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Transformada Inversa de Laplace

Prof. Eng. Antonio Carlos Lemos Júnior

Controle de Sistemas Mecânicos 2

AGENDA

Transformada Inversa de Laplace Exercícios

3

Transformada Inversa de Laplace

Objetivo: O objetivo desta seção é fazer uma introdução à Transformada Inversa de Laplace e sua aplicação em engenharia.

Controle de Sistemas Mecânicos

4

Transformada Inversa de Laplace A transformada inversa de Laplace converte

equações em função da variável complexa s para equações em função do tempo t;

Usado em conjunto com a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais ordinárias, lineares e com coeficientes constantes.

Controle de Sistemas Mecânicos

5

Transformada Inversa de Laplace Definição da Transformada inversa de Laplace:

∫∞+

∞−

− ==jc

jc

ts dssFej

tfsFL )(.)()]([ .

π211

f(t) = função do tempo t, tal que f(t) = 0 para t<0;s = variável complexa ou freqüência (1/segundos);L-1 = operação de Transformação inversa de Laplace;F(s) = transformada de Laplace de f(t), é uma função complexa de números complexos;t é a variável tempo em segundos;Convenção: letras minúsculas denotam o sinal em função do tempo, letras maiúsculas denotam a transformada de Laplace do sinal.

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada Inversa de Laplace

Método de expansão em frações parciais A função F(s) apresenta a seguinte forma:

nnnn

mmmm

asasasabsbsbsb

sDsNsF

++++++++==

−−

−−

11

10

11

10

...

...)()()(

N(s) e D(s) são polinômios em s.

As raízes de numerador N(s) são os ZEROS da função F(s)

As raízes do denominador D(s) são os POLOS da função F(s)

Controle de Sistemas Mecânicos

7

Transformada Inversa de Laplace

[ ] [ ] [ ] [ ])(...)()()( sFLsFLsFLsFL n1

21

111 −−−− +++=

[ ] )(...)()()()( tftftftfsFL n+++==−21

1

E se as transformadas inversas de F1(s), F2(s),..., Fn(s) forem conhecidas (usando tabelas de transformadas), então:

Se F(s) puder ser decomposta em frações parciais:

)(...)()()( sFsFsFsF n+++= 21

Controle de Sistemas Mecânicos

8

Transformada Inversa de Laplace

Caso 1: F(s) contém somente pólos simples.

( )( ) ( )( )( ) ( )n

m

pspspszszszsK

sDsNsF

++++++==

......

)()()(

21

21

-p1, -p2, ... , -pn são os pólos de F(s) e são valores reais ou complexos distintos. Neste caso a expansão será:

com n>m

n

n

psA

psA

psA

sDsNsF

+++

++

+== ...

)()()(

2

2

1

1

Controle de Sistemas Mecânicos

9

Transformada Inversa de Laplace

A transformada inversa de F(s) será a função f(t):

[ ] tpn

tptp neAeAeAtfsFL −−−− +++== ...)()( 2121

1

Os coeficientes Ai são conhecidos como resíduos:

( )kps

kk pssDsNA

−=

+=

)()(

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada Inversa de Laplace

( ) ( )213

+++=ss

ssF )(

2121

++

+=

sA

sAsF )(

( )( ) ( )1

1 121

3

−=

+++

+=s

sss

sA

Exemplo 1: achar a transformada inversa de Laplace de:

A expansão de F(s) em frações parciais é:

Os resíduos são:

( )( ) ( )2

2 221

3

−=

+++

+=s

sss

sA

( ) 22131

23

1

=+−+−=

++=

−=sss

( ) 11232

13

2

−=+−+−=

++=

−=sss

Controle de Sistemas Mecânicos

11

Transformada Inversa de Laplace

Assim a transformada inversa é:

tt eetf 22 −− −=)(

21

12

+−+

+=

sssF )(

F(s) pode ser escrita como:

Controle de Sistemas Mecânicos

12

Transformada inversa de Laplace

Exemplo 2: achar a transformada inversa de:

