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Physique 3 Vibrations et ondes mécaniques
Leçon n°11 :
Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté
Plan de la leçon : Oscillations forcées des systèmes à deux degrés de liberté
• Equation du mouvement pour des vibrations forcées• Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de
liberté
Equation du mouvement pour des vibrations forcées (1)
Système à deux degrés de liberté masse-ressort-amortisseur
Equation du mouvement pour des vibrations forcées (2)
• Energies cinétique et potentielle, Lagrangien et fonction de dissipation :
• Les équations de Lagrange s’écrivent :
• Les équations du mouvement sont :
223
2212
211
2122232
2121
222
211
223
2212
211
222
211
x2
1xx
2
1x
2
1D
xxkxkk2
1xkk
2
1xm
2
1xm
2
1VTL
xk2
1xxk
2
1xk
2
1V;xm
2
1xm
2
1T
2222
1111
Fx
D
x
L
x
L
dt
d;F
x
D
x
L
x
L
dt
d
2232122321222
1221212212111
Fxkkxkxxxm
Fxkxkkxxxm
Equation du mouvement pour des vibrations forcées (3)
• Les équations du mouvements sont couplées :
• Sous forme matricielle, on écrit :
où [m], [] et [k] sont les matrices symétriques masse, amortisseur et raideur :
et où sont les vecteurs déplacement et force :
2232122321222
1221212212111
Fxkkxkxxxm
Fxkxkkxxxm
tFtxktxtxm
322
221
322
221
2
1
kkk
kkkk,,
m0
0mm
tF
tFtFet
tx
txtx
2
1
2
1
tFettx
Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (1)
• L’équation du mouvement général s’écrit :
• Nous supposons les forces d’excitation harmoniques de pulsation en donnant aux forces extérieures et aux solutions permanentes du système la forme :
2
1
2
1
2212
12111
2212
1211
2
1
2212
1211
F
F
x
x
kk
kk
x
x
x
x
mm
mm
2
2,1j,eXtx,eFtF tijj
tijj 0
Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (2)
• La substitution de ces équations dans l’équation matricielle donne :
• Que l’on peut écrire en définissant la matrice impédance de déplacement [Z(i)] :
• Il ne faut pas confondre Z avec l’impédance mécanique vitesse définie par qui sert à calculer l’impédance d’entrée d’un système en
mécanique et en électricité :
20
10
2
1
2222222
1212122
1212122
1111112
F
F
x
x
kimkim
kimkim
0FXiZ
0FXiZ
.UZIetFVZ e
Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté (3)
avec :
20
100
2
1
pqpqpq2
pq
2212
1211
F
FF,
X
XX
2,1q,p;kimiZ
iZiZ
iZiZiZ
0FXiZ
Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté, solution (1)
• On peut réécrire l’équation de la manière suivante :
• Où l’inverse de la matrice impédance s’écrit :
01FiZX
iZiZ
iZiZ
iZiZiZ
1iZ
1112
1222
2
122211
1
0FXiZ
Vibrations amorties et forcées d’un système à deux degrés de liberté, solution (2)
• Les équations précédentes nous donnent les solutions :
• Les solutions permanentes complètes x1(t) et x2(t) sont obtenues en multipliant ces solutions par eit.
iZiZiZ
FiZFiZiX
iZiZiZ
FiZFiZiX
2122211
201110122
2122211
201210221
Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (1)
Enoncé : trouvez la réponse stationnaire du système de la figure quand la masse m1 est excitée par la force
Solution : les équations du mouvement du système s’écrivent :
que l’on peut mettre sous la forme matricielle
tcosFtF 101
0
tcosF
x
x
k2k
kk2
x
x
m0
0m 10
2
1
2
1
0kxkx2xm
tcosFkxkx2xm
122
10211
Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (2)
• La comparaison de l’équation précédente avec l’équation montre que :
• On suppose une solution de la forme :
• Les composantes de la matrice impédance sont :
0F,tcosFF,kk,k2kk
0,0m,mmm
2101122211
221211122211
2,1j;tcosXtx jj
kZ,k2mZZ 122
2211
0FXiZ
Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (3)
• Nous obtenons X1 et X2 à partir de l’équation des composantes de l’inverse de la matrice impédance :
En prenant , qui sont les fréquences de résonances, ces équations s’écrivent :
kmk3m
Fk2m
kk2m
Fk2mX
2210
2
222
102
1
kmω3kmω
kF
k2kmω
kFωX
2210
222
102
2
1
2
1
2
1
2
1022
1
2
1
2
1
2
10
2
1
1
1k
FX;
1k
F2
X
m
k3et
m
k 22
21
Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (4)
• On aurait très bien pu résoudre le problème plus simplement en écrivant directement :
Ce qui donne :
Ce qui donne :
0Xk2mkX
FkXXk2m
22
1
10212
k2mk
kk2m
0k
Fk2m
X;
k2mk
kk2m
k2m0
kF
X
2
2
02
2
2
2
210
1
kmk3m
kFX;
kmk3m
Fk2mX
2210
22210
2
1
Exemple 1 : Réponse stationnaire d’un système masse-ressort (5)
Réponses X1 et X2 en termes du paramètre sans dimension /1.
Ces amplitudes deviennent infinies 2= 12 et 2=2
2. On voit que pour une certaine valeur de , a appelée pulsation d’antirésonance, la masse m1, à laquelle est appliquée la force, ne bouge pas. Cette caractéristique est la base des absorbants dynamiques de vibrations que l’on appelle aussi les étouffeurs de vibration. On voit aussi que les masses m1 et m2 sont parfois en opposition de phase avec la force F1(t).
Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (1)
On prend les deux pendules simples couplés par un ressort, mais la masse A1 et soumise à la force excitatrice horizontale Fe=FM cos t.
(a) Ecrire les équations différentielles couplées en 1(t) et 2(t).(b) Ecrire les relations complexes qui concernent les vitesses linéaires de
A1 et de A2 en régime forcée.(c) En déduire l’impédance d’entrée complexe :
21 VetV
1
ee V
FZ
Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (3)
Les équations du mouvement s’écrivent à l’aide des vitesses complexes :
La deuxième équation donne :
en reportant dans la première équation, on trouve :
0Vm
kV
m
kg
em
FjV
m
kV
m
kg
122
tjM212
12
2 V
mkg
m/kV
m
Fj
mkg
m/k
m
kgV e
2
222
1
Exemple 2 : Oscillations forcées et impédance mécanique de deux pendules simples couplés (4)
(c) On en déduit l’impédance mécanique complexe d’entrée Z du système
Le système couplé excité fonctionne en « filtre mécanique » puisque son impédance varie avec la pulsation de la force excitatrice.
1
ee V
FZ
2
2
2
e mkmg
mkmg
kjZ
Exemple 3 : Antirésonance mécanique (1)
Enoncé : La figure montre une masser M1 accrochée à un ressort de raideur k1. Cette masse est excitée en régime forcé par une force sinusoïdale F=F0sint.
Une masse M2 est accrochée sous M1 par un ressort de raideur k2. Nous supposons qu’il existe un amortissement pour les deux masses. Cet amortissement peut être égal à zéro, le phénomène d’antirésonance que nous allons démontrer existera toujours. Les variables des équations sont les déplacements x1(t) et x2(t) des masses par rapport à leur position d’équilibre statique. On supposera k1=k2.
Exemple 3 : Antirésonance mécanique (2)
Les équations du système s’écrivent :
que l’on peut réécrire :
Nous allons supposer F(t)=F0eit et xj(t)=Xjeit et prendre la partie imaginaire par la suite, on trouve :
0xxkxxxM
tsinFxxkxxkxxxM
121222
021211111
0kxxkxxxM
tsinFkxxkx2x2xM
112222
0221111
0XkiMXki
Fkik2i2M
22
21
02
1
Exemple 3 : Antirésonance mécanique (3)
Soit en utilisant la matrice impédance déplacement [Z(i)]
avec
on trouve :
0
FF,
X
XX,
iZiZ
iZiZiZoù
FXiZ
00
2
1
2212
1211
0
,kiiZ
kiMiZ
k2i2MiZ
12
2222
2111
22
22
1
02
222
21
02
21
kikiMk2i2M
FkiiX
kikiMk2i2M
FkiMiX
Exemple 3 : Antirésonance mécanique (4)
Si on prend pour simplifier et pour mieux voir les choses =0, on aura :
• La fréquence d’antirésonance est la fréquence qui annule X1 :
• Les fréquences de résonance sont les fréquences qui annulent le dénominateur de X1 et de X2 (’ et ’’) et qui sont solutions du dénominateur, c’est-à-dire de l’équation :
2221
421
02
2221
421
02
2
kkM2kMMM
kFiX
kkM2kMMM
FkMX
2ant M
k
2222
21
22
21
214
MM
k
MM
kM2kM
Exemple 3 : Antirésonance mécanique (5)
• Si on écrit
et
• On peut donc écrire la fréquence d’antirésonance (ant) et les fréquences de résonances (’ et ’’) fonction du rapport M1/M2.
• On peut mettre X1 et X2 sous la forme :
Ces deux derniers points sont valable même en présence d’un amortissement différent de zéro.• Dans le cas où M1=M2, nous obtenons l’équation bicarrée suivante
m24-3km2+k2=0 dont les racines sont
2
10anti
1
20 M
M:obtienton,
M
k
0M
M2
M
M 2222
2
140
20
2
2
14
2222
21
022222
22anti
1
01
1
MM
kFX;
M
FX
0000 618,12
53et618,0
2
53
0 ’=0,6180 ’’=1,6180
Signe du dénominateur(2k-m2 )(k-m2)-k2 + - - +
Signe de k-m2+ + - -
Signe de X1 + - + -
Signe de X2 + - - +
Exemple 3 : Antirésonance mécanique (6)
• Les quantités X1 et X2 quand il n’y a pas d’amortissement sont des quantités réelles. On peut faire une étude de leur signe :
•On a 4 cas :- +<<’ M1 et M2 oscillent en phase avec la force excitatrice F(t)- ’<<0 M1 et M2 oscillent en opposition de phase avec F- 0<<’’ M1 est en phase et M2 en opposition de phase avec F- >’’, M1 est en opposition de phase et M2 en phase avec F
m
k0
Exemple 4 : Application java de l’antirésonance mécanique et des résonances d’un système couplé amorti et forcé (1)
• nous allons voir une application Java montrant notre système. Cette application résout le problème entier, c’est-à-dire avec l’amortissement . Chose que nous n’avons pas pu faire facilement de manière théorique.•On utilisera dans cette animation les valeurs suivantes : M1=10kg, k1=k2=4104N/m. Ce qui nous donne
•Nous allons avec cette animation faire des opérations et voir des phénomènes impossible à visualiser autrement. Nous allons surtout :
a- Chercher les fréquences de résonance et la fréquence d’antirésonance en fonction du rapport M2/M1
b- Vérifier l’influence de l’amortissement sur l’acuité des résonances.c- Observer le passage du régime transitoire au régime permanent.d- Vérifier que lors de la résonance du système supérieur, x1 et x2 sont en
phase et que pour l’autre résonance, ils sont en opposition de phase.
Hz07,10Mk
21f
10
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