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Sinais e Sistemas
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Série de Fourier
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Convergência da FS Um sinal periódico contínuo possui uma repre-
sentação em Série de Fourier se ele satisfaz às seguintes condições de Dirichlet:
1. O sinal deve ser limitado.
2. O sinal deve possuir um número finito de máximos e mínimos num período.
3. O sinal deve possuir um número finito de descontinui-dades num período.
Essas condições garantem que o sinal é igual à sua representação em FS, exceto em valores isolados de
tempo para os quais o sinal é descontínuo.
06/05/2016 2/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Convergência da FS
Violação da Primeira Condição de Dirichlet
Violação da Segunda Condição de Dirichlet
Violação da Terceira Condição de Dirichlet
06/05/2016 3/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Convergência da FS Na prática, o somatório é finito, ou seja, utiliza-
se a Série de Fourier Truncada, que contempla as N primeiras harmônicas:
0( )N
jk tN k
k Nx t a e ω
+
=−
= ∑Espera-se que a Série Truncada convirja para o sinal x quando N tende a infinito. Felizmente, não há problemas de convergência para uma grande quantidade de classes de sinais periódicos.
Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização da Série Truncada de Fourier, apresentando os fasores para
cada harmônica...
06/05/2016 4/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo: Script em Matlab – M_11_SerieFourierProg1.m
02T
ω π=Frequência Fundamental?
06/05/2016 5/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
0
00
0 0
0
00
0 00
0
0 0
0 0
2
2
0 0 0
0
00
0 0 0
0
0
0
0
1 1 1( )
2 ( ) 2 ( )22
( ) ( )22 2 ( )2
22
22
TT Tjk t jk t jk t
k T TT
jk T jk T
a x t e dt e dt eT T Tjk
sen k T T sen k
T
Te eTk j Tk T k T
Tsen k T sen kT T T Tsinc kTT T T Tk T kT
T T
ω ω ω
ω ω
ω
ω ωω ω ω
π π
π π
− − −
− −−
−
−= = =
−= = =
= = =
∫ ∫
( )( ) ππ
=sen usinc u
uFunção sinc
06/05/2016 6/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.2
0
0.2
0.4
0.6
a k
k
T=16, To=4
-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50-0.05
0
0.05
0.1
0.15
a k
k
T=16, To=1
06/05/2016 7/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo – Aproximação do Sinal pela Série Truncada de Fourier
-5 0 50
0.5
1
t
x 0(t)
-5 0 50
0.5
1
t
x 1(t)
-5 0 50
0.5
1
t
x 3(t)-5 0 5
0
0.5
1
t
x 5(t)
-5 0 50
0.5
1
t
x 7(t)
-5 0 50
0.5
1
tx 9(t)
-5 0 50
0.5
1
t
x 11(t)
-5 0 50
0.5
1
t
x 13(t)
-5 0 50
0.5
1
t
x 15(t)
( ) →ix t i é a quantidade de harmônicas utilizadas
CE6.m: arquivos do livro do Sinais e
Sistemas Lineares, segunda edição
06/05/2016 8/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Convergência da FS Vimos que se espera que a Série Truncada com-
virja para o sinal x quando N tende a infinito. Será que isso acontece sempre?
Já sabemos que um sinal periódico contínuo possui u-ma representação em Série de Fourier se ele satisfaz às condições de Dirichlet, mas sabemos também que a aproximação não é perfeita em pontos de descontinui-dade. Esse é o Fenômeno Gibbs...
Vejamos uma outra animação em Java que ilustra a utilização da Série Truncada de Fourier e evidencia o Fenômeno Gibbs...
06/05/2016 9/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Convergência da FS Existem métodos para reduzir ou eliminar o e-
feito do Fenômeno Gibbs. Essencialmente, tais métodos são diferentes maneiras de modificar (ponderar) os coeficientes da FS truncada, e são conhecidos como métodos de janelamento.
Vejamos uma animação em Java que ilustra a utilização de
janelamento para redução do efeito do Fenôneno Gibbs...
06/05/2016 10/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS)
Calcular a FS para o sinal apresentado a seguir:
Exemplo
( ) 2 (2 3) (6 )x t sen t sen tπ π= − +
06/05/2016 11/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x(
t)
t
x(t)=2sin(2π t-3)+sin(6π t)
06/05/2016 12/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
( ) 2 (2 3) (6 )x t sen t sen tπ π= − +
(2 3) (2 3) 6 6
(2 3) (2 3) 6 6
( 3)2 ( 1)2 3 (1)2 3 (3)2
( ) 22 2
( )2 2
( )2 2
j t j t j t j t
j t j t j t j t
j t j t j j t j j t
e e e ex tj j
j jx t je je e e
j jx t e je e je e e
π π π π
π π π π
π π π π
− − − −
− − − −
− − −
− −= +
= − + − +
= + − −
06/05/2016 13/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS)
2
( 3)3 32 2
3( 3)3 32 2
2 2
1 , - 32 2
1 1 , -1
, 1
1 1 , 32 2 2
0,
j
j jj j
j jk j j j
j jj
j e k
je e e e ka
je e e e e k
j e e e k
caso contrário
π
π π
π ππ
π ππ
+
−−
−
= =
= = == − = = = − = = =
Exemplo
06/05/2016 14/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5
0
5x(
t)
t
x(t)=2sin(2π t-3)+sin(6π t)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.5
1
|X(k
)|
k
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-2
0
2
∠ X
(k)
k
06/05/2016 15/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS)
Calcular a FS para o sinal a seguir:
Exemplo
( ) ( )k
x t t kTδ+∞
=−∞
= −∑
( )x t
TT
1
2T3T− 2T− T− 3T
... ...
