View
181
Download
12
Category
Preview:
DESCRIPTION
agents, multiagent, game theory, teoria jocurilor, minimax
Citation preview
Modelarea şi analiza sistemelor multi-agent
4. Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I) Florin Leon
Universitatea Tehnică „Gheorghe Asachi” din Iaşi Facultatea de Automatică şi Calculatoare
http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
2
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
3
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
4
Teoria jocurilor
Studiază interacţiunile strategice între jucători raţionali care aleg diferite acţiuni pentru a-şi maximiza profitul
Mai formal, reprezintă studiul modelelor matematice de conflict şi cooperare între decidenţi inteligenţi şi raţionali
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
5
Bazele teoriei jocurilor
Teoria jocurilor este o abordare interdisciplinară menită să studieze comportamentul uman
John von Neumann, Oskar Morgenstern: Theory of Games and Economic Behavior (1944)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
Întrebări fundamentale
Ce înseamnă alegerea raţională a unor strategii când rezultatele depind de strategiile necunoscute alese de alţii?
În jocuri care permit câştiguri colective, este raţională cooperarea sau urmărirea scopurilor individuale? Când este raţională cooperarea şi când este raţional comportamentul egoist?
Sunt diferite interacţiunile continue de cele singulare?
Pot apărea spontan reguli de cooperare din interacţiunile indivizilor egoişti?
Este „raţional” comportamentul uman real? Care sunt diferenţele: sunt oamenii mai cooperanţi sau mai egoişti decât ar fi „raţional”?
6 Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
7
Raţionalitatea
Teoria jocurilor studiază modul în care se comportă jucătorii raţionali
Potrivită pentru modelarea agenţilor inteligenţi
Fiecare agent încearcă să-şi maximizeze recompensele (venituri, profituri, alte beneficii)
Ajută studiul alocării resurselor
Restrânge numărul posibilităţilor de analizat (comportamentul raţional este mai predictibil decât cel iraţional)
Furnizează un criteriu pentru evaluarea eficienţei unui sistem economic (ineficienţă: reducerea recompenselor unora fără compensaţii suplimentare pentru alţii)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
8
Interacţiunile indivizilor
În economia neoclasică, se consideră că indivizii raţionali interacţionează cu un sistem de instituţii (constrângeri): drepturi de proprietate, schimburi bazate pe bani, competitivitatea economică
Indivizii nu interacţionează direct, ci pe baza „condiţiilor pieţei”
Teoria jocurilor analizează interacţiunile directe, nu prin intermediul „pieţei”
„Jocurile” sunt o metaforă pentru probleme care presupun luarea unor decizii sau alegerea unei strategii
Se poate aplica la jocuri propriu-zise, dar şi la interacţiuni din lumea reală: competiţia economică, strategiile militare, poluarea mediului etc.
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
9
Maximizarea recompenselor
Fiecare jucător / agent trebuie să-şi maximizeze recompensele într-un mediu influenţat de strategiile celorlalţi agenţi
Alegerile unui agent depind de alegerile tuturor celorlalţi agenţi
Fiecare jucător încearcă să-şi maximizeze profitul indiferent de acţiunile celorlalţi jucători
Conflicte, cooperare
Decizii sociale: cu cine şi cum să coopereze
Alegerea raţională a strategiilor poate presupune şi maximizarea recompenselor grupului de agenţi
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
10
Aplicaţii
Oriunde există interacţiuni strategice între jucători raţionali Economie
Strategii geo-politice
Psihologie
Sociologie
Ştiinţa calculatoarelor (reţele etc.)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
11
Elementele unui joc
Un joc este orice situaţie în care:
Există cel puţin 2 jucători
Fiecare jucător are la dispoziţie un număr de strategii posibile
Strategiile alese de fiecare jucător determină rezultatul (engl. “outcome”) jocului
Pentru fiecare rezultat, există un profit (engl. “payoff”) numeric pentru fiecare jucător
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
12
Dilema inculpaţilor
engl. “prisoner’s dilemma” Jucători
2 inculpaţi
Acţiuni Inculpatul 1: Mărturiseşte, Neagă Inculpatul 2: Mărturiseşte, Neagă
Strategii Inculpaţii îşi aleg acţiunile simultan,
fără a cunoaşte acţiunea celuilalt
Rezultate Numărul de ani de închisoare
Profitul Mai puţini ani profit mai mare
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
13
Reprezentarea în forma normală (strategică)
O matrice care conţine jucătorii, strategiile şi profiturile
Se presupune că jucătorii acţionează simultan
Pentru dilema inculpaţilor:
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
