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1 Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
1
2.1 a 5% = 0.05 d 10.5% 0.105
b 13% = 0.13 e 14.9% = 0.149
c 2.75% = 0.0275 f 0.25% = 0.0025
2.2 a Kontostand Zinssatz Zins- Bruttozins
Ko p operator Zs am 31.12. f
[CHF] [CHF]
' 25 100 3% 0.03 753
9400 4.5% 0.045 423
7920 2.5% 0.025 198
12 000 1.75% 0.0175 210
64 800 5.25% 0.0525 3402
b Formel mit Zinssatz p:
Formel mit Zinsoperator f: Z8 K0 · f
= K0 · __E_ - K0 · __E_ · 0.35 = K0 · __E_ · (1 - 0.35 ) 100 100 100
K0 · p · 0.65 100
Kontostand
2.3 a Rückzahlung:
Seiten 98, 99
g 65% = 0.65
h 3.75% = 0.0375
12.25% = 0.1225
Verrechnungs- Nettozins steuer
[CHF]
263.55
148.05
-
73.50
1190.70
= K0 · __E_ · 0.65 100
ZN
[CHF]
489.45
274.95
198
136.50
2211.30
Kontostand nach Zinsabschluss
KE [CHF]
25 589.45
9674.95
81 18
12 136.50
67 011.30
Bank X: 15 000 + 15 000 · (0.125 + 0.015) = CHF 17100 BankY: 15 000 + 15 000 · 0.12 + 200 = CHF 17 000
3
b K = CHF 10 000: Die beiden Banken sind gleich günstig. K < CHF 10 000: Die Bank X ist günstiger. K > CHF 10 000: Die BankY ist günstiger.
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 83
Seiten 100, 101
4.1 a Mögliche Antwort:
4.2
Die Grafik zeigt, wie der Bruttojahreszins mit zunehmendem Kapital bei drei verschiedenen Zinssätzen wächst.
b Z8 · 100 p = - -K-
Wahl geeigneter Punkte im Diagramm: Punkt 1 (4000/260 )
Punkt 2(4000/200 )
Punkt 3(5000/200 )
C, d p =
y
195. 100 2500
7.8%
8.5% 7.8%
P1 = 6.5%
P2 5% p3 = 4%
P1
200 -+---t-~-+-~-H----i--+-,--T--J;.<---,-t7'-'--'-'-l---i-~1"'-~+-~----,~~-+--~--r-.---+----t---+----+---H-
180 160 140 120 100 +---t-~--+'h"'-'--7'7--'-'-7/"T----"71'"'--"--"'--'-t~-h---c-t-------~+-~+---,--t-.,.,--+--~h--rl----'---+-----i---'-+
80 60 40 20
0 X
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 5500 6000 6500 7000 7500
a Zinsoperator: f = 93·75 = O 0125 7500 .
Zinssatz p: p = 93.75 . 100 = 1.25% 7500
b - Zs = K0 · f
f = Zs Ko
84
Kapital [CHF]
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
( 4.3 Kapital Bruttojahreszins Zinsoperator Zinssatz
Ko Zs f p [CHF] [CHF]
a 6540 261.60 0.04 4%
b 950 23.75 0.025 2.5%
c 4980 186.75 0.0375 3.75%
d 32 714 4089.25 0.125 12.5%
4.4 Der Jahreszins muss CHF 134 betragen.
( Zinsoperator f = 6~6~ = 0.0201 „.
Der Zinssatz müsste mehr als 2% betragen.
Hinweis: J
Bei einem Zinssatz von 2% müsste Anja noch ungefähr CHF 0.70 dazulegen.
