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15 Cours - PFD CPGE MP
18/01/2014 Page 1 sur 19
Principe Fondamental de la Dynamique
Sommaire
Principe Fondamental de la Dynamique................................................................................. 1
1 Principe Fondamental de la Dynamique ............................................................................................ 3
1.1 Référentiel Galiléen ............................................................................................................................................ 3
1.2 Chronologie ........................................................................................................................................................ 3
1.3 Enoncé du PFD .................................................................................................................................................. 3
1.4 Théorèmes généraux – Traduction vectorielle du PFD ........................................................................................ 3
2 Conseils pratiques pour la résolution de problème de dynamique .................................................... 4
2.1 Problèmes types.................................................................................................................................................. 4
2.2 Algorithme de résolution .................................................................................................................................... 4
3 Recherche des caractéristiques d’un actionneur à l’aide du PFD ...................................................... 5
3.1 Méthode générale ............................................................................................................................................... 5
3.2 Applications sur le robot anthropomorphe .......................................................................................................... 5
4 Recherche des caractéristiques des actions mécaniques dans une liaison à l’aide du PFD ............... 8
4.1 Méthode générale ............................................................................................................................................... 8
4.2 Applications sur le robot anthropomorphe .......................................................................................................... 8
5 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine ouverte à l’aide du PFD ................... 10
5.1 Méthode générale ............................................................................................................................................. 10
5.2 Application sur le gyroscope d’horizon artificiel ............................................................................................... 10
6 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine fermée à l’aide du PFD .................... 13
6.1 Méthode générale ............................................................................................................................................. 13
6.2 Application sur le vibreur d’olivier ................................................................................................................... 13
15 Cours - PFD CPGE MP
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EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Bras de robot anthropomorphique
Le manipulateur est conçu à partir d’une structure anthropomorphique à 7 degrés de liberté activés par des
paires de muscles artificiels montés en opposition et utilisant l’énergie pneumatique. Pour simplifier l’étude, on
se limitera à une étude avec 3 axes sur le manipulateur.
EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Gyroscope d’horizon artificiel
L'horizon artificiel est un gyroscope à 2 degrés de liberté à axe vertical, suspendu par son centre de gravité qui
détermine la verticale du lieu d'un avion. La vitesse de rotation du rotor du gyroscope est de l'ordre de
20 000 tr/min. Ce système permet au final d’indiquer via un cadran l'assiette longitudinale de l'avion et
l'inclinaison de l'avion.
Effet gyroscopique : Tout objet correctement équilibré tournant sur un axe qui, une fois lancée tend à résister
aux changements de son orientation.
EExxeemmppllee ddee ssyyssttèèmmee :: Vibreur d’olivier
Le vibreur d’oliviers est destiné à la cueillette des olives. Un générateur de vibrations est monté sur une pince
mécanique qui enserre le tronc.
Réel
Modèle
Pince
Arbre
Réel
Modèle simplifié
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1 Principe Fondamental de la Dynamique
Le PFD permet d’établir une relation entre les actions mécaniques qui sont appliquées à un ensemble
matériel (E) et les mouvements qui en résultent selon toutes les directions de l’espace.
1.1 Référentiel Galiléen Un référentiel Galiléen est l’association d’un repère géométrique et d’un repère temporel pour lequel le
PFD est vrai. En SII, on considère Galiléen :
Tout repère fixe (i.e. sans mouvement) par rapport à la Terre.
Ou tout repère en mouvement de translation rectiligne (i.e. sa trajectoire est une droite)
uniforme (sa vitesse est constante) par rapport à la terre.
1.2 Chronologie Elle est obtenue par les horloges classiques (oscillation d’un quartz).
1.3 Enoncé du PFD Il existe au moins un repère galiléen ou absolu noté R et au moins une chronologie, appelée
chronologie galiléenne ou absolue, tels que, pour tout système matériel (E), le torseur des actions
mécaniques extérieures appliquées à (E) soit égal au torseur dynamique de (E) dans son mouvement
par rapport à R.
E / R E EF
D → d E / R E E
A, E / R A,E EA A
RR
M
où A est un point quelconque
d E / RE / R
A, E / RA
R
D :
E EE E
A,E EA
RF
M
: Torseur des actions
mécaniques extérieures
appliquées sur E
Torseur
dynamique
La démarche de calcul du torseur des actions mécaniques extérieures appliquées sur E est la
même que celle vue lors de l’utilisation du PFS (ce sont les mêmes torseurs).
1.4 Théorèmes généraux – Traduction vectorielle du PFD
L’énoncé du PFD conduit à l’écriture de deux équations vectorielles soit :
Le théorème de la résultante dynamique : /d E R E ER R
Le théorème du moment dynamique : , / ,A E R A E EM
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2 Conseils pratiques pour la résolution de problème de dynamique 2.1 Problèmes types On distingue généralement 2 grands types de problèmes en dynamique :
On connait :
Les actionneurs
Les inerties
On cherche à déterminer
Les lois du mouvement
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 1
On connait :
Les lois du mouvement
Les inerties
On cherche à déterminer
Les caractéristiques des actionneurs
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 2
2.2 Algorithme de résolution Pour chaque application du PFD, il est important de se forcer à mettre en place les étapes suivantes du
raisonnement.
