View
235
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 44
TRANSFER MOMENTUM
ALIRAN DALAM ANULUS
Aliran dalam anulus adalah aliran di antara dua pipa yang segaris pusat. Jadi ada pipa besar dan ada pipa kecil. Pipa kecil berada dalam pipa besar. Ruang yang terbentuk oleh dua pipa ini disebut anulus.
Untuk keperluan analisis aliran, kita tetapkan terlebih dahulu jari-jari pipa, yaitu ROI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam. RIO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar. Sketsa aliran fluidanya adalah seperti pada gambar berikut. Di sini fluida bergerak ke arah kanan (arah x positif).
Pipa besar
Pipa kecil
Ruang anulus
ROI adalah jari-jari pipa luar bagian dalam.
RIO adalah jari-jari pipa dalam bagian luar.
Fluida mengalir di antara RIO dan ROI.
ROI
RIO
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 45
Untuk memudahkan analisis, sistem pada gambar di atas ini masih harus dijelaskan lebih lanjut dalam bentuk volume atur (Control Volume) agar kita bisa membuat neraca momentumnya. Gambarannya seperti berikut.
Pipa luar
Pipa dalam
ROI RIO
r
∆r Volume atur berbentuk gelang dengan ketebalan dr dan berjari-jarir r. Tekanan pada sisi yg menghadap pembaca sebesar p1 dan sebesar p2 pada sisi penampang yang menembus halaman ini.
Fluida mengalir dari arah pembaca menuju ke arah belakang halaman ini.
L
r
x
ROI
p2 p1
Fluida: ρ , μ
Fluida: ρ , μ
p1 p2 RIO
X = 0 X = L
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 46
Analisis Terhadap Volume Atur Neraca Gaya:
1. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = 0 sebesar F1 = p1A; A = 2πr∆r
Jadi F1 = p1[2πr∆r]
2. Ada gaya (tekanan) pada posisi x = L sebesar F2 = -p2A; Jadi F2 = -p2[2πr∆r]
3. Ada gaya (viskous) masuk ke elemen volume melalui permukaan dalam pada posisi r, yaitu:
[2휋푟퐿. 휏 ] 4. Ada Gaya (viskous) keluar dari elemen volume melalui
permukaan luar pada posisi r+∆r, yaitu:
[2휋푟∆푟퐿. 휏 ] ∆ 5. Ada gaya (inersia) masuk pada penampang 1, (pada x = 0),
sebesar:
[2휋푟∆푟푣푥. 휌푣푥]
6. Ada momentum (gaya inersia) keluar pada penampang 2, (pada x = L), sebesar:
−[2휋푟∆푟푣푥. 휌푣푥]
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 47
Sekarang kita jumlahkan semua gaya:
p1[2πr∆r] - p2[2πr∆r] + [2πrL. τ ]
- [2πrL. τ ] ∆ + [2πr∆rvx . ρvx]
- [2πr∆rvx . ρvx] = 0 (keadaan stedi) Di sini suku ke-5 dan ke-6 saling meniadakan karena vx-nya sama (A sama). Sehingga kita peroleh:
p1[2πr∆r] - p2[2πr∆r] +[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫−[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫+∆퐫 = 0
Atau:
[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫 ∆퐫−[ퟐ훑퐫퐋. 훕퐫퐱]퐫
=[2πr∆r] (p1-p2) Kita bagi dengan 2π∆rL
2π L rτrx|r+∆r – rτrx|r2π∆rL =
[2πr∆r](p1 − p2)2π∆rL
Kita peroleh:
rτrx|r+∆r – rτrx|r ∆r =
r (p1 − p2)L
Kalau nilai ∆r diambil limitnya mendekati nol, maka suku sebelah kiri merupakan turunan pertama terhadap rτrx, yaitu:
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 48
푑푑푟
(푟휏 ) = ∆푝퐿
푟
dan ∆푝 = (푝 − 푝 ) . Atau:
푑(푟휏 ) = ∆푝퐿
푟푑푟 Untuk memperoleh distribusi fluks momentum, persamaan ini kita ingtegralkan:
푑(푟휏 ) = ∆푝퐿
푟푑푟 Kita peroleh:
푟휏 = ∆푝퐿
12
푟 + 퐶 atau
휏 = ∆푝2퐿
푟 + 퐶푟
Berapakah nilai C1 ?? Sayang sekali, tidak ada informasi sedikitpun tentang nilai fluksi momentum baik pada r = RIO maupun pada r = ROI. Namun masih bisa dimanipulasikan, bahwa pada posisi r tertentu terdapat kecepatan aliran yang maksimum, misalnya saja posisi yang dimaksud adalah pada jarak r = ξ ROI.
