Stark korrelation mellan förklaringsvariabler. Exempel:

Stark korrelation mellan förklaringsvariabler.

Exempel:

Vad påverkar kostnaden för produktion av korrugerat papper, dvs sådant som ingår i wellpapp och kartonger?

Amerikansk studie: Kostnaden kan förmodligen förklaras av en eller flera av följande variabler:

• produktionsmängden (PAPER)

• maskintid (MACHINE)

• overhead-kostnader (OVERHEAD)

• antal direkta personarbetstimmar (LABOR)

Insamlade månadsvisa data:

MONTH COST PAPER MACHINE OVERHEAD LABOR

1 1102 550 218 112 325

2 1008 502 199 99 301

3 1227 616 249 126 376

4 1395 701 277 143 419

… … … … … …

27 1388 704 281 142 429

Grafisk illustration av ev. samband:

Pröva först en modell där kostnaden förklaras av samtliga förklaringsvariabler:

Regression Analysis: COST versus PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR

The regression equation is

COST = 51.7 + 0.948 PAPER + 2.47 MACHINE + 0.048 OVERHEAD - 0.0506 LABOR

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 51.72 21.70 2.38 0.026

PAPER 0.9479 0.1200 7.90 0.000

MACHINE 2.4710 0.4656 5.31 0.000

OVERHEAD 0.0483 0.5250 0.09 0.927

LABOR -0.05058 0.04030 -1.26 0.223

S = 11.08 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%

Hög förklaringsgrad, men alla x-variabler är ej signifikanta

Varför kan vi inte hitta samma samband i regressionsmodellen som vi såg genom visuell inspektion?

Kan det vara så att förklaringsvariablerna ”överlappar” varandra när det gäller att förklara kostnaden?

Vi kan undersöka detta genom att plotta de förklarande variablerna mot varandra.

Tydligt samband mellan alla par av förklaringsvariabler.

Vi kan också beräkna parvisa korrelationskoefficienter mellan förklaringsvariabler:

Correlations: PAPER, MACHINE, OVERHEAD

PAPER MACHINE

MACHINE 0.989

OVERHEAD 0.978 0.994

Cell Contents: Pearson correlation

och vi ser att samtliga korrelationer ligger mycket nära 1.

Om korrelationen är hög (över 0.9) mellan två förklaringsvariabler kan modellen bli svår att analysera. Vi kan t.ex. få:

• konstiga värden på parameterskattningar (t. ex. negativa lutningsparametrar där sambandet ska vara positivt)

• förklaringsvariabler är inte signifikanta, fastän man kan se ett tydligt linjärt samband mellan variabeln och responsen

Eftersom flera förklarande variabler representerar samma påverkan är det svårt att separera vad i varje förklaringsvariabel som främst förklarar variationen i y.

Problemet kallas för multikollinjäritet.

Vad det handlar om är att en förklaringsvariabel är nära linjärt beroende av en eller flera (därav multi) av de andra förklaringsvariablerna.

Hur upptäcker man och hur åtgärdar man detta?

Metod 1:

• Beräkna korrelationskoefficienterna mellan samtliga par av variabler, dvs även med y.

• Om två eller flera av förklaringsvariablerna har höga korrelationer med varandra, uteslut en av dessa men inte den som har högst korrelation med y. Pröva igen

I exemplet beräknar vi

Correlations: COST, PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR

COST PAPER MACHINE OVERHEAD

PAPER 0.996

MACHINE 0.997 0.989

OVERHEAD 0.989 0.978 0.994

LABOR 0.938 0.933 0.945 0.938

Cell Contents: Pearson correlation

Alla korrelationer är högre än 0.9. MACHINE har högst korrelation med COST och bör då vara den variabel som väljs.

(Dock är PAPER en mycket nära kandidat här.)

Metod 2:

Om det föreligger starka samband mellan en förklaringsvariabel och en eller flera av de övriga förklaringsvariablerna kan man tänka sig en modell där den första förklaras av de andra.

T ex om x1 har starka samband med variablerna x2, x3, x4 blir en modell:

x1 = 0 1 x2 2 x3 3 x4

Om denna modell anpassas erhålls en förklaringsgrad R12 , som

anger hur stor del av den totala variationen i x1 som förklaras av de övriga x-variablerna.

Är R12 stor, borde man kunna utesluta x1 ur modellen för y.

Den s k Variance Inflation Factor, VIF, för variabeln x1 definieras som

Och vi ser att för ett stort värde hos R12 blir också VIF1 stor.

VIF kan som lägst bli 1 vilket inträffar då R12=0.