4.5 Nettozins: ZN = K0 · f · 0.65 Kontostand: KE = Ko + ZN = K0 + K0 · f · 0.65
Zinsoperator:
4.6 Nettojahreszins:
f = KE - Ko K0 · 0.65
CHF 780
Berechnung mit Zinsoperator f: f = Ko z~.65 = 15 0;J~0 0.65 = 0.08
Berechnung mit Zinssatz p:
Der Zinssatz beträgt 8% .
p ZN. 100 K0 · 0.65
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
780. 100 = 8 15 000. 65
85
Seiten 101, 102
Seiten 102, 103
4.7 Kapital zu Zins- Zins- Brutto- Verrechnungs- Netto- Kontostand am
Jahresbeginn satz operator jahreszins steuer jahreszins Jahresende Ko p f Zs ZN KE
[CHF] [CHF] [CHF) [CHF] [CHF]
a 7800 7.5% 0.075 585 204.75 380.25 8180.25
b 9600 2.5% 0.025 240 84 156 9756
c 8000 5.5% 0.055 440 154 286 8286
d 125 400 4% 0.04 5016 1755.60 3260.40 128 660.40
e 3400 14% 0.14 476 166.60 309.40 3709.40
f 8900 6% 0.06 534 186.90 347.10 9247.10
4.8 a Mögliche Antwort: Das Diagramm zeigt, wie der Bruttojahreszins mit zunehmendem Zinssatz bei drei verschiedenen Kapitalien wächst.
b Ko = Z8 · 100 p
Wahl geeigneter Punkte im Diagramm: Punkt 1 (5/240) Punkt 2(5/320) Punkt 3(5/360)
C, d
Li:' 520 ::c 2 480
(/)
- ~ 440 N (/)
~ 400 .r: -~ 360 0 ~ 2 320
[]J 280
240
200
160
120
80
40
0
y
K1 = CHF 4800 K2 CHF 6400 K3 = CHF 7200
0 0.5 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7
Zinssatz [%]
Bruttojahreszins Z8 = 169 : 0.65 = CHF 260
Ko = Z8 · 100 = 260. 100 = 13 OOO p 2
Das Kapital beträgt CHF 13 000.
86 Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
(
(
4.9 a
b
4.10
Ko = Zs f
Bruttojahreszins Zs
[CHF]
896.40
1237.80
41.40
199.90
Zinssatz p
3%
2.5%
5.75%
0.5%
K ZN 358.80 18 400 0 = 0.65 . f = 0.65 . 0.03 =
Das Guthaben beträgt Ende Jahr CHF 18 758.80.
4.11 K0 = o.:;. f = o.655.95.025 = 36 861.538„.
Zinsoperator f
0.03
0.025
0.0575
0.005
Das Kapital muss anfangs Jahr mindestens CHF 36 861.55 betragen.
4.12 a KE KE 6560 Ko = T+f = 1.025 = 1.025 = 54oo
Das Kapital betrug zu Jahresbeginn CHF 6400.
b KE = K0 +ZN = K0 + K0 · f · 0.65 = K0 (1 + f · 0 .65)
4.13 a
KE Ko = 1 + f . 0.65
KE Ko = -1 -+-,-f -. o-. 6-5
Ko = 20 520 = 20 000 1.026
Das Kapital betrug zu Jahresbeginn CHF 20 000.
4.14 Kapital, Zinssatz, Jahreszins
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
Seiten 103, 104, 105
Kapital Ko
[CHF]
29 880
49 512
720
39 980
87
Seiten 105, 106
5
6.1 a 27 Tage: CHF 10.80 d 243 Tage: CHF 97.20 g 189Tage: CHF 75.60
b 198Tage: CHF 79.20 e 351 Tage: CHF 140.40 h 252 Tage: CHF 100.80
c 36 Tage: CHF 14.40 f 99 Tage: CHF 39.60 81 Tage: CHF 32.40
6.2 a (8 · 30-18)-0 = 222Tage
b (10-30-4)-(5 - 30-9) = 296-141 = 155 Tage
c (12 - 30-21)-(10 - 30-15) = 339-285 = 54Tage
d (4 - 30-26)-(1 - 30-27) = 94-3 = 91Tage
e (11 ·30-11)-(2-30-9) = 319-51 = 268 Tage
f (6-30-30)-(3 - 30-13) = 150-77 = 73Tage
g (9 - 30-8)-(6 - 30-30) = 262-150 = 112Tage
6.3 Kapital Zinssatz Laufzeit Laufzeit Marchzins
K p t MZ [CHF]
vom bis [Tage] [CHF]
a 1650 2% 9. Jan . 25. April 106 -9.72
b 16 920 5% 19. März 7. Aug. 138 324.30
c 540 2.75% 7. Mai 1. Okt. 144 5.94
1
d 25 200 4.5% 27. Juni 16. Nov. 139 437.85
e 7500 3% 12. Okt. 6. Dez. 54 33.75
f 32 400 12.5% 8. Feb. 17. Juli 159 1788.75
6.4 Anzahl Tage: (5·30-3)-(4 - 30-27) = 147-93 = 54Tage
Überziehungszins: 900 · 0.095 : 360 · 54 = 12.825
Der Überziehungszins beträgt CHF 12.85 oder CHF 12.80, je nach Rundungsregel der Bank.
