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calculo avanzado 3er nivel ing civil
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Trabajo Prctico
El siguiente trabajo prctico consta de tres partes y cada una de ellas tiene como objetivos que el alumno sea capaz de: Parte I: Resolver Ecuaciones Algebraicas y no Algebraicas, resolver Sistemas de Ecuaciones Lineales y obtener polinomios de interpolacin. Parte II: Obtener una solucin aproximada a la solucin de un problema de valor inicial mediante distintos mtodos numricos.
Presentacin del Trabajo Prctico
Para cada ejercicio se debe presentar los siguientes tems:
Planteo del problema Introduccin terica: se realiza una pequea introduccin terica de los mtodos a aplicar. Desarrollo: En los casos que sea necesario Resumen de Resultados: A travs de una tabla y/o un grfico se presentaran los resultados obtenidos. Comentarios y Conclusiones
Observaciones: Con Gn indica un nmero que est relacionado con el nmero del grupo, el cul es utilizado en la definicin de algunos ejercicios. En los ejercicios que tienen (*) deben consultar teora para su realizacin
PARTE IEcuaciones Algebraicas y no Algebraicas
Ejercicio 1:
Resuelva la siguiente ecuacin ex +(Gn)-x + Gncos(x)- 6 =0. a) Mediante un anlisis grfico determinar el intervalo que contiene a la raz buscada.(En el caso en que sean varias buscar la menor positiva) Utilizar el Mtodo de Biseccin. b) Calcular la raz con una tolerancia para el error absoluto de 0.02. Utilizar 5 decimales. c) Verificar el clculo obtenido, mejorando la aproximacin, utilizando otro mtodo que consideren conveniente. Obtenga conclusiones sobre los resultados obtenidos por los mtodos utilizados.
RESOLUCIN
MTODO DE BISECCINEn general si f(x) es real y continua en el intervalo [xl ;xu] , si analizamos la funcin en sus extremos y vemos que f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, entonces hay al menos una raz real entre xl y xu. Aprovechando esta caracterstica, los mtodos de bsqueda incremental logran localizar el cambio de signo (la raz) con ms exactitud mediante una divisin de dicho intervalo en varios subintervalos.El Mtodo de Biseccin es un tipo de bsqueda incremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si la funcin cambia de signo sobre un intervalo, se evala el valor de la funcin en el punto medio y la posicin de la raz se determina situndola en el punto medio del subintervalo dentro del cual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obtener una mejor aproximacin:
Paso 1: Elija valores inciales inferior y superior que encierren la raz, de forma tal que la funcin cambie de signo en el intervalo. Esto se verifica comprobando que f() * f() < 0.Paso2: Una aproximacin de la raz se determina mediante:Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en qu subintervalo est la raz:Si f() * f() < 0 , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo inferior o izquierdo. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.Si f() * f() > 0 , entonces la raz se encuentra dentro del subintervalo superior o derecho. Por lo tanto, haga y vuelva al paso 2.Si f() * f() = 0 , la raz es igual a y termina el clculo.
SolucinFuncin: ex + 10-x + 10*cos(x) 6
Grafica
a) Mtodo de la biseccinN IteracinExtremos del intervaloAproximacinf(xl)f(xu)f(xr)Error absolutoError relativo (%)
f(xl)*f(xu) 9, considerar Gn = nmero de grupo +2. Solo en este ejercicio.
1. Primero use el mtodo de Euler y luego el mtodo de RungeKuttade orden 4 con paso h=0.25 en cada caso. 1. Realice lo mismo con h=0.1 y con h=0.05.1. La solucin para el problema de valor inicial, la solucin exacta es
Calcule en cada caso el error cometido para y(0.5), y(1.25) y en y(2)
RESOLUCIN
MTODO DE RUNGE KUTTAEnanlisis numrico, losmtodos de Runge-Kuttason un conjunto de mtodos genricos iterativos, explcitos e implcitos, de resolucin numrica deecuaciones diferenciales.Sea una ecuacin diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condicin de que el valor inicial de sea. Entonces el mtodo RK (de ordens) tiene la siguiente expresin, en su forma ms general:,Dondehes el paso por iteracin, o lo que es lo mismo, el incrementoentre los sucesivos puntosy. Los coeficientesson trminos de aproximacin intermedios, evaluados en de manera local
Concoeficientes propios del esquema numrico elegido, dependiente de laregla de cuadraturautilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explcitos o implcitos dependiendo de las constantesdel esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir,para, los esquemas son explcitos.
