SANDY S. PRAYOGO, ST., MT

SANDY S. PRAYOGO, ST., MT.

1. Deret Fourier§ 1.1. Fungsi Periodik

§ 1.2. Fungsi Genap dan Ganjil,

§ 1.3. Deret Trigonometri,

§ 1.4. Bentuk umum Deret Fourier,

§ 1.5. Kondisi Dirichlet,

§ 1.6. Deret Fourier sinus atau cosinus separuh jangkauan.

2. Integral Fourier

§ 3.1. Fungsi Gamma

§ 3.2. Fungsi Beta

§ 3.3. Penerapan fungsi Gamma dan fungsi Beta

4. Transformasi Laplace § 4.1. Definisi dan sifat Transformasi Laplace

§ 4.2. Invers dari transformasi Laplace

§ 4.3. Teorema Konvolusi

§ 4.4. Penerapan transformasi Laplace dalam penyelesaian P. D. dengan syarat batas.

UTS

UAS

Grafik fungsi gamma,

fungsi gamma Γ(n), merupakan ekstensi atau perluasan dari fungsi faktorial,

dengan argumennya digeser turun oleh 1, ke bilangan real dan kompleks.

Γ(n) = (n−1)!

Fungsi gamma didefinisikan untuk semua bilangan kompleks, kecuali

bilangan bulat negatif dan nol.

Untuk bilangan kompleks yang bagian realnya positif, fungsi gamma

terdefinisi melalui sebuah integral takwajar (improper integral) yang

konvergen:

Γ(n) = t z−1e− t dt0

∞

∫

Improper integral limit form,

Konvergen untuk n > 0

Γ(n) = t z−1e− t dt0

∞

∫ = limb→∞

xn−1e− x dx0

b

∫

Contoh: Γ(1) = x1−1e− x dx0

∞

∫ =

= limb→∞

x1−1e− x dx0

b

∫

= limb→∞

e− x dx0

b

∫= limb→∞

−e− x⎡⎣ ⎤⎦0b= limb→∞

−e−b + e0⎡⎣ ⎤⎦

= −1e∞

+1= 0+1= 1

Soal: Γ(2) = x2−1e− x dx0

∞

∫ =

Jawab: Γ(2) = x2−1e− x dx0

∞

∫ =

= limb→∞

xe− x dx0

b

∫= limb→∞

x.− e− x +1.e− x⎡⎣ ⎤⎦

= limb→∞

−x.e− x +1.e− x⎡⎣ ⎤⎦0b

= limb→∞

−b.e−b + e−b( )− 0+ .e0( )⎡⎣

⎤⎦

= limb→∞

−b+1eb

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ − limb→∞

1⎡⎣ ⎤⎦ = 1

Rumus Rekursi dari Fungsi Gamma

Contoh,

Γ(n+1) = nΓ(n)dimana Γ(1) = 1

Γ(2) = Γ(1+1) = 1.Γ(1) = 1Γ(3) = Γ(2+1) = 2.Γ(2) = 2.1= 2Γ(4) = Γ(3+1) = 3.Γ(3) = 3.2 = 6Γ(3 / 2) = Γ( 12 +1) = 1

2 .Γ( 12)

n bilangan bulat

Contoh,

1.

2.

3.

Γ(n+1) = n!

Γ(2) = Γ(1+1) = 1!Γ(3) = Γ(2+1) = 2!Γ(4) = Γ(3+1) = 3!

Soal,

Γ(6) =Γ(5)

Γ(3) =

Γ(7)3Γ(4) =

n bilangan pecahan positif

dimana 0<α<1

Contoh

Γ(n) = (n−1).(n− 2)...aΓ(a)

Γ( 32) = 12Γ( 12)

Γ( 52) = 32 . 12 .Γ( 12)

Γ(113 ) = 83 . 53 . 2 3 Γ( 23 )

n bilangan pecahan negatif

dimana 0<α<1

Contoh

Γ(n) = Γ(n+1)n

Γ − 32( ) = Γ − 3

2 +1( )− 32

=Γ − 1

2( )− 32

=Γ − 1

2 +1( )− 32 .− 1

2

=Γ 1

2( )34

= 43Γ 1

2( )

Soal

Γ − 52( ) = Γ − 5

2 +1( )− 52

=Γ − 3

2( )− 52

=Γ − 3

2 +1( )− 52 .− 3

2

=Γ − 1

2( )154

=Γ − 1

2 +1( )154 .− 1

2

=Γ 1

2( )− 158

= − 158 .Γ 1

2( )

Beberapa hubungan dalam fungsi gamma

Γ 12( ) = π

Γ n( ) = (n−1)!Γ n( ) = Γ n+1( )

n

Γ n( )Γ 1− n( ) = πsinnπ

Soal

Γ 52( )

Γ − 12( ) Γ − 1

2( )Γ 1

2( )

Γ 52( )

Γ 12( )

Γ 3( )Γ 2.5( )Γ 5.5( )

6Γ 83( )

5Γ 23( )

Dinyatakan dalam bentuk,

Dimana m > 0, dan n > 0

B(m,n) = xm−1(1− x)n−1 dx0

1

∫

HUBUNGAN Fungsi Beta dengan Fungsi Gamma

B(m,n) = Γ(m).Γ(n)Γ(m+ n)

Soal

B(3,5) =B(5,2) =B( 13 , 2 3 ) =B( 32 ,2) =