View
4
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
REPRESENTASI OPERATOR LINEAR
DARI RUANG BARISAN ๐ต๐KE RUANG BARISAN ๐ต๐๐โ
( Skripsi )
Oleh
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
RISKY AULIA ULFA
ABSTRACT
REPRESENTATION OF LINEAR OPERATOR FROM FINITE
SEQUENCE SPACE ๐ต๐ TOSEQUENCE SPACE ๐ต๐๐โ
by
Risky Aulia Ulfa
Themapping of vector space, especially on norm space is called operator. One of
the cases about the operator, in case of linear operator, is the operator which works
on sequence space. There are many cases in the linear operator from one sequence
space to another which can be represented by infinite matrices. The infinite
matrices are the matrices which sized infinite times infinite.
for A :โ3 โ โ32โ,where A = [
a11 a12 โฆa21 a22 โฆโฎ โฎ โฎ
] , โ3 = {x = (xi) |(โ |xi|3โ
i=1 )1
3 <
โ}, and โ32โ
= {x = (xi) |(โ |xi|3
2โi=1 )
2
3< โ } is a sequence real numbers.
Furthermore, it can be constructed an operator A from finite sequence space โ3 to
sequence space โ32โ by using a standard basis (๐๐) and it can be proven that the
collection all the operators become Banach space.
Key Words : Operator, Finite Sequence Space
ABSTRAK
REPRESENTASI OPERATOR LINIER DARI RUANG BARISAN ๐ต๐ KE
RUANG BARISAN ๐ต๐๐โ
Oleh
Risky Aulia Ulfa
Suatu pemetaan pada ruang vector khususnya ruang bernorma disebut operator.
Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu
operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari
ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga.
Matriks tak hingga yaitu suatu matriks yang berukuran takhingga kali takhingga.
Sebagai contoh, suatu matriks A : โ3 โ โ32โ,dengan A = [
a11 a12 โฆa21 a22 โฆโฎ โฎ โฎ
] ,
โ3 = {x = (xi) |(โ |xi|3โ
i=1 )1
3 < โ}, dan โ32โ
= {x = (xi) |(โ |xi|3
2โi=1 )
2
3<
โ } merupakan barisan bilangan real. Selanjutnya dikontruksikan operator A dari
ruang barisan โ3 ke ruang barisan โ32โ dengan basis standar {ek} dengan ek =
(0,0, โฆ , 1(k), โฆ ) dan ditunjukkan bahwa koleksi semua operator membentuk ruang
banach.
Kata Kunci :Operator, Ruang Barisan Terbatas
REPRESENTASI OPERATOR LINIER DARI RUANG
BARISAN TERBATAS ๐ต๐ KE RUANG BARISAN ๐ต๐๐โ
Oleh
RISKY AULIA ULFA
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Mencapai Gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2018
RIWAYAT HIDUP
Penulis bernama lengkap Risky Aulia Ulfa, putri sulung dari Bapak Hasanuddin
dan Ibu Nurhasanah serta kakak dari Ananda muhammad Fathurrahman dan
Maulida Salsabila. Penulis lahir di Teluk Betung, pada tanggal 27 Januari 1996.
Penulis menempuh pendidikan pertama di TK. Bumi Dipasena Mulya Rawajitu
dari tahun 2000 โ 2002. Kemudian penulis menempuh pendidikan Sekolah Dasar
di SDN 01 Bumi Dipasena Mulya pada tahun 2002 โ 2004 dan melanjutkan di
SDN 1 Sukamaju dan lulus pada tahun 2008. Kemudian menempuh Sekolah
Menengah Pertama di SMPN 3 Bandar Lampung pada tahun 2008 dan lulus pada
tahun 2011. Penulis melanjutkan pendidikannya di SMAN 8 Bandar Lampung pada
tahun 2011 dan lulus pada tahun 2014.
Pada tahun 2014, penulis diterima di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan
Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur SBMPTN.
Pada awal tahun 2017, sebagai salah satu bentuk pengabdian kepada masyarakat
penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata (KKN) periode I (19 Januari โ 28
Februari 2017) di Desa Haji Pemanggilan Kecamatan Anak Tuha Kabupaten
Lampung Tengah Provinsi Lampung.
Kemudian untuk mengaplikasikan ilmu yang diperoleh dalam bidang kerja, penulis
melakukan Kerja Praktik (KP) dari tanggal 17 Juli โ 25 Agustus 2017 di Kantor
Wilayah Direkotrat Jenderal Pajak Bengkulu dan Lampung yang ditempatkan di
Bidang Keberatan, Banding dan Pengurangan (KBP).
Kata Inspirasi
Sesungguhnya shalatku, ibadahku, hidupku dan matiku hanya untuk Allah, Tuhan semesta
alam
(Qs. Al โ anโaam : 142)
Barangsiapa ditanya tentang suatu ilmu, kemudian ia menyembunyikannya maka kelak ia
akan dibumgkam mulutnya dengan api neraka
(HR. Abu Dawud, At-Tirmizi, Ibnu Majah, Ibnu Hibban, Al-Baihaqi dan Al-hakim)
Orang yang paling aku sukai adalah dia yang menunjukkan kesalahanku
(Umar Bin Khattab)
Some Beautiful paths canโt be discovered without getting lost
(Erol Ozan)
Jadilah seperti lentera, bukan seperti lilin
(Hasanuddin)
Berjalan tertatih dengan anak tangga
(Risky Aulia Ulfa)
Dengan mengucapkan Alhamdulillahirabbilโalamin,
Puji dan Syukur kita panjatkan atas kehadirat Allah Subhanahu Wataโala atas limpahan
rahmat dan karunia-Nya, dan tidak lupa pula shalawat teriring salam selalu tercurahkan
kepada Nabi Muhammad Sallallahu โAlaihi Wasallam beserta keluarga dan para sahabatnya
Kupersembahkan sebuah karya sederhana ini untuk :
Ayahanda dan Ibunda
Tidak ada kata yang mampu kakak ucapkan selain terimakasih sebesar-besarnya untuk ayah
dan ibu atas semua yang telah kalian lakukan untuk kakak. Doโa yang tak henti-hentinya
ayah dan Ibu panjatkan, kasih sayang yang tak terhitung serta waktu dan pengorbanan
yang diberikan untuk mengiringi setiap langkah kakak.
Adikku Ananda dan Salsabila
Terimakasih selama ini telah mengajari kakak banyak hal terutama kesabaran, doโakan
semoga kakak bisa menjadi sosok kakak yang dapat menjadi panutan buat adik-adik kakak.
Sahabat-sahabatku
Terimakasih selama ini telah memberi motivasi, semangat, nasihat dan berbagai pengalaman
denganku. Semoga kelak kita menjadi orang-orang yang sukses.
i
SANWACANA
Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT karena atas
limpahan karunia serta ridho-Nya sehingga skripsi dengan judul โRepresentasi
Operator Linier Dari Ruang Barisan Terbatas ๐ต๐ Ke Ruang Barisan ๐ต๐๐โโ
dapat terselesaikan. Shalawat serta salam selalu tercurahkan kepada suri tauladan
kita Nabi Muhammad SAW. Dalam menyelesaikan skripsi ini, penulis menyadari
banyaknya bimbingan, bantuan, dan dukungan berbagai pihak.Untuk itu penulis
mengucapkan terimakasih kepada :
1. Bapak Dr. Muslim Ansori, S.Si.,M.Si., selaku pembimbing I yang senantiasa
membimbing dan memotivasi penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku pembimbing II yang selalu
memberikan dukungan dan arahan kepada penulis.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku penguji yang telah memberikan
saran dan semangat sehingga terselesainya skripsi ini.
