Révision des systèmes LIT, convolution et s érie de Fourier

Révision des systèmes LIT,

convolution et série de Fourier

ELG3575 Introduction aux systèmes de télécommunication

Introduction

• Le diagramme bloc d’un système de télécommunication est démontré ci-dessous

Présentation 1

Source Émetteur

Canal

RécepteurDestination

Éléments d’un système de télécommunication• Source

– Produit un message d’information• Destination

– Récipiendaire qui va utiliser l’information produite. • Canal

– Le lien physique qui portera l’information de la source à la destination.

Présentation 1

Éléments d’un système de télécommunication• Émetteur

– L’émetteur transforme le message de sa forme actuel à une forme qui permettra sa transmission sur le canal.

• Récepteur– Le récepteur fait l’opération inverse de l’émetteur et,

si possible, du canal.– Erreur quadratique– Taux d’erreurs.

Présentation 1

But de l’ingénieur

• Concevoir des émetteurs et des récepteurs qui – ne sont pas dispendieux à produire– minimisent la largeur de bande requise– maximisent le transfert d’information (la similarité du

signal reçu au signal transmis)– utilisent efficacement la puissance

• Parfois les buts sont contraire aux autres– Par exemple, on améliore le transfert d’information

en augmentant la puissance du signal transmis– Il faut parfois échanger des qualités désirées contre

des autres

Présentation 1

Signaux et systèmes linéaires

• Plusieurs systèmes dans la nature sont linéaires de nature.

• Plusieurs exemples de canaux de communication peuvent être modélisés comme linéaires.

• Une modélisation linéaire permet de simplifier l’analyse d’un tel système.

Présentation 1

Domaine temporel

• Les signaux de communication sont généralement représentés dans le domaine temporel.

• Un exemple d’un signal voix est représenté dans la Figure 1.1.

Présentation 1

Opérations de base sur les signaux

• Décalage dans le temps : Le signal représente une version décalée de .

• Réflexion dans le temps (miroir) : Le signal représente une version miroir de .

• Mise à l’échelle : Le signal représente une version mise à l’échelle de .

Présentation 1

Présentation 1

-

(a) Signal original

(b) Signal décalé

(c) Signal réfléchi

(d) Signal mis à l’échelle (𝑎 > 1)

Classification des signaux

Présentation 1

Signaux à temps continu et signaux à temps discret

Un signal à temps continu est un signal dont la variable indépendante () prend des valeurs réelles. Un signal à temps discret est un signal dont la variable indépendante () prend des valeurs entières.

Classification des signaux

Présentation 1

Signaux pairs et impairs

Un signal est pair s’il y a une symétrie par rapport à l’axe vertical (). Il est impair s’il y a une antisymétrie par rapport à l’origine ().

Classification des signaux

• Signal à valeur complexe hermitienne

Présentation 1

Un signal à valeur complexe est hermitienne si la partie réelle est paire et la partie imaginaire est impaire (), représente le conjugué. Ceci revient également à dire que l’amplitude est paire et la phase est impaire.

Classification des signaux

• Signaux périodiques et non périodiques

Présentation 1

Un signal périodique est un signal qui se répète dans le temps. Dans le cas d’un signal périodique à temps continu de période , avec un nombre réel strictement positif. Pour un signal périodique à temps discret de période , avec un nombre entier strictement positif.

Signaux élémentaires importants

Présentation 1

000

)(tt

t

t

1L’impulsion

1)(0

0

dtt

Présentation 1

Ci-dessous quelques propriétés de l’impulsion de Dirac :

Pour toute fonction continue à , Le produit de convolution : et il existe un lien entre l’impulsion de Dirac et la fonction échelon : ou encore Le produit de convolution : Quelques résultats relatifs aux dérivées successives de la fonction de Dirac :

Signaux élémentaires importants

• L’impulsion rectangulaire

Présentation 1

t

21

21

21

||01

)(t

tt

-0.5 0.5

1

Signaux élémentaires importants

• L’impulsion triangulaire

Présentation 1

1||01||||1

)(ttt

t

t-1 1

1

Signaux élémentaires importants

• Sinus cardinal (sinc)

Présentation 1

ttt

)sin()(sinc

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Signaux élémentaires importants

• Sinc carré

Présentation 1

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 80

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

sinc2(t)

sinc2(t)

Signaux élémentaires importants

• Fonction échelon

Présentation 1

La version à temps continu de la fonction échelon est donnée par :

La version à temps discret de la fonction échelon est donnée par :

Signaux élémentaires importants

• Fonction signe ou signal signum

Présentation 1

Ce signal est défini par :

Le signal signum peut être obtenu en faisant la limite du signal :

Présentation 1

lorsque . Cette définition est utilisée pour trouver la transformée de Fourier du signal signum.

