Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit...

1

Disarikan dari Malatuni 2007

Topik Bahasan Penggunaan Konsep Limit Fungsi

2

Amati arah terbang dua ekor burung menuju sangkar dari arah yang berbeda.

Jika kita aplikasikan dalam bentuk matematis (kalkulus) maka:

Tiang sangkar sebagai garis x = c; Jejak terbang burung identik dengan grafik fungsi y = f(x); Jarak kedua ekor burung semakin dekat ke sangkar atau mendekati c; Ketinggian burung pada saat tiba dalam sangkar misalkan L;

X

L

y = f(x)

x=c

L ) x ( f lim c x

= →

Ditulis:

3

L ) x ( f lim c x =

→

L ) x ( f lim dan L ) x ( f lim L ) x ( f lim c x c x c x

= = ⇔ = + − → → →

Definisi tersebut mempunyai arti, bilamana x dekat tetapi berlainan dengan c maka f(x) dekat ke L.

Seberapa dekat?

Untuk memperjelas permasalahan ini perhatikan grafik fungsi f(x) di kolom sebelah kiri.

0 X

Y

c

L

f(x)

Jika x mendekati c baik dari kiri maupun dari kanan maka f(x) akan semakin mendekati L. Jadi, kita peroleh:

4

0 X

Y

20

40

-20

-40

4 2 x mendekati 3 dari kiri ↓ x mendekati 3 dari kanan

x 2 2,99 2,999 ... 3 ... 3,001 3,01 4 f(x) −13 −1794,01 −17994 ... ? ... 18006 1806,01 25

f(x) mendekati bilangan negatif yang sangat kecil ↑ f(x) mendekati bilangan

positif yang sangat besar

x=3 Asimtot Tegak

Contoh 2:

Tentukan nilai dari 3 x 9 x lim

2

3 x − +

→

Penyelesaian:

Fungsi tidak terdefinisi pada

x = 3, karena diperoleh bentuk (tak tentu).

Lakukan pendekatan seperti pada contoh 1. 0 0

3 x 9 x ) x ( f

2

− +

=

Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f

2

− +

=

Dari gambar grafik nampak bahwa jika x mendekati 3 dari kiri maka f(x) akan mendekati bilangan negatif tak hingga.

Sebaliknya jika x mendekati 3 dari kanan maka f(x) akan mendekati bilangan positif tak hingga.

Karena

maka nilai dari:

0 X

Y

20

40

-20

-40

4 2

x=3 Asimtot Tegak

Grafik fungsi 3 x 9 x ) x ( f

2

− +

=

−∞ = − +

− → 3 x 9 x lim

2

3 x

+∞ = − +

+ → 3 x 9 x lim

2

3 x

3 x 9 x lim

3 x 9 x lim

2

3 x

2

3 x − +

≠ − +

+ − → →

ada tidak 3 x 9 x lim

2

3 x − +

→

5

0 X

Y

+∞ -∞

x mendekati bilangan negatif yang sangat besar x mendekati bilangan positif yang sangat besar x - ∞ ... -1.000.000 -100.000 -10.000 -1.000 -100 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 ... + ∞

f(x) 0 ... -0,000001 -0,00001 -0,0001 -0,001 -0,01 0,01 0,001 0,0001 0,00001 0,000001 ... 0

f(x) semakin mendekati nol (0) f(x) semakin mendekati nol (0)

Penyelesaian:

Dengan pendekatan nilai x positif tanpa batas (+∞) dan negatif tanpa batas (-∞). Lihat tabel dan grafik.

0 x 1 lim

x =

∞ →

Kita peroleh nilai:

Contoh 3:

Bagaimana dengan ? x 1 lim

x ∞ →

Start

Rasional?

Bagi dengan pangkat tertinggi

Rasionalkan/ kalikan akar sekawan

kemudian bagi pangkat tertinggi

Hasil

Stop

Tidak

Ya

Flowchart untuk menghitung nilai: ) x ( f lim x ∞ →

Start

Substitusi x = c

Bentuk tak

tentu?

Lakukan pemfaktoran atau rasionalkan

bentuk akar Lanjutkan Hitung

Hasil

Stop

Tidak

Ya

Flowchart untuk menghitung nilai:

) x ( f lim c x →

6

Kalikan akar sekawan

2 2 2 2

2 2 2 2

x 3

x x

x x 2

x 1

x x 4

x x 3

x 2

2

x lim

3 x x 2 1 x 4 x 3 lim

+ −

− + =

+ − − +

∞ → ∞ →

Karena fungsi rasional maka langsung bagi pangkat tertinggi ) x ( 2

c) adalah fungsi rasional. Mengapa?

