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SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTO DE CO2 EM IMPELIDOR
DE COMPRESSOR CENTRÍFUGO
Leonardo Bianco dos Santos
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-
graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da
Universidade Federal do Rio de Janeiro, como
parte dos requisitos necessários à obtenção do
título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Orientadores: Átila Pantaleão Silva Freire
Su Jian
Rio de Janeiro
Setembro de 2015
2
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTO DE CO2 EM IMPELIDOR
DE COMPRESSOR CENTRÍFUGO
Leonardo Bianco dos Santos
DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO
LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA
(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE
DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE
EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA.
Examinada por:
________________________________________________
Prof. Átila Pantaleão Silva Freire, Ph.D.
________________________________________________
Prof. Su Jian, D.Sc.
________________________________________________
Prof. Manuel Ernani de Carvalho Cruz, Ph.D.
________________________________________________
Dr. José Luiz Horacio Faccini, D.Sc.
RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL
SETEMBRO DE 2015
iii
Santos, Leonardo Bianco dos
Simulação Computacional De Escoamento De CO2 Em
Impelidor De Compressor Centrífugo / Leonardo Bianco dos
Santos – Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2015.
XVII, 132 p.: il.; 29,7 cm.
Orientadores: Átila Pantaleão Silva Freire
Su Jian
Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de
Engenharia Mecânica, 2015.
Referências Bibliográficas: p. 127-132.
1. Compressor Centrífugo. 2. Fluidodinâmica
Computacional. 3. Escoamento Turbulento. 4. Termodinâmica.
5. CO2. I. Freire, Átila Panatelão Silva et al. II. Universidade
Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia
Mecânica. III. Título.
iv
Soli Deo gloria
v
AGRADECIMENTOS
Em primeiro lugar, agradeço a Deus, pela a sua infinita misericórdia que me
permitiu chegar até aqui.
Foi um longo período de trabalho e renúncia, onde todo o apoio e incentivo foram
fundamentais. Agradeço à minha família pelo apoio, carinho e incentivo, em especial
minha esposa e meus pais que sofreram com os meus períodos de ausência por diversas
oportunidades.
À Universidade Federal do Rio de Janeiro e ao Programa de Engenharia Mecânica
da COPPE que me acolheram para a realização desta dissertação de mestrado. Lembro
com gratidão de todos os professores e funcionários do Departamento de Engenharia
Mecânica que foram fundamentais para a minha formação. Além da equipe do LASME,
especialmente ao futuro engenheiro mecânico Felipe Duarte pelo apoio nas simulações
em CFD e nas atividades de pós-processamento.
Não posso me furtar de mencionar o precioso suporte que recebi dos especialistas
em CFD Eng. Karolline Ropelato e do Eng. Ismael Daoud através das diversas
discussões técnicas que tivemos ao longo das simulações em CFD: Sem estas discussões
o resultado final teria sido inferior.
Quero agradecer também à PETROBRAS por ter permitido o meu ingresso e
permanência neste curso de mestrado.
Finalmente, registro a minha gratidão aos professores Su Jian e Átila pela
orientação, confiança, contribuição e apoio ao longo deste projeto.
vi
Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos
necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)
SIMULAÇÃO COMPUTACIONAL DE ESCOAMENTO DE CO2 EM IMPELIDOR
DE COMPRESSOR CENTRÍFUGO
Leonardo Bianco dos Santos
Setembro/2015
Orientadores: Átila Pantaleão Silva Freire Su Jian
Programa: Engenharia Mecânica
Este trabalho apresenta uma aplicação de ferramenta de fluidodinâmica
computacional (CFD) na avaliação de escoamento turbulento de dióxido de carbono
(CO2) no interior de um impelidor de compressor centrífugo. O programa ANSYS
FLUENT 15.0 foi utilizado para investigar os fenômenos fluidodinâmicos que ocorrem
ao longo do canal do impelidor através de dois modelos de turbulência com aplicação
consagrada em turbomáquinas, a saber, k-ω SST e k-ε RNG. O experimento apresentado
e descrito por Eckardt foi usado para a validação da simulação computacional com
fluido ar, pois os seus dados se encontram disponíveis na literatura. Em seguida, foram
feitas análises deste impelidor operando com novo fluido de trabalho (CO2) para
avaliação do impacto no seu desempenho. As propriedades do CO2 foram obtidas
através de duas equações de estados, isto é, Peng-Robinson (equação com aplicação
geral) e Span-Wagner (desenvolvida especificamente para previsão de propriedades do
CO2 desenvolvida incluindo dados empíricos) com diferentes níveis de acurácia. As
curvas de desempenho do impelidor foram obtidas para cada modelo de turbulência e os
resultados comparados com dados experimentais.
vii
Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the
requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)
COMPUTATIONAL FLOW SIMULATION OF CO2 IN CENTRIFUGAL
COMPRESSOR IMPELLER
Leonardo Bianco dos Santos
September/2015
Advisors: Átila Pantaleão Silva Freire
Su Jian
Department: Mechanical Engineering
This works presents an application of computational fluid dynamics to turbulent
carbon dioxide (CO2) fluid flow evaluation through centrifugal compressor impeller.
ANSYS FLUENT® 15.0 was used to investigate fluid dynamics phenomena that occur
along to the impeller channel according to the turbulent models most adopted in the
turbomachinery analysis applications, such as, k-ω SST e k-ε RNG. To validate the
computational simulation, it was reproduced the ECKARDT´s experiment (impeller
geometry and operational conditions) available in the literature. According to this
verification, it was changed the work fluid, i.e., air (original work fluid) to CO2, to the
performance impeller analysis. Furthermore, the CO2 properties were obtained from
both equation of state Peng-Robinson (general application) and Span-Wagner
(specifically developed for predicting the properties of CO2 developed including
empirical data) with different levels of accuracy. The performance curves were obtained
for each impeller turbulence model and the results compared with experimental data.
viii
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS ...................................................................................................... x
LISTA DE TABELAS .................................................................................................. xiii
LISTA DE SÍMBOLOS ................................................................................................ xiv
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................... 1
1.1 DESCRIÇÃO .................................................................................................... 1
1.2 MOTIVAÇÃO E RELEVÂNCIA ..................................................................... 1
1.3 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ................................................................. 6
CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ............................................................. 8
2.1 MÉTODOS PARA PROJETO DE UMA TURBOMÁQUINA ........................ 8
2.1.1 MÉTODO UNIDIMENSIONAL .................................................................. 8
2.1.2 MÉTODO BIDIMENSIONAL ..................................................................... 9
2.1.3 MÉTODO TRIDIMENSIONAL................................................................. 10
2.2 MODELAGEM DE PROBLEMAS EM TURBOMÁQUINAS ..................... 11
2.3 DESEMPENHO DE TURBOMÁQUINAS COM CO2 .................................. 14
CAPÍTULO 3 MODELAGEM MATEMÁTICA ....................................................... 19
3.1 EQUAÇÕES GOVERNANTES DO PROBLEMA ........................................ 19
3.1.1 EQUAÇÕES DE CONSERVAÇÃO .......................................................... 19
3.1.2 EQUAÇÕES DE ESTADO ..................................................................... 22
3.2 DIÓXIDO DE CARBONO (CO2) ................................................................... 27
3.2.1 COMPORTAMENTO DE GÁS REAL ...................................................... 28
3.2.2 ESTIMATIVA DE PROPRIEDADES DO CO2 ......................................... 29
3.2.3 COMPORTAMENTO DAS PROPRIEDADES DO CO2 .......................... 30
CAPÍTULO 4 COMPRESSOR CENTRÍFUGO ......................................................... 35
4.1 CURVAS CARACTERÍSTICAS .................................................................... 35
4.1.2 CONDIÇÃO DE ESTAGNAÇÃO ............................................................ 39
4.2 TEORIA DE SEMELHANÇA APLICADA À TURBOMÁQUINAS ........... 41
4.3 ESCOAMENTO DENTRO DO IMPELIDOR CENTRÍFUGO ..................... 46
4.3.1 INSTABILIDADE DO ESCOAMENTO NO IMPELIDOR...................... 47
4.3.2 ESCOAMENTO SECUNDÁRIO ............................................................... 49
4.3.3 FOLGAS “CLEARANCE” E VAZAMENTOS “LEAKAGE” ................. 51
ix
CAPÍTULO 5 MÉTODO COMPUTACIONAL ......................................................... 53
5.1 FERRAMENTA COMPUTACIONAL .......................................................... 53
5.2 MALHAS ......................................................................................................... 54
5.3 MÉTODOS NUMÉRICOS: MODELOS DE VOLUMES FINITOS ............. 56
5.4 MODELOS DE TURBULÊNCIA .................................................................. 59
5.5 ALGORITMO PARA ACOPLAMENTO PRESSÃO-VELOCIDADE ......... 68
5.6 VERIFICAÇÃO E VALIDAÇÃO (V&V) ...................................................... 70
CAPÍTULO 6 RESULTADOS ................................................................................... 72
6.1 SIMULAÇÃO CFD DO IMPELIDOR ECKARDT (CASO AR) ................... 72
6.1.1 PROCEDIMENTO DE SIMULAÇÃO ................................................... 73
6.1.2 MALHA .................................................................................................. 74
6.1.3 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO DE IMPELIDOR COM AR .......... 77
6.1.4 PÓS- PROCESSAMENTO DE RESULTADOS .................................... 80
6.2 SIMULAÇÃO CFD DE IMPELIDOR ECKARDT (CASO CO2) .................. 90
6.2.1 DEFINIÇÃO DOS PONTOS DE OPERAÇÃO DO IMPELIDOR ........ 91
6.2.2 RESULTADOS DA SIMULAÇÃO DE IMPELIDOR COM CO2....... 105
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES ................................................................................. 123
7.1 CONCLUSÕES ............................................................................................. 123
7.2 CONTRIBUIÇÕES ....................................................................................... 125
7.3 SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS ......................................... 125
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ......................................................................... 127
x
LISTA DE FIGURAS
1.1 Conjunto Impelidor (tipo aberto) e difusor de compressor centrífugo........ 2
1.2 Escoamento axial e radial em turbomáquina............................................... 2
1.3 Compressor centrífugo de simples estágio com rotor em balanço.............. 3
1.4 Mapas de escoamento no interior de um impelidor.................................... 4
2.1 Análise bidimensional de tubo de corrente................................................. 10
3.1 Sistemas de coordenadas para um corpo em rotação.................................. 19
3.2 Triângulos de velocidade na entrada e saída do impelidor......................... 20
3.3 Representação do efeito de Coriolis............................................................ 21
3.4 Diagrama de fases de CO2........................................................................... 23
3.5 Variação do calor específico com a temperatura e pressão de CO2............ 30
3.6 Variação da condutividade térmica com a temperatura e pressão de CO2.. 31
3.7 Variação da viscosidade molecular com a temperatura e pressão de CO2.. 31
4.1 Mapa Operacional de um impelidor em vazão mássica.............................. 35
4.2 Compressor com volume de controle.......................................................... 36
4.3 Processo de compressão em único estágio.................................................. 40
4.4 Curvas características para as condições dinamicamente semelhantes....... 42
4.5 Impelidores de compressor centrífugo de múltiplos estágios..................... 44
4.6 Natureza do escoamento no interior de um rotor........................................ 46
4.7 Escoamento real em rotor de compressor centrífugo.................................. 47
4.8 Estrutura Jato-esteira em impelidor............................................................. 48
4.9 Escoamento secundário em rotor................................................................ 50
4.10 Escoamento com vazamentos em rotor de máquina radial......................... 52
5.1 Figuras geométrica para malhas tridimensionais........................................ 54
5.2 Exemplo de malha estruturada (a) e não estruturada (b)............................. 55
5.3 Plano discretizado....................................................................................... 56
5.4 Malha sobre impelidor do tipo aberto......................................................... 59
5.5 Fluxograma de algoritmos de acoplamento pressão-velocidade................. 69
5.6 Fluxograma para Validação e Verificação.................................................. 71
6.1 Corte transversal de impelidor Eckardt....................................................... 73
6.2 Canal de impelidor com superfícies de contorno........................................ 75
xi
6.3 Seção completa de impelidor com malha 701.874 elementos.................... 76
6.4 Curvas de razão de pressão simuladas........................................................ 77
6.5 Curvas de eficiência isentrópica simuladas................................................. 78
6.6 Valor médio da pressão no plano meridional.............................................. 81
6.7 Perfil da pressão no bordo de ataque........................................................... 82
6.8 Perfil da pressão no bordo de fuga.............................................................. 82
6.9 Carregamento da pá na altura de 50% de altura.......................................... 83
6.10 Perfil do número de Mach ao longo da pá.................................................. 84
6.11 Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá..................................... 84
6.12 Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá..................................... 85
6.13 Gráfico correlacionando as perdas com α2.................................................. 86
6.14 Linhas de corrente para 20% da altura normalizada da pá.......................... 87
6.15 Linhas de corrente para 50% da altura normalizada da pá.......................... 87
6.16 Linhas de corrente para 80% da altura normalizada da pá.......................... 88
6.17 Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.............. 89
6.18 Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do impelidor....... 90
6.19 Caso de avaliação no diagrama temperatura-entropia do CO2.................... 91
6.20 Número de Mach relativo na região do bordo de ataque com o shroud..... 94
6.21 Pressão estática na região do bordo de ataque com o shroud..................... 94
6.22 Perfil de camada limite ao longo perfil aerodinâmico................................ 97
6.23 Regiões de operação de difusor................................................................... 98
6.24 Geometria padrão de difusor cônico........................................................... 98
6.25 Escoamento com stall no difusor................................................................ 99
6.26 Escoamento com stall transiente no difusor................................................ 99
6.27 Exemplo de malha aplicada ao difusor....................................................... 100
6.28 Perfil de velocidade absoluta no difusor em operação com CO2................ 101
6.29 Destaque na saída dos vetores de velocidade absoluta do difusor em operação
com CO com CO2...................................................................................................... 102
6.30 Vetores de velocidade absoluta do difusor em operação com CO2............. 103
6.31 Perfil de número de Mach no difusor em operação com CO2..................... 104
6.32 Perfil de entropia no difusor em operação com CO2................................... 104
6.33 Curvas de razão de pressão simuladas para CO2 no impelidor................... 109
xii
6.34 Intervalos de operação pela variação nas condições de operação............... 110
6.35 Perfil da pressão no bordo de ataque para CO2 no impelidor..................... 113
6.36 Perfil da pressão no bordo de fuga para CO2 no impelidor........................ 113
6.37 Carregamento da pá na altura de 50%......................................................... 114
6.38 Perfil do número de Mach ao longo da pá para CO2 no impelidor............. 116
6.39 Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá para CO2 no impelidor 116
6.40 Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá..................................... 117
6.41 Linhas de corrente para 20% da altura da pá para CO2............................... 118
6.42 Linhas de corrente para 80% da altura da pá para CO2............................... 119
6.43 Linhas de corrente para 80% da altura da pá para CO2............................... 119
6.44 Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.............. 120
6.45 Processo de Compressão de CO2 no diagrama T-S.................................... 121
6.46 Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do impelidor....... 121
xiii
LISTA DE TABELAS
6.1 Qualidade de malha pela ortogonalidade.................................................... 75
6.2 Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos.................... 75
6.3 Resultados de simulações de refinamento de Malha................................... 76
6.4 Simulações de impelidor Eckardt para caso Ar e rotação de 14.000 RPM. 77
6.5 Parâmetros ao longo do impelidor com modelo de turbulência SST.......... 79
6.6 Comparativo de parâmetros aos resultados de MOURA............................ 79
6.7 Similaridade entre pontos no impelidor Eckardt para Ar e CO2................. 92
6.8 Qualidade de malha pela ortogonalidade máxima dos elementos............... 106
6.9 Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos.................... 106
6.10 Teste de malhas no impelidor Eckardt para CO2........................................ 107
6.11 Teste de modelos de turbulência com equação de estado Peng-Robinson. 108
6.12 Teste de modelos de turbulência com equação de estado Span-Wagner.... 108
6.13 Parâmetros ao longo do impelidor para o CO2............................................ 111
xiv
LISTA DE SÍMBOLOS
A área [m2]
a velocidade do som [m/s]
b largura do impelidor ou altura de pá [m]
B força de corpo [N]
cp calor específico à pressão constante [kJ/kgK]
cv calor específico a volume constante [kJ/kgK]
C constante determinada empiricamente
D constante determinada empiricamente
d diâmetro [m]
e energia interna específica total [kJ/kg]
F força [N]
f função arbitrária
g aceleração da gravidade - 9,81 m/s2
h entalpia específica [kJ/kg]
H head [kJ/kg]
K constante
k energia cinética turbulenta [m2/s2]
L comprimento [m]
M número de Mach
m massa [kg]
m vazão mássica [kg/s]
N rotação [rpm]
n expoente politrópico
xv
P pressão [Pa]
Q vazão volumétrica [m3/s]
Q taxa de calor [kJ/s]
q troca de calor específico [kJ/kg]
Re Número de Reynolds
R constante do gás [kJ/kg K]
Rp razão de pressão
r raio [m]
Sij tensor da taxa de deformação desviatória
s entropia [kJ/kgK]
T temperatura [K]
t tempo [s]
U velocidade periférica do impelidor [m/s]
u energia interna específica [kJ/kg]
v volume específico [m3/kg]
V volume [m3]
V velocidade absoluta [m/s]
w trabalho específico [J/kg]
W velocidade relativa [m/s]
W trabalho [W]
U velocidade tangencial [m/s]
Z altura [m]
Z fator de compressibilidade
α ângulo de escoamento absoluto em relação à direção tangencial
α´ ângulo de escoamento absoluto em relação à direção radial
xvi
α relação de volumes específicos
∆ expoente de ponto crítico
β ângulo de escoamento relativo em relação à direção tangencial
β´ ângulo de escoamento relativo em relação à direção radial
βT compressibilidade isotérmica
βP compressibilidade isobárica
k relação de calores específicos ou coeficiente isotrópico
k energia cinética turbulenta [m2/s2]
η eficiência
Ө parâmetro adimensional de vazio, ângulo do plano meridional
Φ termo de dissipação
µ fator de escorregamento
µ viscosidade [m2/s]
ρ densidade [kg/m3]
ε taxa de dissipação de energia cinética
geração de entropia [kJ/kg K s]
τ tensor tensão
τij tensor de Reynolds
ψ coeficiente de ponto crítico
ω fator acêntrico
ω vorticidade secundária
ω frequência de turbulenta
φ coeficiente de vazão
Ω velocidade angular
δij delta de KRONECKER
xvii
Subscritos
e entrada
h hub
m componente meridional
N extremidade
n processo politrópico
P superfície de pressão
p politrópico
r direção radial
r propriedade reduzida
s processo ideal ou isoentrópico
s saída
stg estágio
u componente tangencial
t turbulento
vc volume de controle
0 estado de estagnação
1 – 2 localização no impelidor
1
CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO
1.1 Descrição
A proposta da dissertação é avaliar o impacto da variação da composição do gás
de operação no desempenho de um compressor centrífugo. Esta avaliação usará os
resultados obtidos da simulação numérica computacional com o uso de um programa
comercial: ANSYS FLUENT®. Essa simulação usará distintamente dois fluidos de
trabalho escoando num único impelidor: Ar e Dióxido de Carbono. A base da simulação
numérica será fundamentada no Método de Volumes Finitos, que fornecerá os dados
para a comparação dos resultados experimentais coletados na literatura no caso Ar.
Estes dados gerados permitirão construir as curvas de desempenho razão de compressão
e eficiência isentrópica em função da vazão mássica, para cada escoamento simulado
para avaliação do compressor.
1.2 Motivação e Relevância
O pré-sal é a maior descoberta petrolífera mundial dos últimos cinquenta anos. O
petróleo do pré-sal está alojado em reservatórios situados abaixo de extensa e espessa
camada de sal presente em extensa parte do litoral brasileiro, em águas profundas e
ultraprofundas, localizados sob 3 a 4 km de rochas abaixo do leito marinho. Estima-se o
potencial de ocorrência entre 70 a 100 bilhões de barris de óleo equivalente – boe
(somatório de petróleo e gás natural), o que colocaria o Brasil entre os principais países
produtores (RICCOMINI et al, 2012).
Essa descoberta trouxe diversas oportunidades e desafios na sua exploração.
Entre os desafios destaca-se o elevado montante de dióxido de carbono (CO2) presente
na composição do óleo a ser extraído, uma vez que o CO2 possui grande impacto no
meio ambiente e na saúde do homem ao ser liberado na atmosfera, por exemplo, o efeito
estufa. Como solução adotada pela PETROBRAS, esse gás separado do hidrocarboneto
é comprimido a altas pressões, entre 320 e 450 bar, para ser injetado novamente no
poço.
2
Figura 1.1 – Conjunto Impelidor (tipo aberto) e difusor de compressor centrífugo
(BENINI et al, 2003).
Este serviço é executado por turbomáquinas, que são equipamentos onde a
energia é transferida ou retirada de um escoamento contínuo de fluido pela ação
dinâmica de um ou mais conjuntos de paletas (pás) em movimento,
(LAKSHIMINARAYANA, 1996). Podemos classificá-las quanto à orientação do fluxo
em seu interior: Axiais quando o fluxo é axial e Centrífugas para o fluxo radial, figura
1.2. As máquinas que transferem energia a um escoamento compressível são
denominadas de compressores. Na indústria de Óleo e Gás, o compressor centrífugo
desempenha relevante papel.
Figura 1.2 – Escoamento axial e radial em turbomáquina (SOROKES et al, 2006).
3
O processo físico que ocorre no interior de um compressor centrífugo de único
estágio pode ser descrito em duas etapas: No impelidor, órgão rotativo munido de pás, o
gás é aspirado e a energia do acionador é transferida ao escoamento. Parte dessa energia
é transferida na forma de entalpia (relacionada com a elevação de pressão), e parte sob a
forma de energia cinética. Em seguida o gás escoa para o difusor, órgão estacionário,
que em função de sua geometria provoca a conversão da energia cinética do escoamento
em entalpia, acarretando numa suplementar elevação de pressão (RODRIGUES, 1991).
Figura 1.3 - Compressor centrífugo de simples estágio com rotor em balanço
(RODRIGUES, 1991).
Segundo BOYCE (1993), os fatores que influenciam no desempenho de um
compressor centrífugo são: Composição do gás, as condições de entrada, o formato das
pás, escorregamento do escoamento nas pás (slip), difusores e perdas. BOYCE (1972)
trata as perdas como tipicamente expressas em termos de calor ou entalpia e as divide
em dois grupos principais conforme local de ocorrência: Impelidor e Difusor. No
Impelidor as principais perdas são por: Choque, perdas de incidência (incidence loss),
perdas por atrito no disco (disk friction loss), perdas por difusão nas pás (diffusion
blading loss), perdas pelas folgas (clearance loss) e perda por atrito (skin friction loss);
enquanto, no difusor, enumeram-se: perdas por recirculação (recirculating loss), perdas
por turbilhonamento (wake mixing loss), perdas no difusor sem pás (vaneless diffuser
loss), perdas no difusor com pás (vaned diffuser loss) e perdas na saída (exit loss).
As perdas são irreversibilidades responsáveis pela geração de entropia num dado
processo. Na avaliação do desempenho, a eficiência do serviço de compressão pode ser
mensurada pela relação entre o trabalho ideal e o real do compressor, (BEJAN, 1988).
4
O trabalho ideal ocorre com geração de entropia nula, enquanto o processo real decorre
das não-idealidades do processo representadas pela geração de entropia nula,
(RODRIGUES, 1991). Entretanto, a variação de entropia não pode ser mensurada
diretamente e sua avaliação deverá ser obtida indiretamente, através de outras
propriedades termodinâmicas ou fluidodinâmicas. Os mecanismos dissipativos viscosos
e turbulentos resultam em aumento de entropia num escoamento.
A turbulência é sempre dissipativa, pois o mecanismo de alongamento dos
vórtices transfere energia e vorticidade para o aumento das menores escalas, até que o
gradiente se torne tão grande que ele se espalhe ou dissipe pela viscosidade. Portanto, o
escoamento turbulento requer um constante suprimento de energia para compensação
das perdas viscosas, (LAKSHIMINARAYANA, 1996).
(1) Escoamento visto no plano do hub (2) Escoamento visto no plano shroud
Figura 1.4 - Mapas de escoamento no interior de um impelidor (BOYCE, 1993).
Pode-se caracterizar um escoamento como sendo laminar ou turbulento através
do número de Reynolds. Sendo Reynolds alto, a inércia do fluido supera as tensões
viscosas e um movimento laminar torna-se instável. A turbulência é uma condição
irregular do escoamento, nas quais várias propriedades e/ou quantidades apresentam
variação randômica com o tempo e as coordenadas espaciais, de modo que distintos
5
valores médios estocásticos podem ser avaliados. A maioria dos escoamentos
encontrados na prática de engenharia e na natureza são turbulentos. Algumas
características do escoamento turbulento são: Aleatoriedade, não-linearidade,
difusividade, tridimensionalidade e características dissipativas.
Segundo KUNDU e COHEN (2004), um escoamento turbulento satisfaz
instantaneamente as equações de Navier-Stokes. As variáveis num escoamento
turbulento não são determinísticas e devem ser tratadas como variáveis estocásticas ou
randômicas. Apesar deste comportamento aleatório das variáveis o interesse,
usualmente, está em se obter as características gerais de um escoamento tais como seus
valores médios. Diante deste fato, deriva-se as equações de movimento para um estado
médio e se examina qual efeito pode haver no escoamento motivado pelas flutuações
turbulentas.
A composição do fluido de trabalho é outro aspecto fundamental a ser avaliado
no serviço de compressão (BOYCE, 1972). Nos campos do Pré-Sal, o serviço de
compressão de CO2 possui papel fundamental na operação das plataformas. Entretanto a
sua condição de operação conduz o fluido ao seu estado supercrítico, caracterizado por
condições de entalpia e densidade semelhantes às do ponto crítico, e pressão
ligeiramente superior à pressão crítica. A região supercrítica é usualmente visualizada
nos diagramas p-h e p-v e situada sobre o ponto crítico. Nessa região, o fluido apresenta
propriedades intermediárias entre um gás e um líquido, pois apresenta densidade
demasiadamente alta para ser tratado como gás (característica similar ao de um líquido
de baixa densidade), incluindo baixa viscosidade e alta difusividade que são
propriedades típicas de um gás (LEAL, 2012).
