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Aula 1 | TATIANA MIRANDA DE SOUZA NAYTON CLAUDINEI VICENTINI ANA CAROLINA DOS SANTOS LUCENA LÉO RODRIGUES MACENA DOS SANTOS WANESSA AFONSO DE ANDRADE FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
PET FÍSICA POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
2017
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AGRADECIMENTOS
Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da
Educação e do Programa de Educação Tutorial – PET, do MEC - Ministério da
Educação – Brasil.
POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
2017
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DOS AUTORES
Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria,
realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial – Física/UFRRJ, e não
tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos.
O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os
devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes.
Uma boa leitura!
POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
2017
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SUMÁRIO
1. Potências de base 10............................................................................................ 05
2. Escrevendo um número em Notação Científica e Regras de
Arredondamento................................................................................................. 06
3. Ordem de grandeza (OG)................................................................................... 08
4. Operações importantes envolvendo notação científica.................................... 08
4.1 Adição e Subtração....................................................................................... 06
4.2 Potenciação.................................................................................................... 08
4.3 Obtendo a raiz de uma notação científica.................................................. 09
4.4 Comparação entre algarismos em notação científica................................ 09
5. Exercícios de fixação........................................................................................... 10
6. Referências........................................................................................................... 11
7. Respostas dos exercícios de fixação................................................................... 11
POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
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1. Potências de base 10
Dentro dos vários campos da Física os estudos se deparam com corpos ou
quantidades que são muito grandes ou muito pequenas, quando comparadas as
quantidades usuais.
Esse tipo de representação, em muitos casos, dificulta a operação matemática ou
mesmo o entendimento real da quantidade medida. Uma forma de representar essas
quantidades é pela utilização de fatores multiplicativos que permitem a escrita num
formato mais “amigável”, e que facilitam a realização de operações matemáticas,
denominada notação científica.
Para podermos escrever os números em formato de notação científica,
precisamos compreender o que são as chamadas potências de base 10, pois são elas que
fornecerão o formato mais simplificado para os algarismos que estaremos reescrevendo.
A potência é um produto de números (fatores) iguais, resultante de uma
operação matemática que denominada potenciação, onde (LEZZI et al, 2005):
(1)
sendo a o número que se repete e n indica o número de vezes que multiplicamos a por
ele mesmo.
No caso da potência estar colocada no divisor de uma operação matemática, é
possível também representar o resultado dessa operação utilizando a base 10. Para isso
precisamos lembrar apenas que existe uma regra básica quando realizamos o produto ou
a divisão entre bases iguais, onde no produto devemos repetir a base e somar os
expoentes e no caso da divisão devemos repetir a base e subtrair os expoentes.
(2)
Exemplos 2:
1010 = 100
Exemplo 1: Velocidade média de um carro dentro de uma cidade 6,0 m/s
Velocidade aproximada da luz no vácuo 300000000 m/s
Tamanho médio de uma pessoa adulta 1,70 m
Tamanho médio de uma célula 0,000030 m
POTÊNCIA DE BASE 10, REGRAS DE ARREDONDAMENTO E NOTAÇÃO CIENTÍFICA
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(3)
Se considerarmos essas relações, vamos considerar que exista uma certa base
como divisor de 1
, nessa condição teremos que a representação será da forma a-n
visto que:
(4)
As bases 10 e seus respectivos expoentes fornecem, além da facilitação nas
operações matemáticas, representar as quantidades pelo uso de prefixos que indicam por
qual fator o número é multiplicado e alguns deles podem são mostrados na tabela 1.
Tabela 1: Algumas representações de base 10 e o prefixo equivalente (INMETRO, 2012).
Nome Símbolo Fator de multiplicação
Giga G
Mega
Quilo k
Centi c
Mili m
Micro
Nano
Pico
2. Escrevendo um número em Notação Científica e Regras de Arredondamento
Para escrevermos um número em notação científica utilizamos o seguinte
formato (RAMALHO JUNIOR et al, 2009):
(5)
onde a é um número real maior ou igual a 1 e menor que 10, com apenas uma casa
decimal, e n é um número inteiro qualquer.
Exemplos 3:
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No entanto, é fácil perceber que podemos ter problemas em escrever esses
números, pois no caso de certos algarismos será necessária a realização de alguma
aproximação para sua total adequação ao formato desejado da notação científica.
Para isso precisamos levar em conta a regra de aproximação e arredondamento
vigente em nosso país, descrita pela norma ABNT NBR 5891, onde (CC, 2015):
1. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser
conservado for inferior a 5, o último algarismo a ser conservado permanecerá
sem modificação;
2. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser
conservado for superior a 5, o último algarismo a ser conservado deverá ser
aumentado de uma unidade;
3. Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo a ser
conservado for 5, temos as seguintes situações:
Se o número a ser conservado for ímpar ele deverá ser aumentado de
uma unidade;
Se o número a ser conservado for par temos que se após o 5 não houver
número ou ele for seguido de zeros o algarismo a ser conservado
permanecerá sem modificação;
Se o número a ser conservado for par temos que se após o 5 qualquer
número diferente de zero o algarismo a ser conservado deverá ser
aumentado de uma unidade;
Uma vez que já sabemos os princípios básicos de arredondamento, para
escrevemos um número real em notação científica é necessário transformá-lo no
produto expresso pela equação (5). Isso será realizado a partir do deslocamento da
vírgula, que indica o número de casas decimais, para a direita ou para esquerda.
