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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
PERIODOS EFECTIVOS DE EDIFICIOS ASIMÉTRICOS CON TRASLACIÓN Y CABECEO DE LA CIMENTACIÓN
Mario Juárez Ramírez1 y Javier Avilés López2
RESUMEN
Se desarrolla una fórmula práctica para calcular los periodos efectivos de edificios asimétricos con base
flexible, considerando la traslación y cabeceo de la base. La expresión es función de los periodos
desacoplados de traslación y torsión de la estructura con base rígida, los periodos de traslación y cabeceo de la
estructura supuesta infinitamente rígida y la excentricidad estática. Los resultados obtenidos se comparan
satisfactoriamente con la solución numérica rigurosa del problema de valores característicos. La aplicación de
esta fórmula se limita a edificios asimétricos en una sola dirección cuya cimentación está impedida de rotar
alrededor del eje vertical.
ABSTRACT
A practical formula is developed to calculate the effective periods of asymmetrical buildings on flexible base
taking into account the translation and rocking of foundation. This expression is function of the uncoupled,
translational and torsional periods of the building on rigid base, the translational and rocking periods of the
structure assumed infinitely rigid and the static eccentricity. The results are satisfactorily compared with the
rigorous numerical solution of the eigenvalues problem. The application of the formula is restricted to one-
direction asymmetric buildings whose foundation is unable to rotate around the vertical axis.
INTRODUCCIÓN
La evidencia de graves daños por torsión inesperada en edificios asimétricos durante sismos severos ha
dirigido diversas investigaciones al análisis del comportamiento dinámico de estructuras elásticas apoyadas en
suelo rígido (Tso y Dempsey, 1980, Chandler y Hutchinson, 1987a, Rutenberg y Pekau, 1987), y en suelo
blando (Chandler y Hutchinson, 1987b, Suárez y Avilés. 2002a). Estos estudios se han enfocado a la
evaluación de la amplificación de la excentricidad estática debida al acoplamiento modal, en función de la
relación de periodos desacoplados traslación-torsión de la estructura con base rígida. Otras investigaciones
han sido orientadas a la evaluación de los efectos de la torsión en estructuras asimétricas inelásticas,
calculando la excentricidad efectiva, concepto que relaciona el máximo desplazamiento con el cortante
actuante, también en términos de la relación de periodos desacoplados (Tso y Bozorgnia, 1986, Chandler y
Duan, 1991, Jiang y otros, 1996).
Por otra parte, la flexibilidad del suelo causa en la estructura, entre otros efectos, el alargamiento del periodo
lateral con respecto al periodo de base rígida (Veletsos, 1993, Avilés y Pérez-Rocha, 1995), por lo que la
respuesta sísmica de la estructura en suelo blando puede diferir notablemente con respecto a la de terreno
firme. Para evaluar la influencia del alargamiento del periodo lateral causado por los efectos de interacción,
en nuestro país se han incorporado al Reglamento expresiones para construir espectros de diseño con
interacción (NTCDS, 2004). Los efectos de la interacción comúnmente se expresan en términos de un
1 Especialista, Instituto Mexicano del Petróleo, Av. Eje Central Norte Lázaro Cárdenas 152 Col.
Atepehuacan, 07730 México, D.F. Teléfono: (55)9175-6934; mjuarez@imp.mx
2 Investigador, Instituto Mexicano de Tecnología del Agua, Paseo Cuauhnáhuac 8532 Col. Progreso,
062550 Jiutepec, Morelos, México. Teléfono: (77)7329-3600 extensión 864; javiles@tlaloc.imta.mx
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
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parámetro de interacción que relaciona el contraste de rigidez entre el suelo y la estructura, y que depende
directamente del periodo lateral de la estructura con base rígida. (Luco, 1976, Avilés y Pérez-Rocha, 1995).
Cuando los efectos de interacción son relevantes pero se omiten en el análisis, y el alargamiento del periodo
de la estructura durante sismos fuertes se atribuye exclusivamente al comportamiento inelástico de la
estructura, pueden existir interpretaciones inexactas de las demandas de ductilidad y la capacidad de
disipación de energía de la estructura (Trifunac y otros, 2001).
