View
2.650
Download
1
Category
Preview:
Citation preview
Uku
ran Pe
musa
tan &
Pe
nyebara
nA
nd
hin
Dyas F
itriani, M
. Pd
Garis Besar Materiن Ukuran
Pemusatan (mean, median, mode, rerata tertimbang dan rerata geometris)
ن Ukuran Keragaman (range, ragam, simpangan baku)
ن Ukuran Lokasi(kuartil, desil, persentil)
Ukuran Pemusatan (01)
Ukuran pemusatan (tendency central) suatu himpunan data titik tempat di mana nilai-nilai suatu gugus data cenderung mengelompok, menunjukkan titik tengah suatu histogram atau kurva distribusi frekuensi
1. Rerata Hitung – Mean (Ungrouped Data)ن Mean atau Mean Arithmetic (rerata hitung)
sering digunakan untuk mengukur pemusatanن Untuk ‘ungrouped data’, mean dipeoleh dengan
membagi jumlah semua nilai dengan banyak nilai dalam data
untuk populasi untuk sampel
ن Nilai (mean sampel) memungkinkan bervariasi, karena diambil dari sampel yang berbeda, bergantung nilai observasi tiap sampel
N
xμ
n
xx
x
Ukuran Pemusatan (02)
ن Dalam suatu data, dikenal istilah nilai pencilan atau outlier, yaitu nilai yang sangat kecil atau sangat besar atau jauh dari nilai observasi lainnya. Nilai pencilan akan menghasilkan perbedaan dalam nilai mean.
ن Kelemahan mean (dalam tinjauan statistik deskriptif), adalah karena nilainya akan sangat dipengaruhi oleh keberadaan nilai pencilan
ن Kelebihan mean adalah mudah dihitung, dan mempunyai nilai matematik sehingga dapat digunakan pada statistik inferensia
ن Ilustrasitabel berikut menunjukkan daftar populasi 5 negara bagaian Pasifik pada tahun 1992Negara Bagian
Washington
Oregon
Alaska
Hawai
California
Populasi
(ribuan)
5.136 2.977 587 1.160 30.867
data pencilan
Ukuran Pemusatan (03)
Mean tanpa California :
Mean dengan California
Populasi California sangat besar dibanding dengan jumlah populasi 4 negara bagian lainnya. Pelibatan California, secara signifikan memberikan pengaruh terhadap besaran ukuran nilai mean sebagai ukuran pemusatan
24654
116058729775136Mean
8145,45
30867116058729775136Mean
Ukuran Pemusatan (04)
2. Rerata Hitung – Mean (Grouped Data)Formula ن
untuk populasi untuk sampel
Contoh نTabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi waktu (dalam menit) yang diperlukan untuk berangkat dari rumah menuju kampus untuk seluruh mahasiswa suatu perguruan tinggi yang berjumlah 25 orang.
• Pertanyaanhitunglah rerata waktu yang diperlukan?
• Jawab- tentukan nilai tengah (m) masing-
masing kelas- hitung perkalian m dengan frekuensi f
N
m.fμ
n
m.fx
Waktu (menit) Jumlah
0 – 10 4
10 – 20 9
20 – 30 6
30 – 40 4
40 – 50 2
Ukuran Pemusatan (05)
Waktu (menit)
Frekuensi (f)
Nilai Tengah (m)
m.f
0 – 10 4 5 20
10 – 20 9 15 135
20 – 30 6 25 150
30 – 40 4 35 140
40 – 50 2 45 90
Total 25 535
21,4025535
N
m.fμ
Ukuran Pemusatan (06)
3. Median (Ungrouped Data)ن Median adalah nilai yang terletak pada tengah
suatu data di mana data tersebut telah diurutkan (di ranking)
ن Himpunan data yang telah diurutkan menurut besarnya ini, dinamakan array
ن Perhitungan median terdiri dari 2 tahap, yaitu :- urutkan data dari yang terendah hingga yang tertinggi- tentukan posisi median
ganjil data)(banyak nuntuk 2
1nmedian posisi ,
,tengah data 2 dari reratamedian posisi
genap data)(banyak nuntuk
Ukuran Pemusatan (07)
4. Median (Grouped Data)ن Formula
ن Contoh
m
km2n
m ff
iBMedian
di mana :Bm = tepi bawah kelas mediani = interval kelas n = ukuran sampel datafkm = frekuensi kumulatif sebelum medianfm = frekuensi pada kelas median
