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Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
LTI-Systemxi(t) yi(t)
LTI: Linear Time Invariant
was bedeutet das? ⇒ wird zunächst geklärt
wie reagiert ein solches System auf ein beliebigesEingangssignal? ⇒ zunächst verwenden wir eineApproximation
wir werden sehen: die Antwort des Systems (betrachtet imZeitbereich) ist durch die Faltung des Eingangssignals mit derImpulsantwort gegeben
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 33
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: zur Zeitinvarianz (1)
0 2 4 6 8 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t in s
Amplitudein
Vx1(t)
y1(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 34
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: zur Zeitinvarianz (2)
0 2 4 6 8 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t in s
Amplitudein
Vx2(t) = x1(t−2 s)
y2(t) = y1(t−2 s)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 35
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: zur Linearität (1)
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
t in s
Amplitudein
Vx1(t)
y1(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 36
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: zur Linearität (2)
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
t in s
Amplitudein
Vx1(t)
y1(t)
x2(t) = 0.5x1(t)
y2(t) = 0.5y1(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 37
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: zur Linearität (3)
0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.5
0
0.5
1
t in s
Amplitudein
Vx1(t)
y1(t)
x2(t) = 0.5x1(t)
y2(t) = 0.5y1(t)
x3(t) = −x1(t)
y3(t) = −y1(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 38
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: LTI-System (1)
0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t in s
Amplitudein
Vx1(t)
y1(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 39
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: LTI-System (2)
0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t in s
Amplitudein
Vx2(t)
y2(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 40
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Einführung: LTI-System (3)
0 2 4 6 8 10-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
t in s
Amplitudein
V y1(t)y2(t)
x3(t) = x1(t) + x2(t)
y3(t) = y1(t) + y2(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 41
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
LTI-Systemx∆(t) g∆(t)
nun sei das Eingangssignal ein Rechteckimpuls mit konstanterFläche (Impulsmoment):
x∆(t) =1
∆T· rect
( t
∆T
)
das Ausgangssignal soll mit g∆(t) bezeichnet werden
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 42
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
-1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t in s
Ausgan
gsam
plitudeg∆(t)in
1/s
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 43
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
-1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t in s
Ausgan
gsam
plitudeg∆(t)in
1/s
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 44
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
-1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t in s
Ausgan
gsam
plitudeg∆(t)in
1/s
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 45
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
-1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t in s
Ausgan
gsam
plitudeg∆(t)in
1/s
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 46
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
-1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
t in s
Ausgan
gsam
plitudeg∆(t)in
1/s
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 47
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
-1 0 1 2 3 4 5
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5 t = 0.05 s (Eingang) t = 0.05 s (Ausgang) t -> 0 (Ausgang)
t in s
Ausgan
gsam
plitudeg∆(t)in
1/s
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 48
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf einen Impuls mit festem Impulsmoment
wird ein LTI-System mit einem Rechteckimpuls
x∆(t) =1
∆Trect
( t
∆T
)
konstanter Fläche beaufschlagt, dann hat auch dasAusgangssignal g∆(t) eine konstante Fläche
je geringer die Impulsdauer (bei gleicher Fläche) wird, destomehr nähert sich die Antwort g∆(t) einer Form, die nur nochvom System selbst abhängt
für ∆T → 0, d.h., x∆(t) = δ(t), erhält man dieImpulsantwort g(t) des LTI-Systems
die Funktion g(t) beschreibt das LTI-System im Zeitbereichvollständig
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 49
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
LTI-Systemx(t) bzw. xa(t) y(t) bzw . ya(t)
nun soll die Reaktion auf ein beliebiges Eingangssignal x(t)bestimmt werden
da wir die Reaktion auf einen (sehr schmalen) Rechteckimpulsschon kennen, approximieren wir das Eingangssignal x(t)durch ein Folge von gewichteten Rechteckimpulsen
das ergibt eine treppenförmige Approximation xa(t) von x(t)
aufgrund der Linearität und Zeitinvarianz muss sich dasapproximierte Ausgangssignal ya(t) dann aus der Überlagerungeinzelnen Antworten auf die Rechteckimpulse ergeben⇒ wir haben ein passendes mathematisches Modell gefunden
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 50
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 51
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x(0) x (t) T
x(0) g (t) T
t in s
Amplitudein
V
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 52
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x(0) x (t) T
x(0) g (t) T
x( T) x (t- T) T
x( T) g (t- T) T
t in s
Amplitudein
V
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 53
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
0 1 2 3 4 5-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1x(0) x (t) T
x(0) g (t) T
x( T) x (t- T) T
x( T) g (t- T) T
x(2 T) x (t-2 T) T
x(2 T) g (t-2 T) T
t in s
Amplitudein
V
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 54
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 55
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Approximation
0 1 2 3 4 5 6
-2
-1
0
1
2x(t)y(t)y
a(t)
t in s
Amplitudein
V
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 56
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Reaktion des Systems auf ein beliebiges Signal: Faltungsintegral
Eingangssignal:
Approximation: xa(t) =∞∑
n=−∞x(n ·∆T ) · x∆(t − n ·∆T ) ·∆T
exakt: x(t) =∞∫
−∞
x(τ) · δ(t − τ)dτ = x(t) ∗ δ(t) ,
da für ∆T → 0 folgt: ∆T → dτ , n ·∆T → τ undx∆(t) =
1∆T · rect
(
t∆T
)
→ δ(t)
Ausgangssignal:
Approximation: ya(t) =∞∑
n=−∞x(n ·∆T ) · g∆(t − n ·∆T ) ·∆T
exakt: y(t) =∞∫
−∞
x(τ) · g(t − τ)dτ = x(t) ∗ g(t) ,
da für ∆T → 0 folgt: g∆(t) → g(t)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 57
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Eigenfunktionen des LTI-Systems:
LTI-Systemej2πf0t G (f0) · e
j2πf0t
liegt am Eingang eines LTI-Systems eine komplexeSchwingung mit der Frequenz f0 an, dann ist dasAusgangssignal durch die selbe komplexe Schwingung,gewichtet mit G (f0), gegeben, wobei g(t) ❝ sG (f )
G (f ) = |G (f ) · ejφ(f ) wird Übertragungsfunktion genannt
mit Hilfe der Fouriertransformation wird ein Zeitvorgang x(t)als nicht abzählbar unendliche Reihe solcher Eigenfunktionendargestellt: x(t) =
∫
∞
−∞X (f ) · ej2πft df
für x(t) = cos(2πf0t) gilt ganz ähnlich:
LTI-Systemcos(2πf0t) |G (f0)| · cos(2πf0t + φ(f0))
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 58
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Betragsverlauf der im Beispiel betrachteten Übertragungsfunktion
-4 -2 0 2 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f in Hz
|G(f)|
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 59
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Betragsverlauf der im Beispiel betrachteten Übertragungsfunktion
10-2 10-1 100 101-100
-80
-60
-40
-20
0
f in Hz
20·log10|G
(f)|
indB
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 60
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Phasenverlauf der im Beispiel betrachteten Übertragungsfunktion
10-2 10-1 100 101-500
-400
-300
-200
-100
0
f in Hz
φ(f)
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 61
Das Faltungsintegral am Beispiel eines LTI-Systems
Zugehörige Gruppenlaufzeit
10-2 10-1 100 1010
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f in Hz
−1 2π·
dφ(f)
df
ins
Dr. Mike Wolf, Fachgebiet Nachrichtentechnik Signale und Systeme 1 62
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