View
1.109
Download
280
Category
Preview:
DESCRIPTION
Suku Banyak Dan Teorema Faktor. Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan faktor, akar-akar serta jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan sukubanyak. Teorema Faktor Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k ) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika P( k ) = 0. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
Suku Banyak
Dan
Teorema Faktor
2
Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat
Menentukan faktor, akar-akar
serta jumlah dan hasil kaliakar-akar
persamaan sukubanyak
3
Teorema Faktor
Jika f(x) adalah sukubanyak;
(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika P(k) = 0
4
Artinya:
1.Jika (x – k) merupakan faktor,
maka nilai P(k) = 0
sebaliknya,
2. jika P(k) = 0 maka (x – k)
merupakan faktor
5
Contoh 1: Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1
Jawab:(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1 = -1 + 4 – 2 – 1 = 0Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
6
Cara lain untuk menunjukan(x + 1) adalah faktor darix3 + 4x2 + 2x – 1 adalah denganpembagian horner: 1 4 2 -1 koefisien
-1 1
-13
-3-1
10 P(-1) = 0
berarti (x + 1)faktornyaartinya dikali (-1)
Suku banyak+
7
Contoh 2: Tentukan faktor-faktor dariP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:Misalkan faktornya (x – k), makanilai k yang mungkin adalahpembagi bulat dari 6, yaitu
8
pembagi bulat dari 6 ada 8yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6.Nilai-nilai k itu kita substitusikanke P(x), misalnya k = 1diperoleh:P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6 = 2 – 1 – 7 + 6 = 0
9
Oleh karena P(1) = 0, maka(x – 1) adalah salah satu faktor
dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain,kita tentukan hasil bagi P(x)
oleh (x – 1) dengan pembagian horner:
10
Koefisien sukubanyakP(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6adalah 2 -1 -7 6 k = 1
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6
+2
2 1
1 -6
-6 0
Koefisien hasil bagi
11
Karena hasil baginya adalahH(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2)dengan demikian2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah(x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)
12
Contoh 3: Diketahui (x – 2) adalah faktorP(x) = 2x3 + x2 + ax - 6.Salah satu faktor yang lainnyaadalah…. a. x + 3
b. x – 3 c. x – 1 d. 2x – 3 e. 2x + 3
13
Jawab:Kita tentukan terlebih dahulukoefisien x2 yaitu a = ?Jika (x – 2) faktornya P(x) maka
P(2) = 0 2.23 + 22 + 2a - 6 = 0
16 + 4 + 2a - 6 = 0 2a + 14 = 0 2a = -14 a = -7
14
P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6berarti koefisien P(x) adalah 2 1 -7 -6 k = 2
Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3= (2x + 3)(x + 1)Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3
+2
4 5
10 3
6 0
Koefisien hasil bagi
15
Contoh 4: Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi
oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai
a + b adalah….
a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9
16
Jawab: Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0
1 – a + b – 2 = 0
-a + b = 1….(1)
dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
17
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
- 8 – 4a – 2b – 2 = -36
- 4a – 2b = -36 + 10
-4a – 2b = -26
2a + b = 13….(2)
18
Persamaan (1): -a + b = 1
Persamaan (2): 2a + b = 13
-3a = -12
a = 4
b = 1 + 4 = 5
Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9
19
Akar-akar RasionalPersamaan Sukubanyak
Salah satu penggunaan teoremafaktor adalah mencari akar-akarsebuah persamaan sukubanyak,
karena ada hubungan antarafaktor dengan akar-akarpersamaan sukubanyak
20
Jika P(x) adalah sukubanyak;(x – k) merupakan faktor dari P(x)
jika dan hanya jika k akar daripersamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai noldari persamaan sukubanyak:
P(x) = 0
21
Teorema Akar-akar RasionalJika
P(x) =anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao
dan (x – k) merupakan faktor dari P(x)
maka
n
0
a daribulat
a daribulat
faktor
faktork
22
Contoh 1: Tunjukan -3 adalah salah satuakar dari x3 – 7x + 6. Kemudiantentukan akar-akar yang lain.
Jawab:Untuk menunjukan -3 akar dariP(x), cukup kita tunjukan bahwaP(-3) = 0
23
P(x) = x3 – 7x + 6. P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6
= -27 + 21 + 6 = 0Oleh karena P(-3) = 0,maka -3 adalah akar dariPersamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0
24
Untuk menentukan
akar-akar yang lain,
kita tentukan terlebih dahulu
hasil bagi
P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3
dengan pembagian Horner
sebagai berikut
25
P(x) = x3 – 7x + 6berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6k = -3
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2 =(x – 1)(x – 2)
+1
-3 -3
9 2
-6 0
Koefisien hasil bagi
26
Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak
tsb dapat ditulis menjadi
(x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain
adalah x = 1 dan x = 2
27
Contoh 2:
Banyaknya akar-akar rasional
dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0
adalah….
a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o
28
Jawab:
Karena persamaan sukubanyak
berderajat 4, maka akar-akar
rasionalnya paling banyak ada 4
yaitu faktor-faktor bulat dari 2.
Faktor-faktor bulat dari 2 adalah
1, -1, 2 dan -2
29
Dari 4 kemungkinan yang akan
menjadi akar-akar rasional
persamaan sukubanyak tsb,
kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 6 = 0
adalah 1, 0, -3, 0, dan 6
30
1 0 -3 0 2 k = 1
Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya,
Selanjutnya kita coba -1.Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2
+1
1 1
1 -2
-2 0-2
-2
31
1 1 -2 -2 k = -1
Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya,
Sehingga: (x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
+1
-1 0
0 -2
2 0
32
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi
(x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2,
tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya
ada 2 yaitu 1 dan -1.
33
Jumlah dan Hasil Kali
Akar-akar
Persamaan Sukubanyak
34
Jika akar-akarPersamaan Sukubanyak:
ax3 + bx2 + cx + d = 0
adalah x1, x2, dan x3 maka
x1 + x2 + x3 =
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 =
x1.x2.x3 =
a
b
a
c
a
d
35
Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan
x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
x1 + x2 + x3 =
=
a
b
1
3- = 3
36
Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan
2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
x1.x2.x3 =
=a
d
2
8- = 4
37
Contoh 3:
Salah satu akar persamaan
x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2
Jumlah akar-akar persamaan
tersebut adalah….
38
Jawab:
-2 adalah akar persamaan
x3 + px2 – 3x - 10 = 0 →
-2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga:
(-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
39
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0 4p = 12 p = 3
Persamaan tersebut:
x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya:
x1 + x2 + x3 =
=
a
b
1
3 = -3
40
Contoh 4:
Akar-akar persamaan
x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2,
dan x3. Nilai x12 + x2
2 + x32 =….
41
Jawab:
x12 + x2
2 + x32 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
x3 – 4x2 + x – 4 = 0
x1 + x2 + x3 = -(-4)/1 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1/1 = 1
42
x1 + x2 + x3 = 4x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1
Jadi:
x12 + x2
2 + x32 = (x1 + x2 + x3)2
- 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14
43
Recommended