View
76
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
elmagge
Citation preview
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
1/82
Elektromagnetiska flti sammandrag
Kursbok Cheng: Field and wave electromagnetics(alt. Cheng: Fundamentals of engineering electromagnetics = Lilla Cheng)
cEva PalmbergInstitutionen fr Signaler och system
Chalmers tekniska hgskola
2011
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
2/82
ii
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
3/82
Innehll
1 Vektoranalys 1
1.1 Skalr- och vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Skalrprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Lngd- yt-, och volymelement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Gradient, divergens, rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.1 Gradient, deloperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Divergens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.3 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Divergensteoremet, Stokes teorem mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.1 Divergensteoremt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.2 Stokes teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Indentiteter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4.4 Helmholtz teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Elektrostatik i vakuum 5
2.1 Laddning, laddningstthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Coulombs lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Definition av E-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.5 E-flt genom superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.6 Gauss lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.7 Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.8 Potential genom superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.9 Potential via E-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.10 Linjeladdningar och referenser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.11 Ledare i elektrostatiskt flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Dielektriska material 14
3.1 Dipolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3 D-fltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Kapacitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6 Elektrostatisk energi och kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.6.1 Elektrostatisk energi fr punktladdningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.6.2 Energi fr laddningsfrdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.3 Elektrostatisk energi uttryckt med flten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.4 Kraft p punktladdning i E-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.5 Elektrostatisk kraft p ett freml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6.6 Kraft, vridande moment och energi fr dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Lsningsmetoder 21
4.1 Poissons och Laplaces ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Laplace-operatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.3 Analytisk lsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.4 Numerisk lsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.5 Speglingsmetoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.5.1 Spegling i metallplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5.2 Cylinderspegling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5 Strmning 28
5.1 Strmtthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Resistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.3 Spnningskllor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Kirchhoffs spnningslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305.5 Kontinuitetsekvationen. Kirchhoffs strmlag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.6 Effektutveckling. Joules lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.7 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.8 Spegling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.9 Resistansberkning direkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.10 Ytstrmtthet, ytresistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.11 Tvdimensionell strmning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.12 Numerisk resistansberkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
iii
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
4/82
iv Innehll6 Magnetostatik i vakuum 35
6.1 Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356.2 Postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.3 Amperes lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366.4 Magnetiskt flde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.5 Vektorpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386.6 Biot-Savarts lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.7 Kraft p ledare i B-flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.8 Magnetisk dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Magnetostatik med magnetiska material 40
7.1 Magnetisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.2 H-fltet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.3 Magnetkretsar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.4 Randvillkor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.5 Induktans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.6 Magnetisk energi och kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.6.1 Energi fr strmfrdelning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447.6.2 Energi uttryckt med flten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.6.3 Kraft p strmslinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.6.4 Kraft p freml . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
8 Induktion 46
8.1 Faradays lag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Transformatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
9 Elektromagnetiska flt 49
9.1 Frskjutningsstrmmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.2 Maxwells ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.3 Retarderade potentialer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.4 Vgor i vakuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9.5 Poyntingvektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
10 Komplexa flt 53
10.1 Inledande exempel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5310.2 Komplexa flt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
10.2.1 Polarisationstyp mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5410.2.2 Vgekvationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.3 Samband E H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5510.2.4 Skiss av E och H fr plan vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.5 Berkning av och Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5610.2.6 Fashastighet, vglngd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.7 Skineffekt, plan vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.2.8 Ytstrmtthet, ytimpedans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.2.9 Skineffekt, rund trd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5910.2.10 Poyntingvektorn, plan vg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2.11 Poyntingvektorn, effekt, energi komplext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2.12 Plan vg i godtycklig riktning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2.13 Fashastighet och grupphastighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2.14 Icke-plana vgor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
11 Reflexion, transmission 62
11.1 Reflexion, vinkelrtt infall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.1 E och H, infall mot en grnsyta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6211.1.2 Berkning av r och t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.1.3 Poyntingvektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411.1.4 Infall mot planparallell platta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
11.2 Reflexion och brytning, snett infall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711.2.1 Uttryck fr frlustfria material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6811.2.2 Material med frluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6911.2.3 Poyntingvektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
5/82
Innehll v12 Antenner 70
12.1 Hertzdipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7012.1.1 Strlningsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
12.2 Sprtantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.3 Strlningsresistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7212.4 Antennfrluster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7312.5 Antennfrstrkning mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
12.5.1 Sndarantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Index 74
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
6/82
vi Innehll
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
7/82
Kapitel 1
Vektoranalys
Inledning
Elektromagnetiska flt orsakas av laddningar i vila och i rrelse. En del storheter r skalrer- t.ex. laddning och strm. Andra r vektorer, dvs. har storlek och riktning - elektriskt flt,magnetiskt flt....Vi behver beskriva hur storheterna varierar i tid och rum. Fysikaliska lagar gller oberoendeav koordinatsystem. Drfr skriver man lagarna, Maxwells ekvationer, i koordinatoberoendeform. Fr en viss geometri p ett problem, t.ex. cylindrisk r det enklast med cylinderkoordi-nater. Vi anvnder kartesiska, cylindriska och sfriska koordinatsystem i kursen.Vi mste ocks kunna addera, multiplicera och derivera vra storheter. Drfr behver manvektoranalys ! ! !
1.1 Multiplikation av vektorer.- Skalrprodukt och vektorprodukt
1.1.1 Skalrprodukt
Skalrprodukten av tv vektorerAochBdefinieras somA B = |A||B|cos , dr | A| r beloppet (lngden) av vek-tornA och vinkeln mellan vektorerna. Resultatet blir enskalrstorhet.
B
A!
Viktiga resultat:AB= 0 omA BAx = (Axx + Ayy + Az z)x = Ax, d.v.s. komponenten avAi x-led AxAA= |A|2 = A2x+ A2y+ A2z , dr |A| r beloppet av vektorn.
Exempel: Arbete utfrt av en kraft F att flytta ettfreml strckan dx, se fig., blirdW = F dx cos=Fdx
F
x"
d
1.1.2 Vektorprodukt
Vektorprodukten (kryssprodukten) av tv vektorer AochBdefinieras somA B = n|A| |B| sin , dr|A|r beloppet av vektorn A, vinkeln mellan vektorerna ochnen enhetsvektor vinkelrt mot planet innehllande AochB. Resultatet blir allts en vektor,som r vinkelrt mot bdeAochB.
Hgerhandsregelnger riktningen: Man roterar frsta vektorn, A, kortaste vgen mot Bmedhgra handens fingrar. Hger tumme ger riktningen.
B
A!
.A#B
Aoch Bligger i papperets plan
A#Bvinkelrtt mot detta plan
Viktiga resultat:A B= 0 fr = 0,, d.v.s. dAochBr parallella.
Exempel: Vridande momentetT skrivs med kryssprodukt somT = r F, drr r moment-armen ochFr kraften.
1
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
8/82
2 Kapitel 1 Vektoranalys
1.2 Lngd-, yt-, och volymelement iolika koordinatsystem
dr
dz
rd$
x
y
z
'''''''''''''
r
$
Volymelement i
cylindriska koordinater
Rd!dR
Rsin!d$z
R
!
'''''
''''''''''
........$x
y
Rsin!
Volymelement i
sfriska koordinater
Lngdelement dl
d = (dx, dy, dz) = xdx+y dy + z dz
d (dr, rd$, dz) = r dr +$rd$+ z dzd = (dR, Rd!, Rsin! d$) = R dR + ! Rd! + $ Rsin! d$i rektangulra, cylindriska resp.sfriska koordinater
=
l
l
l
Ytelement ds ochvolymelement dv tecknas med komponenter av lngdelementen.
1.3 Rumsderivator:gradient,divergens,rotation
Storheter som varierar i rummet kallas fr flt. De kan variera i tiden ocks. Exempel: tem-peraturflt T(x,y,z) ett skalrt flt; elektriskt fltE(x,y,z) ett vektorflt.Vi behver rumsderivatorav de elektromagnetiska flten! Gradientr rumsderivata av enskalr storhet.Divergensochrotationr rumsderivator av en vektor. Hr kommer de koor-dinatoberoende definitionerna!
1.3.1 Gradient, deloperator
Gradienten V till en skalr funktion V:Den vektor som anger storlek och riktning i en viss punkthos maximala rumsderivatan av V.Gradientens komponent i riktningen dl: lV =V/l
dV = Vdl
gradV = %V = n dV/dn
%V = x&x&V+ y
&y&V+ z
&z&V i rektangulra koordinater
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
9/82
1.3 Gradient, divergens, rotation 3
Deloperatorn = (/x ,/y ,/z) i rektangulra koordinater.Uttryck fr gradienten i olika koordinatsystem finns i Cheng (insidan av prmarna, i Beta ochi Physics Handbook.
1.3.2 Divergens
Fldeav en vektorAgenom en yta S:SA ds A, divergensen hos ett vektorflt A i en punkt : Nettoflde av vektorn A utfrnenvolymrunt punkten, dividerad med volymen, d volymen gr mot noll.
divA= %.A= lim'v( 0 'v
)oA.dss ( dsvolym 'v
%.A=&x&Ax
+&y&Ay
+&z&Az
i rektangulra koordinater
Fysikalisk tolkning: divAr ett mtt p den inneslutna kllan . Om A =0 har vi en klla ipunkten.Ekvationen %.E= */+
0sger att (laddningsttheten) *r enklla fr (det elektriska fltet) E.
* E
Om divA= 0, s r Akllfritt
1.3.3 Rotation
A, rotationenhos ett vektorfltAi en viss punkt, definieras s hr:Placera i punkten ett litet stelt ytelement s med randkurva c och normalriktning nen-ligt hgerhandsregeln (skruvregeln), se fig.! Bilda fr alla tnkbara normalriktningar ndenslutna kurvintegralen
c
A dllngs randkurvan c. Vlj den maximala kurvintegralen ochtillhranden. Bilda
n 1
s
c
A dl
och lt ytelementets storlek g mot noll.
rotA= %#A= lim's(0
's1[n)
'c
oA.dl]max
dl'c
n,
I rektangulra koordinater %#A = &x &y &z__ __ __& & &x y z
Ax Ay Az
Fysikalisk tolkning: I en vattenvirvel har manrotation. %#v -0 i en virvel, dr vr vattnetshastighet. Virvel = curl p engelska.
v
Om rotA= 0 rA virvelfrittellerrotationsfrittirrotational, conservative p engelska.