On choisit un repère galiléen
On isole le solide ou le système de solides considéré
On réalise le graphe de structure pour faire l’inventaire des données
et élaborer la stratégie de résolution
On effectue le Bilan des Actions Mécaniques Extérieures agissant sur le système isolé
On écrit le PFD
On projette les relations vectorielles sur les axes choisis
On injecte les lois de comportement (ressort, lois de coulomb, …)
On effectue la résolution
On s’assure que le
problème est isostatique
Toujours préciser l’axe de projection pour le
théorème de la résultante dynamique, et le point +
l’axe pour le théorème du moment dynamique
Récapituler les particularités de certains
torseurs d’actions mécaniques : composantes
nulles, actions connues dans certaines liaisons
(couple moteur ou forces résistantes…), actions
à distance (pesanteur,…), …
L’utilisation du PFD pour établir les équations recherchées, impose toujours des choix
précis fait à partir des particularités des actions mécaniques (de liaison notamment) pour
n’effectuer que les calculs de cinétique nécessaire. Par conséquent, il est extrêmement
important de prendre le temps et de réfléchir aux 3 premières étapes de l’algorithme.
« Se réfugier dans les calculs de manière brouillonne, inefficace et douloureuse, tout en
pestant contre ces maudits calculs est un défaut banal. Ne le cultivez pas ! » (J.C. Bône)
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3 Recherche des caractéristiques d’un actionneur à l’aide du PFD 3.1 Méthode générale Pour déterminer les caractéristiques d’un
actionneur (moteur, vérin, …) dans les problèmes
de type 2, il faut rechercher les lois d’entrée-
sortie d’actions mécaniques (autant d’équations
que de caractéristiques d’actionneur à
déterminer).
Pour cela il faut rechercher les équations
particulières qui n’introduisent pas d’inconnues
de liaison, tout en écrivant le moins
d’équations possibles. Pour cela il faut utiliser
en priorité les équations associées à des
mouvements de solides ou d’ensemble de solides.
On connait :
Les lois du mouvement
Les inerties
On cherche à déterminer
Les caractéristiques des actionneurs
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 2
Dans le cas d’un système (un solide ou un ensemble de solides) mis en mouvement de
rotation autour d’un axe par un actionneur, l’utilisation du théorème du moment dynamique
écrit en un point appartenant à l’axe de rotation projeté sur l’axe de rotation permet de
déterminer le couple moteur qui anime le système.
Dans le cas d’un système (un solide ou un ensemble de solides) mis en mouvement de
translation suivant une direction par un actionneur, l’utilisation du théorème de la résultante
dynamique projeté sur la direction de la translation permet de déterminer l’effort moteur qui
anime le système.
3.2 Applications sur le robot anthropomorphe Application 1 : Déterminer le couple moteur C1.
Pour déterminer le couple moteur C1, il faut isoler l’ensemble E = 1+2+3 et utiliser le théorème du
moment dynamique écrit au point O1 projeté sur l’axe 0z
. Ce choix permet d’obtenir une équation
scalaire où aucune inconnue de liaison n’intervient puisqu’elle correspond au 0 du torseur d’action
mécanique transmissible.
On a donc : 1 1
O , E / 0 0 0O ,E E.z M .z
avec
10O ,E E
M .z
= C.
2
1
3
1x
0y
θ
O1
O2
O3
0x
φ C
2x
3x
3y
3z
Modèle simplifié 0z
z
0
2 1 3 0
1 0 0P (O ,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre θ
Pesanteur → 1
G1 tel que 111 .2
xL
GO
Inertie 1 0(G ,z )I I
Masse m
Pivot (O1, 0z
) Pivot (O2, 0z
) Glissière ( 0z
)
Actionneur 0F.z
Actionneur 01.zC
Actionneur 012.zC
E
2 0 0P (O ,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre φ 0P (...,...,z )
... ...
... ...
...0
paramètre z
Pesanteur → 2
G2 tel que 222 .2
xL
GO
Inertie 2 0(G ,z )I I
Masse m
1 3 0 0 0 0 0 0
1 2 2 3
O O x .x y .y z .z
O O O O L
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Remarque : pour déterminer la projection d’une résultante ou d’un moment dynamique suivant une
direction, il est préférable d’utiliser une intégration par partie (u’.v = [u.v]’ – u.v’) :
c,E / 0d,E / 0 c,E / 0
00
d(R u) duR u R
dt dt
A,E / 0A, E / 0 A,E / 0
00
d( u ) duu
dt dt
seulement si A est centre de gravité ou point fixe dans R0
Dans notre cas, 1O est un point fixe dans R0. On peut donc utiliser cette méthode.
On décompose le calcul du moment cinétique en passant par les solides élémentaires :
1 1 1 1O , E / 0 O ,1/ 0 O , 2 / 0 O , 3 / 0
1O ,1/ 0 ?
Nature du mouvement de 1/0 : Rotation autour de l’axe fixe (O1, 0z ) + mais G n’appartient pas à l’axe
de rotation + inertie donnée en G1 (centre de gravité)
on calcule 1G ,1/ 0 puis
1O , 1/ 0
1 1G ,1/ 0 G 1 1/ 0 0I (S ). I. .z
1 1O , 1/ 0 G , 1/ 0 1 1 C1/ 0 0 1 C1/ 0L
O G R I. .z .x R2
avec 1C1/ 0 G 1/ 0 1
LR m.V m. . .y
2
1
2
O , 1/ 0 0L
I m. . .z4
1
1 1
2O ,1/ 0 0 0
O ,1/ 0 0 O ,1/ 0
00
d( z ) dz L.z I m. .
dt dt 4
1O ,1/ 0 0.z f (t )
1O , 2 / 0 ?
