View
162
Download
0
Category
Tags:
Preview:
Citation preview
i
M
a h m u t
KO Ç A K
ii 0.
Içindekiler
21 Stokes ve Gauss (Diverjans)Teoremi 1
21.1 Stokes Teoremi . . . . . . . . 1
21.2 Gauss (Diverjans) Teoremi . . . . 821.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . 12
1
1
BÖLÜM
21 Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
21.1 Stokes TeoremiStoke teoremi, sınır egrisi basit kapalı bir C egrisi olan bir S yüzeyi üzerindeki yüzey
integrali ile C egrisi üzerinden egrisel integral arasındaki iliskiyi vermektedir.
TEOREM 21.1 (Stokes Teoremi). S ⊆R3 yönlendirilmis parçalı-düzgün bir yüzey, yani basitkapalı parçalı-düzgün ve pozif yönde yönlendirilmis bir C sınır egrisine sahip olsun. Uaçık ve S ⊆ U olmak üzere F : U → R3 vektör alanının bilesenleri sürekli kısmi türevleresahip olsun. Bu durumda
∮
∂ S=C
F ·d s =
∫∫
S
curl F ·dS
olur. Sekil 21.1 e bakınız.
x
y
z
b
S C
C1
D
n
SEKIL 21.1:
ISPAT. Bu teoremin özel bir halini ispatlayalım.D, x y -düzleminde birinci ve ikinci tip böl-gelerden olusan bir bölge olmak üzere S, ikinci mertebeden sürekli türevleri olan z =g (x , y ) fonksiyonunun grafigi ve ∂ S =C nin sınırladıgı bölge D olsun.
F= Pi+Qj+Rk= (P,Q , R)diyelim. Bu durumda
∫∫
S
(curl F) ·dS =
∫∫
D
−�
Ry −Qz�
g x − (Pz −Rx ) g y +�
Qx −Py�
g z d A
olur.
x = x (t ), y = y (t ), t ∈ [a ,b ],
D nin sınır egrisi C1 in bir parametrizasyonu olsun. Bu durumda x = x (t ), y = y (t ), z =g (x (t ), y (t )), t ∈ [a ,b ] de C egrisinin bir parametrizasyonu olur.
P(x , y , z ) = P(x , y , g (x , y )), Q(x , y , z ) =Q(x , y , g (x , y )), R(x , y , z ) =R(x , y , g (x , y ))
2 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
oldugundan Zincir kuralı geregince∂ P
∂ x= Px
∂ x
∂ x+Py
∂ y
∂ x+Pz
∂ z
∂ x= Px +Pz
∂ z
∂ x= Px +Pz g x
∂Q
∂ x=Qx
∂ x
∂ x+Qy
∂ y
∂ x+Qz
∂ z
∂ x=Qx +Qz
∂ z
∂ x=Qx +Qz g x
∂ R
∂ x=Rx
∂ x
∂ x+Ry
∂ y
∂ x+Rz
∂ z
∂ x=Rx +Rz
∂ z
∂ x=Rx +Rz g x
olur. Bu durumda∮
C
F ·d s =
b∫
a
�
Pdx
d t+Q
d y
d t+R
d z
d t
�
d t =
b∫
a
�
Pdx
d t+Q
d y
d t+R
�
g xdx
d t+ g y
d y
d t
��
d t
=
b∫
a
�
�
P +R g x� dx
d t+�
Q +R g y� d y
d t
�
d t =
∫
C1
�
P +R g x�
dx +�
Q +R g y�
d y
=
∫∫
D
�
∂∂ x
�
Q +R g y�
− ∂∂ y�
P +R g x�
�
d A (D üzerinde Green Teoremi geregince)
=
∫∫
D
�
Qx +Qz∂ z∂ x +
�
Rx +Rz∂ z∂ x
�
g y +R g y x −Py −Pz∂ z∂ y −
�
Ry +Rz∂ z∂ y
�
g x −R g x y
�
d A
=
∫∫
D
�
Qx +Qz g x +�
Rx +Rz g x�
g y +R g y x −Py −Pz g y −�
Ry +Rz g y�
g x −R g x y�
d A
=
∫∫
D
�
Qx +Qz g x +Rx g y +Rz g x g y +R g y x −Py −Pz g y −Ry g x −Rz g y g x −R g x y�
d A
=
∫∫
D
�
Qx +Qz g x +Rx g y +R g y x −Py −Pz g y −Ry g x −R g x y�
d A
=
∫∫
D
�
−�
Ry −Qz�
g x − (Pz −Rx ) g y +�
Qx −Py�
g z�
d A =
∫∫
S
curl F ·dS
olur.4
NOT 21.2. (a). C basit kapalı bir egri (yada basit kapalı egrilerin toplamı) ve F bir vektöralanı olmak üzere
∮
C
F ·d s
integrali iki sekilde hesaplanabilir.