Uttryck fr grad, div och rot i olika koordinatsystem finns i Cheng (insidan av bakre prmen),Pysics Handbook (ej rot) och i Beta.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
10/82
4 Kapitel 1 Vektoranalys
1.4 Divergensteoremet. Stokes teorem mm
1.4.1 Divergensteoremt
Samband mellan volymintegralen av div A och vektorn A integrerad ver den slutna ytan Still volymen.
V Adv= SA ds
1.4.2 Stokes teorem
Samband mellan ytintegralen av rotA och linjeintegralen avAintegrerad runt omkretsen Ctill ytan S.
S
( A)ds=C
A dl,ds
dl
Hgerhandsregeln ger samband mellan dloch ds: Fingrarna i dl-riktningen medfr dsi tum-mens riktning, se fig.!
1.4.3 Indentiteter1/Rotationen av gradV r identiskt lika med noll
(V) 0Fljd: Om E= 0, kan man stta E = - V , drV r skalr (potential) - Se elektrostatiken!
2/ Divergensen av rotAr identiskt lika med noll:
( A) 0Fljd: Om B= 0, kan man sttaB= A, dr Ar vektorpotential. Se magnetostatiken!
1.4.4 Helmholtz teoremOm man knner Aoch A (i hela rummet), s knner man vektornA. Se not i Cheng s.65.Maxwells ekvationeri elektromagnetismen ger oss just divergens och rotation fr det elek-triska fltet och fr det magnetiska fltet !!!
VIKTIGT ! ! !
Stt ut vektorbeteckning p alla vektorer! Fetstil i Cheng och i detta hfte.Stt ut skalrpricken ordentligt i alla skalrprodukter!Stt ut krysset vid vektorprodukt!
Det blir meningslsa uttryck annars!
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
11/82
Kapitel 2
Elektrostatik i vakuumElektrostatik = elektriskt flt frn laddning i vila. Flten ndras ej i tiden.
I detta kapitel behandlas laddningstthet, Coulombs lag, E-flt, Gauss lag, potential, linje-
laddningar
2.1 Laddning, laddningstthet
Mikroskopisk laddning: atomr laddning, t.ex. elektronens laddning e.Makroskopisk laddning: volym med mnga atomra laddningar.
Vlj en makroskopiskt sett liten volym v, men s stor att den innehller ett stort antal atomer en kub med sidan106 m innehller1011 atomer.
Punktladdningq. Vi betraktar laddningen p s stort avstnd att laddningens utbredning rfrsumbar i frhllande till avstndet till den. Dimensionen fr q, [q] = As (ampere-sekund) =
C (coulomb).Laddningsttheter:Om ett stort antal laddningar qifinns i en volym v, kan man infra envolymladdningstthetdefinierad genom
*= lim'v(0
'v
. qi [*] = As/m
3
P motsvarande stt definerasytladdningstthet s
*= lim's(0
's
. qi [* ] = As/m2s s
och linjeladdningstthet eller
*= lim'l( 0
'
. qi [* ] = As/m
l ll
2.2 Coulombs lag
Kraft p punktladdning q2(testladdning) p.g.a. punktladdningen q1(klla - orsak till kraften):
F12 = R12 4/+0R122
q1q2
[F]=N (newton) R12: vektor frn 1 till 2
o oq1
q2 F12
R12
( (
dr +0=36/10-9
= 8,85.10-12
As/Vmdielektricitetskonstanten(permittiviteten) frvakuum
Observera att kraften p q1, F21= -F12!
5
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
12/82
6 Kapitel 2 Elektrostatik i vakuum
Superpositionsprincipengller:Kraft p q
tpga tv punktladd-
ningar q1och q
2
Ft= F
1t+F
2t vvektoraddition!
o
o
o
F1t
F2t
Ft
q1
q2
qt
2.3 Definition av E-flt
E= limq2(0 q2
F12
definition av elektriskfltstyrkaE("kraft p positiv enhetsladdning")[E] = N/As = V/m
2.4 Postulat
Frelektrostatik i vakuumgller fr E-fltet:
..E= */+0 eller )
S
oE.ds= Q/+0
Gauss lag i punktformresp. integralform frvakuu
%
m
##E= 0 eller )c
oE.dl= 0 det elektrostatiskafltet r rotations-frit
%
t
2.5 E-flt genom superposition
a/ E-flt frn punktladdning
Fr en punktladdning q1med koordinaten R1 (kllpunkten) fr vi frn Coulombs lag i enpunktR2(fltpunkten)
E(R2) = R
12
4/+0R122
q1
oq 1
R1
origo
R2
R12
E(R2)((
R12r en vektor frn kllpunkten till fltpunkten! Om vektorernaR1ochR2r givna blirR12, se fig.,
R12=R2-R1och R12=|R12|=|R2-R1|
Exempel: En punktladdning q ligger i origo i ett sfriskt koordinatsystem. BerknaE(R)!R1= (0,0,0), R
2= R 0 R
12= R
E(R) = R4/+0R
2
q E-flt frn en punkt-laddning q i origo- radiellt ut frn q
#
E
R
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
13/82
2.5 E-flt genom superposition 7
b/ E-flt frn laddningsfrdelningar
I volymen v finns en volymladdningstthet . BerknaE!Metod: Vlj ett litet volymelement dv1ochbetrakta dq1=dv1som en punktladdning! dq1ger bidraget dE, se fig,! Vi fr
dE= R12
4/+0R122
*dv
1 *
R12
dv1
dE
Vektoradderaalla bidrag dE, d.v.s. integrera ver volymen v!
E= )v
dE. Dela frst upp dE i komponenter och integrerasedan!
OBS!Att direktintegreraEp detta stt r oftast mycketjobbigare n du tror!Kolla frst om det r symmetri, s att du kan anvnda Gauss lag i stllet!-Se nsta avsnitt 2.6 !
P motsvarande stt berknas E p grund avytladdningstthet seller linjeladdningstthet, d.v.s. dq1=sds1resp. dq1=d1.
Exempel: Laddningen q finns jmnt frdelad p en cirkulr slinga med radien a. BerknaE-fltet p slingans axel!
Laddning per lngdenhet pslingan *
l= q/2/a. Vlj ett
laddningselement med lngdenad$och laddningen dq = *
lad$.
Denna laddning ger ett E-fltp z-axeln
*l
a2+z2
a ad$$
z"
dE
dE =4/+0 (a
2+z2)dq
med riktning enligt figuren
Projicera p z-axeln och integrera ver laddningsfrdelningen, d.v.s. runt slingan.
dEz= dE cos"= dE
(a2+z2)1/2z
Ez=)
0
2/8/2+0a(a
2+z2)3/2
qazd$ =
4/+0(a2+z2)
3/2
qz E= z E
z
P grund av symmetri fr E-fltet p z-axeln bara komponent i z-riktningen.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
14/82
8 Kapitel 2 Elektrostatik i vakuum
2.6 Gauss lag
Samband mellan ytintegral av E-fltet och innesluten laddning. I volymen v finns laddningarq1, q2, ...
)S
oE.ds= +01)
v
* dv = +01q
innesluten Gauss lag i integralform
ds= n ds ut frnvolymen dsx x
q1 q2
sluten ytaS
(
..E= */+0 Gauss lag i
differentialfor%
m
Differentialformen (punktformen) av Gauss lag lmpar sig fr berkning av laddningsfrdel-ningen,(R), nr man knner E(R). Se uppgift 2-5 och 2-15 i Exempelsamlingen!
Integralformenger E(R), nr laddningsfrdelningen r knd. Krver dock symmetri fr att
vara praktiskt anvndbart. Se exemplen nedan!Med Gauss lag fr man enkelt lsningar till viktiga elektrostatiska problem med symmetri!
Vi mste ha symmetri, s att vi vet tillrckligt mycket om E-fltet, t.ex. att E= R E(R) iexemplen nedan!
Tillrcklig symmetri har vi i fallen sfriskt symmetrisk laddningsfrdelning, ondligt lngcylindrisk laddningsfrdelning, laddning p ondligt stort plan.
Vidare anvnder man Gauss lag vid studium av allmnna egenskaper hos elektrostatiska flt,t.ex.metall i E-flt. Se avsnitt 2.11 p sidan 13 och 3-6.1 i Cheng - viktigt!
Exempel 1: Laddningen Q finns jmnt frdelad p ytan till en sfr med radien a. Berkna E
bde fr R>a och R
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
15/82
2.7 Potential 9
Exempel 2: Lgg enoladdad metallsfrmed innerradien b och ytterradien c runt om denladdade sfren i Exempel 1. BerknaEverallt!
I stationrtillstndet finns ladd-ningen p ytan av metallen och E=0i metallen. Antag att vi fr q
bp
insidan och qc
p utsidan av metall-sfren. Gauss lag ger fr de olikaomrdena:
Qqb
qc
a
bR
c
metall
1/ R
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
16/82
10 Kapitel 2 Elektrostatik i vakuum
Vi fr potentialskillnaden mellan tv punkter A och B:
VA- V
B=)
A
B
E.dlKursboken har ombytta grnser och
tecken i uttrycket.
2.8 Potential genom superpositiona/ Potential frn punktladdningLt punktladdningen q ligga i origo och anvnd E-fltet frn en punktladdning i origo:E(R) =Rq/40R2
V(R) V() =
R
E(R) dR = q/40R
d.v.s. V frn punktladdning q i origo
V(R) =4/+0Rq
om V1 = 0 q RoV(R)
b/ Potential frn laddningsfrdelning
I volymen v finns en volymladdningstthet . Berkna V!Metod: Vlj ett litet volymelement dv1ochbetrakta dq1=dv1som enpunktladdning! dq1ger bidraget dV = dq1/40R12, se fig,! Vi fr
V(R2) = 4/+0
1 ) R12*(R1)dv
1
vilket frutstter V1 = 0
*(R1)
R1
R2
R12
P motsvarande stt berknas V frnytladdningstthet seller linje-laddningstthet , d.v.s. dq1=sds1resp. dq1=d1.Exempel: Laddningen Q finns jmnt frdelad p ytan till en sfr med radien a och medelpunk-ten i origo. Teckna potentialen i punkten (R, 0, ) fr R>a sfriska koordinater!
Vlj ett ytelement p sfren vid(a,!
1, $
1). Ytan ds
1= ad!
1asin!
1d$
ochladdningendq=*sds1
dr *s= Q/4/a2
,
.
!1a
R
R12
ds11
V(R,!,$)
Potentialen V(R,0,$) = 4/+01
)R12*sds1
=4/+0
1)
! = 0
/
)$ =0
2/
R12
*sa2sin!1 d!1d$1
dr R12
2= R
2+a
2-2aRcos!1
=
1 1
cos.teoremet
=4/+0
*sa22/)0
/
R2+ a
2- 2aRcos!1
sin!1d!1 =2+0
*sa2
[aR
1R2+ a
2- 2aRcos!1]0
/=
=+0R
*sa2
=4/+0RQ
fr R>a (V1= 0)
= = = = = = = =
OBS! R12 i nmnaren r avstndet frn laddningselementet till den punkt, dr vi skabestmma V! R12fs med cosinus-teoremet! Inte alls s ltt!!!
