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SÉRIES DE FOURIER

Felipe do Carmo Amorim

Fernando Soares Alves

Marcelo da Rocha Lopes

Engenharia Mecânica

RESUMO

Apresentam-se no artigo que segue os conceitos sobre função periódica, séries trigonométricas, funções pares e impares, as condições que asseguram a convergência das séries (condições de Dirichlet) e também a Série de Fourier para um intervalo arbitrário, bem a mesma escrita na forma Complexa. Efetuaram-se diversos exemplos para os casos trabalhados em cada seção.

INTRODUÇÃO

No estudo da matemática, a chamada série de Fourier, em homenagem a Jean-Baptiste

Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função continua por partes e

periódica em um intervalo determinado, ou considerando que, mesmo a função não

sendo periódica, como sendo neste dado intervalo. As séries podem ser expressas

equivalentemente em termos de funções seno e cosseno.

Fourier foi o primeiro a estudar sistematicamente tais séries infinitas, após investigações

preliminares de Euler, D'Alembert, e Daniel Bernoulli. Ele aplicou estas séries à solução

da equação do calor, publicando os seus resultados iniciais em 1807 e 1811, e

publicando a sua Théorie analytique de la chaleur em 1822.

De um ponto de vista moderno, os resultados de Fourier são informais, em boa parte,

devido à falta de uma notação concisa de funções e integrais nos inícios do século XIX.

Mais tarde, Dirichlet e Riemann expressaram os resultados de Fourier com grande

precisão e rigor formal.

Séries de Fourier são formas de representar funções como soma de exponenciais ou

senóides e cossenóides.

1.1- Funções Periódicas:

Uma função ���� é dita periódica com período � se ��� � �� �����, �.Do que decorre que ��� � ��� � ���� para � inteiro � � 0, 1, 2, 3, …. Exemplo: 1) Se ���� � tan���, temos que tan�� � �� � tan ���,logo � � �. 2) Achar o período da função ���� � �������

Se a função for periódica, ��� ��� � �� � �������. ������� cos���� � ������� cos���� � ������� cos���� � 1 cos ���� � cos 2� ������� � 0 ������� � ��� 2� � � � ���

Obs:Uma função contínua �!"ó$"%& �: ( ) ( é limitada e atinge seus

valores máximo e mínimo, isto é, existem �* , �+ , ( tais que ���*� - ���� - ���+�, Se duas funções .��� � /��� possuem período � então a função ���� � &.��� � 0/���,é �!"ó$"%&.

1.2- Série Trigonométrica:

É uma série de funções cujos termos são obtidos multiplicando-se os senos e os cossenos dos múltiplos sucessivos da variável independente � por coeficientes, que não dependem da variável � e são admitidos reais. 12 &* � &+%1�� � &�%1�2� � 2 � 0+���� � 0����2� � 2 13 12 &* � 4�&�

5�6+ cos �� � 0���� �� � �1�

Sendo esta uma série de funções, sua soma S ( no caso de existir ,ou seja

se a série for convergente ) será uma função da variável independente e como os termos da série são funções trigonométricas ,funções periódicas de período 2�,a soma 7��� será uma função periódica de período 2�.De modo que precisamos

estudar a série trigonométrica em um intervalo de comprimento 2�,por exemplo:�8�, �� 13 � 0,2��.

As funções periódicas de interesse prático podem sempre ser

representadas por uma série trigonométrica.

���� � 12 &* � 4�&�5

�6+ cos �� � 0���� �� �

Esta representação é possível se a ���� satisfizer as condições de suficiência de 9"!"%/:��.

1.3 – Condições de Dirichlet:

Embora não sejam conhecidas as condições necessárias e suficientes para que uma possa ser representada por uma série trigonométrica;as condições de suficiência de Dirichlet,apesar de mais restritivas,asseguram a convergência da série para a função.

1ª) A função ���� deve ser contínua e, portanto, limitada no intervalo �8�, � �, com exceção, talvez de um número finito de pontos de descontinuidade de primeira espécie ( finitas ).

Exemplo:

���� � ;1, &!& 8 � < � < 00, &!& 0 < � < � = � ��� � 2�� � ����

Esta função apresenta ,num período, apenas um ponto de descontinuidade finita em x=0

Contra – exemplo: ���� � �9 8 ���?+ no intervalo �0,2��.

Apresenta um ponto de descontinuidade infinita no ponto �=3

Gráfico de f(x) com descontinuidade em x = 3

2ª) Efetuando-se uma partição no intervalo �8�, �� em um número finito de sub-intervalos ,a função ���� em cada um deles será monótona.A função ���� tem somente um número finito de máximos e mínimos em um período.

Exemplo:

Podemos considerar 3 sub-intervalos: No 1º ���� é constante; No 2º ���� é crescente; No 3º ���� é constante, apresenta no período um ponto de máximo e um de mínimo.

Contra- exemplo: ���� � ��� @+AB , 8� < � < �

Gráfico de f(x) = sen(1/x)

Esta função apresenta um número infinito de máximos e mínimos na vizinhança de � � 0.

C. D 8 Ortogonalidade –Integrais de Euler:

Os termos na série são ditos ortogonais com relação ao período � � 2�, isto é, a integral em um período do produto de quaisquer dois termos diferentes é �3:&.