(i). F fazlaca karısık degilse
∮
C
F ·d s integrali egrisel integralin tanımı kullanılarak
hesaplanabilir.
(ii). ∂ S = C olacak sekilde C ile aynı yönlü bir S yüzeyi bulunur ve Stokes teoremi
21.1. Stokes Teoremi 3
kullanılırsa∮
∂ S=C
F ·d s =
∫∫
S
curl F ·dS
olur. Bu metod daha çok curl F, F den daha basit ve S yüzeyi basit bir yüzeysekullanılır.
(b). S, sınır egrisi basit kapalı ∂ S = C egrisi olan bir yüzey ve F bir vektör alanı olmaküzere
∫∫
S
curl F ·dS
integrali iki sekilde hesaplanabilir.
(i). Yüzey integralinin tanımı kullanılarak
∫∫
S
curl F ·dS hesaplanabilir. Bu metod
S yüzeyi karısıksa pek kullanıslı olmaz.
(ii). ∂ S =C kolay bir egri ise
∮
∂ S
F ·d s integrali bulunur. Stokes teoremi geregince
∮
∂ S
F ·d s =
∫∫
S
curl F ·dS
olur.
(iii). ∂ S ile ∂ S′ aynı yönlü ve ∂ S′ = ∂ S özelliginde bir S′ yüzeyi bulunarak
∮
∂ S′
F ·d s
integrali bulunur. Bu durumda Stokes teoremi geregince∫∫
S
curl F ·dS =
∮
∂ S
F ·d s =
∮
∂ S′
F ·d s =
∫∫
S′
curl F ·dS
olur.�
ÖRNEK 21.1. F = (−y ,x , z ) ve α(u , v ) = (u cos v, u sin v, 1−u 2), u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π] olmaküzere
∫∫
S
curl F ·dS
integralini bulalım.
ÇÖZÜM.
curl F = ∇×F=
�
�
�
�
�
�
�
�
i j k∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z−y x z
�
�
�
�
�
�
�
�
=�
∂ z
∂ y−∂ x
∂ z
�
i+�
∂ (−y )∂ z
−∂ z
∂ x
�
j+�
∂ x
∂ x+∂ y
∂ y
�
k
4 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
= 0i+0j+(1+1)k= 0i+0j+2k
yani curl F= (0, 0, 2) olur. Digeryandan ∂ S birim çemberdir ve parametrizasyonu
β (t ) = (cos t , sin t , 0) (t ∈ [0, 2π])dir. Bu durumda
x = cos t , y = sin t , z = 0 ve β ′(t ) = (−sin t , cos t , 0)oldugundan
∫∫
S
curl F ·dS =
∮
∂ S
(−sin t , cos t , 0) · (−sin t , cos t , 0)d t =
2π∫
0
(sin2 t + cos2 t +0)d t
=
2π∫
0
d t = t�
�
�
2π
0= 2π
olur. Sekil 21.2 a bakınız.-
x
y
z
b
n
Sαu
αv
x
y
z
D
∂ S11
1
SEKIL 21.2:
ÖRNEK 21.2. S yüzeyi pozitif yönlendirilmis x 2+ y 2+ z 2 = 9, z ≥ 0 yarım küresi ve
F = (2y , 3x ,−z 2)
olmak üzere
∫∫
S
(curl F) ·dS integralini bulalım.