La torsión en edificios asimétricos con centros de masa y rigidez alineados cada uno verticalmente pueden
calcularse usando un oscilador asimétrico con la misma excentricidad de la estructura real (Gluck y otros,
1979). La magnitud de la torsión puede estudiarse en términos de factores de amplificación de la
excentricidad estática, la torsión accidental inducida o la excentricidad efectiva de la estructura, conceptos
que dependen de la relación de periodos desacoplados traslación – torsión. Los efectos de torsión son
especialmente importantes para valores de esta relación próximos a la unidad (Goel y Chopra, 1991, Suárez y
Avilés, 2002b). En este trabajo se propone una expresión para calcular los periodos efectivos de estructuras
asimétricas con base flexible, que resulta de resolver la ecuación característica del oscilador asimétrico con
base flexible que se describe en la siguiente sección.
MODELO SIMPLIFICADO DE REFERENCIA
Para determinar los periodos efectivos de estructuras asimétricas en suelo blando se utiliza el modelo
simplificado de referencia que se muestra en la figura 1. Se trata de un oscilador asimétrico simple enterrado a
una profundidad D en un depósito de suelo blando de espesor Hs, velocidad de propagación de ondas de
cortante Vs, relación de Poisson νs, amortiguamiento ζs y densidad de masa ρs. En el sistema de piso con radio de giro r, el centro de torsión CT coincide con el centro geométrico del sistema de piso; la masa me, el
momento de inercia de masa Ie y el momento polar de masas Je de la estructura se consideran concentrados en
el centro de masas CM situado a una distancia e del CT perpendicular a la acción sísmica. El piso de la
estructura de altura He es soportado por N elementos resistentes inextensibles localizados en las coordenadas
xi e yi y con rigidez kxi y kyi en las direcciones de los ejes de referencia x e y, respectivamente. La cimentación
es simétrica con masa mc y momento de inercia Ic concentrados a una altura D/2 sobre el centro geométrico de
la base. El periodo de traslación Te, la fracción de amortiguamiento ζe y la relación de periodos desacoplados traslación-torsión λT representan los parámetros dinámicos de la estructura en suelo rígido. Kh y Kφ simbolizan
las rigideces dinámicas del suelo para los movimientos de traslación y cabeceo, respectivamente. En este
desarrollo se presume que los periodos efectivos amortiguados son iguales a los no amortiguados, por lo que
se omite la participación de ζe en el análisis.
Fig. 1 Modelo simplificado de referencia
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ECUACIONES DE MOVIMIENTO
Las expresiones de las energías cinética T y potencial V desarrolladas por el oscilador de referencia durante el
movimiento del terreno ∆g están dadas, respectivamente, por las expresiones siguientes:
( )( ) ( ) ( ) 0II2DmJDHemT 2
cce
2
gccc2
egccee =+++++++++++= φ∆φ∆θ∆φ∆θ∆ &&&&&&&&&&
21
21
21
21 2
(1)
( ) ( ) 22ch
2
iyiiexi KKk21xk
21yk
21V φ∆θθθ∆ φθ∑∑∑ +++++= 22
(2)
Las ecuaciones de Lagrange para sistemas conservativos están definidas por
0q
V
q
T
dtd
jj
=∂∂
−
∂∂&
(3)
donde qj representa el grado de libertad j-ésimo de la estructura.
Aplicando la ecuación 3 a las ecuaciones 1 y 2 se obtiene el sistema de ecuaciones diferenciales que gobierna
el comportamiento dinámico de la estructura, que en notación matricial resulta ser
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
+
++++++++
+++
++
+
c
c
e
ce
2
c
2
eeceeeeee
ceeceee
eee2
eee
eeeee
II4DmDHm
2DmDHmDHemDHm
2DmDHmmmemm
DHemememJem
DHmmemm
φ
∆
θ
∆
&&
&&
&&
&&
( )
g
cecee
ce
e
e
c
c
e
h
x
II2DmDHm
mm
em
m
K
K
K
K
∆
φ
∆
θ
∆
φ
θ&&
++++
+−=
+ (4)
donde ∑=
=N
j
xjx kK1
es la rigidez lateral del piso en dirección perpendicular al movimiento del terreno y
( )∑=
+=N
j
jyjjxj xkykK1
22θ es la rigidez torsional global del piso. La suma de la rigidez a la torsión individual de
los elementos resistentes se desprecia por ser en general mucho menor que Kθ.