Om R12=1 skulle VIF bli oändligt stor.

Om vi t.ex. anpassar en regressionsmodell

x1 = 0 1 x2 2 x3 3 x4 , så får vi...

förklaringsvariabler

21

1 11R

VIF

Regression Analysis: PAPER versus MACHINE, OVERHEAD, LABOR

The regression equation is

PAPER = 112 + 2.92 MACHINE - 1.66 OVERHEAD - 0.0186 LABOR

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 112.03 29.60 3.79 0.001

MACHINE 2.9162 0.5333 5.47 0.000

OVERHEAD -1.6589 0.8440 -1.97 0.062

LABOR -0.01863 0.06990 -0.27 0.792

S = 19.24 R-Sq = 98.2% R-Sq(adj) = 98.0%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 3 463679 154560 417.47 0.000

Residual Error 23 8515 370

Total 26 472194

56.55982.01

11

VIF

VIF finns förstås definierad för varje ingående x-variabel som

där Rj2 = förklaringsgraden i en anpassad modell där xj

förklaras av övriga x-variabler.

Om det största av dessa VIF-värden är större än 10 eller om medelvärdet av samtliga VIF-värden är betydligt större än 1 anser man att det föreligger problem med (multi)kollinearitet.

VIF-värden kan fås automatiskt i Minitab-utskriften:

211

jj R

VIF

Regression Analysis: COST versus PAPER, MACHINE, OVERHEAD, LABOR

The regression equation is

COST = 51.7 + 0.948 PAPER + 2.47 MACHINE + 0.048 OVERHEAD - 0.0506 LABOR

Predictor Coef SE Coef T P VIF

Constant 51.72 21.70 2.38 0.026

PAPER 0.9479 0.1200 7.90 0.000 55.5

MACHINE 2.4710 0.4656 5.31 0.000 228.9

OVERHEAD 0.0483 0.5250 0.09 0.927 104.1

LABOR -0.05058 0.04030 -1.26 0.223 9.3

S = 11.08 R-Sq = 99.9% R-Sq(adj) = 99.9%

Vi ser att det råder stora problem med (multi)kollinearitet här!

Är (multi)kollinearitet alltid ett bekymmer?

• När den anpassade modellen används för att förklara variation och tolka samband är det viktigt att multikollinearitet undviks. Tolkningarna blir annars lätt missvisande.

• Är målet med analysen att göra prognoser i nya punkter spelar det mindre roll om de inkluderade förklarande variablerna är korrelerade.

Val mellan olika modeller – modellbygge:

Ett företag undersöker 25 säljdistrikt med avseende på försäljning. Man vill försöka förklara försäljningen (SALES) med följande variabler:

• x1 (TIME) = den tid (i månader) som säljaren har varit anställd.

• x2 (POTENT) = totala industriförsäljningens volym i distriktet

• x3 (ADV) = annonskostnader (i dollar)

• x4 (SHARE) = företagets genomsnittliga marknadsandel i distriktet (de senaste 4 åren)

• x5 (SHARECHG) = förändringen i marknadsandel i distriktet jämfört med perioden före de senaste fyra åren.

• x6 (ACCTS) = antal kontrakt som säljaren arbetat med

• x7 (WORKLOAD) = faktor för arbetsbelastningen hos säljaren

• x8 (RATING) = bedömningsmått på säljaren satt av försäljningsansvarig

SALES TIME POTENT ADV SHARE SHARE- ACCTS WORK- RATING

CHG LOAD

3669.88 43.10 74065.1 4582.9 2.51 0.34 74.86 15.05 4.9

3473.95 108.13 58117.3 5539.8 5.51 0.15 107.32 19.97 5.1

2295.10 13.82 21118.5 2950.4 10.91 -0.72 96.75 17.34 2.9

4675.56 186.18 68521.3 2243.1 8.27 0.17 195.12 13.40 3.4

6125.96 161.79 57805.1 7747.1 9.15 0.50 180.44 17.64 4.6

2134.94 8.94 37806.9 402.4 5.51 0.15 104.88 16.22 4.5

5031.66 365.04 50935.3 3140.6 8.54 0.55 256.10 18.80 4.6

3367.45 220.32 35602.1 2086.2 7.07 -0.49 126.83 19.86 2.3

… … … … … … … … …

2799.97 21.14 22809.5 3552.0 9.14 -0.74 88.62 24.96 3.9

Hur väljer man den ”bästa” modellen?

1) Studera varje relevant modell för sig: Är alla förklaringsvariabler av betydelse? Är residualerna bra?

