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Progressão Geométrica
Prof. MANUEL
xq
(a1, a2, a3, a4...)xq
PG Progressão Geométricaxq
1) Razão : q = a2 = a3 = ... = K
a1 a1
Ex: (2, 4, 8, 16, ... )
Razão: q = 4 = 8 = 16 = 2
2 4 8
2) Fórmula Geral: a2 = a1.q
a3 = a2.q = a1.q.q = a1.q2
a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3
an= a1 . qn-1 an= ab . qn-b
Ex: (2, 4, 8, 16, ... )
Calcule a6=?
a3=8
R=2
an=ab.qn-b
a6=a3.q6-1
a6=8.25 = 8.32 = 256
a1 a2 a3 a4
x2
3) (2, 4, 8, 16, 32, ... )
PG q = 2a1 a2 a3 a4 a5
S5= a1+a2+a3+a4+a5
S5= 2+4+8+16+32 = 62
Sn= a1.(qn-1)
q-1
Soma Limitada
Ex: S5= a1.(q5-1) = 2.(25-1) = 2.(32-1)
q-1 2-1 1
S5= 2 . 31 = 62
X1/2
4) Ex: (2, 4, 8)xq=2
(4/2, 4, 4.2)
(a1, a2, a3)
(a2/q, a2, a2.q)
5) (1, ½, ¼, 1/8, ... )X1/2
0
1+1/2+1/4+1/8+ ... X1/2
S = a1
1- q
8 S = 1 = 1 = 2
1-1/2 1/2
8
Soma ilimitada
1) q=a2=a3= ... = K (razão)
a1 a2
P.A. (a1, a2, a3, ... ) P.G. (a1, a2, a3, ... )+R xq
1)R=a2-a1=a3-a2= ... = K(razão)
2) Fórmula: an=ab+(n-b).R 2) Fórmula: an=ab.qn-b
3) Soma dos termos:
Sn=(a1+an).n
2
3) Soma dos termos:
Sn=a1(qn-1)
q-1
4) (a1, a2, a3)
(x-R, x, x+R)
4) (a1, a2, a3)
(x/q, x, x.q)
5) S = a1
1-q
8
(2, 4, 6, 8, 10, 12, ... ) P.A. (R=2) Crescente (R>0)
(4, 2, 0, -2, -4, ... ) P.A. (R=-2) Decrescente (R<0)
NOTA!!!
(2, 4, 8, 16, 32, ... ) P.G. (q=2) Crescente.
(2, 1, ½, ¼, 1/8, ... ) P.G. (q=1/2) Decrescente
(2, -4, 8, -16, 32, ... ) P.G. (q=-2) Alternante
x1/2
x(-2)
+2
+(-2)
x2
DEMONSTRAÇÃO:Sn=a1(qn-1)
q-1
an=a1.qn-1
Sn=(a1.qn-1).q1-a1
q-1Sn=a1.qn- a1
q-1Sn=a1(qn- 1)
q-1
DIZIMA PERIÓDICA
1, 333... = P = 1 3 = 1 1 = 4 9...9 9 3 3x
+
1, 4242... = P = 1 42 = 1 14 = 47 9...9 99 33 33x
+
D. P.
Simples
3 9 3 10 10 10
= 12 3 = 12 1 = 37
D. P. Composta
1 x10 101,2333 ... = 1,2333 ... x10 = 12, 333 ...
3 10 30= 37 . 1 = 37
+
x
Nota:
1,999 ... ~ = 2
1,5999 ... ~ = 1,6
Demonstração S = a1
1-q
8
1,333 ... = 1 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... x0,1
S3= a1(0,13-1) = a1(0,001-1) q-1 q-1
S20= a1(0,120-1) = a1(0,00000000000000000001-1) q-1 q-1
8
8
q-1 q-1S = a1(0,1 –1) = a1(0-1)
S = -a1 x(-1) = a1
q-1 x(-1) 1-q
8 S = a18
1-q
EXERCÍCIOS:01. (UCS-98/1) Numa P.G. decrescente, se o primeiro termo é 24 e o sétimo é 3, a razão é:
a)V2 / 2
b)V2
c)V3
d)5/2
e)7/2
P.G. - decrescente a1=24 a7=3 q=?
an=ab.qn-b
a7=a1.q7-1
3=24.q6
1=8.q6
6+-V1/8 = q
+-V(1/2)3 = q6
+-V1/2 = q2
+-V1 . V2 = q
V2 V2
+- V2 / 2 = q
02. (UNEB-98) O número de termos da P.G (1/4, ½, 1, ... , 256) é:
a)8
b)9
c)10
d)11
e)12
(1/4, ½, 1, ... ,256)x2 x2
a1 a2 a3 an
an=ab.qn-b
an=a3.qn-3
256=1.2n-3
28=2n-3
n-3=8 n=11 11 termos
Obs: A ordem do último termo representa o nº de termos da sequência.
256 2
257 2
258 2
259 2
260 2
8 2
4 2
2 2
1
03. (UEFS-98) Um homem de 100 Kg começou uma dieta no dia 01/03. Pesando-se a cada 30 dias e registrando o seu peso em uma tabela, conforme ilustração abaixo, observou-se que, ao final de cada 30 dias, perdia 5% do peso registrado anteriormente.