E���.!&"� $� F3:�!

1� G cos ���?� $� � 0 � � 1,2,3, …

2� G ��� �� $� � 0 � � 0,1,2, … �?�

3� G cos � cos H� �?� $� � 0 � I H� "���"!1�

4� G %1���–� � $� � � � 1,2 ….

5� G ��� � ��� H� $� � 0 � I H� "���"!1��?�

6� G �����?� � $� � � � H I 0

7� G ��� � cos H� $��?� � 0 O � H 13 I H =

Demonstrando:

1� G cos �� $� �–� � 0 ; � � 1,2, ….

9� �&�1 G cos �� �–� $� � 1� ��� �� Q �8�= � 1� R ��� �� 8 ��� �8��� S � 0

2� G ��� �� $� � 0 ; � � 0,1,2, … �?�

9� �&�1 G ��� �� $� � 8 1��–� cos �� Q �8�= � 8 1� Rcos �� 8 cos�8���S � 0

3� G cos � cos H� $� � 0 ; I H �?�

9� �&�1 cos� � H �� � cos � cos H� 8 ��� � ��� H� �1�

Cos� 8 H� � � cos � cos H� � ��� � ��� H� �2�

71U&�$1 8 �� U�U0!1 & U�U0!1 �1� � �2�

cos � cos H� � 12 Rcos� � H� � � cos� 8 H� �S G cos � cos H� $� � 12�

?� G Rcos� � H� � � cos� 8 H��S $��?� � 0

4� G %1���?� � $� � � ; H � � 1,2, …

9� �&�1 %1�� � � ���� � � 1 �1�

%1�� � 8 ���� � � cos 2 � �2�

71U&�$1 �1� � �2� � 2%1�� � � 1 � cos 2 �

G %1�� � $� � 12�?� G �1 � cos 2 �� $� � 12�

?� G $� �?� � 12 G cos 2 � $� � 12�

?� R2�S� 0 � �

5� G ��� � ��� H� � 0 ; � I H�"���"!1��–�

cos� � H�� � cos � cos H� 8 ��� � ��� H� �1�

cos� 8 H� � � cos � cos H� � ��� � ��� H� �2� �2� 8 �1�

��� � ��� H� � 12 Rcos� 8 H�� 8 cos� � H� �S G ��� � ��� H� $� � 12�

?� G Rcos� 8 H�� 8 cos� � H��S $� ��?� 0

6� G ���� ��–� $� � � ; � H I 0

G �����?� � $� � G 1 8 cos 2 �2�

?� $� � 12 G $��–� 8 12 G cos 2 � $� � ��

–�

7� G ��� � cos H� $� � 0 ; V � H I H= �?�

���� � H�� � ��� � cos H� � ��� H� cos � �1� ���� 8 H�� � ��� �%1� H� 8 ��� H� cos � �2�

�1� � �2� W ��� � cos H� � 12 R��� � � H�� � ��� � 8 H�� S G ��� � %1� H� �

?� $� � 12 G ��� � � H�� $� � 12�?� G ��� � 8 H�� $� � 0�

?�

C. X 8 Determinação dos Coeficientes de Fourier:

Usando propriedades elementares de funções trigonométricas podemos facilmente

determinar &� ,0� em termos de ���� de maneira que no intervalo Y– �, �Z a série

trigonométrica �1� seja igual à função ����,isto é,

���� � 12 &* � 4� &� cos �� � 0� ��� ��� �1�5�6+

Integramos os dois membros de �1� entre �8�, ��

G ����$��?� � G 12�

?� &*$� � 4 [G &� cos �� $� �?�\]]]]^]]]]_6*

� G 0� �?� ��� �� $�\]]]]^]]]]_6*

`5�6+

G ���� $� � 12�?� &* G $��

?� � 12 &* R2�S � &*�

&* � 1� G ����$��?�

Cálculo de &�: Multiplicando-se �1� por cós � ,sendo , nº fixo dado e integramos entre os limites – � � �.

G ���� cos � $� � G 12�?� &* cos � $�\]]]]]^]]]]]_6*

�?� � 4�G &� cos �� cos � �

?�\]]]]]^]]]]]_6*,ab �cd5

�6+� G 0� ��� �� cos ��

?�\]]]]]^]]]]]_6* � $�

Se � �

G ���� cos �� $� � &��?� G %1���

–� �� $� � &� �

&� � 1� G ��–� ��� cos �� $�

Cálculo de 0�: Multipliquemos �1� por ��� � e integremos entre – � � �.

