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TEORÍA MICROSCÓPICA DE LOS DIELÉCTRICOS
1
CAMPO
MOLECULAR
EN UN
DIELÉCTRICO
2
EL CAMPO MOLECULAR SE PUEDE CALCULAR DE LA FORMA SIGUIENTE
3
4
5
r
6
Así, la ecuación con y
se reduce a
7
CALCULAMOS LA POLARIZABILIDAD ATÓMICA
En presencia de un campo externo Em, el núcleo se corre un poco en el sentido
del campo y la nube electrónica al otro lado.
Como los desplazamientos son extremadamente pequeños, es razonable asumir
que la nube electrónica retiene su forma esférica.
Utilizamos un modelo simple para el
átomo: consiste en un núcleo puntual
(+q) rodeado de una nube
uniformemente cargada (-q) de radio a.
El campo externo empujando el
núcleo a la derecha se compensa con
el campo interno empujando hacia la
izquierda Em = Ee , siendo Ee el
campo debido a la nube electrónica
En el equilibrio debe ser igual
y opuesto al campo externo
66
9
En un átomo neutro, en presencia de un campo externo se produce un momento
dipolar p inducido que es proporcional al campo externo
a = polarizabilidad atómica
a proporcional al tamaño del átomo
p
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ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
11
ENERGÍA ELECTROSTÁTICA
12
13
14
Elimina los
términos
+ completando términos
reagrupando términos
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DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGAS
Consideramos una distribución de cargas arbitraria cuyas densidades de carga
finales son r y s.
La carga puede estar o sobre la superficie de los conductores o en el seno de un
dieléctrico lineal.
Esta condición de linealidad es necesaria para que el trabajo realizado al pasar
del estado inicial al final sea independiente de la forma en que se produce
dicho cambio.
Cuando se trata de una distribución
continua se utiliza la carga
elemental de la forma siguiente:
volumétrica
superficial
k es una variable que inicialmente
es cero y al final vale uno
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En el proceso de acumulación de las cargas en distintos volúmenes o superficies,
tanto como representan un fracción de la densidad final de carga.
El trabajo necesario para traer la carga elemental desde el
infinito hasta un punto donde el potencial es es,
El valor final de la energía electrostática, en el caso de medios lineales
e isótropos, no depende del proceso seguido para acumular las cargas.
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En un instante dado del proceso
el potencial en un punto es una fracción
del potencial final en ese mismo punto,
es decir :
En el proceso de acumulación de las cargas en distintos volúmenes o superficies,
tanto como representan un fracción de la densidad final de carga.
El trabajo necesario para traer la carga elemental desde el
infinito hasta un punto donde el potencial es es,
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El trabajo total para acumular la distribución de carga, es decir, la energía
electrostática, se obtiene integrando con respecto a la variable k y al volumen
ocupado por la distribución de cargas :
La energía de reunión
de cargas puntuales
del infinito en una
región confinada del
espacio
En general será :
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ENERGÍA DE UN SISTEMA DE CONDUCTORES CARGADOS
Para un sistema de conductores y
considerando los coeficientes de
potencial
En términos de los coeficientes
de capacidad e inducción
Para un condensador :
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ENERGÍA EN FUNCIÓN DEL CAMPO
Hemos calculado la energía para sistemas de cargas discretas o continuas y en
ambos casos el valor de la energía está ligado a las cargas y sus posiciones
respectivas. Las ecuaciones hasta ahora muestran que los términos individuales
o elementales son el producto del potencial en un punto por la carga o densidad
de carga en dicho punto; donde no hay carga el término es cero.
Con frecuencia interesa calcular la energía desde el punto de vista del
campo electrostático creado por las cargas, es decir, se trata de poder
calcular la energía en función de los vectores del campo electrostático.
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ENERGÍA EN FUNCIÓN DEL CAMPO
Hemos calculado la energía para sistemas de cargas discretas o continuas y en
ambos casos el valor de la energía está ligado a las cargas y sus posiciones
respectivas. Las ecuaciones hasta ahora muestran que los términos individuales o
elementales son el producto del potencial en un punto por la carga o densidad de
carga en dicho punto; donde no hay carga el término es cero.
Con frecuencia interesa calcular
la energía desde el punto de vista
del campo electrostático creado
por las cargas, es decir, se trata
de poder calcular la energía en
función de los vectores del
campo electrostático.
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Suponemos que sobre las superficies de
los conductores se distribuye la carga de
manera que consideramos una densidad
superficial en las citadas superficies.
Suponemos también que el dieléctrico es
lineal.
Para obtener la energía en función de los vectores D y E
partimos de la ecuación
Supondremos un conjunto de
conductores dentro de un volumen V
finito, y en el volumen pero fuera de los
conductores una distribución de carga
cuya densidad es .