2

2

x 3

x 1

x 1

x 4

x 2

3 lim

+ −

− + =

∞ →

2 3

0 0 2 0 0 3 =

+ − − +

=

3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2

2

x + − − +

∞ →

2 3

3 x x 2 1 x 4 x 3 lim 2

2

x =

+ − − +

∴ ∞ →

Rasionalkan dengan cara kalikan akar sekawan, selanjutnya bagi pangkat tertinggi.

d) bukan fungsi rasional. Mengapa? ) x 4 x x ( lim 2

x + −

∞ →

L = + − ∞ →

) x 4 x x ( lim 2

x

x 4 x x x 4 x x ) x 4 x x ( lim 2

2 2

x + + + +

× + − = ∞ →

x 4 x x ) x 4 x ( x lim 2

2 2

x + + + −

= ∞ → x 4 x x

x 4 lim 2 x + + −

= ∞ →

2 0 1 1

4 − = + +

− =

2 ) x 4 x x ( lim 2

x − = + − ∴

∞ →

x 4 x

x x 4

x x

x x

x x 4

x 1 1 4 lim lim

2 2 2 + +

− =

+ +

− =

∞ → ∞ →

7

Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

dimana: ; utk n genap

Kita lihat contoh penerapannya!

4 lim x lim 7 1 x 1 x → →

− =

4 lim x 7 lim 1 x 1 x → →

− =

Contoh 5:

Tentukan nilai dari: a)

b)

Penyelesaian:

a) ) 4 x 7 ( lim 1 x

− →

4 ) 1 ( 7 − =

3 =

⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ + − +

→ 1 x 2 2 x 3 x lim 2

2

2 x ( ) ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim

c x c x c x → → → ± = ±

) x ( f lim k ) x ( kf lim c x c x → →

=

) 4 x 7 ( lim 1 x

− →

8

1 x 2 lim

) 2 x 3 x ( lim 2

2 x

2

2 x

+

− + =

→

→

) 1 x 2 ( lim

2 lim x 3 lim x lim 2

2 x

2 x 2 x

2

2 x

+

− + =

→

→ → →

b) ⎟ ⎟ ⎠

⎞ ⎜ ⎜ ⎝

⎛ + − +

→ 1 x 2 2 x 3 x lim 2

2

2 x

1 lim x 2 lim

2 lim x 3 lim x lim

2 x

2

2 x

2 x 2 x

2

2 x

→ →

→ → →

+

− + =

1 ) 2 ( 2 2 ) 2 ( 3 2

2

2

+ − +

=

1 8 2 6 4

+ − +

=

3 8 =

( ) ) x ( g lim ) x ( f lim ) x ( g ) x ( f lim c x c x c x → → →

± = ± Teorema

Teorema

Teorema 0 ) x ( g lim ; ) x ( g lim

) x ( f lim

) x ( g ) x ( f lim

c x c x

c x c x

≠ = ⎟ ⎠ ⎞

⎜ ⎝ ⎛

→ →

→ →

n c x

n c x

) x ( f lim ) x ( f lim → →

=

“Klik pada tombol untuk memilih soal”

9

1.

2

∞

0

2 −

1 −

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

2.

3

4

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

10

Rasionalkan bentuk akar 4 x

4 x 4 x

16 x lim 4 x

16 x lim 2

4 x

2

4 x − −

× − −

= − −

→ →

3.

3

4 −

0

3 −

4

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

Kalikan akar sekawan

x 1 x 1 x 1 x 1

x x 1 x 1 lim

0 x − + + − + +

× − − + =

→

) x 1 x 1 ( x x 2 lim

0 x − + + =

→

4.

2 −

1

1 −

3 −

0

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

11

Kalikan akar sekawan

x h x x h x

h x h x lim

0 h + + + +

× − + =

→

5. .... h

x h x lim 0 h

= − + →

.... h

x h x lim 0 h

= − + →

) x h x ( h x ) h x ( lim

0 h + + − +

= →

) x h x ( h h lim

0 h + + =

→

x h x 1 lim

0 h + + =

→

x 2 1

x x 1

x 0 x 1 =

+ =

+ + =

x 2 1

h x h x lim

0 h = − +

∴ →

Bagi pangkat tertinggi

x x

x x 3

x x

x x 3

x 2 2

2 lim + +

= ∞ →

Kalikan akar sekawan

x x 3 x x x 3 x ) x x 3 x ( lim 2

2 2

x + + + +

× − + = ∞ →

1. .... ) x x 3 x ( lim 2

x = − +

∞ → .... ) x x 3 x ( lim 2

x = − +

∞ →

x x 3 x x x 3 x lim 2

2 2

x + + − +

= ∞ →

x x 3 x x 3 lim 2 x + +

= ∞ →

1 1 3 lim

x 3 x + +

= ∞ →

2 3

1 0 1 3 = + +

=

2 3 ) x x 3 x ( lim 2

x = − + ∴

∞ →

4 7

3 7

3 4

2 3

3 2

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

12

Kalikan akar sekawan x 2 x x 4 x x 2 x x 4 x ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2

2 2 2 2

x + + − + + −

× + − − = ∞ →

Bagi pangkat tertinggi

2.