G ������� � $� � G 12 &* ��� � $� �?�\]]]]]^]]]]]_6*

�?�

� 4 effgG &� cos �� ��� � $� �

?�\]]]]]]]^]]]]]]]_6*� G 0� ��� �� ��� � $��

?�\]]]]]]]^]]]]]]]_6*,ab �cd hiij5

�6+

Se � �

G ������� �� $� � G 0��?�

�?� ������ $� � 0� �

0� � 1� G ������� �� $��?�

Exemplo: Determinar a Série de Fourier da função ���� que supomos possuir período 2 � e fazer o esboço do gráfico de ���� e das primeiras três somas parciais

���� � V1 , 0 < � < � 0 , 8� < � < 0= Graf pag 8

&� � 1� G 1��?� ���� cos �� $�

&� � 1� kG 0 cos �� $� � G 1 cos �� $��*

*?� l

&� � 1� m1� ��� ��n Q�0= � 0

&* � 1� kG 0 $� � G 1 $��*

*?� l � 1� R�S � 0

0� � 1� kG 0 ��� �� $� � G ��� �� $��* *

?� l � 1�� R8 cos ��S Q�0= 0� � 81�� R�81�� 8 1S � O� � íU &!: 0� � 2��� � &!: 0� � 0 =

���� � 12 � 2� ���� � � 13 ��� 3� � 2 �

As somas parciais são:

7+ � 12 7� � 12 � 2� ��� �� 7p � 12 � 2� q��� � � 13 ��� 3�r

Gráfico com primeiro, segundo e até quinto elemento da série para f(x).

Vimos que para ���� � V 1, 0 < � < �0, 8 � < � < 0= ��� � 2�� � ����

A Série que Fourier é ���� � +� � �� @��� � � +p ��� 3� � 2 B

Vamos determinar a Série de Fourier para:

�+��� � O 1 2s ,0 < � < �81 2s , 8� < � < 0= ����� � V 1, 0 < � < 2�0, 82� < � < 0=

A função �+��� é a ���� deslocada 1 2s unidade para baixo, logo

�+��� � ���� 8 1 2s � 2� q��� � � 13 ��� 3� � 2 r

A função ����� é a mesma ����, exceto por uma alteração na escala do tempo

����� � ����2 � 12 � 2� q��� �2 � 13 ��� 3�2 � 2 r

Verificamos que alterar a escala de tempo ,altera as freqüências angulares dos termos individuais,mas não altera seus coeficientes.Assim, para calcular os coeficientes,o período pode ser arbitrariamente mudado se isto parecer conveniente.

Exercícios

1.6- Verificar se as funções abaixo satisfazem as condições de Dirichlet

1)���� � t?�tu?t?� , 0 < � < 2�

Gráfico de f(t)

Vamos verificar a continuidade em �0,2��; �* , �0,2��, limt)tyz ���� � �* 8 2�*� 8 �* 8 2

limt)ty{ ���� � �* 8 2�*� 8 �* 8 2

Logo,existe o limite e ���*� � ty?�tyu?ty?� , �* I 2 ,���� apresenta uma descontinuidade de

1ª espécie em 2.

�|��� � ?tu}~t?~�tu?t?��u ,logo ����é U1Uó�1�&

Portanto �����&�"��&� 9"!"%/:��

2)���� � +�~?tu� , 8� < � < �

���� apresenta descontinuidade infinita em � � 82 � � � 2,logo não �&�"��&� 9"!"%/:��. 3)���� � 2+ A?+s , 0 < � < 2�

���� apresenta descontinuidade infinita nas proximidades do 1,logo não �&�"��&� 9"!"%/:��.

4)���� � ;0, 8� < � < 0�², 0 < � < � = ���� é contínua no intervalo dado e é monótona ,logo �&�"��&� 9"!"%/:��.

5) ���� � ��� @ +�?+B ,0 < � < 2�

Como ���� apresenta um nº infinito de máximos e mínimos nas proximidades de z=1,não �&�"��&� 9"!"%/:��. 1.7- Desenvolver em Série de Fourier as funções supostas periódicas de período 2�.

1) ���� � V8� , 8� < � < 0� ,0 < � < � =

���� satisfaz as condições de Dirichlet.

Gráfico de f(x)

&* � 1� G ����$� � 1��?� kG 8� $� � G � $� �

**

?� l � 1� R��S � �

&� � 1� G ���� cos �� $� � 1��?� kG 8�%1� ��$� *

?� � G � cos �� $��* l

&� � 1� m8 q�� ��� �� � 1�� cos ��r � 08� � q�� ��� �� � 1�� cos ��r Q�0==n &� � 1� m8 1�� � 1�� cos�8��� 8 1�� � 1�� cos ��n

&� � 2�²� R�81�� 8 1S � � 0 , � &!84 �²�s , � íU &!= 0� � 1� G �����d�� ��� ��\]̂ ]_í�d��

�?� $� � 0

���� � �2 8 4� qcos � � 19 cos 3� � 2r

2)���� � �³ , 8� < � < �

&* � 1� G �p�í�d�� $� � 0�?�

&� � 1� G �p�í�d���

?� cos ��\^_d�� $� � 0

0� � 1� G �p�?� ��� �� $� �

� 1� k8 �p� cos �� � 6���� ��� �� � 6��p cos �� � 6�p ��� ��l Q �8�= � 1� k8 �p� cos �� � 3���� ��� �� � 6��p cos �� � 6�p ��� ��l

8 k�p3 cos�8��� � 3���� ����8��� 8 6��³ cos�8��� � 6�p ����8���l 0� � 2 � 6�³ 8 �²� � �81��

���� � 2 k��²1 8 61³� ��� � 8 ��²2 8 62³� ��� 2� 8 2 l

3) ���� � �t , 8� < � < �

Gráfico de f(t)

&* � 1� G �t$��?�

&* � +� �t Q �8� � +� = ��� 8 �?�)