As propriedades do dióxido de carbono foram extensivamente estudadas no
passado motivadas pela sua ampla ocorrência e importância, tanto para engenharia,
quanto para fins científicos. Apesar de seu interesse na engenharia, o comportamento
desse fluido escoando no interior de uma turbomáquina, por exemplo, é pouco
conhecido principalmente para elevadas pressões (acima de 200 bar) e na região crítica
(73,8 bar e 30,95 oC). Segundo BALTADJIEV(2012), uma prática comum dos
fabricantes de compressores é o tratamento modular. Neste procedimento utilizam-se
projetos pré-definidos e interdependentes dos componentes de um compressor, ou seja,
famílias de impelidores e difusores são associadas a famílias de carcaças. Os
impelidores são classificados por diâmetro, espessura e velocidade enquanto o aspecto
ou formato das pás é estudado e projetado para os gases industriais usuais. Existem
6
novas aplicações que dependem do perfeito domínio dos fenômenos que ocorrem no
escoamento deste fluido no interior do compressor, incluindo o seu impelidor. Como
exemplo, os projetos de ciclos de potência com CO2 supercrítico, (RINALDI et al,
2014).
1.3 Organização do Trabalho
O escoamento no interior do impelidor de um compressor centrífugo envolve
fenômenos difíceis de modelar. Esta modelagem envolve interação de distintas áreas do
conhecimento, tais como, termodinâmica, mecânica dos fluidos, transferência de calor,
matemática pura e aplicada, análise numérica, entre outros. Este trabalho pretende
analisar os principais fenômenos que influenciam o desempenho de um compressor
centrífugo operando com fluido de trabalho não convencional para indústria (CO2) ao
longo de um canal de impelidor, com utilização das ferramentas de CFD disponíveis
comercialmente.
No capítulo 2 é procedida a revisão bibliográfica apresentando a contribuição
dada por diversos autores para a evolução dos seguintes tópicos relacionados aos
compressores centrífugos: Emprego de ferramentas computacionais (CFD), Modelagem
aerotermodinâmica, comportamento de CO2 não ideal e a fenomenologia de escoamento
compressível.
O capítulo 3 apresenta a fundamentação matemática utilizada ao longo da
dissertação. Primeiramente, é apresentada a modelagem fluidodinâmica do problema
através das equações de conservação, ajustadas para um sistema relativo de
coordenadas. Descrevem-se ainda as principais equações de estados, aplicadas para
cálculo das propriedades do CO2, discutindo como consequência e de forma qualitativa
os seus diferentes níveis de precisão. Finalmente, são discutidas as oportunidades de
aplicação do CO2 e os aspectos termodinâmicos que devem ser observados quando
utilizado como fluido de trabalho no serviço de compressão.
O capítulo 4 aborda a operação do compressor centrífugo através de curvas
características e os principais fenômenos no desempenho do compressor. É ainda
apresentada uma metodologia de identificação de uma nova curva, através de análise
dimensional e similaridade de pontos. Além disso, são relacionados e discutidos os
principais fenômenos fluidodinâmicos que influenciam no seu desempenho.
7
O capítulo 5 traz a metodologia utilizada para modelagem computacional do
problema investigado, com as principais etapas percorridas: a ferramenta computacional
utilizada (ANSYS FLUENT®), o método de volumes finitos que foi adotado para a
resolução das equações que modelam o problema e o algoritmo de acoplamento
pressão-velocidade. A seguir são abordados os principais modelos de turbulência,
destacando-se os modelos k-ε e k-ω SST, utilizados para simulações e análises em
turbomáquinas. Demonstra-se para estes modelos de turbulência, o seu ajuste para
aplicação em escoamentos compressíveis através das médias ponderadas em massa,
denominadas médias de Favre.
No capítulo 6 é apresentada a validação e verificação (V&V) da modelagem do
impelidor, incluindo geometria e malha, com a simulação do caso proposto por Eckardt
para o fluido de trabalho ar. Os resultados dessas simulações são apresentados de forma
comparativa com os dados disponíveis na literatura. Objetivando as simulações do
escoamento do CO2 no impelidor Eckardt, foram feitas simulações num difusor
(equipamento estático de geometria mais simples) para se determinar e/ou confirmar as
condições de contorno a serem usadas no compressor. As simulações realizadas
demostraram o impacto causado pela alteração do fluido de trabalho em relação ao
projeto original.
O capítulo 7 traz as conclusões, contribuições e sugestões para complementar as
análises realizadas neste trabalho, com foco na modelagem e análise de turbomáquinas.
8
CAPÍTULO 2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1 Métodos para Projeto de uma Turbomáquina
A evolução nos métodos numéricos tem sido um dos principais contribuintes
para o avanço da tecnologia aerodinâmica do compressor centrífugo, e grande parte
desta evolução foi resultado direto dos avanços na tecnologia dos computadores. Com a
evolução na tecnologia de processamento dos computadores, foi possível realizar
cálculos matemáticos mais complexos em menos tempo. O resultado foi a sofisticação
na modelagem de componentes individuais ou do compressor inteiro, (SOROKES e
KUZDZAL, 2010).
Ao traçar uma visão panorâmica da evolução do desenvolvimento do
compressor centrífugo ao longo dos anos, KRAIN (2003) descreve como o ganho no
desempenho esteve e está associado à evolução no entendimento do complexo
escoamento que ocorre em seu interior, seja no aperfeiçoamento dos modelos teóricos,
seja experimentalmente. Destacando o impulso dado pelo aumento na capacidade de
processamento computacional que permite soluções para escoamentos viscosos ou não
viscosos no estágio atual, que é a resolução de regimes transientes tridimensionais (3D),
com a possibilidade de resolução de diversos problemas para escoamento de fluidos nos
diferentes componentes do compressor.
2.1.1 Método unidimensional
A abordagem mais comum utilizando modelos unidimensionais é o chamado
método do triângulo de velocidades que é associada a formulações com base na equação
de Euler para turbomáquinas, equação de Bernoulli, equações de conservação da massa
e conservação do momento angular. Outros modelos de desempenho empírico são
também usados para determinação das velocidades meridionais, tangenciais e relativas,
além dos ângulos de escoamento em vários locais-chave dentro de um estágio
centrífugo. Esta técnica foi discutida de forma extensiva por MOURA (2007). Esta
metodologia se concentra principalmente na região de entrada e saída de cada
9
componente, e pouco entre as regiões intermediárias desses componentes. Antes do
final de 1950 todos os projetos eram concluídos usando essa abordagem, aliada a testes
de desenvolvimento. Inclui-se ainda a conhecida técnica de tentativa e erro como parte
do processo de concepção, (SOROKES e KUZDZAL, 2010). É possível perceber que
esta metodologia não era eficaz em termos de custos de desenvolvimento de produtos
do compressor, mas era a única técnica disponível naquele período.
Apesar de suas limitações, esta metodologia possui méritos na análise de
compressores pela sua simplicidade sendo ainda utilizada atualmente. Por exemplo,
ROBERTS et al (2005) examinam o desempenho de um compressor centrífugo
operando com diversos fluidos de trabalho: Ar (k=1.4), Argônio (k=1.67) e Dióxido de
Carbono (k=1.29). Nesta avaliação verifica-se a relevância do coeficiente isentrópico k
nas características de operação dessa máquina. A pesquisa é primeiramente conduzida
experimentalmente e verificada em CFD para demonstrar que as mudanças no
desempenho podem ser razoavelmente previstas, baseadas principalmente no
escoamento isentrópico unidimensional (1D). Argumentos de similaridade podem ser
utilizados para demonstrar que o expoente isentrópico por si próprio é um critério de
similaridade. As características de uma turbomáquina, mesmo quando apropriadamente
adimensionalizadas poderão, em princípio, variar com o k dos fluidos de trabalho,
especialmente, a razão de pressão num dado compressor. Discute-se ainda através de
argumentos de similaridade para um gás ideal, que o desempenho de uma turbomáquina
é de fato uma função de quatro parâmetros adimensionais: velocidade específica,
coeficiente de vazão, número de Reynolds e a razão de calores específicos.
2.1.2 Método bidimensional
Introduzido comercialmente no final de 1950, o método bidimensional permitiu
aprofundar o nível de percepção dos projetistas no desenvolvimento e análise de
componentes aerodinâmicos. Ao contrário dos códigos unidimensionais, os códigos
bidimensionais requerem definição do percurso de todo o escoamento, incluindo o perfil
do cubo (hub) e da parede do compressor (shroud), bem como a definição do ângulo da
pá ou palheta e sua espessura.
O método mais comum de 2D é a abordagem de linha de corrente, que divide a
passagem do escoamento em tubos de correntes de vazão mássica constante. As
10
velocidades são calculadas com base nas curvaturas locais do perfil meridional (ou hub-
shroud) e a vazão mássica através da área do tubo de corrente. Alguns destes códigos
também são sensíveis à curvatura na direção pá a pá (blade-to-blade).
Figura 2.1 - Análise bidimensional de tubo de corrente (SOROKES e KUZDZAL,
2010).
2.1.3 Método tridimensional
A dinâmica de fluidos computacional tridimensional (CFD) é uma das técnicas
de análise mais rigorosas, que podem ser usadas para calcular o escoamento através de
componentes aerodinâmicos. Disponíveis de forma mais ampla para a indústria de
compressores industriais no final de 1980, tais códigos permitiram um grande passo na
capacidade de compreender a física do fluxo dentro do impelidor e dos componentes
estacionários (difusor entre eles), bem como as interações entre estes, (KIM et al, 2014).
As análises de CFD são realizadas usando malhas computacionais que dividem o
escoamento em pequenos poliedros (por exemplo, hexaedros ou tetraedros), equivalente
aerodinâmico à análise de elementos finitos. Consequentemente esses códigos podem,
através da discretização geométrica do componente aerodinâmico sob investigação,
proporcionar uma aproximação muito mais abrangente da física do escoamento do que
qualquer um dos métodos apresentados anteriormente. Como resultado, o uso de tais
metodologias mais sofisticadas pode levar a modelos aerodinâmicos melhores. E
portanto de desempenho superior, pois aspectos indesejáveis do campo de escoamento
podem ser identificados e eliminados ou minimizados.
11
2.2 Modelagem de Problemas em Turbomáquinas
Apesar da modelagem e simulação de escoamento em regime transiente e
tridimensional ser uma das tarefas mais exigentes computacionalmente em aplicações
de CFD, os seus efeitos podem desempenhar um papel significativo para a melhoria da
eficiência de um compressor e a redução do custo de operação pela redução no consumo
de energia. BELARDINI (2003) cita diversos métodos para a modelagem de fenômenos
temporais e tridimensionais em turbomáquinas. Basicamente, três abordagens podem
ser adotadas: Modelos estacionários, quasi-transientes e os transientes. Dentro dessas
abordagens relacionadas ao tempo, as equações de Navier-Stokes são resolvidas num
eixo rotativo tendo a discretização numérica da equação governante em volumes finitos
com célula centrada. A turbulência deve ser modelada conforme o problema
investigado, por exemplo, o tipo de componente. O autor ainda reforça que um modelo
de turbulência robusto é fundamental para entender o desenvolvimento da camada
limite e do efeito de interações viscosas e na taxa de transferência de calor para modelar
adequadamente o escoamento.
VASSILIEV et al (2005) sumarizam a experiência acumulada por um dos
principais fabricantes de turbomáquinas em simulação CFD através das seguintes
etapas: I) Validação do modelo numérico: Os modelos turbulentos são apresentados e a
escolha dentre as diversas opções é discutida; II) Automação do cálculo numérico: A
malha escolhida desempenha um papel crucial nos resultados da modelagem e III)
Exemplos de aplicação. Na escolha do modelo turbulento mais apropriado, os autores
subdividem o escoamento em três tipos básicos: Camada limite em uma placa plana,
difusores simétricos e jatos simétricos. Esses escoamentos básicos permitem verificar a
precisão dos modelos regiões importantes, como a camada limite próxima à parede,
zonas de separação (difusores) e camadas cisalhantes (shear layers). Os modelos usados
foram os seguintes: Modelo k-ε, Modelo k-ε RNG, Modelo Spalart-Allmaras e
Realizável k-ε.
A modelagem da turbulência possui um papel chave nas simulações em
fluidodinâmica computacional, (MENTER, 2003). O autor descreve a influência das
formulações dos modelos de turbulência em aplicações de turbomáquinas, ressaltando
que diferem substancialmente para os diversos tipos de máquinas. Ressalta ainda que,
todos os tipos de máquinas têm encontrado situações onde a formulação e aplicação
12
adequada do modelo de turbulência foi um fator-chave na previsão precisa das
características da máquina. Escoamentos com maior sensibilidade à modelagem da
turbulência e a sua adequada aplicação são escoamentos com transferência de calor. Um
exemplo é o escoamento em torno das paletas de uma turbina, com ou sem filme de
arrefecimento. Usualmente, os escoamentos em turbomáquinas encontram todos os
efeitos complexos para os quais a adequada formulação, seleção e aplicação de modelos
de turbulência são importantes: Camada limite com gradiente de pressão adverso e
separação, interação choque-camada limite, pontos de estagnação, transição laminar-
turbulento, vórtices e escoamentos transientes. Neste artigo o autor sugere para
escoamentos com gradientes de pressão adversos e separação induzida por pressão, não
utilizar o modelo k- ε. Os modelos mais avançados, como o Spalart-Allmaras ou o
modelo SST fornecerão respostas mais realistas, além disso, recomenda-se atenção com
os escoamentos em regiões de estagnação.
KIM (2006) apresenta uma simplificação da equação apresentada por SPAN e
WAGNER (1996) usando a mesma equação fundamental de Helmholtz para energia
livre. A equação de estado de Span e Wagner contém 42 termos, entre eles, oito termos
com exponenciais complexas, que a torna difícil para a computação. O procedimento de
simplificação é feito a partir de um conjunto incial de termos selecionados de forma
arbitrária, onde um algoritmo de busca procura por um melhor conjunto de termos
seguido por trocas com os não escolhidos. Os novos termos são novamente escolhidos
aleatoriamente, após certo número de tentativas que aumentam o número de termos para
intercâmbio. Assim, a equação de estado que incialmante possuia 42 termos, após
otimização, é reduzida a 30 termos. Comparando os resultados dessa equação otimizada,
em termos da média dos erros em três regiões, obteve-se a seguinte conclusão: A
equação de estado de Span e Wagner apresenta o melhor desempenho nas regiões de gás
e líquido, mas na região crítica a previsão de KIM é superior. Sabendo-se que o objetivo
da equação de Span-Wagner é prever com precisão as propriedades na região crítica, a
metodologia apresentada neste artigo é promissora.
Uma previsão acurada no desempenho aerotermodinâmico do compressor
centrífugo é essencial no estabelecimento das condições de teste para verificação e
aceitação de um novo equipamento para operação continua. SANDBERG (2005)
compara os resultados obtidos num teste de plena carga, conforme ASME PTC-10
(1997) Tipo 1 em fábrica, contra os resultados previstos por diferentes equações de
estados numa ampla gama de condições de pressão e temperatura. Os resultados desta
13
investigação demonstraram que algumas equações de estado oferecem melhor previsão
das propriedades termodinâmicas e dos parâmetros de desempenho do compressor
quando comparado a outras. Sabe-se que as propriedades do gás a pressões
relativamente baixas na região de alta temperatura para a direita do envelope de fase,
deverão ser muito próximas às de um gás ideal para a maioria dos gases. Com o
aumento da pressão, no entanto, essas propriedades tendem a desviar-se do
comportamento ideal e uma equação de estado para o gás real é necessária, para prever
com precisão diversas propriedades termodinâmicas. As equações de estado avaliadas
pelo autor foram: Redlich-Kwong (RK), Benedict-Webb-Rubin-Starling (BWRSE)
modificado por Lin e Hopke, Lee-Kesler (LKP) modificado pelo Plocker, e Peng-
Robinson (PR). Das quatro equações de estado examinadas, as equações BWRSE e
LKP proporcionaram predições superiores às equações de estado de PR e RK para uma
grande variedade de gases e misturas de gases, através de uma vasta gama de pressões
reduzidas e temperaturas. Embora esta avaliação esteja limitada a moléculas
relativamente simples, não polares, é válida para um grande número de aplicações
industriais, em particular as que envolvem hidrocarbonetos leves.
YAN et al (2010) analisa a importância do conhecimento das propriedades
pressão-volume-temperatura na concepção e funcionamento de muitos processos
envolvidos na captura e armazenamento de CO2. Os autores fizeram uma pesquisa
bibliográfica para os dados experimentais disponíveis e os modelos teóricos associados,
com as propriedades termodinâmicas de misturas de CO2. Foram identificadas algumas
lacunas entre os dados experimentais disponíveis e os requisitos de projeto e operação
do sistema. Os autores identificaram ainda que os dados experimentais disponíveis para
as misturas multicomponentes de CO2 também são escassos. Muitas equações de estado
estão disponíveis para cálculos termodinâmicos de misturas de CO2: As equações
cúbicas de estado tem a estrutura mais simples e são capazes de resultados razoáveis
para as propriedades do gás, tal como Peng-Robinson; Equações mais complexas de
estado, tal como Lee-Kesler, normalmente dão melhores resultados para a propriedade
de volume, mas não necessariamente na região de equilíbrio líquido-vapor.
A pesquisa realizada nos laboratórios de turbomáquinas tem dois objetivos
principais: (I) melhorar a eficiência de máquinas de alta velocidade de rotação e (II)
aumentar a confiabilidade do sistema. BOYCE et al (1976) abrangem ambas as áreas,
com destaque para as melhorias nas características de compressores centrífugos com as
várias técnicas desenvolvidas nos laboratórios, para descrever o escoamento em
14
impelidores centrífugos. Embora extremamente difícil de entender, o escoamento em
impelidores é uma área muito importante da pesquisa para elevar o desempenho do
compressor. Ressalta-se que a eficiência do compressor tem forte influência sobre a
seleção do acionador desta máquina. A limitada compreensão do escoamento no
impelidor é uma grave desvantagem no projeto do compressor e este deve ser
particularmente entendido quando altas taxas de compressão por estágio, alta eficiência,
e grandes margens entre surge-“stall” forem desejadas na operação da máquina. Os
métodos teóricos falham na análise do escoamento próximo as regiões críticas do
impelidor, tais como topo e bordas de pás e pontos de reversões de escoamento, por
serem locais de maior incidência de perdas.
2.3 Desempenho de Turbomáquinas com CO2
PECNIK e COLONNA (2011) apresentam um estudo de CFD tridimensional
para um compressor centrífugo operando com CO2, em região termodinâmica
ligeiramente acima do ponto crítico. A geometria investigada é baseada no compressor
experimental da Sandia National Laboratories, Albuquerque, Novo México. O projeto
aerodinâmico de turbomáquinas, operando na região próxima ao ponto crítico pode ser
beneficiado pelas simulações de escoamento de alta fidelidade. No artigo, a equação de
estado de Span e Wagner foi escolhida para obter as propriedades termodinâmicas
necessárias do CO2 supercrítico. O número de parâmetros desta equação de estado
permite cálculos precisos de todas as propriedades termodinâmicas relevantes, com a
maior precisão possível, o que é necessário para o projeto e análise em aplicações
técnicas avançadas, bem como para fins científicos. Embora estas equações sejam muito
complexas e dispendiosas computacionalmente para uma solução de uso geral de
Navier- Stokes. No experimento apresentado, o comportamento fortemente não-ideal do
CO2 na região supercrítica foi estudado por um modelo de RANS (Reynolds-Averaged
Navier-Stokes), em malhas poliédricas arbitrárias não estruturadas baseadas em volumes
finitos com integração de tempo implícita.
O trabalho apresentado por KAWASHIMA et al (1994) descreve o projeto de
um compressor de CO2 para uma planta de fertilizantes para pressão de 182 bar. Foram
destacados alguns desafios em sua consecução particularmente a alta densidade do gás.
Portanto, desde que o estado do gás ao final da compressão esteja próximo do ponto
15
crítico a avaliação das propriedades do gás nesta zona é considerada difícil de realizar
com boa precisão. No caso particular de um compressor para serviço de CO2, onde o
gás pode se tornar muito denso na descarga com a densidade em torno de um terço da
água, é necessário levar em consideração os efeitos de inércia e amortecimento do
fluido semelhantemente ao tratamento de uma bomba. Esta abordagem, segundo os
autores, é para se evitar um grande erro na estimativa das frequências naturais no
projeto do impelidor.
KIM et al (2014) avaliam um escoamento tridimensional dentro do difusor e
rotor de um compressor centrífugo com a intenção de analisar a eficiência e razão de
pressão desta máquina através de algumas variáveis desse escoamento, tais como
velocidade, pressão e viscosidade. O intuito dos autores foi investigar as principais
causas que explicariam o potencial ganho de eficiência na operação próxima ao ponto
crítico, quando comparado com outras possíveis regiões de operação distantes a este
ponto. Com este intento, dois pontos experimentais foram simulados através de
ferramenta computacional comercial CFX: um ponto distante do ponto crítico, Caso 1
(83 bar e 313,2 K), para evitar a forte variação no valor das propriedades e outro
próximo ao ponto crítico, Caso 2 (74,5 bar e 305, 7 K), num compressor com baixa
velocidade de rotação (4620 RPM) e razão de pressão (1:1,1 – 1:1,2). Os modelos de
turbulência adotados foram k-ε e k-ω SST com intensidade de turbulência de 5%. Um
esquema de segunda ordem foi usado para o termo advectivo e a convergência foi
alcançada para um resíduo de 10-4. A malha utilizada sobre o difusor e o rotor foi
composta por elementos do tipo tetraédrico totalizando cinco milhões de elementos
aproximadamente, e refinada próxima à parede para um intervalo de y+ entre 30 e 100.
A validação da análise numérica foi efetuada pela simulação de água como fluido de
trabalho e os resultados comparados com os dados experimentais fornecidos pelo
fabricante do compressor. Os erros de simulação obtidos foram apresentados dentro dos
seguintes intervalos: para eficiência entre 2,5 e 9,5% e para o head 7,9% e 10,3%. O
fator de compressibilidade calculado pelo NIST REFPROP nas condições de admissão
do Caso 1 e Caso 2 demonstra o comportamento intermediário do CO2 supercrítico
entre limites compressíveis e incompressíveis. É possível concluir dos resultados dos
casos simulados que o fluido próximo ao seu ponto crítico apresentou um valor inferior
para o fator de compressibilidade, próximo ao de um escoamento incompressível,
desejável para aplicação em ciclos de potência de redução no trabalho de compressão.
16
MONJE et al (2014), utilizando um compressor centrífugo, abordam aspectos de
projeto com objetivo de elevar a eficiência de operação de seus diversos componentes:
difusor, indutor, impelidor e voluta. A pesquisa utilizou a ferramenta de CFD ANSYS
FLUENT® para análise de um escoamento de CO2 unidimensional (1D) e
tridimensional (3D) neste equipamento. A escolha das condições de entrada recebeu
especial tratamento, pois a proximidade ao ponto crítico pode causar na entrada do
impelidor uma condição de saturação que é indesejável aerodinamicamente pela perda
de carga e mecanicamente pelo desgaste acelerado de diversos componentes. Um
número de Mach de referência é obtido isentropicamente para se identificar o estado
ideal onde a condensação possa ocorrer. Este número de Mach é, portanto, identificado
como Margem de Aceleração para a Condensação. A simulação utilizou a pressão
estática de 75 bar e temperatura de 40 oC como condições de contorno na entrada e o
modelo de turbulência de k – ω SST por ser mais apropriado para modelar o gradiente
de pressão adversa com o devido refinamento de malha na região da parede para y+≈1.
A simulação no artigo utilizou a abordagem do Plano de Simples Referência (Single
Reference Frame - SRF), onde o domínio fluido é unido a um plano de referência
relativa com dada rotação e deslocamento das fronteiras da parede.
RINALDI et al (2014) destacam o recente interesse nos projetos de
turbomáquinas operando com gases de comportamento não ideal e a limitação da
análise unidimensional (1D), usualmente utilizada nas fases preliminares no projeto da
máquina. Uma adequada análise do campo de escoamento permite melhorar a
aerodinâmica da pá e consequente desempenho deste equipamento. O artigo propõe
metodologias para simulação de escoamento compressível tridimensional através de
fluidodinâmica computacional para um compressor conhecido operando dentro de uma
faixa de rotação de 45 kRPM a 55 kRPM, tendo em vista as dificuldades na análise e
simulação do escoamento pela variação não linear das propriedades termofísicas na
região do ponto crítico. Os autores utilizaram código numérico de desenvolvimento
próprio, baseado em formulação de volume finito central de malha poliédrica não
estruturada. Na modelagem do escoamento foi considerado o regime permanente, a
discretização é efetuada nas equações em suas formas de conservação, aonde as parcelas
convectivas utilizam esquemas de interpolação least-squares gradient com precisão de
segunda ordem. O fechamento do sistema de equações utiliza o modelo de turbulência
k-ω SST padrão para as máquinas. Para reter o comportamento real do fluido foi
acoplada a equação de estado de Span-Wagner por sua elevada precisão na região
17
investigada pelos autores. A topologia de malha estruturada do tipo O foi utilizada na
região em torno da pá com refinamento de malha na região das paredes para um y+ igual
a um (1), e uma malha não estruturada do tipo prismática no restante do domínio.
Apesar da possibilidade de condensação e por falta de um modelo de nucleação acurado
próximo ao ponto crítico, o modelo de única fase foi adotado.
Tendo o objetivo de avaliar a precisão do valor das propriedades termodinâmicas
usadas para projeto, operação e modelo de validação de um ciclo fechado de Brayton de
CO2 para propulsão de embarcação, CLEMENTONI e COX (2014) propõe uma
comparação entre os valores calculados por NIST REFPROP, que implementa
correlações desenvolvidas por SPAN e WAGNER (1996), e valores obtidos
experimentalmente de uma bancada de teste. Devido à sua importância para o projeto do
compressor de CO2 e seu impacto na eficiência desse ciclo termodinâmico, a densidade
no ponto crítico foi a principal propriedade calculada e aferida no trabalho. O
procedimento adotado foi testar 25 pontos no diagrama temperatura-entropia (T-S) do
CO2. Entre estes pontos 15 foram aferidos abaixo de 42 oC. Na sucção do compressor
foi adotado um intervalo de temperaturas entre 36 e 41 oC e pressão entre 83,7 e 97,8
bar. A diferença entre a densidade calculada através do REFPROP e a aferida variou
entre -2% e 3%, com a maior diferença ocorrendo na região próxima à linha pseudo-
crítica (6,9 bar abaixo do ponto crítico) onde 11 pontos apresentaram diferença superior
a 1,5%. E, a densidade no ponto crítico (31,9 oC e 74,1 bar) foi mensurada em 3%. Na
região superior ao ponto crítico foi verificado que os valores preditos para a densidade
estiveram acima de 2% dos valores experimentais.