2) Jämför justerade förklaringsgrader3) Variansskattning: Den modell som har lägst värde på MSE

är bäst. Dock gäller: MSE minskar om och endast om den justerade förklaringsgraden ökar.

Jämförelse av MSE (alt. s ) blir ekvivalent med jämförelse av . 2

sdjR

Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT, ...

The regression equation is

SALES = - 1165 + 2.27 TIME + 0.0383 POTENT + 0.141 ADV + 222 SHARE

+ 285 SHARECHG + 4.38 ACCTS

Predictor Coef SE Coef T P

Constant -1165.5 420.4 -2.77 0.013

TIME 2.269 1.699 1.34 0.198

POTENT 0.038278 0.007547 5.07 0.000

ADV 0.14067 0.03839 3.66 0.002

SHARE 221.60 50.58 4.38 0.000

SHARECHG 285.1 160.6 1.78 0.093

ACCTS 4.378 3.999 1.09 0.288

S = 428.0 R-Sq = 92.0% R-Sq(adj) = 89.4%

894.0

920.02

2

adjR

R

Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT, ...

The regression equation is

SALES = - 1508 + 2.01 TIME + 0.0372 POTENT + 0.151 ADV + 199 SHARE

+ 291 SHARECHG + 5.55 ACCTS + 19.8 WORKLOAD + 8 RATING

Predictor Coef SE Coef T P

Constant -1507.8 778.6 -1.94 0.071

TIME 2.010 1.931 1.04 0.313

POTENT 0.037205 0.008202 4.54 0.000

ADV 0.15099 0.04711 3.21 0.006

SHARE 199.02 67.03 2.97 0.009

SHARECHG 290.9 186.8 1.56 0.139

ACCTS 5.551 4.776 1.16 0.262

WORKLOAD 19.79 33.68 0.59 0.565

RATING 8.2 128.5 0.06 0.950

S = 449.0 R-Sq = 92.2% R-Sq(adj) = 88.3%883.0

922.02

2

adjR

R

Minitab: Vi använder funktionen ’best subset regression’ för att ta fram de två bästa modellerna i varje modellstorlek (de två som har de högsta R2-värdena).

Modellstorlek: antal förklarande variabler i modellen

Förutom R2-värdena får vi med ’best subsets’ metoden även justerade förklaringsgrader, s.

Best Subsets Regression: SALES versus TIME, POTENT, ...

Response is SALES S W H O P A R R O S R A K A T T H E C L T I E A A C C O I M N D R H T A N Vars R-Sq R-Sq(adj) C-p S E T V E G S D G

1 56.8 55.0 67.6 881.09 X 1 38.8 36.1 104.6 1049.3 X 2 77.5 75.5 27.2 650.39 X X 2 74.6 72.3 33.1 691.11 X X 3 84.9 82.7 14.0 545.52 X X X 3 82.8 80.3 18.4 582.64 X X X 4 90.0 88.1 5.4 453.84 X X X X 4 89.6 87.5 6.4 463.95 X X X X 5 91.5 89.3 4.4 430.23 X X X X X 5 91.2 88.9 5.0 436.75 X X X X X 6 92.0 89.4 5.4 428.00 X X X X X X 6 91.6 88.9 6.1 438.20 X X X X X X 7 92.2 89.0 7.0 435.67 X X X X X X X 7 92.0 88.8 7.3 440.30 X X X X X X X 8 92.2 88.3 9.0 449.03 X X X X X X X X

Automatiserat modellval:

– Framåtval: Forward Selection– Bakåtval: Backward Selection– Stegvis Regression: Stepwise regression

Gemensamt för de här metoderna är att man testar en variabel i taget. Med hjälp av några kriterier som man bestämmer i förväg kan man sen avgöra om denna variabel ska läggas till i modellen (tas bort från modellen) eller inte.

Framåtvalsprincipen (Forward selection):

1. Välj först den x-variabel som har högst absolut korrelation med y. (Den variabel som ger högst R2 och lägst SSE).

2. Testa med t- eller F-test om denna variabel blir signifikant

3. Om den blir det, behåll den i modellen. Om inte, så finns det ingen bra modell.

4. Anpassa alla modeller med ytterligare en x-variabel. Använd sen den variabel som har lägst p-värde.

5. Testa med t-test eller partiellt F-test om den andra x-variabeln blir signifikant.

6. Om den blir det, behåll även denna variabel i modellen. Om inte, stanna vid den tidigare modellen med en förklarande variabel.