&� � 1� G �t cos �� $� � �²���� � 1� ��t� ��� �� � �t�² cos ��� Q �8�=�?�

&� � ������ � 1� q��� ��� �� � ���� cos �� 8 �?�� ����8��� 8 �?��� cos�8���r

&� � ������ � 1� m���� cos �� 8 �?��� cos ��n &� � 1���� � 1� ��� 8 �?���81��

0� � 1� G �t��� ��$� � k8 �t� cos �� � ��� � 1 ��t� ��� �� � �t�� cos ���l�?� Q �8�=

� 8 ��� cos �� � ���� � 1 ��� �� � ���p � � cos ��� �?�� cos�8��� 8 �?��� � 1 ����8��� 8 �?��³ � � cos �8���

0� � 1� q8 ���� 8 �?���² � 1 r �81��

�t � �� 8 �?�� �12 � 4 �81���� � 1 �cos �� 8 ��� ����5�6+ �

4)���� � ; � , 8� < � < 08� ,0 < � < �=, onde � é constante

&* � +� � ����$� � +��?� �� �$� � � 8�$��**?� � � +� R�� 8 ��S=0

&� � 1� G ���� cos �� $��?�

&� � 1� kG � cos �� $� � G 8� cos �� $��*

*?� l � 1� m�� 0 8 �� 0n � 0

0� � 1� G ������� �� $��?�

0� � kG � ��� �� $� � G 8� ��� �� $��*

*?� l

0� � +� ��� �8 cos ��� Q 08� 8 �� = �8 cos ��� Q�0=�,para � íU &!

0� � 1� m8 2�� 8 2�� n �81�� � 0� � 4���

���� � 4�� q��� � � 13 ��� 3� � 15 ��� 5�r

Forma complexa da Série de Fourier

���� � &*2 � 4 �&� cos @��: �B � 0���� @��

: �B�5

�6+, 8: - � - :

cos @��

: �B � 12 q��@��� BA � �?�@��� BAr

��� @��

: �B � 12" q��@��� BA 8 �?�@��� BAr

%� �� ¡ ¢

12 �&� 8 "0�� �� £ 0� 12 �&� � "0�� �� < 0� 12 &* �� � 0�

=

���� � &*2 � 4 125

�6+ Y&��%} � %?� � "0��%} 8 %?�Z ���� � &*2 � 4 12

5�6+ �&� 8 "0��%} � 4 12 �&� � "0��%?

5�6+

���� � &*2 � 4 %���@��� BA5

�6+ � 4 %�¤5

�6+ �?�@��� BA %�)?�

���� � &*2 � 4 %���@��� BA5�6+ � 4 %?�¤?5

�6?+ ��@��� BA %?�¤ � %�

���� � 4 %���@��� BA5�6?5

%� � 12: G �����

?� %��?�@��� BA$� < �, . £ � G ����.¤¥� ���$�

< ��@��� BA, �?�q�¦�� rA £ � 12: G ��@��� BA�?�q�¦�� rA$� � ;0, � I �|1, � � �| =�?�

1.8 – Funções Pares e Ímpares Sejam g(x) e h(x) funções definidas no intervalo (-π, π). Diz-se que:

g(x) é par se g(–x)= g(x), para todo x.

h(x) é ímpar se h(–x) = – h(x), para todo x

Exemplo de funções par e ímpar, respectivamente.

Observações:

O gráfico de funções pares é simétrico em relação ao eixo das ordenadas (comumente associado a y) e o de funções ímpares é simétrico em relação à origem.

Para calcular os coeficientes de Fourier de uma função par e de uma função ímpar, verifiquemos que:

1. � .���$� � 2�?� � .���$��

*

De fato

G .���$� � G .���$� � G .���$� � �

*

*

?�

?�

� 8 G .���$� � G .���$� � 8 G .�8��$�8�� � G .���$��

*

*

*

?�

*

Então

G .���$��

?�� 8 G .���$�8��

*� G .���$� � �

* G .���$� � G .���$� � �* �

*

E, portanto,

G .���$� � 2 G .���$��*

�?�

2. � /���$� � 0�?�

De fato G /��� � �

?� G /���$� � G /���$� � 8 G /���$� � G /���$� ��*

?�*

�*

*?�

� 8 G /�8��$�8�� � G /���$� ��*

�*

Então G /���$� � �

?� 8 G 8/���$�8�� � G /���$� ��*

�*

� 8 G 8/����8$���� � G /���$� ��*

�*

E, portanto, G /���$� ��

?� 8 G /���$� � G /���$� ��*

�* 0

3. O produto de uma função par g(x) por uma função ímpar f(x), é uma função

ímpar.

Q(x) = g(x).h(x)

Q(–x) = g(–x).h(–x) Q(–x) = g(x).( –h(x)) Q(–x) = –g(x).h(x)

Ou seja

Q(–x) = – Q(x)

4. O produto de uma função par por outra função par é uma função par.

Q(x) = g(x).g(x)

Q(–x) = g(–x).g(–x) Q(–x) = g(x).g(x)

Ou seja

Q(–x) = Q(x)

5. O produto de uma função ímpar por outra função impar é uma função par.

Q(x) = h(x).h(x)

Q(–x) = h(–x).h(–x)

Q(–x) = (– h(x)).( – h(x)) Q(x) = h(x).h(x)

Ou seja

Q(–x) = Q(x)

CONCLUSÃO: Se f(x) é uma função par e sen(nx) é uma função ímpar, então

0� � 1� G ����. �������$� � 0�?�

Se f(x) é uma função ímpar e cos(nx) é uma função par, então &� � 1� G ����. cos���� $� � 0�

?�

TEOREMA I A série de Fourier de uma função periódica par f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em cossenos.

