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Probabilidad de error
Luca Mar/no y Francisco Rodríguez Ruiz
Apuntes no revisados
Cuidado!
Función Q(x) • la definición es
€
Q(x) =12π
exp −t 2 /2{ }x
+∞
∫ dt
€
µ = 0€
σ2 =1
€
Q(x)
€
x
Es el integral de una N(0,1) entre x y más infinito. €
t
Función Q(x)
• Unas propiedades:
€
Q(0) =12
= 0.5
€
µ = 0€
σ2 =1
€
Q(0) = 0.5
€
Q(x) =1−Q(−x)
1.
3.
€
0
€
x
€
−x
€
0
€
Q(x)
€
Q(−x)
€
Q(−∞) =12.
€
Q(−x) =1−Q(x)
Integral de una
• Vamos ahora a considerar el integral
• Para expresarlo en función de Q(x) vamos a considerar la transformación de variable
€
N(µ,σ 2)
€
12πσ 2
exp −(t − µ)2 /(2σ 2){ }µ +x
+∞
∫ dt
€
τ = (t − µ) /σdτ = dt /σ ⇒ dt =σdτ
€
⇒12πσ 2
exp −τ 2 /2{ }⋅x /σ
+∞
∫ σ⋅ dτ ⇒ 12π
exp −τ 2 /2{ }x /σ
+∞
∫ dτ =Q xσ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Integral de una
• Hemos hallado
€
N(µ,σ 2)
€
Q xσ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
12πσ 2
exp −(t − µ)2 /(2σ 2){ }µ +x
+∞
∫ dt
€
µ€
σ2
€
Q(x /σ)
€
µ + x
€
t
Con x posi/vo
€
x ≥ 0
Integral de una
• También es fácil hallar/entender que (por la simetría de la Gaussiana)
€
N(µ,σ 2)
€
Q xσ
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =
12πσ2
exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }−∞
µ−x∫ dt
€
µ€
σ2
€
Q(x /σ)
€
µ − x
€
t
Con x posi/vo
€
x ≥ 0
Integral de una • Valen también esta relación
€
N(µ,σ 2)
€
σ2
€
1−Q(x /σ)
€
µ − x
€
t
€
µ€
Q −xσ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =1−Q
xσ
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =
12πσ2
exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }µ−x
+∞
∫ dt
Con x posi/vo
€
x ≥ 0
Integral de una • Valen también esta relación
€
N(µ,σ 2)
€
σ2
€
1−Q(x /σ)
€
µ + x
€
t
€
µ
€
Q −xσ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =1−Q
xσ
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ =
12πσ2
exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }−∞
µ +x∫ dt
Con x posi/vo
€
x ≥ 0
Integral de una • Valen también esta relación
€
N(µ,σ 2)
€
σ2
€
1−Q(x1 /σ) −Q(x2 /σ)
€
µ + x1
€
t
€
1−Q x1σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ −Q
x2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =
12πσ2
exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }µ−x2
µ +x1∫ dt
€
x1 ≥ 0x2 ≥ 0
€
µ − x2
€
µ
Probabilidad de error (dim. 1) • Vamos a considerar una constelación de 3 símbolos
equiprobables
• Siendo equiprobables, los umbrales serán los puntos medios €
d1
€
d2
€
s2
€
s3
€
s1
€
s2
€
s3
€
s1
€
d12
€
d22
Decido s2
Decido s1
Decido s3 €
u1
€
u2
€
d12
€
d22
Probabilidad de error (dim. 1) • ¿ Cuál es la probabilidad de error habiendo transmi/do ?
€
s2
€
s3
€
s1
€
d12
€
d22
€
u2
€
s2
€
σ2 = N0 /2µ = s2
€
p(q | s2)
€
u1
€
Q d1 /2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d12σ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
Q d2 /2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d22σ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
Pe|s2 =Q d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ +Q
d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de error (dim. 1) • ¿ Cuál es la probabilidad de error habiendo transmi/do ?
€
s1
€
σ2 = N0 /2µ = s1
€
p(q | s1)
€
s2
€
s3
€
s1
€
d12
€
Q d1 /2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d12σ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
Pe|s1 =Q d12σ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de error (dim. 1) • ¿ Cuál es la probabilidad de error habiendo transmi/do ?
€
s3
€
σ2 = N0 /2µ = s2
€
p(q | s3)
€
Q d2 /2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d22σ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
Pe|s3 =Q d22σ⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ =Q
d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
s2
€
s3
€
s1
€
d 22
Probabilidad de error (dim. 1) • Y siendo los símbolos equiprobables
€
Pe =13Pe|s1 +
13Pe|s2 +
13Pe|s3 =
=13Q d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ +Q
d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ +Q
d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ +Q
d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
=23Q d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ +23Q d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Ejemplo en 2 dimensiones • Vamos a considerar símbolos equiprobables en rejilla
• Podemos dis/nguir 3 casos!