Enfrdelmed potentialberkning r att V r en skalr storhet. Skalrer r lttare att att super-ponera n vektorer. Men det finns bttre metoder fr problem med symmetri:
Vid symmetri: Berkna E med Gauss lag och drefter V !!!
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
17/82
2.9 Potential via E-flt 11
2.9 Potential via E-flt
Samband E-V: Va- V
b=)
a
b
E.dlo
o
dl
E
a
b(
Frdel: Metoden att berkna V via E-fltet r lmplig, om man kan berkna E ltt, t.ex. medGauss lag!
Exempel: Berkna potentialen utanfr sfren med homogen ytladdningstthet,d.v.s. V(R) fr R>a!
Vi har tidigare berknat E med Gauss lag, se s. 8!
E2(R) = Q/4/+0R
2 fr R>a
Vi fr nu potentialen vid radien Ra R
Q
V(R)
V(R) - V(1) =)R
1
E2(R)dR = )
R
1
4/+
0
R2Q
dR =4/+0RQ
R>a
= = = = = == = = = = =
Betydligt enklaren att direktintegrera fram V enligt berkningen ovan, se s. 10
Viktiga resultat:E-fltet frnen ondligt lng linjeladdning :
E(r) =2/+0r
*l o
*l
rr
Potentialen frntvondligt lnga linjeladdningar:
V = 2/+0*l ln
r+r-
*l
*lo o
Vr- r+
- +
Exempel: Tv tunna lnga parallella trdar har laddningenper lngdenhet. Trdlngdenr, radien a och axelavstndet d. Berkna kraften mellan trdarna och potentialskillnaden!
Kraft p -2: F = qEvid -2
=
= (-2l)2/+0d
2
= = = = = =(E
vid -2= fltet frn +2)
a
2 3 2
Fd4 (
(4
Potentialen p den vnstra trden (tecknad p trdens yta):
V1=
2/+02 ln
r+r-
=2/+0
2 lnad
Potentialen p den hgra: V2=
2/+02 ln
r+r-
=2/+0
2 lnda
Potentialskillnaden mellantrdarna 'V:
'V = V1- V
2= = /+0
2 ln ad
= = = = = =
Kommentar: Eftersom trdarna r tunna har vi antagit jmn laddningsfrdelning p trdar-
nas yta. Vi kan d rkna med
efter trdens axel. Vi har ocks anvnt medelavstndet, d.v.s.d, d vi tecknade potentialen.Om trdarna inte r tunna mste vi anvnda speglingsmetoden (behandlas senare).
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
18/82
12 Kapitel 2 Elektrostatik i vakuum
2.10 Linjeladdningar och referenser
Fltet frn en linjeladdning *l: E(r) = r____
2/ +0r_* l 0
Potentialen V(r)- Vref
= )r
rref
E.dr
= 0
=____2/ +0
*l ln___
rrref
dr rref
r avstndet frn *ltill referensen.
Vi kan t.ex. vlja referensen att ligga p
avstndet C frn denna*l.
*l
rref
r
V = konst r cylindrar runt om *lnr vi har enlinjeladdning
ondligt lng
Tvlinjeladdningar *l:
Superposition
*l -*l
r+ r-
P
___________________
V(P) = V ++ V -=2/+0
*l lnr+rref+
+2/ +0-*l ln
r-rref-
=
=2/+0
*lln[
r+r-.
rref-
rref+
] (alla r rknade frn respektiveladdning)
Om vi nu har valtreferenseni varje delberkningatt ligga p samma avstnd C frn resp.linjeladdning, dvs r+ref = C och r
ref= C fr vi
V(P) =____2/ +
0
*l
ln__r-
r+
Var r V=0 nu? Vi fr inte V=0 p det stlle vi valde som referens vid tidigare delberkningar.Vi har ju superponerat potentialer frn tv delberkningar.
*l
*l
*
l
Av det omramade uttrycket ser vi
att V=0, dr r+=r-, d.v.s. mittemellan .
-
V=0
Tv linjeladdningspar *l1
och *l2:
V =____2/ +0
*l1 ln__
r1-
r1++____
*l2
2/+0ln__r2
-
r2+
_____________________
*l1
*l2
*l2
*l1- -
r1+
r1-
r2
-r2+
Superponera: Para ihop laddningarna i -par. Varje laddning ska bara vara med i ettpar. Anvnd ln(r/r+) fr varje par.Vid udda antal laddningar : Anvnd uttrycket ln(C/r) fr den laddning som blir ver!Oftast r vi intresserade av potentialskillnader och referensen r ointressant. C frkortas
bort.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
19/82
2.11 Ledare i elektrostatiskt flt 13
2.11 Ledare i elektrostatiskt flt
a/ Emste vara noll inutiledaren.E=0 dr skulle ju leda till omflyttning av de fritt rrligaladdningarna tillsEblev noll.
0 E= 0
b/ Den ledande volymen mste ha den makroskopiska volymladdningsttheten =0. Dettainses med hjlp av Gauss lag: Vlj engodtyckligvolym inuti det ledande omrdet. Vi fr
Qinnesluten
=)*dv = +0)5 E.ds= 0 0 * = 0
c/ Av b fljer att eventuell verskottsladdning hos en ledande kropp mste ligga som enytladdningp kroppen. Fr att en ytladdning ska ligga stilla mste tangentialkomponentenavEvara noll vid ytan.
0 Etang
= 0
d/ Med hjlp av Gauss lag fr vi ett samband mellan normalkomponenten av E alldelesutanfr ledaren (metallen) och ytladdningsttheten sp ytan.
,
6
Emetall
En
*smetall
vakuum yta 's
=0
Qinnesluten
= *s 'S = +0)oE.ds= +0En'S
0
*s= +
0En
+ +0Emetall's=0
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
20/82
Kapitel 3
Elektrostatik - med dielektrikumElektrisk dipol, polarisation, randvillkor, kapacitans
3.1 DipolenDefinition: dipolmoment fr en laddningsfrdelning (r1) moment med avseende p origoO:
p=) *(r1) dv1r1
*O
r1
som fr punktdipolen blir
p = qd
oberoende av momentpunkt.
o+q
o
-q
d ,
Dipolmomentet r oberoende av momentpunkt , om totala laddningen r noll.
Punktdipolen: Tv laddningar +q respektive -q plitetavstnd d frn varandra, betraktadep stort avstnd (Rd). Lt origo ligga vid dipolen (sfriska koordinater)!
Potentialen
Vdipol
=4/+0R
2
p.R =
4/+0R2
pcos!
:
RE!
ER+
-
p !,
E-fltet:
ER=
4/+0R3
2p cos! E
!=
4/+0R3
p sin!
Exempel: En dipol med dipolmomentet p= zp finns i punkten (0, 0, -a) i ett rektangulrtkoordinatsystem. BerknaEp y-axeln!Anvnd formlerna fr ERoch Eovan (origo vid dipolen)!
Hr r R = y2+a
2
cos!= a/R, sin != y/R
z
y
ER
E!
R
p
a
!,
,
(!
Ey= E
Rsin!+ E
!cos!=
4/+0(y2+a2)
5/2
3pay
= = = = = = = = =
Ez= E
Rcos!- E
!sin!=
4/+0(y2+a2)
5/2
2pa2 - py2
== = = = = = = =
Dipolmoment och moment av hgre ordning ingr i termer, d man t.ex. gr en serieutveck-
ling av potentialen frn en laddningsfrdelning. Man fr en frsta term dr laddningsfrdel-ningen ses som en punktladdning. Nsta term blir en dipolterm o.s.v.
14
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
21/82
3.2 Polarisation 15
3.2 Polarisation
Nr ett dielektriskt material en isolator utstts fr ett elektriskt flt bildas det dipoler imaterialet - materialet blir polariserat. Eftersom vi behandlar makroskopisk teori, r vi inteintresserade av varje enskild dipol och dess dipolmoment p(litet p).Vi infr i stllet en tthet, dipolmoment/volymhet= polarisationen P(stort P), definieradsom
P = lim'v( 0
.'p____'v
polarisationen, [P] = As/m2
- +'p
P
n
(
En liten volym dv fr d dipolmomentet dp = Pdv. Dipolerna i materialet ger i sin tur upphovtill E-flt och potential. Vi kan rkna med materialets inverkan genom att infra ekvivalentaladdningsttheter,pochps, s.k.polarisationsladdningsttheter.
*p= -%.P polarisationsvolymladdningstthet
*ps
= P.n polarisationsytladdningstthet (As/m2)
(As/m3)
n ut frnmaterialet
Polarisationsladdningarna kallas frbundnaladdningar. De r bundna till dipolerna och ma-terialet av starka inre krafter. Jmfr frialaddningar i metall! I metaller finns ett stort antal fria- lst bundna - ledningselektroner.
Bdefriaochbundnaladdningar bidrar till E-flt och potential. Gauss lag fr E blir t.ex.
)oE.ds= +01)(*f + *p)dv *f+ *p = *t total laddningstthet
Exempel: En skiva med radien a och tjockleken d har homogen polarisation P = zP. Berknapochps!
*p= -%.P= 0 (homogent 0P konstant)
*ps= P.n ={ +P p ovansidan
-P p undersidan
, ,
(
zP
d
a
Vi fr tv laddade cirkulra skivor p avstndet d frn varandra. Flt frn laddad skiva finns t.ex berknat i kursbo-kens lsta exempel 3-9; (Ex 3-8 i Lilla Cheng).
3.3 D-fltet
Ett annat stt att ta hnsyn till det dielektriska materialets inverkan r att infra en ny vektorfrskjutningen D, definierad av
D= +0E+ P [D]= As/m2
Om det rlinjrt (PE) kan man skriva
D= +E= +r+
0E dr +
r(eller 7) = dieltalet (relativa di-
elektricitetskonstanten)
= permittivitet[Man kan ocks infra en konstant, susceptibiliteten e, genom att sttaP=e0E=D-0E= (r- 1)0E
e= r
1
grekiska bokstver = kappa och = chi]
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
22/82
16 Kapitel 3 Dielektriska material
Gauss lag fr D-fltetblir d
)oD.ds= )*fdv = innesluten friladddningeller %.D= *
f
Kommentar 1: En frdel med denna formulering av Gauss lag r att vi ofta knner denfrialaddningen och kan berkna D.