ÇÖZÜM. S nin sınır egrisi x 2+ y 2 = 9 çemberidir. Yani
∂ S =C = {(x , y )∈R2 : x 2+ y 2 = 9}dür.
α(u , v ) = (3 sin u cos v, 3 sin u sin v, 3 cos u ), 0≤ u ≤π
2, 0≤ v ≤ 2π
olmak üzere α, S nin pozitif yönlü bir parametrizasyonudur. Bu durumda
αu (u , v ) = (3 cos u cos v, 3 cos u sin v,−3 sin u ),
αv (u , v ) = (−3 sin u sin v, 3 sin u cos v, 0)oldugundan
αu (u , v )×αv (u , v ) = (9 cos v sin2 u , 9 sin2 u sin v, 9 cos u sin u )
21.1. Stokes Teoremi 5
olur. Digeryandan
curl F=∇×F=
�
�
�
�
�
�
�
�
i j k∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z2y 3x −z 2
�
�
�
�
�
�
�
�
= 0i+0j+(3−2)k= 0i+0j+k= (0, 0, 1)
yani curl F= (0, 0, 1) olur. Böylece∮
S
curl F ·dS =
∫∫
D
(0, 0, 1) · (9 cos v sin2 u , 9 sin2 u sin v, 9 cos u sin u )d u d v
=
∫∫
D
9 cos u sin u d u d v =
2π∫
0
π2∫
0
9 cos u sin u d u d v
= 9
2π∫
0
�
−1
4cos 2u
�
�
�
�
π2
0d v = 9
2π∫
0
�
−1
4cos 2
π
2+
1
4cos 0
�
d v
= 9
2π∫
0
�
1
4+
1
4
�
d v =9
2
2π∫
0
d v =9
2v�
�
�
2π
0= 9π
olur. Sekil 21.3 a bakınız.
x
y
z
n
S
∂ S =C
D
n
x
y
z
SEKIL 21.3:
Simdi
∮
∂ S=C
F ·d s integralini bulalım.
α(t ) = (3 cos t , 3 sin t , 0)seklinde tanımlı α : [0, 2π]→ R3 fonksiyonu ∂ S = C nin pozitif yönlü bir parametrizasy-onudur ve
α′(t ) = (−3 sin t , 3 cos t , 0)
dir. Buna göre
∮
∂ S=C
F ·d s =
2π∫
0
F(α(t )) ·α′(t )d t =
2π∫
0
F((3 cos t , 3 sin t , 0)) · (−3 sin t , 3 cos t , 0)d t
6 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
=
2π∫
0
(2×3 sin t , 3×3 cos t ,−02) · (−3 sin t , 3 cos t , 0)d t
=
2π∫
0
(6 sin t , 9 cos t ,−02) · (−3 sin t , 3 cos t , 0)d t
=
2π∫
0
(−18 sin2 t +27 cos2 t )d t =
2π∫
0
(−18(1− cos2 t )+27 cos2 t )d t
=
2π∫
0
(45 cos2 t −18)d t = 45
2π∫
0
cos2 t d t −
2π∫
0
18 d t
= 45
2π∫
0
�
1
2cos 2t +
1
2
�
d t −18t�
�
�
2π
0= 45
�
1
2t +
1
4sin 2t
�
�
�
�
2π
0−36π
= 45
�
1
22π+
1
4sin 4π
�
−36π= 45π−36π= 9π
olur.-
ÖRNEK 21.3. S yüzeyi pozitif yönlendirilmis x 2 + y 2 = z , z ≤ 4 paraboloidi olmak üzere∫∫
S
�
−3x z 2i+ z 3k�
·dS integralini Stokes teoremini kullanarak bulalım.
