subjiciunt Mag.. NATHAN. GERH. sCHDLTEN, CAROLUs ... · 49 reverasosse, medio), neque uniformem...

DIssERTATIO ACADEMICA,

DE MOTU CORPORUM LIBEROIN MEDIO REsIsTENTE;

CUJUs PARTEM QUARTAM,

Yenia Ampliss. Facultatis Philosoph.

in Imperiali Academia Aeoensi,

Publico Examini modeste subjiciunt

Mag.. NATHAN. GERH. as sCHDLTEN,Docens in Mathesi Applicata ,,

st'-

CAROLUs UDALR1CUsUTABIsT,stip. Pubi. Borea - Fenno:

Tm Audit. Phll, die XIX Aprilis MDCCCXVII,.

t b; a, m, s.

Typis Frenckhllianis,

47» p

,TeIoc. m directione rs x « d% . V •

a yT P

Veloc. iu directione ts y — ± djr. V ; &c«absque dissicultate resolvi posse, liquet; sufficiet-que omnino ad rem bene illustrandam sequens,quod adserendum ducimus,

Exemp•: Posita resistentia R~vl %Dvm (ubi a,'X? & m eugii ae sunt quantitates), detur utiquetnotus coj\ oris progressivus in directione deter-minata abscissae x; quaeruntur natura curvae descri-ptae visque absoluta Ps sit quidem data, in di-rectione ipsius x y velocitas (quam sunctionis instarabscissae x heic considerabimus} ~ v‘\ habebitur:

. / P\. / v‘dv‘.dq

i? =ids•d. (d iy) dM-'( = -saT~ ;

v'dgv*= ; nincque:

v' dv'. dg a Dv im dqm

d#a~

~

dxm ’

(dt/. d#ffl -2 \

. j/ dv 1 \ 3

48qua in aequatione separatae sunt variabiles x & y,si densitas data D ex ordinata y non pendeat.Data autem traiectoriae aequatione, potentiam ab-solutam, formula:

p ._ -■< • J‘y

r ~

dxa 5

facile determinari posse, evidens est.

Quod si m — i, aequatio allata x inter & ynihil nos docebit; prodire autem hoc in casu ap-paret

dctd*. ctD;’

unde, posita,, uti nuper, D sunctione tantum ip-sius x y siet:.

v‘ = C — cc/D dv/qua quidem formula perspicuum est, quantitatemn', in praesenti hypothesi, determinatam omninoesse abscissae sunctionem,, neque pro lubitu assu-mi posse; ideoque problema, de quo jam agitur,,in. hoc casu speciali, proponendum non esse.

Ceterum,, observatu: facile est, aequationem;;v‘ dv‘ . dq

in genere monstrare, motum in directione ipsius%. v in praesenti, vis absolutae hypothesi,. ('resistente

49revera medio), neque uniformem uraquam esse

sosse, neque acceleratum, sed necessario retarda»nn haberi.

Allatae supra aequationis (j#) ad casum D— oapplicationem, memoratu quidem dignam, hoc lo-co non praetermittemus. Observandum igitur, baein hypothesi, (cum dq = o poni nequeat) esse:

P p cd • Cd>) “ 0 ’

&’ illtefrando: Jy =gp •

Pdq2 d»\Determinetur constans Cm— '

—cz n 2; eritgue ;

cz n* .d 2n± „ p .

dx*quae quidem aequatio, in quibusdam casibus sepa-rationem variabilium admittens, ea heic hypothe-si consideranda, qua potentia sollicitans P sunctiohabeatur solius y.

Multiplicata., hoc in casu, aequatione per dy,& instituta integratione, habebitur:

= O-/Pdy = C' -/M.;

50

hineque:c2 n2

. m 2— — Q~~ s(p);

2n j \

quas- inter aequationes exterminata constante arbi -tralia , &c., prodibit tandem:'

, x ± en . dudx «=- . , pVc* m 2 + 2 ./ (o). ■— 2

tractanda facile aequatioim casu quolibet parti-culari. , •

Yelocitatem quidem atque tempus, in praesen-te casu, formulis sequentibus determinari videas:

,P di/ 2 c2 n 2..dq z

»'(r <1**" =“'

unde-, praeter alia, colligere possumus, motum iipdirectione re-x-, in ea ,de qua jam agiturr hj-:

pothesi, ; necessario uniformem esse.