Nature du mouvement de 2/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G2 (centre de gravité)
on calcule 2G , 2 / 0 puis
1O , 2 / 0
2 2G , 2 / 0 G 2 2 / 0 0I (S ). I.( ).z
1 2O , 2 / 0 G , 2 / 0 1 2 C 2 / 0 0 1 2 C 2 / 0L
O G R I.( ).z (L.x .x ) R2
Avec 2 2 2 1C 2 / 0 G 2 / 0 G 2 /1 G 1/ 0 2 O 1/ 0
LR m.V m. V V m. . .y m. V
2 2 1 1/ 0 2 2 1
L LG O m. . .y m. . .y m.L. .y
2 2
1O , 2 / 0 0 1 2 1 2L L
I.( ).z (L.x .x ) (m.L. .y m. .( ).y )2 2
1
22 22
O , 2 / 0 0L L L
I.( ) m.L . m. .( ).cos m. . .cos m. .( ) .z2 2 4
1
2O , 2 / 0 0
5 1 1I.( ) m.L . cos . cos . .z
4 4 2
1
1 1
O ,2 / 0 0 20O , 2 / 0 0 O ,2 / 0
00
d( z ) dz 5 1 1 1.z I.( ) m.L . sin . cos . sin . cos .
dt dt 4 2 4 2
1O , 2 / 0 0.z g(t )
1O , 3 / 0 0 car inertie et masse négligées pour le solide 3
Au final l’utilisation du PFD donne : 1C f(t ) g(t ) On constate que le couple moteur dépend
des caractéristiques géométriques et inertielles (L, m, I), mais également du mouvement ( , , , , ).
1y
x
0y
x
θ
0x
x
2x
x
2y
x
φ 1x
x
210 zzz
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Application 2 : Déterminer le couple moteur C12.
Pour déterminer le couple moteur C12, il faut isoler l’ensemble E = 2+3 et utiliser le théorème du
moment dynamique écrit au point O2 projeté sur l’axe 0z . Ce choix permet d’obtenir une équation
scalaire où aucune inconnue de liaison n’intervient puisqu’elle correspond au 0 du torseur d’action
mécanique transmissible.
On a donc : 2 2
O , E / 0 0 0O ,E E.z M .z
avec
20O ,E E
M .z
= C12
Dans notre cas, 2O n’est pas un point fixe dans R0. On ne peut donc pas utiliser l’intégration par partie.
On décompose le calcul du moment dynamique en passant par les solides élémentaires :
2 2 2O , E / 0 O , 2 / 0 O , 3 / 0
2O , 2 / 0 ?
Nature du mouvement de 2/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G2 (centre de gravité) + O2
n’est pas un point fixe dans 0.
on calcule 2G , 2 / 0 puis
2G , 2 / 0 puis 2O , 2 / 0
2G , 2 / 0 0I.( ).z
2
2
G , 2 / 0G , 2 / 0 0
0
dI.( ).z
dt
2 2O , 2 / 0 G , 2 / 0 2 2 d 2 / 0 0 2 d 2 / 0L
O G R I.( ).z .x R2
Avec : 2C 2 / 0 G 2 / 0 1 2
LR m.V m.L. .y m. .( ).y
2
C 2 / 0 2 2d 2 / 0 1 1 2 2
0
dR L LR m.L. .y m.L. .x m. .( ).y m. .( ) .x
dt 2 2
2
2
2 2O , 2 / 0 0 2 1 1 2 2
2 2 22
O , 2 / 0 0
L L LI.( ).z .x (m.L. .y m.L. .x m. .( ).y m. .( ) .x )
2 2 2
L L LI.( ) m. . .cos m. . .sin m. .( ) .z
2 2 4
2O , 3 / 0 0 car inertie et masse négligées pour le solide 3
Au final l’utilisation du PFD donne : 2 2 2
212
L L LC m. . .cos m. . .sin I m. .( )
2 2 4
2
1
3
1x
0y
θ
O1
O2
O3
0x
φ C
2x
3x
3y
3z
Modèle simplifié 0z
z
0
2 1 3 0
1 0 0P (O ,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre θ
Pesanteur → 1
G1 tel que 111 .2
xL
GO
Inertie 1 0(G ,z )I I
Masse m
Pivot (O1, 0z
) Pivot (O2, 0z
) Glissière ( 0z
)
Actionneur 0F.z
Actionneur 01.zC
Actionneur 012.zC
E
2 0 0P (O ,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre φ 0P (...,...,z )
... ...
... ...
...0
paramètre z
Pesanteur → 2
G2 tel que 222 .2
xL
GO
Inertie 2 0(G ,z )I I
Masse m
1 3 0 0 0 0 0 0
1 2 2 3
O O x .x y .y z .z
O O O O L
1y
x
0y
x
θ
0x
x
2x
x
2y
x
φ 1x
x
210 zzz
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4 Recherche des caractéristiques des actions mécaniques dans une liaison à l’aide du PFD
4.1 Méthode générale La recherche des inconnues dans une liaison peut être conduite dans tous les problèmes de dynamique
(type 1 et type 2). Il suffit dans ce cas d’écrire autant d’équations que d’inconnues de liaison à
déterminer pour au final obtenir leurs expressions uniquement en fonction de données connues.
On connait :
Les actionneurs
Les inerties
On cherche à déterminer
Les lois du mouvement
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 1
On connait :
Les lois du mouvement
Les inerties
On cherche à déterminer
Les caractéristiques des actionneurs
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 2
Les calculs dans ce genre de problème sont en général très longs et fastidieux …
4.2 Applications sur le robot anthropomorphe Application 1 : Déterminer les actions de liaisons dans la liaison pivot entre 1 et 2.
Pour déterminer les inconnues de la liaison, il faut isoler l’ensemble E = 2+3 et donc obtenir 5
équations scalaires pour lier les 5 inconnues de liaisons aux données connues du problème. Ces 5
équations scalaires sont issues du théorème de la résultante dynamique projeté sur 3 axes et du
théorème du moment dynamique écrit en O2 et projeté sur les axes ix et iy .