Os diferentes objetivos de estudo servem para orientar na escolha da melhor
metodologia de análise fluidodinâmica num compressor centrífugo, pois mesmo
considerando um técnica menos acurada ZHAO et al (2014) optam por uma abordagem
unidimensional na otimização de um projeto mecânico e fluidotérmico de um impelidor
e difusor operando com CO2. A modelagem unidimensional desse compressor foi
acoplada ao banco de dados do NIST REFPROP para obtenção das propriedades dessa
substância numa sub-rotina de programação. Os autores utilizam o mesmo código
numérico utilizado por RINALDI et al (2014) para uma malha não estruturada com
topologia do tipo O-H sendo O em torno da pá e H no restante do domínio. O
refinamento de malha indicou que número superior a 900.000 elementos não apresenta
diferença de resultados significativos e na região próxima de parede um ajuste de malha
para y+ entre 20 e 50. O modelo de turbulência utilizado foi k-ε e as condições de
18
entrada para pressão estática em 70 bar e temperatura estática 305 K para uma pressão
máxima de descarga de 150 bar. O número de Mach variou entre 0,4 e 0,6 e foi
monitorado para acompanhamento das regiões com potencial de condensação pela
aceleração e consequente queda de pressão localizada, tal como, ocorre no bordo de
ataque e no bordo de fuga da pá.
19
CAPÍTULO 3 MODELAGEM MATEMÁTICA
O problema a ser estudado consiste em modelar o escoamento num impelidor
aberto de compressor centrífugo, conforme ilustrado pela figura 1.1. Será utilizado o
Método de Volumes Finitos e através desta simulação serão calculados os parâmetros
na sua descarga. A solução será comparada com o resultado dos modelos de turbulência
k-ω SST e k-ε e as equações de estado de Peng-Robinson e Span-Wagner.
3.1 Equações Governantes do Problema
3.1.1 Equações de conservação
As equações de conservação foram adaptadas para um sistema não inercial de
coordenadas que é o mais conveniente para rotores de turbomáquinas. As vantagens
deste sistema são as seguintes: O escoamento relativo é permanente na maioria dos
casos, as condições de contorno são fáceis de serem aplicadas e o perfil de velocidade e
camada limite são similares aos observados num sistema estacionário.
Figura 3.1 - Sistemas de coordenadas para um corpo em rotação (BAUNGARTNER,
2008).
20
De acordo com este sistema de coordenadas é possível projetar a velocidade
absoluta em duas componentes: velocidade relativa à pá e a velocidade
tangencial, de acordo com a figura abaixo:
Figura 3.2 - Triângulos de velocidade na entrada e saída do impelidor (ROMUALDO,
2011).
Portanto, as equações de conservação da massa (3.2), de momento linear (3.3) e
de energia (3.4) são expressas em termos de velocidade relativa e velocidade
tangencial , conforme abaixo:
= + , (3.1)
Com,
= × = . (3.1.1)
Resultando nas seguintes equações de conservação em notação indicial:
+ = 0 . (3.2)
+ + 2 + !! − ##= − $ + %& ' + − 23 )*
, (3.3)
e,
+,+- = −$./ + 0/1 + 2 + 3 ∙ 56-3-7 + 89:; . (3.4)
21
Com,
/ = , (3.4.1)
2 = 2&<< , (3.4.2)
< = 12' + ) − 13/ . (3.4.3)
Onde Pe é a pressão estática, k(T) a condutividade térmica e 89:; a transmissão energia
via radiação. O termo K∆2, representa a dissipação mecânica, e ρΦ, a dissipação de
energia mecânica em calor por deformação (atrito). O termo ∆ é conhecido como tensor
de expansão isotrópica e Sij taxa de deformação desviatório.
Observa-se na equação da quantidade de movimento (3.3) que esta mudança no
sistema de coordenadas evidencia dois novos termos !! − ##e 2sendo estes as pseudo forças Centrífuga e Coriolis, respectivamente. A
‘‘força” Centrífuga pode ser equivalente em seus efeitos a contribuição da pressão, em
um fluido com massa específica uniforme num escoamento permanente e não viscoso,
(BATCHELOR, 1967). Conforme demonstra LAKSHIMINARAYANA B. (1996), a
“força” de Coriolis introduz o gradiente de pressão assim como o gradiente de
velocidade na direção tangencial do compressor centrífugo. Como ilustração para o
efeito de Coriolis, considera-se o vetor de velocidade angular apontando para fora da
superfície no hemisfério norte com uma partícula em viagem para o hemisfério norte
tendendo a ser desviada de sua direção para direita, figura 3.3. Enquanto numa viagem
em direção ao hemisfério sul sua direção seria desviada para a esquerda.
Figura 3.3 – Representação do efeito de Coriolis (KUNDU e CHOEN, 2004).
22
O escoamento ao longo dos impelidores centrífugos é de natureza compressível,
logo se torna necessária ainda uma equação de estado que relacione a massa específica
com a pressão e a temperatura. Tendo a massa específica variação considerável com a
pressão, então a equação de estado, que relaciona a massa específica com a temperatura
e a pressão, é a equação empregada para o fechamento do problema. A equação de
estado é então a equação evolutiva para a pressão, enquanto que a equação da
continuidade o é para a massa específica. Neste caso, a temperatura é obtida a partir da
equação da conservação de energia e o campo de velocidades calculado das equações de
conservação da quantidade de movimento para cada direção, BAUNGARTNER (2008).
3.1.2 Equações de estado
Uma equação de estado representa a expressão matemática que define a relação
entre as propriedades pressão (P), temperatura (T) e volume (V) de um fluido. A partir
de uma das grandezas é possível obter informações como função das outras duas. A
equação de estado que possui menor grau de complexidade é a equação dos gases
ideais, que é um modelo mais simples vindo da teoria cinética para analisar o
comportamento de um gás:
$ = >- . (3.5)
Um gás é composto por partículas (moléculas, átomos, elétrons, etc), que
possuem movimento aleatório de maior ou menor intensidade. Devido à estrutura
eletrônica dessas partículas, um campo de força é gerado por cada partícula permeando
o espaço ao seu redor provocando uma interação entre elas. A força resultante dentro
deste campo é chamada de força intermolecular, (ANDERSON, 1991). No entanto, se
as partículas de gás estão suficientemente afastadas, a influência das forças
intermoleculares é pequena e pode ser desprezada, por exemplo, gases com estados
distantes e abaixo do seu ponto crítico, BEJAN (1988). Com este comportamento, o gás
recebea denominação de gás ideal. Entretanto, muitos gases se desviam da idealidade
em virtude do volume que o mesmo ocupa e das interações intermoleculares que
exercem. Quando um gás se desvia da idealidade, não podem ser desprezadas as forças
de interação atrativas e repulsivas que contribuem para alterações do seu estado. As
23
forças repulsivas contribuem para a expansão do gás e as forças atrativas contribuem
para a sua compressão, influenciando nos valores das variáveis pressão e volume,
(QUAGLIANO e VALLARINO, 1979).
Figura 3.4 – Diagrama de fases de CO2, (KIM et al , 2014).
O presente trabalho avaliará o comportamento do CO2 através de três equações
de estado conforme será descrito a seguir:
(i) Peng-Robinson
Desde o aparecimento da equação de Van der Waals em 1873, vários autores
propuseram variações para esta relação semiempírica. Equações semiempíricas de
estado geralmente expressam a pressão como soma de dois termos, a saber, pressão PR
de repulsão e pressão de atração PA:
$ = $? + $@ . (3.6)
A equação de Van der Waals é um exemplo com termo da pressão de repulsão por:
$? = >-A − B . (3.7)
A pressão de atração pode ser expressa como:
$@ = − CDA . (3.8)
24
Em que g(v) é uma função do volume v molar e a constante b o volume de
exclusão de uma esfera sólida imaginária empregada para representar um átomo. O
parâmetro a pode ser considerado como medida da força de atração intermolecular.
Peng e Robinson em 1976 publicaram um artigo onde apresentaram uma nova
equação de estado cúbica, que quando devidamente expandida contém termos de
volume de primeira, segunda e terceira potência:
$ = >- − B − EC + B + B − B (3.9)
que pode ser reescrita:
FG − 1 − HF1 + I − 3H1 − 2HF − IH − H1 − HG = 0 (3.10)
onde
C = 0,45724>1-N1$N B = 0,07780>-N$N
E = %1 + 6 '1 − -?PQ)*1
6 = 0,37464 + 1,5422S− 0,26992S1
I = C$>1-1 H = B$>- F = $>-
PENG e ROBINSON (1976) descrevem ainda em seu artigo que no estudo das
equações semiempíricas tendo a forma da equação de Van der Waals, a escolha de uma
função apropriada para g(v) torna a previsão do fator de compressibilidade crítico
próximo a um valor mais realista.
A aplicabilidade da equação 3.9 a pressões muito elevadas é afetada pela
magnitude de b/vc (no denominador do primeiro termo), onde vc é o volume crítico
previsto. É evidente que o tratamento do fator de escala adimensional para o parâmetro
de energia k como uma função do fator acêntrico ω em adição a temperatura reduzida
TR, melhora significativamente o prognóstico de pressões de vapor para uma substância
pura e, consequentemente, as relações de equilíbrio para as misturas.
O fator acêntrico ω é utilizado para modelar adequadamente o comportamento
termodinâmico de gases com estruturas moleculares complexas, representado através do
nível de esferecidade do campo de força e polaridade da partícula fluida, (BEJAN,
1998). Esse parâmetro permite avaliar se o comportamento de um determinado fluido se
desvia do princípio dos estados correspondentes. Conforme demonstrado por
25
WHILHEMSEN et al (2011), a equação de Peng-Robinson possui boa acurácia na
previsão das propriedades de CO2 frente à equações desenvolvidas específicamente para
esse gás, tal como Span-Wagner.
(ii) Span-Wagner
SPAN e WAGNER (1996) investigaram a qualidade da descrição da
propriedade volume molar utilizando algumas equações de estado desenvolvidas até
àquela época e concluíram que nenhuma das equações estudadas descreviam o
comportamento do CO2 de forma satisfatória no ponto crítico, (LEAL, 2012). Diante
desta constatação, desenvolveram uma nova equação explícita em termos da energia
livre de Helmholtz, na sua forma adimensional, para descrever o comportamento de
propriedades termodinâmicas como volume, entalpia, entropia, calores específicos etc:
E, U = EV, U + E9, U , (3.11)
Com,
E = I, ->- . (3.12)
Os primeiros termos do lado direito da equação acima representam a
contribuição do gas ideal, denotado pelo sobrescrito(0), e a contribuição residual do
fluido através do sobrescrito(r). As duas vairáveis independentes são a massa específica
reduzida δ e o inverso da temperatura reduzida τ, (BALTADJIEV, 2012).
= N , (3.13)
U = -N- . (3.14)
A expressão da parte ideal é:
EV, U = ln + CYV + C1VU + CGV ln U +ZCV ln [1 − ,\] _ abcd . (3.15)
E a expressão da parte residual é:
E9, U = ∑ f;_Ug_hgcY +∑ f;_Ug_,\ijGdgcb +∑ f;_Ug_,\k_i\l_Q\m]\n_QGogcGp +∑ f∆r_Ug_,\s_i\YQ\t_9\YQd1gcdV . (3.16)
26
Os coeficiente CV, uV , f , C, B , v, I, H, w ,+ e outros podem ser encontrados
no artigo original de Span e Wagner. Os últimos termos (n=40 à 42) representam o
efeito do ponto critico, com ∆ sendo uma função exponencial que amortece a sua
influência fora da região crítica e possui a expressão:
∆= x1 − U + I5 − 117 PQyz1 + H5 − 117:_ . (3.17)
SPAN e WAGNER (1996) revisaram os conjuntos de dados disponíveis sobre as
medições das propriedades do CO2 que datam de 1903, e os dividiu em três categorias:
conjuntos de dados utilizados para o desenvolvimento de correlações empíricas,
conjuntos de dados adequados para a comparação e os conjuntos de dados que não
atendam aos níveis exigidos de incerteza (ou o nível de incerteza não pôde ser
determinada). Isto assegura que a formulação resultante pode modelar propriedades
derivadas, sem diminuir a precisão devido ao inadequado tratamento dos dados,
(BALTADJIEV, 2012).
(iii) Lee-Kesler
A mecânica estatística mostra que a equação de estado de um gás real para
pressões não muito elevadas, pode ser expressa por uma série de potências de 1/Vm. Os
coeficientes são chamados de coeficientes viriais e são obtidos a partir de dados
experimentais, conforme exemplo abaixo:
F = $>- = 1 + H + w1 . (3.18)
Lee-Kesler calcula Z como uma função de temperatura reduzida (Tr) e pressão
reduzida (Pr). A expansão virial calcula o fator de compressibilidade utilizando uma
expansão da série infinita de cada termo, que representa não-idealidades específicas. Na
maioria dos casos, a expansão virial é truncada após o segundo ou treceiro termo, na
qual B e C são as espécies de funções específicas de temperatura. A baixa pressão, o
termo final (C/V2), geralmente, pode ser removida sem perda significativa de precisão.
BALTADJIEV (2012) propôs um modelo baseado na equação de estado de Lee-
Kesler, cujo objetivo foi melhorar a precisão dos modelos de gases reais existentes,
particularmente em regiões de vapor superaquecido e de líquido sub-resfriado. O
modelo baseia-se nos três parâmetros do princípio dos estados correspondentes, onde as
27
propriedades termodinâmicas são representadas como uma função linear do fator
acêntrico à temperatura constante reduzida Tr = T/Tc, e pressão reduzida Pr = P/Pc. O
fator acêntrico é um parâmetro adimensional que serve como uma medida para a “não
esfericidade” da molécula de uma dada substância. A forma da função do fator de
compressibilidade é:
F = FV + SS9 F9 − FV . (3.19)
O fator de compressibilidade verdadeiro do fluido Z é a soma do fator de
compressibilidade de um fluido simples, denotada por Z(0) com fator de
compressibilidade de um fluido de referência Z(r). Os termos Z(0) e Z(r) são representados
pela mesma equação derivada empiricamente, em termos de pressão e temperatura
reduzida, mas com diferentes conjuntos de coeficientes. A forma geral da equação é:
F9 = $9A9-9 = 1 + HA9 + wA91 + +A9p + |d-9GA91 v + ~A91 ,\Q . (3.20)
Com,
A9 = NA>-N -9 = --N 9 = N H = BY − B1-9 − BG-91 − Bd-9G w = |Y − |1-9 + |G-9G
+ = Y + 1-9
3.2 Dióxido de Carbono (CO2)
É possível verificar o aumento no interesse de estudar a operação de
turbomáquinas com dióxido de carbono (CO2) como fluido de trabalho, através do
elevado número de artigos apresentados versando sobre o tema no último ASME TUBO
ocorrido em Düsseldorf na Alemanha em 2014 (simpósio de referência para
equipamentos dinâmicos no mundo). Um dos principais objetivos em estudar a
operação, projeto e teste de máquinas com este fluido de trabalho deve-se, por exemplo,
ao crescente interesse em utilizá-lo para ciclos termodinâmicos de potência.
O ciclo de potência de CO2 supercrítico é considerado um dos mais promissores
sistemas de geração de potência elétrica na atualidade, por apresentar elevada eficiência
28
em moderadas temperaturas e compacidades. Com um fluido de trabalho não tóxico,
não inflamável e de versátil aplicação, o ciclo poderia ser usado nas áreas de energia
solar, nuclear e termelétrica, (MONJE et al, 2014). A elevada eficiência é possível
devido ao pequeno trabalho de compressão exigido, quando comparado a outros ciclos
de potência, devido à elevada densidade do fluido no ponto crítico. Uma das principais
desvantagens desse sistema é a baixa eficiência das turbomáquinas (65% contra 80%
tipicamente alcançado por um compressor centrífugo) quando empregadas para o
serviço de compressão de CO2 nas condições necessárias de temperatura e pressão
próximas ao ponto crítico. Um específico desenvolvimento no projeto dessa máquina
pode ser decisivo para o avanço neste ciclo de geração de potência, (RINALDI et al,
2014).
3.2.1 Comportamento de gás real
O estado não ideal de um fluido dá origem a um conjunto de propriedades
derivadas que impactam nas equações que regem um escoamento compressível
(BALTADJIEV et al, 2014). A análise do comportamento destas propriedades pode
ajudar a entender diversos fenômenos envolvendo um gás real fornecendo, por exemplo,
informações sobre o processo de compressão desse gás, tais como as derivadas parciais
de Z em relação à pressão (p) e temperatura (T) que determinam as propriedades de
compressibilidade isotérmica e isobárica de um fluido submetido a esse processo
termodinâmico:
v = −1A A = 1 − 1F F = 1 (3.21)
e,
v = −1A A- = 1- − 1F F- .(3.22)Também são úteis para explicar o comportamento do gás real através da entalpia ℎ = -, e energia interna = -, A, respectivamente, (BEJAN, 1988):
ℎ = w - + A1 − v- (3.23)
29
e,
= w - + 'v-v − 1)A .(3.24)Pode-se notar destas relações que se o fator de compressibilidade Z em relação à pressão
e temperatura não é constante, tanto a entalpia quanto a energia interna do gás real não
dependem mais apenas da temperatura, possível no modelo para gás ideal.
3.2.2 Estimativa de propriedades do CO2
O valor das propriedades do gás é fator determinante para a correta análise do
processo termodinâmico. Diversas ferramentas estão disponíveis no mercado para
auxílio nesta tarefa, entre elas, o REFPROP (acrônimo de REFerence fluid PROPerties).
Esta ferramenta foi desenvolvida pelo National Institute of Standards and Technology
(NIST) para calculas as propriedade termodinâmicas e de transporte dos mais
importantes fluidos e suas misturas em uso na indústria. Essas propriedades podem ser
apresentadas em forma de tabelas ou gráficos, ou mesmo, obtidas através de sub-rotinas
programáveis em FORTRAN.
O REFPROP usa três modelos para os cálculos das propriedades
termodinâmicas da substância pura: Equação de estado de energia de Helmholtz, a
equação de Benedict-Webb-Rubin modificada e um modelo de estado de
correspondência. Enquanto, por exemplo, a viscosidade e a condutividade térmica são
ainda modeladas com correlações específicas do fluido. A precisão dos valores obtidos
através deste programa foi objeto do artigo de CLEMENTONI e COX (2014), e
discutido na revisão bibliográfica desta dissertação.
É oportuno ainda observar que o ANSYS FLUENT®, programa utilizado nas
simulações computacionais para este trabalho, permite habilitar em sua biblioteca o
REFPROP através de “User-Defined Functions” (UDF´s), que será mencionada no
capítulo 5, para execução de simulações de gases reais que, em especial para o dióxido
de carbono (CO2), ainda utiliza a equação de estado de Span-Wagner para os seus
cálculos.
30
3.2.3 Comportamento das propriedades do CO2
Todo fluido possui um ponto crítico termodinâmico, a determinada pressão e
temperatura, onde a distinção entre vapor e líquido desaparece, FATIMA (2010).
Qualquer fluido que esteja submetido acima desse ponto de pressão e temperatura é
chamado de fluido supercrítico. As mais significativas variações de propriedades
ocorrem nesta região. Por exemplo, o calor específico que experimenta um forte
crescimento localizado, figura 3.5, com o seu pico de máximo valor para o CO2 sendo
suavizado logo após a pressão e temperatura crítica. Nota-se ainda que, tanto para altas
quanto para baixas pressões e temperaturas em relação ao ponto crítico, a propriedade
demonstra uma tendência para o comportamento de gás ideal, ou seja, é possível medir
a sua variação em função somente da temperatura.
Figura 3.5 – Variação do calor específico com a temperatura e pressão de CO2
(FÁTIMA, 2010).
Semelhante comportamento é também observado tanto para a condutividade
térmica figura 3.6, quanto para a viscosidade molecular, figura 3.7, que possuem
significativas alterações no ponto crítico. A medida que a pressão se afasta da pressão
crítica esta alteração nas propriedades é mitigada, (FÁTIMA, 2010).
31
Figura 3.6 - Variação da condutividade térmica com a temperatura e pressão de CO2
(FÁTIMA, 2010).
Figura 3.7 - Variação da viscosidade molecular com a temperatura e pressão de CO2
(FÁTIMA, 2010).
Diante do comportamento anômalo apresentado nas figuras 3.6 e 3.7, constata-se
que as equações clássicas de estado não conseguem descrever as propriedades de CO2
em torno da região do ponto crítico. Suas estruturas analíticas são incapazes de
representar esse comportamento. Por esta razão, um esforço foi feito para desenvolver
32
equações especiais de estado para a região de ponto crítico. Uma descrição apresentada
por BEJAN (1988) discute a modelagem dessa região através de duas equações de
estado distintas: uma cobrindo a região não crítica F(T,ρ) e a outra descrevendo a região
crítica F(P/T)(1/T,µ/T), onde F denota a função de Helmholtz de energia livre e µ o
potencial químico. Uma importante característica é que ambas as variáveis
independentes são iguais nas fases coexistentes. A função é dividida em uma parte
regular (P/T)b e outra não analítica (P/T)s. Ao mesmo tempo assume-se que (P/T)s é
exclusivamente influenciada pela anomalia de ponto crítico. Introduzindo novas
variáveis r e θ (parâmetros de escala) em vez de 1/T e µ/T, definidas nas seguintes
relações:
&-~mi1 − u1 (3.25)
e
1- + | &- ~1 − B1u1 .(3.26)
A parte (P/T)s fica
- ~1\∝Yu + 1\k∆1u ,(3.27)Aqui, b e c são parâmetros livres, enquanto ∆, β, δ e α são os expoentes do ponto crítico,
desenvolvidos observando-se para modelagem o comportamento exponencial
apresentado na região crítica, figura 3.5. A estrutura da equação 3.27 é semelhante à
utilizada por SPAN e WAGNER e é tida como uma das mais robustas para descrição do
comportamento do CO2. A equação de estado é completamente definida se alguns
parâmetros forem conhecidos: Expoente universal ∆ e dois outros expoentes do ponto
crítico, por exemplo, δ e α. Além dos valores ρc, Pc and Tc do fluido. Tendo estas
informações, as propriedades cp, cv, ρ, hfg, pressão de vapor e a velocidade do som
podem ser derivadas.
(i) Condutibilidade térmica (k)
Utiliza-se para correta previsão de seu comportamento o modelo de duas
equações
6, - = 6r, - + 6, U ,(3.28)
33
onde o termo kb não sofre qualquer anomalia no ponto crítico e é determinado por
extrapolação na região longe do ponto crítico. A parte ks descreve exclusivamente a
elevação no ponto crítico, sendo representada pela lei de potência:
6N , U = IU\ ,(3.29)Onde A é um coeficiente da lei de potência e ψ um coeficiente de ponto crítico. Os
resultados experimentais concordam bem com as previsões teóricas desse modelo,
(BEJAN, 1988).
(ii) Compressibilidade isotérmica (βT)
O ponto crítico de uma substância pura é definido matematicamente por:
A = 0 ,(3.30)e
'11A) = 0 .(3.31)A compressibilidade isotérmica (βT) é uma das propriedades mais importantes para
previsão de comportamento incomum em condição supercrítica. Esta propriedade possui
significativa importância para o serviço de compressão, pois um fluido de trabalho num
dado estado com alto valor de βT indica que grandes flutuações de massa específica
podem ser geradas, a baixo custo de energia. Ou seja, do ponto de vista macroscópico a
compressão do fluido é facilitada. Do ponto de vista molecular, uma grande
compressibilidade isotérmica significa que há espaço suficiente entre as moléculas para
a compressão do sistema. Não obstante, ao se comparar as equações 3.30 e 3.31 com a
equação 3.21, pode-se verificar que o valor dessa propriedade tende ao infinito na
região crítica. Em conclusão a este comportamento de βT na região do ponto crítico, que
possui relação com o alto gradiente da massa específica, a evolução de um processo de
compressão no domínio P-T é dificultada ou mesmo não admitida na vizinhança do
ponto crítico, (CANSELL et al,1998).
Esta análise teve objetivo de apenas exemplificar alguns aspectos importantes
para a simulação computacional empreendida neste estudo, e não esgota todo o espectro
de informações necessárias para discutir o estado e propriedades do fluido nesta região.
34
Estudos recentes em dinâmica de gás concluíram, com base em uma análise de
sensibilidade usando vários fluidos, que o comportamento do gás real é fortemente
influenciado pelo calor específico isocórico e pelo fator acêntrico, que são as duas
medidas qualitativas da complexidade molecular. Aqui, complexidade molecular indica
o efeito de ambos na configuração molecular e suas interações através de campo de
força, (HARINCK, 2009).
35
CAPÍTULO 4 COMPRESSOR CENTRÍFUGO
Este capítulo concentra-se nos aspectos de operação da máquina que serão
necessários para as análises e simulações apresentadas nos próximos capítulos. Para
informações pertinentes ao projeto unidimensional e a análise termodinâmica
relacionados ao processo de compressão indica-se a leitura do trabalho de MOURA
(2007).
4.1 Curvas Características
A ideia de relacionar a quantidade de energia transferida ao fluido (head) com a
vazão circulante através do impelidor é tão antiga quanto às próprias turbomáquinas,
(RODRIGUES, 1991). E evidencia a influência de diversos elementos sobre o
desempenho do compressor, servindo assim como orientação para o projeto da máquina.
De acordo com a teoria de Euler há na verdade, uma correspondência entre energia
efetivamente transferida ao fluido e a vazão volumétrica descarregada pelo impelidor,
ou seja:
= 1 . (4.1)
Figura 4.1 - Mapa Operacional de um impelidor em vazão mássica (ECKARDT, 1980).
36
Partindo da equação 4.1 serão apresentadas diversas relações que permitirão
integrar de forma mais objetiva aspectos geométricos com os operacionais para
construção de uma curva de operação. Destarte, utilizando as equações descritas no
capítulo 3 para a conservação de energia num volume de controle em torno da carcaça
de uma máquina figura 4.2, o fluxo líquido permanente de energia em seu interior pode
ser expresso por:
Figura 4.2 – Compressor com volume de controle (ROMUALDO, 2011).