Att anvnda Gauss lag fr E krver att vi kan berknapoch ps, d.v.s. den bundna laddnin-gen. Detta krver i sin tur att vi knner P. P r oftast inte knd utan beror av E totalsom berorav fri laddning (knd) och bunden laddning (oknd).
Kommentar 2: OBS!fri= 0 betyder inte ndvndigtvis att D=0. Jmfr tv sfriska elektretermed olika riktning p polarisationen. (Elektret = permanent polariserat material.) I bda fallenrfri= 0.I uppgift 3-9 i Exempelsamlingen, en radiellt polariserad sfr, har vi sfrisk symmetri, vilketmedfr att D=0.Om sfren dremot r polariserad i x-led harvi ingen symmetri. Sledesingen Gauss-symmetri
!!!Dds= 0 med D = 0. Se vidare i hftet Ledningar, lsningar... p sidan 10!
Exempel: En metallsfr med radien a har laddningen q. Det omgivande materialet har dieltalet. Berkna E fr R>a!
Vi knner den fria laddningen.dvs q. Gauss lag fr D ger d:
)oD.ds= D(R) 4/R2= q R
a
q 7
(
E =7+
0
D =
4/7+0R2
q R>a
Viktigt resultat: Formler frlinjra dielektriska material, d.v.s. fr material dr dieltaletrkan infras, fr man genom att byta 0 i vakuumformler mot . Vi fr t.ex. E fr en punkt-laddning q:
E =4/+0R
2
q ( E =
4/+R2q
Var frsiktig med potentialen! V=q/4R frutstter att man har samma-material hela vgen till referensen (V=0) !!!
3.4 Randvillkor
I grnsytan mellan tv dielektriska material gller
E1t= E
2t
D2n- D
1n= *
fs
om det finns friyt-laddningstthet *
fsi
grnsytan.nn
D1n D2n
E1t E2t
n utfrnGaussvolymen
, ,
( (
(4
Anvnd Gauss lag fr att f rtt tecken i ekvationen! Med referenser enligt figuren r D1nmotriktad normalen ut frn Gaussvolymen, ni material 1, drav minustecknet.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
23/82
3.5 Kapacitans 17
Exempel: Fltvektorerna r vinkelrta mot grnsytan mellan tv dielektriska material (dieltal1resp.2) och D1=D2. Finns det a/ fri laddning b/ polarisationsladdning i grnsytan?
a/ Gauss lag i grnsytan
)oD.ds= (D2-D1)A = *fri,sA(n ut frn Gaussvolymen)
0 *fri,s
= D2-D
1 = = = = = =
D1 D2
n n
n2 n1
71 72( (
(
(
4
4
b/ Polarisationsytladdningstthetps= ps1+ps2= P1 n1+ P2 n2medP= (- 1)0Eoch D=0Eochnut frn resp. material.
0 *ps=
7 1
71-1D1- 7 2
72-1D2 = = = = = = = = = = =
3.5 KapacitansKondensator: Tv ledare med laddning +q resp. -q, oberoende av vriga laddningar i sys-temet. Avskrmade frn eller p stort avstnd frn vriga laddningar.
Kapacitans C ='Vq [C]= F (farad)
dr 'V r potentialskillnaden mellanledarna.
+q
-q+
-'V
Kapacitansberkning:Infrq p ledarna, berkna E, V och C!Physics Handbook har uttryck fr kapacitansen hos plan-, cylindrisk och sfrisk kondensator.
3.6 Elektrostatisk energi och kraft
3.6.1 Elektrostatisk energi fr punktladdningar
We=
2
18i=1
N
QiVi'
dr Vi'r potentialen vid Qip.g.a. alla Q utom Q
isjlv
Q1
Q2
Qi
o
oo
OBS! Detta uttryck innehller inte punktladdningarnas s.k. egenenergid.v.s. energin fr att bygga punktladdningarutgende frnelementarladdningar(e). Denenergin blir ju ondlig , eftersom laddningen skalggas i en matematiskpunkt. Vid vriga laddningsfrdelningar, formler enligt avsnitt 3.6.2 och 3.6.3 nedan har man inte detta problem. Dringr egenenergin.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
24/82
18 Kapitel 3 Dielektriska material
3.6.2 Energi fr en laddningsfrdelning (R)
We=1_2 )*(R)V(R)dv *(R)
Nackdel: Vi mste berkna V(R) i laddningsfrdelningen.Frdel: Vidladdade ledareblir energiuttrycket enkelt, eftersom V=konst p ledare:
We=1_2 8 Vledare qledare
Exempel: Kondensatorns energi
+q
-q
1
2
+
-'V
,
6
'V r spnningen (potentialskillnaden)ver kondensatorn
Wkondensator
=21V
+q.(+q) +
21V
-q.(-q) =
21q'v =
21 C ('V)
2=
2Cq 2
= = = = = = = = = = = === = =
3.6.3 Elektrostatisk energi uttryckt med flten
We= 1_
2)D.E dv
v1
Ska integreras ver en volym utstrckt till ondligheten!
3.6.4 Kraft p punktladdning Q i ett elektriskt flt E
F= QE
3.6.5 Elektrostatisk kraft p ett freml
Kraften p ett freml i ett elektrostatiskt system kan berknas p tv stt genom envirtuell(tnkt) frflyttning:
Fx= -
&x&We
9Q = konst Fx= &x&We
9V = konstFx
x( (
Hrledning:
1/ Antagnettoladdningarna r konstanta p metallytorna. Vi har sledes ett isolerat systemutan spnningskllor med qikonstant och Vivariabel.
( FxLt fltkrafterna flytta fremletstrckan :x. Fltet utrttar darbetet :A = Fx:x. Energiprincipenger nu :A + :We= 0
We= ndringen i den elektrostatiska energin i systemet. Insttning avA ger kraften
Fx = Wex Q=konst
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
25/82
3.6 Elektrostatisk energi och kraft 19
2/ Antag spnningskllor med spnningar Vianslutna till metallerna. Vi har sledes poten-tialerna Vikonstanta.
Energi levererad av spnnings
-kllorna
:Wsp.kllor=.Viii:t = . Vi:qi
:qi
( Fx
VV12
V = 0
Strm i = dq/dt enligt ekv. (1-5) i Cheng.
Den elektrostatiska energin i systemet We=
2
1.Viqi
och ndringen :We=
2
1. Vi
:qi 0 :W
sp.kllor= 2 :W
e
Fltet utrttar arbetet:A=Fx:x
Energiprincipen ger nu :A + :We=:W
sp.kllor= 2:W
e
Kraften fs sledes som
Fx=___ &We&x
;V = konst
Viktigt resultat: Kraft per ytenhet pladdad metall i vakuum
f = 1_2
+0E2= 1_
2 *
fsE dr *fsr (den fria) ytladdnings-
ttheten p metallen
Kraft per ytenhet f = energitthet weutanfr metallen (vakuum)
Exempel: Kraft p kondensatorplatta vid fast resp. flytande dielektrikum.
a/ flytandedielektrikum. Berkningen motsvarar den fr vakuum med0 . Se lst exempel 3-26 i Cheng; (Ex 3-20 i Lilla Cheng)! Resultatet blir
Fx= -
2
1DES = - fS
= = = = = = = = = =S = ytan
6
6
+Q
-QFx
E + vtska
Vidflytandedielektrikum gller att kraft/ytenhet f = weenergittheten utanfr metallen!
b/ fastdielektrikumVid frflyttning av det undrebelgget kommer inte dielek-trikum att fylla hela konden-satorn. Vi fr en luftspaltmed tjocklek x-d.
+Q
-Qx
d E fastdiel +
Fx
+5____________ 66
6
,
Kapacitans fr kondensatorn (tv seriekopplade kapacitanser):
1_C=
+Sd+
+0Sx-d
Energi We=
2C
Q 2 (vi antar att Q=konst)
Fx= -
&x&W e
= -2
Q2
&x&(C
1) = -
2+0SQ 2
= -2+0
D2S= -
2+rDES
= = = =
OBS!Skillnadeni berkning vid flytande resp. fast dielektrikum!
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
26/82
20 Kapitel 3 Dielektriska material
3.6.6 Kraft, vridande moment och energi fr dipol
Kraft vridande moment och energi fr den dipol i ett yttreelektriskt flt Eyttre:
F = (p.%) Eyttre
kraft p dipolen
T= p #Eyttre vridande moment p dipolen
We= - p.E
yttre energi fr dipol i yttre flt
Exempel: En punktladdning q finns i origo och en dipol med dipolmomentet p = zp i punkten(0,a,a) i ett rektangulrt koordinatsystem. Berkna a/ kraften p q
b/ kraften p dipolen!
a/ Fq= qEvidq= qEdipol
E frn dipolen:
Edipol
= R4/+0R3
2p cos!+ !
4/+0R3
p sin!
a
a
pz
y
E!ER
!
180o-
,
!q
R
Hr r R=a
2, = 135
Ey= -E
Rsin(180-!) + E
!cos(180-!) = ... =
16
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
27/82
Kapitel 4
Lsningsmetoder i elektrostatikenLsningsmetoder fr elektrostatiska randvrdesproblem:Poissons och Laplaces ekvation, 2-operatorn, numerisk lsning, speglingsmetoden
4.1 Poissons och Laplaces ekvationer
Differentialekvationen fr potentialen V blir
2V = /0 Poissons ekvation, dr r volymladdningsttheten.Iladdningsfritt omrde fr man
2V = 0 Laplaces ekvation
En vanlig problemstllning r, att man knner potentialerna p grnsytorna till ett omrde ochsker potentialen i omrdet dremellan, se fig.!
Att lsa differentialekvationenblir ett matematiskt kompliceratproblem. Vissa typer av problemkan dock lsas med den s kalladeseparationsmetoden. Hr ska vifrst lsa enkla problem genomatt integrera differentialekva-tionen.
V0
V=?
V=0
4.2 Laplace-operatorn
2-operatorn (Laplaces operator, del2-operatorn) r en beteckning fr operationen
div(gradV) = (V) = 2VI rektangulra koordinater fr man
%2V =
&x2&2V
+&y2&2V
+&z2&2V
Uttryck fr 2-operatorn i olika koordinatsystem finns i Cheng (insidan av bakre prmen), iBeta och i Physics Handbook.
4.3 Analystik lsning av Laplaces och Poissons
ekvationer
Se lsta exempel i Cheng: 3-21, 3-22, 3-23 !
4.4 Numerisk lsning till Laplaces ekvation i
tv-dimensionella problem
0 V
100 V
0 V
0 V V=?
a/ RandvillkoretV=konst. p randen:Dirichletsrandvillkor
Utnyttja eventuell symmetri i problemet och berkna potentialen i s litet omrde som mjligt!Lgg in ett kvadratiskt rutnt glest om du ska rkna fr hand.