Despreciando la contribución de las inercias rotacionales de primer orden, y considerando una excitación del
tipo armónico con frecuencia angular ω, el sistema de ecuaciones diferenciales se transforma en el conjunto de ecuaciones algebraicas siguiente:
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( )( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
=
++++++
+++
++
+
−
c
c
e
ceeceeeeee
ceeceee
eeeeee
eeeee
h
x
DmDHm
DmDHmDHemDHm
DmDHmmmemm
DHemememJem
DHmmemm
K
K
K
K
φ∆θ∆
ω
φ
θ
42
22
2
2
2
( )g
cee
ce
e
e
DmDHm
mm
em
m
∆ω
++
+−
2
2L (5)
FÓRMULA PROPUESTA
Realizando cambios convenientes de variables y adecuadas manipulaciones algebraicas de la ecuación 5 para
el caso de vibración libre de la estructura, resulta el sistema de ecuaciones
( )
=
++
++
+++
+
−
0
0
0
0
41
21e1
211e1
eee1e
11e1
c
e
2
DH
2Dm
DH
Dmr
rH
Dmmr
rr2rr
r
2
2
2h
2
2e
φ
θ
φ
θ
∆
∆
∆
∆
δδδδ
δδδδ
δδδδ
δω
ω
ω
ω
ω
(6)
donde ∆θ = rθ y ∆φ = (He+D)φc son los desplazamientos laterales causados por la torsión del piso y el cabeceo de la cimentación, respectivamente; er = e/r es la excentricidad relativa, δm = mc/me la relación de
masas, δH = He/r la esbeltez relativa de la estructura y δD = D/r, la profundidad relativa.
Además, ωe y ωθ son, respectivamente, las frecuencias naturales de traslación y torsión de la estructura con
base rígida, mientras que ωh y ωφ son las frecuencias de traslación y cabeceo de la estructura supuesta
infinitamente rígida, definidas por las ecuaciones
e
xe m
K=ω (7)
2mr
Kθθω = (8)
e
hh m
K=ω (9)
( )2ee DHm
K
+= φ
φω (10)
Definiendo a la inversa de la matriz de rigidez como
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[ ]
=
=−
φ
θ
φ
θ
λ
λ
λ
λ
ω
ω
ω
ω
h
e
2
2h
2
2e
1
1
1
1
1
K (11)
se plantea el problema de valores característicos siguiente:
( )
( )
( )
=
−
++
++
++−+
−+
−
0
0
0
0
41
21e
211e
eee1e
e
c
e
2
DH
2Dm
DH
Dmr
hDH
Dmhmrhh
rr2rr
eeree
φ
θ
φφφφ
θθθθ
∆
∆
∆
∆
λλδδ
δδλ
δδδδ
λλ
λδδ
δδλλδλλ
λλλλλ
λλλλλ
(12)
donde 21 ωλ= . Cancelando la masa de la cimentación y examinando sólo cimentaciones superficialmente
apoyadas, el determinante característico se reduce a
( )
=
−
−
−+
−
0
0
0
0
e
e
eee1e
e
c
e
r
hhrhh
rr2rr
eeree
φ
θ
φφφφ
θθθθ
∆
∆
∆
∆
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
λλλλλ
(13)
cuya ecuación característica es
( )( ) 0e 2heh
2re
2 =+++++++− λλλλλλλλλλλλλλ φθθθφθθ (14)
de donde
( )( ) ( ) 0e1 heh2re
2 =+++++++− φθφθ λλλλλλλλλλ (15)
Las raíces de la ecuación característica definen las frecuencias efectivas aproximadas ω~ de estructuras asimétricas con traslación y giro de la cimentación, esto es:
( ) ( )
++−
++++++++=
22h
2e
2
2
22h
2
2r2
e22
h2
2r2
e22,1
1114111e11111e1121
~1
φθφθφθ ωωωωωωωωωωωωωm (16)
De manera que los periodos efectivos aproximados T~de la estructura son:
( ) ( )( ) ( )( )22h
2e
2222h
22r
2e
22h
22r
2e
22,1 TTTT4TTTe1TTTTe1T
21T
~φθφθφθ ++−++++++++= m (17)
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Es importante resaltar que la omisión de la profundidad de enterramiento sólo se aplica en la solución de la
ecuación característica de la estructura, ya que su efecto en las rigideces dinámicas del suelo sí se toma en
cuenta para la evaluación de los periodos efectivos.