4. Bapak Subian Saidi, S.Si., M.Si., selaku Pembimbing Akademik yang telah
membimbing penulis.
5. Ibu Dra. Wamiliana, M.A, Ph.D., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
ii
7. Seluruh Dosen, staf dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Lampung.
8. Ayah, Ibu, bang Nanda dan adek Salsa yang tidak pernah lelah mendoโakan,
mendukung dan memberi perhatian kepada penulis.
9. Teman-teman seperjuanganku adek Indah, uni Mona, mbak Reka, Linda
serta mbak Fietra yang tidak pernah lelah memberikan semangat dan bantuan
kepada penulis.
10. Sahabat-sahabatku bang Reza, Ika, Abiyya, Kurnia, Cuah, Desi, Rizka,
Arum, Atika, Fatme, Ameng, Gani dan teman-teman IPA 2 yang selalu
memberikan dukungan dan semangat kepada penulis.
11. Teman-teman seperjuangan KKN ku Anis, Uun, Mbak Rini, Panji, Hapid
dan kak Galih yang selalu mengingatkan penulis untuk menyelesaikan
skripsi.
12. Teman-teman satu bimbingan Yona, Nanda, Kiki dan Darma yang telah
banyak membantu.
13. Teman-teman Matematika 2014 yang telah memberikan pengalaman luar
biasa selama ini.
14. Keluarga besar HIMATIKA FMIPA UNILA.
15. Dan semua pihak yang terlibat dalam menyelesaikan skripsi ini.
Bandar Lampung, Januari 2018
Penulis
Risky Aulia Ulfa
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ..................................................................... 1
1.2 Tujuan ................................................................................. 2
1.3 Manfaat ................................................................................ 3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1. Operator .............................................................................. 4
2.2. Barisan ................................................................................. 12
2.3. Ruang Vektor ...................................................................... 20
2.4. Basis .................................................................................... 21
2.5. Ruang Metrik ...................................................................... 22
2.6. Ruang Bernorm ................................................................... 24
2.7. Ruang Banach ..................................................................... 27
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1. Waktu dan Tempat Penelitian .............................................. 28
3.2. Metode Penelitian ................................................................. 28
IV. HASIL DAN PEMBAHASN
Definisi 4.1 ................................................................................... 31
Teorema 4.2.................................................................................. 32
Akibat 4.3 ..................................................................................... 36
Teorema 4.4.................................................................................. 36
Contoh 4.5 ................................................................................... 38
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Salah satu kajian tentang operator, dalam hal ini operator linear, merupakan suatu
operator yang bekerja pada ruang barisan. Banyak kasus pada operator linear dari
ruang barisan ke ruang barisan dapat diwakili oleh suatu matriks tak hingga.
Matriks tak hingga yaitu suatu matriks berukuran tak hingga kali tak hingga.
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
himpunan โ = {0,1,2,...}. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah suatu
fungsi ๐ฅ: โ โ โ, dalam hal ini dapat ditulis dengan ๐ฅ = (๐ฅ๐). Bentuk dari ruang
barisan klasik terdiri dari ruang barisan konvergen (c), ruang barisan yang
konvergen ke 0 (c0), dan ruang barisan terbatas (โ๐). Untuk setiap bilangan real ๐
dengan 1 โค ๐ < โ didefinisikan
โ๐ = {๐ฅ โ {๐ฅ๐} โ ๐ โถ โ|๐ฅ๐|๐
< โ
โ
๐=1
}
Sebagai contoh, suatu matriks ๐ด โถ โ3 โ โ32โdengan ๐ด = [
๐11 ๐12 โฆ๐21 ๐22 โฆโฎ โฎ โฎ
] dan
โ3 = {๐ฅ = (๐ฅ๐) |(โ |๐ฅ๐|3โ
๐=1 )1
3 < โ }
2
โ32โ = {๐ฅ = (๐ฅ๐) |(โ |๐ฅ๐|
3
2โ๐=1 )
2
3< โ } merupakan barisan bilangan real.
Jika ๐ฅ = (๐ฅ๐) โ โ3 maka
๐ด(๐ฅ) = ๐ด๐ฅ = [๐11 ๐12 โฆ๐21 ๐22 โฆโฎ โฎ โฎ
] [๐ฅ1
๐ฅ2
โฎ]
= [๐11๐ฅ1 + ๐12๐ฅ2 + โฏ๐21๐ฅ1 + ๐22๐ฅ2 + โฏ
โฎ]
=
[ โ๐1๐๐ฅ๐
โ
๐=1
โ๐2๐๐ฅ๐
โ
๐=1
โฎ ]
Sehingga timbul suatu permasalahan, syarat apa yang harus dipenuhi supaya
๐ด(๐ฅ) โ โ32โ . Oleh karena itu, penelitian akan difokuskan pada permasalahan
tersebut.
1.2 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini diantaranya :
1. Mempelajari sifat-sifat operator linear yang bekerja dari ruang barisan โ3
ke ruang barisan โ32โ .
2. Mencari representasi operator linear dari ruang barisan โ3 ke ruang barisan
โ32โ .
3
1.3 Manfaat Penelitian
Adapun manfaat Penelitian tentang representasi operator linear dari ruang barisan
โ3 ke ruang barisan โ32โ antara lain :
1. Memahami sifat dari operator linear dari ruang barisan โ3 ke ruang barisan
โ32โ .
2. Mengetahui representasi operator linear dari ruang barisan โ3 ke ruang
barisan โ32โ .
3. Dapat memberi ide bagi penulis lain yang ingin meneliti lebih lanjut
tentang operator.
II. TINJAUAN PUSATAKA
2.1 Operator
Definisi 2.1.1
Suatu pemetaan pada ruang vektor khususnya ruang bernorma disebut operator
(Kreyszig, 1989).
Definisi 2.1.2
Diberikan ruang Bernorm X dan Y atas lapangan yang sama.
a. Pemetaan dari X dan Y disebut operator.
b. Operator A : X โ Y dikatakan linear jika untuk setiap x, y โ X dan setiap
skalar ๐ผ berlaku A(๐ผx) = ๐ผAx dan A( x + y) = Ax + Ay (Kreyszig, 1989).
Definisi 2.1.3
Diberikan (๐, โ. โ) dan (๐, โ. โ) masing-masing ruang bernorm.
a. Operaror A : X โ Y dikatakan terbatas jika ada bilangan M โ R dengan
M โฅ 0 sehingga untuk setiap x โ X berlaku โ๐ด๐ฅโ โค ๐โ๐ฅโ.
b. Operator A dikatakan kontinu di x โ X jika diberikan bilangan ํ > 0 ada
bilangan ๐ฟ > 0 sehingga untuk setiap y โ X dengan โ๐ฅ โ ๐ฆโ โค ๐ฟ
berlaku โ๐ด๐ฅ โ ๐ด๐ฆโ โค ํ.