Exmp.: 4. Posita P — quantitati constanti gj

qnseritur traiectoria;' corporis in vacuo descripta?Erit jam/(ts) — gij; unde siet.:

51

/±en . dis _ rn ,x—Const. +

. I/c z m2— 2gy >'c* nP-— 2gij g.

hihcqueo =■ Cors. + •yp m 2

;•O

qtiam quidem aequationem de praecedente demcmdo, &c., habebis tandem :

2c~ mn 2c% n~

x z+

•

• x *4- ’ • y— o j

g squae 1 quidem manisesto Parabolam designat Apollo--

manam, cujus axis lineae abscissarum' normalis, at«-c7 nz

que Parameter = — : quaque1 m aequatione

signum tantum adhiberi posse superiusnobis velnon monentibus, apparet.

s-Motus corporum planos tractantes, casum eo-

rum simplicissimum, non vero negligendum, mo-tos scilicet ressitlineos, Breviter quoquenecesse est. Observabimus igitur, in §. praeceden-te, unam quidem potentiarum absolutarum L & My

in plano abscissarum ABC (vide sig.) agentium,= o positam suisse; velocitatem vero quamdam ini-

52

tialera in directione yis evanescentis, assumtam si-mul suisse. Motus vero rectiHneos in genere de-finiturus, non solum quantitatum L, M alterutramaequalem nihilo accipias: omnem quoque in dire-ctione vis illius, quae evanuit, motum insitum tol-las, projectio nimirum in directione ipsa vis nonevanescentis, ex. gr. ts L, impellendo.

Habentur igitur, hoc in casu:;

y— o ,dy —o, d2y —o;

unde prodit adeo dy = dx., nec non:

2/” [Ldij — d^r>\ o

1\ dy . d";*; —dx. dyj o

quae forma quidem indeterminata omnino est -» ni-hilque uos docet. Aliata igitur supra aequatio (///),naturam traiectoriae in plano descriptae in generedefiniens, in praesente jam casti!, ad motum illu-strandum nihil conseret, nisi, pro valore ipsius vnuper ipsam quidem substitui quantitatemv ponamus: unde habebitur aequatio:

.r> x r d. v 2 vdv9iD,v)^L- Ta- .. . .

quae quidem, designantibus D & L datas quascum-

53

quo ipsius x sunctiones, relationem x inter & v ,

hoc in casu, exponit; adeoque, cum ipsa;

vV y V

conjuncta,, omnia, quae ad motum spectant corporis secundum AB progredientis, comprehendit.

In hypothesi vero D — o, eamdem (IV) inhanc;

_sidi;

/T...L “

•■*•*■* •* * 5

abire patet: qua igitur aequatione motus in vacuorectiliuei in genere definientur.

Praecipuus quidem casus, quo separationemvariabilium admittat aequatio nostra se os-sert, quando R= ol Dv z : quo quidem, denotanti-bus D & L sunctiones quascumque, habebitur;

a.Dvs dv + vdv ~ L(\x;

qua utique aequatione per C2e^2cL^^X>) multipli-cata, institusaque integratione, prodibit;

2 stsiDsx: sszxDdx i_ r t .U•L */ o JLr J

ubi separatas omnino x atque v videmus. Missisautem aliis, quibus integrari possit htec aequatio,

54hypothesibus, ad casum tantum utilissimum, quodensitas D constans, atque vis quoque absolutaL — constanti g , paullisper subsistamus: qua uti-que hypothesi, aequatio nuperrime allata facilepraebebit: v,.

2cl ■ j~i 2& IDx ■ nj■ ■■

-

g‘ g +0'Dc*~~g , v

n n 2 OiDx “V*0*xL) * e x JJ . e

accipiendo scilicet v = c, quando #=ct; hincque;

t /—

r\ a Dxjp VaD .e. da;

+ xDc' — g

t r 2»Dx r zccDx ,v£~= • Log.s \g,e -s V §'e i-ccDc* -gM Consto%/etOg >■ /

t- r 2ccDx j ZetOx

st -7==r. s V g,e 4-vg.e 4. «Dr2-

tsxDg — 7^—— J-•(«),-s- V<* Uc

adhibita quidem, in integrando, substitutione:=$* determinataque dein constanjte arbitra-

ria adeo, ut evanescant simul x atque t

55

Qiod si g autem negativa habeatur, prodi-bit utique;

O N //'V*

#=— • Arc. sin. \ + Const. ,v'« Us V«j'

#

t .t I 2ctUx 1 t 2oiDx

~———.,Arc. sin. (V«Pc*..y , ss.g ~\/".\/ci Ji>c 7 \'i-g.e \

V»Dd aDc 2- _+ gdeterminata quidem, uti nuper, constante arbi-traria.

In aequatione ipsa ( JV') separatas statim vi-demus variabiles, unde ejus quidem tractatio ma-gnis non prematur dissicultatibus. Hypothesin igi-tur tantum simplicissimam maximique usus , quan-do L constans sit, seu — g, memorasse juvabit;qua scii, habebitur:v(\u = gd„v, hincque; v z

~ 2gx 4- C — 2gx~hc %

.. (22),nec non:

■■■— =V'. + c- =v^+‘,a

- t..

V2£* 4- 1 ' g g

determinatis scilicet eodem, quo antea,, modo con-x stantibus C & 6y

.