Upah (dollar) Jumlah
301 – 400 9
401 – 500 16
501 – 600 33
601 – 700 20
701 – 800 14
801 – 900 6
Dari data tabel di samping, diketahui :
332550
100500,5Median
576,26
Ukuran Pemusatan (08)
5. Modus (Grouped Data)ن Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi
tertinggi dalam suatu gugus dataن Data yang hanya memiliki 1 modus disebut
unimodal; 2 modus dengan frekuensi sama disebut bimodal dan lebih dari 2 modus disebut multimodal
ن Formula :
21
1m dd
d iBModus
di mana :Bm = tepi bawah kelas modusi = interval kelas d1 = frekuensi kelas modus – frekuensi sebelum kelas modusd2 = frekuensi kelas modus – frekuensi sesudah kelas modus
Ukuran Pemusatan (09)
ن ContohDari data di samping diperoleh informasi :
Upah (dollar) Jumlah
301 – 400 9
401 – 500 16
501 – 600 33
601 – 700 20
701 – 800 14
801 – 900 6
1317
17100500,5Modus
557,17
Ukuran Pemusatan (10)
6. Hubungan antara Mea, Median dan Modus
ن Untuk suatu histogram yang simetris, dan kurva frekuensi dengan sebuah puncak, nilai mean, media dan modus adalah sama; yaitu terletak pada bagian tengah distribusi
ن Untuk suatu histogram yang miring ke kanan, nilai mean terbesar, modus terkecil dan median terletak diantara mean dan modus. Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan di ekor sebelah kanan (pencilan mayor)
ن Untuk suatu histogram yang miring ke kiri, nilai mean terkecil, modus terbesar dan median terletak diantara mean dan modus. Nilai mean akan sangat dipengaruhi oleh pencilan di ekor sebelah kiri (pencilan minor)
Ukuran Pemusatan (11)
7. Rerata Tertimbang (Weighted Average)ن Rerata yang diperhitungkan setelah tiap nilai
diberikan pembobotan tertentu, yang menunjukkan bobot relatif masing-masing nilai data yang diratakan (mis. IPK, nilai barang)
ن Formula :
ن Contoh :
ن
ن
n
1ii
n
1iii
B
B
xBx
Mata Kuliah
Nilai Mutu
Angka Mutu (Xi)
SKS (Bi) Xi.Bi
Kalkulus B 3 2 6
Statistika A 4 4 16
Algoritma C 2 3 6
Struktur Data
A 4 3 12
Σ 14 12 40
1240
IPK
3,33
Ukuran Pemusatan (12)
8. Rerata Geometrik (Geometric Average)ن Rerata geometrik digunakan untuk menghitung
rerata laju pertumbuhan (growth rate), misalnya pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat suku bunga, dan lain-lain
ن Formula :
ن Contoh :data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :1,5 2,3 3,4 1,2 2,5
nn21 xxxG ...
5 2,51,23,42,31,5G 2,04
Latihan soal
Hitunglah mean, median, dan modus dari data yang telah ada pada pertemuan sebelumnya!
Ukuran Penyebaran (1)
1. Range (Selang)ن Range merupakan metode pengukuran paling
sederhana yang digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data.
ن Sepertihalnya mean, nilai range dipengaruhi oleh adanya ‘outlier/pencilan’, sehingga range bukanlah merupakan ukuran yang baik untuk menunjukkan ketersebaran suatu data yang memiliki pencilan
ن Nilai range yang hanya ditentukan oleh 2 data (nilai yang lain dalam data diabaikan) menunjukkan tidak representatifnya range dalam merepresentasikan ketersebaran data
ن Formula : terkecil Nilai-terbesar NilaiRange
Ukuran Penyebaran (2)
2. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi) – (Ungrouped Data)ن Simpangan baku, merupakan ukuran statistik yang
paling sering digunakan untuk mengukur ketersebaran suatu data
ن Nilai simpangan baku menunjukkan seberapa dekat nilai-nilai suatu data dengan nilai rerata
ن Nilai simpangan baku yang kecil data menyebar dalam range yang lebih kecil mendekati nilai rerata. Begitu pula sebaliknya.
