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Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.2
3.1. IntroducciónEn este tema vamos a ver cómo es posible calcular los elementos circuitales de una admitancia Y(s), o de una impedancia Z(s) a partir de su expresión analítica, determinando previamente su realizabilidad.
Hasta ahora, hemos venido analizando circuitos:
En este capítulo: dados Z(s) ó Y(s), deberemos comprobar si es realizable, y después deberemos sintetizar el circuito: disponer cada elemento y determinar su valor.
1/Cs
Ls R
V(s)
I(s)
Z(s)=V(s) / I(s)
L= 1 H
C= 1 F
R= 1 Ω1
1)()()(
11
)()()(
2
2
+++
==
+++
==
sss
sVsIsY
sss
sIsVsZ
11 2
+++
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+
sRCRLssLRC
CsRLs
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.3
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.1: Realizabilidad (def)
Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) se dice que es REALIZABLE cuando se puede implementar empleando exclusivamente elementos R, L, y C (con valores todos ellos positivos).
3.2.2: Teorema de Brune (Otto Brune en 1931)
Una impedancia Z(s) (o una admitancia Y(s)) es REALIZABLE mediante elementos R, L, y C (todos positivos) si y solo si Z(s) (o Y(s)) es una FUNCIÓN RACIONAL REAL POSITIVA en ‘s’; es decir, si:
a) Z(s) es función REAL y RACIONAL de ‘s’; es decir, se puede expresar como cociente de dos polinomios de coeficientes reales:
mm
mm
nn
nn
sbsbsbbsasasaa
sDsNsZ
⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅+
== −−
−−
1110
1110
......
)()()(
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.4
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas
b) Si para cualquier valor de ‘s’ con parte real positiva o nula, la parte real de Z(s) también es positiva o nula:
Es decir, cualquier punto en el semiplano cerrado derecho del plano ‘s’ se corresponde con un punto en el semiplano cerrado derecho del plano ‘Z’
0)(Re0Re ≥⇒≥ sZs
σ
jωplano ‘s’
R
jXplano Z
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.5
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3: Condiciones equivalentes
La condición b) anterior es poco práctica, pues para una Z(s) dada es muy difícil asegurar si se cumple o no la condición. Por esta razón, enunciamos ahora condiciones equivalentes más prácticas y fáciles de comprobar:
a’) Idéntica a a)
b’) Para cualquier frecuencia ω , excepto en los polos (similar a condición b)), pero ahora restringida al eje ‘jω’)
0)(Re ≥⇒ ωjZ
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.6
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3: Condiciones equivalentes (sigue)
c’)
c’.1) Todos los polos de Z(s) están en el SEMIPLANO COMPLEJO IZQUIERDO CERRADO (SCIC) (que incluye el eje ‘jω’ )
c’.2) Los polos de Z(s) que están en el eje ‘jω’ son polos simples y con residuos reales y positivos.
Como s=0 y s=∞ caen en el eje ‘jω’ , la condición c’.2) tiene que cumplirse para polos en el origen o en el infinito.