MTODOS DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDENUn miembro de la familia de los mtodos Runge-Kutta es usado tan comnmente que a menudo es referenciado como RK4 o como el mtodo Runge-Kutta.Definiendo un problema de valor inicial como:
Entonces el mtodo RK4 para este problema est dado por la siguiente ecuacin:
Donde
As, el siguiente valor (yn+1) es determinado por el presente valor (yn) ms el producto del tamao del intervalo (h) por una pendiente estimada. La pendiente es un promedio ponderado de pendientes, dondees la pendiente al principio del intervalo,es la pendiente en el punto medio del intervalo, usandopara determinar el valor deyen el puntousando elmtodo de Euler.es otra vez la pendiente del punto medio, pero ahora usandopara determinar el valor dey;es la pendiente al final del intervalo, con el valor deydeterminado por. Promediando las cuatro pendientes, se le asigna mayor peso a las pendientes en el punto medio:
1. Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.25:
N IteracinValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin
xiyif'(xi;yi)hyi+1
001-20.250.5
10.250.520.251
20.51-20.250.5
30.750.520.251
411-20.250.5
51.250.520.251
61.51-20.250.5
71.750.520.251
821-20.250.5
Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.25: N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de paso
x(i)y(i)h
101-20.75-3.417968751.201007840.25
20.250.744377930.79459726-0.104982810.89574290-1.568439470.25
30.500.778031180.51632160-0.093404560.61594505-1.103703730.25
40.750.797101970.34656114-0.071490750.42719565-0.765432790.25
51.000.809291060.23348641-0.051752700.29394234-0.523768740.25
61.250.817378430.15649435-0.036224990.19979565-0.353807170.25
71.500.822787950.10411939-0.024768570.13418150-0.236347880.25
81.750.826396170.06879413-0.016654190.08921327-0.156494970.25
920.828788560.04519988-0.011066770.05885949-0.102942160.25
1. Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.1N IteracinValores InicialesPendienteTamao de pasoAproximacin
xiyif'(xi;yi)hyi+1
001-20.10.8
10.10.80.320.10.832
20.20.8320.0133120.10.8333312
30.30.83333122.1333E-050.10.83333333
40.40.83333335.4614E-110.10.83333333
50.50.833333300.10.83333333
60.60.833333300.10.83333333
70.70.833333300.10.83333333
80.80.833333300.10.83333333
90.90.833333300.10.83333333
1010.833333300.10.83333333
111.10.833333300.10.83333333
121.20.833333300.10.83333333
131.30.833333300.10.83333333
141.40.833333300.10.83333333
151.50.833333300.10.83333333
161.60.833333300.10.83333333
171.70.833333300.10.83333333
181.80.833333300.10.83333333
191.90.833333300.10.83333333
2020.833333300.10.83333333
Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1
N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de pasoh
x(i)y(i)
001-2-0.72-1.511552-0.158001930.1
10.10.889648234-0.60120543-0.27081796-0.44969541-0.11499820.1
20.20.853694395-0.20858549-0.10050155-0.15618214-0.04769840.1
30.30.840866873-0.07601645-0.03749437-0.05697248-0.018403380.1
40.40.836144314-0.02820463-0.01403104-0.02114769-0.006967940.1
50.50.834385481-0.01053476-0.00525741-0.00790024-0.002622050.1
60.60.833727612-0.00394465-0.00197093-0.00295837-0.000984530.1
