Podobnost trajektorií

Podobnost trajektorií

Jiří Jakl17.11.2006

Úvod - využití

• Rozpoznáváni ručně psaných textů

• GPS navigace

• Analýza pohybu pracovníku v budovách

• Predikce polohy

• Tréninkové programy sportovců

• …

Trajektorie

Analyticky:• Def.: Obraz spojitého zobrazení λC uzavřeného intervalu I=[t1,tn] do Rn, kde

[t1,tn] vyjadřuje čas.

• Def.: Délku křivky lze obecně vyjádřit mnoha způsoby (nebudeme se zabývat supremem přes aproximace lomenou čárou).

Kartézská soust. souřadnic Vektorová funkce Polární soust. souřadnic

Pro trajektorii v 2D, parametrizované časem,tedy dostaneme:

Integrál jedničky přes křivku.

Trajektorie – pokrač.

Diskrétně:• Def.: Diskrétní zobrazení λD z množiny {t1, .., tn} do Rn, kde t1, .., tn vyjadřují čas.

• Fakt: Trajektorie je orientovaná křivka, ale diskrétní trajektorie je n-rozměrný vektor.

• Def.: Lineární aproximace po částech je zobrazení λPC uzavřeného intervalu I=[t1,tn] do Rn takové, že

{λPC(t)=

Což je vlastně myšlenka, ze které vychází Lagrangeova interpolace polynomů.

Trajektorie – pokrač.• Def.: Délku lineární aproximace po částech λPC lze pak prostě spočíst jako součet

délek úseček mezi dělícími body.

Trajektorie – pokrač.

Spojitá křivka Diskrétní zadání

• Fakt: Orientace kóduje „směr“ plynutí času.

• Fakt: Pro ekvidistantní vzorkování je reprezentace (n+1) rozměrným vektorem plýtvání.

• Pozn.: Pokud zaznamenáme pouze jeden časový údaj, musíme vědět, zda je to start, či cíl.

PodobnostTrajektorie má jak časovou, tak prostorovou složku. Dají se tedy uvažovat v zásadě tři druhy podobnosti:

• Prostorově-časová v Rn x T, uvažujeme všechny složky

• Prostorová v Rn, uvažujeme pouze prostorovou složku

• Časová v R x T, uvažujeme trajektorii jako časovou řadu

Vzdálenost

• Def.: L2 vzdálenost vektorů u, v:– Časová řada

– Zobecnění pro vyšší dimenze

Což je obyčejná Euklidovská vzdálenost.

Rozsahový dotaz

Hledání „nejpodobnější“ podsekvence délky shodné s vstupní posloupností.

Vstup: PosloupnostVýstup: Množina všech částí uložených trajektorií, které splňují kritérium podobnosti. V našem případě prahovou vzdálenost vzhledem ke zvolené metrice.

1. Vyberme jednu uloženou trajektorii2. Prozkoumáme všechny její podsekvence na podobnost3. Postup opakujeme pro všechny uložené trajektorie

Rozsahový dotaz – alg.

Prostá aplikace definic z předchozího slajdu. Vyhledáme podmnožinu vektorů délky l,

které splňují kriterium na vzdálenost od vektoru dotazu.

Hledáme „nejpodobnější“ podsekvencidélky l.

Časová normalizace

• Problém: Různé intervaly vzorkování.

• Řešení: Normalizace.

• Def.: Časově normalizovaná trajektorie je diskrétní trajektorie s ekvidistantním vzorkováním.

Re-sampling lze provést takto:

Přičemž takto volená míra dává lepší výsledky při dotazech napodobnost „tvaru,“ než míry zmíněné výš.

Prostorová normalizace

• Def.: Prostorově normalizovaná trajektorie je diskrétní trajektorie s ekvidistantním prostorovým vzorkováním.

Re-sampling lze provést takto:

Tedy všechny úseky mají stejnou délku.

Normalizace – přehled

Původní data Lineárníaproximace po částech

Časovánormalizace

Prostorovánormalizace

Pokud nejsou data, použijeme aproximaci a doplníme body.Všechny úseky stejně dlouhé.

