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cours transfert thermique
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Université Mohammed V Agdal Année universitaire 2012-2013
Faculté des Sciences Rabat Licence Physique Informatique
Département de Physique Semestre 6
1
Travaux dirigés - Introduction à la Physique des Matériaux
Correction de la série 5 : Phonons et vibrations des réseaux
Exercice 1 : Vibration dans la direction [100] du polonium Po
1. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant une direction donnée [100] tous les plans
perpendiculaires à cette direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule
coordonnée up le déplacement d’un plan p par rapport à la position l’équilibre.
2. Soit Cs la constante de rappel entre le plan p et le plan p+s, p est soumis à l’action de tous les plans s,
s p :
p s p s p
s p
F C u u
up+s déplacement du plan p+s par rapport à la position d’équilibre et up déplacement du plan p par rapport à
la position d’équilibre.
3. Soit U(R) l’énergie potentielle d’interaction, U(R) est continue et indéfiniment dérivable. Pour un petit
déplacement r autour de la position d’équilibre R = R0 on peut remplacer U(R) par l’expression de son
développement limité au voisinage de R0 :
0 0
22
0 2
1
2. . ...
r r r r
dU d UU R U R R R
dR dR
U(R) est une fonction paire donc les termes d’ordres impairs sont nuls, il vient :
0
22
0 2
1
2. ...
R R
d UU R U R R
dR
La force F de rappel dérive de l’énergie potentielle on a alors :
dUF
d R
0
2
2
RRdR
UdRF
.
En utilisant la définition de la force de rappel :
.sF C R
L’identification des deux expressions donne :
0
2
2s
R R
d UC
dR
4. Soit M la masse d’un atome de polonium dans le plan p, la deuxième loi de Newton donne :
2
2
p
s p s p
s p
d uM C u u
dt
(1)
5. On cherche des solutions de l’équation précédente sous forme d’onde plane monochromatique :
0 exppu u ipkr i t
0 expp su u i p s kr i t
r la distance entre deux plans consécutifs dans la direction de [100], dans ce cas r est égale au paramètre du
réseau.
k
a Plan p
u1
u2
u-1
u-2
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Département de Physique Semestre 6
2
On calcule :
0 exp . exp expp s pu u u i t i p s ka ipka
2
2
02exp . exp
pd uM M u i t ikpa
dt
La relation (1) devient :
2
0 0 1exp . exp exp . exp exps
s p
M u i t ikpa u i t ipka C iska
¨
On simplifie le terme : 0 exp . expu i t ikpa et on obtient :
2 1 exps
s p
M C iksa
1
2
1
1 1exp exp
s s
s s
s s
M C iksa C iksa
Or C-s = Cs. D’où :
2
1
1 1exp exp
s
s
s
M C iska iska
2
1
2 exp exp
s
s
s
M C iska iska
2
1
2 2cos
s
s
s
M C ska
2
1
21 cos
s
s
s
C skaM
6. Si on se limite au premiers proches voisins (s = 1) on obtient :
2 121 cos
Cka
M
Or pour tout nombre réel
21 22
cos .sin
2 214
2sin
C ka
M
14
2sin
C ka
M
7. Si on calcule
1exp
p
p
uika
u
Le domaine des valeur des vecteurs d’onde ayant une signification physique est tel que :
ka
ka a
C’est-à-dire que les valeurs de k appartiennent à la première zone de Brillouin. La valeur maximale est de
l’ordre de 108 cm
-1. On considère les fonctions :
2
14f k
C
M
= 2
2sin
ka
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3
14
g kC
M
=
2sin
ka
Les deux fonctions sont périodiques et de période égale à la longueur de la première zone de Brillouin.
k (cm-1)0.0
0.5
1.0
f(k)
a a a
k (cm-1)0.0
0.5
1.0
g(k)
a a a On remarque que pour ka << 1 c’est-à-dire >> a qui correspond à l’approximation continue, la pulsation
est proportionnelle à k.
8. La vitesse d’un paquet d’onde est la vitesse de groupe, définie par :
gv grad k
Relation valable à deux ou trois dimensions. Cette vitesse est la vitesse de transmission de l’énergie dans le
milieu. A partir de l’expression de on peut calculer vg : 2
1
2cosg
C a kav
M
La figure suivante représente les variations de la fonction :
2
1
gvh k
C a
M
= 2
coska
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k (cm-1)
0.0
0.5
1.0
h(k)
0 a
La vitesse de groupe est nulle à la limite de la première zone de Brillouin, ce qui dénote la naissance d’une
onde stationnaire dans le cristal.
