SISTEM KOORDINAT SILINDER

11Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

SISTEM KOORDINAT SILINDERSISTEM KOORDINAT SILINDER

TitikTitik dinyatakan dengan 3 buah dinyatakan dengan 3 buah koordinat koordinat , , dan z dan z P(P(, , , z) , z)

22Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Transformasi sistem koordinatTransformasi sistem koordinat

zzzzx

ytgyy

yxx

SilinderKartesianKartesianSilinder

1

22

sin

cos

33Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Contoh Soal 1.3 :Contoh Soal 1.3 :

Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, Diketahui titik-titik A(2, 3, - 1) dan B(4, - 50- 50oo, 2). Hitung jarak dari A ke B., 2). Hitung jarak dari A ke B.

Jawab :Untuk menentukan jarak dari A ke B atau RAB , titik B harus terlebih dahulu dinyatakan dengan sistem koordinat kartesian.

44Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

x = cos = 4 cos (–50o) = 2,571

y = sin = 4 sin (–50o) = - 3,064

z = z = 2

RAB = 0,571 ax – 6,064 ay + 3 az

79,63)064,6()571,0(R 222AB

55Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

VektorVektor dinyatakan dengan tiga dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan buah vektor satuan aa, , aa dan dan aazz

AA = A = A aa + A + A aa + A + Azz aazz

Vektor satuan Vektor satuan aa dan dan aa tergantung tergantung pada posisinya di dalam ruangpada posisinya di dalam ruang

66Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Transformasi vektorTransformasi vektor

Silinder Kartesian

a a Az

ax . cos - sin 0

ay . sin cos 0

az . 0 0 1

77Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Contoh Soal 1.4 :Contoh Soal 1.4 :Nyatakan vektor Nyatakan vektor RR = 4 = 4 aaxx – 2 – 2 aayy - 4 - 4 aazz

dalam sistem koordinat silinder di dalam sistem koordinat silinder di titik A(2, 3, 5).titik A(2, 3, 5).

Jawab :Jawab :

Terlebih dahulu dilakukan transformasi Terlebih dahulu dilakukan transformasi koordinat untuk menghitung sudut koordinat untuk menghitung sudut di titik A, yaitu :di titik A, yaitu :

88

o11 3,562

3tg

x

ytg

a a az

ax . cos = 0,555 - sin = - 0,832 0

ay . sin = 0,832 cos = 0,555 0

az . 0 0 1•R = 4 (0,555 a - 0,832 a) – 2 (0,832 a + 0,555 a) – 4 az

= 0,556 a - 4,438 a - 4 az

99

BidangBidang = konstan (permukaan silinder)= konstan (permukaan silinder) = konstan (bidang datar = konstan (bidang datar

melewati sumbu-z)melewati sumbu-z) z = konstan (bidang datar tegak z = konstan (bidang datar tegak

lurus sumbu-z)lurus sumbu-z)

1010Sistem Koordinat SilinderSistem Koordinat Silinder

Elemen Luas (vektor)Elemen Luas (vektor)

dd dz dz aa d d d d aa d d d d

aazz

Elemen Volume (skalar)Elemen Volume (skalar)

dd d d dz dz

1111

SISTEM KOORDINAT BOLASISTEM KOORDINAT BOLA

TitikTitik dinyatakan dengan tiga dinyatakan dengan tiga koordinat r, koordinat r, dan dan P(r, P(r, , , ) )

1212Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Transformasi sistem koordinatTransformasi sistem koordinat

x

ytgcosrz

zyx

zcossinsinry

zyxrcossinrx

BolaKartesianKartesianBola

1

222

1

222

1313Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Contoh Soal 1.5 :Contoh Soal 1.5 :

Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) Nyatakan koordinat titik B(1, 3, 4) dalam sistem koordinat bola.dalam sistem koordinat bola.