70.70.833481149-0.00147842-0.00073901-0.0011088-0.000369380.1
80.80.833388759-0.00055429-0.00027712-0.00041572-0.000138540.1
90.90.833354117-0.00020784-0.00010392-0.00015588-5.1956E-050.1
1010.833341127-7.7939E-05-3.8969E-05-5.8454E-05-1.9484E-050.1
111.10.833336256-2.9227E-05-1.4613E-05-2.192E-05-7.3066E-060.1
121.20.833334429-1.096E-05-5.48E-06-8.22E-06-2.74E-060.1
131.30.833333744-4.11E-06-2.055E-06-3.0825E-06-1.0275E-060.1
141.40.833333487-1.5412E-06-7.7062E-07-1.1559E-06-3.8531E-070.1
151.50.833333391-5.7797E-07-2.8898E-07-4.3347E-07-1.4449E-070.1
161.60.833333355-2.1674E-07-1.0837E-07-1.6255E-07-5.4184E-080.1
171.70.833333341-8.1276E-08-4.0638E-08-6.0957E-08-2.0319E-080.1
181.80.833333336-3.0479E-08-1.5239E-08-2.2859E-08-7.6197E-090.1
191.90.833333334-1.143E-08-5.7148E-09-8.5721E-09-2.8574E-090.1
2020.833333334-4.2861E-09-2.143E-09-3.2145E-09-1.0715E-090.1
Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.05 :N IteracinValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin
xiyif'(xi;yi)hyi+1
001-20.050.9
10.050.9-0.720.050.864
20.10.864-0.3179520.050.8481024
30.150.8481024-0.150308170.050.84058699
40.20.840587-0.073167970.050.83692859
50.250.8369286-0.036107710.050.83512321
60.30.8351232-0.017937190.050.83422635
70.350.8342263-0.008939720.050.83377936
80.40.8337794-0.004462680.050.83355623
90.450.8335562-0.002229550.050.83344475
100.50.8334448-0.001114330.050.83338903
110.550.833389-0.000557050.050.83336118
120.60.8333612-0.00027850.050.83334726
130.650.8333473-0.000139240.050.8333403
140.70.8333403-6.9619E-050.050.83333681
150.750.8333368-3.4809E-050.050.83333507
160.80.8333351-1.7404E-050.050.8333342
170.850.8333342-8.7022E-060.050.83333377
180.90.8333338-4.3511E-060.050.83333355
190.950.8333336-2.1755E-060.050.83333344
2010.8333334-1.0878E-060.050.83333339
211.050.8333334-5.4389E-070.050.83333336
221.10.8333334-2.7194E-070.050.83333335
231.150.8333333-1.3597E-070.050.83333334
241.20.8333333-6.7986E-080.050.83333334
251.250.8333333-3.3993E-080.050.83333334
261.30.8333333-1.6996E-080.050.83333333
271.350.8333333-8.4982E-090.050.83333333
281.40.8333333-4.2491E-090.050.83333333
291.450.8333333-2.1246E-090.050.83333333
301.50.8333333-1.0623E-090.050.83333333
311.550.8333333-5.3114E-100.050.83333333
321.60.8333333-2.6557E-100.050.83333333
331.650.8333333-1.3279E-100.050.83333333
341.70.8333333-6.6393E-110.050.83333333
351.750.8333333-3.3196E-110.050.83333333
361.80.8333333-1.6599E-110.050.83333333
371.850.8333333-8.2985E-120.050.83333333
381.90.8333333-4.1508E-120.050.83333333
391.950.8333333-2.0754E-120.050.83333333
4020.8333333-1.0377E-120.050.83333333
Aplicacin del mtodo de Runge Kutta de orden 4 con paso h=0.05N IteracinValores Incialesk1k2k3k4Tamao de pasoh
x(i)y(i)
001-2-1.33-1.54776675-0.988430730.05
10,050.927133631-1.04358493-0.73212357-0.82337003-0.559559240.05
20,10.887849203-0.58082246-0.41914858-0.46364281-0.325118930.05
30,150.865586502-0.33501489-0.24561975-0.26930921-0.192112820.05
40,20.852611622-0.19724271-0.14594232-0.15922877-0.114705350.05
50,250.84492587-0.11753801-0.08743958-0.09512727-0.068922530.05
60,30.840329251-0.07054649-0.05265107-0.05718351-0.041572770.05
