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ORIENTADORA: ELAINE MARIA DA SILVA
PACTO –
UNIDADE 3 e 4
VAMOS BRINCAR DE CONSTRUIR AS
NOSSAS E OUTRAS HISTÓRIAS
LEITURA DELEITE
CHICO BENTO
Vocês conhecem o personagem Chico
Bento?
•De onde?
•Como podemos identificá-lo?
•Chico Bento se assemelha com algum
de nossos alunos?
•Por quê?
Qual o tipo de problema elaborado pela professora?
•Qual a diferença da forma como os enunciados da situação-problema
foram elaborados pelos personagens: Professora e Chico Bento?
Pergunta elaborada pela professora:
Chico, eu tinha 10 cabritos, vendi quatro, com quantos fiquei?
Pergunta elaborada por Chico:
Zé lelé, a fessora tinha 10 cabrito, vendeu quatro, quantos ficaram?
•Caso Zé lelé não questionasse Chico com a pergunta: Com ela ou com
quem comprou?, o problema teria como ser resolvido?
•Qual era o objetivo da professora com a atividade?
•Quais os sentidos que cada personagem atribuiu à palavra
PROBLEMA?
•Ao final do vídeo, a pergunta iniciada pela professora nos dá indícios
sobre o tipo de problema que iria ser solicitado?
•Chico, de fato, realizou um cálculo relacional?
Objetivos do Caderno 4
OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMAS
compreender os sentidos das operações de
adição, subtração, multiplicação e divisão,
integradas na resolução de problemas;
elaborar, interpretar e resolver situações-
problema do campo aditivo (adição e
subtração) e multiplicativo (multiplicação e
divisão);
Objetivos do Caderno 4
valorizar as estratégias pessoais e as
formas de representação espontâneas das
crianças, ampliando o repertório de
representações simbólicas;
trabalhar com os algoritmos tradicionais
articulados a compreensão do Sistema de
Numeração Decimal
uso de materiais manipulativos, jogos e
calculadora.
Atividade Analisar quais foram os erros e acertos de
cada forma de resolução e identificar quais
foram as dificuldades encontradas.
a) Como os alunos resolvem os problemas?
b) Quais alunos resolveram as contas
corretamente?
c) Qual a diferença entre conta e problema?
Qual a natureza dos erros? O
que se pode fazer para
superar as dificuldades dos
alunos?
ALGUMAS ESTRATÉGIAS DE CRIANÇAS
A CASA DO VOVÔ
VOVÔ DISSE QUE CRESCEU NUMA CASA ONDE HAVIA 12 PÉS E UM
RABO. QUEM PODERIA TER VIVIDO COM VOVÔ NESTA CASA?
VOVÔ DISSE QUE CRESCEU NUMA CASA ONDE HAVIA 12 PÉS E UM
RABO. QUEM PODERIA TER VIVIDO COM VOVÔ NESTA CASA?
“Na casa vivia o vovô, um
rinoceronte sem rabo e um
macaco com um rabo bem
grande e o neto do vovô
que está chorando porque
está com medo do
rinoceronte!”
“É o vovô, a vovó,
um filho chamado
Pedro e sua irmã
Laura e o cachorro
Totó. São 2 mais 2
que dá quatro,
mais 4 que dá 8 e
mais 4 pés do
cachorro que dá
12. O rabo é do
cachorro”.
“Na casa morava o vovô Carlos, a vovó Lu, seus netos
João e Bruna e um mostro enorme com quatro pernas e um
rabo!”
A: “Moravam seis
pessoas”.
P: E o rabo?
A: Aqui olha, o rabo
de cavalo da filha da
vovó.
A: Vovô, o neto,
um gato e rato!
P: Mas, não é só
um rabo?
A: É mesmo,
então vou
pensar numa
outra solução.
“O vovô, o
neto, o gato e
um rato sem
rabo. Porque o
gato comeu!”
“Um cachorro uma pessoa
e uma aranha.”
“Quatro pessoas e
um cachorro.”
