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1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA
MATRIZ
1.3.1. Concepto de Traza.
1.3.2. Propiedades de la traza.
1.3.3. Determinante de una matriz.
1.3.4. Cálculo de determinantes de orden 2 y orden 3.
1.3.5. Menor complementario y adjunto de un
elemento.
1.3.6. Desarrollo de un determinante por los adjuntos
de una fila o de una columna.
1.3.7. Propiedades de los determinantes
1.3.8. Cálculo general de determinantes
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.1. CONCEPTO DE TRAZA
DEFINICIÓN DE TRAZA
Sea una matriz cuadrada de orden n
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
A
321
3333231
2232221
1131211
Se define la traza de la matriz A y se denota por Tr(A) como la suma de los elementos de la diagonal
principal:
EJEMPLO
Calcula la traza de las siguientes matrices:
279
921
203
A
370
721
011
B
389
823
931
C
127
632
732
5213
c
b
aD
1. VECTORES Y MATRICES
Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, se verifican las siguientes
propiedades:
1) EJEMPLO:
2) EJEMPLO
3) EJEMPLO
4) EJEMPLO
5) En general EJEMPLO
6) En general si la matriz A tiene inversa entonces EJEMPLO
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA
1. VECTORES Y MATRICES
1) Dadas las matrices
y
comprobar que
2) Demostrar que se verifica
3) Si A es una matriz antisimétrica ¿Cuánto vale su traza?
4) Demostrar que si A es una matriz simétrica entonces
5) Dadas dos matrices cuadradas de orden n A y B, tales que
demostrar que
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA: EJERCICIOS.
Ejercicios: Libro
“Problemas y cuestiones
de álgebra lineal” P.
Ortega
Pág. 166,167
Ejercicios 1,2,4
1. VECTORES Y MATRICES
DEFINICIÓN FORMAL:
Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el determinante de A y se denota por |A|
o det(A) como la suma de los n! productos con signo formados por n-factores obtenidos de
multiplicar n elementos de la matriz de forma que cada producto contenga un solo
elemento de cada fila y columna de A.
De forma analítica:
Donde :
- es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,…,n}
- es el NÚMERO DE TRASPOSICIONES o cambios requeridos para reordenar la
permutación en el orden de {1,2,…,n}
OBSERVACIÓN
- Según esta definición la matriz NULA de orden n, tiene siempre determinante 0
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.3. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1. VECTORES Y MATRICES
Sea
2221
1211
aa
aaA , se define el determinante de la matriz A y se denota por det(A) o |A| al
siguiente valor numérico: 21122211
2221
1211)det( aaaa
aa
aaA .
El primer producto, que contiene el elemento 11a , es
2211 aa :
El segundo producto, con el elemento 12a , es
2112 aa :
EJEMPLOS:
1) Calcula los siguientes determinantes:
a) 23
25
b)
51
12
c)
03
01 d)
71
43
2) Calcula el valor de x para que se verifiquen la siguientes igualdades:
a) 197
85
x b) 22
7
26
x c) 9
9
3
x
x d) 8
2
3
xx
x
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2
1. VECTORES Y MATRICES
REGLA DE SARRUS:
Productos con signo positivo Productos con signo negativo
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3
Sea
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A una matriz cuadrada de orden 3, se define el
determinante de la matriz A , y se denota por ||)det( AA , al resultado de la suma de los siguientes 9 productos:
||)det( AA 322113312312332211
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
.312213332112322311 aaaaaaaaa . El resultado del determinante es un número real.
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3
REGLA DE SARRUS
Productos con signo positivo Productos con signo negativo
EJEMPLOS:
1) Calcula el determinante de las siguientes matrices:
a)
621
641
623
A b)
321
341
323
B
2) Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:
a) 7
203
12
31
x
x
b) 86
022
12
43
xx
x
1. VECTORES Y MATRICES
1) Calcula los siguientes determinantes:
a) 48
33 b)
42
21
c)
62
10
d)
31
74
e)
32
00
2) Determina el valor que debe tener la incógnita x para que
se verifiquen las siguientes ecuaciones:
a) 124
3
x
x b) 21
7
03
8
12
xx
x
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2 Y 3:
EJERCICIOS
EJERCICIOS: Libro “Problemas y cuestiones
de álgebra lineal” Pedro Ortega
Páginas 168-170
Ejercicios 5,6,7
1. VECTORES Y MATRICES
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Definimos el menor complementario del elemento ija de la
matriz A, al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fija i-ésima y la
columna j-ésima de la matriz A. Al menor complementario del elemento ija de la matriz A se le
denota como ijM .
EJEMPLO
3091
2273
1321
0421
A .Entonces 250272066
301
223
131
12 M .
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define el adjunto o cofactor del elemento ija , y lo
denotamos por ijA , como ij
ji
ij MA )1( .
EJEMPLO: si consideramos la matriz A de orden 4 anterior, entonces
25)25()1()1()1( 1212
21
12 MMA y 19)1( 3333
33
33 MMA .
EJEMPLO: Sea la matriz:
2028
7213
7522
6123
A . Calcula: 22442413 ,,, MMMM y 22442413 ,,, AAAA
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO
1. VECTORES Y MATRICES
1) Dada la matriz
123
721
512
A , calcula todos sus menores complementarios
y sus adjuntos.
2) Calcula el menor complementario de los elementos
23a y 44a en la matriz
0416
3120
3521
4203
A .
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO:
EJERCICIOS.
EJERCICIOS: Libro “Problemas y
cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega
Pág. 170 ejercicio 8
1. VECTORES Y MATRICES
Sea A una matriz cuadrada de orden n. El determinante de A se puede obtener mediante la suma de los productos de los elementos de una fila o de una columna por sus adjuntos correspondientes.
a) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la fila i-ésima:
ininiiiiii AaAaAaAaA ...|| 332211 b) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la columna j-ésima:
njnjjjjjjj AaAaAaAaA ...|| 332211 .