N +N +Z .ℎ. + .12 + DF.. +Z ℎ + 12 + DF = 0 , (4.2)
Sendo transmissão de energia via calor, transmissão de energia via trabalho, a
energia interna (u) e a energia potencial do escoamento associadas ao campo de forças
(pv) representadas pela entalpia (h), a energia cinética (V2/2) e a energia potencial
gravitacional (gZ), todas referidas à unidade de massa. E, para o balanço de entropia
neste mesmo regime, dentro deste volume de controle, pela seguinte expressão:
Z- +Z ... −Z + N = 0 . (4.3)
Os termos .. e representam, respectivamente, as taxas de transferência de
entropia para o interior ou o exterior do volume de controle que acompanha a vazão
mássica. O termo Qj/Tj representa a taxa de transferência de entropia associada à
transferência de calor e, finalmente, o termo de geração de entropia devido às
irreversibilidades no interior do volume de controle, N. Considerando um regime internamente reversível e permanente, desprezando-se
as variações de cota e de velocidade e após as devidas operações entre as equações 4.2 e
4.3, é possível obter a expressão para o trabalho específico:
37
#g9. =− A 1Y . (4.4)
Sabe-se da segunda lei da termodinâmica que durante um processo reversível
adiabático a entropia permanece constante, enquanto as propriedades mensuráveis
pressão (P) e volume específico (v) variam. Logo, torna-se interessante analisar a
entropia como função de P e v, ou = $, A: = $ A + A A . (4.5)
De acordo com o processo reversível e adiabático descrito acima, encontra-se
$ $ + A A = 0 . (4.6)
Recorrendo ainda às relações de Maxwell:
-A = −$ (4.7)
e
-$ = A . (4.8)
Substituindo as equações 4.7 e 4.8 na equação 4.6
−A- $ + $- A = 0 , (4.9)
ou seja, durante um processo isentrópico a relação entre P e v é dada por:
$$ + 6 AA = 0 , (4.10)
onde k é o expoente isentrópico
6 = − A$ $A , (4.11)
e, finalmente, é possível obter a expressão:
$A = |fCf, . (4.12)
Admitindo-se um processo de compressão reversível e adiabático de um gás perfeito,
com a suposição adicional da invariabilidade do expoente isentrópico k, da equação 4.4
tem-se que:
38
= #g9. =− A =− 66 − 1>-Y $1$YP − 11
Y (4.13)
Ou ainda
= #g9. =− A =− 66 − 1>-Y %AYA1\Y − 1*1
Y . (4.14)
A equação 4.14 revela que a relação de volumes depende, para uma dada energia
transferida, da temperatura de sucção e da natureza do gás. Tendo desenvolvido esta
expressão para as condições de operação do sistema, falta ainda relacionar os aspectos
geométricos do compressor. E, a partir da equação de Euler, que é um desenvolvimento
da formulação matemática da lei de conservação do momento angular, onde a taxa de
variação do momento angular com um volume movendo-se com o fluido com as forças
de superfície e as forças de corpo atuando sobre o volume de controle são equalizadas.
Mas, antes, partindo da equação da conservação do momento angular:
× ¡Is.¢ +£ פAs.¥ = × ¦¦ ∙ §s.¢ + £ × ¦As.¥ , (4.15)
onde F e B são as forças de superfície e de corpo respectivamente. Assumindo as
hipóteses simplificadoras de regime permanente e força de superfície nula deduz-se que
= Y Y − 1 1 , (4.16)
onde U1 e U2 são as velocidades tangenciais nos raios de sucção e descarga. VU1 e VU2
são as projeções tangenciais da velocidade absoluta. Utilizando relações trigonométricas
aplicadas ao triângulo de velocidades, figura 3.2, na extremidade de saída da pá é
possível obter:
= 11 − 1 1I1 cot v1 , (4.17)
sendo A2 a área de saída do impelidor e β2 o ângulo de inclinação da pá na saída do
impelidor. Retornando às equações de conservação é possível obter através da equação
da continuidade, equação 3.2, em regime permanente:
YAY = 1A1 . (4.18)
Equação 4.18 expressa nas condições de entrada (1) e saída (2). A partir de onde se
pode exprimir a equação 4.17 de forma mais conveniente:
39
= 11 − 1 A1AY YI1 cot v1 (4.19)
Levando o resultado dado pela a equação 4.19 na equação 4.1 para que se estabeleça
uma relação entre a energia cedida pela máquina e o volume que entra, tem-se que:
= Y . (4.20)
Finalmente, igualando as equações 4.13 e 4.20:
Y = 66 − 1>-Y $1$YP − 1 . (4.21)
logo,
$1$Y = ¬6 − 16 1>-Y Y + 1 P
. (4.22)
Considerando as propriedades constantes a equação 4.22 reduz-se a
$1$Y = Y . (4.23)
As equações 4.13 e 4.17 podem ser combinadas para relacionar as condições de
operação e da geometria do rotor do compressor no serviço de aumento na pressão do
fluido no interior do compressor. O desempenho do compressor está assim interligado à
geometria do compressor de forma mais evidente.
4.1.1 Condição de estagnação
O escoamento compressível em turbomáquinas sofre grande alteração de
velocidade entre os estágios, como resultado das alterações de pressão causadas pelos
processos de expansão ou compressão, MOURA (2007). A combinação entre os termos
de entalpia (h) e a energia cinética (V2/2), para qualquer ponto no escoamento, é
chamado de entalpia de estagnação,
ℎV = ℎ + 12 . (4.24)
40
Esta propriedade é constante num escoamento, quando não há realização de
trabalho ou uma transferência de calor, embora processos irreversíveis possam ocorrer,
(COHEN et al, 1972).
Na figura 4.3, pode-se notar que o estado de estagnação é representado pelo
ponto 01, provocado por uma desaceleração irreversível. Numa desaceleração reversível
o ponto de estagnação seria o ponto 01s e a mudança de estado seria chamado
isentrópico.
Figura 4.3 - Processo de compressão em único estágio (MOURA, 2007).
Pode-se de forma simples, através da condição de estagnação, verificar que a
diferença de entalpias representa a quantidade total de energia recebida pelo gás. Da
equação da entalpia de estagnação deriva-se uma expressão para a temperatura e a
pressão de estagnação. Para escoamento de gás ideal
ℎ = w- , (4.25)
e,
w = 6>6 − 1 . (4.26)
Cp representa o calor específico a pressão constante e R é a constante universal dos
gases. Destas duas relações e da equação 4.24 a temperatura de estagnação To pode ser
definida como:
-® = - + 121w , (4.27)
e dividindo por T
41
-V- = 1 + 12 6 − 1 16>- = 1 + 12 6 − 1¯1 , (4.28)
sendo M o número de Mach. Finalmente, é possível obter a pressão de estagnação po da
relação conhecida entre pressão e temperatura:
V = -V- P = 1 + 6 − 12 ¯1 P
. (4.29)
E, recorrendo à lei dos gases perfeitos, a massa específica de estagnação (ρo) é dada por:
V = -V- PP = 1 + 6 − 12 ¯1 PP
. (4.30)
As equações 4.28, 4.29 e 4.30 evidenciam a importância do número de Mach na
operação do compressor e na análise de similaridade entre pontos utilizada neste
trabalho.
4.2 Teoria de Semelhança Aplicada à Turbomáquinas
A análise dimensional permite uma compreensão mais abrangente do
comportamento das turbomáquinas, AUNGIER (2000). A análise dimensional é uma
técnica com o objetivo de estabelecer relações entre variáveis que influenciam um
determinado fenômeno físico observado. Estas relações entre as variáveis possuem
algumas importantes aplicações em turbomáquinas:
(a) previsão do desempenho de um protótipo a partir de testes realizados em um
modelo em escala (similaridade) e testes de desempenho em máquina
operando em condições diferentes às de projeto, por exemplo, com gás
diferente;
(b) a determinação do tipo mais apropriado de máquina, com base na máxima
eficiência.
Nesta análise o teorema dos π é considerado como base na formação de grupos
adimensionais: onde se estabelece que dadas n variáveis (por exemplo, ρ e µ) as quais
podem ser expressas dimensionalmemente em função de m grandezas fundamentais,
forme (n-k) grupos adimensionais independentes. Em problemas de mecânica dos
fluidos, normalmente temos o sistema formado pelas seguintes grandezas fundamentais:
massa (M), comprimento (L) e tempo (T).
42
Os compressores são construídos para um determinado conjunto de condições de
serviço (gás, pressões, temperatura de sucção) e de desempenho (vazão, eficiência, por
exemplo) bem definidos. Para verificar se o compressor atende às condições desejadas
de projeto, fazem-se testes na própria oficina do fabricante. Frequentemente, não é
possível reproduzir num teste as condições reais de operação do compressor, por
exemplo, quando da indisponibilidade na fábrica do gás de trabalho. Portanto, são
necessários meios de planejar um teste com a possibilidade de extrapolar os valores
obtidos para as condições de projeto e futuro trabalho no campo. Com este intento são
necessárias algumas premissas (que podem incluir aspectos geométricos, cinemáticos e
dinâmicos) para estabelecer essa necessária equivalência entre os dois conjuntos de
condições (projeto e teste) do compressor para garantir o seu desempenho.
Figura 4.4 - Curvas características para as condições dinamicamente semelhantes,
(BRENNEN, 1994).
O desempenho de uma turbomáquina para operação com escoamento
incompressível, é convenientemente e usualmente expresso em termos de head (H),
eficiência (η) e potência (P). Estes parâmetros indicam que a operação de um
compressor relaciona propriedades do fluido, tais como massa específica ρ, viscosidade
µ, condições de entrada e saída do fluido de pressão e temperatura (P e T), com
características geométricas como o diâmetro do impelidor D e variáveis de controle
como a rotação da máquina (N) e a vazão mássica ( ). Segundo DIXON (1998), deve-
se ainda considerar outras propriedades que permitam caracterizar melhor um
escoamento compressível, a saber: a velocidade do som na condição de estagnação de
43
entrada da máquina (a01) e a razão de calores específicos (k) ou Cp / Cv. Portanto, as
variáveis de interesse para este problema podem ser relacionadas como:
∆ℎV, °, $ = &, ±, +, , VY, CVY, 6 . (4.31)
Observa-se que na equação 4.31 a variação do head (H) foi substituída pela
entalpia de estagnação isentrópica. Sabendo-se que há mudança de a0 e ρ0 através da
máquina sugere sugere-se que os valores destas variáveis sejam selecionados na entrada,
denotado pelo índice 1. Expressando três relações funcionais separadas, cada uma das
quais contendo oito variáveis e, mais uma vez, a escolhendo ρ01, N e D como fatores
comuns destas três relações, obtemos cinco grupos adimensionais,
∆ℎV±1+1 , °, $VY±G+p = ² VY±+G VY±+1& ,±+CVY , 6³ . (4.32)
Sendo ainda possível provar pela lei dos gases ideais que:
∆ℎVCVY1 ≈ $V1$VY , (4.33)
e,
$µ = $VY±G+p = w∆-V¶VY+1±+·±+1 = ∆-V-VY . (4.34)
Para finalmente obter:
V1VY , °, ∆-V-VY = x VY±+G , ±+CVY , >,, 6 . (4.35)
O parâmetro k pode ser excluído do procedimento por ser adimensional e
consequentemente não formar combinação com os demais, (RODRIGUES, 1991). Isso
significa que a sua influência sobre o desempenho do compressor não poderá ser
compensada por outros parâmetros. WHITFIELD e BAINES (1990) esclarecem ainda
que o elevado número de Reynolds do escoamento no interior da máquina mitiga
qualquer impacto na sua variação para avaliação do desempenho de um compressor.
Com isso, é também sugerido retirar o número de Reynolds da lista de parâmetros
adimensionais que caracterizam o seu desempenho. Tendo em vistas estas observações
tem-se:
44
V1VY , °, ∆-V-VY = x VY±+G , ±+CVY . (4.36)
Desta relação enfatiza-se que os principais grupos utilizados na avaliação de
similaridade de compressores são:
a) Coeficiente de Vazão: Associado com a manutenção dos ângulos de
inclinação das velocidades de escoamento.
¸ = VY±+G = Y±+G , (4.37)
onde D é o diâmetro, N a velocidade de rotação e Y a vazão.
Figura 4.5: Impelidores de compressor centrífugo de múltiplos estágios (SOROKES e
KUZDZAL, 2010).
b) Número de Mach: Estabelece uma relação entre as forças elásticas e as
forças de inércia.
¯: = ±+CVY = ±+¹6>-Y (4.38)
com R representando a constante do gás, k o expoente adiabático e T1 a temperatura de
sucção. Assume-se que há uma relação constante entre as forças envolvidas no
escoamento para a nova condição em relação às condições originais de operação ou de
projeto quando os números de Mach nas condições locais de funcionamento são iguais,
e os desvios são considerados insignificantes, quando certos limites do número Mach
são respeitados. Estes desvios são admitidos e restringidos por normas internacionais,
por exemplo, ASME PTC 10 que regula testes de compressores dinâmicos.
45
A partir de uma simplificação dos resultados da análise dimensional efetuada
nesta seção é possível estabelecer algumas relações funcionais que fornecem uma
excelente base para expressar as curvas características do compressor centrífugo:
Y1 = ±Y±1 (4.39)
e
Y1 = ±Y±11 (4.40)
Com
°Y = °1 . (4.41)
Mas, antes, deve-se notar que a variação de rotação provocará a variação dos números
de Mach e Reynolds, de forma que os dois pontos associados pelo método não guardam
entre si completa similaridade. Entretanto, sendo um pouco mais rigoroso para
compressores de múltiplos estágios é necessário ainda considerar a relação de volumes
específicos α, (RODRIGUES, 1991):
E = AYA1 . (4.42)
Logo,
EY = E1 . (4.43)
A condição de operação de uma turbomáquina será dinamicamente semelhante
(similaridade) em duas rotações diferentes, se todas as velocidades dos fluidos dentro da
máquina, em pontos correspondentes, estão na mesma direção e proporcionais à
velocidade da pá. Se cada um destes pontos com suas diferentes características de head
e vazão representam operação dinamicamente semelhante da máquina, espera-se que
grupos adimensionais das variáveis envolvidas, ignorando efeitos do Número de
Reynolds, tenham o mesmo valor para ambos os pontos. Das equações 4.13, 4.40 e
4.43, uma rotação similar é obtida através da equação:
±Y±1
1 = ºFY>-Y PP\Y »EYP\Y − 1¼½ºF1>2 QQ\Y »E1Q\Y − 1¼½ . (4.44)
46
4.3 Escoamento dentro do Impelidor Centrífugo
Atualmente para a turbomáquina, os efeitos tridimensionais (figura 4.6) são
dificilmente desprezados e sua incorporação no projeto ou análise é essencial para uma
melhor concepção das máquinas e para uma precisa previsão de desempenho,
(LAKSHIMINARAYANA, 1996). O campo do escoamento em seu interior é
complexo, tridimensional e turbulento, sob a influência relevante da curvatura das pás e
da rotação.
A tridimensionalidade do escoamento é causada por efeitos viscosos e não
viscosos. Os métodos quase viscosos incorporam os efeitos líquidos reais de forma
aproximada ou global. Essa tridimensionalidade pode ser explicada, por exemplo, pelo
escoamento secundário que surge devido à camada limite viscosa. Mas mesmo de
natureza viscosa o seu efeito pode ser tratado pela teoria do escoamento não viscoso. A
teoria de escoamento não viscoso tridimensional tem sido desenvolvida para predizer a
natureza do escoamento tridimensional, pela sua simplicidade e relativa precisão,
(LAKSHIMINARAYANA, 1996).
Figura 4.6 - Natureza do escoamento no interior de um rotor, (HARTMANN, 1982).
As acelerações centrípeta e de Coriolis, evidenciadas no tratamento do sistema
de coordenadas para velocidade relativa no capítulo 3, também exercem efeito na
tridimensionalidade do escoamento com influência no aumento ou queda de pressão na
operação da máquina, bem como também nas perdas. Essas acelerações introduzem um
fluxo radial para fora da camada limite, resultando na distorção dessas camadas. Uma
47
importante teoria geral que detalha o escoamento tridimensional em turbomáquinas em
regime subsônico e supersônico foi apresentada e desenvolvida por WU (1952).
4.3.1 Instabilidade do escoamento no impelidor
O escoamento ao longo de superfícies curvas é conhecido por afetar a
estabilidade do fluxo na camada limite e, por conseguinte, a transição entre o regime
laminar e turbulento e a estrutura do regime turbulento, CUMPSTY (1989).
A estabilidade ou instabilidade de um escoamento próximo de uma parede pode
ser compreendida e analisada simplificadamente através de um escoamento não viscoso
e estável num impelidor de formato radial. Considerando uma partícula de fluido num
estado de equilíbrio dentro da camada limite na superfície de sucção, esta sofre o efeito
de um gradiente de pressão normal à superfície da pá equilbrado com a aceleração de
Coriolis na velocidade radial local. Admitindo-se agora que esta partícula seja
ligeiramente deslocada da parede no sentido de afastamento, enquanto a sua velocidade
é mantida paralela à parede; Essa partícula passará para uma região em que encontra
outras partículas em equilíbrio numa velocidade superior à sua de modo que o gradiente
local de pressão normal à superfície deve ser suficientemente maior para equilibrar a
aceleração de Coriolis e assim o fluxo é mantido estável. Entretanto num escoamento
real a presença de visosidade altera a lógica apresentada, pois o escoamento viscoso
desacelera a particula pelas tensões turbulentas de cisalhamento criando uma
instabilidade que exerce influência na separação da camada limite no impelidor,
(ECKARDT, 1976).
Figura 4.7 - Escoamento real em rotor de compressor centrífugo (BORER et al, 1997).
48
A natureza do escoamento na saída do impelidor tem efeitos diretos sobre o
desempenho do difusor e, por consequência, o desempenho geral do compressor. O
fenômeno de separação da camada limite possui relação direta com o fenômeno de
esteira que ocorre a partir do shroud, sendo uma das principais causas da região de
baixa velocidade meridional e baixa pressão de impelidores de diversos tipos. Segundo
BORER et al (1997), a esteira projetada pela pá pode ainda provocar uma pulsação de
pela variação da pressão na descarga da máquina, danosa à integridade do equipamento.
É possível analisar várias características do escoamento de impelidores utilizando
modelos adequados de turbulência, conforme discutido na revisão bibliográfica desta
dissertação, e identificar a posição da esteira.
Figura 4.8 – Estrutura Jato-esteira em impelidor (BRENNEN, 1994).
A teoria clássica de jato-esteira sugere que uma esteira deveria ser maior em
pequenos escoamentos, isto é, a esteira da pá que é a acumulação de escoamento
secundário dentro de um impelidor é sempre maior em pequenos escoamentos e menor
em altos escoamentos, figura 4.7, (MOORE et al, 1977). No entanto, em escoamentos
maiores a velocidade na saída do rotor seria maior. E velocidade maior resulta numa
grande pressão dinâmica e, por conseguinte, um diferencial maior entre a pressão total
no escoamento principal e a pressão estática na esteira da pá. Em consequência, a
elevada amplitude de pulsação no bloqueio (choke) é simplesmente um reflexo da
elevada relação de pressões estáticas, (CHOI E KANG, 1999).
49
Finalmente, MOORE et al (1977) afirmam que a distribuição do escoamento na
descarga de um impelidor centrífugo é fortemente influenciada pelo escoamento
secundário, conforme mostra a figura 4.8.
4.3.2 Escoamento secundário
O escoamento secundário é produzido quando uma componente da vorticidade é
desenvolvida a partir do desvio de um escoamento cisalhado, (LAKSHMINARAYANA
e HORLOCK, 1973). Exemplos deste fenômeno ocorrem quando um escoamento
desenvolvido entra numa curva, ou quando um escoamento ocorre sobre um aerofólio
de espessura finita, ou quando uma camada limite normal encontra um obstáculo sobre a
superfície na qual está fluindo.
Na equação 3.3 de conservação da quantidade de movimento desprezando
efeitos viscosos, a variação da velocidade no sentido normal assumindo o escoamento
incompressível, o gradiente de pressão na direção normal é equilibrado num dado ponto
pela aceleração centrípeta. Ou, matematicamente
f = 1> , (4.45)
onde p (pressão), n (vetor direção normal), ρ (massa específica), R (raio de curvatura) e
u (velocidade tangencial). No entanto, caso a influência da camada limite seja
considerada (efeitos viscosos), o gradiente de pressão normal à parede sofrerá um
desequilíbrio com a aceleração centrípeta e, portanto, uma linha de corrente que passa
através da camada cisalhante irá ser desviada, desenvolvendo desse modo uma deflexão
na direção da entrada. Esta deflexão, que é o desvio a partir do escoamento principal ou
primário, é chamada escoamento secundário. O escoamento secundário dá origem aos
vórtices secundários, que possuem significante efeito no desempenho da turbomáquina.
A teoria do escoamento secundário considera apenas a convecção do fluido de baixa
pressão de estagnação, sem considerar sua origem, para avaliar os seus efeitos relativos
ao trabalho CUMPSTY (1989).
Os efeitos do escoamento secundário podem ser assim resumidos:
1- Introduz componentes da velocidade do escoamento cruzado resultando em
um campo de escoamento tridimensional;
50
2- O escoamento secundário tende a formar vórtices, que irão eventualmente
iniciar uma região de separação próxima à superfície da parede de admissão
do escoamento. Seus efeitos no desempenho são, portanto, relevantes;
3- As perdas de eficiência, incluindo vazamentos, possuem percentual entre 2 a
4% no desempenho da turbomáquina;
4- A interação de rotor-estator, devido ao escoamento secundário, resulta em
escoamento instável do campo de pressão em pás subsequentes. Essa
interação pode resultar em vibração e ruído.
Figura 4.9 - Escoamento secundário em rotor (BRENNEN, 1994).
Uma expressão para a vorticidade secundária na pá com velocidade angular Ω
pode ser derivada do rotacional da equação 3.3. Em aplicações de máquinas, a
componente de vorticidade absoluta (ω) ao longo da direção da velocidade relativa (W),
de acordo com a expressão desenvolvida por LAKSHMINARAYANA e HORLOCK
(1973) desprezando os termos de viscosidade para simplificação é dada por:
ω = 2ω> − 2 × ω1 − 1G 11 B f − f B , (4.46)
Onde b e n são as componentes tangenciais e normais respectivamente. Simplificando
mais ao considerar um escoamento incompressível e homogêneo, a vorticidade
secundária é dada por:
51
SY
1 = 2S>1Y − 2 × S ∙ 1 1
Y . (4.47)
Os índices 1 e 2 representam a entrada e saída do escoamento respectivamente. Tendo
em vista esta simplificação, três fontes do escoamento secundário podem ser
reconhecidas:
1- A primeira fonte é a curvatura meridional (a mudança de caminho do
escoamento da direção axial para a radial) na presença de ω;
2- A segunda fonte é a convexidade da pá na presença de ω;
3- A terceira fonte é devida diretamente ao efeito da rotação.
Ainda dentro da discussão da relativa importância da curvatura e da rotação
como influências para o escoamento secundário, estas podem ser previstas e avaliadas
de forma direta e simplificada através do número de Rossby:
>® = ># , (4.48)
Onde W é a velocidade relativa, ω é a rotação e Rn o raio de curvatura da pá.
Este número adimensional, muito utilizado para analisar fenômenos geofísicos, é
uma relação entre as “forças” centrípeta e de Coriolis. Ou seja, um pequeno número de
Rossby revela a predominância do efeito da “força” de Coriolis, enquanto um valor
elevado significa a preponderância das forças de inércia e centrípeta.
MOORE et al (1977) analisando o trabalho de LAKSHMINARAYANA e
HORLOCK (1973) afirmam que a formação do escoamento secundário dependendo da
geometria do impelidor, será governada pela a rotação para pequenos escoamentos, e
pela curvatura para elevados escoamentos. Por exemplo, valores superiores a ¼ do
número de Rossby indicam uma predominância do escoamento secundário no impelidor
pela preponderância do efeito centrípeto no escoamento.
4.3.3 Folgas “Clearance” e vazamentos “Leakage”
Em todos os rotores, existe uma folga entre o rotor e o estator da turbomáquina
aonde ocorre um vazamento. A natureza, a magnitude e a formação da vorticidade por
este vazamento dependem do tipo de máquina, pá, parâmetros do escoamento e do tipo
do fluido.
52
AUNGIER (2001) afirma que a vazão mássica através desta folga não participa
no processo de conversão de energia e depende das dimensões da folga existente. Além
disso, quando os efeitos viscosos estão presentes, a dimensão deste espaço desempenha
um papel importante nas perdas, pois tende a evoluir para um vórtice. A vorticidade
poderá surgir pela formação de jato pelo vazamento através da folga num ângulo
diferente do escoamento principal, conforme representado pela figura 4.10. A interação
entre o vazamento e outros fenômenos do escoamento é um fenômeno complexo. Na
maioria das turbomáquinas, o vazamento tem um efeito mais pronunciado e, portanto,
mais importante que o escoamento secundário na região de borda das pás/rotor.
Figura 4.10 - Escoamento com vazamentos em rotor de máquina radial (BRENNEN,
1994).
A mistura dos fenômenos de convecção, arrasto, vorticidade, difusão e
vazamento apresentam grande tridimensionalidade para o campo de escoamento. E a
influência destes não se restringe à vizinhança da borda de saída do impelidor, mas se
espalha para o seu interior em aproximadamente 10-30% da extensão da borda,
dependendo do tipo de turbomáquina, razão de aspecto e etc. A perda em eficiência
produzida pode variar entre 2% a 4%, ou mais, dependendo da turbomáquina,
(LAKSHMINARAYANA, 1996).
53
CAPÍTULO 5 MÉTODO COMPUTACIONAL
A fluidodinâmica computacional (CFD) transformou-se numa parte integral no
processo de projeto de turbomáquinas sendo uma ferramenta viável para compreender
características físicas complexas dos perfis de escoamento associados aos vários
componentes dos equipamentos, (MOURA, 2007). A Fluidodinâmica Computacional é
a análise de sistemas envolvendo escoamento de fluidos, transferência de calor e
fenômenos associados, tais como, reações químicas e disponível em três distintos
métodos de solução numérica: volumes finitos, elementos finitos e métodos espectrais.
Os seguintes softwares de CFD usam o método de volumes finitos: CFX, FLUENT,
PHOENICS e STAR-CD.
5.1 Ferramenta computacional
No presente trabalho as simulações foram executadas no FLUENT®, um dos
pacotes do programa comercial da empresa ANSYS, Inc. com sede nos EUA e com
grande participação e experiência no mercado de software para Fluidodinâmica
Computacional (CFD).
A ferramenta computacional ANSYS FLUENT® é escrita na linguagem C com
base no método de volumes finitos para modelagem física de fenômenos de escoamento,
turbulência, transferência de calor e reações para aplicações industriais. Algumas
aplicações específicas incluem a capacidade de modelar a combustão dentro de um
cilindro, aeroacústica, turbomáquinas e sistemas polifásicos. A integração da ANSYS
FLUENT® pelo Workbench, interface gráfica, permite dentro do mesmo ambiente o
acesso a vários programas para modificação/criação de geometria, geração de malha,
simulação (solver) e pós-processamento.
O FLUENT possui ainda a flexibilidade de inclusão de novas funções através do
“User-Defined Functions” (UDF´s) conforme a necessidade de modelagem ou a
alteração de modelos/parâmetros já existentes. Esta flexibilidade foi decisiva na escolha
da ferramenta, uma vez que outros programas disponíveis de código fechado, como, por
exemplo, o CFX não dispõe de tal recurso. Além deste recurso, destaca-se ainda da
54
Revisão Bibliográfica a sua adoção como ferramenta de simulação em muitos artigos,
tais como, MONJE et al. (2014) e CLEMENTONI e COX (2014), onde o desempenho
de turbomáquinas, e, em especial, compressores centrífugos obtiveram bons resultados.