70,350.837564348-0.04252496-0.03179933-0.03450199-0.02513450.05
80,40.835895497-0.02570041-0.01924075-0.02086342-0.015217610.05
90,450.83488611-0.0155567-0.01165485-0.01263315-0.009221380.05
100,50.834274826-0.00942557-0.00706452-0.00765582-0.005590770.05
110,550.833904351-0.00571409-0.00428386-0.0046418-0.003390660.05
120,60.833679717-0.00346528-0.00259833-0.00281521-0.002056740.05
130,650.833543475-0.00210195-0.00157623-0.00170771-0.001247750.05
140,70.833460829-0.00127515-0.00095627-0.00103601-0.000757010.05
150,750.833410689-0.00077363-0.00058019-0.00062856-0.00045930.05
160,80.833380269-0.00046938-0.00035202-0.00038137-0.000278680.05
170,850.833361812-0.00028479-0.00021359-0.00023139-0.000169090.05
180,90.833350613-0.0001728-0.0001296-0.0001404-0.00010260.05
190,950.833343818-0.00010485-7.8636E-05-8.5189E-05-6.2253E-050.05
2010.833339695-6.3618E-05-4.7714E-05-5.169E-05-3.7773E-050.05
211,050.833337193-3.8602E-05-2.8951E-05-3.1364E-05-2.292E-050.05
221,10.833335676-2.3422E-05-1.7567E-05-1.9031E-05-1.3907E-050.05
231,150.833334755-1.4212E-05-1.0659E-05-1.1547E-05-8.4383E-060.05
241,20.833334196-8.6233E-06-6.4675E-06-7.0065E-06-5.1201E-060.05
251,250.833333857-5.2324E-06-3.9243E-06-4.2513E-06-3.1067E-060.05
261,30.833333651-3.1749E-06-2.3811E-06-2.5796E-06-1.8851E-060.05
271,350.833333526-1.9264E-06-1.4448E-06-1.5652E-06-1.1438E-060.05
281,40.83333345-1.1689E-06-8.7667E-07-9.4972E-07-6.9403E-070.05
291,450.833333404-7.0925E-07-5.3194E-07-5.7626E-07-4.2112E-070.05
301,50.833333376-4.3035E-07-3.2276E-07-3.4966E-07-2.5552E-070.05
311,550.833333359-2.6112E-07-1.9584E-07-2.1216E-07-1.5504E-070.05
321,60.833333349-1.5844E-07-1.1883E-07-1.2873E-07-9.4075E-080.05
331,650.833333343-9.6138E-08-7.2104E-08-7.8112E-08-5.7082E-080.05
341,70.833333339-5.8334E-08-4.375E-08-4.7396E-08-3.4636E-080.05
351,750.833333337-3.5395E-08-2.6547E-08-2.8759E-08-2.1016E-080.05
361,80.833333335-2.1477E-08-1.6108E-08-1.745E-08-1.2752E-080.05
371,850.833333335-1.3032E-08-9.7737E-09-1.0588E-08-7.7375E-090.05
381,90.833333334-7.9072E-09-5.9304E-09-6.4246E-09-4.6949E-090.05
391,950.833333334-4.7978E-09-3.5984E-09-3.8982E-09-2.8487E-090.05
4020.833333334-2.9112E-09-2.1834E-09-2.3653E-09-1.7285E-090.05
1. La solucin para el problema de valor inicial, la solucin exacta es:
Calcule en cada caso el error cometido para y(0.5), y(1.25) y en y(2):
Valores exactosh= 0,25Errorh = 0,1Errorh = 0,05Error
xiyiyiyiyi
0,50.834270210.1657297890.83333330.000936910.83344480.00082541
1,250.83333390.50.3333338510.83333335.5092E-07
20.833333310.1666666660.83333333.362E-080.83333333.362E-08
Ejercicio 3:
a) Utilice el mtodo de Euler con paso h = 0.1 para obtener una solucin numrica y luego utilice spline cbicos para obtener una curva solucin en el intervalo [0, 2] para el siguiente
problema de valor inicial (PVI) Realice la grfica de la curva obtenida.
b) La solucin exacta para el problema de valor inicial es y(x)= eGnsenx, realice su grfica y compare con la solucin aproximada obtenida.
c) Realice el tem a) utilizando el mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1 y compare la solucin aproximada con la solucin exacta.