56

§• X.Expositis jam praecipuis, quae Mathematicas;

spectent disquisitiones de motibus corporum libe-ris, per potentias allati supra generis determina-tis, observationes adhuc quaedam adjiciendae vi-dentur, quibus tam uberior adfundatur lux hypo-thesi, qua heic motus corporum considerare vi-sum suit,, quam via quoque applicationi cuidameorum, quae hactenus' tradita sunt, sterni possit.

Tsotandum igitur ante omnia, nos heic qui-dem torpora , non puncta (quae plerumque consi-derant Auctores), mota posuisse, quo supersiciesquaedam, in quam ipsum; ageret medium,, projectilitribui posset r hoc vero assumto, ut erroneae omnesvitentur notiones,, observari convenit;:

1:0; Arbitrio nostro quodammodo* permitti,ih quibusnam punctis corporis moti suis in dire-ctionibus agentes censeantur vires motrices absolutae,ipsas L y M & Ar efficientes (quas quidem poten-tias motrices; per Lm v Mm & Nm definitas videbis,,posita massa corporis moti = m): quantitatibus ta-men; harum; virium (sr variabiles suerint) ex ipsoloco centri corporis inertiae unice pendentibus.

2:o; Densitatem medii’, pro unoquoque 1 punctosupersiciei corporis medium impellentis, eamdemomnino haberi, pendente tamen ejus quantitate

57

absoluta (si mutabilis scii, assumatur) ex ipso lococentri inertiae corporis moti.

3:o. supersiciem projectilis ipsi motus plagae;adversam, ejus utique indolis haberi, ut directiototius, qua ob motum suum a medio urgeaturcorpus, vis, cum ipsa motus centri inertiae dire-ctione coincidat, sive ei saltem sit parallela.

4:°. Corporis, de quo agitur, eum tantum circacentrum inertiae assumtum esse motum, quo sorsi-tan opus erit, ut eadem semper supersicies ipsim otiis plagae .advertatur (quem tamen motum no-vae cujusdam, qua a medio prematur corpus, vishaberi caussam, heic non ponendum); cujus qui-dem motsts gyratorii caussa examinanda hoc loconon est, snssiciatque omnino nobis, hujusmodimotum necessario heic esse accipiendum.

si:o. In praecedentibus igitur motum tantumcentri corporis inertiae consideratum esse, cui qui-dem centro soli, per theoriam motus corporumfinitae magnitudinis, vires omnes adhibita? Z, M\N, R suis in dilectionibus applicatae existimaripossunt.

s xi.Quibus quidem praemissis de hypothesi mo-

tuum heic consideratorum observationibus genera-

58

libus, ad usum jam quemdam praecedentium* pat-randum adcuratiorem adeo junctionis (p determi-nationem, qualem experimenta probatissima postu-lare videntur, proponere paucis non pigebit. Inhoc vero praecipuum deprehendimus rei nodum,cum non tantum diversa superficiorum ratio, me-dium impellentium, arduas valde hasce reddantdisquisitiones, sed ipse quoque casus simplicissi-mus, quo resistentia quaeritur plani ad directio-nem motiis perpendicularis (directam vocant resi-stentiam), pro planis serientibus vel celeritatibusvalde inter se diversis, non contemnendis adhucdissicultatibus- prematur : unde theoriam quidem insequentibus breviter exponendam, pro corporibusmotis velocitatibusqus non valde parvis vel ma-gnis (de quibus scilicet solis certi quid experimen-ta docere possunt), valere, ab initio statim mormendum est-

Quod si igitur, ante omnia, caussas resistenstiae medii indefiniti (quod heic tantum considera-mus) perpendere velimus, eas utique plures omni-no haberi, perspicuum est. Posito scilicet ipsomedio a. nullis sollicitato potentiis, corpori tarnenmoto resistat idem necesse est, partim inertiaparticularum , quibus motus a corpore imprimi de-bet, partim frictione medium inter atque corpus,ex eorum inter se percussione, oriunda, partim-

59

que tenacitate, sive mutua particularum a corporeseparandarum cohaesione, (quibus quidem resisten-tias caussis ipsam quoque medii ad supersiciem cor-poris adHaesionem adjungere solent): quod si au-tem potentiarum yi premi ponamus medium, adallatos jam resistentiae sontes addenda est immu-tatio pressionis medii hydrostaticae, ex motu cor-poris oriunda, ipsaque frictio medium inter atquesupersiciem corporis, ex memorata pressione hy-drostatica, proveniens. Yaleant utique haec de me-diis non cowpressibiiibus: de compressibilibus in ge-nere notandum, ad anticas corporis moti partes ea-dem condensari, ad posticas vero dilatari, idque eomagis, quo obtusiores hae habeantur partes, mo-tusque celerior; qua utique ratione vel sola con-cludi posset, medii compressibilis sive elastici ma-jorem esse resistentiam, quam non elastici, ejus-dem densitatis, nullisque ceteroquin viribus solli-citati: quod quidem experientia quoque confirma-tur. Inter memoratas nuper resistentiae caussas, advim inertiae medii, frictionemque ex mutua medii at-que corporis percussione oriundam, hoc loco praeci-pue attendisse liceat, idque vel ea ratione, quod haudvideatur dubium, reliquarum resistentiae caussarummagnum plerumque non esse effectum: resistentiascilicet ex tenacitate oriens, nisi pro mediis gluti-nosis, seu velocitatibus massisque motis valde par-vis, non erit sensibilis, ceteraeque caussae, teste