O FLUENT permite habilitar através de UDF um banco de dados do REFPROP, onde é
possível obter as propriedades de diversos fluidos incluindo o dióxido de carbono (CO2)
objeto deste trabalho utilizando a equação de Span-Wagner para cálculo das
propriedades. Sem este recurso, a inclusão da equação de Span-Wagner tornar-se-ia
uma tarefa de complexidade que excederia os propósitos desse trabalho.
5.2 Malhas
A geração da malha é uma das etapas mais importante na preparação da
simulação de um componente de turbomáquina, pois ela definirá quais são as principais
regiões de interesse do domínio, (MOURA, 2007). Em particular, regiões próximas às
paredes, na folga da ponta da palheta, no entorno da palheta onde a camada limite
turbulenta é calculada são regiões onde se deve buscar maior refinamento da região.
A malha é a discretização de um domínio geométrico através de formas (células
ou elementos) menores e simplificadas para se aplicar um modelo de solução numérica
das derivadas espaciais e temporais. A malha pode ser composta por diversos formatos
geométricos, entre eles, triangular, tetraédrica, ou elementos prismáticos, piramidais e
hexaédricos conforme figura 5.1:
Figura 5.1 - Figuras geométrica para malhas tridimensionais (ANSYS, 2012).
55
É difícil definir, a priori, o tamanho da malha. A malha necessária depende da
finalidade da simulação. Se o objetivo principal for o cálculo das forças de pressão
estática, uma malha grosseira é capaz de uma boa solução, em particular, quando uma
resolução exata da camada de limite não é necessária. Entretanto, simulações de
escoamentos não viscosos 2D para única pá possui resultados razoáveis com malha de
3.000 células (considerado baixo para outras aplicações), para escoamentos não
viscosos 3D é desejável cerca de 40.000 células, (DENTON e DAWES, 1999). Em
simulações 3D em torno de única pá com uma adequada função de parede, espera-se
uma malha normalmente com cerca de 100.000 células. Uma rápida simulação em 3D
onde não é essencial resolver todos os escoamentos e vórtices também deveria possuir
pelo menos 100.000 células. Entretanto, uma função de parede com malha 3D com
objetivo de resolver os escoamentos secundários deverá possuir em torno de 400.000
células, (DENTON e DAWES, 1999).
Em simulações numéricas de turbomáquinas, malhas hexaédricas estruturadas
em multi-bloco são mais utilizadas quando objeto de estudo é a trajetória do
escoamento. A malha estruturada, figura 5.2, na maioria dos simuladores, requer menos
memória, proporciona precisão superior e permite uma resolução da camada limite
melhor, (FERZIGER e PERIC, 2002). Regiões cujas células possuem uma razão de
aspecto maior, por exemplo, em torno do bordo de fuga, a malha estruturada também
fornece uma melhor resolução. Muitos programas possuem ferramentas de geração de
malha automáticas para seções da pá com malha estruturada para evitar excessiva
inteverção do projetista/usuário.
Figura 5.2 – Exemplo de malha estruturada (a) e não estruturada (b)
(MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007).
56
5.3 Métodos Numéricos: Modelos de Volumes Finitos
O FLUENT está baseado no método de volumes finitos, onde o domínio e as
equações de conservação são discretizados em um conjunto de volumes de controles
para formar um sistema equações algébricas. Este sistema de equações algébricas é
resolvido por métodos numéricos através de computador. O programa executa a
simulação a partir dos dados informados, avaliando a cada rodada se o erro de alguma
variável está abaixo do limite máximo imposto. Ele irá finalizar a simulação somente se
o erro de todas as variáveis estiver num nível aceitável definido preliminarmente, se o
número de iterações chegarem ao número máximo de iterações definido ou se for
detectado algum erro ou falha que impeça continuar a simulação, (MOURA, 2007).
Figura 5.3 - Plano discretizado (MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007).
O método dos volumes finitos pode ser utilizado para resolver problemas que
tenham pelo menos uma coordenada espacial, isto é, um método desenvolvido
basicamente para resolver problemas de valor de contorno apesar de também ser
utilizada para problemas de valor inicial, (LAGE e PINTO, 1997). A aproximação
discreta de uma equação de conservação pelo método dos volumes finitos tem por
objetivo dividir o domínio de cálculo num certo número de subdomínios, nos quais as
leis físicas de conservação sejam válidas, dentro de certo grau de aproximação.
O Método de Volumes Finitos utilizado nesta dissertação tem como conceito
chave o princípio de conservação de uma grandeza física expressa por equações
governantes num volume de controle, conforme equação 5.1. A discretização em
Volumes Finitos aborda melhor esta ideia, pois trabalha com a forma integral das
equações de conservação sobre os volumes, ao invés de apenas substituir derivadas por
expressões algébricas, como ocorre na discretização por diferenças finitas. Essas
57
expressões algébricas são obtidas seguindo algumas etapas que serão apresentadas
simplificadamente. Iniciando o processo com a integração sobre o volume de controle
da equação de conservação 3.3:
¿ + div¿Ã =s¥s¥ divÄ∇¿ + <¿s¥ s¥ , (5.1)
onde ϕ é propriedade de transporte, Γ o termo difusivo, Sϕ o termo fonte e u vetor
velocidade. Aplicando o teorema de divergência de Gauss nos temos convectivo (2o
termo) e difusivo (3º termo) da equação 5.1 encontramos:
¿¥
+ Æ ∙ ¿Ã I@ = Æ ∙ Γ∇¿I@ + <È¥ , (5.2)
onde a ordem de integração e diferenciação do primeiro termo (transiente) da equação
5.2 foi alterada para ilustrar fisicamente a taxa de variação total de uma propriedade
física do fluido, (MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007). Assumindo de forma
aproximada que as integrais da equação 5.2 resultam no somatório do fluxo de cada face
do volume de controle para o segundo e terceiro termos, enquanto as integrais dos
primeiro e quarto termos são aproximados pela variação do volume, ou seja:
¿ ∆ + Z ÉÃÉ¿É ∙ §ÉÊËÌÍÎÏ
É = Z ÄÈ∇¿É ∙ §ÉÊËÌÍÎÏ
É + <È/ , (5.3)
com o subscrito f representando a face do volume de controle. Considerando ainda um
fluxo normal nas faces e utilizando um esquema de diferenciação (que pode ser do tipo
para frente, para trás ou central) para resolução das derivadas, como exemplo, aplicando
apenas no primeiro termo da equação 5.3 encontra-se:
¿g∆g − ¿g∆ ∆ + Z É¿ÉÉIÉÉ:N. = Z ÄÉ∇¿Ð,ÉIÉÉ:N. + <È∆ . (5.4)
É necessário ressaltar que cada derivada da equação 5.3 é resolvida por diferenciação
numérica que utiliza série de Taylor. O tipo de esquema de diferenciação é definido pela
posição relativa entre os pontos escolhidos para cálculo. A ordem do esquema depende
do truncamento da série observando a ordem resultante do termo ∆x, como é
demonstrado:
58
¿ + / = ¿ + ¿Ñ ∆ + '1¿1)Ñ
∆12 +⋯ , (5.5)
ou
¿Ñ = ¿ + / − ¿∆ − '1¿1)Ñ
∆2 + ,f|C . (5.6)
Neste exemplo é obtida uma diferenciação de primeira ordem, quanto maior a ordem
menor o erro incorrido pelo modelo numérico. Em relação às propriedades de
transporte, o seu valor é obtido por interpolação entre os pontos. Tanto a ordem de
diferenciação quanto a interpolação das propriedades possuem influência decisiva na
acurácia do modelo numérico utilizado no problema. Finalmente, após todas as etapas
apresentadas para discretização da equação 3.3 é possível ser construído um sistema de
equações lineares através da equação 5.4, que omitindo o termo transiente, passa ter o
formato:
C¿ +ZC#r¿#r#r = B . (5.7)
Em teoria, quando o número de células computacionais for infinitamente grande,
os resultados numéricos obtidos podem ser iguais aos de uma solução analítica exata
independente do método utilizado para diferenciação. No entanto, o aumento no número
de células impõe um aumento no tamanho do sistema de equações algébricas a ser
resolvido pelo computador e esta elevação não pode superar a capacidade de
processamento de dados do equipamento utilizado na simulação. Esta limitação imposta
influencia na precisão da solução, uma vez que a malha não será suficientemente
refinada. Um método numérico é considerado convergente se a solução das equações
discretizadas tendem para a solução exata da equação diferencial com o espaçamento da
malha tendendo a zero, (FERZIGER e PERIC, 2002).
Os métodos numéricos devem também possuir algumas propriedades para
apresentar uma boa solução, MALALASEKERA e VERSTEEG (2007) citam
principalmente: o principio de conservação e transportividade das propriedades, mas
outras características como consistência, estabilidade, convergência e precisão da
solução também são relevantes. Destaca-se que um resultado numérico é considerado
convergente se a solução do sistema de equações discretizadas tende a solução exata da
59
equação diferencial com o espaçamento da malha tendendo a zero, (FERZIGER e
PERIC, 2002).
Figura 5.4 - Malha sobre impelidor do tipo aberto (MOORE e PALAZZOLO, 2001).
A solução para um problema de escoamento (velocidade, pressão, temperatura,
etc), é definida por nós dentro de cada célula que compõem uma malha. Malhas ideais
são frequentemente não-uniformes, onde é possível refiná-las em áreas onde ocorrem
altos gradientes da variável em observação e mais grosseiras em regiões com pequenos
gradientes, relativamente. FERZIGER e PERIC (2002) tecem algumas considerações
sobre malhas: Caso a geometria seja regular (por exemplo, corpos retangulares ou
circulares), escolher a malha é simples, pois as linhas de malha normalmente seguem as
direções das coordenadas; Entretanto, para geometrias complexas a escolha não é
trivial. A malha está sujeita as restrições impostas pelo método de discretização, por
exemplo, caso o algoritmo esteja projetado para malhas ortogonais curvilíneas, malhas
não-ortogonais não podem ser utilizadas. Caso os volumes de controle sejam
quadriláteros ou hexaédricos, malhas constituídas em triângulos e tetraedros não podem
ser usadas. Portanto, quando a geometria é complexa e as restrições não puderem ser
atendidas ajustes na malha precisam ser executados.
5.4 Modelos de Turbulência
Os modelos de turbulência são fundamentais para garantir que a modelagem em
CFD represente com fidelidade o problema investigado. Sabe-se que as soluções das
equações de Navier-Stokes assumem uma natureza caótica em alto número de
60
Reynolds, tornando-se altamente sensíveis tanto às condições iniciais quanto às de
contorno. Na prática, o efeito desta sensibilidade é verificado nas incertezas das
variáveis do escoamento em qualquer ponto quanto ao tempo e ao espaço. Portanto,
estas variáveis podem ser vistas como aleatórias com função de densidade de
probabilidade associada, permitindo o uso de técnicas estatísticas para a descrição e
análise do escoamento. Entretanto sabe-se que as equações de Navier-Stokes são
determinísticas e esta incerteza entra devido à combinação da natureza não linear das
equações e da impossibilidade prática de descrever completamente e exatamente as
condições de um escoamento real.
Dentro dos inúmeros modelos para apreender a física de um escoamento
turbulento a de maior emprego é das médias de Reynolds (RANS). Os modelos de
turbulência baseados nas equações de RANS são conhecidos como Modelos Estatísticos
de Turbulência devido ao procedimento de média estatística empregado para se obter as
equações de Navier-Stokes (N-S), (MOURA, 2007). Neste procedimento a variável é
decomposta numa soma de dois termos, a saber, o primeiro termo da direita é a sua
média enquanto o termo seguinte trata das flutuações, conforme abaixo:
Ó, = Ó, + íÕÓ, . (5.8)
Nesta etapa do trabalho e sem perda de generalidade a média será temporal como segue:
Ó, = 1- g
g Ó, , -Y ≪ - ≪ -1 , (5.9)
quando comparada à expressão de RANS com a de N-S, verifica-se que existem termos
adicionais, devido à correlação entre as componentes das velocidades flutuantes, −ρØÕÙÕÚÚÚÚÚÚ, denominado tensor de Reynolds. Este termo cria o chamado problema
fundamental da turbulência, (WILCOX, 2006), que para se calcular todas as
propriedades médias do escoamento turbulento é necessário modelos para seu cômputo.
A hipótese de Boussinesq é uma das alternativas usadas para a sua determinação, onde
relaciona a tensão de Reynolds com os gradientes de velocidade média:
−ρØÕÙÕÚÚÚÚÚÚ, = &g %∂∂ + ∂∂* − 236 = 2&g< − 236 , (5.10)
Onde, µt é a viscosidade turbulenta e k a energia cinética turbulenta:
61
6 = 12 Õ1ÚÚÚÚ + AÕ1ÚÚÚÚ + Õ1ÚÚÚÚÚ = 12ØÕÙÕÚÚÚÚÚÚ . (5.11)
Para escoamentos em que os efeitos de compressibilidade são importantes, deve-
se introduzir uma equação para a conservação de energia e uma equação de estado.
Assim como as médias de Reynolds dá origem ao tensor de Reynolds, espera-se que
uma média semelhante conduza a um vetor fluxo de calor turbulento, WILCOX (2006).
Dentro desta abordagem espera-se também que novas correlações relacionadas com a
compressibilidade surjam em todas as equações de movimento. Portanto, além das
flutuações de velocidade e pressão, também se deve levar em consideração as flutuações
de densidade e temperatura.
O problema é ainda mais complexo para a equação de momento em que o tensor
de Reynolds ρuiuj originado a partir da média de tempo aparece na aceleração
convectiva. Claramente, uma correlação tripla envolvendo Õ, Õ, e Õaparece,
aumentando assim a complexidade da criação de aproximações de fechamento
adequadas. O problema de estabelecer uma forma apropriada da equação média de
tempo pode ser simplificado usando o procedimento de cálculo da velocidade média
ponderada pela massa específica sugerida por FAVRE (1965), definida por:
Ü = 1 Þß→á 1- â, â, Ug
g , (5.12)
Ondeãé a media de Reynolds para massa específica. Além disso, pode-se demostrar
que em termos das médias de Reynolds:
Ü = ØÚÚÚÚ . (5.13)
A média de Favre torna-se evidente quando é expandido o lado direito da
equação acima pelo método das médias de Reynolds:
Ü = + ÕØÕÚÚÚÚÚÚ . (5.14)
Verificar-se-á, através da simplificação da equação 5.13, que a equação 5.18,
terá a mesma aparência da equação da conservação da massa. Favre decompõe a
velocidade instantânea tendo um termo para média mássicaÜ para flutuação ÕÕ:
62
= Ü + ÕÕ . (5.15)
E, operando cada lado da equação acima multiplicando por ρ seguido da média
temporal de Reynolds obtém-se:
ØÚÚÚÚÚ = Ü + ØÕÕÚÚÚÚÚ . (5.16)
Mas de acordo com a equação 5.13, conclui-se que:
ØÕÕÚÚÚÚÚ = 0 . (5.17)
Operando de forma semelhante às efetuadas para as médias de Reynolds as
equações de conservação conforme método sugerido por FAVRE (1965) e
demonstradas por WILCOX (2006), encontra-se:
∂∂t + ∂∂ Ü = 0 , (5.18)
Ü + ∂∂ ÜÜ = − $ + ∂∂ U − ÙÕÕØÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚ , (5.19)
e
% , + ÜÜ2 + ØÕØÕÚÚÚÚÚÚÚ2 * + %Ü ℎå + ÜÜ2 + Ü ØÕØÕÚÚÚÚÚÚÚ2 *= %−8æç − ÙÕÕℎÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚ + UÙØØÕÕÚÚÚÚÚÚÚ − ÙÕÕ 12ØÕÕØÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ*+ »ÜU − ØÕÕÙÕÕÚÚÚÚÚÚÚÚÚ¼
. (5.20)
Onde o prefixo “~” denota a média de Favre com “e” representando a energia interna
específica, “h” a entalpia específica, “τij” o tensor tensão e “qLj” a transmissão de energia
via calor. Deve-se comentar que a média de Favre é apenas uma simplificação
matemática e não possui significado físico. E, a hipótese de Boussinesq continua válida
para este procedimento em escoamentos compressíveis.
Diversos modelos de turbulência utilizam a hipótese de Boussinesq, tais como,
Spalart - Allmaras e de k- ω. A vantagem desta abordagem é o baixo custo
computacional associado ao cálculo da viscosidade turbulenta. No caso do modelo de
Spalart - Allmaras, como será descrito a seguir, apenas uma equação de transporte
63
adicional, que representa a viscosidade turbulenta, é resolvida. No caso do modelo, por
exemplo, k-ε e k- ω, duas equações de trasponte adicionais são resolvidas: Uma para a
energia cinética turbulenta e outra para a taxa de dissipação específica com a
viscosidade turbulenta µt sendo calculada como função de k e de ω para o modelo k- ω.
A hipótese de Boussinesq assume que a viscosidade turbulenta é uma propriedade
isotrópica, mas tal hipótese não modela perfeitamente todos os escoamentos reais (ver
item iv deste tópico).
Apresar disso, os modelos baseados na hipótese de Boussinesq em muitos
problemas possuem um bom desempenho, e o custo do cálculo do modelo de tensões de
Reynolds não se justifica. No entanto, o modelo de tensões de Reynolds é claramente
superior em situações em que a anisotropia da turbulência tem um efeito dominante
sobre a média de escoamento, tal como, escoamentos rotacionais e secundários.
(i) Spalart-Allmaras
O modelo Spalart-Allmaras (1992) envolve uma equação de transporte para o
parâmetro de viscosidade cinemática turbulenta νSa e uma especificação de escala de
comprimento por meio de uma fórmula algébrica fornecendo cálculos econômicos para
a camada limite aerodinâmica. A viscosidade dinâmica turbulenta µt está relacionada
com νSa através da equação 5.21. Outro termo contido nesta equação é a função de
amortecimento de parede èYque tende a unidade para elevados números de Reynolds,
de modo que o parâmetro de viscosidade cinemática turbulenta νSa é apenas igual à
viscosidade turbulenta cinemática éÜ neste caso. Na parede a função de amortecimento
tende para zero. Os termos è1e ê também são funções de amortecimento de parede.
&g = é¢:èY . (5.21)
Essas constantes do modelo somadas a mais três contidas nas funções de parede
foram ajustadas para os escoamentos externos aerodinâmicos e o modelo foi provado
dando bom desempenho em camadas limite com gradientes de pressão adversos, que
são importantes para a previsão de escoamentos com “stall”. A sua adequação a
aplicações com aerofólios permite que o modelo Spalart-Allmaras atraia um número
crescente de adeptos entre a comunidade de turbomáquinas. Maior vantagem deste
modelo em simulações de escoamentos em turbomáquinas está na boa relação custo
64
computacional e acurácia. A equação de Spalart-Allmaras adotando as média de Favre
segundo OLIVER (2009) é:
é¢: + ∂∂ Üé¢:= |rY<¢:é¢: + 1 ∂∂ ¬& + é¢: ∂é¢:∂ + |r1 ∂é¢:∂ ∂é¢:∂ − |êYê é¢: 1
, (5.22)
ou em palavras:
Taxa Temp. do Parâmetro
de Viscosidade
νSa
+ Transporte Convectivo
de νSa =
Transporte de νSa por difusão
Turbulenta
+ Taxa de
Produção de νSa
- Taxa de
Dissipação de νSa
Onde,
<¢: = Ω + é¢:611 è1
Ω = ¹2ΩìΩì
è1 = 1 − í1 + íèY
èY = íGíG + |èYG
í = é¢:éÜ
ê = D' 1 + |êGîDî + |êGî )
D = + |ê1î + = é¢:<:611
(ii) SST k-ω
O ponto de partida para o desenvolvimento do modelo de SST (Shear Stress
Transport) foi a necessidade de previsão acurada de escoamentos aeronáuticos com
fortes gradientes de pressão adverso e separação, (MENTER et al, 2003). O modelo k-ω
é substancialmente mais preciso do que k-ε nas camadas próximas à parede, e, portanto,
tem sido bem sucedido para os escoamentos com gradientes de pressão adversos
moderados, mas falha para escoamentos com pressão de separação induzida. Além
disso, a equação k-ω mostra uma forte sensibilidade para os valores de ω no escoamento
fora da camada limite.
65
A forma encontrada para combinar as vantagens destes dois modelos de duas
equações foi através de uma formulação mista baseada em função de ajustagem que
seleciona automaticamente as zonas de uso de k-ε e de k-ω. Assim, em regiões próximas
as da parede, k-ω é selecionado automaticamente, enquanto que no escoamento livre a
seleção é direcionada para k-ε. Isso é feito através de uma função F1, que assume
valores entre zero e um de forma a selecionar automaticamente um ou outro modelo
conjugando as melhores caracteríticas de cada modelo. OLIVER (2009) ressalta que o
cálculo das tensões de Reynolds e k são as mesmas que no modelo k- ω original de
Wilcox, mas a equação de ε é substituída por ε = kω. O termo ω é a frequência de
turbulenta. Isso resulta em:
6 + ∂∂ Ü6= 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − v∗ωk + ∂∂ %& + & ∂k∂*
, (5.23)
S + ∂∂ ÜS= Eég 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − βω1
+ ∂∂ %& + ó& ∂ω∂* + 21 − ôYó1 1S ∂k∂ ∙ ∂ω∂ . (5.24)
Onde,
<ï =12 'Ü + Ü) − 13<ï &g = C6CCS,Ωô1 &g = C6CCS,Ωô1
Ω = õ2ΩìΩì ô1 = CfℎCD11
CD1 = C ' 2√60.09ωd , 500éÜ1ω)
= ôY÷Y + 1 − ôY÷1Tendo que d é a distância da parede mais próxima. As constantes Y, 1, óY, ó1, vY, v1, v∗, 6,CY são os parâmetros de calibração do SST e as
constantes &V,-®e< são os parâmetros de calibração na lei de Sutherland, na qual é
sugerida uma função para a viscosidade conforme a equação 5.25 em OLIVER (2009)
66
& = &V '-å-V)ùQ -V − <-å + < . (5.25)
(iii) k-ε
A questão enfrentada no início do desenvolvimento da teoria de turbulência
envolveu a forma de determinar energia cinética turbulenta (k), mas a resposta veio
através do traço do tensor de Reynolds que é proporcional à flutuação de energia
cinética turbulenta por unidade de volume ou, por vezes, somente, energia cinética
turbulenta:
U = −ØÕØÕÚÚÚÚÚÚ = Õ1ÚÚÚÚ + AÕ1ÚÚÚÚ + Õ1ÚÚÚÚÚ = −26 . (5.26)
Fazendo a substituição do tensor de Reynolds pela energia cinética turbulenta na
equação de transporte do tensor de Reynolds obtém-se a equação 5.30 - Detalhes da
transformação da equação de transporte do tensor de Reynolds em transporte da energia
cinética é apresentado por WILCOX (1998). Mas se evidencia no desenvolvimento da
equação de transporte do tensor de Reynolds um termo dissipativo (ε) expresso por:
= é ØÕ ØÕ6ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ
. (5.27)
A dissipação é a taxa na qual a energia de turbulência cinética é convertida em
energia térmica interna, ou, igual a taxa média na qual o trabalho é realizado por uma
parte flutuante do tensor deformação contra as tensões viscosas. A equação exata de
transporte da dissipação é por:
2é ØÕÙ Ù 5±Ø7ÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚÚ = 0 , (5.28)
onde N(ui) é o operador de Navier-Stokes, ou seja, a própria equação de Navier-Stokes.
WILCOX (1998) relaciona através de argumentos dimensionais a dissipação,
viscosidade turbulenta e a escala de comprimento necessário para essa modelagem de
turbulência por dua equações:
& = wú61û . (5.29)
67
Apesar da intensa utilização do modelo k-ω SST para modelagem de turbulência
o modelo k- ε possui larga tradição em seu uso para escoamento em turbomáquinas,
tendo em vista o modelo jato-esteira para previsão de desempenho, JAPIKSE (1985). E,
em escoamentos onde ocorre convecção e difusão com diferenças significativas entre
produção e dissipação de turbulência, tais como, escoamentos com recirculação.
Finalmente, as equações de transporte de ambos os parâmetros podem ser resumidas
por:
6 + ∂∂ Ü6 = 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − ϵ+ ∂∂ %& + & ∂k∂* , (5.30)
û + ∂∂ Üû= wû1 û6 2&g<ï − 23 6 ∂Ü∂ − wû2 û26+ ∂∂ %& + & ∂ε∂*
. (5.31)
Onde wþY, wþ1, wú , þe são os parâmetros de calibração:
wþY = 1.44 wþ1 = 1.92 wú = 0.09
= 1.0 þ = 1.3
û = w&S62
Þ = wú6ùQû
A produção e a dissipação da energia cinética turbulenta ficam intimamente
relacionadas em termos proporcionais, ou seja, para uma grande produção ocorre uma
dissipação proporcional. A adoção dessas formas garante que ε aumente rapidamente se
k aumentar rapidamente e que ela diminui suficientemente rápido para evitar valores
negativos, não físicos, de energia cinética turbulenta k. O fator ε/k em termos de
produção e de destruição torna estes termos dimensionalmente correto na equação ε, e,
as constantes C1ε e C2ε permite a correta proporcionalidade entre os termos do k- e ε-
da equação.
(iv) Anisotropia nos modelos de Turbulência
A teoria estatística de turbulência está preocupada com as funções de correlação
do campo vetorial turbulento de velocidade. Uma vez que o campo vetorial de
velocidade são geralmente funções tensoriais do vetor posição e de tempo,
68
(MALALASEKERA e VERSTEEG, 2007). Naturalmente essas funções têm formas
complexas e são difíceis de medir e calcular, consequentemente, desde o seu início, a
teoria estatística da turbulência foi discutida no contexto de um modelo isotrópico e
homogêneo. BIFERALE e PROCACCIA (2005), afirmam que noção de turbulência
isotrópica foi introduzida pela primeira vez em 1935, onde no escoamento turbulento os
valores médios estatísticos de cada função do campo de velocidade e os seus derivados
é invariante na rotação de qualquer dos eixos. Esta simplificação matemática reduz
drasticamente a complexidade da teoria. Portanto, a maior parte do trabalho teórico em
turbulência nos últimos 60 anos foi limitada ao modelo isotrópico.
Experimentalmente, no entanto, sabe-se que o modelo de isotropia para a
turbulência é tido apenas como uma aproximação com grau de justificação variável,
(BIFERALE e PROCACCIA, 2005). Em todos os escoamentos reais sempre existe
alguma anisotropia em todas as escalas, pois as propriedades estatísticas do campo de
velocidades são afetadas pela geometria dos contornos ou pelos mecanismos motrizes,
que são rotacionalmente invariantes. Portanto, uma descrição realista de turbulência não
pode ser puramente isotrópica e deve conter alguns elementos anisotrópicos. No
entanto, uma vez considerada a anisotropia, enfrenta-se o problema do aumento drástico
na complexidade da teoria. O número de variáveis necessárias para descrever as
quantidades estatísticas comuns, tais como, funções de correlação e funções de estrutura
do campo de velocidade elevam-se fortemente.