2
1
3
1x
0y
θ
O1
O2
O3
0x
φ C
2x
3x
3y
3z
Modèle simplifié 0z
z
0
2 1 3 0
1 0 0P (O ,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre θ
Pesanteur → 1
G1 tel que 111 .2
xL
GO
Inertie 1 0(G ,z )I I
Masse m
Pivot (O1, 0z
) Pivot (O2, 0z
) Glissière ( 0z
)
Actionneur 0F.z
Actionneur 01.zC
Actionneur 012.zC
E
2 0 0P (O ,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre φ 0P (...,...,z )
... ...
... ...
...0
paramètre z
Pesanteur → 2
G2 tel que 222 .2
xL
GO
Inertie 2 0(G ,z )I I
Masse m
1 3 0 0 0 0 0 0
1 2 2 3
O O x .x y .y z .z
O O O O L
15 Cours - PFD CPGE MP
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Pour la phase de vie étudiée, le PFD donne : 2 2
2 2
d E / 0 E E
O , E / 0 O (E E )O O
RR
M
Avec :
2 0
1 2 12 2 12 2 12 2
P,12 2 P,12 2P,1 2 P (O ,z )
R X .x Y .y Z .z
L .x M .yM
actionneur 2
12 0P,actionneur 2 P
R 0
C .zM
2 0 22 2
2 0 2 0pesanteur 2 2 02 0
2 2 02 2 2 0P,pesanteur 2 P (G ,z ) OO O
m .g.z m .g.zR m .g.zm .g.zL
.x m .g.zO G m .g.z0M2
2 2
Lm .g. .y
2
Et selon partie précédente :
2 2d 2 / 0 1 1 2 2
2 2d 2 / 0 2
22
L LR m.L. .y m.L. .x m. .( ).y m. .( ) .x
2 2
LR m.L. .sin m.L. .cos m. .( ) .x
2
Lm.L. .cos m.L. .sin m. .( ) .y
2
2
2 2 22
O , 2 / 0 0L L L
m. . .cos m. . .sin I m. .( ) z2 2 4
D’où :
2 212
212
12 2
12
12 2
LX m.L. .sin m.L. .cos m. .( )
2
LY m.L. .cos m.L. sin m. .( )
2
Z m .g
L 0
LM m .g.
2
1y
x
0y
x
θ
0x
x
2x
x
2y
x
φ 1x
x
210 zzz
15 Cours - PFD CPGE MP
18/01/2014 Page 10 sur 19
5 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine ouverte à l’aide du PFD
5.1 Méthode générale Pour déterminer les lois du mouvement dans un
problème de type 1, il faut dans un premier
temps, identifier la nature de la chaine
cinématique (ouverte ou fermée) car les
méthodes de calcul différent en fonction de ce
critère.
Pour déterminer les lois du mouvement à
l’aide du PFD dans une chaine ouverte, il faut
rechercher autant d’équations scalaires (dans
laquelle il n’y a pas d’inconnue de liaison) que
de paramètres cinématiques inconnus.
On connait :
Les actionneurs
Les inerties
On cherche à déterminer
Les lois du mouvement
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 1
On connait :
Les lois du mouvement
Les inerties
On cherche à déterminer
Les caractéristiques des actionneurs
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 2 (cours 17)
Pour un solide (ou un ensemble de solides) en liaison pivot (parfaite) par rapport à un autre
solide, l’équation du moment dynamique suivant l’axe de rotation permet d’exprimer la
dérivée seconde du paramètre de position angulaire en fonction du couple appliqué (couple
connu).
Pour un solide (ou un ensemble de solides) en liaison glissière (parfaite) par rapport à un
autre solide, l’équation du théorème de la résultante dynamique suivant la direction de la
translation permet d’exprimer la dérivée seconde du paramètre de position linéaire en
fonction de l’effort appliqué (effort connu).
5.2 Application sur le gyroscope d’horizon artificiel
ψ
0z
=1z
1y
0y
1x
1z
1y
2z
2y
1x
= 2x
0x
φ
2z
=3z
3y
2y
3x
2x
2 1 3 0
Pivot (G, 0z
) Pivot(G, 1x
) Pivot(G, 2z
)
Actionneur 223.zC
Pesanteur → 3
G
G (b2 )
A 0 0
I (3 ) 0 A 0
0 0 C
Masse m
Grâce à un moteur électrique qui délivre un
couple C23, le rotor tourne à une vitesse
constante de 20 000 tr/min
Modèle
1 1P (G,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre ψ
2 2P (G,x ) (...,...,x )
... 0
... ...
... ...
paramètre θ 3 3P (G,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre φ
15 Cours - PFD CPGE MP
18/01/2014 Page 11 sur 19
Le modèle possède 3 paramètres cinématiques : ψ, θ et φ. Il existe une condition liée à la loi horaire :
cte → il y a donc 2 degrés de liberté de mouvement en ψ et θ et il faut rechercher 2 équations
scalaires à l’aide du PFD liées à ces 2 degrés de liberté de mouvement, ne faisant pas intervenir les
inconnues de liaisons.
1er
isolement
On isole E1 = 2+3 et on utilise le théorème du moment dynamique écrit en G et projeté sur 2x .
On a donc : G, E1/ 0 2 2G,E1 E1.x M .x
avec
G,E1 E1M 0
(car la pesanteur ne crée pas de moment en G)
Dans notre cas, G est le centre de gravité. On peut donc utiliser l’intégration par partie :
G,E1/ 0 2 2G, E1/ 0 2 G,E1/ 0
00
d( x ) dx.x
dt dt
On décompose le calcul du moment cinétique en passant par les solides élémentaires :
G, E1/ 0 G,2 / 0 G,3 / 0
G,2 / 0 0 car inertie et masse négligées pour le solide 2
G,3 / 0 ?
