 7:Calcula la longitud de la curva:
41,11
3 xdttyx
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
Encuentre el rea de la superficie de revolucin generada al hacer girar
la curva = , , en torno al eje x
REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCINUna superficie de revolucin se forma cuando se hace girar una
curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se
desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de
revolucin y que la cascara se aplana para poder medir su rea.
GIRA CON RESPECTO AL EJE X GIRA CON RESPECTO AL EJE Y
REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCINDEDUCCIN DE LA FRMULA
REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN
REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN
Gira alrededor del eje X Gira alrededor del eje Y
Funcin : = () Funcin : = ()
= = 2 () 1 + (
)2dx = = 2
() 1 + (
)2dy
Funcin : = () Funcin : = ()
= = 2 1 + (
)2dy = = 2
1 + (
)2dx
REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN
REAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIN
Encuentre el rea de la superficie de revolucin generada al hacer
girar la curva:
Alrededor del eje x
Hallar el rea de la curva: y= x Entre los puntos A(0,0) y B(4,2) El rea generada ser: 4
A = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx 0 y = 1 / 2.x 4 A = 2.. x. [ 1 + (1 / 2.x)2 ]. dx = 0 4 4 = 2.. x. [ 1 + 1 / 4x ]. dx = 2.. [ x + 1 / 4 ]. dx ; 0 0 4,25 4,25 Cambio: x+0,25 = t ; dx = dt 2.. t . dt = 2..(2/3).[ t3/2 ] = 36,177 0,25 0,25
EJEMPLO_1
-2
Hallar el rea de la curva: y= x2
Entre los puntos A(0,0) y B(2,4) El rea generada ser: 2
A = 2.. f(x). (1+ [ f (x) ] 2 ) dx ,, y= 2x 0 2 2 A = 2.. x2 [ 1 + (2x)2 ]. dx = 2.. x2 . (1 + 4.x2 ) dx = 0 0
EJEMPLO_2
y= x2
0 1 2 x
4
Hallar el rea engendrada por la rotacin entorno al eje X de la curva: 9.y2 = x.(3 x)2
y2 = (1/9).x. (3 x)2 Corta en x= 0 y en x = 3 y= (1/3). x. (3 x) Consideramos la rama positiva. y = (1/3). (1 / 2x). (3 x) + (1/3).x. ( 1) 3 x x (y )2 = (--------- -------)2
6x 3 El rea ser: 3 (3 x)2 x 3 x
A = 2. (1/3). x. (3 x). [ 1 + ---------- + ------- ---------- ]. dx = 0 36.x 9 9 3 36.x + 9 6x + x2 + 4.x2 12.x + 4x2
= 2. (1/3). x. (3 x). [ ------------------------------------------------ ]. dx 0 36.x
EJEMPLO_3
3 9.x2 + 18.x + 9 = 2. (1/3). x. (3 x). [ -------------------- ]. dx 0 36.x 3 x2 + 2x + 1 = 2. (1/3). x. (3 x). [ ---------------- ]. dx 0 4.x 3 (x + 1) = 2. (1/3). x. (3 x). ------------. dx 0 2. x 3 = 2. (1/6). (3 x). (x + 1). dx 0 3 = 2. (1/6). (3 x). (x + 1). dx 0 3 3 = 2. (1/6). (2.x + 3 x2 ) dx = 2..(1/6).[ x2 + 3x (1/3).x3 ] = 3. u2
0 0
0 1 2 3
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
VALOR MEDIO O VALOR PROMEDIO
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
INTERPRETACIN GEOMTRICA
b
a
cfabdxxf )(*)()(
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALESEJEMPLO 1:
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES
Determinar el valor medio de la funcin = () para el
intervalo [ 0,
]
TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALESEn cierta ciudad la temperatura (en ) t horas despus de las 9
A.M se model mediante la funcin = + (
).
Calcule la temperatura promedio durante el periodo de 9 A.M
hasta 9 P.M.
=1
=1
12 0
12
50 + 14
12
La densidad lineal, de una varilla de 8 mts. de longuitud es (kg/m) ,
donde x se mide en metros desde un extremo de la varilla. Determine la
densidad promedio de la varilla.
12
+ 1
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