“Nessa casa moram 12
pessoas que só tem uma
perna, igual Saci.”
P: Não eram 12 pés?
A: Sim, mas o gato fugiu e o avô é cadeirante.
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA
ESTIMULAR ESTRATÉGIAS INDIVIDUAIS
VIVENCIAR AS SITUAÇÕES MATEMÁTICAS
DECIDIR SOBRE AS ESTRATÉGIAS
SOCIALIZAR AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS
NA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA
O ALUNO PRECISA:
INTERPRETAR A SITUAÇÃO –PROBLEMA VIVENCIADA.
COMPREENDER O ENUNCIADO DO PROBLEMA
ESTABELECER RELAÇÕES ENTRE O ENUNCIADO E OS CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS
FATORES QUE LEVAM OS ALUNOS A
ERROS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
Duas naturezas de “erros”:
Os de natureza linguística: decorrentes das
dificuldades de compreensão de textos, considerando
que o enunciado dos problemas é um texto, seja ele
apresentado de modo oral ou escrito.
Os de natureza matemática: decorrentes de
limitações na compreensão de conceitos envolvidos
impedindo o estabelecimento das relações necessárias
para a solução do problema.
SITUAÇÕES ADITIVAS E MULTIPLICATIVAS
NO CICLO DE ALFABETIZAÇÃO
Professor, que conta tem que fazer?
É de mais ou de menos?
É de vezes ou de dividir?
VOCÊ JÁ OUVIU ESSAS PERGUNTAS?
Teoria dos campos conceituais
Gérard Vergnaud
CAMPO CONCEITUAL: um conjunto de situações cujo
domínio requer uma variedade de conceitos, de
procedimentos e de representações simbólicas em
estreita conexão.
Estruturas aditivas: medida, transformação,
comparação, diferença, inversão, adição, subtração,
número natural, número relativo...
Estruturas multiplicativas: multiplicação, divisão,
número racional...
Cálculo relacional: Compreensão das relações e
propriedades envolvidas nos problemas.
Vergnaud (2009) afirma que conceitos nãopodem ser compreendidos de modo isolado,mas sim a partir de campos conceituais.
COMPOSIÇÃO COMPARAÇÃO
TRANSFORMAÇÃO
PROBLEMAS DE COMPOSIÇÃO Situações que envolvem parte-todo: juntar uma
parte com outra parte para obter o todo, ou
subtrair uma parte do todo para obter a outra
parte
Exemplo de Composição 1)Todo desconhecido Ex: Carolina e João Pedro colecionam miniaturas de garrafas de refrigerante, Carolina tem 19 miniaturas e João Pedro tem 16 miniaturas. Quantas miniaturas eles têm juntos?
2) Parte desconhecido Ex: Carolina e João Pedro têm juntos 35 miniaturas de garrafas de refrigerante. Carolina tem 19 miniaturas. Quantas João Paulo tem?
Problemas de Transformação
Situações em que no estado inicial tem-se uma
quantidade que se transforma (por acréscimo
ou decréscimo), chegando ao estado final com
outra quantidade.
Exemplos de Transformação 1) Resultado desconhecido – situação de acréscimo Ex: Daniela possui uma coleção de chaveiros. Ela tinha 15 chaveiros. Sua tia lhe deu de presente 17 chaveiros. Quantos ela tem agora? 2) Transformação desconhecida – situação de decréscimo Ex: Carla tinha 4 figurinhas. Ganhou algumas de seu tio e ficou com 9 figurinhas. Quantas ela ganhou do tio? 3) Estado Inicial desconhecido – situação de decréscimo Ex.: A mãe de Adriana tinha alguns bombons. Ela deu 5 para seus filhos e ainda ficou com 4. Quantos bombons a mãe de Adriana tinha?