Nature du mouvement de 3/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G (centre de gravité)
G, 3 / 0 G 3 / 0 G 1 1 2 2 2 2
G (b2 )
A 0 0
I (3 ). I (3 ) ( .z .x .z ) 0 A 0 .( .sin .y .x ( .cos ).z )
0 0 C
G, 3 / 0 2 2 2A. .x A. .sin .y C.( .cos ).z
2 11/ 0 1 1
0 0
dx dxx .y
dt dt
G, E1/ 0 2 2 2 2 1
22 1 2 1
2
.x A. ( A. .x A. .sin .y C.( .cos ).z ) .y
A. ( A. .sin .y .y C. ( .cos ).z .y )
A. ( A. .sin .cos C. ( .cos ).sin )
2A. A. .sin .cos C. ( .cos ).sin 0 (1)
2 1 3 0
Pivot (G, 0z
) Pivot(G,1x
) Pivot(G,2z
)
Actionneur 223.zC
Pesanteur → 3
G
G (b2 )
A 0 0
I (3 ) 0 A 0
0 0 C
Masse m
1 1P (G,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre ψ
2 2P (G,x ) (...,...,x )
... 0
... ...
... ...
paramètre θ 3 3P (G,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre φ
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18/01/2014 Page 12 sur 19
2ème
isolement
On isole E2 = 1+2+3 et on utilise le théorème du moment dynamique écrit en G et projeté sur 1z .
On a donc : G, E2 / 0 1 1G,E2 E2.z M .z
avec
G,E1 E1M 0
(car la pesanteur ne crée pas de moment en G)
Dans notre cas, G est le centre de gravité. On peut donc utiliser l’intégration par partie :
G,E2 / 0 1 1G, E2 / 0 1 G,E2 / 0
00
d( z ) dz.z
dt dt
On décompose le calcul du moment cinétique en passant par les solides élémentaires :
G, E2 / 0 G,1/ 0 G,2 / 0 G,3 / 0
G,1/ 0 G,2 / 0 0 car inertie et masse négligées pour les solides 1 et 2
G, 3 / 0 2 2 2A. .x A. .sin .y C.( .cos ).z (voir partie précédente)
2
2 1 2 1G, E2 / 0 1
00
d A. .sin C.( .cos ).cosd A. .sin .y .z C.( .cos ).z .z.z
dt dt
2A. .sin C.( .cos ).cos cte (2)
Ainsi, les équations (1) et (2) correspondent aux lois du mouvement du système.
2A. A. .sin .cos C. ( .cos ).sin 0 (1)
2A. .sin C.( .cos ).cos cte (2)
2 1 3 0
Pivot (G, 0z
) Pivot(G,1x
) Pivot(G,2z
)
Actionneur 223.zC
Pesanteur → 3
G
G (b2 )
A 0 0
I (3 ) 0 A 0
0 0 C
Masse m
1 1P (G,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre ψ
2 2P (G,x ) (...,...,x )
... 0
... ...
... ...
paramètre θ 3 3P (G,z ) (...,...,z )
... ...
... ...
... 0
paramètre φ
15 Cours - PFD CPGE MP
18/01/2014 Page 13 sur 19
6 Recherche des lois du mouvement dans le cas d’une chaine fermée à l’aide du PFD
6.1 Méthode générale
Pour déterminer les lois du mouvement dans un
problème de type 1, il faut dans un premier temps,
identifier la nature de la chaine cinématique
(ouverte ou fermée) car les méthodes de calcul
différent en fonction de ce critère.
Pour déterminer les lois du mouvement à l’aide du PFD dans une chaine fermée, il faut « ouvrir
fictivement la chaine » en « supprimant » une liaison de la chaine fermée (on choisit en général la
liaison qui possède le plus de degré de liberté et donc le moins d’inconnues de liaisons). Il faut
ensuite écrire N équations scalaires dans laquelle il n’y a pas d’inconnues de liaison
supplémentaires. N correspond au nombre de paramètres cinématiques inconnus ajouté au
nombre d’inconnues de liaison de la liaison coupée pour ouvrir la chaine.
6.2 Application sur le vibreur d’olivier Le repère 0 correspond au sol, on associe le repère galiléen R0 à 0 dont l’axe (O0, 0z
) est
vertical ascendant.
Le solide 1 correspond au tracteur porteur. On considère que dans la phase de vie étudiée le
tracteur est en liaison glissière de direction 0y
par rapport au sol 0, et un système ressort +
amortisseur visqueux modélise le comportement des pneus (ressort de raideur k1 et
amortissement visqueux de coefficient b1). Le paramètre du mouvement est Y tel que
110 .yYOO
.
Le solide 2 correspond au bras en liaison pivot d’axe (O2, 2y
) par rapport au solide 1. Le
paramètre du mouvement est θ tel que ),( 21 xx
. On définit 1121 .xlOO
.
Le solide 3 correspond à la pince liée en liaison glissière de direction 2x
avec le solide 2. Le
paramètre du mouvement est X tel que 232 .xXGO
. On définit 2333 .xlOG
avec l3 = cte.
Le solide 4 correspond à un rotor qui porte un excentrique (balourd) qui génère les vibrations.
Ce solide 4 est en liaison pivot d’axe (O4, 3z
) par rapport au solide 3. Le paramètre du
mouvement est ϕ tel que ),( 43 yy
. On définit 243 .ydOO
et 444 .yeGO
.