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 49
Pada jarak r = ξ ROI, fluksi momentumnya adalah nol. Sehingga, persamaan
휏 = ∆푝2퐿
푟 + 퐶푟
dengan memasukkan r = ξ ROI, menjadi:
0 = ∆푝2퐿
ξ ROI + 퐶
ξ ROI
Atau C1-nya adalah:
퐶 = −∆푝2퐿 (ξ ROI)
Dengan demikian:
휏 = ∆푝2퐿 푟 +
− ∆푝2퐿 (ξ ROI)
푟
휏 = ∆푝ROI
2퐿푟
ROI− ξ
ROI
푟
Ingat bahwa ξ masih belum diketahui. Tujuan menggantikan konstanta integrasi C1 dengan ξ semata-mata karena ξ memiliki arti fisis yang cukup bermakna.
ROI RIO
r
∆r
r = ξ ROI
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 50
Terapkan hukum Newton tentang viskositas:
휏 = −휇 푑푉푥푑푟
maka:
푑푉푑푟
= −∆푝ROI
2휇퐿
푟
ROI
− ξ 2ROI
푟
Atau:
푑푉 = −∆푝ROI
2휇퐿
푟
ROI
− ξ 2ROI
푟푑푟
Integrasikan:
푑푉 = −∆푝ROI
2휇퐿
푟
ROI
− ξ 2ROI
푟푑푟
Diperoleh:
푉 = −∆푝ROI
4휇퐿
푟2
ROI
− 2ξ 2ROI ln 푟 + C2
Atau:
푉 = −∆푝ROI
2
4휇퐿
푟2
ROI2
− 2ξ 2 ln 푟 + C2
푉 = −∆푝ROI
2
4 퐿
푟
ROI
2− 2ξ 2 ln
푟
ROI
+ 퐶3 (*)
Untuk menentukan ξ dan C3, kita pergunakan syarat batas, yaitu: Pada r = RIO , Vx = 0 r = ROI , Vx = 0
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 51
Masukkan ke pers (*) dan kita peroleh dua persamaan serentak (simultan), yaitu:
0 = ∆ ROI2
휇RIO
ROI− 2ξ ln RIO
ROI+ 퐶
0 = ∆ ROI2
휇ROI
ROI− 2ξ ln ROI
ROI+ 퐶
Atau:
0 = RIO
ROI− 2ξ ln RIO
ROI+ 퐶
0 = ROI
ROI− 2ξ ln ROI
ROI+ 퐶
Dikurangi dan didapat:
0 = RIO
ROI− 1 − 2ξ ln
RIO
ROI
RIO
ROI− 1 = 2ξ ln
RIO
ROI
2ξ =
RIOROI
− 1
ln RIOROI
Dan dengan memasukkan nilai 2ξ tersebut ke salah satu persamaan batas tsb, kita dapatkan untuk C3:
0 = RIO
ROI− 2ξ ln RIO
ROI+ 퐶
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 52
0 = RIO
ROI−
RIOROI
RIOROI
ln RIO
ROI+ 퐶
0 = RIO
ROI− RIO
ROI+ 1 + 퐶
Sehingga
퐶 = −1 Kemudian masukkan
ξ =
RIOROI
− 1
2 ln RIOROI
kepersamaan fluksi momentum ini :
휏 = −∆푝ROI
2퐿푟
ROI− ξ
ROI
푟
휏 = −∆푝ROI
2퐿푟
ROI−
RIOROI
− 1
2 ln RIOROI
ROI
푟
Untuk profil kecepatan, masukkan nilai
2ξ =
RIOROI
− 1
ln RIOROI
dan
퐶 = −1
ke dalam persamaan ini: 푉 = −∆푝ROI
2
4 퐿
푟
ROI
2− 2ξ 2 ln
푟
ROI
+ 퐶3
Diperoleh:
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 53
푉 = −∆푝ROI
2
4휇퐿
푟
ROI
2
−
RIO
ROI
2− 1
lnRIO
ROI
ln푟
ROI
− 1
Dengan batasan:
RIO ≤ r ≤ ROI
Gambar berikut adalah plot푉 vs 푟untuk nilai-nilai: ∆ ROI
2
휇 = 100 satuan ; RIO
ROI= 0,4 ; atau RIO = 4 satuan
dan ROI = 10 satuan.