ÇÖZÜM. Stokes teoremini kullanabilmek içim curl F=−3x z 2i+z 3k özelligini saglayan F=Pi+Qj+Rk vektör alanını bulmalıyız.
curl F = ∇×F=
�
�
�
�
�
�
�
�
i j k∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ zP Q R
�
�
�
�
�
�
�
�
=�
∂ R
∂ y−∂Q
∂ z
�
i+�
∂ P
∂ z−∂ R
∂ x
�
j+�
∂Q
∂ x−∂ P
∂ y
�
k=−3x z 2i+ z 3k
olması gerektiginden∂ R
∂ y−∂Q
∂ z=−3x z 2,
∂ P
∂ z−∂ R
∂ x= 0,
∂Q
∂ x−∂ P
∂ y= z 3
olmalıdır. Bu durumda
P =R = 0
alınırsa∂Q
∂ z= 3x z 2,
∂Q
∂ x= z 3
olur. Buradan
Q = x z 3
21.1. Stokes Teoremi 7
olur. Bu durumda F=Qj= x z 3j= (0,x z 3, 0) olur. Gerçekten
curl F = ∇×F=
�
�
�
�
�
�
�
�
i j k∂
∂ x
∂
∂ y
∂
∂ z0 x z 3 0
�
�
�
�
�
�
�
�
=�
−∂
∂ zx z 3
�
i+0j+�
∂
∂ xx z 3
�
k
= −3x z 2i+0j+ z 3k=−3x z 2i+ z 3k
olur. Böylece ∂ S =C , S nin sınır egrisi olmak üzere Stokes teoremi geregince∫∫
S
�
−3x z 2i+ z 3k�
·dS =
∮
∂ S=C
F ·d s
olur. Digeryandan
x = 2 cos t , y = 2 sin t , z = 4 (0≤ t ≤ 2π)
parametrik denklemi ∂ S =C nin pozitif yönlü bir parametrizasyonudur. Üstelik,
x ′ =−2 sin t , y ′ = 2 cos t , z ′ = 0 (0≤ t ≤ 2π)dır. Böylece
∮
∂ S=C
F ·d s =
∮
∂ S=C
(0,x z 3, 0) · (−2 sin t , 2 cos t , 0′)d t
=
2π∫
0
(0, 2 cos t ×43, 0) · (−2 sin t , 2 cos t , 0′)d t
=
2π∫
0
(0, 128 cos t , 0) · (−2 sin t , 2 cos t , 0′)d t
=
2π∫
0
128 cos t ×2 cos t d s = 256
2π∫
0
cos2 t d t
= 256
�
1
2t +
1
4sin 2t
�
�
�
�
2π
0= 256
�
1
22π+
1
4sin 4π
�
= 256π
olur. Sekil 21.4 a bakınız.-
x
y
z
x
y
z
b
nb
n
b
n
S
C
SEKIL 21.4:
8 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
TEOREM 21.3. F :R3→R3 bir vektör alanı ve P,Q ve R fonksiyonlarının birinci mertebedensürekli kısmi türevleri olmak üzere
F= Pi+Qj+Rk= (P,Q , R)olsun. Bu durumda curl F= 0 ise F konserativdir.
ISPAT. Stokes teoremi geregince R3 deki basit kapalı her C egrisi için∮
C
F ·d s =
∫∫
S
(curl F) ·dS = 0
dır. Herhangi bir kapalı egri sonlu sayıda basit kapalı egriye bölünebileceginden her egriüzerinden integral sıfırdır. Bu durumda F konservatif olur.4
21.2 Gauss (Diverjans) TeoremiGauss teoremi, R3 de kapalı bir S yüzeyi üzerindeki yüzey integrali ile sınırı kapalı S
yüzeyi olan R3 deki bir V bölgesi üzerindeki hacim integrali arasındaki iliskiyi verir.D, R2 de elemanter bir bölge olsun.