Le solide 5 correspond à l’arbre vibré. Lors de la phase de vie étudiée, on considère que l’arbre
est en liaison pivot d’axe (O*, 0x
) par rapport au sol 0 et un système ressort + amortisseur
visqueux modélise le comportement de l’ensemble tronc+racines (ressort de raideur k* et
amortissement visqueux de coefficient b*). Le paramètre du mouvement est β tel que
),( 50 zz
. Enfin on considère que la liaison pince 3 tronc d’arbre 5 est modélisée par une
liaison sphérique de centre O3. On définit 00
*
0 .xdOO
et 555
* .zlOO
.
On connait :
Les actionneurs
Les inerties
On cherche à déterminer
Les lois du mouvement
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 1
On connait :
Les lois du mouvement
Les inerties
On cherche à déterminer
Les caractéristiques des actionneurs
Les actions mécaniques des liaisons
Problème de type 2 (cours 17)
15 Cours - PFD CPGE MP
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Hypothèses :
Les liaisons sont toutes supposées parfaites sauf la liaison sphérique entre 5 et 3 où l’on admet
une loi de comportement donnée par le torseur
)2(53
53
53
35
sin..
0
cos..
3 bOZ
Y
X
F
.
L’action mécanique exercée par le ressort et l’amortisseur entre 0 et 1, est modélisée par une
force 01110 )...( yYbYkF .
L’action mécanique exercée par le ressort et l’amortisseur entre 0 et 5 est modélisée par un
couple 0
**
50 )...( xbkC .
Le rotor est entrainé par un moteur hydraulique qui exerce un couple 443 .zCC m
et qui
assure une vitesse de rotation uniforme cte .
On néglige l’action mécanique de la pesanteur par rapport aux autres actions mécaniques mises en jeu.
Données massiques :
S1 : Solide de masse m1 et de centre de gravité O1.
S2 : Solide de masse m2 et de centre de gravité O2. 2
2
O 2 2
2O2 (b2 )
A 0 0
I (S ) 0 B 0
0 0 C
S3 : Solide de masse m3 et de centre de gravité G3. 3
3
G 3 3
3G3 (b2 )
A 0 0
I (S ) 0 B 0
0 0 C
S4 : Solide de masse m4 et de centre de gravité G4. 4
4
G 4 4
4G4 (b4 )
A 0 0
I (S ) 0 B 0
0 0 C
S5 : Solide de masse m5 et de centre de gravité O5. 5
O* 5 5
5O* (b5 )
A 0 0
I (S ) 0 B 0
0 0 C
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Réel Modèle
50 xx
0
1
O1 4y
0 2 3
4
5 32 yy
43 zz
1x
21 yy
10 yy
10 zz
32 xx
5z
O0 O2 O4
O3 = O5
O*
G3
G4
1
0
2
3 4
5
Gl 1y
P(O2, 1y
)
Gl 2x
P(O4, 4z
)
Sphérique non parfaite en
O3
)2(53
53
53
35
sin..
0
cos..
3 bOZ
Y
X
F
P(O*, 0x
)
01110 )...( yYbYkF
0
**
50 )...( xbkC
443 .zCC m
1...
...
...
...
0
...
0 bO
paramètre Y 1...
0
...
...
...
...
2 bO
paramètre θ
2...
...
...
...
...
0
2 bO
paramètre X
40
...
...
...
...
...
4 bO
paramètre ϕ (loi horaire) 0*
...
...
0
...
...
...
bO
paramètre β
Le système est une chaine cinématique fermée avec 5 paramètres de mouvement : Y, θ, X, ϕ et β.
On « ouvre fictivement » la chaine cinématique :
1
0
2
3 4
5
Gl 1y
P(O2, 1y
)
Gl 2x
P(O4, 4z
)
On coupe la liaison avec le moins
d’inconnues de liaisons (X53, Y53 et Z53 ici)
P(O*, 0x
)
01110 )...( yYbYkF
0
**
50 )...( xbkC
443 .zCC m
1...
...
...
...
0
...
0 bO
paramètre Y 1...
0
...
...
...
...
2 bO
paramètre θ
2...
...
...
...
...
0
2 bO
paramètre X
40
...
...
...
...
...
4 bO
paramètre ϕ (loi horaire)
0*...
...
0
...
...
...
bO
paramètre β
On injecte par conséquent 3 inconnues de liaisons supplémentaires dans le système d’équation qui
permettra d’obtenir les lois du mouvement → Soit un total de 8 équations à trouver.
15 Cours - PFD CPGE MP
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La fermeture géométrique de la boucle permet de lier certain de ces paramètres et d’obtenir les
premières équations : * *0 5 0 1 1 2 2 3 3 5O O O O O O O O O G G O
0 0 5 5 1 1 1 2 3 2d .x l .z Y.y l .x X.x l .x
En projection dans la base 0 :
0 1 3
5
5 3
d l ( X l ).cos
l .sin Y
l .cos ( X l ).sin
θ 10 zz
0123 yyyy
432 zzz
10 xx
23 xx
β
0z
0y
5z
50 xx
5y
Hypothèse : on suppose les paramètres θ et β petits → 0 1 3
5
5 3
d l ( X l )
l . Y
l ( X l ).
Soit : 5Y l . (1)
0 1 3X d l l cte (2)
5
3
lcte
X l
(3)
De plus une loi horaire est imposée sur le paramètre ϕ : ϕ = Ω.t avec Ω=cte (4)
Soit 4 équations sur 8. Il y a donc au final un seul degré de liberté en mouvement β (car X, et ϕ sont
constante, et Y=f( ). L’équation du mouvement est donc une équation en fonction de β et des ses
dérivées. Pour trouver cette équation, il reste 4 équations à écrire à l’aide du PFD en allant
« chercher les 0 » des liaisons :
1
0
2
3 4
5
G(O0, 1y
)
P(O2, 1y
)
G(O2, 2x
)
P(O4, 4z
)
P(O*, 0x
)
01110 )...( yYbYkF
0
**
50 )...( xbkC
443 .zCC m
1...