5
c. Jika A kontinu di setiap x โ X, A disebut kontinu pada X (Kreyszig,
1989).
Teorema 2.1.4
Jika X dan Y masing-masing ruang Bernorm atas lapangan yang sama maka
โ๐(X, Y) merupakan ruang linear.
Bukti :
Diambil sebarang A, B โ โ๐(X, Y) dan sebarang ๐ผ, ๐ฝ, ๐, ๐ untuk setiap x, y โ X
diperoleh
(ฮฑA + ฮฒB)(ax + by) = ฮฑA(ax + by) + ฮฒB(ax + by)
= ฮฑAax + ฮฑAby + ฮฒBax + ฮฒBby
= ๐ผ๐๐ด๐ฅ ๐ผ๐๐ด๐ฆ + ๐ฝ๐๐ต๐ฅ + ๐ฝ๐๐ต๐ฆ
= ๐ผ๐๐ด๐ฅ + ๐๐ฝ๐ต๐ฅ + ๐๐ผ๐ด๐ฆ + ๐๐ฝ๐ต๐ฆ
= a(ฮฑA + ฮฒB)x + b(ฮฑA + ฮฒB)y
Jadi, (ฮฑA + ฮฒB) merupakan operator linear.
Karena A dan B terbatas maka ada bilangan real M1, M2 โฅ 0 sehingga,
โ(ฮฑA + ฮฒB)xโ = โฮฑAx + ฮฒBxโ
โค โฮฑAxโ + โฮฒBxโ
= |๐ผ|โ๐ด๐ฅโ + |ฮฒ|โ๐ต๐ฅโ
โค |๐ผ|๐1โ๐ฅโ + |ฮฒ|๐2โ๐ฅโ
6
= (|๐ผ|๐1 + |ฮฒ|๐2)โ๐ฅโ
Dengan demikian, ฮฑA + ฮฒB terbatas (kontinu).
Jadi A, B โ โ๐(X, Y)
Telah dibuktikan bahwa untuk setiap A, B โ โ๐(X, Y) dan sebarang skalar ๐ผ, ๐ฝ
berlaku A, B โ โ๐(X, Y) . Jadi โ๐(X, Y) linear (Ruckle, 1991).
Teorema 2.1.5
Jika Y ruang Banach maka โ๐(X, Y) โฅ. โฅ) ruang Banach.
Bukti :
Diambil sebarang barisan Cauchy {Ai} โ โ๐(X, Y) , โ. โ).
Jadi untuk setiap bilangan ํ0 terdapat ๐0 โ N sehingga jika ๐, ๐ โ ๐ dengan
๐, ๐ โฅ ๐0 berlaku โ๐ด๐ โ ๐ด๐โ < ํ0.
Misal, untuk setiap x โ X dan ๐, ๐ โฅ ๐0 diperoleh
โ๐ด๐๐ฅ โ ๐ด๐๐ฅโ = โ(๐ด๐ โ ๐ด๐)๐ฅโ
โค โ๐ด๐ โ ๐ด๐โโ๐ฅโ < ํ0โ๐ฅโ
Jelas untuk setiap bilangan ํ > 0 (dapat dipilh bilangan ํ0 > 0 sehingga ํ0 โฅ ๐ฅ โฅ
< ํ ada ๐0 โ N sehingga untuk setiap ๐, ๐ โ ๐ dengan ๐, ๐ โฅ ๐0 berlaku
โ๐ด๐๐ฅ โ ๐ด๐๐ฅโ < ํ0โ๐ฅโ < ํ.
Dengan demikian diperoleh barisan Cauchy {๐ด๐๐ฅ} โ ๐ dan Y lengkap, dengan
kata lain {๐ด๐๐ฅ} konvergen ke ๐ฆ๐ฅ โ ๐.
7
Jadi, lim๐โโ ๐ด๐๐ฅ = ๐ฆ๐ฅ dan x menentukan suatu operator A sehingga ๐ด๐ฅ = ๐ฆ๐ฅ.
Proses di atas dapat diulang untuk ๐ง โ ๐ tetap, dengan ๐ง โ ๐ฅ. Jadi diperoleh
lim๐โโ ๐ด๐๐ง = ๐ฆ๐ง dan z menentukan suatu operator A sehingga ๐ด๐ง = ๐ฆ๐ง.
Untuk setiap skalar a dan b, diperoleh ๐๐ฅ + ๐๐ง โ ๐,
lim๐โโ ๐ด๐(๐๐ฅ + ๐๐ง) = ๐ฆ๐๐ฅ+๐๐ง dan ๐๐ฅ + ๐๐ง menentukan suatu operator A
sehingga ๐ด๐(๐๐ฅ + ๐๐ง) = ๐ฆ๐๐ฅ+๐๐ง.
Jadi ๐ด(๐๐ฅ + ๐๐ง) = ๐๐๐๐โโ ๐ด๐(๐๐ฅ + ๐๐ง)
= lim๐โโ
(๐๐ด๐๐ฅ + ๐๐ด๐๐ง)
= lim๐โโ
๐๐ด๐๐ฅ + lim๐โโ
๐๐ด๐๐ง
= ๐ lim๐โโ
๐ด๐๐ฅ + ๐ lim๐โโ
๐ด๐๐ง
= ๐๐ฆ๐ฅ + ๐๐ฆ๐ง
= ๐๐ด๐ฅ + ๐๐ด๐ง
Jadi operator A bersifat linear.
Untuk ๐ โ โ diperoleh
โ(๐ด๐ โ ๐ด๐)๐ฅโ = โ๐ด๐๐ฅ โ ๐ด๐ฅ โ
= โ(๐ด๐๐ฅ โ ๐ด๐ฅ)โ
= โ(๐ด๐ โ ๐ด)๐ฅโ < ํ0โ๐ฅโ
Jadi operator (๐ด๐ โ ๐ด) dengan ๐ โฅ ๐0 bersifat linear terbatas.
8
Karena ๐ด๐ dan ๐ด๐ โ ๐ด masing-masing terbatas, serta ๐ด = ๐ด๐ โ (๐ด๐ โ ๐ด) maka
A terbatas (kontinu).
Jadi ๐ด โ โ๐(X, Y) , โ. โ) dengan kata lain โ๐(X, Y) , โ. โ) ruang Banach (Maddox,
1970).
Definisi 2.1.6
Diberikan ruang Bernorm X dengan lapangan โ.
a. Pemetaan ๐: ๐ โ โ disebut fungsi.
b. Himpunan semua fungsi linear kontinu pada X disebut ruang dual X,
biasanya ditulis ๐โ โ ๐๐(๐, ๐) (Kreyszig, 1989).
Teorema 2.1.7
Misal X dan Y ruang BK (Banach lengkap). Jika A matriks tak hingga yang
memetakan X ke Y maka A kontinu.