5.5 Algoritmo para acoplamento Pressão-Velocidade
O desenvolvimento dos métodos de solução para os problemas de convecção-
difusão exige assumir que o campo de velocidade é de alguma forma conhecida. Em
geral, o campo de velocidades, no entanto não é conhecido e emerge como parte da
solução global do processo junto com todas as outras variáveis de escoamento. Nos
escoamentos compressíveis onde a massa específica varia principalmente com a
pressão, a equação de estado pode fazer o fechamento do sistema de equações de
conservação e ainda fornecer o valor da pressão. Surge aqui mais uma questão a ser
abordada nos problemas com resolução por CFD que envolve o acoplamento entre a
pressão e velocidade.
69
Dois algoritmos para o acoplamento pressão-velocidade estão disponíveis no
ANSYS FLUENT: Um modelo segregado (Pressure-Based Solver) através dos
algoritmos SIMPLE, SIMPLER, SIMPLEC e PISO e outro modelo acoplado através
dos algoritmos (Pressure-Based Solver Coupled e Density-Based). Estas duas
abordagens estão representadas nos fluxogramas abaixo junto com a abordagem baseada
na densidade (density-based) e discutida na solução do caso ECKARDT para o caso de
validação com fluido de trabalho Ar:
Figura 5.5 – Fluxograma de algoritmos de acoplamento pressão-velocidade, (ANSYS,
2012).
O algoritmo pressão-velocidade acoplado (Pressure-Based coupled) foi
introduzido em 2006, e seu uso reduz o tempo global de simulação através da resolução
de equações de momento linear e de continuidade simultaneamente embora haja um
relativo aumento nos requisitos de memória associados para a sua utilização. Assim, no
algoritmo acoplado, dois ou três passos no algoritmo de solução segregado são
substituídos por um único passo em que o sistema acoplado de equações é resolvido. As
demais equações são resolvidas de forma dissociadas como no algoritmo segregado.
70
Uma vez que as equações de momento linear e de continuidade são resolvidas de forma
acopladas, a taxa de convergência da solução melhora significativamente quando
comparada com o algoritmo segregado. No entanto, a memória requerida aumenta em
1,5-2 vezes ao pelo algoritmo segregado, pois todas as equações de continuidade e
quantidade de movimento devem ser armazenadas na memória durante a solução para
os campos de velocidade e de pressão em lugar de apenas uma única equação, como é o
caso do algoritmo segregado.
O acoplamento pressão-velocidade (pressure-based) emprega um algoritmo
onde a pressão é derivada da continuidade e das equações de quantidade de movimento,
de tal forma, que o campo de velocidade, corrigido pela pressão, satisfaz a continuidade.
Uma vez que comportamento das equações governantes é não linear e acoplado uns aos
outros, o processo de solução envolve iterações em que todo o conjunto de equações
que governam o escoamento é resolvido repetidamente até a convergência da solução.
Este acoplamento permite, como será visto no capítulo de simulações do caso impelidor
CO2, a estabilidade e convergência das simulações.
Finalmente, comenta-se ainda que para análise de escoamento compressível, é
necessário resolver não só a continuidade e equação de conservação de quantidade de
movimento, mas também a equação de conservação de energia e uma equação de
estado. A equação de estado relaciona massa específica, temperatura e pressão. A
equação da energia para escoamentos incompressíveis importa a convecção e condução
de calor, (FERZIGER e PERIC, 2002). Enquanto, nos escoamentos compressíveis, a
dissipação viscosa (termos K∆2 e ρΦ da equação abaixo) pode ser uma fonte de calor
significativa e a conversão da energia interna em energia cinética (vice-versa), por meio
de dilatação do escoamento também importante, ou seja, todos os termos desta equação
3.4 devem ser mantidos, conforme expressa no capítulo 3.
5.6 Verificação e Validação (V&V)
A Validação e Verificação (V&V) é o objetivo final da atividade de engenharia e
de interesse científico, são definidas como processos para determinar o grau em que um
modelo é uma representação precisa do mundo real a partir da perspectiva das
utilizações previstas de um modelo, ASME V&V (2009). No entanto, a validação deve
ser precedida de um código de verificação e de uma verificação da solução. O código de
71
verificação estabelece a precisão do modelo matemático incorporado, ou seja, se o
código é livre de erros para as simulações de interesse. A verificação da solução estima
a precisão numérica de um cálculo específico.
A atividade de fluidodinâmica computacional (CFD) é uma área da engenharia
que incorpora a metodologia descrita de V&V. Neste trabalho de CFD, a avaliação do
escoamento de CO2 no interior do impelidor passou antes pela validação do modelo
numérico utilizado para a reprodução do experimento de ECKARDT (1980) com o
fluido de trabalho ar, aonde foi possível verificar o erro obtido na simulação (δmodelo e
δnumérico) em comparação com os dados experimentais. Neste processo de validação,
representado pela figura 5.6, o resultado da simulação computacional do impelidor
operando nas condições originais (fluido de trabalho ar) é comparado para os seguintes
parâmetros: razão de compressão, eficiência isentrópica e vazão mássica.
A preocupação de V & V é avaliar a precisão de uma simulação computacional
seguindo a lógica abaixo:
Figura 5.6 – Fluxograma para Validação e Verificação (ASME V&V, 2009).
72
CAPÍTULO 6 RESULTADOS
Após a breve exposição sobre a importância da verificação e validação (V&V)
para um problema com modelagem numérica, apresenta-se o experimento conduzido
por ECKARDT na década de oitenta para rotores de compressores centrífugos. Os
mapas de desempenho destes rotores, assim como a investigação dos efeitos locais têm
sido amplamente utilizados ao longo dos anos para testar a precisão e a robustez dos
códigos CFD para turbomáquinas. Atualmente, existem inúmeras iniciativas com o
propósito específico de desenvolver impelidores para operação com CO2, como
publicado por MONJE et al (2014), KIM et al (2014) e RINALDI et al (2014).
6.1 Simulação CFD do Impelidor Eckardt (Caso Ar)
O estudo realizado por ECKARDT (1980) para um impelidor de compressor
centrífugo, conhecido como o rotor Eckardt, está inserido numa série de três artigos
publicados entre as décadas de setenta e oitenta, onde foram discutidas as experiências
em dois impelidores com 20 pás cada para um compressor centrífugo, conhecidos como
Rotor O e Rotor A. O Rotor A, utilizado neste trabalho para simulação computacional,
possui 20 pás e a linha média principal possui forma elíptica (em seções cilíndricas). A
curvatura para trás das pás começa no R/R2 = 0,8 e termina na saída de pá com um
ângulo de recuo de 300. O compressor opera com velocidade de 14.000 RPM e a vazão
mássica de projeto é 4,54 kg/s. A pressão total de entrada é de 101,3 kPa e a
temperatura total é 288,1 K, (CHOI e KANG, 1999).
É necessário ainda esclarecer que o artigo de CHOI e KANG (1999) possui
relevância no procedimento de validação deste capítulo. Estes autores compilaram e
publicaram os resultados levantados por ECKARDT (1980) no ponto próximo à saída
do impelidor, ou seja, a sua avaliação considera apenas o impelidor; Enquanto o artigo
original de Eckardt apresenta o perfil da razão de pressão estática e o perfil de eficiência
isentrópico medidos ao longo da largura do difusor. CHOI e KANG (1999) tiraram um
valor médio espacial desses valores para criar os gráficos de desempenho logo após a
73
saída do impelidor, com isso, permite a avalição do compressor sem utilizar o difusor
(órgão que não é objeto deste trabalho).
Figura 6.1 - Corte transversal de impelidor Eckardt CHOI e KANG (1999).
6.1.1 Procedimento de Simulação
Na modelagem do impelidor as superfícies da parede do compressor (shroud) e
do difusor foram tratadas como estacionárias de revolução, uma única estrutura rotativa
foi empregada em todo o domínio de escoamento, permitindo, assim, a utilização de
processos de modelagem do estado estacionário. O mesmo fluido de trabalho foi
utilizado (ar), e, este modelado como um gás ideal. Após revisão bibliográfica, foi
decidido que o escoamento turbulento seria modelado através dos modelos de k-ε RNG
e k-ω SST. O simulador (solver) foi baseado no algoritmo do tipo density-based e
implícito para o cálculo de escoamento uma vez que um número de Mach subsônico era
esperado na passagem da pá (especialmente perto do bordo de fuga).
Foi adotada a metodologia de resolução de density-based, onde a equação de
continuidade é usada para obter o campo de massa específica, enquanto o campo de
pressão é determinado a partir da equação de estado. Portanto, as equações que regem a
continuidade, o momento linear, e, se necessário, a energia são resolvidas ao mesmo
tempo (isto é, acoplados). As equações não lineares discretizadas são linearizadas para
produzir um sistema de equações para as variáveis dependentes em cada célula
computacional, conforme visto no capítulo 5. A maneira pela qual as equações
governantes são linearizadas pode ter a forma "implícita" ou "explícita" em relação à
74
variável dependente (ou conjunto de variáveis) de interesse. No caso da implícita,
adotada nesta simulação, para uma dada variável, o valor desconhecido em cada célula é
calculado usando uma relação que inclui ambos os valores existentes e desconhecidos
de células vizinhas. Portanto cada variável desconhecida aparece em mais do que uma
equação no sistema, e estas equações podem ser resolvidas simultaneamente para dar as
quantidades desconhecidas.
O problema do impelidor operando com fluido Ar foi modelado como
escoamento permanente com tratamento pseudo-transiente. Da literatura existente,
MALALASEKERA e VERSTEEG (2007) observa uma similaridade entre os modelos
matemáticos de uma equação sub-relaxada em regime permanente e a uma equação em
regime transiente da conservação de quantidade de movimento. Esta similaridade
permite que os cálculos de um escoamento em regime permanente serem interpretados
como soluções “transientes” com passos de tempo variando espacialmente. A
abordagem pseudo-transiente é útil para situações em que as equações governantes dão
origem a problemas de estabilidade sem que se recorra ao modelo transiente reduzindo
assim esforço computacional.
6.1.2 Malha
Utilizando o programa disponível no pacote ANSYS para refino de malha,
utilizou-se a função sizing em determinadas arestas da geometria. Essa função permite
que o usuário varie o número de elementos ou o tamanho de cada elemento usado nas
arestas selecionadas. Assim, optou-se pela primeira opção, já que aumentar o número de
elementos por aresta torna a malha mais refinada. Foram utilizadas duas funções sizing.
A primeira era referente às 12 arestas que compõem a entrada e a saída do impelidor.
Ressaltar-se que, para a malha de 500 mil elementos, utilizou-se um fator de
crescimento (bias factor) de valor 8,5. Esse parâmetro regula a taxa de crescimento
entre os elementos que compõem a malha no canal. Ele foi utilizado para manter mais
densamente povoado de elementos a região do canal mais próxima à entrada do
impelido e nas bordas da pá. Ressalta-se ainda que houve a tentativa de utilizar um fator
de crescimento dos elementos para a malha de 700 mil, porém isso comprometia a
qualidade da malha. A qualidade malha gerada e refinada considerou os seguintes
critérios recomendados pelo próprio desenvolvedor do programa:
75
Tabela 6.1 - Qualidade de malha pela ortogonalidade – Adaptado ANSYS.
Ortogonalidade Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,001 0,001 - 0,14 0,15 - 0,20 0,20 - 0,69 0,70 -0,95 0,95 - 1,00
Tabela 6.2 - Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos – Adaptado
ANSYS.
Deformação Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,25 0,25 - 0,50 0,50 - 0,80 0,80 - 0,94 0,95 - 0,97 0,98 - 1,00
Dentre as malhas testadas (242.546, 501.499 e 701.874 elementos) a
ortogonalidade esteve abaixo de 0,21 (considerado bom) e a deformação abaixo de 0,92
(considerado aceitável). Nos testes de malhas os resultados mais consistentes e estáveis
quando comparados com os artigos de ECKARDT (1980) e CHOI e KANG (1999)
foram obtidos com malhas tetraédricas, tendo sido adotada essa malha. Buscando
reduzir o esforço computacional, principalmente, para as simulações dos pontos de
operação para o caso de CO2, o rotor foi particionado pelo número de pás (20) através
das condições de periodicidade por seção (canal) e de contorno com a pressão total na
entrada e a vazão mássica imposta na saída, conforme figura 6.2:
Figura 6.2 - Canal de impelidor com superfícies de contorno.
76
Em semelhança ao trabalho de MOURA (2007) e considerando a complexidade
da geometria do impelidor foi definida uma topologia do tipo H-J-C-L-Grid, que é a
mais recomendada para não haver diferenças significativas das malhas de uma região a
outra. Além disso, foi também incluído O-Grid para a região do impelidor para facilitar
o refinamento da malha ao redor da pá que é uma região com elevados os gradientes de
velocidade.
Figura 6.3 - Seção completa de impelidor com malha 701.874 elementos.
Neste estudo é assumido que a independência de malha é alcançada quando a
diferença entre os valores calculados e obtidos dos artigos de EKARDT (1980) e CHOI
e KANG (1999) da razão de pressão e a eficiência politrópica fossem inferiores a 5%,
conforme simulações executadas no ponto de projeto (14.000 RPM e vazão de 4,54
kg/s):
Tabela 6.3 - Resultados de simulações de refinamento de Malha.
Malha Vazão (kg/s) rpm Tubulência r c ɳk 242.546 4,54 14000 k-ω (SST) 1,954 94,79 242.546 4,54 14000 k-ε (RNG) 1,950 95,40 501.499 4,54 14000 k-ε (RNG) 1,955 95,20 501.499 4,54 14000 k-ω (SST) 1,952 95,73 701.874 4,54 14000 k-ε (RNG) 1,955 95,18 701.874 4,54 14000 k-ω (SST) 1,951 95,70
77
Observando os resultados acima e antecipando os desafios que deveriam ser
enfrentados no escoamento de CO2 quanto ao esforço computacional foi decidido por
prosseguir com as simulações de escoamento com a malha de 242.456 elementos.
6.1.3 Resultados da Simulação de Impelidor com Ar
Comparando os resultados obtidos na simulação com os artigos de CHOI e
KANG (1999) que compilaram e publicaram os resultados levantados por ECKARDT
(1980):
Tabela 6.4 – Simulações de impelidor Eckardt para caso Ar e rotação de 14.000 RPM.
Vazão (kg/s)
r c (Choi e Kang)
r c (SST)
r c (k-e RNG)
ηk (Choi e Kang)
ηk (SST)
ηk
(k-e RNG) 3,63 2,010 2,008 1,997 92,50 94,30 94,90 4,54 1,960 1,954 1,950 93,00 94,79 95,40 5,45 1,880 1,852 1,850 90,50 91,40 91,83 6,36 1,650 1,660 1,632 83,00 85,03 86,44
Verifica-se que o erro entre a razão de pressão apresentado entre no artigo de
Choi e Kang e o simulado no trabalho foi inferior à 2% para o modelo k-ε RNG (pior
caso).
Figura 6.4: Curvas de razão de pressão simuladas.
Curva de Operação Eckardt (14000 RPM)
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
2,1
2 4 6 8
Vazão mássica (kg/s)
Raz
ão d
e P
ress
ões
(P2/
P1)
Choi & Kang
SST
k-e (RNG)
78
É possível notar que existe uma diferença superior aos valores da eficiência
isentrópica de 4% para o modelo k-ε RNG (pior caso). Isto é explicado pela geometria
do impelidor que foi construída sem folga entre o shroud (ou a parede do compressor) e
a ponta externa da pá (ou impelidor), pois essa informação não estava disponível no
artigo de Eckardt. Resultando numa eficiência isentrópica ligeiramente superior à
obtida na bancada experimental. Outro aspecto a ser destacado ao analisar as
eficiências, a diferença entre os valores obtidos por Choi e Kang e os simulados (SST e
k-ε RNG) quando comparados aos valores publicados por Eckardt é explicada devido à
região onde está sendo calculada, pois a região objeto deste estudo encontra-se próxima
à saída do impelidor. Eckardt obtém a eficiência ao longo do difusor em região que
sofre influência do fenômeno de jato-esteira com impacto neste parâmetro. E, por esta
razão os dados publicados no artigo original não foram compilados na apresentação
neste trabalho.
Figura 6.5 - Curvas de eficiência isentrópica simuladas.
Apresentam-se ainda os resultados de alguns parâmetros ao longo do impelidor
obtidos por este trabalho, tabela 6-6, para cada parâmetro na simulação do caso de
projeto com vazão de 4,54 kg/s e rotação de 14000 RPM e os desvios percentuais
quando comparado com o apresentado por MOURA (2007), tabela 6-7:
Curva de Eficiência Eckardt (14000 RPM)
82
84
86
88
90
92
94
96
2 4 6 8
Vazão mássica (kg/s)
Eff
. Ise
ntró
pica
(%
)
Choi & Kang
SST
k-e (RNG)
79
Tabela 6.5 – Parâmetros ao longo do impelidor com modelo de turbulência SST.
Parâmetro Entrada Bordo de Ataque Bordo de Fuga Saída
Pressão Total (bar) 1,013 1,015 1,969 1,954
Temperatura Total (oC) 15,00 15,75 78,41 78,82
Entalpia total (kJ/kg) -9,99 -9,04 53,776 53,873
Entropia (J/kg.K) -36,374 -34,009 -25,430 -21,430
Mach absoluto 0,224 0,264 0,685 0,599
Mach relativo 0,517 0,519 0,367 0,463
U (m/s) 154,40 155,32 292,67 331,32
Cm (m/s) 75,78 83,05 92,45 76,34
Cu (m/s) -0,11 -8,12 -213,38 -189,85
C 76,11 88,58 236,74 207,86
Wu (m/s) 154,29 147,20 79,29 141,47
W (m/s) 172,82 170,56 127,07 164,79
Tabela 6.6 – Comparativos de parâmetros aos resultados de MOURA (2007).
Parâmetro Entrada Bordo de Ataque Bordo de Fuga Saída
Pressão Total (∆%) 0,00% 0,20% 0,30% 0,46%
Temperatura Total (∆%) 0,00% 0,94% 0,87% 0,73%
Entalpia total (∆%) 0,50% 1,53% 1,00% 1,31%
Entropia (∆%) 6,25% 6,20% 6,48% 0,96%
Mach absoluto (∆%) 0,45% 0,76% 0,29% 2,04%
Mach relativo (∆%) 1,57% 1,37% 1,10% 4,51%
U (∆%) 0,03% 0,23% 0,00% 0,00%
Cm (∆%) 0,25% 0,87% 2,93% 0,12%
Cu (∆%) 15,38% 6,13% 4,70% 3,73%
C (∆%) 0,65% 0,27% 3,63% 2,34%
Wu (∆%) 0,02% 0,60% 15,28% 5,50%
W (∆%) 0,17% 0,63% 6,72% 6,02%
80
Estes resultados são produtos de relatório gerado no pós-processamento através
da fermenta computacional CFX que ainda permitm demonstrar um pouco da
similaridade entre os resultados. De acordo com os resultados obtidos nas simulações o
k-ω SST foi adotado como modelo de turbulência para o pós-processamento.
6.1.4 Pós- Processamento de resultados
Após a convergência das simulações, os dados foram tratados no CFD-POST do
CFX e no próprio FLUENT que permitem processar os resultados da simulação e
levantar os diversos perfis de velocidade, pressão, número de Mach ou qualquer outra
variável que se queira conhecer os resultados em diferentes planos ou em visualização
3D. Ressalta-se ainda que o CFD-POST possui mais recursos mais sofisticados de
processamento de imagens aos do FLUENT.
O CFD-POST é customizado para as simulações de turbomáquinas. Por conta
disso, ele cria automaticamente diversos gráficos normalmente usados para a avaliação
de uma simulação de uma turbomáquina além de compilar numa tabela os dados de
desempenho (trabalho, head, razão de pressão, razão de temperatura, eficiência), os
principais números adimensionais como número de Mach, ou, outros parâmetros,
velocidades total e pressão estática daquele elemento ou conjunto de elementos
simulados. Destaca-se, entretanto que foram encontradas dificuldades na interface entre
o FLUENT e o CFD-POST, pois existem diferenças entre a denominação dos diversos
parâmetros criados e lido por cada programa, resultando em diversas oportunidades de
conflito que limitou o uso em toda a sua potencialidade dessa ferramenta de pós-
processamento e que será abordada devidamente adiante.
Considerando os resultados discutidos na seção 6.1.3 e mantendo a metodologia
utilizada por MAURO (2007) para a apresentação dos resultados: Nesta seção serão
mostrados os gráficos obtidos na simulação do compressor de ECKARDT usando o
modelo SST no ponto de projeto da máquina (vazão mássica de 4,54 kg/s e rotação de
14000 RPM e modelo de turbulência SST).
(i) Pressão e Temperatura
A figura 6.6 mostra o valor médio da pressão no plano meridional ponderada
pela massa. Note que as isobáricas são perpendiculares à curvatura do plano meridional
81
devido à viscosidade e à mudança de direção do fluxo axial para radial, tal fato, cria um
gradiente de pressão do cubo (hub) para o shroud. Ainda na mesma figura, observa-se
que o valor médio de pressão é inferior na entrada pelo “vácuo” criado na sução do
equipamento consequência do aumento de velocidade do gás admitido, enquanto na
saída do impelidor a queda justifica-se pelos efeitos discutidos no capítulo 4 por
consequência da rotação e curvatura da pá.
Figura 6.6 - Valor médio da pressão no plano meridional.
A pá possui duas regiões importantes: o bordo de ataque na extremidade para
admissão do gás e que possui neste problema a rotação da direita para a esquerda; E o
bordo de fuga que fica na extremidade de descarga do gás e que possui rotação da
esquerda para a direita. Observando as figuras 6.7 e 6.8 cada região da pá possui um
lado de menor pressão denominado “lado de sucção” e o de maior “lado de pressão”.
Observando ainda as mesmas, distinguem-se com facilidade o lado de sucção nos
bordos de ataque e de fuga e o lado de pressão estando na posição oposta da pá com
valor da pressão superior. Destaca-se ainda que o máximo valor de pressão no bordo de
fuga não ocorre na parede da pá, mas em região vizinha a esta devido à formação de
esteira na região próxima da descarga. Todos os resultados estão coerentes com a teoria.
82
Figura 6.7 - Perfil da pressão no bordo de ataque.
Figura 6.8 - Perfil da pressão no bordo de fuga.
83
Este diferencial de pressão existente em cada lado pá cria um carregamento
importante para o projeto do mecânico da pá. Em função deste esforço é possível e
talvez necessário modificar o projeto aerodinâmico da pá. Na figura 6.9 é mostrado o
resultado CFD-POST para 50% da altura da pá.
Figura 6.9 - Carregamento da pá na altura de 50% de altura
(ii) Número de Mach Absoluto e Relativo
Verifica-se também que o número de Mach tanto o relativo quanto o absoluto
pelas figuras 6.10 e 6.11 ficaram abaixo de 1 ao longo de todo impelidor, mostrando
que não existirá problema de bloqueio e que o ponto de projeto está longe de ocorrer
choque, que esta “folga” poderá diminuir à medida que este parâmetro adimensional
aumenta. O número de Mach relativo, isto é, obtido a partir da velocidade relativa, tem
o valor na entrada de 0,517, mas sofre um decréscimo ao longo da pá devido à variação
do ângulo da pá. E, ao final, este valor eleva-se é até 0,463 em consequência do
acréscimo de energia cinética do gás pelo impelidor. CUMPSTY (1989) recomenda
que a razão entre o Mach médio na saída (0,599) e o Mach relativo na entrada (0,517)
deve ficar entre 1,15 e 1,4. Recorrendo à tabela 6-5, obtém-se 1,16.
84
Figura 6.10 - Perfil do número de Mach ao longo da pá.
Figura 6.11 - Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá.
É possível ainda inferir outro aspecto relevante no projeto deste impelidor de
posse dos valores de Mach, a relação entre as velocidades relativas na saída e na entrada
no shroud (W2/W1s). CAME e ROBINSON (1999) e CUMPSTY (1989) recomendam
85
para este critério de projeto os valores entre 0,45 e 0,6. Este parâmetro possui relação
com a difusão relativa no impelidor e o ângulo da velocidade absoluta na saída do
impelidor através da largura na saída do impelidor. O desequilíbrio nos processos
difusivos podem causar uma queda de eficiência através da separação da camada limite
e aumento das perdas por atrito e por turbilhonamento (mixing losses) na saída do
impelidor, (ROMUALDO, 2011). Nesta simulação foi obtido o valor de 0,69, ou seja,
15% acima do recomendável. Este aspecto se refletirá numa zona de instabilidade na
saída do impelidor conforme será visto com as figuras das linhas de correntes.
(iii) Ângulos α & β e Velocidade Absoluta
ROMUALDO (2011) discorre sobre a importância dos ângulos α e β no
desempenho do compressor (Figura 3.2) para o torque, head, potência etc. Sabe-se que
o ângulo β é fixado a partir do momento em que se define o projeto mecânico do
impelidor, enquanto o ângulo α é função das características operacionais do compressor,
tais como, rotação, vazão, etc. Portanto, uma variação de rotação no compressor,
concorre com uma variação do ângulo α, e, por consequência, altera o triângulo de
velocidades.
Figura 6.12 - Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá.
86
Figura 6.13 - Gráfico correlacionando as perdas com α2 (MOURA, 2007).
A figura 6.12 mostra a variação dos ângulos α (45º e 60 º) e β (20º e 45º) com as
médias em torno de 60 º para α e 30º para β. Aproveitando a análise apresentada por
MOURA (2007) e conforme CAME e ROBINSON (1999), esse ângulo deve se situar
entre 69º e 73º para minimizar as perdas por turbilhonamento (mixing losses).
Calculando o ângulo α através dos valores informados pela tabela 6-5 e de
acordo com estes autores para o calculo desse parâmetro, obtém-se um valor
ligeiramente inferior ao 69o, mas ainda na região descendente da curva da figura 6.13
com maiores valores para as perdas por turbilhonamento.
Tendo em vistas os resultados acima é possível visualizar e analisar as linhas de
correntes ao longo do impelidor. O CFD-POST gera os vetores tangentes de velocidade
para 20, 50 e 80% da altura normalizada da pá, mostrados nas figuras 6.15, 6.16 e 6.17.
Apresentam-se a linhas de correntes sem as setas que definiriam o sentido, mas que por
falha de interface (FLUENT – CFD-POST CFX) não foi possível de gerar, mas
informa-se que sentido do escoamento é da esquerda para direita com o formato das
linhas (mais ou menos retas) representado um crescente na formação de regiões de
estagnação e recirculação.