Exercice 2 : Bande interdite des phonons dans le chlorure de potassium KCl
1. Les résultats obtenus pour le chlorure de potassium sont :
a. Réseau de Bravais C.F.C.
b. Le paramètre de la maille a = 6,30 10-10
m.
c. Le plan d’indices de Miller (111) contient un seul type d’atome.
d. La distance séparant deux plans consécutifs contenant le même type d’atome est :
3
ar = 3,64 10
-10 m
2. Si une vibration se propage dans ce cristal suivant la direction [111] tous les plans perpendiculaires à cette
direction se déplacent en phase et on peut décrire le déplacement par une seule coordonnée up d’un type de
plan p par rapport à la position l’équilibre et vp le déplacement de l’autre type de plan p par rapport à la
position l’équilibre.
[111]
On suppose que chaque plan n’interagit qu’avec ses deux plans adjacents, en appliquant la deuxième loi de
newton à chacun des plans p on obtient :
2
12
2
12
2
2
p
K p p p
p
Cl p p p
d um C v v u
dt
d vm C u u v
dt
3. On considère des solutions sous forme d’ondes planes monochromatique :
0 exppu u i t pkr
0 exppv v i t pkr
On calcule les dérivées secondes et on peut simplifier par le terme exp .expi t ipkr , on obtient alors :
k
r plans p
up
vp
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5
2
0 0 0
2
0 0 0
1 2
1 2
exp
exp
K
Cl
m u Cv ikr Cu
m v Cu ikr Cv
Soit :
2
0 0
2
0 0
2 1 0
1 2 0
exp
exp
K
Cl
m C u C ikr v
C ikr u m C v
C’est un système de deux équations à deux inconnues u0 et v0, pour qu’il admette des solutions non nulles il
faut que le déterminant du système soit nul :
2
2
2 10
1 2
exp
exp
K
Cl
m C C ikr
C ikr m C
Soit :
4 2 22 2 1 0cosK Cl K Clm m C m m C kr
4. On effectue les changements de variable en fonction de et M définies au début de la question 2. et on
remplace le cosinus par le sinus. L’équation précédente devient :
1 4 2 2 22 4 02
sinkr
M CM C
C’est une équation bicarré dont les solutions sont : 1
22 2 1 2
1 42
.sinkr
C C M
1
22 2 1 2
2 42
.sinkr
C C M
5. Les représentations graphiques pour sont données sur la figure suivante :
k
Branche des phonons optiques
Branche des phonons acoustiques
0
(2C )1/2
(2C/mCl
)1/2
(2C/mK
)1/2
2r 6. D’après la figure précédente on voit qu’il existe un intervalle de fréquences à la limite de la première zone
de Brillouin pour lequel la vibration ne peut pas se propager. La largeur de cette bande de fréquences est :
2 2u d
Cl K
C C
m m
7. Dans le montage une impulsion ultrasonore est engendrée par le transducteur piézoélectrique, elle se
réfléchit successivement sur les faces elle est ensuite détectée.
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6
Connaissant l’épaisseur e du cristal et le décalage entre deux échos successifs on obtient : -2
-6
2 2 1 00 10
2 40 10
,
,s
ev
= 8,33 10
3 m.s
-1
Remarque : Pour la distance parcourue par l’impulsion ultrasonore il faut compter l’aller et le retour !
Pour déterminer , il faut déterminer la constante de rappel C. La vitesse du son le long de la rangée [111]
est égale au coefficient directeur de la tangente à l’origine (courbe en vert). On obtient :
2s
Cv r
M
2
22
sv MC
r
On effectue une analyse dimensionnelle de C, on a alors :
[C] = M.T-2
Donc C s’exprime en kg.s-2
homogène au N.m-1
.
23 -3
223 -10
8 33 10 74 6 10
2 6,02 10 3,64 10
, ,C
= 32,5 N.m
-1
On peut ainsi calculer : 23
-3
2 2 32 5 6 02 10
35 5 10
, ,
,u
Cl
C
m
= 3,32 10
13 rad.s
-1
23
-3
2 2 32 5 6 02 10
39 1 10
, ,
,d
K
C
m
= 3,16 10
13 rad.s
-1
= 1,6 1012
rad.s-1
Soit E la largeur de cette bande interdite :
E = 2
h
E = 1,69 10-22
J
E = 1,06 10-3
eV
E = 1,06 meV
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