(a). α1,α2 : D→R3 fonksiyonları sürekli ve (x , y )∈D için
α1(x , y )≤α2(x , y )olmak üzere
Vz = {(x , y , z )∈R3 : (x , y )∈D, α1(x , y )≤ z ≤α2(x , y )}seklindeki bir bölgeye z -tüp denir.
(b). α3,α4 : D→R3 fonksiyonları sürekli ve (x , z )∈D için
α1(x , z )≤α2(x , z )olmak üzere
Vy = {(x , y , z )∈R3 : (x , z )∈D, α3(x , z )≤ y ≤α4(x , z )}seklindeki bir bölgeye y -tüp denir.
(c). α5,α6 : D→R3 fonksiyonları sürekli ve (y , z )∈D için
α5(y , z )≤α6(y , z )olmak üzere
Vx = {(x , y , z )∈R3 : (y , z )∈D, α5(y , z )≤ x ≤α6(y , z )}seklindeki bir bölgeye x -tüp denir.
(d). R3 de her üç bölge ile verilen bir V bölgesine simetrik bölge veya simetrik cisimdenir.
TEOREM 21.4 (Gauss (Divergence) Teoremi). Simetrik bir bölge V ve S de V nin pozitifyönlü sınırı olsun. U açık ve V ⊆ U olmak üzere F : U → R3 vektör alanının bilesenlerisürekli kısmi türevlere sahip olsun. Bu durumda
∫∫
S
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V
dir.
21.2. Gauss (Diverjans) Teoremi 9
ISPAT. F= Pi+Qj+Rk= (P,Q , R) olsun. Bu durumda div F= Px +Qy +Rz ve∫∫∫
V
div F d V =
∫∫∫
V
Px d V +
∫∫∫
V
Qy d V +
∫∫∫
V
Rz d V
olur. n, S nin birim normal vektörü olsun. Bu durumda∫∫
S
F ·dS =
∫∫
S
(Pi+Qj+Rk) ·n dS =
∫∫
S
Pi ·n dS+
∫∫
S
Qj ·n dS+
∫∫
S
Rk ·n dS
olur. Önce∫∫
S
Rk ·n dS =
∫∫∫
V
Rz d V,
∫∫
S
Qj ·n dS =
∫∫∫
V
Qy d V,
∫∫
S
Pi ·n dS =
∫∫∫
V
Px d V
oldugunu gösterelim.V, z -tüp cisim oldugundan D, V cisminin x y -düzlemindeki izdüsümü olmak üzere
V = {(x , y , z ) :α1(x , y )≤ z ≤α2(x , y ), (x , y )∈D}seklinde yazılabilir. Sekil 21.5 a bakınız. V nin sınırı S1, S2, S3 den olusmaktadır.
S3 üzerinde n birim normal vektörü ile k dik oldugundan
∫∫
S
Rk ·n dS = 0 olur.