Bukti :
Misal A = (๐๐๐)
X = (๐ฅ๐) โ ๐
y = (๐ฆ๐) โ ๐ dapat dinyatakan
๐ฆ๐ = โ๐๐๐๐ฅ๐
โ
๐=๐
Mendefinisikan suatu fungsi linear kontinu pada X. Jelas bahwa untuk setiap :
9
๐๐(๐ฅ) = โ๐๐๐๐ฅ๐
๐
๐=1
Misal ๐ = (๐ ๐), ๐ก = (๐ก๐) dan ๐ผ โ ๐
๐๐(๐ ) = โ๐๐๐๐ ๐
๐
๐=1
๐๐(๐ก) = โ๐๐๐๐ก๐
๐
๐=1
(๐) ๐๐(๐ ) + ๐๐(๐ก) = โ๐๐๐๐ ๐ +
๐
๐=1
โ๐๐๐๐ก๐
๐
๐=1
= โ(๐๐๐๐ ๐ + ๐๐๐๐ก๐)
๐
๐=1
= โ๐๐๐(๐ ๐ + ๐ก๐)
๐
๐=1
= โ๐๐๐(๐ + ๐ก)๐
๐
๐=1
= ๐๐(๐ + ๐ก)
(๐๐)(๐๐)(๐๐ฅ) = โ๐๐๐(๐๐ฅ๐)
๐
๐=1
= โ๐(๐๐๐๐ฅ๐)
๐
๐=1
= โ๐๐๐๐ฅ๐
๐
๐=1
10
= ๐(๐๐(๐ฅ))
Berdasarkan (i) dan (ii) terbukti ๐๐ merupakan fungsi linear pada X.
Selanjutnya akan ditunjukkan ๐๐ kontinu pada X.
Hal ini sama saja membuktikan ๐๐ terbatas pada X.
Diketahui X ruang BK maka terdapat M > 0 sehingga |๐(๐ฅ)| = |๐ฅ๐| โค ๐
Oleh karena itu :
|๐๐(๐ฅ)| = |โ๐๐๐๐ฅ๐
๐
๐=1
|
โค โ|๐๐๐||๐ฅ๐|
๐
๐=1
โค โ|๐๐๐|๐
๐
๐=1
Berdasarkan pembuktian di atas, ๐๐ mendefinisikan fungsi linear kontinu pada x
๐๐(๐ฅ) = lim๐โโ
๐๐(๐ฅ)
Maka f juga kontinu pada x.
Karena y ruang BK diperoleh
๐ฆ๐ = lim๐โโ
โ๐๐๐๐ฅ๐(๐)
โ
๐=1
Atau
11
๐ด๐ฅ(๐) = [
๐11 ๐12 ๐13 โฏ
๐21 ๐2 ๐23 โฏ๐31
โฎ๐32
โฎ
๐33 โฏ
โฎ โฏ
]
[ ๐ฅ1
(๐)
๐ฅ2(๐)
๐ฅ3(๐)
โฎ ]
=
(
โ๐1๐๐ฅ๐(๐)
โ
๐=1
โ๐2๐๐ฅ๐(๐)
โ
๐=1
โฎ )
= [๐ฆ1
๐ฆ2
โฎ]
๐ฆ๐ = lim๐โโ
โ๐๐๐๐ฅ๐(๐)
โ
๐=1
= lim๐โโ
๐(๐ฅ(๐))
= ๐(๐ฅ)
๐ด(๐ฅ)๐ , โ๐
Jika y = Ax maka bukti lengkap (Ruckle, 1991).
Definisi 2.1.8
a. Matriks takhingga ๐ด = (๐๐๐) adalah matriks dengan ๐๐๐ โ โ dan elemen
pada baris dan kolom sebanyak takhingga (Berberian, 1996).
b. Jika ๐ด = (๐๐๐) dan ๐ต = (๐๐๐) masing-masing matriks takhingga dan ๐ผ
skalar maka ๐ด + ๐ต = (๐๐๐ + ๐๐๐), ๐ผ๐ด = (๐ผ๐๐๐), dan ๐ด๐ต = (โ ๐๐๐๐๐๐)โ๐=1
dengan โ ๐๐๐๐๐๐ โ ๐ โ๐=1 , (Cooke, 1955).
12
Definisi 2.1.9
Diketahui suatu operator ๐ โ ๐ต(๐ป1, ๐ป2) maka ๐โ โ ๐ต(๐ป1, ๐ป2) disebut operator
adjoint operator T jika untuk setiap ๐ฅ โ ๐ป1 dan ๐ฆ โ ๐ป2 berlaku (๐๐ฅ, ๐ฆ) =
(๐ฅ, ๐โ๐ฆ) (Fuhrmann,1987).
2.2 Barisan
Definisi 2.2.1
Barisan adalah suatu fungsi yang domainnya adalah himpunan bilangan bulat
positif. Misal terdapat bilangan bulat positif 1, 2, 3,...,n,... yang bersesuaian
dengan bilangan real xn tertentu, maka x1, x2,...,xn,... dikatakan barisan (Mizrahi
dan Sulivan, 1982).
Definisi 2.2.2
Bilangan-bilangan ๐1, ๐2, ๐3, โฆ , ๐๐ disebut barisan bilangan tak hingga dan cn
disebut suku umum dari barisan. Bilangan n, (n = 1, 2, 3,...) adalah nomor urut
atau indeks yang menunjukkan letak bilangan tersebut dalam barisan (Yahya,
Suryadi, Agus, 1990).
Definisi 2.2.3
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi bernilai real yang didefinisikan pada
himpunan โ = {0,1,2,...}. Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah suatu
fungsi ๐ฅ : โ โ โ dengan aturan ๐โ ๐ฅ(๐) untuk setiap ๐ โ โ, dalam hal ini dapat
13
ditulis ๐ฅ(๐) = ๐ฅ๐ . Pada barisan ๐ฅ = ๐ฅ(๐), bilangan real ๐ฅ๐ disebut suku ke-k dari
barisan ๐ฅ = ๐ฅ(๐).
Suatu barisan yang ditulis dengan notasi ๐[๐] = (๐๐[๐])
โ ๐=0 untuk ๐ โ โ,
didefinisikan sebagai barisan dengan entrinya bernilai 1 hanya pada suku ke-๐ dan
yang lain bernilai 0, yaitu
๐๐[๐] = {
1, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ = ๐ 0, ๐ข๐๐ก๐ข๐ ๐ โ ๐
Dengan kata lain, ๐[๐] = (0,ยทยทยท ,0,1,0,ยทยทยท) dengan entri 1 berada pada posisi ke-๐.