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.7
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3.1: Forma alternativa de comprobar la condición b’)
La condición b’) decía que (excepto en los polos). Supongamos un polinomio P(s), que queremos descomponer en sus términos pares (con potencias de ‘s’ pares) y en sus términos impares (con potencias de ‘s’ impares):
Par: Pp(s) ⇒ 1, s2, s4, s6 … ⇒ (s=jω) ⇒ 1, - ω2, ω4, - ω6 ⇒ reales
⇒ Pp(s) PAR y REAL
Impar: Pi(s) ⇒ s, s3, s5 … ⇒ (s=jω) ⇒ jω, -jω3, jω5 ⇒ imaginarias
⇒ Pi(s) IMPAR e IMAGINARIO
ωω ∀≥ ,0)(Re jZ
)()()(Impar)(Par)( sPsPsPsPsP ip +=+=
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.8
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas
De esta forma, tenemos que:
Al reemplazar ‘s’ por ‘jω’ las funciones pares quedan reales y las funciones impares quedan imaginarias, con lo que:
[ ] [ ]22 )()(
)()()()()()()()()()()()(
)()()()(
)()()()(
)()()(
sDsDsDsNsDsNsDsNsDsN
sDsDsDsD
sDsDsNsN
sDsDsNsN
sDsNsZ
ip
ippiiipp
ip
ip
ip
ip
ip
ip
−⋅−⋅+⋅−⋅
=
=−−
⋅++
=++
==
[ ] [ ][ ] [ ]22 )()(
)()()()()()()()()(
ωωωωωωωωωω
ωjDjD
jDjNjDjNjDjNjDjNj
ip
ippiiipp
−
⋅−⋅+⋅−⋅=
R∈ Im
Z
∈R∈
R∈ R∈
Im∈
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.9
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas
De forma que:
En el denominador, siempre se cumple que:
por lo que el denominador siempre será positivo
De esta forma, para comprobar que es suficiente con comprobar que:
[ ] [ ]22 )()()()()()(
)(Reωω
ωωωωω
jDjDjDjNjDjN
jZip
iipp
−
⋅−⋅=
[ ] 0)( 2 ≥ωjDp [ ] 0)( 2 ≤ωjDi
0)(Re ≥ωjZ
0)()()()()( 2 ≥⋅−⋅= ωωωωω jDjNjDjNP iipp
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.10
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas
Así, de forma general, la condición b’) puede reformularse como:
ωωωωωω ∀≥⋅−⋅= 0)()()()()( 2 jDjNjDjNP iipp(excepto en los polos)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.11
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3.2: Forma alternativa de comprobar la condición c’)
Dado:
c’)
c’.1) D(s) debe ser polinomio de HURWITZ (estricto o no), y por consiguiente N(s) y D(s) difieren a lo sumo en un grado
c’.2) Si D(s) es Hurwitz, sus ceros en el eje ‘jω’ deben ser simples y con residuos positivos y reales, incluyendo el polo de Z(s) en el ∞, si lo hubiera
)()()(
sDsNsZ =
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.12
3.2. Caracterización de las funciones reales positivas3.2.3.3: Polinomios de HURWITZ
Polinomio de Hurwitz: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC) (incluye el eje ‘jω’ )
Polinomio de Hurwitz estricto: Polinomio que tiene todos sus ceros en el semiplano complejo izquierdo abierto (SCIA) (noincluye el eje ‘jω’ )
Polinomio no-Hurwitz: Polinomio que tiene algún cero fuera del semiplano complejo izquierdo cerrado (SCIC)
H-EH N-H
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.13
3.2. Caracterización de las funciones reales positivasCondiciones necesarias (no suficientes) para polinomios
de Hurwitz
Polinomio de Hurwitz estricto:
Todos los coeficientes son positivos
No hay términos ausentes
Polinomio de Hurwitz:
Todos los coeficientes son positivos
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.14
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
En este caso, vamos a considerar dipolos LC, con el objeto de determinar las condiciones para que una impedancia o admitancia de un dipolo LC sea realizable.
Llamaremos F(s) a la inmitancia (impedancia o admitancia) realizable como dipolo LC.
3.3.1. Condiciones de realizabilidad de dipolos LC
F(s) será realizable como dipolo LC si y solo si F(s) es F.R.R.P. IMPAR.
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.15
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
Por consiguiente, se deberán cumplir las siguientes condiciones:
1) Igual que a) y que a’)
2) ; dado que sólo hay elementos LC, la parte real (que se corresponde con la parte resistiva del circuito) debe ser cero.