S2, z =α2(x , y ) ((x , y )∈D) fonksiyonunun grafigidir ve n birim normal vektörü yüzey-den dısa dogrudur. Bu durumda
∫∫
S
Rk ·n dS =
∫∫
D
R(x , y ,α2(x , y ))d A
olur.S1, z =α1(x , y ) ((x , y )∈D) fonksiyonunun grafigidir ve n birim normal vektörü yüzey-
den içe dogrudur. Bu durumda∫∫
S
Rk ·n dS =−∫∫
D
R(x , y ,α1(x , y ))d A
olur. Böylece
x y
zn
V
S1
S2
S3
n
n
D
SEKIL 21.5:
10 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi∫∫
S
Rk ·n dS =
∫∫
D
R(x , y ,α2(x , y ))d A −∫∫
D
R(x , y ,α1(x , y ))d A
=
∫∫
D
R(x , y , z )�
�
�
α2(x ,y )
α1(x ,y )d A =
∫∫
D
α2(x ,y )∫
α1(x ,y )
R(x , y , z )d A =
∫∫∫
V
Rz d V
olur. Benzer sekilde V nin y -tüp ve x -tüp oldugu kullanılarak∫∫
S
Qj ·n dS =
∫∫∫
V
Qy d V ve
∫∫
S
Pi ·n dS =
∫∫∫
V
Px d V
oldugu gösterilir. Bu durumda∫∫
S
F ·dS =
∫∫
S
Pi ·n dS+
∫∫
S
Qj ·n dS+
∫∫
S
Rk ·n dS
=
∫∫∫
V
Px d V +
∫∫∫
V
Qy d V +
∫∫∫
V
Rz d V
olur.4
NOT 21.5. (a). S yönlendirilmis kapalı bir egri (yada kapalı egriler kolleksiyonu) ve F bir
vektör alanı olmak üzere
∫∫
S
F ·dS integrali iki sekilde hesaplanabilir.
(i). Integral fazla karısık degilse
∫∫
S
F · dS integrali yüzey integralin tanımı kul-
lanılarak hesaplanabilir.
(ii). ∂ V =S olacak sekilde S nin yönünü koruyan V ⊆R3 bölgesi bulunur ve∫∫∫
V
div F d V
integrali bulunur. Stokes teoremi kullanılırsa∫∫
S
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V
olur.
(b). S kapalı olmayan yönlendirilmis bir yüzey ise
∫∫
S
F ·dS integrali iki sekilde hesapla-
nabilir.
(i). Integral zor degilse
∫∫
S
F ·dS integrali tanım kullanılarak hesaplanır.
(ii). ∂ V nin birlesenlerinden biri S yüzeyi olacak sekilde bir V ⊆ R3 bölgesi bu-lunur. S′, ∂ V nin pozitif yönlü diger parçası (parçaları) olsun. V bölgesi S′
21.2. Gauss (Diverjans) Teoremi 11
basit olacak sekilde seçilir. Bu durumda Gauss teoremi geregince∫∫
S
F ·dS+
∫∫
S′
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V
olur. Buradan∫∫
S
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V −∫∫
S′
F ·dS
olur.�
ÖRNEK 21.4. z = 0 düzlemi, x 2+y 2 = 4, 0≤ z ≤ 3 silindiri ve z = 3 düzleminin olusturduguyüzey S ve
F= 0i+ y j+0k= (0, y , 0)
olmak üzere
∫∫
S
F ·dS integralini hesaplayalım. Sekil 21.6 a bakınız.
x
y
z
b
b
b
b
SV
x
y
z
3
22
SEKIL 21.6:
ÇÖZÜM.∫∫
S
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V
oldugundan E cismi S yüzeyinin sınırladıgı bölgedir. Digeryandan
div F=∂ P
∂ x+∂Q
∂ y+∂ R
∂ z= 0+1+0= 1
oldugyndan∫∫
S
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V =
∫∫∫
V
1 d V =π(2)23= 12π
olur.-
ÖRNEK 21.5. z = 0 düzlemi, x 2+ y 2 = 1, 0≤ z ≤ 1 düzlemi ve z = 4− 3x 2− 3y 2, 1≤ z ≤ 4düzleminin olusturdugu yüzey S ve
F(x , y , z ) = x y i−1
2y 2j+ z k=
�
x y ,−1
2y 2, z
�
12 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
olmak üzere
∫∫
S
F ·dS integralini hesaplayalım. Sekil 21.7 a bakınız.