Propriétés des systèmes

• Un système est une boite noire qui admet comme entrée un signal et produit une sortie

Présentation 1

H(•)x(t) y(t) = H(x(t))

Linéarité

• Un système est linéaire si la propriété de superposition est satisfaite– Supposons le système produit la sortie y1(t) pour

l’entrée x1(t) et la sortie y2(t) pour l’entrée x2(t). Alors • y1(t) = H(x1(t)) et• y2(t) = H(x2(t))

– le système H est linéaire si pour x3(t) = ax1(t)+bx2(t), y3(t)=H(x3(t)) = aH(x1(t))+bH(x2(t)) = ay1(t)+by2(t).

Présentation 1

Exemple 1

• y(t) = x2(t). • Pour l’entrée x1(t), la sortie est y1(t) = x1

2(t) et pour l’entrée x2(t), la sortie est y2(t) = x2

2(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = x3

2(t) = (ax1(t) + bx2(t))2 = a2x1

2(t) + 2abx1(t)x2(t) + b2x22(t).

• Si le système est est linéaire, y3(t) doit être ay1(t) + by2(t) = ax1

2(t) + bx22(t) ≠ y3(t) ; alors ce système n’est

pas linéaire.

Présentation 1

Exemple 2

• y(t) = tx(t). • Pour x3(t) = ax1(t) + bx2(t), la sortie est y3(t) = t(ax1(t) +

bx2(t)) = a(tx1(t)) + b(tx2(t)) = ay1(t) + by2(t). • Alors ce système est linéaire.

Présentation 1

Système invariant en temps

• Un système est invariant en temps si un délai à l’entrée ne cause que le même délai à la sortie..

• Si y1(t) est la sortie qui correspond à l’entrée x1(t) et x2(t) = x1(t-t) est l’entrée qui produit une sortie y2(t).

• Le système est invariant en temps si y2(t) = y1(t-t).

Présentation 1

Exemples

• y(t) = tx(t)?• y(t) = 3+4x2(t)?

Présentation 1

Systèmes LIT

• Un système est LIT s’il est linéaire et invariant en temps • Un système LIT est décrit par sa réponse impulsionnelle.• Réponse impulsionnelle , h(t), est la sortie qui

correspond à l’entrée x(t) = (t).• Propriétés du signal (t).

– .

– .

– .

Présentation 1

)()()(

1)(

autrement ,00 ,

)(

tt

xdtttx

dtt

tt

La sortie d’un système LIT

• Si x(t) est l’entrée d’un système LIT, la sortie correspondante est y(t) = x(t)*h(t), où * indique la convolution.

Présentation 1

dtxhdthxthtx )()()()()(*)(

Propriétés

• x(t)*(y1(t) + y2(t)) = x(t)*y1(t) + x(t)*y2(t).

Présentation 1

)(*)()(*)(

)()()()(

)()()(

)()(

)(*)())()((*)(

21

21

21

21

tytxtytx

dtyxdtyx

dtytyx

dtzx

tztxtytytx

Convolution avec l’impulsion

Présentation 1

)(

)()(

)()()(*)(

tx

dtx

dtxttx

)(

)()(

)()()(*)(

t

t

tt

tx

dtx

dtxttx

Exemple

• y(t) = (t) *(t)– Utilisez des dessins afin de trouver les limites

d’intégration.

Présentation 1

Causalité

• Un système est causal si la sortie ne dépend pas des valeurs futures de l’entrée.

• Pour un système LIT

• Quand < 0, y(t) depend de x(t-)=x(t+||). Pour que le système LIT soit causal il faut que h()=0 quand <0.

Présentation 1

dtxhty )()()(

Stabilité

• Un système est stable si, pour n’importe quelle entrée bornée, la sortie est aussi bornée.