CASOS ESPECIALES
La solución de la ecuación 17 se reduce a expresiones bien conocidas para los diferentes casos que se discuten
en seguida:
1. Para estructuras asimétricas (er ≠ 0) con base rígida ( ee TT =~
), se tiene
( ) 2e2
T
2T
22r
2T
2r
2T2
2,1 T2
4e1e1T~
λλλλ −++++
=m
(18)
donde θλ TTeT = es la relación de periodos desacoplados traslación – torsión de la estructura con base rígida.
2. Para estructuras simétricas (er = 0) con base rígida ( ee TT =~
), se obtienen simplemente los periodos
desacoplados de base rígida Te y Tθ.
3. Para estructuras simétricas (er = 0) con base flexible ( ee TT >~
), se obtienen los periodos desacoplados eT~ de
base flexible y Tθ de base rígida.
APLICACIÓN
Aquí se estudian los periodos efectivos de estructuras con periodos de traslación de base rígida Te = 0.5, 1,1.5
y 2 s, con excentricidades relativas er = 0.05 y 0.10, desplantadas en sitios con periodo dominante Ts = 1.5, 2
y 3 s, que corresponden a sitios con espesores de suelo blando Hs = 20, 30 y 40 m, respectivamente. Las
variables que permanecen constantes durante el análisis son la relación de masas δm = 0.20, la esbeltez δH = 3 la profundidad relativa δD = 0.5. La altura de la estructura se propone considerando una altura de entrepiso he = 3.60 m y una conocida regla práctica que relaciona el número de pisos con el periodo de la estructura. Se
utilizan las rigideces dinámicas del suelo recomendadas para el valle de México calculadas considerando un
peso volumétrico del suelo γs = 13 kN/m3, con relación de Poisson ν = 0.45 y fracción de amortiguamiento ζe
= 0.05. La eficiencia de la solución propuesta se evalúa comparando sus resultados con los de una solución
numérica rigurosa.
VALIDACIÓN
Para validar la fórmula propuesta se calculan los periodos efectivos correspondientes a estructuras en suelo
firme con distinto grado de asimetría y periodo fundamental de traslación, cuya cimentación carente de masa
se desplanta superficialmente Estas dos últimas condiciones permiten la comparación directa de los periodos
efectivos calculados mediante un método numérico riguroso con los aproximados obtenidos con la expresión
propuesta. Los periodos efectivos se presentan en términos de la relación de periodos desacoplados λT de la
estructura con base rígida, para estructuras torsionalmente flexibles (λT <1) y torsionalmente rígidas (λT >1).
En la figura 2 apenas perceptibles se observan líneas continuas que representan los periodos efectivos
rigurosos superpuestas por líneas interrumpidas que indican la solución aproximada. Obsérvese que en este
caso el periodo efectivo de traslación dominante eT~ coincide totalmente con el periodo constante Te de base
rígida; situación similar ocurre con los periodos de torsión, tal como se mencionó en los casos especiales.
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PRECISIÓN
Para evaluar el grado de aproximación de los periodos efectivos obtenidos con la ecuación 17, en las figuras 3
a 5 se muestran y comparan, en función de λT, los periodos efectivos rigurosa y aproximadamente calculados
de estructuras con Te = 0.5,1,1.5 y 2 s y excentricidad relativa er = 0.05, desplantas en un sitio con Ts = 1.5 s
y Hs = 20 m, al que corresponde una velocidad de ondas de cortante Vs = 53 m/s. En todos los casos se
mantienen constantes la esbeltez, la profundidad relativa y el parámetro de interacción, a0 = 0.675, este
último definido como see0 VTHa = . Las figuras 4 y 5 presentan los periodos efectivos de las mismas
estructuras pero con excentricidad relativa er = 0.10, localizadas en sitios con Ts = 2 s y Hs = 30 m, y Ts = 3 s
y Hs = 40 m, respectivamente.
Se observa que la fórmula desarrollada subestima el periodo efectivo de traslación dominante, y evalúa
adecuadamente el periodo efectivo de torsión dominante. La subvaloración del periodo efectivo de traslación
depende de la combinación del periodo efectivo de base rígida y la excentricidad estática. Para estructuras
rígidas (Te = 0.5 s) el periodo efectivo resulta menor al 5% para pequeña excentricidad (er = 0.05) y 7% para
excentricidad moderada (er = 0.10). En el caso de estructuras muy flexibles (2 s), estos valores se reducen a 3
y 2% respectivamente, para excentricidades pequeña y moderada.