60

pro magna tantum medii pressioneatque corporibus grandibus, vel crescentibus ad-modum velocitatibus, majoris habentur momenti.Quod si igitur ex principiis duobus memoratis ad-curate profluerent formulae proponendae (quod ta-men in re tam intricata ne exspectari quidempotest), pro mediis elasticis potentiarum ve vi sol-licitatis, augenda necessario esse resultata nostra,idque eo magis, quo major habeatur velocitas*perspectu facile est.

Ut debito jam ordine progrediamur, resisten-tia ipsa directa primum consideranda, quam qui-dem revera ex inertia tantum medii pendentemponemus, cum frictio memorata ex percussione pro-veniens., nullum, vel valde saltem exiguum, .adretardandum corporis motum, praestare jam possiteffectum: unde observandum est, hujusmodi resi-stentiae vim, testibus experimentis adcuratis, opti-me definiri per pondus columnae medii, cujus -basisest planum directe seriens , cujusque altitudo illa est ,

per quam corpus in vacuo cadens , velocitatem motusin medio adquireret: quod quidem utilissimumprincipium hydrodynamicum fundamenti instar to-tius de resistentia stuidorum doctrinae, habendumvere est. Allatae nuper regulae demonstrationemquamdam heic adserendi non est locus: ostenden-,dum tantum, quomodo ad inveniendam hoc in

61

casu quantitatem R, in praecedentibus adhibitam,,applicari eadem queat.- Positis igitur D&v, utantea, = densitati medii atque velocitati corpo-ris, nec non /

— areae plani directe impingentis,atque (quod in omnibus quoque quae sequantur va-leat) m *= massae ipsius corporis, in medio moti;paret utique facile, per postulaturo nuper memo-ratum , prodire:

Dlv2

R —

. ..... (ce),2tn y

Determinata autem sic ad curate satis resisten-tia directa, dissicultatibus multo-adhuc majoribusrem premi videbimus, si obliquam considerare pla-norum resistentiam, hincque etiam ad resistentiamsupersicierum curvarum' investigandam transire,- ve--limus.

Quod si solam adhuc inertiam medii resisten-tiae caussam assumi placeat, per allata nuper dis-sicile quidem non eruetur expressio resistentiae cor-poris , cujus supersicies motus plagae adversa binisconstituitur planis similibus atque aequalibus, eoqueinter se modo dispositis, ut, latis iis circa commu-nem intersectionem tamquam axem immobilem, al-terum’ alterius locum exacte occupare possit: exsi-stente utique directione motiis corporis ad hanc ip-sam intersectionem normali, eademque directione an-

62

gulum bina inter plana constitutum bisecante, motoque ceterum corpore eam in plagam, ut citataplanorum intersectio progrediens quasi censeri pos-sit. Ponendo nimirum angulum incidentiae utrius-que plani (i. e. dimidium anguli inter plana con-tenti) =u , summamque projectionum orthogra-phicarum amborum planorum, in plano ad dire-ctionem motus perpendiculari factarum, «= p; de-terminabimus absque negotio in casu praesente:

Dvv z

R— -

. sin uz. i ; - » . (b\

2 mA pplicataque hac formula directe ad invenien-

dam resistentiam solidi cujuscuraque revolutionis,in directione ipsius axeos, moti (cujus generis su-persicies curvas heic tantum considerabimus), erue-mus Jam facile:

AR = ,m uz~

statuendo scilicet, lineam supersiciei generatricemdata inter coordinatas orthogonales x & y aequa-tione definitam esse, coincidente quidem lineaipsarum x cum axe revolutionis; assumendoque,brevitatis ergo, dz z