14
Jocuri de sumă nulă
Numite şi „jocuri de sumă zero”
Pentru orice rezultat al jocului, profiturile jucătorilor au suma 0
Câştigul lui Rose (“rows”) = – câştigul lui Colin (“columns”)
Pentru un joc de sumă generală, sunt necesare perechi
Pentru un joc de sumă nulă, (2) este echivalent cu (2, –2)
În limba română ar putea fi Laura şi Cristi
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
15
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
16
Dominare. Definiţii
O strategie S domină o strategie T (T este dominată de S) dacă orice rezultat al lui S este cel puţin la fel de bun ca rezultatul corespunzător al lui T
Un jucător raţional nu trebuie să joace niciodată o strategie dominată
Dacă fiecare jucător are o strategie dominantă şi o joacă, atunci combinaţia acestora şi profiturile corespunzătoare constituie echilibrul strategiilor dominante ale jocului
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
17
Exemple
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
18
Exemple
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
19
Exemple
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
20
Echilibrul strategiilor dominante
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
21
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
22
Diagrame de mişcare
În fiecare linie, trasăm o săgeată de la fiecare intrare către intrarea minimă de pe linie
Colin vrea să-şi maximizeze profitul, minimizând negatul profitului lui Rose
În fiecare coloană, trasăm o săgeată de la fiecare intrare către intrarea maximă de pe coloană
Rose vrea să-şi maximizeze profitul
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
23
Diagrame de mişcare
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
24
Exemplu mai complex
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
25
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
26
Echilibru minimax pur
Un rezultat al unui joc matriceal este numit punct şa (engl. “saddle point”) sau echilibru minimax pur dacă este minimul liniei şi maximul coloanei sale
Echilibrul minimax este un caz particular al echilibrului Nash pentru jocuri de sumă generală (vezi cursul 5)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
27
Rezultate teoretice
Principiul punctului şa: Dacă o matrice are un punct şa, ambii jucători trebuie să joace strategia indicată de acesta
Pentru orice joc matriceal, există un număr v numit valoarea jocului, astfel încât Rose are o strategie care garantează că va câştiga cel puţin v, iar Colin are o strategie care garantează că Rose nu va câştiga mai mult decât v
Teoremă: Într-un joc de sumă nulă cu doi jucători, dacă intrarea (Ri, Cj) este un echilibru de strategii dominante, atunci aceasta este şi un echilibru minimax pur
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
28
Exemple
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
29
Teoremă
Oricare 2 puncte şa dintr-un joc matriceal au aceeaşi valoare
Demonstraţie:
Presupunem că a şi b sunt puncte şa
Deci a = b
a ≤ c a ≥ d b ≤ d b ≥ c
a ≤ c ≤ b b ≤ d ≤ a
a ≤ c ≤ b ≤ d ≤ a
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
30
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
31
Jocuri fără echilibru minimax pur
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
32
Echilibru minimax mixt
von Neumann a demonstrat că pentru orice joc de sumă nulă cu doi jucători se poate găsi întotdeauna un echilibru minimax mixt
Strategie mixtă = combinaţie de strategii cu probabilităţi fixe
De exemplu, jucătorul alege strategia A cu probabilitatea de 25% şi strategia B cu probabilitatea de 75%
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
33
Exemplu
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
34
Strategii mixte
Strategia lui Rose: (y, 1-y)
Strategia lui Colin: (x, 1-x)
Profitul aşteptat al lui Rose: E[P] = y G xT
Rose încearcă să maximizeze E[P] variind y
Colin încearcă să minimizeze E[P] variind x
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
35
Model de calcul: Colin (I)
Profiturile aşteptate ale strategiilor lui Rose:
3 situaţii posibile pentru Colin
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
36
Model de calcul: Colin (II)
Rose ar alege y = 1 şi ar câştiga mai mult de -1/2
Rose ar alege y = 0 şi ar câştiga mai mult de -1/2
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
37
Profiturile R1 şi R2
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
38
Model de calcul: Rose
La fel se poate calcula strategia optimă a lui Rose
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
39
Metoda resturilor (I)
engl. “oddment method”
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
40
Metoda resturilor (II)
Metoda funcţionează numai pentru jocuri 2 x 2 fără echilibru pur!