A partir de la solución rigurosa del problema de valores característicos eliminado del sistema de ecuaciones
una variable a la vez, primero la masa de la cimentación, y la profundidad de desplante después, es posible
concluir que la imprecisión de la fórmula propuesta radica principalmente en la omisión del análisis de la
profundidad de enterramiento de la cimentación.
EFECTOS DE LA ASIMETRÍA Y LA INTERACCIÓN
Para estudiar los efectos de la asimetría y la interacción se comparan los periodos efectivos de estructuras en
terreno firme y en suelo blando, calculados ambos con la fórmula aproximada. Se analizan sistemas
simétricos (er = 0) para evaluar exclusivamente el alargamiento del periodo asociado a la interacción, y de
estructuras con excentricidad pequeña (er = 0.05) y moderada (er = 0.10 ) para establecer el impacto de la
asimetría sobre las estructuras en suelo blando. Se estudia este impacto en estructuras torsionalmente flexibles
y rígidas, soportadas en un sitio con Ts = 2 s y Hs = 30 m. En las figuras 6 a 9 se presentan estos efectos sobre
los periodos efectivos para estructuras con Te = 0.5,1,1,5 y 2 s.
Es posible concluir del análisis de estas gráficas, que el alargamiento del periodo efectivo de traslación
dominante está asociado casi exclusivamente a la interacción; que el periodo efectivo de torsión dominante no
se ve afectado por la interacción; que la asimetría causa un desacoplamiento de los periodos efectivos que
depende directamente de la excentricidad estática, y que la combinación de asimetría e interacción induce un
defasamiento de la relación de periodos traslación-torsión de estructuras en suelo blando con respecto a las
estructuras en terreno firme.
Finalmente, se estudia la variación de los periodos efectivos en términos de la flexibilidad del suelo, el grado
de asimetría estructural y la rigidez torsional de la estructura. Las figuras 9 a 12 muestran el alargamiento
efectivo de traslación dominante de estructuras con periodos Te = 1, 1.5 y 2 s, respectivamente, soportadas en
suelo firme, representados por valores del parámetro de interacción a0 = 0, hasta suelos muy blando (a0 =
0.8). Se analizan estructuras con periodo de torsión Tθ muy largo o torsionalmente flexibles (λT = 0.8, 1), y
estructuras torsionalmente rígidas (λT = 1.4). En este caso se incluyen estructuras con gran excentricidad para
visualizar mejor los efectos de la combinación de asimetría estructural y flexibilidad del suelo.
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Del análisis de estas gráficas se deduce que desde un punto de vista práctico, el efecto de la asimetría sobre el
periodo efectivo de traslación de estructuras torsionalmente rígidas puede despreciarse aún para grandes
excentricidades. Para estructuras cuyos periodos de base rígida de traslación y torsión son similares( 1T ≈λ ), el
efecto de la asimetría es importante en suelos relativamente rígidos para excentricidades grandes y
moderadas; la flexibilidad del suelo hace que el alargamiento por interacción reduzca el impacto de la
asimetría, excepto para grandes excentricidades (er=0.20). Para estructuras torsionalmente flexibles con base
rígida, los efectos de la asimetría en el periodo efectivo de traslación también pueden ignorarse, aunque
resalta el hecho de que la excentricidad induce un ligero acortamiento de este periodo causado por el
desacoplamiento de los periodos.
Fig. 2 Periodos efectivos eT~ rigurosos (línea gris continua) y aproximados (línea discontinua) de estructuras
con cimentación carente de masa superficialmente apoyada (δD= 0) en suelo rígido.
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Fig. 3 Periodos efectivos eT~ rigurosos (línea gris continua) y aproximados (línea discontinua) de estructuras
con periodo de base rígida Te y excentricidad relativa er = 0.05, esbeltez δH = 3 y profundidad relativa δD = 0.5, desplantadas en un sitio con Ts = 1.5 s y Hs = 20 m.