88 Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
(
L
6.5 a Der Saldo am 6. Januar betrug CHF 2900.
6.6
6.7
b
a
b
Tag Monat
7 Jan.
13 Feb.
30 März
18 April
1 Juni
25 Juli
31 Aug . .
MZ = L..L..l 360
K = MZ · 360 f · L
f = MZ · 360 K-L
L = MZ · 360 K · f
a _ L = MZ · 360 K · f
Text
Bankornat
Auszah lung
Einzahlung
Bankornat
neuer Zinssatz
Einzahlung
Auszahlung
139 . 360 6255. 0.025
Nach 320 Tagen
Zinsatz
2%
2%
2%
2 %
2.5 %
2.5 %
2.5 %
= 320
- 320 Tage = 10 Monate 20 Tage
Es handelt sich um den 20. Oktober.
b 1. Januar bis 12. Juli : · 191 Tage
Gutschrift Lastschrift Saldo [CHF] [CHF] [CHF]
300.00 2600.00 I
2100.00 500.00
250.00 750.00
450.00 300.00
300.00
800.00 1100.00
500.00 600.00
Marchzins für CHF 6255: MZ = 6255 . 0.025. 191 = 82.965625 "" 82.95 360
12. Juli bis 31. Dezember: 168 Tage
Marchzins für CHF 6116: MZ = 6116. ~~~5. 168 = 71.353 ... "" 71.35
Kontostand am Jahresende: 6116 + 82.95 + 71.35 = 6270.30
Der Kontostand beträgt CHF 6270.30.
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 89
1
} }
1 } } 1
Seiten 107, 108
Laufzeit Marchzins [Tage] [CHF]
36 5.20
47 -1.31
18 0.75
43 -0.72
54 -1.13
35 -2.67
6.8 Billettkosten: CHF 15 · 19 CHF 285
Kapital K: CHF 279 Marchzins MZ: CHF 6 Laufzeit L: 1. Januar bis 17. Juli: 196 Tage
Zinsoperator: f MZ · 360 6 · 360 = K · L = 279 · 196 = 0.0394 ...
Der Zinssatz sollte mindestens 4% betragen.
6.9 a 5 Monate: CHF 74.75 c 9 Monate: CHF 134.55
b 1 Monat: CHF 14.95
6.10 a MZ = L..LJo 12
b
6.11
K MZ · 12 =---f · L
f MZ · 12 = ---K· L
L MZ · 12 =~~=
K · f
@ CHF 3600 4.5%
5 Monate
Marchzins: CHF 75.40
Marchzins: CHF 72
6 12 Mz = 4800 · 0.0275 · L • 1 12
4800 · 0.0275 · L 12
4200 · 0.03 · L 12
d 10 Monate: CHF 149.50
CD CHF 2640 3.5%
9 Monate
@ CHF 3480 4%
6.5 Monate
Mz 4200 · 0.03 · L 2 = 12
= 5
6 · L = 60 L = 10
Seiten 108, 109
e 4 Monate: CHF 59.80
f 11 Monate: CHF 164.45
Marchzins: CHF 69.30
Marchzins: CHF 67.50
@ CHF 4320 2.5%
8 Monate
Nach 10 Monaten beträgt der Unterschied der beiden Marchzinsen CHF 5.