€
s k
€
s j
€
s h
€
s l
€
s i
€
q1
€
q2
€
s d
€
s r
€
s g
€
s e
1) 2) 3)
Ejemplo en 2 dimensiones • En este caso es di`cil calcular DIRECTAMENTE la probabilidad de
error habiendo trasmi/do un símbolo, .
• Para calcular directamente, deberíamos integrar la Gaussiana en todas las 8 regiones mostradas en figura ( ).
€
s i
€
q1
€
q2
€
q ∈ Ii
€
q ∉ Ii
€
q = [q1,q2]
€
Pe| s i
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
Pe| s i
€
q ∉ Ii
Ejemplo en 2 dimensiones • Esto es di`cil porque no se puede expresar fácilmente la región
fuera del rectángulo en términos de desigualdades de las componente de , como Además hay que tener cuidado en no integrar 2 veces la misma zona!
€
s i
€
q1
€
q2
€
q ∈ Ii
€
q ∉ Ii
€
q = [q1,q2]
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q ∉ Ii
€
q
€
Ii
€
q1 ≥ a,q2 ≤ b.....
€
a€
b€
c
€
d
Ejemplo en 2 dimensiones • Si por ejemplo integramos independientemente las variables en
esta forma:
€
s i
€
q1
€
q2
€
q ∈ Ii
€
a€
b€
c
€
d
€
para q1 ≥ d para q2 ≥ cpara q2 ≤ bpara q1 ≤ a
es decir a la “derecha”, “arriba”, “izquierda” , “abajo”….y LUEGO SUMAR todos las valores hallados.
Integramos las esquinas 2 veces !!! (Luego hay que sumar todo….)
2 veces !
2 veces !
2 veces !
2 veces !
Ejemplo en 2 dimensiones • Es más fácil hallar la probabilidad de acierto y luego
€
s i
€
q1
€
q2
€
q ∈ Ii
€
a€
b€
c
€
d
€
Pe| s i
=1− Pa | s i
€
Pa | s i
Tenemos que si
€
q ∈ Ii
€
a ≤ q1 ≤ db ≤ q2 ≤ c
Al mismo /empo !!
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 1) • Asumimos siempre símbolos equiprobables (en rejilla)
€
d12
€
d42
€
d22
€
d32
€
d42
€
s k
€
s j
€
d12
€
d22
€
s h
€
d32
€
s l
Dentro del rectángulo decido
€
s i
€
s i
€
q1
€
q2
€
s i = [si1,si2]
€
q = [q1,q2]
EN ESTE CASO CONVIENE CALCULAR LA PROBABILIDAD DE ACIERTO (Pa) Y LUEGO HACER 1-‐Pa
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 1) • Como sabemos hay independencia en los ruidos, y podemos
trabajar en manera independientes en las dos direcciones
• La probabilidad de acierto en este caso es €
d42
€
d22
€
d42
€
d22
€
sh1
Decido
€
si1
€
q1€
p(q | si1)
€
sk1
€
Pacierto|si1 =1−Q d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q
d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
si1
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 1) • Para la otra componente
• La probabilidad de acierto en este caso es
€
d12
€
d32
€
s j2
€
d12
€
d32
€
sl2€
si2€
q2Decido
€
si2
€
Pacierto|si 2 =1−Q d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q
d32 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de acierto (caso 1) • La probabilidad de acierto total será (por la independencia de
las componentes)
€
Pacierto| s i
= Pacierto|si1⋅ Pacierto|si 2
=
= 1−Q d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q d4
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q d3
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de error (caso 1) • La probabilidad de error habiendo transmi/do será
€
Pe| s 1
=1− Pacierto| s i
=
Pe| s 1
=1− 1−Q d22 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q d4
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q d3
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
s i
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 2) • Se considere ahora el caso (en rejilla)
€
d42
€
d32
€
d42
€
s k
€
d32
€
s l
Dentro del rectángulo decido
€
s i
€
s i
€
q1
€
q2
€
s i = [si1,si2]
€
q = [q1,q2]
EN ESTE CASO CONVIENE CALCULAR LA PROBABILIDAD DE ACIERTO (Pa) Y LUEGO HACER 1-‐Pa
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 2) • Primera componente
• La probabilidad de acierto en este caso es €
d42
Decido
€
si1
€
q1€
p(q | si1)
€
sk1
€
Pacierto|si1 =1−Q d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
si1
€
d42
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 2) • La otra componente
• La probabilidad de acierto en este caso es €
d32
€
d32
€
sl2€
si2€
q2Decido
€
si2
€
Pacierto|si 2 =1−Q d32 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de acierto (caso 2) • La probabilidad de acierto total será (por la independencia de
las componentes)
€
Pacierto| s i
= Pacierto|si1⋅ Pacierto|si 2
=