52122

2 +++=ss

ssF )(

Pólos: -1-j2 e -1+j2

( )( ) 21212121122 21

jsA

jsA

jsjsssF

−++

++=

−++++=)(

F(s) pode ser decomposta como:

Controle de Sistemas Mecânicos

13

Transformada inversa de Laplace

Os resíduos são:

( )( ) ( )

5214

4102121

1242

2112221

2121122

21211

,jjj

jjj

jssjs

jsjssA

jsjs

+=−

−=−+−−

+−−=

−+

+=

++

−++++=

−−=−−=

Como A1 é complexo, A2 é o conjugado complexo de A1.

5212 ,jA −=

Controle de Sistemas Mecânicos

14

Transformada inversa de Laplace

Assim F(s) pode ser reescrita como:

21521

21521

jsj

jsjsF

−+−+

+++= ,,)(

E a transformada inversa será:

[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) tjtj ejejtfsFL 21211 521521 −−+−− −++== ,,)()(

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada inversa de Laplace

( ) ( ) ( ) ( ) tjtj ejejtf 2121 521521 −−+− −++= ,,)(

Lembrando algumas identidades trigonométricas[ ][ ]

=+=+=+

−=−+++=−++

−−−+−

−+−−−

qparctgqprcomAsenrsenAqAp

tysenbtyaeebjaebjatysenbtyaeebjaebja

txtyjxtyjx

txtyjxtyjx

θθ ,:),(..cos.

).(.).cos(..)..()..().(.).cos(..)..()..(

.).().(

.).().(

22

22

Lembrando f(t):

( ) ( )[ ]ttetf t 25222 sin,cos)( += −Resulta em:

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada inversa de Laplace

Caso 2: existem r pólos iguais, neste caso F(s) é:

)())(()()(

)()()(

211 nrrr pspspsps

sNsDsNsF

++++==

++

A função F(s) pode ser reescrita como:

)()()()()()()(

1

1

11

1

12

1

2

1

1

n

n

r

rr

rr

r

psA

psA

psB

psB

psB

psBsF

+++

++

++

+++

++

+=

+

+−

−

Os resíduos Ai para pólos distintos são calculados como visto anteriormente.

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada inversa de Laplace

( )

( )

( )

( )1

1

1

1

)()(

)!1(1

)()(

!1

)()(

)()(

11

1

1

1

11

1

ps

rr

r

ps

rl

l

lr

ps

rr

ps

rr

sDsNps

dsd

rB

sDsNps

dsd

lB

sDsNps

dsdB

sDsNpsB

−=−

−

−=

−

−=

−

−=

+

−=

+=

+=

+=

Os resíduos Bi dos pólos múltiplos são calculados por:

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada inversa de Laplace

( ) 3

2

132

+++=

ssssF )(

( ) ( ) 33

221

111 ++

++

+==

sB

sB

sB

sDsNsF)()()(

Exemplo 1 - calcular a transformada inversa de:

Expansão por frações parciais:

( ) ( ) [ ] 23211

321

2

1

33

2

3 =++=

+

+++= −=

−=

ss

ssssssBResíduo:

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada inversa de Laplace

( ) ( ) [ ]1

2

1

33

2

2 3211

32

−=−=

++=

+

+++=

ss

ssdsds

sss

dsdB { } 022 1 =+= −=ss

( ) ( ) [ ]1

22

2

1

33

2

2

2

1 32211

132

21

−=−=

++=

+

+++=

ss

ssdsds

sss

dsdB

!!

Resíduo:

{ } 1222

21

1 === −=s!