x
y
z
b
b
b
b
SV
x
y
z
4
1
11
SEKIL 21.7:
ÇÖZÜM.∫∫
S
F ·dS =
∫∫∫
V
div F d V
oldugundan E cismi S yüzeyinin sınırladıgı bölgedir. Silindirik koordinatlar kullanılırsa
0 ≤ r ≤ 4−3r 2
0 ≤ r ≤ 1
0 ≤ θ ≤ 2π
olur. Digeryandan
div F=∂ P
∂ x+∂Q
∂ y+∂ R
∂ z= y − y +1= 1
olur. Buna göre
∫∫
S
F ·dS =
2π∫
0
1∫
0
4−3r 2∫
0
div F d V =
2π∫
0
1∫
0
4−3r 2∫
0
1 d z d r dθ =
2π∫
0
1∫
0
z�
�
�
4−3r 2
0d r dθ
=
2π∫
0
1∫
0
(4−3r 2)d r dθ =
2π∫
0
(4r − r 3)�
�
�
1
0dθ =
2π∫
0
(4−1)dθ = 3θ�
�
�
2π
0= 6π
olur.-
21.3 Alıstırmalar
21.1. F(x , y , z ) = (y 2,x ,−x z ) ve C = {(x , y , 0) : x 2+ y 2 = 4} egrisi verilsin.∮
C
F ·d t integralini egrisel integral tanımını kullanarak bulunuz.
21.3. Alıştırmalar 13
(a).(b).
∮
C
F ·d t integralini Stokes Teoremini kullanarak bulunuz.
21.2. F(x , y , z ) = (z ,x , y ) olsun.
(a). div F i bulunuz.
(b). S = {(x , y , z ) : 0≤ x ≤ 1, 0≤ y ≤ 2, 0≤ z ≤ 3} olmak üzere Gauss teoremini kullanarak
∮
∂ S
F ·n d s integralini bulunuz.
21.3. C negatif yönlendirilmis x 2+ y 2 = 1 silindiri ile x + y + z = 1 düzleminin arakesiti olmak üzere Stokes teoremini kullanarak∮
C
(−y 3,x 3,−z 3)d s integralini bulunuz. Sekil 21.8 e bakınız.
x
y
z
SEKIL 21.8:
21.4. F(x , y , z ) = (x y z , y 2,x z 2) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2+ z 2 = 1} yüzeyi verilsin.
(a).
∫∫
S
F ·dS integralini integralini kullanarak bulunuz.
(b).
∫∫
S
F ·dS integralini Gauss Teoremini kullanarak bulunuz.
21.5. F(x , y , z ) = (x 2y , 2x z , y z 3) olsun. M , z = x 2+ y 2+2 parabolidinin x 2+ y 2 ≤ 1 silindiri içerisinde kalan parçası olsun.
(a). curl F i bulunuz.
(b). M nin parametrizasyonunu yazınız. Stokes teoremini kullanarak
∮
∂ S
F ·d s integralini bulunuz.
21.6. F(x , y , z ) = (x , y ,x 2 + y 2) ve C = {(x , y , z ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1} egrisi z = 1− x 2 − y 2 paraboloidinin birinci bölgedeki pozitif
yönlendirilmis sınır egrisi olsun.
∫
C
F ·d s integralini Stokes teoremini kullanarak bulunuz.
21.7. F(x , y , z ) = (x y z ,x , e x y cos z ) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2+ z 2 = 4, z ≥ 0} yarı küresi pozitif yönlendirilmis olsun.
∫∫
S
curl F ·dS
integralini Stokes teoremini kullanarak bulunuz.
14 21. Stokes ve Gauss (Diverjans) Teoremi
21.8. C = {(x , y , z ) : x 2+ y 2 = 4, z =−3} egrisi pozitif yönlendirilmis olmak üzere∮
C
(y ,x z 3,−z y 3)d s
integralini
(a). Egrisel integral tanımını kullanarak bulunuz. (b). Stokes teoremini kullanarak bulunuz.