21
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
28/82
22 Kapitel 4 Lsningsmetoder
Hrledning av en approximativ lsning till 2V=0:
(
,
u1
u2
u3
u4
u5x
y
Fyra av rutorna i nteta= sida i kvadraten
aa
(u3 u5 u1 x
x=-a x=0 x=a
Teckna derivator av V approximativt!
&x&V
(x=a/2)= au1-u
5,&x&V
(x= -a/2)= au5- u
3
&x2&2V(x=0)=
a&x&V
(x=a/2)-&x&V
(x=-a/2)
=a2
u1+u
3-2u
5
P samma stt fr vi
&y2&2V(y=0) =
a2u2+u4 -2u5 Insttning i %2V=0. ger nu
u1+u
2+u
3+u
4-4u
5_______________a2
= 0 0 u5=_1
4(u
1+u
2+u
3+u
4)
Potentialen i en punkt i rutntet blir sledes 1/4 av summan av potentialerna i punkternanrmast t.h., ver, t.v. och under punkten.
Iterationsmetoden
0/ Anstt potentialer V(0)1 , V(0)2 osv. i alla knutpunkter
1/ Berkna bttre vrden p potentialerna i varje knutpunkt genomV5
(1)=_1
4[V
2
(0)+ V
6
(0)+ V
8
(0)+ V
4
(0)]
V1 V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9fr punkten 5, se fig!
Skriv dessa vrden med annan frg i rutntet
2/ Fortstt och rkna fljande approximationer p samma stt! Med dator kan man rkna pett ttare rutnt och gra fler iterationer.
Matrismetoden
Anstt potentialer V1, V2, ... i knutpunkterna. Stll upp ekvationer t.ex.
V5= (V2+ V6+ V8+ V4) /4 fr alla oknda potentialer.Symmetriminskar antalet ekvtioner!
Ls ekvationssystemet! Anvnd matriser, om du har en kalkylator som kan hantera matriser.Se uppgift 5-2 i Exempelsamlingen!
Randvillkoret&V__&n =0 :
ka ut rutntet med en rad punkterutanfr randen med samma potentialsom i punkten nrmast innanfr,
#
#
#
##
#
#
#
#
o
o
o #
V2
V5
V8
V2
V5
V8
aktuelltomrde
,b/ (dvs E// grnsytan)
Gller vid grns mellan ledande och icke-ledande material
i normalens riktning!
Neumannsrandvillkor
Se t.ex. uppgift 6-20 i Exempelsamlingen!
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
29/82
4.5 Speglingsmetoden 23
Nr man knner V kan man berknaE-fltet approximativt
Ex=
V1-V
2_____h
# #V1 V2
x
h
Ex( (
I datorprogrambetecknasrandvillkorenmedDirichlet: V givet p randen, resp. Neumann:V/ngivet p randen!
4.5 Speglingsmetoden
Berkning av E-flt och potential i vissa typer av problem, nr laddningsfrdelningen p met-allytor inte r knd.
4.5.1 Spegling i metallplan
Exempel: En punktladdning q finns nra ett stort jordat metallplan. Berkna E!
Vi knner q, men inte den indu-cerade laddningsfrdelningen *
s
p metallplanet. Vi kan inteberkna E med tidigare metoder.
*s
#q
Ia
IIa E 0(metall)=Fig a
Speglingsmetoden: Vi erstter laddningsfrdelningen sp metallytan med fiktiva s.k. spegel-laddningar innanfrytan. Spegelladdningarna ska ge samma flt- och potentialbidrag i ak-tuellt omrde, som den verkliga frdelningensger i aktuellt omrde. Se figur b! Enligt enty-dighetssatsen r den funna lsningen den rtta!Entydighetssatsen: En lsning till Poissons/Laplaces ekv. som uppfyller randvillkoren r den enda mjliga. - Bevisasi Cheng: Field and wave electromagnetics.
Exemplet ovan:
Spegelladdningen -q erstterinverkan av metallplanet, nrvi rknar flt och potentiali omrde I = aktuellt omrde
I omrde II r problemen inteekvivalenta
#
#
Ib
IIb
q
-q spegel-laddning
aktuelltomrde
..........................
Fig b
Se ocks lst exempel 3-24 i Cheng!
Exempel: En lng rak metalltrd med radien a och laddningen per lngdenhet befinner sigp hjden h ver ett stort jordat metallplan, ah. Bestm trdenspotential och desskapacitanstill jord!
Spegla linjeladdningen i planet!Spegelladdningen -*l erstter
inverkan av metallplanet.
*l
3 *l
V=0h
ho
aktuelltomrde
Potential frn tv linjeladdningar *l: V =
2/+0
*lln
r+r-
Speciellt p trdens yta: Vtrd
=2/+0
* lln
a2h
= = = = = = = = =Kapacitans mellan trd och jord:
C ='VQ =
Vtrd
-Vjord
*ll =ln (2h/a)
2/+0 l
= = = = =
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
30/82
24 Kapitel 4 Lsningsmetoder
4.5.2 Spegling i metallcylinder
Inledning
Jmfr dessa bda fall med cylindergeometri:
1. Tv tunna metalltrdar med radie a, avstnd s och laddning:
(4s
*l- *l- --
--
--
- ++
+
++
++
+
a
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
31/82
4.5 Speglingsmetoden 25
Potentialen p cylindern med radien a blir
Va=
2/+0
*lln
d-a
a-d= ... =
2/+0
*lln
da= -
2/ +0
*lln
ada
2/ Mer komplicerade fall: Tv metallcylindrar med given potentialskillnad:aktuelltomrdemellan cylindrarna.
# #3*l + *l
a2a1
b1d2
d1b2
aktuelltomrdeErstt cylindrarna med
spegelladdningar *lvid berkning av fltoch potentialmellancylindrarna.
(4
(4Beteckna avstndenenligt figuren!b1och d1r avstndfrn axeln i cylinder 1,osv. Vi fr fljande samband:
4 (s
b1d1= a1
2 (1)
b2d2= a
22 (2)
b1+ d
2= b
2+ d
1= s (3), (4) ur fig, s = axelavstndet
# #-*l +*l
d1
d2b2
b1
a1a2
aktomr
ellernr cylinder 2omsluter 1:
b1d1= a12 (5)
b2d2=a22 (6)
b2- b1= d2- d1=s (7)(8)
ur fig, s = axelavstndet
(
(
(
(
4(s
b och d r avstnden frn medelpunkten i den cylinder vi speglar i till respektiveladdning. a r cylinderns radie och s axelavstndet.
Potentialskillnaden nr cylindrarna inte omsluter varandra:
V2-V
1=
2/+0* l ln a
1a2
d1d2 >0 (ty 2 omsluter +*l) (9)
Ls ut produkten d1d2ur ekv. (1) - (4) genom att multiplicera (3) med (4) och eliminera b1ochb2.
0a1a2
d1d2
=2a
1a2
1 [ a1
2- a
2
2-s2
+ ( a1
2- a
2
2-s
2)2- 4a
2a2
2 ]1
(10)
Nr cylinder 2 omsluter 1:
V2-V
1=
2/+0
*lln
a1
d2
a2d1 >0 (ty cylindrarna omsluter -*
l) (11)
Ekv. (5) - (8) lses analogt m.a.p. (d1/d2).
0a1d2
a2d1=
2a1a2
1 [a1
2+ a
2
2-s
2+ (a
1
2+ a
2
2- s
2)2- 4a
2a2
2 ]1
(12)
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
32/82
26 Kapitel 4 Lsningsmetoder
Exempel 1: Berkna kapacitansen mellan en metallcylinder, radie a och lngd, och ett stortmetallplan, se fig.!
(D/2
a
Lsning: Jmfr lst exempel 3-25 i Cheng: Tv tjocka metallcylindrar p avstndet D frnvarandra.
( D
a a
Vi har precis halva fltbilden i vrt fall! Tv lika seriekopplade kapacitanser C ska ge C Cheng:1/C + 1/C = 1/CCheng, dr
Ccheng= 0
ln[(D/2a) +
(D/2a)2 1 ]
Man kan ocks anvnda ekv.(9) och (10) p fregende sida och stta a1= a2, d1= d2. Tar docktid att frenkla! -
Exempel 2: I en lng kabel med lngdenligger dentunnainnerledaren frskjuten strckane frn axeln i ytterledaren, se fig.! Innerledaren har radien a och ytterledaren radien b (ab).Mellan dem finns ett isolerande material med permittiviteten. Lggp ledarna!
a/ Berkna ett approximativt uttryck fr kapacitansen mellan ledarna genom att anta e=0!
Berkna ocks kraften mellan dem!b/Antag nu e=0. Gr en exakt berkning av kapacitansen och kraften! Anvnd cylinder-spegling, men antag fortfarande ab!
4(
b
e+
Lsning:a/ Approximativt, antag e=0:
a
b
+4
Vi fr en cylinderkondensator med innerradien a och ytterradiena b. Kapacitansen blir enligtCheng eller Physics Handbook:
C =ln(b/a)
2/+ l
Eftersom innerledaren ligger symmetriskt i kabeln, blir kraften mellan ledarna F=0.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
33/82
4.5 Speglingsmetoden 27
b/ Antag +p innerledaren med radien a och -p ytterledaren! Innerledaren r tunn sladdningsfrdelningen blir jmn p ledarens yta. Vi kan d tnka oss koncentrerad till axelni innerledaren. Eftersom +inte lngre ligger centrerad i kabeln fr vi en ojmn laddnings-frdelning p insidan av ytterledaren. Spegla drfr ut +! Blir -p avstndet d = b2/e.
#*l - *l
((
b
aktomrde
d
e
Teckna nu potentialen p innerledaren resp. ytterledaren, bda i aktuellt omrde!Tecknade p ytan av resp. ledare med uttrycket ln(r/r+).
Vinner
=2/+
*lln a
d-e; V
ytter=
2/+
*lln b-e
d-b
C =Vinner
- Vytter
*ll
=
ln
ab
b2-e22/+ l
Om vi lter eo fr vi samma resultat som i a/.
Kraften: Vi fr rtt E-flt i aktuellt omrde med hjlp av +och spegelladdningen -. Vi kandrfr teckna kraften p innerledaren som kraften mellanp avstndet d-e.
Finner
= r *ll2/ +(d-e)
*l
= r2/+(b2-e2)
*l
2le
e 0 F=0 som i a/.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
34/82
Kapitel 5
Stationr strmningHittills har vi studerat laddning i vila. Laddning i rrelse, strm i = dQ/dt. I detta kapitel be-handlas strmtthet, resistans, spegling, randvillkor och resistansberkning. Vi studerar hu-
vudsakligen ledningsstrmi stationrtillstndet (steady state). Strmmen r d konstant itiden likstrm.