• Pour qu’un système LIT soit stable, il faut que

Présentation 1

dh |)(|

Domaine fréquentiel

• Permet généralement d’avoir un meilleur aperçu sur le comportement d’un système LTI

• Soit un système LTI avec une réponse impulsionnelle . La réponse de ce système à un signal sinusoïdal exponentiel à valeur complexe , produit la sortie :

Présentation 1

Représentation des signaux dans le domaine fréquentiel: Série de Fourier généralisée

• Supposons que nous ayons un ensemble de fonctions {fn(t)}n=0,1,2,…,N où

• Si cn= 1 pour n’importe quelle valeur de n, on dit que c’est un ensemble de fonctions orthonormales.

Présentation 1

nmcnm

dtttn

Tt

tmn

o

o

0)()( *ff

Série de Fourier généralisée

• Prenons une fonction x(t). On veut approximer la fonction x(t) sur l’intervalle (to, to + T) par la fonction xa(t) qui est donnée par :

• L’erreur quadratique moyenne (mean square error – MSE) est donnée par :

N

nnna tXtx

1

)()( f

Tt

taN

o

o

dttxtx 2)()(

Série de Fourier généralisée

• La meilleure approximation, xa(t), est la fonction qui minimise l’erreur quadratique moyenne.

N

n

N

i

Tt

tininn

N

n

Tt

tnn

N

n

Tt

tn

Tt

t

Tt

t

N

n

N

iinin

N

nnn

N

nnn

N

nnn

Tt

t

N

nnn

N

nnn

Tt

t

N

nnnN

o

o

ooo

o

o

o

o

o

o

o

dtttXXdtttxXdtttxXdttx

dtttXXtXtxtXtxtxtx

dttXtxtXtx

dttXtxtXtx

1 1

**

1

**

1

*2

1 1

**

1

*

1

***

1

***

1

*

11

)()()()()()(|)(|

)()()()()()()()(

)()()()(

)()()()(

00

ffff

ffff

ff

ff

Série de Fourier généralisée

• le terme est 0 quand n ≠ i et c’est |Xn|2cn

quand n = i.

• Soit

Tt

tinin

o

o

dtttXX )()( ** ff

N

nnnn

N

n

Tt

tnn

N

n

Tt

tn

Tt

tN cXdtttxXdtttxXdttx

ooo

o1

2

1

**

1

*2 ||)()()()(|)(|00

ff

Tt

tnn

o

o

dtttxy )()( *f

N

nnnnnnn

Tt

tN cXyXyXdttx

o

o1

2**2 |||)(|

Série de Fourier généralisée

2

11

22

**

11

22

1

2**2

1

22

1||1|)(|

11||1|)(|

||||1||1|)(|

nnn

N

nn

N

nn

n

Tt

t

nnn

N

nnn

nn

N

nn

n

Tt

t

N

nnnnnnnn

n

N

nn

n

Tt

tN

Xyc

cyc

dttx

Xyc

Xyc

cyc

dttx

cXyXyXyc

yc

dttx

o

o

o

o

o

o

N est minimisée quand Xn = (1/cn)yn.

Série de Fourier généralisée

• Alors la meilleure approximation est

• Où

• Et

N

nnna tXtx

1

)()( f

Tt

tn

n

nn

n

o

o

dtttxc

yc

X

)()(1

1

*f

2

1

2

1

22

|)(|

||1|)(|

n

N

nn

Tt

t

N

nn

n

Tt

tN

Xcdttx

yc

dttx ε

o

o

o

o

Exemple 2Le signal x(t) = t2. Nous voulons trouver la meilleure approximation pour x(t) sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 1 avec les fonctions orthogonales démontrées ci-dessous. Trouvez et pour N = 2 et 3.

t

1

1

f1(t)

t

11

f2(t)

t

1

1

f3(t)

0.5

0.25 0.75

-1

-1

Exemple 2: Solution

161)(

41125.01125.0

31

31

31)(

31

31)(

1

75.0

275.0

25.0

225.0

0

21

03

23

1

5.0

35.0

0

31

5.0

25.0

0

21

02

22

1

0

31

0

21

01

21

dttdttdttdtttX

ttdttdttdtttX

tdttdtttX

f

f

f

Exemple 2: Solution)(

161)(

41)(

31)(

)(41)(

31)(

3213

212

ttttx

tttx

fff

ff

0264.041

31

51 22

2

0225.0161

41

31

51 222

3

N diminue

en augmentantN.