...
...
...
0
...
0 bO
paramètre Y 1...
0
...
...
...
...
2 bO
paramètre θ
2...
...
...
...
...
0
2 bO
paramètre X
40
...
...
...
...
...
4 bO
paramètre ϕ (loi horaire) 0*
...
...
0
...
...
...
bO
paramètre β
)2(53
53
53
35
sin..
0
cos..
3 bOZ
Y
X
F
On isole 3+4 et on utilise le théorème de la
résultante dynamique projeté sur 2x .
→ d, 3 4 / 0 2 ext 3 4 2R .x F .x
1
0
2
3 4
5
G(O0, 1y
)
P(O2, 1y
)
G(O2, 2x
)
P(O4, 4z
)
P(O*, 0x
)
01110 )...( yYbYkF
0
**
50 )...( xbkC
443 .zCC m
1...
...
...
...
0
...
0 bO
paramètre Y 1...
0
...
...
...
...
2 bO
paramètre θ
2...
...
...
...
...
0
2 bO
paramètre X
40
...
...
...
...
...
4 bO
paramètre ϕ (loi horaire) 0*
...
...
0
...
...
...
bO
paramètre β
)2(53
53
53
35
sin..
0
cos..
3 bOZ
Y
X
F
On isole 2+3+4 et on utilise le théorème du
moment dynamique en O2 projeté sur 2y .
→ 2 2O , 2 3 4 / 0 2 O ,ext 2 3 4 2.y M .y
1
0
2
3 4
5
G(O0, 1y
)
P(O2, 1y
)
G(O2, 2x
)
P(O4, 4z
)
P(O*, 0x
)
01110 )...( yYbYkF
0
**
50 )...( xbkC
443 .zCC m
1...
...
...
...
0
...
0 bO
paramètre Y 1...
0
...
...
...
...
2 bO
paramètre θ
2...
...
...
...
...
0
2 bO
paramètre X
40
...
...
...
...
...
4 bO
paramètre ϕ (loi horaire) 0*
...
...
0
...
...
...
bO
paramètre β
)2(53
53
53
35
sin..
0
cos..
3 bOZ
Y
X
F
On isole 1+2+3+4 et on utilise le théorème de la
résultante dynamique projeté sur 1y .
→ d,1 2 3 4 / 0 1 ext 1 2 3 4 1R .y F .y
1
0
2
3 4
5
G(O0, 1y
)
P(O2, 1y
)
G(O2, 2x
)
P(O4, 4z
)
P(O*, 0x
)
01110 )...( yYbYkF
0
**
50 )...( xbkC
443 .zCC m
1...
...
...
...
0
...
0 bO
paramètre Y 1...
0
...
...
...
...
2 bO
paramètre θ
2...
...
...
...
...
0
2 bO
paramètre X
40
...
...
...
...
...
4 bO
paramètre ϕ (loi horaire) 0*
...
...
0
...
...
...
bO
paramètre β
)2(53
53
53
35
sin..
0
cos..
3 bOZ
Y
X
F
On isole 5 et on utilise le théorème du moment
dynamique en O* projeté sur 0x .
→ O*, 5 / 0 0 O*,ext 5 0.x M .x
15 Cours - PFD CPGE MP
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1. Calcul de d, 3 4 / 0 2 ext 3 4 2R .x F .x :
C, 3 4 / 0 C, 3 / 0 C,4 / 0R R R
3C, 3 / 0 3 G 3 / 0 3 1R m .V m .Y.y
4C, 4 / 0 4 G 4 / 0R m .V où 4
0 4 4 4 4G 4 / 0 1 1 4
00
d(O O O G ) dyV Y.y e. Y.y e. .x
dt dt
C, 3 4 / 0 3 4 1 4 4R (m m ).Y.y m .e. .x
Rappel : 0 car cte (voir équation 3)
C, 3 4 / 0 2 C, 3 4 / 0 2 22 4 4 2 4d, 3 4 / 0 2 C, 3 4 / 0 4
00 00 0
d(R .x ) d(R .x )dx d( m .e. .x .x ) d( m .e. .cos )R .x R . m .e. .sin
dt dt dt dt dt
→ ext 3 4 2 53F .x X → 24 53m .e. .sin X (5)
2. Calcul de 2 2O , 2 3 4 / 0 2 O ,ext 2 3 4 2.y M .y :
2O n’est pas un point fixe dans R0. On ne peut donc pas utiliser l’intégration par partie.
2 2O , 2 3 4 / 0 2 O , 4 / 0 2.y .y car 2/0 et 3/0 mouvements de translation suivant 2y
2O , 4 / 0 ?