Fig. 4 Periodos efectivos eT~ rigurosos (línea gris continua) y aproximados (línea discontinua) de estructuras
con periodo de base rígida Te y excentricidad relativa er = 0.10, esbeltez δH = 3 y profundidad relativa δD = 0.5, desplantadas en un sitio con Ts = 2 s y Hs = 30 m.
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Fig. 5 Periodos efectivos eT~ rigurosos (línea gris continua) y aproximados (línea discontinua) de estructuras
con periodo de base rígida Te y excentricidad relativa er = 0.10, esbeltez δH = 3 y profundidad relativa δD = 0.5, desplantadas en un sitio con Ts = 3 s y Hs = 40 m.
CONCLUSIONES
Se ha presentado una fórmula para calcular los periodos efectivos aproximados de estructuras asimétricas con
traslación y cabeceo de la cimentación. Con base en los resultados obtenidos con esta expresión, se concluye
lo siguiente:
La expresión desarrollada subestima el periodo efectivo de traslación de estructuras de periodo corto (Te = 0.5
s) hasta en 7% para excentricidades moderadas (er= 0.10) y hasta 5% para pequeñas excentricidades (er=
0.05). Esta imprecisión se reduce al 3 y 2%, respectivamente, para estructuras flexibles (Ts > 1 s). Desde un
punto de vista práctico, al menos para estructuras flexibles la fórmula es adecuada.
La imprecisión de la fórmula es atribuible a la omisión de la profundidad de enterramiento de la cimentación
del sistema de ecuaciones; la influencia de la masa de la cimentación es despreciable. Aunque no se presentan
resultados en este artículo, la contribución de Th al periodo efectivo dominante de traslación es despreciable
para estructuras de periodo largo ( s5.1Te ≥ ); la mayor contribución es debida a Tφ.
El periodo efectivo de torsión dominante es prácticamente independiente de la interacción y es evaluado
adecuadamente por la fórmula propuesta.
La asimetría estructural induce el desacoplamiento de los periodos efectivos, en mayor medida cuanto mayor
es la excentricidad. La combinación de asimetría e interacción causa un defasamiento de la relación de
periodos desacoplados de la estructura con base flexible con respecto a la correspondiente a base rígida.
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El alargamiento del periodo efectivo de traslación dominante es independiente del grado de asimetría
estructural en sistemas torsionalmente rígidos. Para estructuras torsionalmente flexibles la influencia de la
asimetría es importante sólo para grandes excentricidades.
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Fig. 6 Periodos efectivos de base rígida (línea continua) y flexible (línea discontinua) para estructuras
simétricas y asimétricas con periodo Te = 0.5 s desplantadas en un sitio con Ts = 2 s.
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Fig. 7 Periodos efectivos de base rígida (línea continua) y flexible (línea discontinua) para estructuras
simétricas y asimétricas con periodo Te = 1.0 s desplantadas en un sitio con Ts = 2 s.
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Fig. 8 Periodos efectivos de base rígida (línea continua) y flexible (línea discontinua) para estructuras
simétricas y asimétricas con periodo Te = 1.5 s desplantadas en un sitio con Ts = 2 s.
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Fig. 9 Periodos efectivos de base rígida (línea continua) y flexible (línea discontinua) para estructuras
simétricas y asimétricas con periodo Te = 2 s desplantadas en un sitio con Ts = 2 s.
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
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Fig. 10 Periodos efectivos para estructuras torsionalmente flexibles (λT = 0.8 y 1.0) y rígidas (λT = 1.4) con
periodo de base rígida Te = 1 s apoyadas en sitios con suelo firme (a0 = 0) a suelo blando (a0 = 0.8).
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Sociedad Mexicana de Ingeniería EstructuralSociedad Mexicana de Ingeniería Estructural
Fig. 11 Periodos efectivos para estructuras torsionalmente flexibles (λT = 0.8 y 1.0) y rígidas (λT = 1.4) con
periodo de base rígida Te = 1.5 s apoyadas en sitios con suelo firme (a0 = 0) a suelo blando (a0 = 0.8).
XVI Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Veracruz, Ver., 2008
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Fig. 12 Periodos efectivos para estructuras torsionalmente flexibles (λT = 0.8 y 1.0) y rígidas (λT = 1.4) con
periodo de base rígida Te = 2 s apoyadas en sitios con suelo firme (a0 = 0) a suelo blando (a0 = 0.8).
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