90 Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
( 6.13 MZ = 352001·20.03. 9 792
792. 12 L = 43 200 . 0.0275 = 8
Es dauert 8 Monate.
6.14 Kapital K1 nach 3 Monaten:
K K, . f . L = 2880 2880 . 0.04 . 3 = 2908.80 1 + 12 + 12
Kapital K2 nach 7 Monaten:
12 · K2 + K2 · 0.315 = 2908.80 12
12.315 · K2 = 34 905.60
K2 = 2834.397. ..
Das Kapital K2 muss CHF 2834.40 betragen.
6.15 Marchzins
Seiten 109, 110
7.1 Marchzins MZ von CHF 3050 bei einem Zinssatz von 14.5% mit einer Laufzeit von 5 Monaten:
Mz = 3050. 0.145. 5 = 184 270 12 . . ..
Frau T. muss noch CHF 3234.25 oder CHF 3234.30 bezahlen, je nach Rundungsregel der Bank.
7.2 a Kapital K: CHF 20 Laufzeit L: 1 Monat Marchzins MZ: CH F 5
Zinsoperator f: f = ~ = 3 20. 1
Der Zinssatz beträgt 300%.
b Marchzins MZ: MZ = 20 · ~d 5 · 1 = 0.25
Bei einem Zinssatz von 15% dürfte Timo CHF 0.25 Zins verlangen.
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rwnd ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 91
Seiten 110, 111
8.1 a Einzahlung Marchzins-
[CHF)
Jan. Feb. März April Mai Juni Juli Aug . Sept. Okt. Nov. Dez.
600
0 t 1 1 t 1 1 t 1 t 1 1 450
0 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 1° 300
0 t t t t t t t t t t t t 1° 150
b Mögliche Formel:
MZtotal MZ1 + MZ 2 + MZ 3 + . . . + MZ 12
150 . f . 12 150 . f . 11 150 . f . 10 150 . f . 1 12 + 12 + 12 + ... + 12
150 . f ( 2 0 ) = _1_2 _ . 1 + 11 + 1 + . .. + 1
150. f 12' 13 _1_2 _ __ 2_
MZtotal = 975 · f
Sparplan
8.2 Preis bei Barzahlung: CHF 540
Preis bei Ratenzahlung: CHF 558
MZtotal = CH F 18
186 ' f ' 12 1 86 . f ' 6 MZtotal = 12 + 12
f = 1~6 = 0.0645 „'
186' f' 18 12
Der Zinssatz beträgt ungefähr 6 .5%.
8.3 a Rate: R
= 18
Mz R · f · 3 R · f · 6 R · f · 9 R · f · 12 = R · f · 30 total = _1_2 _ + _1_2 _ + - 1-2- + 12 12
Die Raten betragen je CHF 300.
b Der Barpreis beträgt CHF 1140.
60, R 24 24 f 0.08
summe [CHF)
42
-39.38
36.75
-34.13
300
92 Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
( 9.1 Formel: K7 = K0 (1 + 160 )7 = K0 · (1 + fl7 = 3400 · 1.0457 = 4626.930 ...
Das Kapital ist auf ungefähr CHF 4627 angewachsen .
9.2 Kapital: KL = 2 K0 = K0 (1 + f!L 2 = (1 + f )l
Laufzeit L in Jahren, bis sich das Kapital K0 verdoppelt hat bei einem Zinssatz von
-3% Zinsoperator: 1.03 Laufzeit L: 2 = 1.03L L = 23.4497 ... ""23 Jahre - 4% Zinsoperator: 1.04 Laufzeit L: 2 = 1.04L L = 17.6729 ... ""18 Jahre - 5% Zinsoperator: 1.05 Laufzeit L: 2 1.05L L = 14.2066 ... "" 14 Jahre - 8% Zinsoperator: 1.08 Laufzeit L: 2 = 1.08L L = 9.00646 ... ""9 Jahre - 10% Zinsoperator: 1.10 Laufzeit L: 2 = 1.10L L = 7.27254 .. . ""7 Jahre - 25% Zinsoperator: 1.25 Laufzeit L: 2 = 1.25L L = 3.10628 ... ""3 Jahre
Anmerkung: Die aufgeführten Dezimalzahlen für L wurden aus den Formeln von oben gewonnen:
L log 2 2 = (1 + f), also L = 10911 + f!