21.9. F(x , y , z ) = 3z i +5x j −2y k ve S, z = x 2+ y 2 yüzeyinin z = 4 düzlemi altında kalan yüzey parçası olsun.
(a). S nin bir parametrizasyonunu yazınız. (b).
∫∫
S
curl F·dS integralini bulunuz.
21.10. F(x , y , z ) = (y z ,x z ,x y ) ve C = {(x , y , z ) : z = 6−x 2− y 2, z ≥ 2} pozitif pozitif yönlendirilmis olsun.
∫∫
S
curl F ·dS integralini
Stokes teoremini kullanarak bulunuz.
21.11. F(x , y , z ) = (x , y , 0) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2+ z 2 = a 2, z ≥ 0} olsun. Gauss teoremini kullanarak∫∫
S
F ·dS =4
3πa 3
oldugunu gösteriniz. (Yol gösterme: S1 = {(x , y ) : x 2+ y 2 = a 2} olmaküzere∫∫∫
V
div F d V =
∫∫
S
F ·dS+
∫∫
S1
F ·dS
oldugunu kullanınız.)
21.12. F(x , y , z ) = (x 2, z 2,−y 2) ve S = {(x , y , z ) : z = 4−x 2− y 2, z ≥ 0} olsun.
(a). curl F i bulunuz. (b).
∫∫
S
curl F·dS integralini bulunuz.
21.13. F(x , y , z ) = (x 3,x 2y ,x 2z ) ve S = {(x , y , z ) : x 2+ y 2 ≤ a 2, 0≤ z ≤b} olmak üzere
∫∫
S
F ·dS integralini
(a). Yüzey integralinin tanımını kullanarak bulunuz. (b). Gauss teoremini kullanarak bulunuz.
21.14. F(x , y , z ) = (y , 2x ,x ) ve S = {(x , y , z ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1, y ≥ 0} pozitif yönlendirilmis olmak üzere
∫∫
S
curl F · dS integralini
bulunuz.
21.15. F(x , y , z ) = (2πy z 4−y , 2πx z 4+x , 8πx y z 3) ve C = {(x , y ) : x 2+y 2 = 4}pozitif yönlendirilmis çember olsun.
∮
C
F·d s integralini
(a). Egrisel integralin tanımını kullanarak bulunuz. (b). Stokes teoremini kullanarak bulunuz.
21.16. W = {(x , y , z ) :−1≤ x ≤ 1, −1≤ y ≤ 1, −y 2 ≤ z ≤ x 2} ve S, W nun pozitif yönlendirilmis yüzeyi ve F(x , y , z ) = (0, 0, z ) olsun.
(a).
∫∫
S
F ·dS integralini yüzey integralinin tanımını kullanarak bulunuz. (b). Gauss teoremini kullanarak bulunuz.
21.3. Alıştırmalar 15
21.17. C , parametrizasyonu β (t ) = (cos t , sin t , cos t + 2 sin t ) olan pozitif yönlendirilmis egri ve F(x , y , z ) = (e x 2,x + z , sin3 z ) ol-
sun.
∮
C
F ·d s integralini Stokes teoremini kullanarak bulunuz. (Yol gösterme: S, C egrisini üzerinde bulunduran z = x + 2y
düzleminin parçası olmak üzere
α(r,θ ) = (r cosθ , r sinθ , r (cosθ +2 sinθ )) (0≤ r ≤ 1, 0≤ θ ≤ 2π),S nin bir parametrizasyonu ve
∮
C
F ·d s =
∫∫
S
curl F ·dS
oldugunu kullanınız.)
Dizin
Bölgesimetrik, 8x -tüp, 8y -tüp, 8z -tüp, 8
Gauss Teoremi (Divergence Teoremi), 8
Kümesimetrik, 8x -tüp, 8y -tüp, 8z -tüp, 8
Stokes Teoremi, 1
. 171
1
Recommended