Koleksi semua barisan dinotasikan dengan ฯ; yaitu ฯ = {๐ฅ = (๐ฅ๐) : ๐ฅ๐ โ โ, โ ๐ โ
โ}. Sebarang ruang linier bagian dari ฯ disebut ruang barisan. Ruang-ruang
barisan berikut yang ditulis dengan notasi ๐, ๐0 dan ๐โ masing - masing disebut
ruang barisan konvergen, ruang barisan konvergen ke nol, dan ruang barisan
terbatas, yaitu
๐ = {๐ฅ = (๐ฅ๐) โ ๐ โถ ( โ ๐ โ โ) ๐ฅ๐ โ ๐},
๐0 = {๐ฅ = (๐ฅ๐) โ ๐ โถ ๐ฅ๐ โ 0}, dan
๐0 = {๐ฅ = (๐ฅ๐) โ ๐ โถ sup๐ โโ|๐ฅ๐| <โ }
Selanjutnya, ruang barisan dengan deret mutlak-๐ konvergen untuk 1 โค ๐ < โ
ditulis dengan notasi ๐๐ yaitu;
๐๐ = {๐ฅ โ {๐ฅ๐} โ ๐ โถ โ |๐ฅ๐|๐ < โโ
๐=1 } .
Ruang-ruang barisan yang dinotasikan tersebut di atas merupakan salah satu
bentuk ruang barisan klasik.
14
Ruang barisan X dikatakan ruang Banach jika X merupakan ruang bernorma dan
untuk setiap barisan Cauchy di dalamnya dapat diperoleh nilai kekonvergenannya.
Ruang barisan X disebut ruang BK (Banach Kantorovich) jika X merupakan
ruang Banach dan fungsi koordinat ๐๐: X โ โ dengan aturan ๐ฅ โ ๐๐(๐ฅ) =
๐ฅ๐ kontinu pada X untuk semua ๐ฅ = (๐ฅ๐) โ X dan setiap ๐ โ โ. Ruang barisan
๐, ๐0 dan ๐โ yang diberikan di atas masing-masing merupakan ruang BK terhadap
norma supremum โ. โโ , yaitu
โ๐ฅโโ = sup๐โโ
|๐ฅ๐|.
Adapun ruang barisan ๐ dengan 1 โค ๐ < โ merupakan ruang BK terhadap norma
โ. โ๐ ; yaitu
โ๐ฅโ๐ = (โ|๐ฅ๐|๐
โ
๐=0
)
1๐โ
untuk setiap ๐ฅ = (๐ฅ๐) โ ๐๐ (Kamthan dan Gupta, 1981).
Definisi 2.2.4
Misal L adalah suatu bilangan real dan {xn} suatu barisan, {xn} konvergen ke L
jika untuk setiap bilangan ํ > 0 terdapat suatu bilangan asli N, sehingga |๐ฅ๐ โ
๐ฟ| < ํ untuk setiap ๐ > ๐.
Suatu bilangan L dikatakan limit dari suatu barisan takhingga ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ jika ada
bilangan real positif ํ sehingga dapat ditemukan bilangan asli N yang tergantung
pada ํ sehingga |๐ฅ๐ โ ๐ฟ| < ํ untuk setiap ๐ > ๐, daan suatu barisan dikatakan
konvergen jika ia mempunyai nilai limit (Mizrahi dan Sulivan, 1982).
15
Teorema 2.2.5
Setiap barisan bilangan real yang konvergen selalu terbatas.
Bukti :
Misalkan barisan bilangan real {an} konvergen ke a, akan ditunjukkan terdapat
suatu bilangan real ๐ > 0 sehinga |๐๐| โค ๐ untuk setiap ๐ โ ๐. Karena {an}
konvergen ke a, maka terapat suatu ๐0 โ ๐ sehingga ๐ > ๐0 โน |๐๐ โ ๐| < 1.
Akibatnya |๐๐| = |๐๐ โ ๐ + ๐| โค |๐๐ โ ๐| + |๐| < 1 + |๐| untuk setiap ๐ > ๐0.
Ambillah ๐ = ๐๐๐๐ (|๐1|, |๐2|, โฆ , |๐๐0|, |๐| + 1), maka setiap ๐ โ ๐ berlaku
|๐๐| โค ๐, yang berarti bahwa barisan bilangan real {an} terbatas (Martono,
1984).
Definisi 2.2.6
Suatu barisan ๐ฅ = (๐ฅ๐) dikatakan terbatas jika dan hanya jika terdapat suatu
bilangan ๐ โฅ 0 sehingga |๐ฅ๐| โค ๐ โ๐ โ ๐. Himpunan dari semua barisan
terbatas dilambangkan dengan ๐โ (Maddox, 1970).
Definisi 2.2.7
Suatu barisan {xn} dikatakan mempunyai limit L bila untuk setiap bilangan ํ > 0
dapat dicari suatu nomor indeks ๐0 sedemikian sehingga untuk ๐ โฅ ๐0 berlaku
๐ฟ โ ํ < ๐ฅ๐ < ๐ฟ + ํ (atau |๐ฅ๐ โ ๐ฟ| < ํ) artinya jika L adalah limit dari {xn} maka
xn mendekati L jika n mendekati tak hingga (Yahya, Suryadi, Agus, 1990).
16
Definisi 2.2.8
Suatu barisan yang mempunyai limit dinamakan barisan konvergen dan barisan
yang tak konvergen dinamakan barisan divergen (Martono, 1984).
Definisi 2.2.9
Diberikan ๐ yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi :
๐ = {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = {๐ฅ๐}: ๐ฅ๐ โ โ}
a. Untuk setiap bilangan real p dengan 1 โค ๐ < โ didefinisikan
๐๐ = {๐ฅ โ {๐ฅ๐} โ ๐:โ|๐ฅ๐|๐
< โ
โ
๐=1
}
dan norm pada ๐๐ yaitu
โ๐ฅโ๐ = (โ|๐ฅ๐|๐
โ
๐=1
)
1
๐
b. Untuk ๐ = โ didefinisikan
๐โ = {๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = {๐ฅ๐} โ ๐: sup๐โฅ1
|๐ฅ๐| < โ}
dan norm pada ๐โ yaitu
โ๐ฅโโ = sup๐โฅ1
|๐ฅ๐|
(Darmawijaya, 2007).
17
Definisi 2.2.10
Misal ๐, ๐ โ (1,โ) dengan 1
๐+
1
๐= 1 (q konjugat p), untuk ๐ฅ โ ๐๐ dan ๐ฆ โ ๐๐
(๐ฅ๐๐ฆ๐)๐โ๐โ ๐โ dan โ|xjyj| โค โxโpโyโq
โ
j=1
(Darmawijaya, 2007).
Teorema 2.2.11
๐๐(1 โค ๐ โค โ) merupakan ruang bernorma terhadap norm โ. โ๐.
Bukti :
a) Akan dibuktikan bahwa ๐โ merupakan ruang bernorm terhadap โ. โโ.
Untuk setiap skalar ๐ผ dan ๏ฟฝฬ ๏ฟฝ = {๐ฅ๐}, {๐ฆ๐} โ ๐โ diperoleh
i) โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ = sup๐โฅ1
|๐ฅ๐| โฅ 0 karena |๐ฅ๐| โฅ 0 untuk setiap ๐.
โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ = sup๐โฅ1
|๐ฅ๐| = 0 โบ |๐ฅ๐| = 0 untuk setiap ๐ โบ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {0} = 0ฬ
ii) โฮฑ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ = sup๐โฅ1
|๐ผ๐ฅ๐|. sup๐โฅ1
|๐ฅ๐| = ๐ผโ๐ฅโโ.
karena sup๐โฅ1
|๐ฅ๐| < โ maka โฮฑ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ = ๐ผโ๐ฅโโ < โ atau ฮฑ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐โ
iii) โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ โค โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ + โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ dan โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝโโ โค โ yaitu ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๐โ
berdasarkan i), ii) dan iii) terbukti bahwa ๐โ merupakan ruang linear dan
โ. โโ norm pada ๐โ. Dengan kata lain (๐โ, โ. โโ ) ruang bernorma.
18
b) Untuk 1 โค ๐ < โ diambil sebarang ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {๐ฅ๐}, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {๐ฆ๐} โ ๐๐ dan skalar ๐ผ.
Diperoleh :
iv) โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ๐ = {โ|๐ฅ๐|๐
โ
๐=1
}
1
๐
โฅ 0 karena |๐ฅ๐| โฅ 0 untuk setiap ๐.
โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ๐ = {โ|๐ฅ๐|๐
โ
๐=1
}
1
๐
= 0 โ |๐ฅ๐| โฅ 0 untuk setiap ๐ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {0} = 0ฬ
v) โฮฑ๏ฟฝฬ๏ฟฝโp = {โ|๐ผ๐ฅ๐|๐โ
๐=1
}
1
๐
= |๐ผ| {โ|๐ผ๐ฅ๐|๐โ
๐=1
}
1
๐
= |๐ผ|โ๐ฅโ๐
jelas bahwa โ๐ผ๐ฅโโ < โ
vi) โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ + ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ๐ โค โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ๐ + โ๏ฟฝฬ๏ฟฝโ๐ = {โ|๐ผ๐ฅ๐|๐
โ
๐=1
}
1
๐
+ {โ|๐ผ๐ฅ๐|๐
โ
๐=1
}
1
๐
< โ.
Berdasarkan iv), v) dan vi) terbukti bahwa ๐๐ merupakan ruang linear dan
โ. โ๐ norm pada ๐๐. Dengan kata lain (๐๐, โ. โ๐ ) ruang bernorm
(Darmawijaya, 2007).
Teorema 2.2.12
Jika bilangan real p dengan 1 โค ๐ โค โ, maka (๐๐, โ. โ๐) merupakan ruang
Banach.
Bukti :
Telah dibuktikan bahwa (๐๐, โ. โ๐) merupakan ruang bernorm.
Jadi tinggal membuktikan bahwa ruang bernorm itu lengkap.
Dibuktikan dahulu untuk 1 โค ๐ โค โ diambil sebarang barisan Cauchy {๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)} โ
๐๐ dengan
19
a) ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐) = {๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)} = (๏ฟฝฬ๏ฟฝ1(๐), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2
(๐), ๏ฟฝฬ๏ฟฝ3(๐), โฆ )
Untuk sebarang ํ > 0 terdapat bilangan asli ๐0 sehingga untuk setiap dua
bilangan asli ๐, ๐ โฅ ๐0 berlaku.
b) โ๐ฅ(๐) โ ๐ฅ(๐)โ๐
<๐
4 atau โ |๐ฅ๐
(๐)โ ๐ฅ๐
(๐)|โ
๐=1
๐
< (๐
4)๐
.
Hal ini berakibat untuk setiap dua bilangan asli ๐, ๐ > 0 diperoleh
|๐ฅ๐(๐)
โ ๐ฅ๐(๐)
| <๐
4 untuk setiap k. Dengan kata lain diperoleh barisan
Cauchy ๐ฅ๐(๐)
untuk setiap k. Jadi terdapat bilangan ๐ฅ๐ sehingga
lim๐โโ ๐ฅ๐(๐)
= ๐ฅ๐ atau lim๐โโ|๐ฅ๐(๐)
โ ๐ฅ๐| = 0. Berdasarkan b) diperoleh
untuk ๐ โฅ ๐0 berlaku |๐ฅ๐(๐)
โ ๐ฅ๐| = lim๐โโ|๐ฅ๐(๐)
โ ๐ฅ๐(๐)
| <๐
4.
Selanjutnya dibentuk barisan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {๐ฅ๐}. Menurut ketidaksamaan
minkowski.
c) {โ |๐ฅ๐|๐โ
๐=1 }1
๐ = {โ |๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐(๐)
+ ๐ฅ๐(๐)
|๐
โ๐=1 }
1
๐
= lim๐โโ
{โ|๐ฅ๐(๐)
โ ๐ฅ๐(๐)
+ ๐ฅ๐(๐)
|๐
โ
๐=1
}
1
๐
= lim๐โโ
{โ|๐ฅ๐(๐)
โ ๐ฅ๐(๐)
|๐
โ
๐=1
}
1
๐
+ {โ|๐ฅ๐(๐)
|๐
โ
๐=1
}
1
๐
< โ
Yang berarti ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {๐ฅ๐} โ ๐๐. Berdasarkan pertidaksamaan a) diperoleh
untuk ๐ โฅ ๐0 berlaku.
d) โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ โ ๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)โ = {โ |๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐(๐)
|๐
โ๐=1 }
1
๐= lim๐โโ {โ |๐ฅ๐ โ ๐ฅ๐
(๐)|๐
โ๐=1 }
1
๐<
๐
4
Maka barisan {๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)} konvergen ke ๏ฟฝฬ๏ฟฝ. Berdasarkan hasil c) dan d), terbukti
bahwa barisan Cauchy {๏ฟฝฬ๏ฟฝ(๐)} โ ๐๐ konvergen ke ๏ฟฝฬ๏ฟฝ = {๐ฅ๐} โ ๐๐ atau
20
terbukti bahwa (๐๐, โ. โ๐), (1 โค ๐ โค โ) merupakan ruang banach
(Darmawijaya, 2007).
Definisi 2.2.13
Misalkan X merupakan ruang barisan, X dikatakan ruang BK (banach lengkap)
jika X merupakan ruang banach dan pemetaan koordinatnya ๐๐(๐ฅ) = ๐ฅ๐, ๐ฅ =
(๐ฅ๐) โ ๐ kontinu.
Contoh ruang BK (banach lengkap) adalah ruang barisan ๐๐, 1 โค ๐ โค โ (Ruckle,
1991).
2.3 Ruang Vektor
Definisi 2.3.1
Ruang vektor adalah suatu himpunan tak kosong X yang dilengkapi dengan fungsi
penjumlahan (+): ๐ ร ๐ โ ๐ dan fungsi perkalian skalar (โ): ๐น ร ๐ โ ๐
sehingga untuk setiap skalar ๐, ๐ dengan elemen ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ berlaku :
i. ๐ฅ + ๐ฆ = ๐ฆ + ๐ฅ
ii. (๐ฅ + ๐ฆ) + ๐ง = ๐ฅ + (๐ฆ + ๐ง)
iii. ada ๐ โ ๐ sehingga ๐ฅ + ๐ = ๐ฅ
iv. ada โ๐ฅ โ ๐ฅ sehingga ๐ฅ + (โ๐ฅ) = ๐
v. 1 โ ๐ฅ = ๐ฅ
vi. ๐(๐ฅ + ๐ฆ) = ๐๐ฅ + ๐๐ฅ
vii. (๐ + ๐)๐ฅ = ๐๐ฅ + ๐๐ฅ
viii. ๐(๐๐ฅ) = (๐๐)๐ฅ (Maddox, 1970)
21
2.4 Basis
Definisi 2.4.1
Ruang vektor V dikatakan terbangkitkan secara hingga (finitely generated) jika
ada vektor-vektor ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ โ ๐ sehingga ๐ = [๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐]. Dalam keadaan
seperti itu {๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐} disebut pembangkit (generator) ruang vektor V.