Die Schülerinnen und Schüler probieren jedoch zielgerichtet, indem sie den Zinsoperator systematisch mit natürlichen Zahlen potenzieren, bis sie ungefähr 2 erreichen.
9.3 - Berechnung ohne Berücksichtigung der Verrechnungssteuer: 1. Jahr: MZ, = 200 ;~ 035 · 78 = 45.50 Kapital am Ende des 1. Jahres:
2. Jahr:
CHF 2445.50
CHF 2445.50 werden das ganze Jahr verzinst: 2445.50 · 0.035 = 85.5925 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200.
Kapital am Ende des 2. Jahres: CHF 4976.5925 "" CHF 4976.60
3. Jahr: CHF 4976.60 werden das ganze Jahr verzinst: 4976.60 · 0.035 = 174.181 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatl ichen Einlagen von CHF 200. Kapital am Ende des 3. Jahres: CHF 7596.281 "" CHF 7596.30
4. Jahr: CHF 7596.30 werden das ganze Jahr verzinst: 7596.30 · 0.035 = 265.8705 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200. Kapital Ende des 4. Jahres: CHF 10 307.6705 "" CHF 10 307.70
Das Sparguthaben beläuft sich am Ende des 4. Jahres auf ungefähr CHF 10 307.70.
Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins 93
Seite 111
- Berechnung mit Berücksichtigung der Verrechnungssteuer: 1. Jahr: MZ, = 200 ;go35 . 78 = 45 .50
Kapital am Ende des 1. Jahres: CHF 2445.50
2. Jahr:
CHF 2445.50 werden das ganze Jahr verzinst: 2445.50 · 0.035 = 85.5925 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200.
Kapital am Ende des 2. Jahres: CHF 4976.60
3. Jahr:
CHF 4976.60 werden das ganze Jahr verzinst: 4976.10 . 0.035 = 174.181 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200. Bruttojahreszins: CHF 219.681 Nettojahreszins : CHF 142.79265 ""' CHF 142.80
Kapital am Ende des 3. Jahres: CHF 7519.40
4. Jahr:
CHF 7519.40 werden das ganze Jahr verzinst: 7519.40 · 0.035 = 263 .179 Hinzu kommen CHF 45.50 für die monatlichen Einlagen von CHF 200. Bruttojahreszins: CHF 308.679 Nettojahreszins: CHF 200.64135 ""' CHF 200.65
Kapital am Ende des 4. Jahres: CHF 10 120.05
Das Sparguthaben beläuft sich am Ende des 4. Jahres auf ungefähr CHF 10 120.05.
9.4 Zum Tüfteln : a
b
c
K2030 = 1 · (1 + 0.05) 2030 = 10 334205 941436 368000 000000 000000 000000 000000 Höhe des Guthabens im Jahr 2030: CHF 10 334 205 941 436 368 . 1027
K2030 = 1000 · (1 + 0.05) 2030
Das Guthaben wäre 1000-mal grösser.
1.052030 34 ~ = 1.74537332 .. . . 10 1.01
Das Guthaben wäre ungefähr 1.745. 1034-mal kleiner.
1.1 2030 41 d ----w3o = 1. 0300866511. . . . 10
1.05
Das Guthaben wäre ungefähr 1.030 · 1041 -mal grösser.
Seite 111
94 Arbeitsheft 1, Kapitel 4 - Rund ums Geld: 4a Jahreszins und Marchzins
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