Ledningsstrm (conduction current): driftrrelse av laddning, t.ex. elektroner i metall. elektrostatiskt neutralt
Konvektionsstrm (convection current): masstransport, t.ex. av elektroner i vakuum i ett elek-tronrr ej elektrostatiskt neutralt.
5.1 Strmtthet
Antag att vi har N st laddnings-brare/volymenhet med laddningenq och hastigheten v.Definition av strmtthet
o
oo
q
v
v
v
ds
J
(
J= . Niqivi [J]= A/m
2J= *v fr ettslags laddningsbrare
*= volymladdningstthet
summerat fr elektroner,joner, hl
Strm genom yta i = JJ.d) s
Ledande materialDet som driver strmmen i en ledare r ett elektriskt flt i ledaren.I elektrostatiken hade vi E=0 i ledare.Samband mellan strmtthet och elektrisk fltstyrka frledningsstrm:
J= >E Ohms lag, dr >= konduktiviteten[>] = A/Vm = S/m (siemens/m)
JE
((
E-flt och potential frn strmelektroder:Strmmen ledes till elektroden och flyter sedan ut i materialet med konduktiviteten .
Sfrisk elektrod:
E =4/>R
2
i V =
4/>R
i (V
1=0)
R
i
>
R
E-flt frnen linjeelektrod med lngdenvinkelrt mot papperets plan:
Er=_____i
2/ > lrr
i
>
Potential frntv linjeelektroder enligt figuren:
V =2/ >li
lnr+r- ii
r+r-
VJmfr motsvarande uttryck i elektrostatiken!I analogi med beteckningen qkan vi skriva i p elektroderna
r+ r-
+i -i
V28
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
35/82
5.2 Resistans 29
5.2 Resistans
Definition avresistans:
R =__'Vi
[R] = V/A = ?
+ -'V
i(
Resistansberkning r analog med kapacitansberkning: Lgg spnning mellan elektroderna strm i. Berkna J, E, V och slutligen R = V/i.Analoginmellan resistans- och kapacitansberkning ger vid samma geometriRC =/ frutsatt att fltbilden r likai de bda fallen! Se avsnitt 4-6 i Cheng!
Man fr enkelt resistansen, om man redan har berknat kapacitansen fr en viss geometri pelektroderna.
Exempel: Tv sm metallkulor med radien a finns p avstndet d frn varandra i ett materialmed konduktiviteten . Berkna resistansen mellan kulorna, da !
Lt strmmen i flyta imaterialet frn elektrod1 till elektrod 2 d>
i i1 2
2a4 (
.....
.
Fren sfrisk elektrod r strmttheten J riktad radiellt ut. Lgg en integrationssfr med radi-en R runt elektroden och integrera!
i = )J.ds = J 4/R20J =
4/R2
i och E =
>J=
4/>R2
i
och potentialen frn enelektrod
V(R) - V1=)
R
1
E.dr =4/>R
i
I vrt problem fr vi nu potentialen p kula 1 genom superposition av potentialen frn +i pkula 1 och -i p kula 2:
V1=
4/>ai
-4/>di
= - V2 0 R =
i
V1- V2=2/ >1
[ a1- d
1]
= =
= = = = = = =
Symmetri ger att V2= -V1!
5.3 Spnningskllor
En stationrstrm bestr av laddningar som rr sig med konstant medelhastighet. Den sta-tionra strmmen flyter i en sluten krets (vg). Om vgen inte r sluten skulle laddning ackumulerasngonstans. Dessa ackmulerade laddningar skulle ge ett vxande elektriskt flt som ndrar strmmen. D r det intelngre ngon stationr strm.
Ettelektrostatisktflt kan inte tillfra energi till en laddning q som rr sig i en sluten krets,eftersom Wtillf= q
E dl= 0, ty
E dl= 0 fr det elektrostatiska fltet. E = 0 fr elektro-
statiska flt. Kallas ocks konservativt flt
Fr att enstationrstrm ska flyta i en ledare behvs ngot som driver strmmen ett E-fltfrn enspnningsklla. Ledaren blir ocks varm, drfr att elektroner kolliderar och energifrloras. Eller ocks vill man anvnda energi till ngon belastning, t.ex. en motor. Denna ener-gi mste komma ngonstans ifrn frn en spnningsklla. Spnningskllan kan t.ex. utgrasav ett batteri, en generator, en solcell.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
36/82
30 Kapitel 5 Strmning
Icke-elektriska krafter, t.ex. kemiska i ett batteri, kan representeras av ett (icke-konservativt)elektriskt flt Eiinne i spnningskllan. Index istr frimpressed= ptryckt. Spnningskl-lans spnning (=emk = elektromotoriska kraft) definieras avV=
12Eidl, se figur 1!
Laddningarna + och - i spnningskllan ger ett elektrostatiskt flt E bde utanfr och inne ikllan.
+
+
+
+
- - - -, 6Ei E
2
1
R
i(
E Figur 1 En spnningsklla.ppen krets som kan slutas via R.
Om kretsen rppenflyter ingen strm i kretsen eller genom kllan. D msteEi+ E = 0 ochV =
12Ei dl =
12E dl=
21E dl= V1 V2= potentialskillnaden mel-
lan polerna i batteriet. Detta gller fr en obelastad spnningsklla eller fr en belastad idealspnningsklla, d.v.s. utan inre frluster.
Nr mansluterkretsen med en resistans mellan 1 och 2 kommer en strm att flyta runt i kret-sen. Processer i batteriet upprtthller fltet Ei. Samband mellan spnning och strm i kretseni detta fall behandlas i nsta avsnitt.
5.4 Kirchhoffs spnningslag
Antag att kretsen i figur 1 r sluten s att strmmen i flyter i resistansen och genom kllan.Spnningskllan antas ha inre frluster. I kllan fr vi nu en strmtthet
Ji=i(E + Ei) i kllan och J = E utanfr. Eifinns bara i kllan.Vi kan nu infra en inre resistans Rii kllan genom1
2 viakallan(E + E
i)dl= Jii/i = ii/iSi = Rii (1)
P motsvarande stt fr vi fr integralen av E genom R:21 utanfor
E dl= J/= i/S = Ri (2)
Vi har antagit homogent flt i kllan: lngd li, tvrsnittsyta Sioch konduktivitetioch motsvarande fr resistansenR. Ledningarna frn 1 och 2 till R antas ideala, d.v.s. frlustfria.
Teckna nu
(E + Ei)dl=
E dl
=0
+Eidl=
12E
idl= V (3)
Men den slutna linjeintegralen i VL i ekv. (3) kan skrivas12viakallan
(E + Ei)dl +
21 utanfor
(E + Ei=0
)dl= Rii + Ri =V
med anvndande av ekv. (1), (2) och (3). Vi fr nu
V= Rii + Ri Kirchhoffs spnningslag
I kretstekniken skriver man ofta lagen som V+ Rii + Ri = 0.
Vi kan rita den ekvivalenta kretsen i figur 2.
V
(
Ri
i
R
1
2
+
-
Figur 2 Ekvivalent krets frspnningsklla (med inre resis-tans) mellan punkterna 1 och 2,ansluten till en resistans R.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
37/82
5.5 Kontinuitetsekvationen. Kirchhoffs strmlag 31
5.5 Kontinuitetsekvationen. Kirchhoffs strmlag
Laddningen r ofrstrbar. Det kan uttryckas s hr: Om strm flyter ut frn en volym msteladdningen i volymen ha minskat. Som ekvation: i =
SJ ds= d
dt
Vdveller med med di-
vergensteoremetV Jdv =
tdv. Detta uttryck ska glla fr alla volymer, d.v.s.
J=
t kontinuitetsekvationen
Frstationra strmmar r/t= 0 och J= 0 eller i integralformSJ ds= 0 (1).
Tillmpa nu ekv. (1) i en knutpunkt i ett nt.
kik= 0 Kirchhoffs strmlag
Summan av alla strmmar som flyter ut frn en knutpunktr noll :i1 i2+ i3= 0 i figuren t.h.
i
i2
i31
5.6 Effektutveckling. Joules lag
P = EE.J dv =( __dW
dt, W=energi) Joules lag
[P]= W (watt
)
)
5.7 Randvillkor
Vid grnsytan mellan tv material med olika gller:
E1t= E2t
J1n= J
2n
J2nJ1n
E1t
E2t
>1 >2
( (
, ,
5.8 Spegling
Speglingsmetoden fungerar som i elektrostatiken vad gller metallytor, =. I frga omstrmning tillkommer spegling i isolerande grnsyta,= 0.
Spegling imetall mycket gott ledande yta:
motsattriktning p strmmeni spegelbilden (motsatt teckenp spe gelladdn nnge i )
ledningsfrmga >i hela rummet
oo
> metall (>=1)
spegelkllai -i............
.......
(
(
(
strmlinjer @grnsyta t J
i elstatikenill metall
Spegling iisolerande yta:
sammariktning p strmmeni spegelbilden (ingen mot-svarighet i elektrostatiken)
>i hela rummet
oo
> isolator (>=0)
+i +ispegelklla....
...
.......
,
6
J
strmlinjer // grnsyta till isolator
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
38/82
32 Kapitel 5 Strmning
Exempel: Berkna resistansen mellan tv lnga metalltrdar (radie b, lngd ) i en vtskamed ledningsfrmgan. Trdarna finns p djupet a under vtskeytan, ba.
Lt strmmen i flyta mellanelektroderna. Spegla i iso-lerande yta - samma riktning(tecken) p strmmen i spe-gelbilden -.
luft
tska
>
2a
a
i i
aktuelltomrde
4 (
,
6
v
Potential p trd 1
V1=2/>li
lnb
2a+
2/>li
ln2a
2____ .................
aktuelltomrde
(4
,
6
Resistansen R =i
V1- V2=/>l1ln
b2Al
l
i A(
2/ Inhomogenstrmfrdelning (exaktberkning)Metod: Vlj ett litet volymelement, se fig., med lngden i strmmens riktning och ytanA strmmen. Rkna med homogen strmfrdelning i det lilla volymelementet. Detta rmjligt i de fall d vi matematiskt kan beskriva strmlinjer och ekvipotentialytor i en godty-cklig punkt i kroppen.