Menurut definisi di atas, ruang vektor V terbangkitkan secara hingga jika dan
hanya jika ada vektor-vektor ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ โ ๐ sehingga untuk setiap vektor ๐ฅ โ ๐
ada skalar-skalar ๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐ sehingga
๐ฅ = ๐ผ1๐ฅ1 + ๐ผ2๐ฅ2 + โฏ+ ๐ผ๐๐ฅ๐
Secara umum, jika ๐ต โ ๐ dan V terbangkitkan oleh B, jadi |๐ต| = ๐ atau B
pembangkit V, maka untuk setiap ๐ฅ โ ๐ terdapat vektor-vektor ๐ฅ1, ๐ฅ2, โฆ , ๐ฅ๐ โ ๐ต
dan skalar ๐ผ1, ๐ผ2, โฆ , ๐ผ๐ sehingga
๐ฅ = โ ๐ผ๐๐ฅ๐
๐
๐=1
(Darmawijaya, 2007).
Definisi 2.4.2
Diberikan ruang vektor V. Himpunan ๐ต โ ๐ dikatakan bebas linear jika setiap
himpunan bagian hingga di dalam B bebas linear (Darmawijaya, 2007).
Definisi 2.4.3
Diberikan ruang vektor V atas lapangan โฑ. Himpunan ๐ต โ ๐ disebut basis (base)
V jika B bebas linear dan |๐| = ๐ต.
22
Contoh :
Himpunan {๏ฟฝฬ๏ฟฝ1, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ2, โฆ , ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐}, dengan ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ vektor di dalam ๐ ๐ yang komponen ke-k
sama dengan 1 dan semua komponen lainnya sama dengan 0, merupakan basis
ruang vektor ๐ ๐ (Darmawijaya, 2007).
2.5 Ruang Metrik
Ruang metrik merupakan ruang abstrak, yaitu ruang yang dibangun oleh
aksioma-aksioma tertentu. Ruang metrik merupakan hal yang fundamental
dalam analisis fungsional, sebab memegang peranan yang sama dengan jarak
pada real line R.
Definisi 2.5.1
Misal X adalah himpunan tak kosong, suatu metriks di X adalah suatu fungsi
๐: ๐ ร ๐ โ [0,โ), sehingga untuk setiap pasangan (๐ฅ, ๐ฆ) โ ๐ ร ๐ berlaku :
i. ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โฅ 0 untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐
ii. ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = 0 jika dan hanya jika x = y
iii. ๐(๐ฅ, ๐ฆ) = ๐(๐ฆ, ๐ฅ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ (sifat simetri)
iv. ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐(๐ฅ, ๐ง) + ๐(๐ง, ๐ฆ) untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ, ๐ง โ ๐ (ketidaksamaan
segitiga)
Selanjutnya pasangan (X, d) dengan d adalah metrik pada X disebut ruang metrik.
Setiap anggota X disebut titik dan nilai d(x,y) disebut jarak(distance) dari titik x ke
titik y atau jarak antara titik x dan titik y (Kreyszig, 1989).
23
Definisi 2.5.2
Suatu barisan (xn) dalam ruang metrik (X, d) dikatakan barisan Cauchy jika untuk
setiap bilangan ํ > 0 terdapat bilangan asli ๐ = ๐(๐) sehingga ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) < ํ
untuk setiap ๐, ๐ > ๐. Ruang X dikatakan X dikatakan lengkap jika setiap
barisan Cauchy di dalamnya konvergen (Kreyszig, 1989).
Definisi 2.5.3
Suatu ruang metrik (X, d) dikatakan lengkap jika dan hanya jika setiap barisan
Cauchy di dalamnya konvergen. Dengan kata lain jika ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ๐) โ 0(๐, ๐ โ โ)
maka terdapat ๐ฅ โ ๐ seningga ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) โ 0(๐ โ โ) (Maddox, 1970).
Definisi 2.5.4
Misal (X,d) adalah suatu ruang metrik. Suatu barisan (๐ฅ๐) โ ๐ dikatakan
konvergen jika terdapat suatu titik ๐ฅ โ ๐ sehingga ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) โ 0 untuk ๐ โ โ
(yaitu untuk setiap ํ > 0, ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) < ํ). Titik x adalah unik sebab jika ๐(๐ฅ๐, ๐ฅ) โ
0 maka 0 โค ๐(๐ฅ, ๐ฆ) โค ๐(๐ฅ, ๐ฅ๐) + ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ) โ 0 menunjukkan bahwa x = y. Dapat
dikatakan xn konvergen ke limit x (dalam X) sehingga dapat ditulis ๐ฅ =
lim๐โโ ๐ฅ๐ (Beberian, 1996).
Lemma 2.5.5
Jika X = (X,d) adalah ruang metrik, maka :
i. Suatu barisan konvergen di X adalah terbatas dan limitnya adalah unik.
ii. Jika ๐ฅ๐ โ ๐ฅ dan ๐ฆ๐ โ ๐ฆ di X, maka ๐(๐ฅ๐, ๐ฆ๐) โ ๐(๐ฅ, ๐ฆ) (Kreyszig, 1989).
24
Teorema 2.5.6
Setiap barisan Cauchy adalah terbatas.
Bukti :
Jika {an} barisan Cauchy maka untuk ํ = 1 ada bilangan asli N sehingga
|๐๐ โ ๐๐| < 1 dimana n, m > N. Perhatikan bahwa untuk ๐0 > ๐ maka |๐๐| =
|๐๐ โ ๐ + ๐| โค |๐๐ โ ๐| + |๐| < 1 + |๐| untuk setiap n > N. Jika ๐ =
๐๐๐๐ (|๐1|, |๐2|, โฆ , |๐๐|, 1 + |๐|) jelas |๐๐| โค ๐ untuk setiap bilangan asli N
sehingga barisan {an} terbatas (Parzynsky dan Zipse, 1987).
2.6 Ruang Bernorma
Definisi 2.6.1
Diberikan ruang linear X. Fungsi ๐ฅ โ ๐ โ โ๐ฅโ โ ๐ disebut norm vektor yang
mempunyai sifat-sifat :
i. โ๐ฅโ โฅ 0 untuk setiap ๐ฅ โ ๐
ii. โ๐ฅโ = 0, jika dan hanya jika ๐ฅ = 0, (0 vektor nol)
iii. โ๐ผ๐ฅโ = โ๐ผโ โ โ๐ฅโ untuk setiap skalar ๐ผ dan ๐ฅ โ ๐
iv. โ๐ฅ + ๐ฆโ โค โ๐ฅโ + โ๐ฆโ untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐
disebut norma (norm) pada X dan bilangan nonnegatif โ๐ฅโ disebut norma vektor
x. Ruang linear X yang dilengkapi dengan suatu norma โโโ disebut ruang
bernorma (norm space) dan dituliskan singkat dengan ๐, โโโ atau X saja asalkan
normanya telah diketahui (Darmawijaya, 1970).