= dx; 2 -J- djct.Formulis vero (b) & (s), sic facile erutis, ne

plus insto sidas. Continetur his quidem theoria

63illa a Nkwtoxo jamdum fundata, hactenusque aMathematicis frequentissime adhibita, per experi-menta vero adcurate instituta, quibus solis hac inre credendum, manca adeo deprehensa, ut proproris quidem planis atque curvis convexis mo-do omnino opposito a veritate aberret. Quodquidem minus mirabimur, si consideraverimus,nullam heic omnino habitam suisse rationem fri-ctionis, ex ipsa pressione medii ad anticas corpo-ris partes, ortae; ipsamque etiam formulam ( c) ,

si vel ad inertiam tantum stuidi attendamus, ideoesse erroneam, quod pressio illa, qua solliciteturrevera unumquodque supersiciei curvae punctura,ex actione sola stuidi, hoc punctum immediatepercutientis, pendens assumta sit, nulla habita ra-tione ad particulas ab aliis supersiciei partibus ob-lique asfluentes, quae effectum tamen immediatumnecessario diminuent vel augebunt. Longum es-set, varia heic memorare summorum sane Geo-metrarum conata theoriam nuper expositam expe-rientiae convenientiorem efficiendi: pro nostro qui-dem satis erit instituto, leviter attigisse theoriam,ceteris sine dubio praeserendam, quam non multosabhinc annos proposuit Cei. Nordmark ct); cui qui-

a) sv. Vel. Acad. Handl. 1B05, 3 quart.; nec non:Principes d’une Nouvelle Theorie de la Resistancestuides, p. Z Norbmark , Mernoire qui a remporte unprix du Departement Imperial de Ia Marine de Russie,st, Petersbcurg 1808.

64dem, ut nobis constat, primo contigit, non solumformulam (b), frictionis adhibita notione, experi-mentis satis consentaneam reddere, sed etiam, quodpraecipuum sere judicandum est, quae de corrigen-da formula (c) nuper monuimus, recte perpendere,veraque sic, ad computandas resistentias prorarumpolygonarum supersicierumque curvarum, principiaexstruere.

Ut, qua fieri possit concinnitate, laudatae jamtheoria) mentionem quamdam faciamus, formulamhuc spectantem fundamentalem, corollariorum se-racem, primum adseremus,- qua utique resistentiaexhibeatur corporis, proram habentis polygonam exquattuor rectangulis compositam, quorum duo qui-dem, quae priora vocabimus,, quaeque similia sint& aequalia, parallela invicem quattuor habeant lattera, eamdemque omnino inter se &ad motumcorporis relationem servent, ac plana illa, qua*memoravimus, aequationem (6) spectantia; cetera--que duo, quae rectangnla posteriora dicemus, quae-que etiam similia sint & aequale, juncta habeantexacte duo latera iat ribus duobus rectangalorumpriorum ab intersectione inter plana horum rectan-gulorum maxime distantibus, eademque omnino la-tera aequalia habeant memoratis rectangulorum pri-orum lateribus: exsistentibus ceterum angulis inci-dentiae rectangulorum posteriorum invicem aequali-

65

bu?, cadenteque intersectione inter plana honmrectangulorum ipsam motus plagam versus, ut itadicam, non vero ad partes contrarias. sint scilicetJam anguli incidentiae rectangulorum priorum -= u..;posteriorum = w; summa projectionum ottliogra-phicarum rectangulorum priorum, in plano ad"di-rectionem motus perpendiculari tactarum == g; sum-ma projectionum orthographicarum rectangulorumposteriorum, in ejusdem generis plano obtinentium*= r; ea quantitatum q,& r, quae minor sit alte-ra (quando inaequales scii, habentur) = s; tandera-que frictio medii inter particulas atque partemquamdam prorae corporis moti =j(j sn

, ubi /'quan-titas est constans ex indole supersiciei datae atquemedii pendens experimentisque determinanda,: $ pres-sio medii perpendicularis, es percussione actuali ori-unda frictionemque generans, atque g velocitasmedii secundem planum, de quo agitur, moti: qui-bus adeo notatis, definietur utique in casu prae-sente resistentiae vis retardatrix formula;

R — —-. (q . sin u 2 ~h r .:sinw z—-

2m w

s. Cosu. sin W-. sin (u-w)) Jrr r„, nJr 2 n~\-j «+j_

——

. (q . Gos» 4" s. Cosiw —

2m

s. Cosu. CosvJ 1 + Isin (u - vo)\* T7- — ) . . . (a).

sin w

66

Ex qua quidem plura duci posse consectariavidebis. Ponendo scilicet u— w , unde prodit ca-sus formulae (£), observandoque, posse hoc in ca-su manisesto q+r in quantitatem generalem su-pra adhibitam p immutari; habebimus utique jam:

R-2*: ms +WL +

p.Cosu 1^1.

. . (e);2m 2in

quae quidem formula, pro allata supra (b~) , ob a-esso nem frictionis correcta, haberi potest; atque,posita u = i?) in ipsam («) sponte mutatur.