O expoente da base 10 terá o número de posições deslocadas pela vírgula e será
positiva e este será positivo caso o deslocamento seja feito para esquerda e negativo
caso ela tenha sido deslocada para a direita.
Exemplo 4: Como ficará, , escrito na forma de notação científica?
O número 1973, que representará o , deve ser colocado de tal forma que a
condição para notação científica seja satisfeita, isto é: 1 . No caso
apresentado, será é necessário deslocarmos a vírgula três posições para a esquerda,
deixando o valor na condição desejada e fornecendo o expoente multiplicativo .
Assim, teremos:
No entanto o número 1,973 não está no formato adequado, pois ele possui mais de
uma casa decimal, assim será necessária uma aproximação com base nas regras já
estabelecidas. Como o número a ser mantido é nove e o algarismo imediatamente
a ele é maior que cinco então ele será alterado. Logo
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3. Ordem de grandeza (OG)
Determinar a ordem de grandeza de uma medida consiste em fornecer, como
resultado, a potência de 10 mais próxima do valor encontrado para a grandeza. Para isso
é necessário comparar o valor de a com , tal que temos a seguinte regra
(RAMALHO JÚNIOR, 2009):
1. Se em um número em notação cientifica a for maior ou igual a , então OG será a base 10
n+1;
2. Se em um número em notação cientifica a for menor a , então
OG será a base 10n.
4. Operações importantes envolvendo notação científica
As operações matemáticas envolvendo notação científica envolvem um pequeno
número de regras básicas, necessárias, para apresentação correta do resultado.
Apresentaremos a seguir os procedimentos para a operação algébrica envolvendo esse
tipo de notação.
4.1 Adição e Subtração
Para somar ou subtrair números em notação científica é necessário que todos
eles estejam multiplicando bases com mesmo expoente, caso isso não ocorra é
necessário à conversão desses valores:
4.2 Potenciação
Para elevarmos um número em notação científica a um expoente k, devemos
elevar a ao expoente k e multiplicar o expoente da base por .
(6)
Exemplo 5:
X = 1,2102 +3,729103+9,4610-2 X = 1,2102 +37,29102+0,000946102
X = 38,49946 102 X = 3,849946 103 X 3,8 103
X = 4,25103 – 2,5102
X = 42,5102 – 2,5102
X = 40,0 102 X = 4,00 103 X 4,0 103
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4.3 Obtendo a raiz de uma notação científica
Para obtermos a raiz de um número em notação científica é necessário que a
ordem de grandeza seja divisível pelo índice da raiz:
(7)
onde o módulo de n/k deve ser um número inteiro e maior que um.
4.4 Comparação entre algarismos em notação científica
Duas importantes relações que o leitor deve ter em mente é que:
1. Independentemente do valor de a, o número que possuir a maior ordem
de grandeza será o número maior entre eles;
2. Quando dois números possuem a mesma ordem de grandeza o maior
será o que possuir o maior valor de a.
Exemplo 6:
X =
X =
X = 103/3
X = 0,5428....101 X= 5,428... 100
X 5,4 100
X =
X =
X = 108/4
X = 0,72742...102
X= 7,274... 101
X 7,3 101
Exemplo 7: 9,9102 < 1,3103
2,7103 > 1,3103
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5. Exercícios de fixação
1. Dados os números e , qual deles é o maior ?
2. Coloque os valores , e , ordem crescente.
3. Efetue as operações indicadas:
a) b)
c)
d)
e)
f) –
g)
h) i) i)
j)
k)
l) –
4. Antes de realizar as operações matemáticas utilizando números expressos em
potências de 10, cujos expoentes são diferentes, o que deve ser observado e feito?
5. A luz proveniente do Sol demora, aproximadamente, 8 minutos para chegar à Terra.
A ordem de grandeza da distância entre esses dois astros celestes, em km, é:
Dado: Velocidade da luz no vácuo = km/s
6. A nossa galáxia, a Via Láctea, contém cerca de 400 bilhões de estrelas. Suponha
que 0,05% dessas estrelas possuam um sistema planetário onde exista um planeta
semelhante à Terra, qual seria a ordem de grandeza de planetas semelhantes à Terra
em toda Via Láctea?
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6. Referências
CC. Regras de arredondamento na Numeração Decimal - Norma ABNT NBR 5891.
Disponível em: http://goo.gl/lcFleQ, Acesso em 15 dez. 2015.
INMETRO. Resolução nº 12, de 12 de outubro de 1988. Disponível em:
http://goo.gl/RWttO. Acesso em: 18 de out. 2012.
LEZZI, G.; DOLCE, O.; MACHADO, A. Matemática e realidade: 5ª série/ensino
fundamental. 5ª edição. São Paulo: Atual, 2005.
RAMALHO JUNIOR, F.; FERRARO, N. G.; SOARES, P. A. T. Os Fundamentos da
Física: Mecânica & hidrostática. v.1, 10 ed, São Paulo: Moderna, 2009.
7. Respostas dos exercícios de fixação
1. 9×10-6
2. 7×10-7
, 3×10-5
, 1×10-2
3. a) 104 b) 8×10
-8 c) 10
6 d) 10
26 e) 8,1×10
-4 f) -1,7×10
7 g) 4×10
-10 h)4×10
-3
i) 4×10-7
j) 106 k) 1,32×10
5 l)7,17×10
8
4. Observar se os números estão na mesma potência de 10. Caso não esteja, expressar
os números na mesma potência de 10.
5.
6.
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