���� � &*2 � 4 &�cos ����5�6+

Com coeficientes &* � 12� G ����$��

?�

&� � 1� G ����. cos ����$��?�

A série de Fourier de uma função periódica ímpar f(x), que possui período 2π, é uma série de Fourier em senos.

���� � 4 0�sen ����5�6+

Com coeficientes 0� � 2� G ����. sen ����$��

*

DEMONSTRAÇÃO Consideremos f(x) par.

���� � &*2 � 4 &� cos���� � 0��������5�6+

1.

��8�� � &*2 � 4 &� cos�8��� � 0�����8���5�6+

Mas como f(x) é par f(–x) = f(x)

2.

���� � &*2 � 4 &� cos���� 8 0��������5�6+

Somando-se 1. +2.

2���� � &* � 2 4 &� cos����5�6+

Ou

���� � &*2 � 4 &� cos����5�6+

Por outro lado

&� � 1� G ����. cos ����$��?�

Como f(x) e cos(nx) são funções pares, tem-se &� � 1� kG ����. cos ����$�*

?� � G ����. cos ����$��* l

� 1� kG ��8��. cos �8���$�8��*� � G ����. cos ����$��

* l � � 1� kG ����. cos ����$�*

?� � G ����. cos ����$��* l �

� 1� kG 8����. cos ����$�*� � G ����. cos ����$��

* l �

Portanto &� � 1� k2 G ����. cos ����$��

* l Consideremos f(x) ímpar.

1.

���� � &*2 � 4 &� cos���� � 0��������5�6+

��8�� � &*2 � 4 &� cos�8��� � 0�����8���5�6+

Como f(x) é ímpar, f(–x) = –f(x) 2.

8���� � &*2 � 4 &� cos���� 8 0��������5�6+

Subtraindo-se 2. de 1., ou seja, 1. – 2.

2���� � 2 4 0��������5�6+

Portanto,

���� � 4 0��������5�6+

Por outro lado 0� � 1� G ����. sen ����$��

?�

Como f(x) e sen(nx) são funções ímpares, 0� � 1� kG ����. sen ����$�*

?� � G ����. sen ����$��* l �

� 1� kG ��8��. sen �8���$�8��*� � G ����. sen ����$��

* l �

� 1� kG 8����. 8sen �����8$��*� � G ����. sen ����$��

* l �

� 1� kG ����. sen ����$��* � G ����. sen ����$��

* l �

Portanto, 0� � 2� G ����. sen ����$��

*

Logo, ao calcular os coeficientes na Série de Fourier para funções que tenham simetria, é conveniente integrar de –π a π ao invés de 0 a 2π. Algumas vezes é interessante deslocar temporariamente ou o eixo vertical ou o horizontal ou ambos, de maneira a criar uma função par ou ímpar e usar as simplificações para formas de onda simétricas. EXEMPLOS:

1. Determinar a Série de Fourier da função

���� � § �� , 0 < � < �2 8 �� , � < � < 2�=

Como f(x) é uma função que apresenta simetria é conveniente integrá-la no intervalo (–π, π). OBS: Também seria conveniente escrever f(x) como ���� � |�| neste mesmo intervalo, onde também se obteria a mesma Série de Fourier. Todavia manter-se-á a definição anterior para f(x) para este exemplo. Como f(x) é par, sabe-se, como mostrado anteriormente, 0� � 0 Tem-se

&* � 2� G ����$� ��* &* � 2� G �� $� � = 2�� ��2 ©*

� � 1�*

&� � 2� G ����cos ����$� ��* &� � 2� G �� cos���� $� � �

*

Fazendo a integral por partes para x.cos(nx) u = x du = dx dv = cos(nx)dx v = (sen(nx))/n G �� cos���� $� � �

* =�. �������� �*� 8 G �������� $��

*� =�. �������� �*� � =cos ������ �*

� � G �� cos���� $� � �

* 0 � 1�� Rcos���� 8 1S Ou seja,

&� � O 0 , &!& � &!84���� , &!& � íU &!= Portanto, f(x) escrita em Série de Fourier fica como ���� � 12 8 4�� qcos��� � 19 cos�3�� � 125 cos�25�� � 2 r

Gráfico de ���� � |A|� em azul e gráfico da Série de Fourier (em verde) para f(x)

entre (–π, π), com os primeiros 3 termos.

2. Determine a Série de Fourier para f(t)

Embora pudéssemos determinar a série de f(t) diretamente, vamos relocalizar os eixos a fim de usar as relações de simetria, pois f(t) não nem par nem ímpar.