Applicari ceterum quoque potest ipsa (d), aderuendas formulas a D;o Nokdmark propositas,pro determinanda resistentia curvarum planarum,cvlindroidum atque solidorum revolutionis: si ob-servetur tantum, quantitatem Cosu . sin (u ~ w),quae diminutioni pressionis perpendicularis in pun-ctum quoddam rectangulomm posteriorum, ex mo-tu stuidi secundum plana priorum orienti, propor-tionalis est, in formula disserentia!! pro resisten-tia curvae planae necessario exprimendam esse per

(sp non vero per Cjs) (designante K radium

curvaturae in puncto curvae, de quo agitur). Quoquidem notato, facili omnino negotio"formula (d)in citatas nuper tres transibit, quarum eam tan»

67tum, quae solida speciet revolutionis, brevitatis gra-tia, attulisse heic sufficiat. Observatis- scilicet iis-dem, quae pro allata supra (c) notavimus, prodi-bit utique hoc in casu:

a r - ■/£) +3B2 V d.2 dZ K y

. n~\~2 -. i n-\-i , n~{~i ■,%Dsv .A2ydy.cw «/d#

m ji-s j J K

quae quidem expressio, pro ipsa tantum (r) emen-data, haberi potest.

Ponendo quidem u < w in formula (d) (undesupersicies in motus plagam concava habebitur),positivam hanc totam videbis; unde sequitur, mu-tari omnino resistentias valorem, mutato planorumordine, licet eadem omnino maneant ipsa planaiidemque eorum anguli incidentiae: quod veritatihaberi consentaneum, tam ratiociniis, quam expe-rimentis, facile constat. Yalent omnino eadem deformulis theoriae praecedentis, pro resistentia cur-varum planarum atque C} lindroidum: concavarumscilicet, oh mutatum radii curvaturae signum, ce-teris paribus, resistentiam majorem, convexarum-que minorem, uti par quoque omnino est, prodi-re videmus. Cum theoria vero non solum vulga-ris, verum aliae quoque omnes huc usque propo-

68

.&itae, in citatis nuper casibus, resistentiam figurae«convexae atque concavae omnino earadem prabeant,hinc quidem praecipue praestantiam cernimus sor-mularum jam allatarum, qua utique, si vel *cete-rum omnibus immunes sorsan non essent objectio-nibus, insignis tamen semper pretii his in disqui-sitionibus habebuntur.

Quantitates vero quod attinet n atque s, inallatis supra expressionibus occurrentes, experimen-torum tantum ope has esse investigandas, patet.In hac autem determinatione quaedam adhuc de-siderari, satendum est,* antequam certitudine qua-dam plena ad usus praeli cos adcommodari possint

.formula? propositae: quod tamen ipsi theoriae vi-tio vertendum non esse, apparet. Quando hancquidem primum proposuit Cei. Nohdmark,, secun-dum plurima tunc nota experimenta, exponentemsi = i statuit, ostenditque, In bae hypothesi, de-terminataque /"= o,on34442 (assumto imitatis in-star pede Gallico), formulas allatas experimentisadeuratis de resistentia corporum aqua? innatan-tium, a D;is d’Alembert, de Covdokcet atque Bossutinstitutis /3), satis bene consentire. Dein vero r-

JB) -NouveHes Experiences sur la Resistance des stuides, parMM. d’ Alembeht, le Marquis de Condokcet 8c 1’AbbeRossut, Paris 1777; atque Memoires de TAcad. B. des'sciences de Paris, 1778,

6 9cte observavit y), probabile esse, resistentiam hoc-modo computatam, crescentibus aliquanto magis*velocitatibus, nimiam esse prodituram; hypothe-sinque simplicissimam n — o, quae Eulero praecipueplacuit, praeter alias, considerandam heic propo-suit. Quae cum ita sint, praebeoteque memorata*nuperrime hypothesi id etiam commodi, ut habe-atur resistentia pro corporibus quibuscumque mo-tis, formae simplicis a.Dv z

: non inutilem prorsusoperam suuntur os nos speravimus, si posteriorishujus de frictione hypotheseos cum experimentisquibusdam comprobatis institueremus comparatio-nem, quo facilius quidem in posterum hac in reidoneum seratur judicium. Determinavimus igiturante omnia hoc in casu quantitatem /, formula;

_

_

2Pm — Dv z. p . sin u~

*

utentes hac in investigatione iisdem experimentis82, 86, 106, 121, 129, i43, 146, 156 atque

166, in NouveUes Experiences &c. Chap. II occur-rentibus, qutc, ad eumdem obtinendum sinem, inHypothesi n— i , adhibuit D;s Nordmark, quaeque adhanc utique disquisitionem idonea videntur. sumtoigitur decem valorum hinc profluentium medio a-rithmetico, invenimus tandem;

s = 0,2346963,

y) sv, Vet. Acad, Handl 1814, p. 1 & seqq,

70qui utique valor pro numero absoluto habendusest, ex nulla unitatespeciali, pendente. Valorejam hoc ipsius s adhibito, columnamsecundam tabellae sequentis computavimus, qua quidem diversatheoria resultata cum experimentis quibusdam Academicorum,quos citavimus Gallicorum, comparare visura suit, pertinenti-bus utique periculorum undecim prioribus ad Nouv. Exp &C,Cbap. II, ceteris vero, ad Mc?n- de l Ac, R. des sc, de Pavis 1778-

, _spatii Pondus resistenti® squivalens, in libr. Gall.