06/05/2016 16/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Sinais Contínuos Periódicos (FS) Exemplo
( ) ( )
kx t t kTδ
+∞
=−∞
= −∑
0 02 2
2 2
1 1 1( ) ( )T Tjk t jk t
k T Ta x t e dt t e dt k
T T Tω ωδ− −
− −= = = ∀∫ ∫
( )x t
TT
1
2T3T− 2T− T− 3T
... ...
06/05/2016 17/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Algumas Propriedades da FS Linearidade
( )
( )
( ) ( ) ( )
FS
kFS
kFS
k k kA
x t a
y t b
z t x t y t c a bAB B
↔
↔
= + ↔ = +
Deslocamento no Tempo
0 00
( )
( )
FS
kF
k tS
jk
x t a
x t e at ω−
↔
− ↔
06/05/2016 18/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Algumas Propriedades da FS Reflexão no Tempo
( )
( )
FS
kFS
k
x t a
x t a−
↔
− ↔
O que se pode dizer sobre os coeficientes da FS para sinais pares e ímpares ?
k ka a−=k ka a−− =
06/05/2016 19/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Algumas Propriedades da FS Mudança de Escala no Tempo
0
0( )
( )
( )
jk tk
k
jk tk
k
x t a e
x t a e
é um número positivo real
ω
αωα
α
+∞
=−∞
+∞
=−∞
=
=
∴
∑
∑
Conjugado e Simetria
* *
( )
( )k
FS
kFS
x t a
x t a−
↔
↔
06/05/2016 20/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Algumas Propriedades da FS Multiplicação
( )
( )
( ) ( )
FS
kFS
k
FS
k l k ll
x t a
y t b
x t y t h a b+∞
−=−∞
↔
↔
↔ = ∑
Relação de Parseval
2 21 ( ) kkT
x t dt aT
+∞
=−∞
= ∑∫
06/05/2016 21/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS A Tabela 3.1 (página 206 do livro Signals and
Systems) resume as propriedades da FS: algu-mas propriedades apresentadas na tabela não es-tão nos slides...
As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da FS de um sinal, evitando a realização de contas desnecessárias.
Leiam sobre as propriedades, pois o livro apre-senta comentários interessantes...
06/05/2016 22/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
Calcular a FS para o sinal a seguir:
12
12
−
11− 22−
( )g t
06/05/2016 23/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
Lembrando:
0 02 2( )kT Ta sinc kT T
=
06/05/2016 24/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
12
12
−
11− 22−
( )g t 0
0
1( ) ( 1)2
1, 4
2
g t x t
T T
ω π
= − −
= =
=
06/05/2016 25/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
1 2
1( ) ( 1)2
( ) ( ) ( )
g t x t
g t x t x t
= − −
= +
Aplicar Linearidade!!!
1
2
1 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
FS
kFS
kFS
k k k
x t b
x t c
g t x t x t d b c
↔
↔
= + ↔ = +
06/05/2016 26/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
1( ) ( 1)x t x t= − Aplicar Deslocamento no Tempo!!!
0 00
( )
( )
FS
kF
k tS
jk
x t a
x t e at ω−
↔
− ↔
2jk
k kb e aπ
−=
21( )2
x t = −0, 0
1 , 02
k
kc
k
≠= − =
06/05/2016 27/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
1
2
1 2
( )
( )
( ) ( ) ( )
FS
kFS
kFS
k k k
x t b
x t c
g t x t x t d b c
↔
↔
= + ↔ = +
2jk
k kb e aπ
−=
0, 0 1 , 0
2k
kc
k
≠= − =
2
0
, 0 1 , 0
2
jk
kk
e a kd
a k
π−
≠= − =
06/05/2016 28/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Propriedades da FS Exemplo
2
0
, 0 1 , 0
2
jk
kk
e a kd
a k
π−
≠= − =
0 1, 40 0
1( ) ( )2 2 1 1 1 2 2( ) ( ) 12 2 22
T Tk k
ksen k senT Ta sinc k a sinc kT T kk
ππ
ππ
= == → = = =
2( )
2 , 0
0, 0
jk
k
ksene kd k
k
ππ
π−
≠=
=06/05/2016 29/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Educational Matlab GUIs Demos sobre Processamento de Sinais: Convolu-
ção, Série de Fourier, Transformadas, etc...
http://users.ece.gatech.edu/mcclella/matlabGUIs/index.html
(Acesso em 03/03/2007)
Vamos brincar um pouco com a Fourier Series Demo!
06/05/2016 30/31
Sinais e Sistemas – Renato Dourado Maia
Exercício Exercício 3.1 – Signals and Systems
Um sinal periódico de tempo contínuo é real,
e tem período fundamental . Os coeficientes não nulos da FS de são:
Expresse na forma:
3
*1 1 32, 4 .a a a a j
−−= = = =
0( ) ( )k k k
kx t A cos tω φ
∞
=
= +∑
( )x t8T =
( )x t
( )x t
06/05/2016 31/31
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