Introduction à la série de Fourier exponentielle complexe

N

Nnnna tXtx )()( f

22|)(| n

N

Nnn

Tt

tN Xcdttx

o

o

)()()( txtXtxn

nna

f 0lim NN

Tt

tn

N

Nnn

N

o

o

dttxXc 22 |)(| lim

Il existe des ensembles de fonctions orthogonales {fn(t)}-∞ ≤ n ≤ ∞, pour lequel l’approximation s’approche au signal originale sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T.

La fonction exponentielle complexe

)2sin()2cos(2 tnfjtnfe ootnfj o

La fonction est périodique avec période Tp.

poopoo TnfjtnfjTtnfjtnfj eeee 22)(22

Donc Tp = m/nfo et la période fondamentale, Tf, est la plus petite valeur positive de Tp. Donc la période fondamentale est Tf = 1/|n|fo.

n est un entier

Orthogonalité et la constante cn

Tt

tmn

o

o

dttt )()( *ff =

Tt

t

tfmnjTt

t

tnfjtnfjo

o

o

o

o

oo dtedtee )(222

Pour m=n

Tdt

dtec

Tt

t

nm

Tt

t

tfmnjn

o

o

o

o

o

)(2

Pour m≠n

0 )(2

)(2)(2)(2)(2

)(2)()(2)(2

o

tfmnjTfmnjtfmnj

o

tfmnjTtfmnjTt

t

tfmnj

fmnjeee

fmnjeedte

ooooo

ooooo

o

o

Sur l’intervalle to ≤ t ≤ to+T, pour fo = 1/T.

La série de Fourier exponentielle complexe

La série de Fourier exponentielle complexe du signal x(t) sur l’intervalle to ≤ t ≤ to + T est 

n

Tntj

nn

tnfjn eXeXtx o

22)(

Tt

t

tnfjn

o

o

o dtetxT

X 2)(1où

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques• Considérons le signal sur l’intervalle -∞ ≤

t ≤ ∞.

• Nous savons que les fonctions exponentielles complexes sont périodiques.

• La période fondamentale d’une fonction exponentielle complexe est T/|n|.

• La sommation des fonctions périodiques est aussi périodique s’il existe un plus petit commun multiple des périodes des fonctions individuelles.

• Dans ce cas, le plus petit commun multiple des périodes est T.

n

tnfjn

oeX 2

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 2• est périodique avec période T = 1/fo.

• La fréquence fondamentale est l’inverse de la période fondamentale, donc fo est la fréquence fondamentale.

• Donc si x(t) est aussi périodique avec période T,

=x(t) pour -∞ < t < ∞

• Alors un signal périodique, x(t), avec période T a une série de

Fourier x(t) =

n

tnfjn

oeX 2

n

tnfjn

oeX 2

n

tnfjn

oeX 2

La Série de Fourier exponentielle complexe pour les signaux périodiques 3• Nous pouvons déterminer les coefficients de Fourier en

faisant l’intégral sur n’importe quelle période de x(t)

T

tnfjn dtetx

TX o2)(1

Exemplex(t)

0.25 0.5 0.75 t

A

-A

… …

Trouvez la série de Fourier exponentielle complexe du signal périodique x(t)

Solution• Il faut déterminer

– La période de x(t) ainsi que fo.– Les coefficients Xn

– La série de Fourier

n

tnfjn

oeX 2

Solution 2

• Dans notre exemple, la période est 0.5, alors fo = 2.• L’ensemble de fonctions est ej4nt.• Alors

nnj

ntjnjnj

ntjntj

ntjntj

ntjn

njAe

njnjA

enj

enjnj

enj

A

enj

enj

A

dtAedtAe

dtetxX

1121

212

41

41

41

412

41

412

2

)(2

2

5.0

25.0

425.0

0

4

5.0

25.0

425.0

0

4

5.0

0

4

Solution 3

• Pour n = 0, nous avons X0 = 0/0.

0)(25.0

00 dttxX

i

tij

nn

ntj eijAe

njAtx )12(4

impaire

4

)12(22)(

Les propriétés de la série de Fourier exponentielle complexe • Supposons que le signal x(t) est un signal réel. • C'est-à-dire que Im{x(t)} = 0. • Le conjugué complexe du coefficient de Fourier Xn

* est donné par :

nT

tfnjT

tnfjT

tnfjT

tnfjn

XdtetxT

dtetxT

dtetxT

dtetxT

X

o

o

o

o

)(2

2*

*2

*

2*

)(1

)(1

)(1

)(1