_•

n-j“ inped. Gall, m "■ ■ —~

Exp. «nctd. temp . i" Pertheor. H « = olHyp, „= i) Experim.de5Cr- vu!g- J

T3 63V6V' 1,90 6,68 7.55 6,97 - 6 > 00

9145.0. 2,22 5.72 7.62 6,91 6,0016943.1.30 2,53 5>9° 6,07 7,50 8,00

97 33-4 !*24 2,22 3.52 5>?6 55 1 7 5.°°105 26.33 54 2,52 2,95 6,04 5,73 5,00

17325.26.6 2,65 2,56 5»5° 5.36 6,00

113 21.48.5 2,53 2,05 5.29 5,°8 5.°°75 14.2.10 3.37 °.77 3)?6 4.66 5>00

185 3,02 7.53 7.53 7.2i 6,00189 2.5° 8,22 8,21 7,79 6,00194 2,45 10,06 i°,°5 9.54 8,00

1084.0. 2,59 2 5°j55 256,76 251,22 262,502566.0. 2,80 247,60 2 75,92 260,44 262,503554.0. 3,09 236,96 286,90 273.10 262,504048.0. 3,28 225,00 288,98 280,91 262,504542.0. 3.49 206,50 286,94 289,56 262,505530.0. 3,88 142,22 257,85 a9 6 ,74 262,506318.0. 3.H 35,76 H9,35 1 35,29 162,5069 6.0.0 3,20 4,23 94,68 118,78 162,5070 i,7° 73,33 73,25 68,68 62,0072 8,85 205,30 205,09 195,82 162,5075 2,36 166,04 173,57 164,63 162,50

71

Ex qua quidem tabella perspicimus , valorem ipsius/, in hjpothesi n — 0, supra erutum, pro angulisincidentiae minoribus, justo esse minorem, pro an-gulis autem mediis, atque maxime pro supersicie-bus curvis (quas experimenta spectant i85, ibq,,194, 70, 72, 75), justo haberi majorem: unde se-quitur, quidem s medium quasi essevalorem, eumque ideo satis recte esse determina-tum. Fatendum vero est, videri hinc experimentailla, quae jam consideravimus, hjpothesi ipsi n~ 0

minus savere: ipsi salt m n = r, a Nokdvark ad-hibitae, magis congruere censenda sunt. Pleniortamen huic materiei lux, nonnisi repetitis variomodo experimentis in posterum conciliari potest;sietque tunc sorsitan valor maxime probabilis ipsi-us n neque zero neque unitas, sed fractio quaedampositiva unitate minor.

Antequam haec relinquenda, operae adhuc estpretium vidisse, quaenam, in hypothesi n~o , exvalore nuper determinato ipsius s sequatur ratiointer resistentiam sphaerae atque resistentiam dire-ctam circuli ejus maximi, curn in bae tantum hj-pothesi constans pro diversis velocitatibus hasceinter resistentias ratio obtineat. Observabimus i-gitur, per formulam (/), prodire hoc in casu sa-cile resistentiam sphaerae, radio r descriptae

wr\ Dv z /X r r trV\ 1;rz. Dv* >

=. si +/. (i- ) - 0^6701%);

2m k j.2 v 4 ' 2 m

72

per formulam autem (a) , haberi resistentiam cir-culi maximi dire6lara

__

Trr*. Dv 2

2 m

unde sequitur, esse resistentiam sphaerae atque cir-culi ejus maximi, in ratione 0,4670830 :1, hoc est1 : 2, 14 quam proxime; quae quidem ratio experi-entiae videtur propior, quam solita 1:2, ex sor-mula (r) profluens. Experimenta scilicet a Bordainstituta, ad determinandam resistentiam aeris, ra~tionem dant 1:2, 44 quaeque a Yince, cumcorporibus sub aqua demersis, facta suerunt, ratio-nem praebent 1: 2,23 g)r quae tamen experimentaulteriori sorsan adhuc confirmatione egere, insi-tias non, imus.