ن Nilai simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat nilai ragam (varians)
ن Ragam dari suatu data populasi dinotasikan dengan , sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan
ن Simpangan baku dari suatu data populasi dinotasikan dengan sedangkan untuk data sampel dinotasikan dengan
2σ2s
σs
Ukuran Penyebaran (3)
ن Formula :
ن Contoh :
NN
xx
σ
2
i2i
2
1nn
xx
s
2
i2i
2
1n
xx2
i
x x^2
90 8100
85 7225
65 4225
75 5625
70 4900
95 9025
total 480 39.100
56
48039.100
s
2
2
538.40039.100
140
Ukuran Penyebaran (4)3. Ragam (Varians) dan Simpangan Baku (Standard Deviasi) – (Grouped Data)ن Formula :
NN
mffm
σ
2
2
2
1nn
mffm
s
2
2
2
1n
xmf2
di mana :
m = titik tengah f = frekuensi
Ukuran Penyebaran (5)
4. Parameter Populasi dan Statistik Sampelن Nilai ukuran seperti mean, median, modus, range,
ragam atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data populasi disebut parameter populasi
ن Nilai ukuran seperti mean, median, modus, range, ragam atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data sampel disebut statistik sampel
ن Sehingga : adalah parameter populasi adalah statistik sampel
σ dan σ μ, 2
s dan s ,x 2
Ukuran Penyebaran (6)
• Koefisien Varians (koefisien keragaman)ن merupakan rasio dari simpangan baku dan
rerata (populasi atau sampel)ن semakin besar nilai koefisien variansi, maka
data akan semakin bervariasi atau dengan kata lain, data tersebut memiliki tingkat keragaman yang tinggi
ن Formula :
atau
dimana :
μσ
ωx
sω
sampel dan populasi baku simpangan s dan σ sampel dan populasi rerata x dan μ
varians koefisienω
Ukuran Penyebaran (7)
• Nilai Baku (Z-Score)ن Merupakan ukuran penyimpangan data dari
rerataa populasiن Nilai z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau
negatif (-)z nol data bernilai samam dengan rerata populasi
z positif data bernilai di atas rerata populasi
z negatif data bernilai di bawah rerata populasi
ن Formula :σμx
z
Ukuran Lokasi (1)
1. Kuartilن Kuartil membagi sederetan data terurut menjadi 4
bagian yang sama, sehingga menghasilkan 3 kuartil, yaitu kuartil pertama (Q1), kuartil kedua (Q2) dan kuartil ketiga (Q3)
ن Ketiga titik lokasi tersebut adalah :
ganjil data ,xQ1n
411
genap data ,xQ
2n411
ganjil data ,xMeQ
1n212
genap data ,xx21
MeQ1
2n
2n2
ganjil data ,xQ
1n433
genap data ,xQ
23n413
Ukuran Lokasi (2)
ن Untuk data yang telah dikelompokkan, maka :
ن Jarak antar kuartil (InterQuartil Range)
ن Contoh :berikut adalah nilai 12 mahasiswa dalam kelas statistika 75 80 68 53 99 58 76 73 85 88 91 79tentukan nilai ketiga kuartil dan tentukan pula posisi 88 dalam hubungannya dengan kuartil!
q
kq4n
q1 f
f iBQ
q
kq43n
q3 f
f iBQ
di mana :
Bq = tepi bawah kelas kuartili = interval kelasn = ukuran sampel/banyak datafq = frekuensi pada kelas kuartilfkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil13 QQIQR
Ukuran Lokasi (3)
ن Jawab :pertama, urutkan data dari yang terkecil menuju ke yang terbesar
53 58 68 73 75 76 79 80 85 88 91 99
• Q1 = 70,5, menyatakan bahwa ±25% mahasiswa pada sampel mendapat nilai < 70,5
• Q2 = 77,5, menyatakan bahwa ±50% mahasiswa pada sampel mendapat nilai < 77,5
• Q3 = 86,5, menyatakan bahwa ±75% mahasiswa pada sampel mendapat nilai < 86,5
• Dengan melihat letak nilai 88, maka nilai 88 termasuk ke dalam 25% terbaik
mediannilai mediannilai
27368
Q1
70,52
7976Q1
77,528885
Q1
86,5
Ukuran Lokasi (4)
2. Desilن Desil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan
data ke dalam 10 bagian yang samaن Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan D1,
D2, ..., D9, yang mempunyai sifat bahwa 10% data berada di bawah D1, 20% data berada di bawah D2, ..., dan 90% data berada di bawah D9
ن Untuk data yang dikelompokkan :
d
kd10k
dk ffn
iBD
Ukuran Lokasi (5)
2. Persentilن Desil adalah nilai-nilai yang membagi sederetan
data ke dalam 100 bagian yang samaن Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1,
P2, ..., P99, yang mempunyai sifat bahwa 1% data berada di bawah P1, 2% data berada di bawah P2, ..., dan 99% data berada di bawah P9
ن Untuk data yang dikelompokkan :
p
kp100k
pk f
fn iBP
Latihan Soal
Recommended