Intervaly mezi vzorky stejně dlouhé.

Došlo k „přesunu“ bodu

Hledání podsekvence

• Problém: Hledáme podobné podsekvence, ale to má časovou složitost úměrnou délce zkoumané podsek-vence.

Pro délku dotazu m a délky uložených trajektorií n dojdeme ke složitosti

O(m*n) na porovnání s jednou uloženou trajektorií (i když se jedná o dosti

hrubý odhad). Maximálně může dojít k ½*n*n počítáním podobnosti. A záleží,

zda v případě kvadratické složitosti ve většině dotazů, je dobře navržena

dimenze.

• Řešení: Redukce dimenze. Snížením „délek“ vektorů z n na k, kde k<n. K tomu lze použít například metodu PAA.

PAA (piecewise aggregation approximation)

Technika redukce dimenze s faktorem k

• Princip: i-tá složka je průměrem k složek původního vektoru.

• Převod:

• Platí: Důležitá nerovnost

Složka redukovaného vektoru

Podobnost - revize

a) Trajektorie a její PAA

b) Podobnost trajektorií je zde vlastně obsah jimi opsaného regionu (se spojením krajních bodů).

c) Podobnost po použití PAA.

Pozorování: a) + b) + c) Platí nerovnost z předchozího slajdu:

Prostorové zobecnění PAA

• Pro vyšší dimenze lze PAA provést po složkách (se stejným faktorem k).

• Def.: 2D-PAA

Pro prostorově normalizovanou trajektorii a faktor k přepočtem její vektor po složkách následovně:

Trajektorie jako vektor:

Vektor 2D bodů v nD vs.

2 vektory 1D bodů v nD:

Přepočet souřadnic:

Prostorové zobecnění PAA

1. Na vstupu je trajektorie2. Dekomponujeme po souřadnicích3. Provedeme PAA4. Získali jsme diskrétní trajektorii s redu-

kovanou dimenzí

1. 2. 3.

4.

Indexace PAA pomocí R+-stromu

Aproximace s redukovanoudimenzí

Indexace R+-stromem, lze klást klasickéintervalové dotazy, které odpovídají nale-zení podsekvence dané délky.

Takto jsou zaindexovány všechny uložené trajektorie a také se taktozpracovává trajektorie dotazu.

Prostorové zobecnění PAA

Celkově pak proces indexace vypadá takto.

Podobnost - problém

a) Původní sekvence

b) Posunutí

c) Otočení

d) Škálování (změna velikosti)

e) b) + c) + d) + Deformace

Transformace – algebraické okénko

Škálování (zmenšení/zvětšení):

Otočení (rotace):

Posunutí:

• Použijeme homogenní souřadnice.• Afinní transformace – zachovává rovnoběžnost.• Transformace (resp. transformační matice) lze skládat násobením (a inverzní matice odpovídá opačné).• Princip by neměl být vázán na dimenzi prostoru.• Takto se dají řešit i další transformace (např. zkosení), a pokud uvažujeme i neafinní transformace, můžeme vyjádřit třeba i projekce.

Kolem osy x Kolem osy y Kolem osy z

Podobnost – problém pokrač.

Potřebujeme invariantnost vůči transformacím:• Posunutí• Škálování• Otočení

Toho dosáhneme přechodem do polární soustavy souřadnic, normalizací ateprve pak zkoumáním podobnosti posloupností.Pokud bychom chtěli invariantnosti dosáhnout změnou metriky, mohlo by dojítk neúnosnému nárůstu časové složitosti, proto přejdeme do prostoru polárníchsouřadnic kde se toto dá efektivně řešit.

Polární souřadnice

Dá se nalézt pod názvem AAL prostor (Angle/Arc-length).

Převod:

Vektor mezi sousedními body:

Referenční vektor: jednotkový vektor podle osy x.

Jak ostrý úhel svírá vektor Vt s Vref:

Znaménko nám umožňuje rozlišit nejedno-značnost směru rotace.