Ceterum, observandum proBe est, -coefficien-tem s, ratione supra adhibita, directe per experi-menta de resistentia corporum elicitam, ceterasquoque resistentiae caussas quasi involventem ha-beri: unde hoc quidem respectu,, theoria in prae-cedentibus exposita omnes sane resistentiae caus-sas, notas nobis ignotasve,, comprehendere quo-dammodo censeri; possit.

i) Mern. de l’Acad, B, des se., de Paris 1763., p; 3691<s))Philos. Tranfact; 179,8', 6, 7-

73In praecedentibus quidem de resistentia medi-

orum observationibus, de partibus tantum corporismoti anticis, sive medium immediate serientibus,mentionem secimus; quarum quoque consideratio,hac in materie, absque dubio praecipui est mo-menti. Docet autem experientia, latera quoquecorporis atque caudam, quae ipsum quidem ictumnon accipiunt, aliquantulum ad resistentiam mu-tandam conserre ■£): in quo tamen effectu ulteriusconsiderando heic non immorabimur, cum longeadhuc absit, ut theoria quadam experimentis con-sentanea recte illustrata sit ha3C materies, varias-que etiam., ut ingenue rem sateamur, Auctorumsententias deprehendamus, an, actione medii inposticas corporis partes, diminuatur revera resi-stentia in anticas partes, vel augeatur.

g, XII.Reliquum jam tantum videtur, ut exemplo

quodam simplici, quae hactenus generaliter attuli-mus, illustrare conemur; quo quidem proposito,quae adhuc sorsan supersint in praecedentibus ap-plicandis, dissicultates omnino tollentur. Conside-

£) Vide v. gr. Nouv, Exp. p. a 74; Mem. de 1’ Ac E. d,sc. de Paris 1778, p. 378. 379: sv. Vet. Acad. Handl.1793, 8 Quart ; nec non Philos. Tianfact. 1798, p, 6,10.

74remus igitur ex. gr. sequens periculum, ab Hawksbeeann. 1710 Londini factum n), quo casum sub dioliberum globi cavi vitrei, 220 ped. Angi, a quietedescribentis, contemplatus ,

est. Fuit utique dia-meter g! obi 5 digit. Angi,, ejusque pondus in aere483 granor. Eoman.; observatumque est, summa,ut videtur, cura, tempus ipsum descensiis == g", 2::quaeritur idem tempus per theoriam? Determina-tauv quidem non invenimus pro hoc experimentodensitatem aeris: ut IVewtoxi autem vestigia se-quimur, assumamus digitum unum cubicum Angi.0.298 grana Bom. aeris continuisse; ponamusqueetiam grave, cadendo in vacuo, primo minutosecando i&,rn pedes Angi, Londini describere:quibus quidem positis, omnia jam habemus dataad calculum instituendum. Cum, pro altitudinedata, densitas aeris, multoque magis vis gravita-tis , absque errore constans accipi possit, adhibendajam est formula allata supra (az); quze quidem, posi-ta celeritate initiali c— 0, in hanc migrat :

1 s 2/xDx J 2CiDx nt =

—

—. L og. s y e -j- V' * —i) j hoc est-::\ZciVg v. /

otDx -j- Log. 2

V»Dg

$) Newtoki Phil, Nat. Prine. Math. L, II, Pr. XI., schoLExp.. 13,

75

*£* • •• ** CL 'lJ

*

si inerit quidem, quod saepe accidit, e" nu-merus adeo magnus, ut absque errore sensibili po-

2olD.X 2 OL D X-ni possit e — i = e

..

In casu jam occurrente,, ad olD investigan-dam, observabimus, per experimenta quidem vi-deri resistentiam globi, ceteris paribus, paullo mi-norem dimidio resistentia? directa? circuli ejus ma-ximi: cum hoc autem in casu motus in mecio siatelastico, majorque', ad sinem motus, habeaturCederitas, quam quae solitis in periculis obveniat,a veritate non multo aberrabimus, ponendo resi-stentiam globi (radii r atque massae m)

„ slT*'. Dv* s rD 2—R—=~• • V

4 m 16r m

quae formula est theoriae vulgaris. Cum habeaturigitur e praecedentibus globi aerei, diametro 5 di-gilor. descripti, pondus in vacuo ■— 19,3 gran.,perspicuum utique est, assumto unitatis instar pede1.i • n 3 24 iq,3 173,7Angi., esse jam: &D =

.——

—

——~ :J 1.6 5 483 + 19,3 5023 ’

unde,, cum sine errore perceptibili adhiberi heicpossit formula ts t nuper allata posterior (habeturenim (2,718 .. 4°55565,4 quam

7 6

proxime, qui numerus valde est magnus), prodibitutique valor ipsius t quaesitus

j7 3»7 , £o /y ‘220 + o,69 3i47 2- ~

==

,

j 173,7 2 . 16,111.4835o23 4^3 “b 19> 3

qui <b observato quidem valore parum omninodissert

Ceterum, observasse operae est pretium, cele-ritatem ia casu praesente sinalem, adhibita formu-la (20), facile inveniri = 29,93 ped. Angi, in 1 11

uriformiter descript.; quae quidem, eum velocitatequae hoc in casu adquisi possit maxima, congru-ens censeri potest.

Prodeunt quidem, in exemplo allato, per sor-nulas (27) atque (22), tempus descensiis in vacuo= 3", 6g53 , atque celeritas sinalis = 119,07. Dis-serentia hos inter ralores atque inventos supraactioni aeris tribuenda est.