Relasi ekuivalensi

Relasi ekuivalen, kelas ekuivalensi danpartisiByAria TurnsPosted inhimpunan Taggedekuvalen,himpunan,matematika,Math,partisi,relasi 17 CommentsKonsep relasi pada Matematika serupa dengan pengertian relasi pada sehari-hari. AKan saya mulai dengan definisi formal relasiDefinisi 1:Suaturelasi(biner) pada himpunanadalah himpunan bagiandari produk cartesian. Jikaadalah suatu relasi danmaka dikatakanberelasi kepadaatau singkatnyaContoh 2:boleh dibilang relasi yang paling dikenal adalah relasi = (Sama dengan) yang memut semua elemenContoh 3:Diberikandan(kurang dari). Tuliskan semua elemen.Diperoleh

Karena memuat semua elemendenganNah..selanjutnya kita bahas relasi ekuivalenDefinisi 4:Suatu relasipada himpunandikatakanrelasi ekuivalenjika memenuhi ketiga hal berikutuntuk semua1.Reflexive2.Symmetryjikamaka3.TransitiveJikadanmakaContoh 5:Diberikan himpunandan relasipadadidefinisikan. Akan ditunjukanmerupakan relasi ekuivalensi(note:artinyamembagi)1. Reflexive. Untuk sebarangdiperoleh, Jelas, terbuktibersifat Reflexive2. Symmetry. Diketahuimaka, yang artinya. Diperolehmaka. Dapat disimpulkan3. Transitive. Diketauidanyang artinyadanDiperoleh

.Itu artinya. TerbuktiTransitive.Terbuktimerupakan relasi ekuivaleNah yang namanya relasi ekuivalen pastilah terdapat kelas ekuivalensi, ibarat 2 sisi mata uang yang tak terpisahkan. Apa itu kelas ekuivalensi?Definisi:Diberikanrelasi ekuivalen padamaka untuk semuadterdapat suatu himpunan yang berisikan semua anngotayang berelasi ke, dinotasikan:

Nah..himpunan inilah yang disebut kelas ekuivalensiContoh 6:Sekarang kita akan mencari kelas ekuivalensi dari contoh 5, kita akan memulai dari 1dan maju kedepan

Perhatikan bahwa kelas ekuivalensi lainnya akan sama dengan salah-satu kelas ekuivalensi diatas contohnya. Itu artinya kita telah menemukan kelas-kelas ekuivalensi yang berbeda dari contoh 5.Perhatikan juga bahwa himpunanterpecah menjadi 4 himpunan yang saling asing. Dengan kata lain kelas-kelas ekuivalensi membentuk partisi padaTeorema 7:Diberikanrelasi ekuivalen pada himpunan tak-kosongmaka kelas-kelas dariakan mempartisiNah..yang saya maksud dengan partisi adalah memecah/ membagi suatu himpunanmenjadi beberapa himpunan bagian tak-kosong yang mana setiap elementepat termuat di satu himpunan bagian. Himpunan bagian ini disibutseldari partisi. Serupa dengan partisi hardisk, tentunya mustahil suatu file termuat di dua partisi hardisk yang berbeda.Jadi relasi ekuivalen adalah cara kita mempartisi suatu Himpunan. Menjadi ekuivalen itu berarti menjadi sama, serupa berdasarkan kriteria tertentu.