2 −

1 −

.... ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2

x = + − −

∞ → .... ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2

x = + − −

∞ →

x 2 x x 4 x ) x 2 x ( ) x 4 x ( lim 2 2

2 2

x + + − + − −

= ∞ →

x 2 x x 4 x x 6 lim 2 2 x + + −

− =

∞ →

2 2 2

2 2 2

x x 2

x x

x x 4

x x

x x 6

x lim

+ + − =

−

∞ →

x 2

x 4 x 1 1

6 lim + + −

− =

∞ →

3 2 6

0 1 0 1 6 − = −

= + + −

− =

3 ) x 2 x x 4 x ( lim 2 2

x − = + − − ∴

∞ →

6 −

4 −

3 −

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

Bagi pangkat tertinggi

Kalikan akar sekawan 3. .... ) x 1 x ( x lim 2

x = − +

∞ → .... ) x 1 x ( x lim 2

x = − +

∞ →

x 1 x x 1 x ) x 1 x ( x lim 2

2 2

x + + + +

× − + = ∞ →

x 1 x ) x 1 x ( x lim 2

2 2

x + + − +

= ∞ →

x 1 x x lim 2 x + +

= ∞ →

x x

x 1

x x

x x

x 2 2

2 lim + +

= ∞ →

1 1 1 lim

2 x 1 x + +

= ∞ →

2 1

1 0 1 1 = + +

=

2 1 ) x 1 x ( x lim 2

x = − + ∴

∞ →

0

2

4 1

2 1

3 1

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

13

Bagi pangkat tertinggi

4.

2

∞

3

.... 1 x

x 2 1 x

x 3 lim x

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ −

− ∞ → .... 1 x

x 2 1 x

x 3 lim x

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ −

− ∞ →

) 1 x )( 1 x ( ) 1 x ( x 2 ) 1 x ( x 3 lim

x + − − − +

= ∞ →

1 x x 2 x 2 x 3 x 3 lim 2

2 2

x − + − +

= ∞ →

1 x x 5 x lim 2

2

x − +

= ∞ →

2 2 2

2 2 2

x 1

x x

x x 5

x x

x lim

−

+ =

∞ →

1 0 1 0 1

1 1

lim 2 x

1 x 5

x =

− +

= − +

= ∞ →

1 1 x

x 2 1 x

x 3 lim x

= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ −

− ∴

∞ →

1

9

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

Bagi pangkat tertinggi

.... 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 2 3

3 4

x =

+ − + + −

∞ →

4 4 4 2

4 3

4 4 3

4 4

x 2

x x

x x

x x

x 6

x x 2

x x 3

x lim

+ − +

+ − =

∞ →

4 3 2

4

x 2

x 1

x 1

x 1

x 6

x 2

x

3 lim

+ − + + −

= ∞ →

0 0 0 0 0 0 3 + − +

+ − =

∞ = = 0 3

ada) (tidak 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 2 3

3 4

x + − + + −

∴ ∞ →

5.

0

2 −

1 −

3 −

∞

.... 2 x x x 6 x 2 x 3 lim 2 3

3 4

x =

+ − + + −

∞ →

Klik pada pilihan (a - e) untuk memilih jawaban

14

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:

a. ....

x 3 x 2

1 x 3 2 lim

2 x = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− + →

⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛

+ =

→ → x 3 x 2 lim

1 x 3 2 lim

2 x 2 x

x lim

3 x 2 lim

1 x 3 lim

2 lim

2 x

2 x

2 x

2 x

→

→

→

→ +

− +

=

2 3 ) 2 ( 2

1 ) 2 ( 3 2 +

− +

=

14 45

2 7

7 2 − = − =

14 45

x 3 x 2

1 x 3 2 lim

2 x − = ⎟

⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− +

∴ →

1a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− + → x

3 x 2 1 x 3

2 lim 2 x

b.

2. Jika dan

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 ) x ( g lim c x

− = →

3 ) x ( f lim c x

= →

a.

b.

c.

) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

− + →

10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = +

→

[ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + →

[ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

− = + →

.... ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

= − + →

) 5 x 2 ( lim ) 4 x ( lim 5 x 5 x

− ⋅ + = → →

) 5 lim x 2 lim ( ) 4 lim x lim ( 5 x 5 x 5 x 5 x → → → →

− ⋅ + =

) 5 5 2 ( ) 4 5 ( − ⋅ ⋅ + =

5 9 ⋅ =

45 =

45 ) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

= − + ∴ →

1b.

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:

a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− + → x

3 x 2 1 x 3

2 lim 2 x

b.

2. Jika dan

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 ) x ( g lim c x

− = →

3 ) x ( f lim c x

= →

a.

b.

c.

) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

− + →

10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = +

→

[ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + →

[ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

− = + →

15

Bukti:

2a.

(terbukti)

.... ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = +

→

) x ( g lim ) x ( f lim 2

c x

2

c x → → + =

2

c x

2

c x )] x ( g lim [ )] x ( f lim [

→ → + =

2 2 ] 1 [ 3 − + =

1 9 + =

10 =

10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = + ∴

→

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:

a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− + → x

3 x 2 1 x 3

2 lim 2 x

b.

2. Jika dan

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 ) x ( g lim c x

− = →

3 ) x ( f lim c x

= →

a.

b.

c.

) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

− + →

10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = +

→

[ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + →

[ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

− = + →

Bukti:

2b.

(terbukti)

[ ] .... ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + →

) x ( g lim ) c x ( lim ) x ( f lim c x c x c x → → →

⋅ − + =

) 1 ( ) c c ( 3 − ⋅ − + =

) 1 ( 0 3 − ⋅ + =

3 =

[ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + ∴ →

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:

a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− + → x

3 x 2 1 x 3

2 lim 2 x

b.

2. Jika dan

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 ) x ( g lim c x

− = →

3 ) x ( f lim c x

= →

a.

b.

c.

) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

− + →

10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = +

→

[ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + →

[ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

− = + →

16

Bukti:

2c.

(terbukti)

[ ] .... 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

= + →

[ ] 3 ) x ( f lim ) x ( g lim c x

3 c x

+ ⋅ = → →

⎥ ⎦ ⎤

⎢ ⎣ ⎡ + ⋅ =

→ → → 3 lim ) x ( f lim ) x ( g lim

c x c x 3

c x

[ ] 3 3 1 3 + ⋅ − =

[ ] 6 1 ⋅ − =

6 − =

[ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

− = + ∴ →

1. Dengan menggunakan teorema limit hitunglah nilai dari:

a. ⎟ ⎠ ⎞ ⎜

⎝ ⎛ +

− + → x

3 x 2 1 x 3

2 lim 2 x

b.

2. Jika dan

buktikan dengan teorema limit bahwa:

1 ) x ( g lim c x

− = →

3 ) x ( f lim c x

= →

a.

b.

c.

) 5 x 2 )( 4 x ( lim 5 x

− + →

10 ) x ( g ) x ( f lim 2 2

c x = +

→

[ ] 3 ) x ( g ) c x ( ) x ( f lim c x

= − + →

[ ] 6 3 ) x ( f ) x ( g lim 3 c x

− = + →

3. Berat (dalam gram) dari suatu benda uji pada saat t adalah w(t)=0,1t2—0,05t; t diukur dalam minggu. Berapa laju pertambahan berat benda uji jika t = 10 minggu?

2. Sebuah perusahaan semen dalam waktu t tahun memperoleh keuntungan total sebesar L(t)=1500t2 dollar. Berapa laju keuntungan sesaat (keuntungan marjinal) saat t = 5?

1. Sebuah benda bergerak selama t detik menempuh jarak s meter, ditentukan dengan rumus s(t)=t2+2. Tentukan kecepatan sesaat pada t = 4.

17

18

Andi Hakim Nasution dkk, Matematika 2, Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Jakarta, 1994. Bernard V. Zandy dan Jonathan J. White, CliffsQuickReviewTM Calculus, Pakar Raya, Bandung, 2004. B.K. Noormandiri, Buku Pelajaran Matematika SMA, Jilid 2A, Erlangga, Jakarta, 2004. Edwin J. Purcell dan Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1, Erlangga, Jakarta, 1990. http://www.answer.com/topik/limit-of-a-function. http://www.garizhdizain.com.

Ke slide terakhir

Ke slide sebelum

Ke slide selanjutnya

Ke slide yang aktif terakhir

Awal presentasi

Akhiri presentasi

Tampilkan pilihan materi

Tampilkan referensi

Tampilkan bantuan

Tampilkan evaluasi

Lihat jawaban (optional)

Jalankan animasi (optional)

Fungsi dari setiap menu dan ikon yang digunakan dalam slide

Play/Pause Musik

19

Anda yakin ingin keluar?

Terima kasih!