23
Las condiciones en los límites en la
superficie de cada conductor nos permiten
relacionar la densidad superficial de carga
con D,
En cada punto donde existe una densidad
de carga libre, ésta se relaciona con el
campo a través de la divergencia de D
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Las condiciones en los límites en la
superficie de cada conductor nos permiten
relacionar la densidad superficial de carga
con D,
En cada punto donde existe una densidad
de carga libre, ésta se relaciona con el
campo a través de la divergencia de D
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T. de Gauss
CUIDADO: el flujo ahora es hacia el exterior
del volumen V y por tanto se dirige hacia el
interior de los conductores en la superficie Sc .
28
Por tanto,
= 0
29
Por tanto,
= 0
∴
30
Manteniendo las cargas en un volumen limitado, si
extendemos la integral de volumen V a todo el espacio,
en la relación anterior el primer término se anula.
31
En un medio lineal, considerado
una permisividad cuyo valor es la
constante e , la ecuación
constitutiva D = e E nos permite
transformar la ecuación anterior en
Manteniendo las cargas en un volumen limitado, si
extendemos la integral de volumen V a todo el espacio,
en la relación anterior el primer término se anula.
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En un medio lineal, considerado
una permisividad cuyo valor es la
constante e , la ecuación
constitutiva D = e E nos permite
transformar la ecuación anterior en
Manteniendo las cargas en un volumen limitado, si
extendemos la integral de volumen V a todo el espacio,
en la relación anterior el primer término se anula.
Se denomina densidad de energía
electrostática al término que aparece
en el integrando de la ecuación
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FUERZA ELECTROSTÁTICA
Para calcular la fuerza de una forma general se recurre al principio de
conservación de la energía; éste se aplica al sistema considerando cuando se
producen desplazamientos virtuales de los conductores o dieléctricos y se
calculan las variaciones de energía provocadas por dichos desplazamientos.
Se distinguen dos situaciones:
1) cuando los componentes se mantiene aislados, es decir la carga del sistema
se mantiene constante,
2) en el caso de que los distintos conductores se mantienen unidos a fuentes de
potencial, pilas o generadores, es decir, el sistema de conductores no está
aislado.
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SISTEMAS AISLADOS
La fuerza y momento están relacionados con la energía del sistema, ya que el
trabajo mecánico es igual a la variación de energía del sistema con signo
negativo.
El trabajo de la fuerza F en un desplazamiento virtual elemental dl está
relacionado con la variación de energía electrostática de la forma siguiente :
Esto es consecuencia de la conservación de energía : si el campo realiza un
trabajo disminuirá la energía electrostática, y al contrario, si se hace un trabajo
contra el campo aumentará dicha energía.
De la ecuación anterior tendremos que:
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Si en lugar de una traslación se trata de giro
sobre un eje :
La componente del momento del
par con respecto a un eje i será :
t = momento del par de fuerzas
El subíndice Q indica que se mantiene
constante la carga de los conductores
SISTEMAS AISLADOS
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la energía que suministra la batería es
igual al trabajo realizado por el campo
más la variación que experimenta la
energía electrostática :
Si un sistema de conductores está unido a unas baterías o fuentes de potencial que
proporcionan una energía , la conservación de la energía requiere que :
SISTEMAS NO AISLADOS
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SISTEMAS NO AISLADOS
La variación que experimenta la
energía electrostática del
sistema de conductores será
la energía que suministra la batería es
igual al trabajo realizado por el campo
más la variación que experimenta la
energía electrostática :
Si un sistema de conductores está unido a unas baterías o fuentes de potencial que
proporcionan una energía , la conservación de la energía requiere que :
38
De la relación anterior se deduce que las componentes de la fuerza en un sistema
no aislado, es decir, un sistema que mantiene los potenciales de los conductores
mediante baterías, será de la forma siguiente :
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De la relación anterior se deduce que las componentes de la fuerza en un sistema
no aislado, es decir, un sistema que mantiene los potenciales de los conductores
mediante baterías, será de la forma siguiente :
De forma análoga podemos proceder para el momento de un par de fuerzas en un
sistema no aislado.
El subíndice indica que se
mantiene constante el potencial
de los conductores.
En este caso será :
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De la relación anterior se deduce que las componentes de la fuerza en un sistema
no aislado, es decir, un sistema que mantiene los potenciales de los conductores
mediante baterías, será de la forma siguiente :
De forma análoga podemos proceder para el momento de un par de fuerzas en un
sistema no aislado.
El subíndice indica que se
mantiene constante el potencial
de los conductores.