7. Fortsätt på motsvarande sätt tills inga nya signifikanta variabler kan läggas till.

I ”vårt” datamaterial:Correlations: SALES, TIME, POTENT, ADV, SHARE, SHARECHG, ACCTS, WORKLOAD, RATING

SALES TIME POTENT ADV SHARE SHARECHG ACCTS WORKLOADTIME 0.623 0.001

POTENT 0.598 0.454 0.002 0.023

ADV 0.596 0.249 0.174 0.002 0.230 0.405

SHARE 0.484 0.106 -0.211 0.264 0.014 0.613 0.312 0.201

SHARECHG 0.489 0.251 0.268 0.377 0.085 0.013 0.225 0.195 0.064 0.685

ACCTS 0.754 0.758 0.479 0.200 0.403 0.327 0.000 0.000 0.016 0.338 0.046 0.110

WORKLOAD -0.117 -0.179 -0.259 -0.272 0.349 -0.288 -0.199 0.577 0.391 0.212 0.188 0.087 0.163 0.341

RATING 0.402 0.101 0.359 0.411 -0.024 0.549 0.229 -0.277 0.046 0.631 0.078 0.041 0.911 0.004 0.272 0.180

Regression Analysis: SALES versus ACCTS

The regression equation isSALES = 709 + 21.7 ACCTS

Predictor Coef SE Coef T PConstant 709.3 515.2 1.38 0.182ACCTS 21.722 3.946 5.50 0.000

S = 881.1 R-Sq = 56.8% R-Sq(adj) = 55.0%

ACCTS är signifikant och utgör därför den första förklaringsvariabeln i modellen.

Om vi testar de återstående variablerna var och en i modellen med ACCTS, ser vi att den variabel som är mest signifikant är ADV.

signifikant

Regression Analysis: SALES versus ACCTS, ADV

The regression equation isSALES = 50 + 19.0 ACCTS + 0.227 ADV

Predictor Coef SE Coef T PConstant 50.3 407.6 0.12 0.903ACCTS 19.048 2.973 6.41 0.000ADV 0.22653 0.05039 4.50 0.000

S = 650.4 R-Sq = 77.5% R-Sq(adj) = 75.5%

Nu kan vi försöka utöka modellen med ytterligare en variabel. Vi testar alltså alla kvarstående variabler var och en tillsammans med ACCTS och ADV.

Enklare är det att använda sig av framåtvalen som finns i MINITAB. (Stat->Regression->Stepwise… )

Forward selection. Alpha-to-Enter: 0.05

Response is SALES on 8 predictors, with N = 25

Step 1 2 3 4Constant 709.32 50.29 -327.24 -1441.94

ACCTS 21.7 19.0 15.6 9.2T-Value 5.50 6.41 5.19 3.22P-Value 0.000 0.000 0.000 0.004

ADV 0.227 0.216 0.175T-Value 4.50 4.77 4.74P-Value 0.000 0.000 0.000

POTENT 0.0219 0.0382T-Value 2.53 4.79P-Value 0.019 0.000

SHARE 190T-Value 3.82P-Value 0.001

S 881 650 583 454R-Sq 56.85 77.51 82.77 90.04R-Sq(adj) 54.97 75.47 80.31 88.05C-p 67.6 27.2 18.4 5.4

Bakåtelimineringsprincipen (Backward elimination ):

1. Anpassa modellen med samtliga tillgängliga förklrande variabler.

2. Om alla förklaringsvariabler är signifikanta blir detta den slutliga modellen.

3. Om en eller flera variabler ej är signifikanta ta bort den variabel som har lägst absolut t-kvot (högst p-värde).

4. Anpassa en ny modell med de variabler som är kvar. Om alla förklaringsvariabler i denna modell är signifikanta är det den slutliga modellen.

5. Om en eller flera variabler ej är signifikanta, ta bort den med högst p-värde.

6. Upprepa förfarandet till dess att samtliga ingående förklaringsvariabler är signifikanta.

I modellen med alla förklarande variabler:

Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT, ...

The regression equation isSALES = - 1508 + 2.01 TIME + 0.0372 POTENT + 0.151 ADV + 199 SHARE + 291 SHARECHG + 5.55 ACCTS + 19.8 WORKLOAD + 8 RATING

Predictor Coef SE Coef T PConstant -1507.8 778.6 -1.94 0.071TIME 2.010 1.931 1.04 0.313POTENT 0.037205 0.008202 4.54 0.000ADV 0.15099 0.04711 3.21 0.006SHARE 199.02 67.03 2.97 0.009SHARECHG 290.9 186.8 1.56 0.139ACCTS 5.551 4.776 1.16 0.262WORKLOAD 19.79 33.68 0.59 0.565RATING 8.2 128.5 0.06 0.950

S = 449.0 R-Sq = 92.2% R-Sq(adj) = 88.3%

TIME, SHARECHG, ACCTS, WORKLOAD och RATING är icke-signifikanta. Av dessa har RATING lägst absolut t-kvot.