= 1−Q d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d3
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de error (caso 2) • La probabilidad de error habiendo transmi/do será
€
Pe| s 1
=1− Pacierto| s i
=
Pe| s 1
=1− 1−Q d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d3
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
s i
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 3) • Otro caso podría ser por, ejemplo
€
d12
€
d42
€
d32
€
d42
€
s k
€
s j
€
d12
€
d32
€
s l
Dentro del rectángulo decido
€
s i
€
s i
€
q1
€
q2
€
s i = [si1,si2]
€
q = [q1,q2]
EN ESTE CASO CONVIENE CALCULAR LA PROBABILIDAD DE ACIERTO (Pa) Y LUEGO HACER 1-‐Pa
Ejemplo en 2 dimensiones (caso 3) • En este caso tenemos
• La probabilidad de acierto total será
€
Pacierto|si1 =1−Q d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
Pacierto|si 2 =1−Q d12 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q
d32 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
Pacierto| s i
= Pacierto|si1⋅ Pacierto|si 2
=
= 1−Q d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q d3
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
Probabilidad de error (caso 3) • La probabilidad de error habiendo transmi/do será
€
Pe| s 1
=1− Pacierto| s i
=
Pe| s 1
=1− 1−Q d42 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟ −Q d3
2 N0 /2
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
⎛
⎝ ⎜ ⎜
⎞
⎠ ⎟ ⎟
€
s i
Cota de la unión • Consideremos solo dos símbolos en 2 dimensiones.
• Hemos visto (en otros apuntes) que realmente se puede considerar como un caso unidimensional.
€
s 1
€
s 2
€
p( s 2) > p( s 1)En estas figuras
€
q2
€
q1
€
s 1
€
s 2€
q2
€
q1
Cota de la unión • Así que por ejemplo
€
p( s 2) > p( s 1)En esta figura
€
s 1
€
s 2€
q2
€
q1€
d1
€
d2
€
d1 + d2 = d( s 1, s 2)
€
Pe| s 1
= Q d1σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = Pe|
s 1con
s 2
€
Pe| s 2
= Q d2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ = Pe|
s 2con
s 1
Cota de la unión • Si tengo otro símbolo, podemos razonar por parejas hallando
€
s 1
€
s 2€
q2
€
q1
€
d1
€
d2
€
s 3€
d3
€
d4
€
d5
€
d6
€
Pe| s 1con
s 3
= Q d3σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Pe| s 3con
s 1
= Q d4σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Pe| s 2con
s 3
= Q d6σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Pe| s 3con
s 2
= Q d5σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Pe| s 1con
s 2
= Q d1σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
€
Pe| s 2con
s 1
= Q d2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Cota de la unión • Hay que recordar que estamos integrando Gaussianas en
semiplanos, y que en ciertos casos estamos integrando 2 VECES la misma región (teniendo en cuenta todos los símbolos en parejas).
• Por esto, sumar todas las Pe calculadas antes nos da una cota superior.
€
s 1
€
s 2€
q2
€
q1
€
Pe| s 1con
s 2
= Q d1σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Cota de la unión • Además podemos seguramente escribir
€
s 1
€
s 2€
q2
€
q1
€
d1
€
d2
€
s 3€
d3
€
d4
€
d5
€
d6
€
Pe| s 1≤ Pe|
s 1con
s 2
+ Pe| s 1con
s 3
= Q d1σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ + Q d3
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Pe| s 2≤ Pe|
s 2con
s 1
+ Pe| s 2con
s 3
= Q d2σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ + Q d6
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Pe| s 3≤ Pe|
s 3con
s 1
+ Pe| s 3con
s 2
= Q d4σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ + Q d5
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
Cota de la unión • y finalmente llegamos a la cota de la unión
€
s 1
€
s 2€
q2
€
q1
€
d1
€
d2
€
s 3€
d3
€
d4
€
d5
€
d6
€
Pe = p( s 1)Pe| s 1
+ p( s 2)Pe| s 2
+ p( s 3)Pe| s 3
Pe ≤ p( s 1) Q d1σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ + Q d3
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ + p( s 2) Q d2
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ + Q d6
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥ + p( s 3) Q d4
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ + Q d5
σ
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
⎡
⎣ ⎢
⎤
⎦ ⎥
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