'R => 'A
' l =
'G1
'R resistans 'G konduktansfr elementet
l
'A
'
i
,
(
verg till differentiella storheter och integrera!
element i serie: Rserie
= )dR
element parallellt: Gparallell
= )dG
B. Approximativ resistansberkning
Inhomogenstrmfrdelning. Om man inte kan gra en exakt berkning av resistansen kanman i stllet berkna envre och en undre grnsfr den verkliga resistansen R:
Ansats 1: Annan strmfrdelningn den verkliga. Strmmen tvingas i andra banor, genomtunna skikt med R=, p sdant stt att vi enkelt kan berkna resistansen analytiskt. Dennaresistans blir dock fr stor, d.v.s. vi har ftt envre grns Rovre.
Ansats 2: Andra ekvipotentialytorn de verkliga. Vi tvingar fram nya ekvipotentialytorgenom tunna skikt med R=0, s att vi enkelt kan berkna resistansen. Denna resistans blirdock fr liten, d.v.s. vi har ftt enundre grns Rundre.
En kning av konduktiviteten i ngon del av en ledare medfr en minskning av ledarenstotala resistans och omvnt!
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
39/82
5.10 Ytstrmtthet, ytresistans 33
Exempel 1: Berkna resistansen mellan metallsfrerna med radierna a resp. b genom att inte-grera Rcell= /A !Strmmen flyter radiellt.Ekvipotentialytorna r sfrer.
Vlj drfr volym
elementet:ett sfriskt skal med radien r
och tjockleken dr
Lngd i strmmensriktning dl=dr,yta@ strmmen 4/r2
>
a
br
(
Resistans fr volymelementet dR =>4/r2dr
Element i serie R =)a
b
>4/r2dr
=4/>1 [ a
1 - b1 ]
= = = = = =
Exempel 2: Berkna en vre och en undre grns till resistansen fr ledaren enligt figuren!Tvrsnittsytan r kvadratiskt.
ra
a
l
l
a/ vre grns: antag en annanstrmfrdelning n den verkliga,t.ex. kvartscirkelbgar i hr-net. Elementets lngd rl +r//2+ l, dess bredd dr ochyta adr.
Konduktansen fr elementet dG =2 l +r//2
>adr ,
G =)0
a
2l+ r//2
>adr=
/2>a
ln[1 +4l/a
] =Rvre
1
= = = = = = = = = = = =
parallella element
b/ Undre grns. Vlj en annan potentialfrdelning n den verkliga. Lt t.ex. hrnet varaondligt gott ledande.
R = 2
>a2
l = Rundre
= = = = = = l l
a
a
Kommentar: Andra approximationer av strmfrdelningen resp. ekvipotentialytorna ger n-got annorlunda vre och undre grns.
5.10 Ytstrmtthet, ytresistans
Fr ett rtblock med lngden , bredden b och tjockleken d fr vi strmtthet och resistans som
strm i =)J.ds = Jbd0strmtthet J =__i
bd(A/m2)
Resistans R =___l
>bd
l
b
d ( J >
homogen strmfrdelning
b,d @strmmen
Om tjockleken d0:
l
d
bJs(
d(0 0strmmen flyter p
en yta 0ytstrmtthetJs
i = )J.ds= Jsb 0 Js = bi (A/m)
Resistans R = sbl
s = ytresistans(ytresistivitet) [s] = ?
b = enda dimension @i
,
Jmfr de bda uttrycken fr R! Samband s = 1/d !
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
40/82
34 Kapitel 5 Strmning
5.11 Tvdimensionell strmning
4
3
2
1> ).R12= resistans mellan ytorna 1 och 2
R34= resistans mellan ytorna 3 och 4
Den tunna skivan enl.fig. har ytresistivitetens (eller tjockleken d och konduktiviteten
Vidtvdimensionell strmning gller detta samband:
R12R34= s
2=(>d)21 Fltlinjer och V=konst-linjer (@mot varandra)
r ombytta i det andra fallet.
5.12 Numerisk resistansberkning
Numerisk berkning av resistans sker p samma stt som numerisk berkning av kapacitans.Se t.ex. uppgift 5-1 i Exempelsamlingen!I fallet resistansberkning har man ett ibland ett randvillkorV/n= 0 p randen.
Strmmen flyter parallellt med randen vid grnsyta till isolerande material. Hur man anst-ter potentialer i detta fall har behandlats tidigare, se s. 22!I uppgift 6-19 och 6-20 i Exempelsamlingen har man detta s.k. Neumann-randvillkor.
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
41/82
Kapitel 6
Magnetostatik i vakuumMagnetostatik = magnetflt frn likstrmmar. Flten ndras ej i tiden.I detta kapitel behandlar vi bl.a. Lorentzkraft, Amperes lag, vektorpotential, Biot-Savarts lag
6.1 Lorentzkraft
P laddningen q med hastighetenvi magnetfltetBverkar den magnetiska kraftenFm= q(vB).Vi kan definiera B-fltet med hjlp av kraften p en liten testladdningFm/q =vB,i analogi med vr definition av E-fltet i avsnitt 2.3 p s. 6.
Med bde elektriskt och magnetiskt flt fr vi kraften p q
F= q(E +v B) Lorentzkraften[B] = Vs/m2 = Wb(weber) /m2 = T (tesla)
Partikelrrelse
Exempel 1: Laddade partiklar, alla med laddningern q, men med olika hastigheterv= yv0 , kommer in i ett omrde med E- och B-flt enligt figuren. Vilken hastighet har departiklar, som fortstter i y-riktningen och gr igenom hlet i skrmen?
Lsning:Laddningarna pverkasden elektriska kraftenFe= qE= x qE
De laddningar som harhastighet endast i y-ledpverkas av
Fm= q(v
oy #B) = -x qv
oB
o
o
o vo
E # B
.
x
yz
6
6
( (
Om banan ska vara ofrndrad msteFe+Fm= 0, d.v.s. v0= E/B
Kommentar: Rrelse i enbart B-fltger kraft Fm= qv B, vinkelrtt mot bde B-flt ochpartikelbana, vilket medfr att |v| , farten, r konstant.
En rrelse iE-flt ger kraft p partikeln i banans riktning och tillskott i rrelsenergin, vilketanvnds fr att accelerera laddade partiklar.
Exempel 2: En partikel (massa m, laddning q) befinner sig i vila i origo vid t=0 i statiska E-ochB-flt, se fig.! Bestm partikelns bana och maximala avstnd till x-axeln!
x
z
q
,E0 .
B0 BV: t=0, x=y =z=0,
vx=vy=vz=0
Rrelseekvationen blir
m__dv
dt= F = q(E + v #B) = q[z E
0+ vx vy vz
x y z
0 -B0 0
] Dela upp ikomponenter!
x: mdt
dvx= qvzB0; y: m
dt
dvy= 0 ; z: mdt
dvz= q(E0-v
xB0)
Infr= qB0/m (1)
35
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
42/82
36 Kapitel 6 Magnetostatik i vakuum
dt__dvx =Av
z (2)
dvy___dt
= 0 (3)
dvz___dt
=___qE0m - Avx(4)
_ med lsning (3): vy= konst= v
y(t=0) =0
dy__dz
= 0 0 y= konst = y(t=0)= 0
0 Rrelse enbart i xz - planet!
d/dt p ekv. (4) och insttning av (2) ger
dt2d2vz= -A
dt
dvx = -A2vz
= = = = = = =
med lsningen vz= k
1cosA t + k
2sinA t (5)
vz(t=0) = 0k
1=0, (5) och (4):
dt
dvz= Ak2cosAt= m
qE0 -Avx
som fr t=0 blir A k2= qE
0/m 0 k
2= E0/B0
= = = =
= = = = = =0 v
z= (E
0/B
0)sinAt
= = = = = = = =(6)
Integrera (6) och anvnd BV 0 z = AB0
E0 (1 - cosAt)
= = = = = = = = =
(7)
Stt in ekv.(6) i (2), integrera och anvnd BV 0
vx=B0
E0 (1-cosAt) (8) och x =AB0
E0 (At- sinAt) (9)
= = = = = = = = = = = = = = = =
Med hjlp av vzoch vxeller z och x kan vi ocks skissa banan (en cykloid)Ekv. (7) ger max avstnd till x-axeln zmax = 2E0/B0
z
,E0
.
B0
...........................
6.2 Postulat
Frmagnetostatik i vakuumgller fr B-fltet:
%.B= 0 och %#B = 0J i differentialform eller
)o B.ds= 0 och )o B.dl= 0i i integralform
dr Jr strmttheten, i strmmen och 0= 4/.10-7
Vs/Ampermeabiliteten fr vakuum
6.3 Amperes lag
Sambandet mellan linjeintegralen av B runt en sluten vg och strmmen genom den yta, sombegrnsas av den slutna vgen.
)oB.dl= 0)J.ds=
0iomsluten
Amperes lag i integralform
dlgiven 0 ds enl.fig. B
ds
dl
i
,,
Samband mellan omloppsriktningen dloch riktningen p ytvektorn dsfs som tidigare enligthgerhandsregeln: fingrarna i dl-riktningen medfr dsi tummens riktning!
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
43/82
6.4 Magnetiskt flde 37
Fr en ondligt lng rak ledare fr man t.ex.
B$2/r = 0iomsluten= 0i
0B
$
=
2/r0i .i B$
Kommentar: Amperes lag r bra vid symmetri, exempelvis fr ondligt lng rak ledare,ondligt lng spole, koaxialkabel, toroid en motsvarighet till Gauss lag i elektrostatiken.
Exempel: Strmmen i flyter i axelriktningen i ett tunt, lngt, halvt cylindriskt skal med radiena. BerknaBp cylinderaxeln!
Vi delar upp ledaren i tunna raka ledare, s att vi kan anvnda den frdiga formeln fr B frntunn lng rak ledare ovan!
di
i
.
.a x
y
Bd
Strm i elementet med bglngden ad
di = i ad//a vilken ger magnetfltet
dB = di/2/ao
dB r vinkelrt mot radien a
Dela upp dBi komponenter: dB= dB (x cosB - y sinB)och integrera.
B =2/2a0i )
0
/
(x cosB - y sinB) dB=2/2a0i (-2y ) = - y
/2a0i
= = = =
6.4 Magnetiskt flde
Definition: magnetiskt fldegenom en yta
C= )B.ds [B] = Vs = Wb (weber)d
B
s(
Exempel: Likstrmmen i flyter i en lng rak ledare 1. Berkna fldet genom en yta 23 medlngdenvinkelrtt mot papperets plan, se fig.! Radiella avstnden frn 1 till 2 resp. 3 r r12och r13.
i
2 3
3'
BdS
1x
Io
B-fltet frn den lnga raka ledaren 1: B =2/r0i
B-linjerna r cirklar runt om 1, se fig.!