1° Caso: a subtração de uma constante +� produz uma função ímpar fimpar(t).

fimpar(t) = f(t) 8 +�

Logo, a0 = an = 0

0� � 2� G �í�d�����. �������$� ��* 2� G 12 �������$� ��

* = 1�� �8cos ������*� �

� 1�� �1 8 cos�����

Ou seja

0� � O 0, &!& � &! 2�� , &!& � íU &!= Portanto, fímpar(t) pode ser escrita como �í�d����� � 2� q������ � 13 ����3�� � 15 ����5�� � 2 r

E f(t) como ���� � 12 � 2� q������ � 13 ����3�� � 15 ����5�� � 2 r

2° Caso: Vamos mudar o eixo vertical para obter uma função par fpar(t).

Gráfico de fpar(t) Logo, bn = 0.

&* � 2� �G �1�$� � G �0�$��� �s

� �s* � � 2� =� |*� �s � 2� @�2 8 0B � 1

&� � 2� G �1� cos���� $� � 2��� �s* =�������|*� �s � 2�� @��� @� �2B 8 ����0�B

Ou seja,

&� � O 0, &!& � &!2�� �81��?+� , &!& � íU &!= Portanto fpar(t) fica como �d����� � 12 � 2� qcos��� 8 13 cos�3�� � 15 cos�5�� � 2 r

E f(t) como ���� � 12 � 2� qcos @� 8 �2B 8 13 cos @3�� 8 �2�B � 15 cos @5�� 8 �2�B � 2 r

Como cos(t – π/2) = cos(t)cos(π/2) + sen(t)sen(π/2) = sen(t), e cos q3� 8 3�2 r � cos�3�� cos q3�2 r � ����3����� q3�2 r � 8����3��

E podemos reescrever f(t)

���� � 12 � 2� q������ � 13 ����3�� � 15 ����5�� � 2 r

Como no resultado anterior. 1.9 Funções com período arbitrário Até agora se considerou funções periódicas de período 2π. Por uma simples mudança de variável se pode encontrar a Série de Fourier de uma função f(t) de período T qualquer. Esta mudança de variável é feita pela seguinte transformação linear.

Seja f(t) definida no intervalo @8 ª� , ª�B

� � &� � 0

1. ª� � &� � 0 2. 8 ª� � &� � 0

Somando membro a membro 1. e 2. : 0 � 0 � 0 � 0 � 0 Substituindo em 1. «2 � &� � & � «2�

Então � � «2� � ¬ � � 2�« �

Vamos, pois, trocar a variável t por x, onde � � ��ª �, logo a �� ª�� �� é

definida no intervalo (–π, π). Assim,

–π< x < π

–T/2< t <T/2

���� � � q «2� �r � &*2 � 4 &� cos���� � 0��������5� 6 +

Onde &* � 1� G � q «2� �r $��

?�

&� � 1� G � q «2� �r cos ����$��?� � 0� � 1� G � q «2� �r �������$��

?�

Para simplificarmos os cálculos façamos � � ��ª � e $� � ��ª $�

���� � &*2 � 4 &� cos q2��« �r � 0���� q2��« �r5� 6 +

Onde

&* � 1� G ���� 2�« $� � &* � ª�?ª�

2« G ����$� ª�?ª�

&� � 2« G ����%1� q2�« �r $� � 0� � ª�?ª�

2« G ������� q2�« �r $�ª�?ª�

O intervalo de integração pode ser substituído por qualquer intervalo de comprimento T, por exemplo, 0 < t < T. O teorema I se verifica para funções pares e ímpares, periódicas de período T qualquer. Exemplo: Determinar a Série de Fourier da função f(t), periódica de período T = 4.

���� � O0, H3&�$1 8 2 < � < 81­, H3&�$1 8 1 < � < 10, H3&�$1 1 < � < 2 =

Temos que

&� � 2« G ����%1� q2�« �r $� ª�?ª�

Como f(t) é par, bn = 0 e &� � 2. �ª � ����%1� @��ª �B $�®u*

&¯ � 2.24 G ����$�ª�?ª� � G ­$� � G �0�$� � ­=� |*+ � ­�

++

*

&� � G ����%1� q2�« �r $��* � G ­%1� q2�« �r $� +

* � G �0�%1� q2�« �r $� �+ �

� 2­�� =��� @��2 �BQ*+ �

&� � 2­�� ��� @��2 B � O 0, &!& � &!2­�� �81��?+� , &!& � íU &!= Portanto, pode-se escrever f(t) como

���� � &*2 � 4 &� cos q2��« �r5� 6 +

���� � ­2 � 2­� q%1� @�2 �B 8 13 %1� q3�2 �r � 15 %1� q5�2 �r 8 2 r

Gráfico de f(t) descrita por sua Série de Fourier com os quatro primeiros

termos. 1.10 – Séries em Senos e Séries em Cossenos Desenvolvimento de meio período. Seja f(t) de período T = 2L. Se f(t) par, a Série de Fourier fica: 1.

���� � &*2 � 4 &�%1� @��2 �B5�6+

Com coeficientes &� � 1° G ����±

?± %1� @��2 �B $�

Como f(t) é par 2. &� � 2° G ����±

* %1� @��2 �B $�

&* � 2° G ����$�±*

Se f(t) for ímpar

3.

���� � 4 0����5

�6+@��

2 �B

Com coeficientes 4.

0� � 2° G ������� @��2 �B $�±*

Gráfico de f(t)

Gráficos de f(t) prolongada como função par e como função ímpar,

respectivamente

OBS.: Constamos que 2. e 4. empregam unicamente os valores de f(t) do intervalo (0, L).

