View
42
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
mtk
Citation preview
Program Integer
Riset Operasi
TIP – FTP – UB
2
Model Pemrograman Integer
Tipe Model
Total Integer Model: Semua variabel keputusan diharuskan
mempunyai nilai solusi integer.
0–1 Integer Model: Semua variabel keputusan mempunyai
nilai integer 0 atau 1.
Biner / Binary
Boolean dan True/False
Mixed Integer Model: Beberapa variabel keputusan (tetapi
tidak semua) diharuskan mempunyai solusi integer.
3
Mesin
Kebutuhan Ruang ( ft
2)
Harga beli
Pencetak Bubut
15
30
$8,000
4,000
Model Total Integer (1 of 2)
Toko mesin ingin membeli mesin pencetak dan mesin bubut
baru
Keuntungan marjinal: mesin cetak $100/hari; mesin bubut
$150/hari.
Batasan sumberdaya: $40,000, tempat tersedia 200 ft2.
Biaya pembelian mesin dan kebutuhan ruang:
4
Model Total Integer (2 of 2)
Integer Programming Model:
Memaksimalkan Z = $100x1 + $150x2
dengan kendala:
8,000x1 + 4,000x2 $40,000
15x1 + 30x2 200 ft2
x1, x2 0 dan integer
x1 = jumlah mesin pencetak
x2 = jumlah mesin bubut
5
Pemilihan fasilitas rekreasi untuk memaksimalkan
penggunaan harian warga.
Batasan sumberdaya: anggaran $120,000; tanah 12 acres.
Batasan tambahan: salah satu dari kolam renang atau
lapangan tenis.
Data:
Fasilitas Rekreasi
Penggunaan (orang/hari)
Biaya ($) Kebutuhan Tanah
(acres)
Kolam renang Lapangan tenis Lapangan atletik Gymnasium
300 90 400 150
35,000 10,000 25,000 90,000
4 2 7 3
Model Integer 0-1 (1 of 2)
6
Integer Programming Model:
Memaksimalkan Z = 300x1 + 90x2 + 400x3 + 150x4
dengan kendala:
$35,000x1 + 10,000x2 + 25,000x3 + 90,000x4 $120,000
4x1 + 2x2 + 7x3 + 3x4 12 acres
x1 + x2 1 fasilitas
x1, x2, x3, x4 = 0 atau 1
x1 = pendiriian sebuah kolam renang
x2 = pendirian sebuah lapangan tenis
x3 = pendirian sebuah lapangan atletik
x4 = pendirian sebuah gymnasium
Model Integer 0-1 (2 of 2)
7
Model Integer Campuran (1 of 2)
Anggaran $250,000 tersedia untuk inverstasi dengan
pengembalian terbesar setelah setahun.
Data:
Harga villa $50,000/unit, $9,000 keuntungan jika dijual
setelah satu tahun.
Harga tanah $12,000/acre, $1,500 keuntungan jika dijual
setelah setahun.
Harga obligasi $8,000/bond, $1,000 keuntungan jika
dijual setalah setahun.
Tersedia hanya 4 villa, 15 acres tanah, dan 20 obligasi.
8
Integer Programming Model:
Memaksimalkan Z = $9,000x1 + 1,500x2 + 1,000x3
dengan kendala:
50,000x1 + 12,000x2 + 8,000x3 $250,000
x1 4 villa
x2 15 acres
x3 20 bond
x2 0
x1, x3 0 dan integer
x1 = villa yang dibeli
x2 = acre tanah yang dibeli
x3 = obligasi yang dibeli
A Mixed Integer Model (2 of 2)
9
Pembulatan solusi non-integer ke atas (ke bawah) dapat
menghasilkan solusi tak layak
Sebuah solusi layak mungkin ditemukan dengan
pembulatan tetapi tidak optimal (sub-optimal).
Apakah sebuah variabel dibulatkan ke atas atau ke bawah
tergantung pada hasil dan kendala yang ada.
Solusi Grafis Pemrograman Integer
10
Contoh Pemrograman Integer
Solusi Grafis Model Maksimasi
Maximize Z = $100x1 + $150x2
subject to:
8,000x1 + 4,000x2 $40,000
15x1 + 30x2 200 ft2
x1, x2 0 dan integer
Solusi Optimal:
Z = $1,055.56
x1 = 2.22 pencetak
x2 = 5.55 bubut
Feasible Solution Space with Integer Solution Points Kedua nilai ini dapat diperoleh dengan
pembualatan, tetapi nilai setiap fungsi
tetap perlu dicek ulang
11
Branch and Bound Method
Pendekatan tradisional untuk pemecahan masalah
pemrograman integer.
Berdasarkan prinsip bahwa kumpulan solusi layak total
dapat dipecah menjadi sub-kumpulan solusi yang lebih
kecil.
Sub-kumpulan yang lebih kecil dievaluasi sampai solusi
terbaik ditemukan.
Metode ini sangat melelahkan dan sering kali meliputi
proses matematis yang kompleks.
Penggunaan alat bantu dapat dipakai (Excel and QM for
Windows).
12
Ringkasan Metode Branch and Bound
1. Dapatkan solusi simpleks optimal dari PL dg batasan integer
2. Tentukan solusi simpleks relaxed sebagai batas atas sedangkan solusi hasil pembulatan ke bawah sebagai batas bawah pada node 1
3. Pilih variabel dengan bagian pecahan terbesar untuk percabangan. Ciptakan dua batasan baru untuk variabel ini yang mencerminkan pembagian nilai integer berupa batasan ≤ dan ≥
4. Ciptakan node baru, satu batasan ≤ dan satu batasan ≥
5. Selesaikan model PL relaxed dengan batasan baru yang ditambahkan pada tiap node
6. Solusi simpleks relaxed adalah batas atas tiap node, dan solusi integer maksimum yang ada (pada node mana saja) adalah batas bawah
7. Jika solusi integer layak dengan nilai batas atas terbesar dihasilkan, maka solusi integer optimal tercapai. Jika solusi integer belum ada, lakukan percabangan dari node dengan batas atas terbesar
8. Ulangi langkah 3.
13
14
Recreational Facilities Example:
Maximize Z = 300x1 + 90x2 + 400x3 + 150x4
subject to:
$35,000x1 + 10,000x2 + 25,000x3 + 90,000x4 $120,000
4x1 + 2x2 + 7x3 + 3x4 12 acres
x1 + x2 1 facility
x1, x2, x3, x4 = 0 or 1
Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (1 of 5)
15
Exhibit 9.2
Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (2 of 5)
16
Exhibit 9.3
Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (3 of 5)
Instead, one could just
specify $C$12:$C$15
as “binary” (= ‘0’ or ‘1’).
17
Exhibit 9.4
Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (4 of 5)
To constrain a range of variables to be
integers, enter:
… and note that it doesn’t matter what you put in
the right-hand side field, but it must not be empty.
Instead, one could just specify the “bin” option (= ‘0’ or ‘1’),
thus avoiding the additional, “≥ 0” and “≤ 1” constraints.
18
Exhibit 9.5
Computer Solution of IP Problems
0–1 Model with Excel (5 of 5)
Recommended