Polární souřadnice - znaménko

Znaménko má jednoduchou vektorovou interpretacijako směr normály v poslední souřadnici.

Jako je vidět na následujících obrázcích:

Polární souřadnice - sekvence

Z původní posloupnosti: P=[P1, .., Pn]=[(px,0,py,0), .., (px,n-1,py,n-1)]

Jsme získali novou:

Invariantnost vůči škálování pak lze dosáhnout takto:

Dělíme délky úseků (vektorů posunu) celkovou délkou trajektorie.

Polární souřadnice – referenční vektory

Další úpravy lze učinit jinou volbou referenčního vektoru:

Relativní změna:Problém: Změny úhlu se skládají.

Těžiště:Problém: Složitější výpočet.

Přesný úhel: Náš Vref, jednotkový vektor podle osy x.

Podobnost - problém rotace

• Původní 2D trajektorie si jsou „dostatečně“ podobné pokud tmavší pootočíme ve směru hodinových ručiček o 70°.

• Na grafu v polárních souřadnicích je pak vidět, že se „liší“ vertikálním posunutím (v závislosti na orientaci).

• K dosažení nezávislosti na otočení provedeme normalizaci.

Dvě 2D trajektorie Po převodu do polárníchsouřadnic.

Přechodem mezi prostory jsme zaměnili způsob reprezentace dané vlastnosti.

Obyčejná normalizace

• Odečteme průměrnou hodnotu sekvence.

Vidíme, že výsledek co jsme dostali je mnohem lepší, ale jak uvidíme

dál, ještě se to dá výrazně zlepšit.

Přetékáme interval

Iterativní modulo normalizace

1. Odečteme průměrnou hodnotu sekvence.

2. Počítáme modulo, abychom se vešli do vertikálního intervalu [π,-π].

3. Krok 1. a 2. opakujeme tolikrát, kolikrát je třeba, nebo dokud se výsledek neustálí.

Vidíme, že výsledek co jsme dostali je již „dost“ podobný.

Počítámeopravdumodulo

Iterativní modulo normalizace – alg.

Zde máme pouze algoritmicky zapsáno to, co jsme si řekli.

Test stability

Max. k opakování

Počítání modulo

Podobnost

• Nově získané posloupnosti lze zkoumat na podobnost tak, jak jsme si ukázali výš (viz PAA). Dále ukážeme další techniky.

• Tento přístup je mnohem efektivnější než normalizace trajektorie vzhledem k původním kartézským souřadnicím. Tedy posun, rotace vzhledem k referenčnímu vektoru a změny velikosti.

DTW(dynamic time warping)

Časová složitost O(n2).

Sekvence dotazu:

Funkce vracející hlavu seznam bezposledního členu:

Rekurzivně hledáme nejmenší kumulovanou vzdálenost po namapování posledních členů a minima DTW sekvencí:

1. Zkrácených obou2. Zkráceného jen dotazu3. Zkrácené jen uložené

1.2.3.

Vzdálenost posledních členů

Princip:

0.

DTW - algoritmusint DTWDistance(char s[1..n], char t[1..m], int d[1..n,1..m]){ declare int DTW[0..n,0..m] declare int i, j, cost for i := 1 to m DTW[0,i] := infinity for i := 1 to n DTW[i,0] := infinity DTW[0,0] := 0 for i := 1 to n for j := 1 to m cost:= d[s[i],t[j]] // distance (0) DTW[i,j] := minimum(DTW[i-1,j ] + cost, // insertion (2) DTW[i ,j-1] + cost, // deletion (3) DTW[i-1,j-1] + cost) // match (1) return DTW[n,m] }

Jde to tedy samozřejmě i bez rekurze.

Aproximace DTW

• Problém: Původní DTW má kvadratickou složitost.

• Řešení: Pouze DTW aproximujeme shodou v nějakém δ-okolí bodů trajektorie. Tedy výhled DWT (resp. insert/delete) se provede pouze do vzdálenosti δ.

Tím lze dosáhnout časové složitosti O(δn). δ se volí 20%-30% n.