3) 3.1) Todos los polos han de estar en el eje ‘jω’
3.2) Todos los polos deben ser simples, y con residuos reales y positivos
ωω ∀= 0)(Re jF
⎩⎨⎧
−−=⇒−=−⇒−=−=−=
)()()()()()()()()(
sFsFsFsFjFjXjFjXjF
ωωωωω
reactancia
Función impar en ‘s’
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.16
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
Consecuencias de las condiciones anteriores:
Si : F(s) debe tener un polo o un cero en el origen
Si : F(s) debe tener un polo o un cero en el infinito
Se cumplirá que:
⎩⎨⎧
∞→→
→0
)(,0 sFs
⎩⎨⎧
∞→→
∞→0
)(, sFs
1)()( ±= sDgradosNgrado
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.17
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
3.3.2. Expresión General de F(s)
=⋅⋅+⋅−⋅+⋅−
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= sós
jsjsjsjsjsjsjsjs
HsFpppp
zzzz 1...)()()()(...)()()()(
)(2211
2211
ωωωωωωωω
sósssss
Hpp
zz 1...)()(...)()(
2222
2222
21
21 ⋅⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅=
ωωωω
polo en ∞cero en 0
polo en 0cero en ∞
Debe tener un polo o cero en el origen
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.18
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
Descomposición en fracciones simples: SÍNTESIS
Como los residuos tienen que ser reales,
Que resultará ser por fin la expresión que usaremos para sintetizar el dipolo LC
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++
++
−+
++
−= ∞ s
kóyskjs
kjs
kjs
kjs
ksFpppp
02211 /...)(2211
**
ωωωωpolo en s=∞
polo en s=0*ii kk =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+
+=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++
++
+=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧++
+
−++=
∞
=
∞
∞
∑ sksk
ssk
sksk
ssk
ssk
sksk
sjskjsk
sF
óy
óy
óy
n
i p
i
pp
p
pp
i
0
122
022
222
1
02211
/
/
/
2
...22
...)()(
)(
21
1
11
ω
ωω
ωωω
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.19
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
Variación de la reactancia X(ω) con la frecuencia
)(2)( 0
122 / ω
ωω
ωωωω XjjkjkjkjF óy
n
i p
i
i
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −+
−= ∞
=∑
( )
( )
( )ℜ∈>
∀>⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+
−
+⋅=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+
−
+−⋅=
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −
−+−
−−−=
∞=
∞=
∞=
∑
∑
∑
ii
n
i p
pi
n
i p
pi
n
i p
ipi
kk
kkk
kkk
kkkk
dXd
óy
óy
óy
i
i
i
i
i
i
y0 queya
02
22
)2(2)(2)(
20
1222
22
20
1222
222
20
1222
22
/
/
/
ωωωω
ωω
ωωω
ωωω
ωωω
ωωωωωω
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.20
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LCEsto significa que X(ω) es creciente con la frecuencia (pendiente siempre positiva).
Para que lo anterior se cumpla (que X(ω) sea creciente y que todos los ceros y los polos estén en el eje ‘jω’), los polos y los ceros deben estar alternados, dando lugar a:
ω
cero en el infinito
polo en el origen
X(ω)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.21
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC
O bien a:
ω
polo en el infinito
cero en el origen
X(ω)
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.22
3.3. Realizabilidad de Inmitancias LC¿Qué sucede cuando dos ceros no tienen un polo entre ellos (figura superior), o dos polos no tienen un cero entre ellos (figura inferior)?
ω
X(ω)
0)(<
ωω
ddX
ω
X(ω) 0)(<
ωω
ddX
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.23
3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC
Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas contienen el mínimo número de elementos circuitales que cumplen las especificaciones:
3.4.1. Primera forma canónica de Foster
Partimos de Z(s) como impedancia de entrada. Si nos dan una admitancia, F(s)=Y(s), la transformaremos a impedancia.
Esto supone la conexión de elementos en serie, identificándose el valor de cada elemento con los residuos calculados (siendo éstos todos reales y positivos)
sksk
ssksZsF
n
i p
i
i
0
122
2)()( +++
== ∞
=∑ ω
[ ])(),(elementosdeNúmero sDsNMax=
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.24
3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC
Se denominan formas canónicas porque las redes sintetizadas contienen el mínimo número de elementos circuitales que cumplen las especificaciones:
⇒+
=+⋅
=
=+
=+
⋅==
222
2
2
2
2
1212
2
11
11
i
i
i
p
i
ip
i
p
i
ii
i
ii
ii
iii
ssk
sk
k
sk
sCLsL
sCsLsCsL
sCsLZ
ωω
ω
skZkL ∞∞∞∞ == sk
sCZ
kC 0
00
00
11===
22
ip
ii
kLω
=
ii k
C21
= sCsL
Z
sCsLZ
ii
i
iii
+=
+=
11
11
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.25
3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC
Conectando todos los elementos en serie, quedará:
Z(s)
∞k0
1k
21
1
2p
kω
121k
22
np
nkω
nk21
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.26
3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC3.4.2. Segunda forma canónica de Foster
Esta forma es válida para admitancias.