La diferencia entre las ecuaciones
anteriores y las obtenidas para
sistemas aislados es el signo opuesto
de la fuerza y el par de fuerzas.
En este caso será :
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Ejemplo
Calcular la fuerza entre las placas de un condensador unido a los
bornes de una pila como muestra la figura.
La superficie de las placas es S y la distancia entre ellas d.
El dieléctrico es aire, .
Suponemos despreciables los efectos de borde.
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Se utiliza la relación entre fuerza y energía.
La densidad de energía
electrostática :
Como el movimiento de las placas se hace
mediante la variación de la distancia d, la
fuerza se obtendrá derivando la energía con
respecto a la distancia d.
Suponiendo que d es la variable z
Dado que el sistema NO ES AISLADO, ya que se mantiene la pila
unida a los conductores en el proceso, se debe aplicar la ecuación :
Que tiende a unir las placas
43
Ejemplo
44
CORRIENTE ELÉCTRICA
45
CORRIENTE ELÉCTRICA
Los medios que permiten el movimiento de partículas cargadas se llaman
conductores.
Los conductores más conocidos son metálicos, en ellos la mayoría de los
electrones correspondientes a la última capa electrónica de sus átomos se
mueven en una dirección bajo la anuencia de un campo eléctrico.
Otros medios conductores son:
los plasmas : donde existen electrones e iones que pueden moverse
los electrolitos : líquidos donde los iones de distinto signo pueden
moverse.
los semiconductores : caracterizados por que el transporte de carga se
hace mediante electrones que pasan de la banda de valencia a la de
conducción y los huecos (lugares libres que dejan los electrones en la
banda de valencia) que se comportan como cargas positivas desplazándose
en sentido contrario a los electrones.
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CORRIENTE ELÉCTRICA
En los distintos tipos de
conductores, y en ausencia de
campo eléctrico, las cargas se
mueven de forma aleatoria sin que
se produzca un desplazamiento
neto de carga en una dirección
Sólo se produce arrastre de cargas en
una dirección cuando se aplica un
campo eléctrico.
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48
Corriente eléctrica es el movimiento de
partículas cargadas que produce un
desplazamiento de cargas en una dirección.
Históricamente, la corriente eléctrica se definió como un flujo de cargas positivas
(+) y se fijó el sentido convencional de circulación de la corriente, como un flujo
de cargas desde el polo positivo al negativo.
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Tubo de rayos X
50
Microscopio
electrónico
51
Investigadores de la Universidad de Leeds (Reino Unido) han detectado una inmensa
corriente de hierro fundido en el núcleo de la Tierra.
El hallazgo se ha producido gracias a un profundo análisis del campo magnético del interior
de la Tierra que ha sido realizado por los satélites Swarm de la Agencia Espacial Europea
(ESA).
Esta ilustración muestra
dónde se está moviendo
el chorro en el núcleo
externo.
Los satélites Swarm
orbitan a unos cientos de
kilómetros por encima
del planeta y detectan el
campo magnético
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En los líquidos, es necesario tener alguna solución que se disocie al colocar un
cátodo y un ánodo. Las cargas libres que se mueven son iones, libres positivos y
negativos, de esta manera los iones positivos se irán al ánodo y los iones
negativos al cátodo, produciendo finalmente una corriente eléctrica que durará
hasta que termine el movimiento de iones.
En los gases al ionizarse producto de un campo eléctrico se tienen iones positivos,
negativos y también electrones libres en movimientos, los que producen
finalmente una corriente eléctrica.
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Corriente de convección. Se produce cuando hay un transporte de masa que
arrastra en su movimiento partículas cargadas; ejemplos característicos son la
corriente producida por el movimiento de un líquido que lleva en su interior iones;
o el haz de electrones en un tubo de rayos catódicos, o el movimiento del gas de
iones en un acelerador de partículas.
Corriente de conducción. Caracterizada por el arrastre de cargas dentro de un
medio eléctricamente neutro, por ejemplo
El movimiento de los electrones en el seno de un metal, que desde este punto
de vista está compuesto por átomos cuyas capas exteriores liberan los electrones.
Los átomos ionizados se localizan en posiciones fijas que forman la red metálica,
inmersos en una nube electrónica colectivizada.
El movimiento de los iones en un líquido formado por iones positivos y
negativos. Los positivos se mueven en una dirección y los negativos en la
contraria, de manera que ambos producen una corriente en el mismo sentido.
Los electrones y huecos en un semiconductor, que producen una corriente
similar a la anterior en la que los huecos actúan como cargas positivas.
LOS TIPOS MÁS COMUNES DE CORRIENTE, SEGÚN LA FORMA DE PRODUCIRSE SON:
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