LB-PAA(lower bound – PAA aka LB-Koegh)

Minimální δ-ohraničení (MBE – minimal bounding envelope):Rozšíření křivky do oblasti

Redukce dimenze (jako obyčejné PAA):Získáme minimální ohraničující obdélníky.

LB-PAA

Princip:1. Pro dotaz zjistíme jeho posloupnost

MBR2. Totéž pro každou uloženou trajektorii

(lze volit Li=Ui potom MBE(T)~T).3. Spočteme kumulovanou vzdálenost

MBR obou posloupností

MBR posloupnostidotazu

MBR posloupnostiuložené trajektorie

Nenulové vzdáleností členů MBR posloupností

Počítáme vzdálenost distance(MBR(MBE(Q),MBR(T)).

LB-Zhu(Zhu & Sasha)

Princip: Podobně jako u LB-PAA

1. Pro dotaz Q spočteme MBE(Q).

2. U, L pro Q aproximujeme pomocí PAA

3. Uloženou trajektorii T aproximujeme pomocí PAA

4. Spočteme vzdálenost distance(PAA(MBE(Q)),PAA(T))

MBE přístup

• Výhoda: Snadný a rychlý výpočet.

• Problém: Dlouhé posloupnosti znamenají velké δ.– Široké obalení křivky. V mezním případě pruh.

• Řešení: Minimalizovat dopad δ použitím pouze aproximace původní posloupnosti. Počítáme vzdálenost distance(MBR(Q),PAA(T)).

– Problém: Jak definovat vzdálenost MBR mezi PAA?

Vzdálenost MBRi(Q) a PAAj(T)

Princip: počítáme „obsah rovnoběžníku.“

Omezující obdélník: Člen aproximace PAA:

Nově definovaná vzdálenost:

Libovolná metrika Padne meziFaktor redukce

Dseq se použije jako míra v DTW.

LB-Warp

Princip:

1. Pro dotaz Q spočteme MBR(Q).

2. Uloženou trajektorii T aproximujeme pomocí PAA

3. Spočteme vzdálenost distance(MBR(Q),PAA(T))

„obsah rovnoběžníku“

Počítáme s faktorem k, se musí změnit na . Časová složitost je .

Lower bound lemma

Jsou dány trajektorie Q a T s délkou n a δ a jejich aproximace s

faktorem k, MBR(Q) a PAA(T). Platí následující nerovnost:

LB-warp (MBR(Q), PAA(T)) ≤ DTW (Q,T)

Skutečná měření

Podmnožina dat získaných z tabletu. (reálná data)Rotace vzorků, každý 3 kopie otočení o [-90°, 90°]. (syntetická data)

Skutečná měření

40 ručně psaných vorků a jejich podobnost modelovaná do 2D pomocí ISOMAP.

Skutečná měření

Metoda přesného úhlu i těžiště, jako volba referenčního vektoru si

vedou v obou případech dobře.

Metoda relativního úhlu se naproti tomu osvědčila pouze v syntetickém

testu.

Síla prořezávání

Pro všechny sady vyšel LB-warp nejlépe. Před LB-Zhu a poslední

skončil LB-Koegh.

Ze základu reálných dat autořipro další testy vygenerovali sadyvelikosti 1000,2000,4000 a 8000 vzorků pro testování rozšiřitelnostia schopnosti prořezávání LB-warp.

Testoval se dotaz 1NN. Průměr přes50 dotazů.Posloupnosti v pořadí jak byly na disku.

Rychlost

Kumulativní časová složitost pro 50 dotazů z testu. Pořadí algoritmů je LB-warp, LB-Zhu a poslední skončil LB-Koegh.

Zdroje

• Shape-based Similarity Query for Trajectory of Mobile Objects

Yutaka Yanagisawa, Jun-ichi Akahani, Tetsuji Satoh

• Rotation Invariant Distance Measures for TrajectoriesMichail Vlachos, D. Gunopulos, Gautam Das

• Planetmath (http://www.planetmath.org)

• WolframMathworld (http://mathworld.wolfram.com)

• Wikipedia (http://en.wikipedia.org)