Problemas de comparação
Comparam duas quantidades, uma chamada
referente e a outra, o referido. (São
confrontadas duas quantidades)
Exemplos de Comparação
1) Diferença desconhecida Ex: Na cantina de nossa escola há 36pacotes de biscoitos de chocolate e 17 pacotes de biscoito demorango. Quantos pacotes de morango há a menos?2) Quantidade maior desconhecida Ex: Na cantina de nossaescola há alguns pacotes de biscoitos de chocolate e 17 pacotesde biscoitos de morango. Se há 19 pacotes de biscoito dechocolate a mais. Quantos pacotes de chocolate há?3) Quantidade menor desconhecida Ex: Na cantina de nossaescola há 36 pacotes de biscoitos de chocolate e 19 pacotes debiscoito de morango a menos. Quantos pacotes de morango há?
OBSERVE ALGUMAS SITUAÇÕES
PROBLEMAS E RESOLVA
CRIANÇA CARTA
LEITURA DE IMAGENS
CRIANÇA CARTA
LEITURA DE IMAGENS
Por meio desta imagem pode-se explorar a oralidade das crianças e a
interpretação dos fatos que se sucedem.
São três crianças jogando, a que ficou com menos cartas perdeu e saiu do
jogo após juntarem as cartas. As duas que ficaram continuaram jogando e
empataram, pois a quantidade de cartas é a mesma. Evidentemente, há outras
interpretações e a professora pode explorar por meio de perguntas, o que
relaciona a leitura à resolução de Problemas.
OBRA DE ARTE "Roda" de Milton Dacosta em 1942
OBRA DE ARTE "Roda" de Milton Dacosta em 1942
Há muitas outras obras de arte a serem exploradas, não necessariamente com
a contagem de elementos ou formas geométricas.
Neste caso, o que se pode explorar?
Dentre outras possibilidades, as noções de direita e esquerda, onde
brincavam, que horário aconteceu a brincadeira, como estava o tempo (havia
sol, pois aparece a sombra), etc.
TIRINHAS
As tirinhas também apresentam ideias matemáticas que se transformam em
interessantes problemas.
Por exemplo, neste caso, qual foi a brilhante ideia de Magali?
ERA UMA VEZ ... MUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZ
QUEM SÃO?
1
ONDE FORAM?
2
O QUE
COMPRARAM?
3
QUANTO
CUSTOU?
4 5
COMO
ACABOU?
6
COMO
RESOLVER?
Problemas “sem contas”:
Joana ganhou um gatinho recém-nascido que, em
pouco tempo, cresceu e se transformou num belo
gato. Agora, Joana está querendo saber quantos
quilos pesa seu bichinho, o problema é que ela não
consegue convencer o bicho a ficar quieto sobre a
balança da farmácia, foi então que Joana pensou muito
e "bolou" um sistema infalível para resolver o problema.
E você, como faria para resolvê-lo?
Problemas com excesso de dados
Hemengardos é um “girafo”. Ele adora gravatas-
borboleta. Diz que elas valorizam seu pescoço.
Hemengardos tem vinte e uma gravatas lisas,
quinze de bolinhas, trinta e quatro listradas, oito
de estampados diversos, dezesseis floridas e
trinta cachecóis. Quantas gravatas Hemengardos
têm?
Caderno 1 (p.29)
Problemas “sem perguntas”
CAMILA TEM 19 FIGURINHAS, BRUNO TEM 22.
Explorar as possibilidades de criação de situações...
Quem tem mais figurinhas?
Quantas figurinhas Bruno tem a mais do que Camila?
Quem tem menos figurinhas?
Quantas figurinhas Camila tem a menos do que Bruno?
Quantas figurinhas eles têm juntos?
Só com as “perguntas”
QUANTOS DOCES SOBRARAM?
QUANTOS QUILÔMETROS FALTAM PARA
COMPLETAR A VIAGEM?
Construir o enunciado a partir da
“resposta”.
TENHO 55 FIGURINHAS.
RECEBI DE TROCO 2 REAIS.
GANHEI 15 PONTOS NO FINAL DO
JOGO.
SOBROU METADE DO BOLO.
Completar enunciados.
UMA DOCEIRA FEZ PARA UMA
ENCOMENDA _______ BRIGADEIROS. SE
ELA COBRA ______ REAIS POR UMA
DEZENA DE DOCES. QUANTO ELA
RECEBEU PELO TRABALHO?