87
Figura 6.14 - Linhas de corrente para 20% da altura normalizada da pá.
Figura 6.15 - Linhas de corrente para 50% da altura normalizada da pá.
88
Figura 6.16 - Linhas de corrente para 80% da altura normalizada da pá.
Observa-se ainda das figuras 6.15, 6.16 e 6.17, conforme esperado, o valor da
velocidade foi maior no bordo de ataque e no bordo de fuga (na região do cubo). Além
disso, à medida que vai aumentando a altura da pá percebe-se que pontos de baixa
velocidade com o ápice sendo atingido na região de 80% da altura normalizada da pá.
Na região próxima da carcaça do compressor (shroud) ocorrem os vórtices e
esteiras comportamento do escoamento identificado no trabalho de Eckard através da
estrutura jato-esteira, que leva a diminuição da área de passagem do gás. Esse fenômeno
é conhecido como separação jato-esteira com as maiores perdas a serem representadas
na figura 6.18 da entropia.
Finaliza-se com a visualização, figura 6.17, tridimensional das linhas de corrente
ao longo da pá representando o comportamento do fluido de trabalho. E, mais uma vez,
tem-se a oportunidade de se observar o comportamento do escoamento, principalmente,
na saída da pá com zona de instabilidade no fluxo.
89
Figura 6.17 - Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.
(iv) Perdas (Entropia)
A partir de gráfico gerado no FLUENT em sua secção de pós-processamento,
confirma-se a geração de entropia ao longo do impelidor, particularmente, na figura
6.18 temos representados a pá com a entrada e saída do impelidor. Considerando-se
toda a discussão apresentada em termos de perdas num processo de compressão real
nota-se a evolução crescente de entropia, ou em números, na entrada (sucção) -36,37
J/kg.K e na saída (descarga) -21,43 J/kg.K.
Integrando com o resultado apresentado para as linhas de correntes, onde os
fenômenos que influência as perdas (esteiras, vórtices, recirculações internas e etc)
demonstram-se mais significativos ao longo do impelidor nas posições de 80% da altura
normalizada da pá. Além disso, pode-se visualizar que existe uma perda concentrada ao
longo da parede, tanto no lado de sucção quanto no de pressão. Esse resultado é devido
ao atrito do gás na parede: A figura 6.18 apresenta ainda que a maior perda ocorre na
região próxima ao shroud (representada aqui na aresta inferior da pá).
90
Figura 6.18 – Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do
impelidor.
6.2 Simulação CFD de Impelidor Eckardt (Caso CO2)
Nesta seção do capítulo se propõe fazer algumas investigações para se avaliar a
influência no compressor quando se substitui o fluido de trabalho: O mesmo impelidor
Eckardt utilizado nas simulações anteriores com novas condições operacionais.
O uso de ferramenta computacional tipo CFD permitirá nova análise do
impelidor mesmo que não haja validação experimental para a nova condição
operacional. Esta atividade está amparada na validação das simulações, apresentadas na
seção anterior, contra os resultados apresentados por CHOI e KANG (1999) e MOURA
(2007). Além disso, a identificação dos pontos similares fora empreendida para definir a
nova rotação que permite equivalência entre os pontos simulados para operação com ar
e os novos com CO2.
91
6.2.1 Definição dos Pontos de Operação do Impelidor
Inicialmente, o objetivo foi explorar as particularidades das simulações em três
regiões distintas no diagrama temperatura e entropia (T-S) do dióxido de carbono: caso
1 na região subcrítica (14,81 atm e 20 oC), caso 2 na região próxima à crítica (70 atm e
30 oC) e caso 3 na região supercrítica (250 atm e 50 oC) respectivamente. Destes três
casos foi decido pelo primeiro, pois os testes executados próximo ao ponto crítico (caso
2) divergiram sistematicamente apesar do uso da equação de estado de Span-Wagner.
Ressaltando mais uma vez que as propriedades de fluidos perto do ponto crítico exibem
fortes variações estas variações tornam desafiadora a simulação nesta região conforme
apresentado no capítulo 3 que discutiu o comportamento das propriedades de CO2.
Figura 6.19 – Caso de avaliação no diagrama temperatura-entropia do CO2.
Diante do comportamento adverso das propriedades do ponto de vista da
modelagem e método numérico de resolução, diversos autores procuraram fazer suas
avaliações na região supercrítica evitando essa zona de transição, por exemplo, os
trabalhos publicados por SEONG et al (2014) e BALTADJIEV et al (2014). Nesta
região (caso 3) algumas simulações foram executadas, mas com resultados pouco
relevantes do ponto de vista dos fenômenos que buscavam ser evidenciados e do longo
92
tempo de processamento requerido (em média duas semanas por ponto). Uma
interessante avaliação na região acima da crítica seria avaliar a possibilidade de
condensação e sua modelagem talvez com modelo bifásico.
(i) Similaridade de pontos
Após identificação da região de interesse para a simulação no diagrama de
temperatura e entropia (T-S) do dióxido de carbono: caso 1. Foi necessário identificar a
rotação para manutenção da similaridade entre os pontos de operação do impelidor com
ar e com CO2 conforme procedimento discutido no capítulo sobre compressor
centrífugo e apresentado na tabela 6-7.
Apesar de larga aplicação da análise adimensional (similaridade) em teste de
máquinas, por exemplo, ROBERT et al (2005) observa que a correspondência dos
parâmetros adimensionais em determinado compressor utilizando dois fluidos de
trabalho diferentes não resultará necessariamente na mesma razão de pressão e
eficiência, apesar de não quantificar o efeito e, implicitamente, supor que ele é pequeno.
Uma vez que, por exemplo, são toleradas diferenças (pequenas) dos números de
Reynolds e de Mach, entre os casos avaliados. WHITFIELD e BAINES (1990)
orientam que para o número de Reynolds, considerando o seu alto valor no interior da
máquina em operação, qualquer impacto na sua variação é mitigado. Concentrando,
portanto maior atenção às variações no número de Mach.
A norma ASME PTC 10 utilizada para teste de desempenho fornece método
aproximado para predizer a velocidade em que o compressor deve ser acionado para
produzir a mesma relação de pressão com gás diferente. O método pode ser modificado
para prever aproximadamente a razão de pressão que resultaria utilizando um do fluido
de trabalho substituto na mesma rotação.
Tabela 6.7 – Similaridade entre pontos no impelidor Eckardt para Ar e CO2.
Caso Fluido Rotação (RPM)
Vazão (kg/s) Fluido
Rotação (RPM)
Vazão (kg/s)
1 Ar 14000 3,630 CO2 10089 29,340
2 Ar 14000 4,540 CO2 10103 36,660
3 Ar 14000 5,450 CO2 10078 44,000
4 Ar 14000 6,360 CO2 10062 55,000
93
Dos valores informados na tabela 6-7, foi utilizada a rotação de 10.083 RPM
obtida pela média aritmética dos pontos considerados a pequena variação (4% máxima)
entre as rotações de cada ponto e a melhor visualização do mapa operacional ao final
deste trabalho justificou esta decisão. Ressalta-se ainda que estes valores são válidos
para as seguintes condições de CO2: pressão na sucção de 14,81 atm e 20oC.
(ii) Ocorrência de condensação de CO2
Na escolha dos casos operacionais, outro aspecto ainda considerado na decisão
das condições de entrada do compressor foi evitar a possibilidade de coincidir pela
proximidade com o ponto crítico das condições de saturação nas regiões de passagem
no impelidor devido ao processo de aceleração local.
A saturação manifestará um processo de condensação que é aerodinamicamente
e mecanicamente indesejável devido ao aumento das perdas de pressão e desgaste
acelerado dos componentes rotativos, por analogia, semelhante ao bombeamento com
cavitação. Assim, para determinadas condições dadas na entrada do compressor, é
possível identificar o local de ocorrência da condensação, (MONJE et al, 2014).
As figuras 6.20 e 6.21 apresentam os resultados gráficos de uma simulação com
vazão acima do caso 4 da tabela 6-7 (próximo do choke), aonde é possível observar na
borda de ataque a pá uma região de aceleração local evidenciado pelo número de Mach
máximo (1,14) e conforme esperado na figura 6.20 observação a queda apreciável de
pressão correspondente (8,11 atm). Apesar da queda na pressão, é possível ainda operar
sem a possibilidade de formação de condensado, pois observando ainda a temperatura
(não representada graficamente, mas assumindo o valor de -5,00oC) na mesma região de
aceleração fica fora da linha de saturação. Portanto, este ponto permite que se façam as
simulações sem que seja necessário o uso, por exemplo, de modelos de escoamento
bifásicos.
Três tipos de mecanismos de perda estão associados à condensação em
turbomáquinas, a saber, perdas devido ao atrito entre as gotículas de líquido e a fase
gasosa, perda por quebra ou desgaste do equipamento resultante dos impactos das
gotículas com as pás em movimento e perda que ocorre durante a formação da fase
líquida sob condições de não equilíbrio. As regiões de baixa pressão propícias para a
condensação estão localizadas, principalmente, no bordo de ataque e no bordo de fuga
do impelidor conforme figura 6.22. A formação de condensado no bordo de fuga pode
94
ainda influenciar o estado de escoamento na admissão do difusor podendo criar novas
regiões de condensação dentro do compressor, (ZHAO et al (2014).
Figura 6.20 – Número de Mach relativo na região do bordo de ataque com o shroud.
Figura 6.21 – Pressão estática na região do bordo de ataque com o shroud.
95
O problema da condensação em turbomáquinas é conhecido para turbinas a
vapor, onde quantidade significativa do fluxo sofre uma mudança de fase à medida que
expande através dos estágios da turbina, (BALTADJIEV, 2014). No entanto, tal evento,
é raro em compressores, pois o processo de compressão ocorre usualmente fora da
região de mudança de fases. Apesar disso as condições de condensação podem ser
alcançadas devido à aceleração local do fluxo próximo do bordo de ataque do impulsor:
Nesta região a pressão estática e a temperatura do fluido decrescem.
(iii) Teste preliminar em difusor
Diferentemente do observado nas simulações com fluido de trabalho ar, a
simulação do impelidor em operação com fluido de trabalho CO2 demonstrou um
caráter significativamente transiente manifestado através do monitoramento das
variáveis pressão e vazão. Tendo em vista este comportamento transiente do
escoamento de CO2 no impelidor nas condições propostas por este trabalho (item i de
similaridade de pontos), foram investigadas as mesmas condições de escoamento
(pressão e temperatura de sução, vazão mássica e composição) num equipamento de
geometria mais simples (difusor). A simulação de escoamento de CO2 através de difusor
teve como objetivo fornecer informações básicas, principalmente qualitativas, que
poderiam ser usadas para auxiliar na definição ou validação dos pontos de operação do
impelidor em conjunto com o procedimento de definição dos pontos de similaridade de
operação, item i desta seção.
O projeto de turbomáquina, particularmente compressor, operando em condição
ainda não conhecida incluindo com o dióxido de carbono supercrítico busca
simplificações que possam auxiliar na compreensão do escoamento, e que exibam
diferenças no que diz respeito a uma condição convencional (por exemplo, com o fluido
de trabalho ar). Esta simplificação foi possível na análise dos fenômenos físicos que
ocorrem ao longo de um escoamento num difusor, principalmente pela ausência de
rotação, quando comparado com a complexa dinâmica de escoamento num impelidor de
compressor centrífugo, (MONJE, et al, 2013).
a) Modelagem físico-matemática do difusor
Sabe-se que o processo de difusão está relacionado com a capacidade de
converter energia cinética em entalpia com vistas para o acréscimo de pressão estática
96
através da redução da velocidade de escoamento. Esse acrécimo de pressão estática cria
um gradiente de pressão positivo que se opõe ao fluxo; Resultado numa desaceleração e
rápido crescimento da camada limite, ou seja, condição propícia para a sua separação
das paredes do difusor e formação de grandes vórtices instáveis com significativa
assimetria e instabilidade do fluxo de saída no difusor. Essa separação nas paredes é
chamada de stall e possui forte influência na degradação no desempenho do
equipamento para elevação de pressão. O fenônemo de stall no difusor é função das
condições de entrada e de saída do difusor, do número de Reynold e de Mach do
escoamento e da geometria difusor (geralmente o fator mais relevante).
Da teoria da camada limite obtém-se o sistema de equações após processo de
adimensionalização das equações de conservação:
+ A = 0 , (6.1)
+ A = −1 $ + é 11 , (6.2)
e
$ = 0 . (6.3)
É importante observar do sistema de equações que a pressão é a mesma que da
região de escoamento potencial. Portanto, o valor do gradiente de pressão na
extremidade da camada limite pode ser obtido da equação de Euller para escoamento
externo à camada limite:
−1 $ = . . (6.4)
Com Ue sendo a velocidade na região de escoamento potencial. Ressalta-se que as
condições utilizadas para obtenção das equações da camada limite não serem aplicáveis
na zona de separação estas equações, estas permitem descrever o fenômeno até a
vizinhança de ocorrência do ponto de separação. Logo, como é observado na operação
do difusor, a velocidade do escoamento é desacelerada (Ue<0) o gradiente de pressão
torna-se desfavorável e a espessura da camada limite cresce até a possibilidade de
descolamento (ver figura abaixo):
97
Figura 6.22 – Perfil de camada limite ao longo perfil aerodinâmico KUNDU e
COHEN (2004)
A conversão de energia está baseada geralmente em mudança de geometria
(dutos ou área entre pás de equipamento dinâmico), conforme é possível se apreender
das equações da continuidade e da conservação de energia para escoamento
incompressível e com transferência de energia via de trabalho e calor nulos (W e Q
iguais à zero):
ZA
+ZA
= 0 (6.5)
e
Zm h + V12 + gZ
+Zm h + V12 + gZ
= 0 . (6.6)
Apesar disso, o processo difusivo também pode ocorrer sem mudança de
geometria, tal como, ocorre no escoamento sobre um aerofólio. Apesar da aplicação de
difusores na indústria, são poucas as referências de sua operação com CO2, tal como o
impelidor de compressor.
A figura 6.24 ilustra os possíveis regimes nos quais um difusor pode operar
considerando os seguintes parâmetros para a antecipação do comportamento do
escoamento:
2u = 2 tan\Y √I> − 1 1ætz . (6.7)
com
98
I> = +1+g1 . (6.7.1)
Figura 6.23 – Regiões de operação de difusor MONJE (2014).
Tendo o difusor o seguinte formato geométrico:
Figura 6.24 – Geometria padrão de difusor cônico, MONJE et al (2013).
Onde Dth é o diâmetro na garganta do difusor, L o comprimento do trecho cônico, Dout o
diâmetro na saída e 2Ө ângulo de divergência. Os valores destes parâmetros
adimensionais possuem valores que levam a mesma região de operação da figura 6.27 e
semelhantes aos do impelidor quando foram definidos a operação do difusor para AR
igual à 4 e L/Dth igual à 14.
Ressalta-se que a região inferior à linha AA possui pequeno stall “no apreciable
stall” no escoamento, que conforme a figura é alcançada para moderados ângulos de
99
divergência e comprimentos não dimensionais, ou seja, a razão do comprimento (L)
pelo diâmetro (Dth). O escoamento nesta região do gráfico segue os contornos do
difusor com a possibilidade de se identificar pequenas regiões de separação de
comportamento errático localizadas geralmente na extremidade do equipamento com
pouca ou nenhuma reversão no fluxo, (BLEVINS, 2003).
Figura 6.25 – Escoamento com stall no difusor, (BLEVINS, 2003).
Aumentando o ângulo de divergência do difusor, para um dado comprimento
adimensional (L/Dth), uma segunda região de transição pode ser observada até a linha
BB na qual é caracterizado um fluxo bidimensional completamente separado em suas
paredes. O escomaneto passa a ser aleatório com forte oscilação de pressão e vazão,
além de apresentar regiões de estagnação com fluxo reverso.
Figura 6.26 – Escoamento com stall transiente no difusor, (BLEVINS, 2003).
b) Simulação computacional
• Malha e modelagem
Na simulação do escoamento de CO2 no difusor foram criadas malhas com
10.000 e 50.000 elementos. No difusor utilizou metodologia similar ao empregado no
impelidor Eckardt para o caso ar, ou seja, aplicação de função sizing (no total três). A
100
primeira função foi aplicada na parede e na seção de simetria, a segunda função, na
entrada e a terceira, na saída. Além disso, na segunda e terceira funções aplicou-se um
fator de crescimento (bia fator) para captura da camada limite. Na figura abaixo se
observa a malha com apenas parte da geometria aproveitando a simetria para redução de
esforço computacional:
Figura 6.27 – Exemplo de malha aplicada ao difusor, (MONJE, 2013).
Conforme representado, as simulações foram beneficiadas pela geometria com
simetria axial para redução do custo computacional. E, devido à simplicidade da
geometria uma malha estruturada de elemento quadrático foi selecionada.
O modelo físico de escoamento foi construído com o modelo de turbulência
semelhante ao utilizado para a simulção do impelidor do compressor k-ω SST e as
equaçãos de estado de Peng-Robinson e Span-Wagner. As propriedades do CO2 foram
semelhantes às utilizadas no impelidor, a saber, 14,81 atm e 200C na entrada do difusor
excessão necessaria para garantir a estabilidade e convergência da simulação foi definir
a condição de contorno do tipo pressão de entrada e pressão de saída (pressure-inlet &
pressure-outlet).
A condição de contorno de pressão na entrada e vazão mássica (pressure-inlet &
mass-inlet), utilizada nas simulações do impelidor, não obteve convergência em
nenhum caso testado. Considerando a pressão de descarga obtida nas simulações
preliminares do impelidor com o fluido de trabalho CO2 foi imposto o mesmo delta de
pressão (∆P) em 1,6 atm na descarga do difusor. O algoritmo de acoplamento pressão-
velocidade COUPLED pelo desempenho (convergência e estabilidade) demontrado nas
simulações preliminares do impelidor com CO2.
Deferindo da modelagem de escoamento permanente utilizada na simulação do
impelidor Eckardt operando com Ar como fluido de trabalho, foi necessário utilizar a
modelagem transiente pela presença de forte instabilidade no escoamento e identificada
de forma prévia pela teoria (stall transitório, figura 6.27) com passo de tempo de 10-4
(parâmetro definido pelo inverso da rotação - RPM - do impelidor) antecipando
procedimento necessário na simulação do impelidor com CO2 como fluido de trabalho.
101
• Resultados para o difusor operando com CO2
Os casos simulados no difusor foram selecionados pelas suas marcantes
características transientes no impelidores, tais como, os casos de menor vazão 29,34
kg/s e 36,66 kg/s definidos por similaridades de como os pontos de operação de menor
vazão para a rotação de 14000 RPM do artigo de validação deste trabalho 3,63 kg/s e
4,54 kg/s respectivamente. Utilizando a ferramenta de pós-processamento do FLUENT,
os gráficos apresentam resultados pós-processados para o caso com vazão de CO2 em
36,66 kg/s, ou seja, por similaridade, o equivalente à de 4,54 kg/s com ar.
O perfil de escoamento no difusor está de acordo com as condições de operação
impostas e coerente com a teoria apresentada, representada pela figura 6.27, ou seja, um
comportamento transiente e pulsante pode ser visto no perfil de velocidades sobre as
paredes do difusor conforme visto nas figuras 6.29, 6.30 e 6.31.
Figura 6.28 – Perfil de velocidade absoluta no difusor em operação com CO2.
Nota-se, uma importante zona de separação no difusor representada pela região
em azul com redução na velocidade absoluta (~25 m/s). Aproximando-se da descarga
do gás, figuras 6.30 e 6.31, observam-se com destaque a recirculação e estrangulamento
do escoamento na região próxima à parede do difusor com o regime de grande stall
transitório. Regime diferente do desejado para uma adequada operação do equipamento
102
com escoamento plenamente desenvolvido, pois a região de instabilidade está afetando
a sua região central (na linha central de simetria da geometria construída) onde o
escoamento deveria estar plenamente desenvolvido.
Figura 6.29 – Destaque na saída dos vetores de velocidade absoluta do difusor em
operação com CO2.
Na figura 6.31 destaca-se ainda mais a região de saída do difusor, onde há
retorno de fluxo próximo à sua parede. Na figura 6.32 observamos uma abrupta queda
do número de Mach absoluto e, conforme destacado e esperado, na figura 6.33 processo
com geração de entropia exatamente na região de formação de stall com formação de
esteireira com separação da camada limite.
A figura 6.29 permite ainda visualizar que o escoamento é estrangulado para a
região central do difusor com reduzida área útil de operação com forte desaceleração do
escoamento.
103
Figura 6.30 – Vetores de velocidade absoluta do difusor em operação com CO2.
Estas imagens servem para uma previsão qualitativa do desempenho do
impelidor conforme será visto no item 6.2.2 “Resultados da Simulação de Impelidor
com CO2”, ou seja, forte instabilidade na operação do compressor neste ponto de
operação. Esta instabilidade, figura 6.31, é explicada pela zona de recirculação que
estrangula o escoamento e a separação da camada limite na saída do difusor explica o
comportamento transiente de operação no ponto escolhido para simulação do
desempenho do compressor e indesejável para o compressor pela perda de eficiência e
pressão que provoca.
Comenta-se ainda que foram testados alguns pontos (pressão, temperatura e
vazão) acima do ponto crítico para avaliação escoamento de CO2, por exemplo, 250 atm
e 77 oC, mas sem alcançar convergência ou resultados relevantes para apresentação
tanto para as equações de estado de Peng-Robinson, quanto para equação de Span-
Wagner mesmo utilizando a condição de contorno pressão na entrada-pressão na saída
que é recomendada pelo fabricante do programa para se obter uma simulação mais
estável.
104
Figura 6.31 – Perfil de número de Mach no difusor em operação com CO2.
Figura 6.32 – Perfil de entropia no difusor em operação com CO2.
105
6.2.2 Resultados da Simulação de Impelidor com CO2
Prosseguindo nesta etapa do trabalho com as análises iniciadas na seção anterior
de avaliação de desempenho de impelidor em operação com Ar e aproveitando o caso
disponível na literatura para verificação e validação de simulação computacional;
Analisa-se a influência no desempenho de um impelidor quando substituído o gás de
trabalho. No capítulo de introdução já fora mencionada esta prática de tratamento
modular pelos fabricantes de compressores, ou seja, procedimento que utiliza projetos
pré-definidos e interdependentes dos componentes de um compressor com famílias de
impelidores e difusores associados a famílias de carcaças para uma ampla gama de
condições operacionais incluindo operação com diferentes tipos de fluidos,
(BALTADJIEV, 2012).
(i) Procedimento de Simulação
Este trabalho aproveita a geometria criada por MOURA (2007) para reproduzir o
experimento de ECKADT (1980). MOURA (2007) usou o programa de código fechado
ANSYS CFX para efetuar as simulações em 3D do impelidor projetado pelo método
unidimensional para a melhoria do projeto unidimensional com profunda investigação
para determinação de quais condições de contorno aplicar para a simulação de um
impelidor de um compressor centrífugo. A condição de contorno do tipo pressão na
entrada e vazão mássica na saída (pressure-inlet & mass-inlet) foi aplicada seguindo
essas análises efetuadas. Deve-se informar ainda que a condição pressão na entrada e
pressão na saida fora também aplicada na simulação do fluido de trabalho Ar, mas que
no caso do CO2 não apresentou estabiliade com persistente divergência nas simulações.
O algoritmo pressão-velocidade acoplado (Pressure-Based coupled) utilizado
resolve as equações de momentum e de continuidade simultaneamente embora haja um
relativo aumento nos requisitos de memória associados para a sua utilização. Este
acoplamento permitiu que as simulações do caso impelidor CO2 fossem estáveis e
obtivessem convergência. Foram utilizados métodos de discretização de segunda ordem
para elevar a precisão das simulações para ambas as equações de estado.
O modelo físico de escoamento foi construído com os modelos de turbulência k-
ε RNG com tratamento de parede (enhanced wall treatment) para compensar o pouco
refinamento de malha executado e k-ω SST. As equaçãos de estado utilizadas foram
106
equações as de Peng-Robinson e Span-Wagner. Deferindo da modelagem de
escoamento permanente utilizada na simulação do impelidor Eckardt operando com Ar
como fluido de trabalho, foi necessário utilizar a modelagem transiente pela presença de
forte instabilidade no escoamento e identificada com passo de tempo de 10-4 (parâmetro
definido pelo inverso da rotação em RPM do impelidor).
(ii) Malha
Em semelhança ao trabalho de MOURA (2007) e tendo a complexidade da
geometria do impelidor foi mantida a topologia do tipo H-J-C-L-Grid, que é a mais
recomendada para não haver diferenças significativas das malhas de uma região a outra.
Além disso, foi ainda mantido O-Grid para a região do impelidor para facilitar o
refinamento da malha ao redor da pá, região com elevados os gradientes de velocidade.
Utilizando o mesmo programa de malha disponível no pacote ANSYS para
refino de malha, utilizou-se ainda a função sizing em determinadas arestas da geometria
incluindo a pá. Para a simulação com CO2 foram testadas duas malhas com a equação
de estado Peng-Robinson, menos custosa computacionalmente, chamadas malha 1
(108.000 elementos) e malha 2 (242.546 elementos). Utilizou-se um fator de
crescimento (bias factor) de valor 4,0 para malha 2. A qualidade malha gerada e
refinada considerou os seguintes critérios recomendados pelo próprio desenvolvedor do
programa:
Tabela 6.8 – Qualidade de malha pela ortogonalidade máxima dos elementos –
Adaptado ANSYS.
Ortogonalidade Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,001 0,001 - 0,14 0,15 - 0,20 0,20 - 0,69 0,70 -0,95 0,95 - 1,00
Tabela 6.9 – Qualidade de malha pela deformação máxima dos elementos – Adaptado
ANSYS.
Deformação Excelente Muito bom Bom Aceitável Ruim Inaceitável 0 - 0,25 0,25 - 0,50 0,50 - 0,80 0,80 - 0,94 0,95 - 0,97 0,98 - 1,00
107
Dentre as malhas testadas com 108.000 e 242.546 elementos a ortogonalidade
esteve abaixo de 0,45 (considerado aceitável) e a deformação abaixo de 0,94
(considerado aceitável). Nos testes de malhas os resultados mais consistentes e estáveis
quando comparados com os artigos de ECKARDT (1980) e CHOI e KANG (1999)
foram obtidos com malhas tetraédricas. Neste estudo ainda foi assumido que a
independência de malha é alcançada quando a diferença entre os valores calculados ça e
simulados possuem diferença de até 5%, tal como, obtidos dos artigos de EKARDT
(1980) e CHOI e KANG (1999) da razão de pressão. Abaixo as simulações executadas
no ponto de projeto 36,66 kg/s:
Tabela 6.10 – Teste de malhas no impelidor Eckardt para CO2.