Resolucina) Aplicacin del mtodo de Euler con paso h=0.1N IteracinValores InicialesPendienteTamao de pasoAproximacinError Relativo (%)
xiyif'(xi;yi)hyi+1
0010,11
10,119,950041650,11,995004170
20,21,995004219,55236910,13,9502410749,8747914
30,33,950241137,73809440,17,7240505149,4966477
40,47,724050571,14321640,114,838372148,8579073
50,514,838372130,2189660,127,860268847,9454321
60,627,860269229,9407210,150,854340846,7400252
70,750,854341388,9554530,189,749886145,2155542
80,889,749886625,2934780,1152,27923443,3377099
90,9152,27923946,5828980,1246,93752441,0622947
101246,937521334,209130,1380,35843738,3328902
111,1380,358441725,291120,1552,88754935,0776795
121,2552,887552003,430910,1753,2306431,2050999
131,3753,230642014,883140,1954,71895426,5978414
141,4954,718951622,708530,11116,9898121,1044636
151,51116,9898790,1273320,11196,0025414,5275142
161,61196,0025-349,2270280,11161,079846,60640179
171,71161,07981495,987440,11011,481093,00777791
181,81011,4811-2298,106230,1781,67047-14,7900683
191,9781,67047-2527,059080,1528,964562-29,3999367
202528,96456-2201,269290,1308,837633-47,7736933
b) N IteracinValores exactosTamao de paso
xiyih
0010,1
10,12,71375740,1
20,27,29138350,1
30,319,2056030,1
40,449,115930,1
50,5120,814390,1
60,6283,276860,1
70,7627,771890,1
80,81304,48150,1
90,92523,16440,1
1014512,96590,1
111,17421,03340,1
121,211163,3440,1
131,315299,5980,1
141,419043,8080,1
151,521481,5530,1
161,621932,7460,1
171,720264,9510,1
181,816957,6830,1
191,912874,4610,1
2028892,59570,1
Notamos que las curvas son muy similares en su forma y recorrido, solo que la solucin exacta tiene un mximo de mayor valor en el mismo x que en el mtodo de Euler.c) Aplicacin del mtodo de RungeKutta de orden 4 con paso h=0.1N IteracinValores Incialesk1k4Tamao deValoresError
x(i)y(i)k2k3paso hExactos
1011014,981253917,468768227,33153880,110
20,12,70426,903516840,035692546,528050372,10021240,12,7137573930,36472219
30,27,23970,9507435104,51578120,776571184,5427030,17,2913834960,71321895
40,319,007181,584142263,837445302,470699453,6632410,119,205603141,03227186
50,448,472446,454323637,466662723,4649151060,279760,149,115930051,31156315
60,5118,9481043,87011459,02641635,991872331,965570,1120,81438821,54453783
70,6278,3802297,565723130,662063462,269314777,254010,1283,2768631,72880168
80,7616,0584711,868496231,435816787,361069020,914690,1627,77189271,8660096
90,81278,8978910,1627711380,784812196,069215530,95080,11304,4814821,96125878
100,92472,14415367,095118849,434719862,243824088,66850,12523,1643732,02206895
1114420,13023882,062127934,796528943,058133177,99530,14512,9659192,05710234
121,17267,05932963,097936417,529237123,075139784,58610,17421,0334142,07483745
131,210930,87439608,869340712,27140886,234640176,97950,111163,34432,08244396
141,314980,58840072,898137196,606336881,642831730,74530,115299,598332,08508799
151,418646,59131693,077324379,209923938,539214883,42170,119043,808222,08580979
161,521033,45714878,47914528,568924420,95662-6270,758850,121481,553432,08595813
171,621475,237-6270,66654-16743,3278-16329,0247-25565,75530,121932,745572,08596239
181,719842,218-25565,6054-33089,4867-32418,9356-37716,28480,120264,950662,08602877
191,816603,906-37724,4216-40560,5034-40169,7052-40692,24830,116957,683412,08623836
201,912605,954-40753,7349-39121,7006-39423,7745-36053,20090,112874,461212,08557811
2128707,656-36236,6357-31794,7631-32818,7762-27391,83170,18892,5957232,07970273
Ejercicio 4:
Un tanque de almacenamiento contiene un lquido con profundidad , donde = 0 cuando el tanque est lleno a la mitad. El lquido se extrae con una tasa de flujo constante a fin de satisfacer las demandasdiarias. Se suministra el contenido a una tasasenoidal de 3 2().