Fldet genom 2-3: C= )2-3
B.ds
Br ej parallell med dsp ytan 23 och integralen blir inte heller s enkel som med detta knep:
Det r ett och samma flde , som flyter mellan de bda cirkelbgarna genom 2 resp. 3. Det r
lttare att berkna fldet genom yta 23 i stllet! P 23 r ds ochBparallella och ytelementetds =dr.
C= )2-3'
B.ds= 2/0i)
r12
r13
r1ldr = 2/
0illn r12
r13
= = = = = =
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
44/82
38 Kapitel 6 Magnetostatik i vakuum
6.5 Vektorpotential
Eftersom B= 0 och ( A) 0, kan vi infra en vektorpotential genom B= A[A] = Vs/m
I magnetostatiken vljer vi A= 0 VektornAr drmed bestmd, eftersom vi knner dessrotation och divergens Helmholtz teorem.
Fr enstrmfrdelning J(R1) fr man fljande uttryck frA:
A(R2) =
4/
0) R
12
J(R1)dv
1 R1 R 12
R 2
J(
Fr entunn strmfrande ledaremed strmmen i fr man
A(R2) =
4/0i)o R
12
dl1 dl1 = lngdelement i strmriktningen
Kommentar: Om strmmen flyter i enriktning kommerAatt fsamma riktning.
Strm i i $ -led ger
A= $ A$ i
Frdelmed vekorpotentialen: Integralen frAr ofta lttare att berkna n motsvarande frB-fltet (Biot-Savarts lag). NrAr berknad, fr manBsomB= A.Viktigt resultat: Flde genom en yta kan berknas direkt med A-vektorn integrerad runtomkretsen till ytan.
C= )B.ds= )oA.dl dsdl (6
6.6 Biot-Savarts lag
B-flt frn en strmslinga med strmmen i1:
dB=4/
0.
R122
i1dl
1#R
12
R1 R
B
2
R 1dl1i1 # d
2
Integrera runt slinga 1 fr att fB(R2) =
dB
Att gra detta r jobbigare n du tror! Anvnd i stllet de frdiga formlerna nedan, ommjligt! De finns med i formelsamlingen.
Viktiga resultat:a/ Flt frnrak del av strmfrande ledare
B =4/a
0i(cos !
1+ cos!
2) #B
!2
!1
ai
b/ Fltp axeln till cirkulrt varv
Bz=
2(z2+a
2)3/2
0ia2
a
i
z(
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
45/82
6.7 Kraft p ledare i B-flt 39
c/ Fltp axelntillcirkulr spole
Bz=____
0Ni
2 l(cos"
1+cos"
2)
l
. . .
# # #
,
4 (
( )
"1 "2
i
a
z
N varv
(
d/ Flt frn ondligt
lngspole, d.v.s.
a, med Amperes lag
Bz=
0Ni/l ra
homogent flt i spolen
inget flt utanfr spolen
.
B
i
i
B
. .
.i
. B
Skiss av flt frn cirkulr strmslinga resp. spole. Strmriktningen i de cirkulra varven symboliseras av resp. ifigurerna. OBS! B-linjer r alltid slutna linjer, tyB= 0.
6.7 Kraft p strmfrande ledare i B-flt
Kraft p en ledare med strmmen i2:
F2= )o i2 dl2 #B
i2 dl2B
#
(
Kraft p volymen V med strmttheten J:
F= )VJ #B dv # BJ(
6.8 Magnetisk dipol
Definition: magnetiskt dipolment m
fr en cirkulr strmslinga med radien a
m= n i/a2
,
(i
a
m
Magnetisk dipol liten strmslinga betraktad pstort avstndRa.Vektorpotentialen blir
A
dipol=
4/R20m# R
= $4/R2
0msin!
vilken ger B-fltet (B=%#A)
RB!
BR
i
m ! x$
,
B= R4/R3
02mcos!+ !4/R3
0msin!m= z m
JmfrEfrn en elektrisk dipol, se s. 14!
Kraft, vridande momentochenergifr en magnetisk dipol i ett yttrefltByttre:
F= (m.%)Byttre kraft p dipolen
T=m#Byttre
vridande moment p dipolen
Wm= -m.B
yttremagnetisk energi fr dipol i yttre flt
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
46/82
Kapitel 7
Magnetostatik med magnetiska materialMagnetisering, H-flt, magnetkretsar, randvillkor
Atomra strmmar i material utgr magnetiska dipoler, vilka ger magnetflt. Om dipolernar slumpmssigt orienterade, fr vi inget resulterande flt.Magnetmaterial: Material som blir magnetiserade av yttre flt. De slumpmssigt orienteradedipolerna pverkas av vridande moment p grund av det yttre fltet och stller in sig i fltetsriktning, vilket ger resulterande flt p grund av dipolerna. Det kan ocks vara material som r permanent magnetiserade permanentmagneter.
7.1 Magnetisering
Betrakta en liten volym v i ett magnetiserat material och summera de atomramagnetiska momenten i v till m.Definition avmagnetiseringen M= dipolmoment/volymenhet en makroskopisk
storhet:
M= lim'v(0 'v
'm
[M] = A/m
'm
M(
(
Vi kan rkna med materialets inverkan genom att infra ekvivalenta strmttheterJmochJms,magnetiseringsstrmttheter.
Jm= % #M strmtthet
Jms=M# n ytstrmtthet nut frnvolymen
M
nA/m
A/m2
Bdede ekvivalenta strmmarna Jmoch Jmsochde verkliga (vanliga, fria) ledningsstrmmar-na Jfrioch Jfrisbidrar tillB-fltet.
Amperes lag fr Bblir t.ex.
)oB.dl= 0)(Jm+ Jfri).ds eller %#B= 0(Jm+Jfri)Vidpermanent magnetiserat material (utan extra strmlindning) rJfri= 0.
Exempel: Jmfrelse av cylinderspole och cylindrisk permanentmagnet:
a/ Cirkulrcylindrisk spolemed radien a, lngden L och N varv med strmmen i
(a
i
4 (L
z ytstrmtthet
N varv
J s= $ Ni/L
p z-axeln B= z____ 0Ni
2L(cos"1+ cos"2)
b/ Permanent magnetiserad cylinder, magnetiserad i z-led. Dimensioner samma som spoleni a/ men utan strmlindning:
M=zM0, med M0= konstErstt magneten med ekvivalenta strmmar: I volymenJm= M= 0, ty M0= konst.P ytan av materialet ytstrmttheten
Jm s
= M#n= M0z # r = $ M
0 (A/m)
M( ( z
4 (L
aJ ms ( zekvivalent med
Forts. p nsta sida!
40
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
47/82
7.2 H-fltet 41
Jmoch Jmsger B-fltet. Hr har vi analogi mellan Jmsp cylinderytan och spolen i fallet a/.Jmsmotsvaras av Ni/L. Vi fr drfr B-fltet p magnetens axel
Bmagnet
= z2
0M0 (cos"1+cos"
2)
H fs ur H =0
B-M
Se t.ex. Exempel 8-2 i Exempelsamlingen!
7.2 H-fltet, magnetisk intensitet
B
H
Ett annat stt att ta hnsyn tillmagnetmaterialets inverkan r attinfra en ny vektor H, definieradgenom
H = 0B-M H-fltet, [H] = A/m
Om det rlinjrt, d.v.s. MH, kan vi infra en konstant, permeabiliteten.B=
0(H +M) = H=
r0H
dr r(eller D) = permeabilitetstalet
relativa permeabiliteten
[]=
Vs/Am
,
B
H
[Man kan ocks infra en konstant, den magnetiska susceptibilitetenm, genom att sttaM=mH= (r-1)H m=r 1]Ferromagnetiskamaterial (jrn, nickel, kobolt) harr1. Amperes lag fr H-fltetblir nu:
)o H.dl= )Jfri.ds eller % #H= Jfridr Jfri r den fria (vanliga) strmttheten.
Kommentar: Frdelen med denna formulering av Amperes lag r att vi ofta knner den van-liga strmmen och kan berkna H. Att berkna Jmoch Jmsfordrar att vi knner M.
OBS! Jmoch Jmsger B-fltet! H fs urB=0(H+M)
Hr gller ocks motsvarande som fr dielektriska material. Att Jfri=0 behver inte innebraatt H=0: En permanentmagnet har inga fria strmmar.
Hdl=0. Men H=0.
7.3 Magnetkretsar
En magnetkrets bestr av magnetiskt material, som leder fldet. Magnetiseringen stadkommesmed en eller flera strmfrande lindningar eller ocks anvnder man permanent magnetiseratmaterial. Vi studerar enbart linjra magnetkretsar i kursen.
Linjra kretsar, B=H (=konst)H
B
Hrledning av en analog elektriskt krets:Betrakta nedanstende magnetkrets! Berkna fldet 1!
lk
l1
l
2
l3
............ .............
............
.
............
......
......
......
....
......
...
.........
,
6
( 4
4(
E E
E
C3C2
C1
medelvg fr fldet
i del k av kretse
n
n
Sktvrsnittsyta fr
fldet
S2
(i
N varv
k permeabilitet fr
del kav kretse
5/20/2018 Sammandrag - Elektromagnetism
48/82
42 Kapitel 7 Magnetostatik med magnetiska material
Tillmpa Amperes lag
Hdl= iomslutenp slutna slingor i kretsen och attBds= 0 i knut-
punkterna.Rkna med medelvgen k i jrnet fr fldet. Antag ocks att fldet r jmnt frdelat vertvrsnittsytan Sk. Lckningen frsummas, d.v.s. allt flde flyter enbart i magnetmaterialet.
C1= C2+ C3 (1)
Bk= Ck/Sk k=1,2,3 (2)
Bk= kHk (3)
)1-2
H.dl = H1l1+ H
2l2= Ni (4)
)3-2
oH.dl= H3l3- H
2l2= 0 (5)
o
(2) och (3) insttes i (1): 1H1S1= 2H2S2+3H3S3 (6)Ur ekv. (5) H3= H22/3 insttes i (6). Ls ut H22
H2l2=
l2
2S2+l3
3S3
1H1S1=
l2
2S2+l3
3S3
H1 l11S1
=
F 21 + F 3
1
H1 l1 F 1
1
l1 =
F1(F2+F3)
H1l1
F2
F3
(7)
dr beteckningen Fk= lk/kSk infrts. (7) ins. i (4) 0
H1l1=
1 +F1(F2+F3)
F2F3
Ni
och slutligen C1= B1S1= 1H1S1=
=
l1
1S1 .
1 +F1(F2 +F3)
F2 F3
Ni=
F1 + F2+F3F2F3
Ni
= = = = =
Denna ekvation kan vi tolka som erhllen ur enekvivalent elektrisk kret
Recommended