Regression Analysis: SALES versus TIME, POTENT, ...

The regression equation isSALES = - 1486 + 1.97 TIME + 0.0373 POTENT + 0.152 ADV + 198 SHARE + 296 SHARECHG + 5.61 ACCTS + 19.9 WORKLOAD

Predictor Coef SE Coef T PConstant -1485.9 677.7 -2.19 0.043TIME 1.974 1.796 1.10 0.287POTENT 0.037290 0.007851 4.75 0.000ADV 0.15196 0.04325 3.51 0.003SHARE 198.31 64.12 3.09 0.007SHARECHG 295.9 164.4 1.80 0.090ACCTS 5.610 4.545 1.23 0.234WORKLOAD 19.90 32.64 0.61 0.550

S = 435.7 R-Sq = 92.2% R-Sq(adj) = 89.0%

TIME, SHARECHG, ACCTS och WORKLOAD är icke-signifikanta. WORKLOAD har lägst absolut t-kvot.

osv.

Step 1 2 3 4 5Constant -1508 -1486 -1165 -1114 -1312

TIME 2.0 2.0 2.3 3.6 3.8T-Value 1.04 1.10 1.34 3.06 3.01P-Value 0.313 0.287 0.198 0.006 0.007

POTENT 0.0372 0.0373 0.0383 0.0421 0.0444T-Value 4.54 4.75 5.07 6.25 6.20P-Value 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

ADV 0.151 0.152 0.141 0.129 0.152T-Value 3.21 3.51 3.66 3.48 4.01P-Value 0.006 0.003 0.002 0.003 0.001

SHARE 199 198 222 257 259T-Value 2.97 3.09 4.38 6.57 6.15P-Value 0.009 0.007 0.000 0.000 0.000

SHARECHG 291 296 285 325 T-Value 1.56 1.80 1.78 2.06 P-Value 0.139 0.090 0.093 0.053

ACCTS 5.6 5.6 4.4 T-Value 1.16 1.23 1.09 P-Value 0.262 0.234 0.288

WORKLOAD 20 20 T-Value 0.59 0.61 P-Value 0.565 0.550

RATING 8 T-Value 0.06 P-Value 0.950 S 449 436 428 430 464R-Sq 92.20 92.20 92.03 91.50 89.60R-Sq(adj) 88.31 88.99 89.38 89.26 87.52C-p 9.0 7.0 5.4 4.4 6.4

Vi börjar med modellen med alla förklarande variabler och tar bort RATING, WORKLOAD, ACCTS och SHARECHG en efter en.

Den slutliga modellen inkluderar TIME, POTENT, ADV och SHARE.

Stegvis regression:

Genom att kombinera framåtval och bakåteliminering får vi det som ofta bara kallas ”stegvis regression”:

• Välj först den variabel som har högst korrelation med y.

• Behåll variabeln om den är signifikant.

• Lägg till en ny variabel om den blir signifikant, ta bort den gamla om den inte blir signifikant.

• Fortsätt att lägga till och ta bort variabler till dess att inga nya signifikanta kan hittas och inga gamla kan tas bort.

Step 1 2 3 4Constant 709.32 50.29 -327.24 -1441.94

ACCTS 21.7 19.0 15.6 9.2T-Value 5.50 6.41 5.19 3.22P-Value 0.000 0.000 0.000 0.004

ADV 0.227 0.216 0.175T-Value 4.50 4.77 4.74P-Value 0.000 0.000 0.000

POTENT 0.0219 0.0382T-Value 2.53 4.79P-Value 0.019 0.000

SHARE 190T-Value 3.82P-Value 0.001

S 881 650 583 454R-Sq 56.85 77.51 82.77 90.04R-Sq(adj) 54.97 75.47 80.31 88.05C-p 67.6 27.2 18.4 5.4

Slutlig modell är alltså den med ACCTS, ADV, POTENT och SHARE, dvs samma som framåtvals-principen gav.

Ingen av de tre algoritmerna är optimal i något avseende och olika modeller kan fås.

Det är inte heller så att någon med nödvändighet ger den bästa modellen.

Algoritmerna skall kombineras med förnuft och residualanalys.

Speciellt viktigt är det att inte utan att fundera stoppa in alla variabler man har i modellen, utan att börja med en vettig uppsättning relevanta variabler.