Kecepatan maksimum terjadi pada r = ξ ROI; yaitu:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0 2 4 6 8 10 12
Kece
pata
n, V
x
Jarak dari pusat pipa, r
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 54
푟 = ξR =RR
2− 1
2 ln RR
. ROI
푟 = ξR = 0,4 2 − 12 ln 0,4 . 10 = −0,84
−1,833 . 10 = 6,77 satuan
yang kecepatan maksimumnya adalah: 18,436 satuan. Untuk menentukan kecepatan maksimum sebenarnya juga bisa diperoleh dengan
menurunkan satu kali 푉 terhadap 푟 dari persamaan:
푉 = −∆푝ROI
2
4휇퐿
푟
ROI
2
−
RIO
ROI
2− 1
lnRIO
ROI
ln푟
ROI
− 1
hingga
푑푉푑푟
= 0 yaitu pada :
푟 = ξR Dengan
ξ =RR
2− 1
2 ln RR
Ternyata kecepatan maksimum tidak berada di tengah-tengah anulus.
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 55
Sekarang perhatikan sekali lagi persamaan profil kecepatan yang sudah kita peroleh:
푉 = −∆푝ROI
2
4휇퐿
푟
ROI
2
−
RIO
ROI
2− 1
lnRIO
ROI
ln푟
ROI
− 1
atau
푉 = ∆푝ROI
2
4휇퐿1 −
푟
ROI
2
+
RIO
ROI
2− 1
lnRIO
ROI
ln푟
ROI
atau
푉 = ∆푝ROI
2
4휇퐿1 −
푟
ROI
2
+ (ट)2 − 1
ln(ट) ln푟
ROI
atau
푉 = ∆푝ROI
2
4휇퐿1 −
푟
ROI
2
+ 1 − ट2
ln1ट
ln푟
ROI
dengan
ट =RIO
ROI
Maka jika ट mendeka nol, persamaan profil kecepatannya menjadi:
SEMESTER GENAP 2008/2009
ays HANDOUT TRANSFER MOMENTUM NO.05 56
푉 = ∆푝ROI
2
4휇퐿1 −
푟
ROI
2
yang sama saja dengan profil kecepatan dalam suatu pipa berjari-jari R sebagaimana dapat dilihat pada halaman 38 (Handout No.04), yaitu:
푣 = ∆푝푅4휇퐿
1 −푟푅
=====================
Hingga tahap ini, untuk aliran dalam anulus kita sudah memperoleh:
Profil Shear Stress:
휏 = −∆푝ROI
2퐿푟
ROI−
ट − 12 ln ट
ROI
푟
Profil Kecepatan:
푉 = ∆푝ROI
2
4휇퐿1 −
푟
ROI
2
+ 1 − (ट)2
ln1ट
ln푟
ROI
Kecepatan Maksimum terjadi pada 푟 = ξR dengan
ξ = (ट)ퟐ ퟏퟐ 퐥퐧(ट) dan
ट =RIO
ROI
Recommended