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS
DE UNA FILA O UNA COLUMNA
EJEMPLO: Considera la matriz
5243
2123
1203
1032
A . Para calcular el determinante de esta matriz por los
adjuntos de la segunda fila:
2424232322222121|| AaAaAaAaA
24
42
23
32
22
22
21
12 )1()1()1(2)1(0)1(3 MMMM
243
123
032
543
223
132
2
524
212
103
3
)81898()16456121820(2)124415(3 76929233 . Calculemos ahora el determinante desarrollando por los adjuntos de la tercera columna
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS
DE UNA FILA O UNA COLUMNA: EJERCICIOS
1 Calcula los siguientes determinantes desarrollando por alguna de sus filas o columnas:
a)
384
020
521
b)
3058
5170
4302
1032
2) Calcula el determinante de la matriz:
1207
1232
5032
3201
A
a) Desarrollando por los adjuntos de la segunda fila. b) Desarrollando por los adjuntos de la segunda columna.
EJERCICIOS: Libro “Problemas
y cuestiones de álgebra lineal”
P. Ortega
Págs. 170,171
Ejercicio 9
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (1/4)
1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su
traspuesta: tAA .
EJEMPLO: Comprobar con la matriz
61
71A
2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros, entonces su determinante es cero.
EJEMPLO: 03
010 y
731
000
132
.
3. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas (o dos de sus columnas), entonces el determinante de la matriz resultante cambia de signo.
EJEMPLO: 21
23; intercambiando las columnas
12
32.
523
172
102
y
172
523.
102
.
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (2/4)
4. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son iguales entonces su determinante es nulo.
Ejemplo, 21
21 y
152
663
152
5. Si multiplicamos por el mismo número real k todos los elementos de una fila o una columna de una matriz cuadrada A, entonces el determinante de la matriz B resultante verifica que )det()det( AkB .
Ejemplos: 11
23
11
23 kk
kk
23.
6. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales entonces su determinante es nulo.
Por ejemplo, 42
63 (aplicando las propiedades 4 y 5).
943
321
612
(aplicando las propiedades 4 y 5).
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (3/4)
7. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces )det()det( AkAk n .
Demostración:
nakakakAk 2.1)det( nakakak .2.1
)det(... 21212 Akaaakakaak n
nn
n .
8. Si a la fila (o columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de una o varias paralelas a ella, entonces su determinante no varia.
Ejemplo, 32
17 y
123722
17.
9. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) que es combinación lineal de otras, entonces el determinante de la matriz es nulo. Además si el determinante de una matriz es nulo, entonces existe al menos una fila (o columna) que es combinación lineal de las demás.
Ejemplo, 0
752
132
321
pues 321 aaa
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (4/4)
TEOREMA: Un conjunto de n-vectores de n-componentes es linealmente independiente si y sólo si el determinante de orden n de la matriz formada por sus n-vectores colocados en fila (o en columna) es no nulo.
10. Para cualquier fila (o columna de una matriz) se verifica que:
11 12 13 11 12 13 11 12 13 13
21 22 23 21 22 23 21 22 23 23
31 32 33 31 32 33 31 32 33 33
a a a a a b a a a b
a a a a a b a a a b
a a a a a b a a a b
Ejemplo, comprobemos que 67
92
27
62
87
32
;
11. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de sus determinantes: |||||| BABA .
Por ejemplo, comprobemos que 52
11
17
43
52
11
17
43
.
12. Si una matriz A de orden n tiene inversa entonces )det(/1)det( 1 AA .
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES : EJERCICIOS
1) Sabiendo que 1
52
32
11
z
y
x
, calcula sin aplicar la regla de Sarrus los
determinantes: a)
333
32
52
x
y
z
b)
1532
932
331
z
y
x
c)
531
752
zyx
2) Halla los siguientes determinantes aplicando las propiedades:
a) x
x
63
105 b) 2
1
1
a
a c)
xy
yx
2
2
3) Demuestra, sin desarrollarlos, que los siguientes determinantes son nulos:
a)
204
703
102
b)
1770
314
521
c)
902
612
310
EJERCICIOS: Libro
“Problemas y cuestiones de
álgebra lineal” P. Ortega
Págs. 171-173
Ejercicios 10,11,12
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES
Hemos visto que el determinante se obtiene desarrollando por cualquiera de las filas o columnas de la matriz. En consecuencia, para calcular el determinante elegiremos una fila o columna que tenga el mayor número de ceros para que los cálculos se simplifiquen. Por otro lado, utilizando las propiedades de los determinantes, en concreto, haciendo uso de la propiedad 8, es posible calcular el determinante de una matriz por medio de otra que tenga una fila o columna con el mayor número de ceros. HACIENDO CEROS: EJEMPLO
512412
2523
1000
1235
5243
2123
1203
1032
||
4233
4311
CCC
CCCA
1. VECTORES Y MATRICES
1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES: EJERCICIOS
1) Calcula el determinante de la siguiente matriz haciendo ceros en la tercera fila:
5322
7310
2214
5123
B
2) Calcula el siguiente determinante:
2013
2012
1111
1101
3) Comprueba que se verifica la siguiente igualdad:
))()((
111
222
bcacab
cba
cba .
EJERCICIOS: Libro
“Problemas y cuestiones de
álgebra lineal” P. Ortega
Págs. 173; 177; 180
Ejercicios 13, 15, 16
CUESTIONES: Libro:
“problemas y cuestiones de
álgebra lineal” P. Ortega
Pág. 194-196 cuestiones 1-10
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