Jawab :Jawab :

B(1, 3, 4)B(1, 3, 4) x = 1 x = 1 y = 3y = 3 z = 4 z = 4

1414Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

o11

o1

222

1

222222

6,711

3tg

x

ytg

3,38099,5

4cos

zyx

zcos

099,5431zyxr

r = 5,099r = 5,099 = 38,3 = 38,3oo = 71,6 = 71,6oo

B(5,009; 38,3B(5,009; 38,3oo; 71,6; 71,6oo))

1515

Vektor Vektor dinyatakan dengan tiga dinyatakan dengan tiga buah vektor satuan buah vektor satuan aarr, a, a dan dan aa

AA = A = Arr aarr + A + A aa + A + A aa

Vektor satuan Vektor satuan aarr, a, a dan dan aa

tergantung pada posisinya di dalam ruang tergantung pada posisinya di dalam ruang

1616Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Transformasi vektor Transformasi vektor

Bola Bola Kartesian Kartesianar a a

ax . sin cos cos cos - sin

ay . sin sin cos sin cos

az . cos - sin 0

Horisontal :ax = cos a - sin a + 0 az

Vertikal : a = cos cos ax + cos sin ay - sin az

1717Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

Contoh Soal 1.6 :Contoh Soal 1.6 :

Sebuah vektor memanjang dari titik Sebuah vektor memanjang dari titik A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). A(2, - 1, - 3) ke titik B(1, 3, 4). Nyatakan vektor tersebut dalam Nyatakan vektor tersebut dalam koordinat bola di titik B.koordinat bola di titik B.

Jawab :Jawab :

B(1, 3, 4)B(1, 3, 4) = 38,3 = 38,3o o = 71, 6 = 71, 6oo

1818

ar a a

ax . sin cos sin 38,3o cos 71,6o

(0,620)(0,316) = 0,196

cos cos cos 38,3o cos

71,6o

(0,785)(0,316) = 0,248

- sin - sin 71,6o

- 0,949

ay . sin sin sin 38,3o

sin 71,6o

(0,620)(0,949) = 0,588

cos sin cos 38,3o sin 71,6o

(0,785)(0,949) = 0,745

cos cos 71,6o 0,316

az . cos cos 38,3o

0,785

- sin - sin 38,3o

- 0,620

0

1919Sistem Koordinat BolaSistem Koordinat Bola

RAB = [(1 - 2)] ax + [3 - (-1)] ay + [4 - (- 3)] az

= - ax + 4 ax + 7 az

= [-0,196 + 4(0,588) + 7(0,785)] ar + [-0,248 + 4(0,745) + 7(- 0,620)] a + [-(- 0,949) + 4(0,316) + 7(0)] a

= 7,651 ar – 1,608 a + 2,213 a

2020

Bidang Bidang

r = konstan (kulit bola)r = konstan (kulit bola)

= konstan (selubung kerucut)= konstan (selubung kerucut)

= konstan (bidang datar melewati = konstan (bidang datar melewati sumbu-z) sumbu-z)

2121

Elemen Luas (vektor)Elemen Luas (vektor)

rr22 sin sin d ddd aarr r sin r sin drd drd aa

r drdr drd aa

Elemen Volume (skalar)Elemen Volume (skalar)

rr22 sin sin dr d dr d d d

2222Operasi VektorOperasi Vektor

OPERASI VEKTOROPERASI VEKTOR

Divergensi vektor Divergensi vektor

D

sinr

1)sinD(

sinr

1

r

)Dr(

r

1DBola

z

DD1)D(1DSilinder

z

D

y

D

x

DDKartesian

r2

2

z

zyx

2323Operasi VektorOperasi Vektor

OPERASI VEKTOROPERASI VEKTOR

Gradien skalarGradien skalar

aV

sinr

1a

V

r

1a

r

VVBola

az

Va

V1a

VVSilinder

az

Va

y

Va

x

VVKartesian

r

z

zyx

2424Operasi VektorOperasi Vektor

OPERASI VEKTOROPERASI VEKTOR

Pusaran vektor Pusaran vektor

a)H

r

)rH((

r

1a]

r

)rH(H

sin

1[

r

1a]

H)sinH([

sinr

1HBola

a]H)H(

[1

a)H

z

H(a)

z

HH1(HSilinder

a)y

H

x

H(a)

x

H

z

H(a)

z

H

y

H(HKartesian

rzrr

zzz

zxy

yzx

xyz