paraleloenconexión)(
1)(
1)(
)()(⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
==
=
sFsZsY
sYsF
Y(s)
∞∞ = kC00
1k
L =
21
11
2p
kCω
=
11 2
1k
L =n
n kL
21
=
22
np
nn
kCω
=
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.27
3.4. Formas Canónicas de Foster para Inmitancias LC
Con esto, se tiene que:
Y así, en conclusión, podemos expresar:
sk
sk
sLZY
LL
0
0
0 1111
0
0====
22222
2
2
2
1
221
1
21
21
1
1111
iii
i
p
i
i
p
i
p
i
p
ii
i
ii
ii
iii
ssk
sks
sks
ksksk
Y
sCsLZ
YsC
sLZ
ωωω
ω
+=
+=
+
=+
=
+==⇒+=
sCskYC ∞∞ ==∞
∑=
++=∞
n
iiCL YYYsY
10
)(
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.28
3.5. Formas Canónicas de Cauer para Inmitancias LC
Efecto de la extracción total de polos en el infinito
Veamos un ejemplo para entender esto:
Es decir, extraemos un polo en el infinito, y la impedancia resultante, Z1(s), lo que tiene es un cero en el infinito.
Cambiamos el polo en el infinito por el cero en el infinito.
Gráficamente, tenemos:
)(2
52292)( 122
3
sZsks
sss
sssZ +=+
+=++
= ∞
2320 20 ∞
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.29
3.5. Formas Canónicas de Cauer para Inmitancias LC
a) Primera forma canónica de CauerLa función tienen un polo o un cero en el infinito. Este método consiste en la extracción sucesiva de polos en el infinito.
)(1)()(
11 sY
sksZsksZ +=+= ∞∞
)(1)()(
2
'2
'1 11 sZ
sksYsksY +=+= ∞∞
)(1)()(
332 22 sY
sksZsksZ +=+= ∞∞
)()( 4'
3 3sYsksY += ∞
polo en ∞ polo en ∞
cero en ∞ polo en ∞LC
LC Así hasta que se terminan de
extraer todos los polos en el infinito
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.30
3.5. Formas Canónicas de Cauer para Inmitancias LC
De forma que queda:
Si al principio Z(s) 0 cuando s ∞ (no tiene polo en el infinito), empezamos con Y1(s) y k∞=0
)(1
11)(
4'
'
3
2
1
sYsksk
sksksZ
++
++=
∞∞
∞
∞
∞k'
1∞k '
3∞k '5∞k
4∞k2∞k
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.31
3.5. Formas Canónicas de Cauer para Inmitancias LC
b) Segunda forma canónica de CauerConsiste en la extracción sucesiva de polos en el origen.
)(1)()(
1
01
0
sYsksZ
sksZ +=+=
polo en 0polo en 0
cero en 0 polo en 0
1/C
)(1)()(
2
'0
2
'0
111
sZsk
sYs
ksY +=+=
1/L
)(1)()(
3
03
02
22
sYsk
sZs
ksZ +=+=
1/C)()( 4
'0
33 sY
sk
sY +=
1/LAsí hasta que se terminan de
extraer todos los polos en el origen
Tema 3: Introducción a la Síntesis de Dipolos T3.32
3.5. Formas Canónicas de Cauer para Inmitancias LC
De forma que queda:
Si al principio Z(s) 0 cuando s 0 (no tiene polo en el origen), empezamos con Y1(s) y k0=0
)(
11
1)(
4
'0
0
'0
0
3
2
1
sYs
ksks
ksksZ
++
+
+=
0
1k
'01
1k
20
1k
40
1k
'03
1k '
05
1k
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