Controle de Sistemas Mecânicos

20

Transformada inversa de Laplace

( ) ( ) 32 12

10

11

++

++

+==

ssssDsNsF)()()(Assim:

A transformada inversa:

( ) ( ) nL

atn

aset

n +⇔

−−− 1

11 1

!Lembrando a tabela de Laplace

L−1 [F s]= f t =e−t012t 2e−t

Controle de Sistemas Mecânicos

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Transformada inversa de Laplace

)(. tuVvdtdv

dtvd

inCCC 1000010000402

2

=++

[ ]sVsVvssVvsvsVs in

CCCCCC 1000010000040002 =+−+′−− )()()()()()(

[ ] [ ])(tuLVvLdtdvL

dtvdL inC

CC 1000010000402

2

=+

+

Exemplo de aplicação - resolver a equação diferencial:

Passo 1: aplicar a transformada de Laplace em todos elementos da EDO. Supondo condições iniciais nulas.

sVsVssVsVs inCCC

11000010000402 =++ )()()(

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Transformada inversa de Laplace

( )s

VsVss inC11000010000402 =++ )(

( )100004010000

2 ++=

sssVsV in

C )(

( ) ( ) 982098209820982010000 321

jsA

jsA

sA

jsjssVsV in

C −++

+++=

−+++=)(

Isolando VC(s) da equação:

Pólos de VC(s): 0, -20+j98, -20–j98

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Transformada inversa de Laplace

( )( ) ( )( ) inin

s

in Vjj

Vsjsjss

VA =−+

=

−+++

== 98209820

1000098209820

10000

01

( )( ) ( )

( )( ) ( ) inin

js

in

Vjjjj

V

jsjsjss

VA

⋅−−=−+−−−−

=

=

++

−+++=

−−=

1050982098209820

10000

982098209820

10000

98202

,,

Resíduos:

( ) inVjA ⋅+−= 10503 ,,

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Transformada inversa de Laplace

( ) ( )98201050

98201050

jsVj

jsVj

sVsV ininin

C −++−+

++−−+= ,,,,)(

( ) ( ) tjin

tjininC ejVejVVtv )()( ,,,,)( 98209820 10501050 −−+− +−+−−+=

[ ][ ]

=+=+=+

−=−+++=−++

−−−+−

−+−−−

qparctgqprcomAsenrsenAqAp

tysenbtyaeebjaebjatysenbtyaeebjaebja

txtyjxtyjx

txtyjxtyjx

θθ ,:),(..cos.

).(.).cos(..)..()..().(.).cos(..)..()..(

.).().(

.).().(

22

22

( )[ ]tteVVtv tininC 981098502 20 sin,cos,)( −−+= −

VC(s) pode ser reescrita como:

Aplicando a transformada inversa em cada termo de VC(s):

Lembrando:

Resulta em: teVteVVtv t

int

ininC 982098 2020 sin,cos)( −− −−=

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Transformada inversa de Laplace

vin=10;t=0:.00001:0.5;vc=vin-vin*exp(-20.*t).*cos(98.*t)-0.2.*vin.*exp(-20.*t).*sin(98.*t);plot(t,vc);xlabel('Tempo(s)');ylabel('Tensão de Entrada (V)');title('Excitação ao Degrau ');

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Exercícios 1) Calcular a transformada inversa de Laplace:

)3)(1(2)(

+++=sss

ssF ( ) )3(21)( 3 ++

=ss

sF

( ) )2(2561)( 2 +++

=sss

sF20020

200)( 2 ++=

sssF

F s= 15s−3s−2 ² s1

F s= 2s3s² s4s2

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Exercícios

( ) ( )0fssFtfdtdL −=

)( ( ) ( ) ( )002

2

2

ffssFstfdtdL ′−⋅−=

)(

[ ] ( ) [ ]0

1=∫∫ +=t

dttfss

sFdttfL )()(

2) Resolva as equações diferenciais usando Laplace:v

dtdvRCvi +=

LLi vdtvLRv += ∫

∫++= vdtLRv

dtdvRCvi

vdtvdLC

dtdvRCvi ++= 2

2

com RC =1, e vi = degrau unitário

com R/L = 10, vi = degrau unitário

com RC = 1, LC = 2, vi = degrau unitário

com R/L = 10 e RC = 1, vi = degrau unitárioCondições iniciais nulas para todos

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28

FIM

Muito Obrigado!

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