E não conseguia vendê-las
À tarde
Vendeu ___ toalhas. Ai, o dono abaixou o preço
Uma loja de tecidos tinha Ele vendeu ____
Quantas toalhas Na manhã deste dia,
382Sobraram no estoque?
A notícia se espalhou e
Um estoque de ____toalhas
790 1 700
Problemas em tiras...
Uma loja de tecidos tinha um estoque de ____toalhas1 700
e não conseguia vendê-las. Ai, o dono abaixou o preço.
Na manhã deste dia, vendeu _____ toalhas.382
A notícia se espalhou e à tarde ele vendeu ______.
Quantas toalhas sobraram no estoque?
790
conhecimentos sempre estão inseridos em contextos;
a seleção sobre os contextos, as aproximações as experiências vividas pelosalunos determina o grau de envolvimento das crianças com as questões;
estimular os alunos a questionarem suas respostas, os dados e o enunciado do problema;
estes dados devem instigar os alunos para a criação de novosProblemas;(p. 12)
A Resolução de Problemas e a superação da
perspectiva da simples “reprodução de
procedimentos”.
JAMAIS ESQUECER!
Explorar todas as ideias das operações por
meio da Resolução de Problemas...
Mais problemas e menos operações isoladas e
sem significado...
Valorizar as estratégias das crianças...
Nem tudo o que é para o professor deve ser
apresentado ao aluno...
[...]enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o
cálculo na resolução de problemas: significa calcular
compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e
das operações de adição e subtração.”(NUNES, CAMPOS, MAGINA E BRYANT, p. 56, 2005)
É importante lembrar que a compreensão dos
conceitos próprios das operações requer
coordenação com os diferentes sistemas de
representação.
Cálculos numéricos estejam conectados ao
processo de compreensão progressiva do
Sistema de Numeração Decimal.
Valorização da criação de estratégias pessoais
na resolução de problemas.
Promoção de sua socialização.
O que se propõe?
- O cálculo necessário para
fornecer o troco de uma
compra no valor de R$ 48,00,
paga com uma cédula de
R$100,00?
Como você resolve?
- O preço a pagar por
8 metros e meio de fita
sendo que o metro
custa R$ 1,50.
Por que utilizar estratégias?
Proporcionam fluência no cálculo.
Possibilitam agilidade e menos erros.
Expressam uma compreensão rica e profunda do sistema numérico.
Fornecem base sólida para o cálculo mental e estimativas.
Contribuem para um envolvimento no processo de “fazer matemática”.
Nessa perspectiva, cada cálculo é um
problema novo e o caminho a ser
seguido é próprio de cada aluno, o que
faz com que para uns possa ser mais
simples e, para outros, mais complexo.
ESTRATÉGIAS DE CÁLCULO NÃO
SURGEM DO NADA.
PRECISAM SER TRABALHADAS E
ESTIMULADAS EM SALA DE AULA.
ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE
CÁLCULO
- CONTAGEM-
Procedimento natural e bastante útil na resolução de
cálculos pelas crianças.
Algumas contagens importantes:
• contar para a frente;
• contar para trás;
•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;
•contar a partir de um determinado número
JOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCA
MEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOS
A tabuada pode agilizar processos de cálculos a
partir da memorização de resultados entre os fatores,
desde que:
A memorização deve ser consequência da adoção de
estratégias metodológicas que permitam a
construção/estruturação de regularidades entre os fatos
numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos
diferentes da “decoreba” destituída de significado
Investigação Matemática na
Tabuada
João Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de
atividades investigativas, nas quais os alunos são
convidados a analisar padrões e regularidades
existentes nas operações. Observe:
Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso
nesta tabuada? Prolongue-as calculando 11 × 3, 12 ×
3, 13 × 3.... E formule algumas conjecturas.
Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em forma de textos
das suas descobertas para que expressem as relacionem com as
propriedades do SND.
construção de
recursos cognitivos
que auxiliam a
memorização
estabelecer relações
entre os fatos e
perceber
regularidades por
processos
investigativos
CONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORAS
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
JOGO: GATOS MALHADOS
REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS
Construir sequências de
atividades investigativas...
FORMAÇÃO DA CENTENA
• O algoritmo tradicional das operações permite realizar
cálculos de uma maneira ágil e sintética.
• Modos de representar os processos operativos da
adição e da subtração pautados nas propriedades do SND.
ALGORITMOS TRADICIONAIS
É importante que a criança tenha se
apropriado das características do SND para
que compreenda os processos sequenciais
dos algoritmos.
O material dourado, o ábaco e o Quadro ValorLugar (QVL), são recursos que podem serutilizados, para favorecer a compreensão dosalgoritmos tradicionais.
• Historicamente: como o precursor da
calculadora .
• Há diferentes modelos de ábaco, todos eles
com o mesmo princípio constitutivo do SND que
permite o trabalho centrado no valor posicional
do número.
• Sugere-se atividades com o ábaco aberto e
apenas até a ordem das unidades de milhar.
ÁBACO
Material Dourado
A possibilidade de explorar propriedades do SND,
tais como:
a base 10
a composição aditiva e multiplicativa
explorar trocas e composição/decomposição
É importante salientar que o valor posicional do
algarismo não é tratado de forma explicita neste
recurso como o é no QVL e no ábaco.
Para pensar e discutir...
• Agrupamento e desagrupamento.
• Uso de material dourado e ábaco para resolver
algoritmos com “números grandes”.
• O cuidado com uso de recursos como o ábaco e
o material dourado.
ALGUMAS POSSIBILIDADES ...
Em situações reais, em que os números são muito
grandes ou muito pequenos, a utilização da
calculadora é recomendada. Isso porquê, o que
está em jogo é a resolução da situação-
problema real e não o uso de algoritmos.
SITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULA
Por exemplo, a tabela a
seguir foi construída
tendo como ponto de
partida dados coletados
por crianças que diziam
respeito à quantidade de
sorvetes que
conseguiram vender em
uma gincana.
Calculadora para construir e/ou sistematizar fatos
importantes das operações, ou mesmo para
disparar problemas.
- Encontrar o resultado de 4 x 5 sem utilizar
a tecla x.
- Fazer 20 ÷ 4, sem utilizar a tecla ÷
- Apertei a tecla 8, depois a tecla +, teclei
ainda um outro número, o sinal de = e
obtive 14. Que número apertei?
Quais as possibilidades para obter: a soma
10, ou 100 ou 1000.
VÁRIAS CRIANÇAS RECOLHERAM BOLAS DE TÊNIS EM TRÊS
CAIXAS. SOMANDO A QUANTIDADE DE BOLAS DE DUAS DESSAS
CAIXAS, O TOTAL FOI 78. DESCUBRA ESSAS DUAS CAIXAS E
PINTE-AS:
Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.
CAIXAS COM BOLINHAS DE TÊNIS
Resolver o problema utilizando o algoritmo
tradicional com o material dourado.
MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 24,00 E FICOU COM
R$ 17,00 REAIS NA CARTEIRA. QUANTO ELA POSSUIA ANTES
DE FAZER A COMPRA?
ELE JÁ COLOU 29 FIGURINHAS.
QUANTAS FIGURINHAS ELE AINDA PRECISA COMPRAR PARA COMPLETAR SEU
ÁLBUM?
JOÃO COLECIONA FIGURINHAS DE FUTEBOL.
O ÁLBUM PARA ESTAR COMPLETO DEVE TER 56 FIGURINHAS.
ELE RESOLVEU COMPRAR TODAS AS FIGURINHAS QUE FALTAM EM SUA COLEÇÃO.
Resolver o problema utilizando o algoritmo
tradicional com o ábaco.
PROBLEMA EM TIRAS
Resolver o problema utilizando o algoritmo
tradicional com o material dourado.
Completando o enunciado
OBRIGADA!
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