Para uma função definida somente neste intervalo podemos formar as séries 1. e 3. . Se a função satisfaz as condições de Dirichlet, ambas as séries representam a função no intervalo (0, L). Fora deste intervalo, a série 1. representará o prolongamento periódico par da f(t), tendo período 2L; e a 3. O prolongamento periódico ímpar da f(t). Exemplo: Encontrar a Série de Fourier em cossenos da função f(t) definida no intervalo (0, L) e fazer o gráfico do prolongamento correspondente.

���� � §1, �� 0 < � < °20, �� °2 < � < °=

Gráfico de f(t)

Gráfico f(t) prolongada como uma função par

&* � 2° G ����$�±* � 2° kG $� �±/�

* G �0�$�±±/� l � =2° � �*

±� � 1

&� � 2° G ����±

* %1� @��2 �B $�� 2° kG %1� @��2 �B $�±/�

* � G �0�%1� @��2 �B $�±±/� l �

&� � 2° = 2�� ��� @��2 B �*±� ¬ &� � ³ 0, �� � é &!2�?+�´zµu�� , &!& � íU &!=

Portanto a Série de Fourier em cossenos para f(t) é ���� � 12 � 2� q%1� @�° �B 8 13 %1� q3�° �r � 15 %1� q5�° �r 8 2 r

Exercícios: 1.11 – Verificar se as funções são pares, ímpares, ou nem pares nem ímpares: 1. ���� � ��� � � cos � Resolução: ��8�� � 8 ��� � � cos � Nem par nem ímpar 2. ���� � �� cos �� Resolução: ��8�� � �� cos �� � ���� Função par 3. ���� � � |�| Resolução: ���� � 8� � |�| � Função ímpar 4. ���� � �A Resolução: ��8�� � �?A � 1�A

Nem par nem ímpar 5. ���� � �p ��� � Resolução: ��8�� � �8 �p�� 8 ��� � � � �p ��� � � ���� Função par 1.12 – Desenvolver em série de Fourier as funções, supostas periódicas de período igual a 2�: 1. ���� � �� , � < � < � e obter o seguinte resultado devido a Euler:

Gráfico de f(x)

4 1��

�6+� 1 � 14 � 19 � 116 � … � ��6

Resolução: ���� � �� 8 � < � < �

���� � &02 � 4�&� cos nx � 0� sin nx�∞

�6+

¶� � 1� G �� cos���� $��? � �� � 3 $3 � 2� $� cos���� � $· · � ��� ����� 1� k�� q��� ���� � r 8 G ��� ������

? � 2�l 2� � 3 $3 � 2 $� ��� ����� � $· · � 8 cos������

2� k��� ��� ����� � 8 �2� q– cos������ r 8 G 8 cos������ 2 $��?� �l

2� m�� ��� ����� � 2� cos������ � 2 ��� �����p n �0

2� m2� cos������ 8 0n 4 cos������

4�81����

¸� � +� � �� ��� ����$��?� = o Função ímpar

¶1 � 1� G �� $� � 2� G �� $� � 2� k�p3 l �0�* � ��3�

?�

���� � ��3 � 4 4�81���� cos ����∞

+

2 – ���� � 81 , 8� < � < 1 , ���� � 1 , 0 < � < � ; ��0� � 0 e mostrar que �~ � 1 8 +p � +¹ 8 +º � …

¶� � 1� G 8 1 cos���� $� � 1�*?� G cos����$� � 0�

*

¸� � 1� G 8 ��� ����$� �*

?� 1� G ��� ����$��*

8 1� G ��� ����$� � 81� m– cos����� n�? �

�8� � 1� q1� 8 �81��� r � 1 8 �81���

1� m– cos����� n �0 � 81� q�81��� 8 1�r � 8�81�� � 1��

1 8 �81���� � 8 �81�� � 1�� � 2 8 2 �81����

¶0 � G 81 $�*?� � G 1 $��

* � R8�S 08� � R�S �0 � 8 � � � � 0

���� � 4 2 8 2 �81����∞

+ ��� ����

4� q ��� � � ��� �3��3 � … r

1 � 4� »��� �2 � ��� 3�23 ¼

1 � 4� q1 8 13 � … r

�4 � 1 8 13 � 2

3 – ���� � ���� �, 8� < � < � ¸� � 0 � ����é &! � ¶* � 1� G ���� � $� � 1� G �1 8 cos �2���2�

–��

–� $�

12� R�S �8� 8 12� G cos 2� $� �–�

12� 2� � 1

¶� � 1� G ���� � cos���� $��?� � 1� G q1 8 cos 2�2 r � cos����$��

–�

12 � G cos�����–� $� 8 12� G cos�2�� cos����$� �

–�

½&!& � I 2 ) ¶� � 0

½&!& � � % ) ¶� � 8 12� � � 8 12

½1!�&��1, ���� � 12 8 4� qcos � � 19 cos�3�� � …r

Fazendo x = 0, obtém-se o resultado.

