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8/17/2019 T12 Chapter 4
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Operadores lineales
22/09/2014 Kenyer Aguiar
8/17/2019 T12 Chapter 4
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Operadores lineales
Sean X ,Y dos espacios normados sobre el mismo cuerpo deescalares.
Definición
Sea T : X → Y decimos que T es un operador lineal si
(i) T (x + y ) = T (x ) + T (y ) para todo x , y ∈ X ,
(ii) T (λx ) = λT (x ) para todo x ∈ X , para todo escalar λ.
Ejemplo
Sean X = C 1[0, 1], Y = C [0, 1], Tf = f . Entonces T es unoperador lineal.
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Operadores lineales acotados
Proposición
Sea T : X → Y un operador lineal. Si existe M > 0 tal que T (x ) ≤ M para todo x ∈ X entonces T = 0.
Definición
Sea T : X → Y un operador lineal. Decimos que T es un operador lineal cotado cuando existe M > 0 tal que
Tx Y ≤ M x X , para todo x ∈ X .
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Ejemplos
Ejemplo
Sea T : C [a, b ] → R dado por
Tf =
b
a
f (s )ds .
Entonces T es acotado y |Tf | ≤ (b − a)f ∞.
Ejemplo
Sea T : C [a, b ] → C [a, b ] dado por
(Tf )(t ) =
t
a
f (s )ds .
Entonces T es acotado y Tf ∞ ≤ (b − a)f ∞.
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Ejemplos
Ejemplo
Para f ∈ L1[0, 2π] y n entero, se define el n-ésimo coeficiente de Fourier de f como
f̂ (n) = 1
2π 2π
0
f (t )e −int dt .
Definamos T : L1[0, 2π] → l ∞(Z) por
Tf = f̂
. Entonces T es acotado y
Tf ∞ ≤ 1
2πf L1 .
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Condiciones equivalentes de continuidad
Sean T : X → Y un operador lineal. Las siguientes condiciones sonequivalentes:
(a) T es continuo,
(b) T es continuo en x = 0,
(c) T es continuo en algún punto,
(d) Existen x o ∈ X y r > 0 tales que T (B (x o , r )) es acotado.
(e) T (B (0, 1)) es acotado.
(f) T (A) es acotado para todo subconjunto A de X que seaacotado.
(g) T es un operador acotado.
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El espacio L(X ,Y )
Sea
L(X ,Y ) = {T : X → Y tales que T es un operador lineal y continuo }
Ejercicio
L(X ,Y ) es un espacio vectorial con las operaciones
(λT )(x ) = λT (x ),
(T 1 + T 2)(x ) = T 1(x ) + T 2(x ).
Para T ∈ L(X ,Y ) se define
T = supx =1
T (x ).
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El espacio L(X ,Y )
Ejercicio
(a) T = supx =0
Tx
x = sup
x ≤1Tx .
(b) T = ı́nf {M : Tx ≤ M x para todo x ∈ X }(c) · es una norma en L(X ,Y ).
Proposición (Una condición para que L(X ,Y ) sea de Banach)
Si Y es un espacio de Banach entonces L(X ,Y ) es un espacio de Banach
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Homeomorfismos entre espacios normados
Definición
Una aplicaci´ on f : X → Y es un homeomorfismo si es biyectiva y bicontinua. Es decir, si tiene inversa biyectiva.
Definición
Sea T : X → Y . Decimos que T es acotado inferiormente cuando existe m > 0 tal que
mx ≤ T (x ),
para todo x ∈ X .
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Homeomorfismos entre espacios normados
Proposición
Sea T ∈ L(X ,Y ) son equivalentes las siguientes condiciones:
(a) T es invertible con inverso acotado.
(b) T es sobreyectivo y T es acotado inferiormente.
Ejercicio
Sea T ∈ L(X ,Y ) tal que existe T −1 y T −1 ∈ L(X ,Y ).
(a) X es de Banach si y s´ olo si Y es de Banach.
(b) dimX = dimY .
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Espacios normados de dimensión finita
LemaSea X un espacio vectorial de dimensi´ on finita n. Si T : l n
1 → X es
un operador lineal entonces
(i) T es acotado
(ii) Si T es inyectivo entonces T es biyectivo y T −1
es acotado.
Lema
Sean X 1,X 2 dos espacios vectoriales normados tales que
dimX 1 = dimX 2
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Espacios normados de dimensión finita
Teorema
Sea X un espacio vectorial de dimensi´ on finita n, entonces:
(a) Todas las normas en X son equivalentes.
(b) Si · es una norma entonces (X , · ) es de Banach.(c) X es isomorfo a Rn(´ o Cn).
Teorema
Sea X un espacio vectorial de dimensi´ on finita n, sea Y un espacio normado, sea T : X → Y un operador lineal. Entonces T es continuo (con cualquier norma en X ).
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Caracaterización de los espacios de dimensión finita
LemaSea X un espacio normado y M un subespacio propio de X . Si θ ∈ (0, 1) entonces existe x θ ∈ X tal que x θ = 1 y dist(x θ,M ) ≥ θ.
Teorema
Sea X un espacio normado y sea
S = {x ∈ X : x ≤ 1}.
Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) dimX es finita.
(b) S es compacto.
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