25
Lemma 2.6.2
Dalam ruang linier bernorm X berlaku โ๐ฅโ โ โ๐ฆโ โค โ๐ฅ โ ๐ฆโ untuk setiap
๐ฅ, ๐ฆ โ ๐.
Bukti :
untuk setiap ๐ฅ, ๐ฆ โ ๐ diperoleh :
โ๐ฅโ โ โ๐ฆโ = โ๐ฅ โ ๐ฆ + ๐ฆโ โ โ๐ฆโ โค โ๐ฅ โ ๐ฆโ + โ๐ฆโ โ โ๐ฆโ = โ๐ฅ โ ๐ฆโ (Maddox,
1970).
Definisi 2.6.3
Norm Matriks Ruang matriks ๐๐ adalah suatu ruang vektor berdimensi ๐2.
Dengan demikian sifat-sifat norm vektor di ruang berdimensi hingga tetap berlaku
di sana. Perbedaannya, untuk sebarang A dan B di ๐๐ kita dapat mengalikan
keduanya yang menghasilkan matriks baru ๐ด๐ต di ๐๐ juga. Sangatlah wajar jika
kita menginginkan suatu ukuran matriks yang memberikan hubungan antara
ukuran ketiganya.
Definisi 2.6.4
Suatu fungsi |โโข โ| : ๐๐ โ ๐ disebut norm matriks jika untuk sebarang ๐ด, ๐ต ๐ ๐๐
berlaku lima aksioma berikut:
i. |โ๐ดโ| โฅ 0
ii. |โ๐ดโ| = 0, jika dan hanya jika ๐ด = 0
iii. โ๐ผ๐ดโ = |๐ผ| โ |โ๐ดโ| untuk setiap skalar ๐ผ
iv. |โ๐ด + ๐ตโ| โค |โ๐ดโ| + |โ๐ตโ|
26
v. |โ๐ด๐ตโ| โค |โ๐ดโ| |โ๐ตโ| ( sub-multikatif)
Pada definisi di atas keempat sifat pertama tidak lain merupakan sifat-sifat norm
vektor. Adapun sifat terakhir ditambahkan untuk menghubungkan โukuranโ
matriks - matriks ๐ด, ๐ตdan hasil perkalian keduanya yaitu matriks๐ด๐ต. Inilah yang
membedakan norm matriks dengan norm vektor.
Disamping norm matriks natural di atas ada beberapa contoh norm matriks yang
lain, diantaranya :
i. Norm jumlah kolom maksimum
|โ๐ดโ|1 โก ๐๐๐ฅ1<๐<๐
โ|๐๐๐|
๐
๐=1
ii. Norm jumlah baris maksimum
|โ๐ดโ|โ โก ๐๐๐ฅ1<๐<๐
โ|๐๐๐|
๐
๐=1
iii. Norm Spektral
|โ๐ดโ|2 โก max{โ๐ : ๐ nilai eigen dari ๐ดโ ๐ด }
iv. Norm Similaritas
Misalkan |โโข โ| suatu nomr ๐๐ dan S matriks non-singular di ๐๐.
Didefinisikan
|โ๐ดโ|๐ โก |โ๐โ1๐ด๐โ| untuk semua ๐ด โ ๐๐
Bukti :
Sifat (i) sampai sifat (iii) cukup mudah dibuktikan, adapun sifat (iv) adalah
berdasarkan fakta :
27
|โ๐ด๐ตโ|๐ โก |โ๐โ1๐ด๐โ| = |โ(๐โ1๐ด๐)(๐ต๐)โ| โค |โ๐โ1๐ด๐โ||โ๐โ1๐ต๐โ|
= |โ๐ดโ|๐|โ๐ดโ|๐
(Gozali, 2010).
2.7 Ruang Banach
Definisi 2.7.1
Ruang Banach (Banach space) adalah ruang bernorma yang lengkap (sebagai
ruang metrik yang lengkap) jika dalam suatu ruang bernorm X berlaku kondisi
bahwa setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen (Darmawijaya, 2007)
III. METODE PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester ganjil tahun ajaran 2017/2018 di jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Langkah-langkah yang digunakan dalam penelitian ini antara lain :
1. Mengkonstruksikan operator A dari ruang barisan โ3ke ruang barisan โ32โ
dengan basis standar {๐๐} dengan ๐๐ = (0,0, โฆ , 1(๐), โฆ ).
2. Mengkonstruksikan norma operator A.
3. Menyelidiki apakah koleksi semua operator membentuk ruang Banach.
4. Merepresentasikan operator A sebagai matriks takhingga yang dikerjakan
pada barisan โ3 ke ruang barisan โ32โdengan basis standar {๐๐} dengan
๐๐ = (0,0, โฆ , 1(๐), โฆ ).
V. KESIMPULAN
Operator linear dan kontinu A : โ3 โ โ32โ merupakan operator-SM jika dan hanya
jika terdapat suatu matriks ๐ด = (๐๐๐) yang memenuhi :
1. ๐ด๐ฅ = {โ ๐๐๐๐ฅ๐โ๐=1 } โ โ3
2โ untuk setiap ๐ฅ = (๐ฅ๐) โ โ3
2. โ โ |๐๐๐|3
2โโ๐=1
โ๐=1 < โ
3. โ โ |๐๐๐|โ๐=1
โ๐=1 < โ
Koleksi semua operator SM A : โ3 โ โ32โ yang dinotasikan dengan SM (โ3, โ3
2โ)
membentuk ruang Banach.
DAFTAR PUSTAKA
Berberian, S. K. 1996.Fundamentals of Real Analysis.Springer, Texas.
Darmawijaya, S. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah Mada,
Yogyakarta.
Fuhrmann, P. A. 1981. Linear Syatem and Operator in Hilbert Space.Mc
GrawHill and Sons, New York.
Gozali, S. M. 2010. Norm Vektor dan Norm Matriks. Juni 2010.
https://id.scribd.com/doc/58611039/Norm-Vektor-Dan-Norm-Matriks.
Diakses pada 28 November 2017.
Kamthan, P. K dan Gupta, M. 1981.Sequence Spaces and Series. Marcel Dekker
Inc, New York.
Kreyszig, E. 1989.Introductory Function Analysis with Application.Willey
Classic Library, New York.
Maddox,I.J. 1970. Element of Functional Analysis.Cambridge Univercity Press,
London.
Martono, K. 1984. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik 2. Angkasa, Bandung.
Mizrahi, A. dan Sullivan, M. 1982.Calculus and Analytic Geometry.Wadsworth
Publishing Company Belmont, California.
Ruckle, W. H. 1991. Modern Analysis. PWS-KENT Publishing Company,
Boston.
Yahya, Y., Suryadi, D. H. S. dan Agus, S. 1990. Matematika Dasar Untuk
Perguruan Tinggi. Ghalia Indonesia, Jakarta.
Recommended