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
41
Jocuri cu echilibru pur
Diferenţele au acelaşi semn
Prima linie domină linia a doua
Strategia (3/4, 1/4) nu este optimă pentru Colin
Rose alege sigur R1 iar Colin ar trebui să aleagă C1
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
42
Teorema Minimax
Orice joc de sumă nulă m x n cu doi jucători are o soluţie, un număr unic v numit valoarea jocului şi există strategii optime (pure sau mixte) pentru Rose şi Colin astfel încât:
Dacă Rose joacă strategia optimă, profitul său aşteptat nu va fi mai mic decât v, indiferent ce joacă Colin
Dacă Colin joacă strategia optimă, negatul profitului său aşteptat nu va fi mai mare decât v, indiferent ce joacă Rose
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
43
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
44
Rezultat
Jocurile (2 x n) şi (m x 2) pot fi întotdeauna reduse la jocuri (2 x 2) şi deci pot fi rezolvate prin metodele prezentate anterior
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
45
Jocuri (m x 2)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
46
Exemplu
Profitul minim al lui Rose
Strategia optimă a lui Colin
x1 = R1 ∩ R2
5 x1 – 3 = 2 – 2 x1
x1 = 5/7
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
47
Reducerea la (2 x 2)
Strategia optimă a lui Colin este (5/7, 2/7)
Dacă Colin alege punctul x1, Rose poate răspunde doar cu R1 şi R2
R3 i-ar aduce profit mai mic
Deci Rose nu va juca R3 deloc
Jocul se reduce la (2 x 2)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
48
Rezolvare
Valoarea jocului se poate afla şi calculând, de exemplu: R1(x1) = 2 · 5/7 – 3 · 2/7 = 4/7
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
49
Exemplul 2
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
50
Rezolvare
Contează doar R4 şi R5, care se intersectează în punctul x:
Strategia optimă a lui Colin este (3/5, 2/5)
Valoarea jocului este: 3/5 + 6 · (1 – 3/5) = 3 (pe R4)
Jocul se reduce la (2 x 2)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
51
Jocuri (2 x n)
Se transpune matricea şi se transformă jocul în (n x 2)
G’ = – GT
Prin transpunere, Colin devine „noua Rose” iar Rose devine „noul Colin”
Se rezolvă cu metoda prezentată anterior
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
52
Exemplu
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
53
Rezolvare
Intervin 4 segmente: R2, R3, R1, R5
Minimul este R1 ∩ R3
x0 = 4/7
Strategia optimă a noului Colin este (4/7, 3/7)
Valoarea jocului este 1/7
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
54
Jocul devine (2 x 2)
Strategia optimă pentru noua Rose este:
(R1, R2, R3, R4, R5) = (2/7, 0, 5/7, 0, 0)
Pentru jocul iniţial, strategiile optime sunt:
Rose: (4/7, 3/7)
Colin: (2/7, 0, 5/7, 0, 0)
Rezolvare
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
55
Modelarea raţionalităţii agenţilor cu ajutorul teoriei jocurilor (I)
Jocuri de sumă nulă cu doi jucători
1. Introducere
2. Dominanţa
3. Diagramele de mişcare
4. Echilibru minimax pur
5. Echilibru minimax mixt
6. Jocuri matriceale (2 x n) şi (m x 2)
7. Jocuri matriceale (m x n)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
56
Jocul culorilor
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
57
Exemplu
Jocul culorilor nu are echilibru minimax pur
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
58
Programare liniară
Jocurile matriceale (m x n) nu pot fi reduse la jocuri (2 x 2)
Se rezolvă prin metode de programare liniară
Pentru cazul n-dimensional, este nevoie de ajutorul calculatorului
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
59
Rezolvare
Vom considera mai întâi un joc (2 x 5) pentru a ilustra metoda şi a verifica rezultatele
Strategia lui Colin este dată de probabilităţile (x1,..., x5)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
60
Transformarea pentru PL (I)
Profiturile posibile ale lui Rose
Rose doreşte profitul maxim
Colin încearcă minimizarea acestuia
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
61
Transformarea pentru PL (II)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
62
Rezolvarea cu Excel (I)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
63
Rezolvarea cu Excel (II)
Din meniu: Tools Solver (sau Data Solver)
Dacă Solver nu există în meniul Tools, se adaugă din Tools Add-Ins
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
64
Rezolvarea cu Excel (III)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
65
Soluţia
Valoarea jocului:
1/7
Strategia optimă a lui Colin:
(2/7, 0, 5/7, 0, 0)
Strategia optimă a lui Rose:
(4/7, 3/7)
valorile negate ale multiplicatorilor Lagrange
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
66
Exemplu de joc (m x n)
Colin: (4/13, 4/13, 5/13)
Rose: (5/13, 2/13, 6/13)
Valoarea jocului: -1/13
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
67
Jocul culorilor
Colin: (1/2, 1/2, 0)
Rose: (1/2, 1/2, 0)
Valoarea jocului: 0
nimeni nu trebuie să joace cartea „2”
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
68
Problema pescarilor (I)
În Jamaica pescarii pescuiesc la ţărm sau în larg (sau ambele) în funcţie de curenţi
Strategia optimă a pescarilor: (0.67, 0, 0.33)
Strategia optimă a curentului (!): (0.31, 0.69)
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
69
Problema pescarilor (II)
Pescarii urmează această strategie cu un profit de 13.3
Curenţii sunt prezenţi în 25% din timp
Valoare apropiată de 31%, dar nu egală
Pescarii ar putea alege strategia (0,1,0) cu un profit de 14.35
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
70
Avantajul soluţiei minimax
Însă cu strategia (0.67, 0, 0.33) ei îşi garantează un profit de cel puţin 13.3
Dacă ar alege strategia (0,1,0) şi într-un an curenţii ar fi prezenţi 35% din timp, ar câştiga doar 11.85
Avantajul principal al soluţiei minimax este garantarea unui profit minim, independent de deciziile celorlalţi jucători
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
Referinţe
Raymond Chan
Games and Strategic Thinking Department of Mathematics, The Chinese University of Hong Kong
http://www.math.cuhk.edu.hk/course/0910/ugb253na
Florin Leon, Modelarea si analiza sistemelor multi-agent, http://florinleon.byethost24.com/curs_masma.htm
Recommended