Para este sistema, la ecuacin de conservacin puede escribirse como:() = 3 2() (cambio en el volumen) = (flujo de entrada) (flujo de salida)
a) Como el rea de la superficie es constante en este caso, la ecuacin diferencial para la profundidad puede escribirse como: = 3 2() Emplee el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad , desde = 0 hasta 10 , con un tamao de paso de 0.5 . Los valores de los parmetros son = 1200 2 y = 500 3/. Suponga que la condicin inicial es = 0.
b) Suponga que el flujo de salida no es constante, sino que la tasa depende de la profundidad para este caso, la ecuacin diferencial para la profundidad puede escribirse como:
Use el mtodo de Euler para resolver cul sera la profundidad y, desde t=0 hasta 10 d, con un tamao de paso de 0,5 d. Los valores de los parmetros son A=1200m2 y Q=500m3/d, . Suponga que la condicin inicial es y=0.
Solucina) Teniendo en cuenta que:
Nmero de iteracionesValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin
xiyif'(xi;yi)hyi+1
100-0,416666670,5-0,20833333
20,5-0,20833333-0,129355610,5-0,27301114
31-0,273011140,468425110,5-0,03879858
41,5-0,038798580,827078640,50,37474074
520,3747407380,61686060,50,68317104
62,50,6831710360,031044470,50,69869327
730,69869327-0,39177310,50,50280672
83,50,502806722-0,262855580,50,37137893
940,3713789340,299270850,50,52101436
104,50,5210143610,777789750,50,90990923
1150,9099092350,732753040,51,27628575
125,51,2762857540,205567270,51,37906939
1361,37906939-0,319075390,51,21953169
146,51,219531695-0,358820910,51,04012124
1571,0401212420,122872570,51,10155753
167,51,1015575280,683138280,51,44312667
1781,4431266680,806870510,51,84656192
188,51,8465619220,380310420,52,03671713
1992,036717132-0,204364610,51,93453483
209,51,934534827-0,409607050,51,7297313
21101,7297313-0,046717960,51,70637232
Llegamos finalmente a un valor aproximado de la profundidad para t=10d y un tamao de paso de 0,5 d, siendo los valores de A=1200m2 y Q=500m3/d, y suponiendo como condicin inicial y=0:
b) Tendremos en este caso que:
Nmero de iteracionesValores IncialesPendienteTamao de pasoAproximacin
xiyif'(xi;yi)hyi+f'(xi;yi)*h
100-0,250,5-0,125
20,5-0,1250,082689170,5-0,083655415
31-0,083655410,665797020,50,249243096
41,50,2492430960,894676980,50,696581588
520,6965815880,481065620,50,937114396
62,50,937114396-0,226309070,50,823959864
730,823959864-0,590939380,50,528490172
83,50,528490172-0,318615120,50,369182612
940,3691826120,315410270,50,526887747
104,50,5268877470,722772930,50,888274209
1150,8882742090,500729110,51,138638765
125,51,138638765-0,159656960,51,058810283
1361,058810283-0,640932530,50,738344016
146,50,738344016-0,515139690,50,480774168
1570,4807741680,089061580,50,52530496
167,50,525304960,628854690,50,839732308
1780,8397323080,599698980,51,139581798
188,51,1395817980,014568960,51,146866279
1991,146866279-0,574105180,50,85981369
209,50,85981369-0,627020550,50,546303414
21100,546303414-0,11076010,50,490923365
As, suponiendo para este caso, que el flujo de salida no era constante, y para un t=10d, un tamao de paso de 0,5 d, A=1200m2, Q=500 m3/d, Y suponiendo que la condicin inicial era de y=0. Obtuvimos un valor aproximado de:
UNIVERSIDAD TECNOLGICA NACIONALFACULTAD REGIONAL PARANINGENIERA CIVIL
CLCULO AVANZADOTRABAJO PRCTICO FINAL
Profesora: Lic. Liliana TabordaAlumnos: BROWN MOIA, TOMASMORALES, HUGO ORSI GAITN, ERNESTO MANUELNivel: 3er AoFecha de entrega: 27 Julio 2015Ao de cursado: 2014
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