Malha 1 Malha 2 Turbulência Vazão (kg/s) r c r c |%|
k-ε RNG 29,34 1,87 1,84 1,7% k-ω (SST) 29,34 1,89 1,85 2,1% k-ε RNG 36,66 1,83 1,82 0,5% k-ω (SST) 36,66 1,84 1,83 0,4% k-ε RNG 44,00 1,80 1,79 0,6% k-ω (SST) 44,00 1,79 1,81 1,1% k-ε RNG 51,34 1,76 1,76 0,2% k-ω (SST) 51,34 1,76 1,77 0,5%
Observando os resultados acima, ressaltam-se os desafios pelo número de pontos
a serem testados na simulação com a equação de estado de Span-Wagner em termos de
custo computacional. Agravado pelo reduzido passo de tempo de 10-4 que contribui
significativamente nos longos períodos de simulação. Portanto, foi decidido prosseguir
com as simulações de escoamento com a malha de 242.456 elementos apesar ter sido
evidenciado na revisão bibliográfica trabalhos com até 2.000.000 elementos, mas estes
trabalhos não são suficientemente claros quanto ao âmbito de aplicação da malha: todo
o impelidor ou somente uma seção deste, como utilizado neste trabalho. Destaca-se
ainda que uma das premissas da similaridade entre pontos é considerar que a eficiência
seja mantida, mesmo que desvios ocorram, portanto nenhum tratamento foi dado para
este parâmetro.
(iii) Resultados da Simulação CFD
108
Na figura 4.1 do mapa operacional do compressor ECKARDT (1980) é possível
obter através de análise de similaridade a pressões de descarga desse compressor
operando com CO2, mesmo procedimento permitido pela norma de testes de
compressores ASME PTC 10. Seguindo este procedimento, foram identificadas as
pressões de descarga e de posse desta informação foi possível fazer uma análise dos
modelos de turbulência para definir o modelo mais apropriado para análise deste
escoamento conforme tabelas 6-11 e 6-11, onde se observa na coluna mapa os valores
obtidos pela metodologia de similaridade, enquanto a demais colunas são obtidas por
CFD com Peng-Robinson e Sapn-Wagner.
Tabela 6.11 – Teste de modelos de turbulência com equação de estado Peng-Robinson.
Mapa k-ε RNG k-ω SST
Pd Pd |%| Pd |%|
27,33 28,32 3,60% 27,97 2,3% 26,99 27,70 2,64% 27,18 0,7% 26,16 26,99 3,18% 26,49 1,3% 24,62 26,20 6,43% 26,08 5,9%
Tabela 6.12 – Teste de modelos de turbulência com equação de estado Span-Wagner.
Mapa k-ε RNG k-ω SST
Pd Pd |%| Pd |%|
27,33 28,27 3,4% 28,14 3,0% 26,99 27,98 3,7% 27,40 1,5% 26,16 27,19 3,9% 26,89 2,8% 24,62 26,15 6,2% 26,12 6,1%
De posse dos desvios percentuais, o modelo SST comprova sua eficácia para
escoamentos que sofrem forte anisotropia em superfícies com mudança de direção,
como ocorre no escoamento no interior do impelidor (MOURA, 2007). Enfatizando
ainda a sua eficácia em escoamento de característica transiente.
Interessante notar que apesar do SST oferecer bons resultados, tanto este quanto
o modelo de turbulência k-ε RNG apresentaram desempenho ruim nos pontos de
operação próximo ao choke (desvio em torno de 6,1%) quando a separação da camada
109
limite torna-se mais significativa. Outro aspecto interessante a destacar, uma vez que a
atividade de refinamento de malha não ter sido esgotada para o escoamento de CO2,
seria mais indicado o uso do modelo de turbulência k-ε com função de parede para
captar a maior taxa de crescimento da camada limite quando comparada com o ar,
segundo MONJE et al (2014). Mas, observando as tabelas 6-11 e 6-12 pode-se verificar
que a recomendação não proporcionou um resultado mais significativo.
Figura 6.33 – Curvas de razão de pressão simuladas para CO2 no impelidor.
É possível notar que a equação de Span-Wagner com o modelo de turbulência
SST possui o melhor desempenho quando comparada com a curva de similaridade. Não
obstante, um desvio acentuado nos pontos de máxima vazão (próximo ao choke) é ainda
percebido e será discutido no item de pós-processamento dos resultados, aonde será
possível visualizar de forma mais adequada o comportamento do gás no interior do
impelidor. O elevado do número de Mach absoluto na saída (próximo de 0,9) mostra
ainda que poderá existir problema de entupimento (choke) e queda acentuada da
eficiência com impacto na razão de pressão e restrição no intervalo de operação do
compressor. O intuito é visualizar os fenômenos que influenciam no desempenho do
compressor em seu impelidor, tais como, jato-esteira com recirculação interna.
Curva de Operação Eckardt CO 2 (10082 RPM)
1,700
1,750
1,800
1,850
1,900
25 30 35 40 45 50 55
Vazão mássica (kg/s)
Raz
ão d
e pr
essõ
es (
P2/
P1)
Peng-Robinson SST
Peng-Robinson RNG
Span-Wagner SST
Span-Wagner RNG
Similaridade
110
Fazendo uma comparação entre as figuras 6.4 e 6.34, apesar de sutil pelo uso da
base mássica da vazão, é possível ainda evidenciar através da figura 6.35 que a elevação
das pressões na entrada, o aumento do peso molecular e o fator de compressibilidade do
gás restringem o intervalo de operação desta máquina em conjunto com o número de
Mach discutido de forma breve no parágrafo acima, (SOROKES, 2011).
Figura 6.34 – Intervalos de operação pela variação nas condições de operação .
A curva de operação com Peng-Robinson com modelo de turbulência SST
também demonstrou desempenho interessante, demonstrando que na região de
subcrítica pode ser utilizada com benefício de menor custo computacional. Enquanto a
equação de Span-Wagner pode ser utilizada com foco em avaliação na região crítica e
acima deste caso haja limitação de processamento computacional.
Apresentam-se ainda os resultados de alguns parâmetros ao longo do impelidor
obtidos por este trabalho para cada parâmetro na simulação do caso de projeto com a
equação de estado de Span-Wagner com vazão de 36,66 kg/s e rotação de 10083 RPM
equivalente ao ponto de projeto do impelidor para Ar (4,54 kg/s e 14000 RPM):
Curvas de Operação Eckardt
1,50
1,70
1,90
2,10
0,05 0,10 0,15 0,20
Coeficiente de vazão
Raz
aõ d
e P
ress
ão (P
2/P1)
Eckardt Ar GasIdeal SST
Eckadt CO2 Span-Wagner SST
111
Tabela 6.13 – Parâmetros ao longo do impelidor para o CO2.
Parâmetro Entrada Bordo de Ataque Bordo de Fuga Saída
Pressão Total (bar) 15,07 15,13 29,38 27,70
Temperatura Total (oC) 296,37 314,15 353,02 343,59
Entalpia total (kJ/kg) 482,06 507,10 534,37 525,02
Entropia (kJ/kg.K) 2,17 2,18 2,24 2,33
Mach absoluto 0,184 0,216 0,564 0,610
Mach relativo 0,517 0,520 0,369 0,325
U (m/s) 110,96 111,52 210,73 238,19
Cm (m/s) 31,89 40,07 30,27 23,67
Cu (m/s) -22,62 -53,82 -176,77 -153,23
C 52,14 81,69 189,22 156,65
Wu (m/s) 88,34 57,70 33,96 84,96
W (m/s) 95,96 78,34 44,36 88,22
Comparando-se os números de Mach entre o simulado na operação com Ar
(tabela 6-5) e com CO2 (tabela 6-13) para o caso de projeto foi observado um desvio
pequeno no número de Mach relativo menor que 2%, mas com forte desvio nos saída
(42%) devido à aproximação da condição de choke da máquina conforme figura 6.35 e a
consequente instabilidade de operação nesse ponto.
Os resultados acima discutidos são produtos de relatório gerado no pós-
processamento através da ferramenta computacional CFX e no FLUENT.
(iv) Pós- Processamento de resultados
Após a convergência das simulações, os dados foram tratados no CFD-POST do
CFX e no próprio FLUENT que permitem processar os resultados da simulação e
levantar os diversos perfis de velocidade, pressão, número de Mach ou qualquer outra
variável que se queira conhecer os resultados em diferentes planos ou em visualização
3D. Ressalta-se ainda que o CFD-POST possui mais recursos que o FLUENT.
112
O CFD-POST é customizado para as simulações de turbomáquinas. Por conta
disso, ele cria automaticamente diversos gráficos normalmente usados para a avaliação
de uma simulação de uma turbomáquina além de compilar numa tabela os dados de
desempenho (trabalho, head, razão de pressão, razão de temperatura, eficiência), os
principais números adimensionais como número de Mach, ou, outros parâmetros,
velocidades total e pressão estática daquele elemento ou conjunto de elementos
simulados.
Considerando os resultados discutidos no item 6.1 e a metodologia adotada para
a apresentação dos resultados: Nesta seção serão mostrados os gráficos obtidos na
simulação CO2 no compressor de ECKARDT usando a equação de San-Wagner e o
modelo SST no ponto de projeto da máquina (vazão mássica de 36,66 kg/s e rotação de
10.082 RPM). Deve-se ressaltar que no difusor foi identificado uma significativa zona
de separação e esteira na saída do difusor neste ponto tido como operacional para o
impelidor. Este comportamento também é esperado neste ponto operacional do
compressor.
a) Pressão e Temperatura:
Pode ser observado nas figuras 6.36 e 6.37 o lado de sucção nos bordos de
ataque e de fuga e o lado de pressão estando na posição oposta da pá com o valor da
pressão sendo nitidamente maior ao de lado de sucção. Esses resultados estão em
conformidade com a teoria e compatíveis com a direção da rotação.
Os lados de maior pressão possuem picos maiores aos observados no caso
apresentado pelas figuras 6.7 e 6.8. Este pico possui relação direta com a nova condição
de operação de maior pressão, apesar das relações de pressões serem relativamente
próximas em média de ± 5% para as novas condições de operação.
Este pico de pressão quando analisado em conjunto figura 6.35, onde foi
evidenciado que a operação do impelidor com gás de maior peso molecular e número de
Mach pode proporcionar uma redução no intervalo de operação, podem trazer sérios
riscos à integridade do equipamento pela proximidade e possibilidade do equipamento
operar na região de choke.
113
Figura 6.35 – Perfil da pressão no bordo de ataque para CO2 no impelidor.
Figura 6.36 – Perfil da pressão no bordo de fuga para CO2 no impelidor.
114
SOROKES et al (2006), discutem sobre o fenômeno de choke e da operação em
tempo prolongado nesta região, ou seja, possíveis falha envolvendo fraturas no
impelidor. Esta falha é resultado das forças dinâmicas causadas pela combinação de
incidência no bordo de ataque e uma distribuição de pressão não uniforme.
Este diferencial de pressão cria um carregamento importante e que por
consequência das novas pressões eleva mais o carregamento da pá a ser considerado em
seu projeto mecânico. Recomenda-se análise por fluidodinâmica computacional (CFD)
e análise de elementos finitos (FEA) para fornecer uma imagem mais clara das forças
impostas ao impelidor operando fora de seu intervalo de projeto original. Na figura
6.38 é mostrado o resultado CFD-POST para 50% da altura da pá. Este valor ficou 46%
maior ao observado na figura 6.9
Figura 6.37 – Carregamento da pá na altura de 50%.
b) Número de Mach Absoluto e Relativo:
As figuras 6.39 a 6.40 mostrando o efeito das linhas de corrente da velocidade
consistentes com o esperado, pois mostram a existência de esteiras que se tornam
115
maiores na parte mais alta da pá do impelidor, perto do shroud. É nessa região que
passa a ocorrer o fenômeno de separação jato-esteira que contribui bastante para a
queda de eficiência do impelidor.
Esse resultado também é consistente com o maior número de Mach na saída.
Devido à ocorrência de ao forte estrangulamento que existe a passagem do fluido
devido à formação de esteiras (figuras 6.41, 6,42 e 6.43), pois o fluido tende a acelerar
nessa região, aumentando o número de Mach. Todo projeto de impelidor procura
diminuir as esteiras que se formam nessa região, mas a mudança na condição de projeto
implicou num valor de Mach acima do verificado no caso original.
Verifica-se também que o número de Mach absoluto ficou abaixo 0,9, mas o
número de Mach relativo na borda de ataque ficou próximo de 1,01: Alguns fabricantes
limitam a capacidade de sobrecarga da pá com base em valores calculados para número
de Mach relativo na entrada. Tipicamente, o limite é calculado para o número de Mach
em 1,0. No entanto, conservadoramente, alguns fabricantes definem o limite de
sobrecarga em 0,96 ou inferior. Ressalta-se a análise sugerida de fluido-estrutura para
previsão de falhas deste impelidor operando na nova condição de pressão, vazão e tipo
de gás, SOROKES et al (2006).
O número de Mach relativo tem o valor na entrada de 0,396, mas sofre um
decréscimo ao longo da pá devido a variação do ângulo da pá. E, ao final, este valor
elevado até 0,328 em consequência da elevação da velocidade pelo acréscimo de
energia cinética do gás pelo impelidor. CUMPSTY (1989) recomenda que a razão entre
o Mach médio na saída (0,592) e o Mach relativo na entrada (0,395) deve ficar entre
1,15 e 1,4. Recorrendo à tabela 6.13, obtém-se 1,49 acima do recomentado.
Na avaliação da relação entre as velocidades relativas na saída e na entrada no
shroud (W2/W1s) foi obtido o valor de 0,8 através da relação entre os números de Mach
relativos na saída e na entrada do shoroud e acima do recomendado por CAME e
ROBINSON (1999) e CUMPSTY (1989), ou seja, entre 0,45 e 0,6. Este valor está
coerente com o observado nas linhas de correntes nas figuras 6.44 e 6.45, uma vez que
um forte turbilhonamento e separação da camada limite estão presente na saída do
impelidor.
116
Figura 6.38 – Perfil do número de Mach ao longo da pá para CO2 no impelidor.
Figura 6.39 – Perfil do número de Mach relativo ao longo da pá para CO2 no impelidor.
117
c) Ângulos α & β e Velocidade Absoluta
O gráfico 6.41 mostra a variação dos ângulos α (-10º e 0º) e β (20º e 45º) com as
médias em torno de 70 º para α e 35º para β. Importante verificar o forte desvio na
entrada e saída da pá mensurado pelo o ângulo α formado entre as componentes da
velocidade absoluta (V) e tangencial (U). Em relação ao ângulo na entrada, é possível
também verificar que há uma defasagem entre o ângulo do gás na entrada e o ângulo da
pá em rotação que ocasiona perdas por incidência, conforme indicado na figura 6.46 no
tópico sore entropia. Além disso, na saída o forte desfio apresentado no gráfico é
justificado pelo turbilhonamento e recirculação do gás neste região figura 6.43.
CAME e ROBINSON (1999) recomendam que o ângulo α deva se situar entre
69º e 73º para minimizar as perdas por turbilhonamento (mixing losses). Foi verificado
um valor médio de 70o ao longo da pá, mas nas suas extremidades a curva possui perfil
ascendente e descendente respectivamente que por consequência excedem este intervalo
recomendado, conforme já discutido, pela incidência na entrada e turbilhonamento na
saída.
Figura 6.40 – Ângulos α & β no bordo de ataque ao longo da pá.
118
Tendo em vistas os resultados acima é possível visualizar e analisar a linha de
corrente da velocidade ao longo do impelidor. O CFD-POST gera os vetores dessa
velocidade para 20, 50 e 80% da altura normalizada da pá, mostrados nas figuras 6.42 a
6.44. Aqui se apresentam a linhas de correntes sem as setas que definiriam o vetor, mas
que por falha de interface (FLUENT – CFD-POST CFX), a exemplo das simulações
executadas com o ar, não foi possível de gerar, mas informa-se que a direção do fluxo é
da esquerda para direita.
Figura 6.41 – Linhas de corrente para 20% da altura da pá para CO2.
Observa-se dos gráficos 6.42, 6.43 e 6,44, e, conforme esperado, o valor da
velocidade foi maior no bordo de ataque. Diferentemente ao observado no caso
simulado com ar, nota-se uma região de desaceleração do gás já na região próxima ao
cubo (hub), aonde não se espera que ocorra forte influência da zona de separação e
esteira. O alto valor do número de Mach mostrado indica que poderá existir problema
de entupimento e que o ponto de projeto está próximo do choke. Esta desvantagem
evidencia de forma prática o observado na figura 6.34 da reduzida faixa de operação em
que o compressor está submetido.
119
Figura 6.42 – Linhas de corrente para 50% da altura da pá para CO2.
Figura 6.43 – Linhas de corrente para 80% da altura da pá para CO2.
120
Na altura de 80% (figura 6.43), as linhas de corrente da velocidade estão
bastante consistentes com o esperado, pois mostram a existência de esteiras que se
tornam maiores na parte mais alta da pá do impelidor, perto do shroud. É nessa região
que passa a ocorrer o fenômeno de separação jato-esteira que contribui bastante para a
queda de eficiência do impelidor. Verifica-se que as maiores variações da entropia
figura 6.46 estão justamente nas regiões onde ocorrem os fenômenos de turbulência.
Finaliza-se com a visualização tridimensional das linhas de corrente da
velocidade ao longo da pá representando o comportamento do fluido de trabalho. E,
mais uma vez, tem-se a oportunidade de se observar o comportamento do escoamento,
principalmente, na saída da pá com zona de instabilidade no fluxo.
Figura 6.44 – Perspectiva tridimensional das linhas de corrente ao longo da pá.
d) PERDAS (Entropia)
Nas figuras 6.46 e 6.47 temos o processo de compressão real indicado pela seta e
a pá com a entrada e saída do impelidor respectivamente. Considerando as perdas do
processo de compressão real nota-se a evolução crescente de entropia da entrada
(sucção) 2,17 kJ/kg.K e na saída (descarga) -2,24 kJ/kg.K. Os resultados são
121
consistentes com o processo de compressão real simulado e que ocorre visualizado no
diagrama temperatura e entropia (T-S).
Figura 6.45 – Processo de Compressão de CO2 no diagrama T-S.
Figura 6.46 – Variação da entropia na entrada, saída e ao longo da pá do
impelidor.
122
O resultado apresentado para as linhas de correntes permitem visualizar os
fenômenos que relacionados com as perdas por esteira, turbilhonamento e incidência na
entrada que se demonstram mais significativos na saída do impelido e ao longo do
impelidor nas posições de 50% e 80% da altura normalizada da pá. Além disso, pode-se
visualizar que existe uma perda concentrada por incidência, mais especificamente, na
extremidade da pá na entrada. A incidência é definida como a diferença entre o ângulo
do fluxo relativo do gás que se aproxima da pá do impelidor em rotação e o
ângulo de pá do impelidor, (SOROKES, 2011). O fenômeno pode ser identificado na
figura 6.47 região da pá com o shroud.
123
CAPÍTULO 7 CONCLUSÕES
O objetivo desta dissertação de mestrado foi avaliar o desempenho de um
compressor centrífugo operando em condição diferente ao seu projeto original,
aplicando uma ferramenta de fluidodinâmica computacional (CFD) na simulação de
escoamento de gás com comportamento real no interior de impelidor. No
empreendimento deste projeto, foram aplicados conhecimentos de diversas áreas, tais
como, mecânica dos fluidos, turbulência, termodinâmica, matemática aplicada e
métodos numéricos para a resolução de equações diferenciais parciais.
7.1 Conclusões
Tendo em vista os elevados custos de fabricação e teste de um novo compressor
centrífugo, este trabalho reforça o uso de uma ferramenta computacional do tipo CFD
no projeto de um compressor dada a sua utilidade e versatilidade. Essa análise permite
redução no tempo de concepção e dos custos envolvidos no seu desenvolvimento, pois a
metodologia de tentativa e erro torna-se desnecessária para o projeto na fase de
concepção, (KIM et al, 2014). Não obstante, é necessário observar alguns preceitos
importantes para uma simulação aderente à realidade investigada: geometria fiel às
dimensões dos componentes da máquina, malha adequada (aspectos relativos à
qualidade e topologia, por exemplo) e refinada nas regiões de maiores gradientes de
velocidade e de pressão, onde a qualidade destes deve ser controlada.
Aspectos fundamentais ainda observados no planejamento e ao longo das
simulações foram a definição das condições de contorno e dos algoritmos de resolução
dos problemas. A convergência e estabilidade das simulações do impelidor operando
tanto com Ar quanto com CO2, foram alcançadas utilizando as condições de pressão-
entrada e vazão-mássica-saída, apesar de considerada inferior em termos de robustez
pelo fabricante do programa. No difusor a simulação foi possível apenas na condição
pressão-entrada e pressão-saída para o escoamento de CO2. Dois tipos de métodos de
resolução foram utilizados para as simulações: density-based em regime permanente
com sub-relaxação pseudo-transiente para o impelidor operando com ar, e o método
pressure-based acoplado para regime transiente no caso de impelidor com CO2 apesar
124
do número de Mach acima de 0,3 que indicaria o uso de simulador density-based,
devido ao forte caráter instável do escoamento.
As simulações foram executadas para diversas malhas, cujo número de
elementos (240.000 a 700.000) era variado seguindo os critérios de qualidade
recomendados pelo fabricante do programa. Os resultados encontrados foram utilizados
no levantamento das curvas de desempenho características do compressor para
comparação com dados experimentais disponíveis na literatura. Para o caso de validação
usando os dados de ECKARDT (1980) com fluido de trabalho ar, foi necessário fazer
alguns ajustes na geometria do impelidor para aproveitar seu aspecto periódico e reduzir
o esforço computacional principalmente nas simulações com malha de maior número de
elementos e uma equação de estado mais robusta (Span-Wagner).
As simulações utilizaram as propriedades do gás obtidas através de duas
equações de estado, Span-Wagner e Peng-Robinson, que demonstraram desempenho
semelhante na faixa de operação explorada. Este aspecto deve ser enfatizado, uma vez
que a equação desenvolvida por SPAN e WAGNER (1996) demanda grande esforço
computacional, onde cada ponto operacional simulado consumia aproximadamente duas
semanas até a sua convergência (em computador de quatro núcleos). Desempenho
distinto ao obtido pela equação de PENG e ROBINSON (1976), aonde o tempo de
simulação incluía apenas alguns dias (três) para convergência. Portanto, recomenda-se
para simulação com CO2 abaixo do ponto crítico uma equação de estado menos
sofisticada, tal como, Peng-Robinson ou Lee-Kesler, de acordo com a revisão
bibliográfica (BALTADJIEV, 2012) e (SANDBERG, 2005).
Os modelos de turbulência adotados para modelagem do escoamento do gás de
comportamento ideal (ar) e para o de comportamento real (CO2) foram k-ε RNG e k-ω
SST. Estes dois modelos de turbulência tem ampla aplicação em simulações de
turbomáquinas, mas o modelo de turbulência k-ω SST foi validado para este problema
por apresenta os resultados com maior exatidão entre os dois avaliados, quando
comparado com os dados experimentais de desempenho (razão de pressão e de
eficiência isentrópica) do impelidor Eckardt em operação com ar. E também no caso do
CO2 onde o efeito de separação jato-esteira é maior. A extensão do domínio para reter
os fenômenos de turbulência na saída do impelidor que interferem diretamente na sua
eficiência, portanto domínio deve ser suficientemente grande para poder captar as
esteiras formadas que fazem o fluido retornar para o impelidor, criando uma região de
125
estagnação. É fundamental o projetista fazer uma análise crítica dos resultados para
avaliar se eles estão coerentes com o esperado, (MOURA, 2007).
7.2 Contribuições
Inúmeras iniciativas são empreendidas atualmente no mundo para desenvolver
um compressor de CO2 para aplicação em ciclos de potência com fluido supercrítico (S-
CO2) RINALDI et al (2014); Entretanto, todas envolvem o projeto, fabricação e teste
de um protótipo. A proposta apresentada explorou parte de uma prática industrial que
envolve aproveitar um projeto de máquina conhecido para uso em novas condições
operacionais. Portanto, foram executadas diferentes simulações com o intuito de avaliar
o impacto de diversos parâmetros termodinâmicos e geométricos no desempenho do
impelidor para identificar possíveis ajustes no projeto unidimensional, antes de se
construir um protótipo. Esta metodologia inclui ainda verificar escoamento no interior
de equipamento mais simples para fazer inferências sobre possíveis pontos
operacionais. Os resultados apresentados podem ser aproveitados em áreas distintas
como no diagnóstico de problemas de desempenho em compressores de CO2 e avaliação
de projeto de máquina. A avaliação das duas importantes equações de estados
disponíveis para cálculo de propriedades de CO2 contribuiu para validar seu intervalo de
aplicação. Objeto ainda de diversas pesquisas e desenvolvimentos o regime transiente
também foi simulado.
7.3 Sugestões para Trabalhos Futuros
O presente trabalho abre caminho para o desenvolvimento de estudos
aprofundados na área de avaliação de projetos de compressores de gases com
comportamento não ideal, por exemplo, sistemas de compressão de CO2 em
plataformas. De forma complementar, o presente estudo, que fez uso de geometria pré-
definida (Eckardt), pode ser expandido através da análise de diversas outras condições
operacionais ou de projeto, tais como:
126
1. Estudar a precisão da equação de Span-Wagner para misturas de CO2 com
hidrocarboneto e avaliar outras equações de estado na região subcrítica e crítica com
esta composição que é comum na indústria em diversas aplicações;
2. Pesquisar um método mais estável para análise numérica representando ambas as
regiões subcríticas e supercríticas;
3. Investigar condição de operação com escoamento bifásico pela condensação e
mecanismo de nucleação no interior do impelidor e sua influência na interação
fluido-estrutura. Além disso, estudar um modelo numérico mais adequado para a
região de condensação para a análise precisa em CFD;
4. Investigar outros pontos de interesse operacional no diagrama temperatura e
entropia (T-S) para diferentes rotações e vazões mássicas percorrendo todo o
envelope operacional do compressor para analisar o seu comportamento;
5. Simular todos os casos apresentados neste trabalho investigando a influência no
desempenho do compressor com folga entre a pá e o shroud;
6. A análise da operação em conjunto impelidor e difusor em simulações 1D e 3D
combinadas para estudo de desempenho global de compressor centrífugo e para
auxiliar na aplicação de ferramentas de otimização para evidenciar aspectos mais
relevantes nos projetos destes equipamentos no futuro, uma vez o esforço que está
sendo empreendido a nível internacional para desenvolver este equipamento,
conforme apresentado na revisão bibliográfica.
Finalmente, embora os modelos e metodologias aqui discutidos ainda demandem
melhorias, eles podem fornecer razoável visão desempenho na predição e informações
sobre o campo de escoamento que possam ser usadas em projeto de compressor de gás
não usual, (RINALDI et al, 2014).
127
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