4 8 ���� � �2 8 4� qcos � � 19 cos�3�� � … r

¾&���$1 � � 0, 10�éU 8 �� 1 !��3:�&$1

1.13 Determinar a Série de Fourier das funções periódicas de período t:

1 – f(x) = 1 (-1 < x < 0), f(x) = -1 ( 0 < x < 1 ), f(0) = 0, t =2

¶1 � ¶� � 0 �����é íU &!�

¸� � 2� G ������� 2��� �t�– t� $�

2 22 G ������� 2��� � $� t�*

2 G 8 ��� ����� $�+*

m 2�� cos����� n 10 � 2�� �cos���� 8 cos 0� � 2�� ��81�� 8 1�

¸� � 0 ) �� � é &!

¸� � 84�� �� � é íU &!

°1.1, ���� � 4 ¸� ��� 2���5

�6+ �

���� � 8 4� q��� ���� � 13 ��� �3�� � � 2 r

2 8 ���� � 12 � 2� �cos �2 � 8 13 cos � 3�2 � � … �

3 8 ���� � � � 0 < � < 2, � � 2

¶0 � 2� G ����$�t¯

22 G � $� � �* k��2 l 20 � 2

¶� � 2� G ���� cos q2��� r � $�t*

G � cos����� $� � k� ��� ������� l 20 8 G ��� ��������* $��

*

k� ��� ������ l 20 � k cos��������� l 20 � 0

¸� � 2� G ������� q2���� r $�t*

G � ��� �����$��* � 8 k� cos������� l 20 � G cos��������

* $�

k8 � cos������� l 20 � m 1���� ��������n 20 � 82��

°1.1 ���� � 1 8 2� q��� ���� � 12 ��� �2��� � 13 ��� �3��� � … r

4 8 ���� � 8 4�� qcos���� � 19 cos �3��� � … r� 2� q��� ���� � 13 ��� �3��� � … r

1.14 – Representar por meio da Série de Fourier em cossenos as funções 1. E 2. E por

meio as Série de Fuirier em senos as funções 3. E 4.; e fazer o prolongamento periódico

correspondente:

1 8 ���� � V � , 0 < � < 2� 8 2, 2 < � < 4= ¶0 � 2� G ����t

* � 12 G ����$�~*

12 k G � $��* � G �� 8 2�$�~

� l 12 � k��2 l 20 � k ��2 8 2� l 42¿ � 12 À8 8 �82�Á � 2

¶� � 2� G ���� cos @ ���� Bt* $� � 12 G ���� cos @���& B~

* $�

12 ; 8 16���� � 16���� �81�� � 8�� ��� @��2 Bà 8���� � 81 � �81��� � 4�� ��� @��2 B

¶� � 0 &!& � &!

¶� � 8 16���� � 4�� �81��?+� &!& � íU &!

°1.1, ���� � 1 � 4 � 816�2� � 1����5

�6¯ � 4�2� � 1�� �81�� � cos ��2� � 1���� �

2 8 ���� � �p4� 6�³�² m q 4�� 8 1 r cos ��� � 12� cos q2��� r � q 43~�� 8 13�r cos q3��� r� … n

3 8 ���� � cos � � 0 < � < � �

¸� � 2� G �����* ��� @���� B $�

2� G �����* ��� @���� B $�

2� G cos ��* ��� ����$�

���& cos 0 � 12 R ��� �& � 0� � ��� �& 8 0�S G ��� �����

* cos � $� � 12 G Ä ��� Y�� � 1��Z � ��� Y�� 8 1��ZÅ�* $�

12 m – 1�� � 1� cosY�� � 1��Z 8 1�� 8 1� cosY�� 8 1��Z n �0

12 k 8 cosY�� � 1��Z�� � 1� 8 cosY� � 8 1��Z�� 8 1� � 1�� � 1� � 1�� 8 1�l ¸� � 1� k 1 8 cosY�� � 1��Z�� � 1� � 1 8 cosY�� 8 1��Z�� 8 1� l cosY�� � 1��Z � ;1 �� � é íU &!81 �� � é &! = ¸Æ ÇÈÉ � 1� m 2� � 1 � 2� 8 1n � 1� 4��2��� 8 1

°1.1, ���� � 4 8�5

�6+ ��2��� 8 1 ��� Y����Z

4 8 ���� � 2� 4 ��� � 15

�6+ �1 � �81���}+��� ��� ����

CONCLUSÃO Conforme analisado nesta obra, as Séries de Fourier são de suma importância para representação de vários tipos de funções que modelam os mais diversos fenômenos naturais. Tais Séries são comumente utilizadas para a resolução de equações diferencias parciais com suas respectivas condições iniciais e valores de contorno.

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer ao professor Altair Souza de Assis pela assistência dada na realização deste artigo bem como as discussões proveitosas para o entendimento dos conceitos e de suas aplicações às ciências naturais aqui abordados.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

[1] BOYCE, William E.; DIPRIMA, Richard C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8ª edição Rio Janeiro: LTC, 2006. 450 p. [2] FIGUEIREDO, Djairo Guedes de. Analise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais. 3ª edição Rio de Janeiro: Impa, 1997. 274 p. [3] BUTKOV, Eugene. Física Matemática. 1 ª edição Rio de Janeiro: LTC, 1988. 724 p. [4] ASSIS, Altair Souza de. Séries de Fourier 2010. 1 ª edição Rio de Janeiro: EDUFF, 2010. 80 p.

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