01/03 100 Kg
01/04 95 Kg
01/05 P3 Kg
01/06 P4 Kg
01/07 P5 Kg
01/08 P6 Kg
... ...
a)100(0,05)4
b)100(0,05)5
c)100(0,50)4
d)100(0,95)4
e)100(0,95)5
(100, 95, ...)X0,95
P6=?
Nota 5%= 5/100= 0,05
1-0,05 0,95
a6=a1.q6-1
a6=100.0,955
04. (UCS-98/2) Em uma P.G. decrescente, o décimo-primeiro termo é 1 e o centésimo-primeiro termo é 1/512. O milésimo-primeiro termo dessa progressão é:
100
a)1/ V2
b)1/ V2
c)1/ 2999
d)1/ 2100
e)1/ 299
10
an=ab.qn-b
a101=a11.q101-11
1/ 512=1.q90
V 1/ 512 = q90
10
V(1/2)9 = q90
a1001=a11.q1001-11
a1001=1.q990
a1001=1.( V1/2)99010
a1001= (1/2)99
a1001= 1/ 299
q=-1/3ou
05. (UCS-99) O produto de três termos de uma Progressão Geométrica crescente é 216. Se o terceiro termo é igual à soma 10 com os outros dois termos, então a razão desta progressão é:
a)6
b)5
c)4
d)3
e)2
a1.a2.a3=216 a3=10+a1+a2 q=?
(a1, a2, a3)
a2/q a2 a2.q
a2/q .a2. a2.q=216
a23=216 a2=V216
3
a2=V23.33 = 63
(a1, a2, a3)
6/q 6 6.q
a3=10+a1+a2
6q=10+6/q+6
6q/1=16/1+6/q
6q2=16q+6q
6q2-16q-6=0 /2
3q2-8q-3=0
=64-4.3(-3)
=100
-b+-V2a
q=8+-106
q=3
a2/q.a2.a2.q=125
06. (BAIANA-99) A soma dos três termos de um PG crescente é 31 e o produto deles é 125. A razão desta progressão é:
a)5
b)7/2
c)5/2
d)2
e)5/4
a1+a2+a3=31
a1.a2.a3=125
(a1, a2, a3)
a2/q a2 a2.q
a23=125 a2=5
5/q+5/1+5q/1=31/1
5+5q+5q2=31qq
5q2+5q-31q+5=0
5q2-26q+5=0
=(-26)-4(5).(5) =576
x=-26+-2410
x=5oux=0,2
07. (UFBA-adaptada) Cetro tipo de bactéria se reproduz, dividindo-se em duas, de meia em meia hora. Se isto se sucede simultaneamente a três bactérias, em 6 horas haverá x bactérias. Calcule x/128.
3, 6, 12, 24x2
0 1h 2h 3h 4h 5h 6h a13
a13=a1.q13-1
a13=3.212=x
27128 x = 3.212 = 3.212-7
128 x = 3.25 = 3.32 = 96
08. (FABAC-98) Os números positivos x, (x-1)/2, 4/x formam, nesta ordem, uma P.G. Se x é o primeiro termo de uma P.A. de razão igual a 4, então o 5º termo da P.A. é igual a:
a)5
b)10
c)16
d)21
e)25
(x, (x-1)/2, 4/x, ... ) PG
a2/a1=a3/a2
(x-1)/2 = 4/xx (x-1)/2
((x-1)/2).((x-1)/2)=x.4/x
(x-1)2/4=4 (x-1)2=16
x-1=+-4x=5
x=-3
Se os nº são positivos x=5
PG (5, (5-1)/2, 4/5, ... )
(5, 2, 4/5, ... )X2/5
PA (5, a, 13, ... )+4
a5=a1+(5-1)R
a5=5+4.4
a5=5+16 = 21
09. (UESB-98) O sétimo termo de uma PG, de razão 2, é igual a 1. A soma dos sete primeiros termos dessa progressão é igual a:
a)1/63
b)6/17
c)116/17
d)136/13
e)127/64
a7=1 q=2Sn=a1(qn-1)
an=ab.qn-bS7=a1(q7-1)
q-1
S7=1/64 (27-1)2-1
S7=1/64 (128-1)1
S7=127/64
a7=a1.q7-1
1=a1.26
1/64=a1
10. (FEBA-98) A solução da equação x+x/2+x/4+...=18 é:
a)múltiplo de 2
b)divisor de 3
c)um nº primo
d)múltiplo de 3
e)divisor de 6
1-qS = a18
(x, x/2, x/4, ... ) PG
1-1/218= x
1/218= x
18.1/2=x x=9
11. (UCS-85) Quantos são os nº naturais que satisfazem a inequação: x-2 + x-2 + x-2 + ... < 3? 2 4 8
a)infinitos
b)1
c)2
d)3
e)5
x-2 + x-2 + x-2 + ... < 32 4 8
S = a1 = (x-2)/2 < 31-q 1-1/2
8
1/2(x-2)/2 < 3 x-2 . 2 < 3
2 1
x-2 < 3 x < 50 1 2 3 4
05 nºs
X1/2
P = 9 . 3V3 . V3 ...4
12. Seja P = 9 . 3V3 . V3 ... Quando o número de fatores tende ao infinito, o valor limite desse produto é:
P = 32 . 31. 31/2 . 31/4 ...
P = 32+1+1/2+1/4... = 34
P = 3.3.3.3 = 81
1-q2+1+1/2+1/4+ ... = S = a18
1-1/2S = 2 8
1/2S = 2 8
1S = 2.2 = 48
X1/2
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