Nature du mouvement de 4/0 : Mouvement quelconque + inertie donnée en G4 (centre de gravité) + O2
n’est pas un point fixe dans 0.
on calcule 4G , 4 / 0 puis
4G , 4 / 0 puis 2O , 4 / 0
4 4
4
G , 4 / 0 G 4 4 / 0 4 4 4 4
4 (b4 )
A 0 0
I (S ). 0 B 0 . .z C . .z
0 0 C
4
4
G , 4 / 0G , 4 / 0 4 4
0
dC . .z
dt
2 4O , 4 / 0 G , 4 / 0 2 4 d, 4 / 0O G R
2
2O , 4 / 0 4 4 3 2 2 4 4 1 4 4C . .z (( X l ).x d.y e.y ) (m .Y.y m .e. .y )
2
2 2O , 4 / 0 4 4 4 3 2 4 3 3 4 3 4 3C . .z m .Y.( X l ).z m .e. .( X l ).cos .z m .d.e. .sin .z m .Y.e.sin .z
Or 2 3 4z z z d’où 2O , 4 / 0 2.y 0
2 2 2O ,ext 2 3 4 2 O ,5 3 2 O ,1 2 2M .y M .y M .y
3
53
5 3 53
53O (b2 )
X . .cos
F Y 0
Z . .sin
→
2 3
2
2
O ,5 3 2 O ,5 3 2 3 53 2 53 2 53 2 2
O ,5 3 2 3 2 53 2 53 2 53 2 2
O ,5 3 2 3 53
M .y M O O ( X .x Y .y Z .z ) .y
M .y ( X l ).x ( X .x Y .y Z .z ) .y
M .y ( X l ).Z
→ 2 2O , 2 3 4 / 0 2 O ,ext 2 3 4 2.y M .y → 3 53( X l ).Z 0 → 53Z 0 (6)
ϕ
23 xx
0123 yyyy
432 zzz
4x
4y
15 Cours - PFD CPGE MP
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3. Calcul de d,1 2 3 4 / 0 1 ext 1 2 3 4 1R .y F .y :
C,1 2 3 4 / 0 1 2 3 4 1 4 4R (m m m m ).Y.y m .e. .x
C,1 2 3 4 / 0 1 C,1 2 3 4 / 0 11d,1 2 3 4 / 0 1 C,1 2 3 4 / 0
00 0
1 2 3d,1 2 3 4 / 0 1
d(R .y ) d(R .y )dyR .y R .
dt dt dt
d((m m mR .y
4 4 4 1 4
1 2 3 400
2d,1 2 3 4 / 0 1 1 2 3 4 4
m ).Y m .e. .x .y ) d(m .e. .sin )(m m m m ).Y
dt dt
R .y (m m m m ).Y m .e. .cos
ext 1 2 3 4 1 1 1 53F .y k .Y b .Y Y
→ d,1 2 3 4 / 0 1 ext 1 2 3 4 1R .y F .y → 21 2 3 4 4 1 1 53(m m m m ).Y m .e. .cos k .Y b .Y Y (7)
4. Calcul de: O*, 5 / 0 0 O*,ext 5 0.x M .x :
O * est un point fixe dans R0. On peut donc utiliser l’intégration par partie :
O*, 5 / 0 0 O*, 5 / 0 00O*, 5 / 0 0 O*, 5 / 0
00 0
d( .x ) d( .x )dx.x .
dt dt dt
5
O*, 5 / 0 O* 5 5 / 0 5 5 5 5
5O* (b5 )
A 0 0
I (S ). 0 B 0 . .x A . .x
0 0 C
O*, 5 / 0 0 5.x A .
* *
O*,ext 5 0 O*,3 5 0M .x k . b . M .x
3
53
5 3 53
53O (b2 )
X . .cos
F Y 0
Z . .sin
→
3
*O*,3 5 0 O ,5 3 3 53 2 53 2 53 2 0
O*,3 5 0 5 5 53 2 53 2 0 53
O*,3 5 0 5 5 5
M .x M O O ( X .x Y .y Z .z ) .x
M .x . l .z ( X .x Y .y ) .x car Z 0
M .x . l .z ( X
3 0 53 0 53 0 0
O*,3 5 0 5 53 5 53
.cos .x X .sin .z Y .y ) .x
M .x . l .X .sin .sin l .Y .cos
→ O*, 5 / 0 0 O*,ext 5 0.x M .x → * *5 5 53 5 53A . k . b . . l .X .sin .sin l .Y .cos
En linéarisant : * *5 5 53 5 53A . k . b . . l .X . . l .Y (8)
15 Cours - PFD CPGE MP
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5. Au final :
En reprenant l’équation (7) : 21 2 3 4 4 1 1 53(m m m m ).Y m .e. .cos k .Y b .Y Y
En y intégrant l’équation (1) : 5Y l . → 5Y l . → 5Y l .
On obtient : 21 2 3 4 5 4 1 5 1 5 53(m m m m ).l . m .e. .cos k .l . b .l . Y
En y intégrant l’équation (8) : * *5 5 53 5 53A . k . b . . l .X . . l .Y
On obtient : 2 * *1 2 3 4 5 4 1 5 1 5 5 5 53
5
1(m m m m ).l . m .e. .cos k .l . b .l . .(A . k . b . . l .X . . )
l
2 2 2 2 * *1 2 3 4 5 4 5 1 5 1 5 5 5 53(m m m m ).l . m .l .e. .cos k .l . b .l . A . k . b . . l .X . .
En y intégrant l’équation (5) : 24 53m .e. .sin X
et l’équation (3) : 5
3
l
X l
On obtient :
2 2 2 2 * * 2 51 2 3 4 5 4 5 1 5 1 5 5 5 4
3
l(m m m m ).l . m .l .e. .cos k .l . b .l . A . k . b . . l .m .e. .sin . .
X l
En y intégrant l’équation (2) : 0 1 3X d l l
et l’équation (4) : t
On obtient :
2 2 2 2 * * 2 51 2 3 4 5 4 5 1 5 1 5 5 5 4
0 1
l(m m m m ).l . m .l .e. .cos( .t ) k .l . b .l . A . k . b . . l .m .e. .sin( .t ). .
d l
Soit la loi du mouvement : 2
2 * 2 * 2 2 255 1 2 3 4 5 1 5 1 5 4 4 5
0 1
lA (m m m m ).l . b b .l . k k .l m .e. .sin( .t ). . m .l .e. .cos( .t )
d l
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