View
9
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
i
PENDUGAAN MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS
MAKALAH
Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika
Program Studi Matematika
Oleh:
YULIANA ROSSI YURIKE SARI
NIM : 093114003
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
ESTIMATION COBB-DOUGLAS PRODUCTION FUNCTION MODEL
A PAPER
Presented As Partial Fulfillment of the Requirements
To Obtain the Bachelor of Mathematics Study Program
Written by :
YULIANA ROSSI YURIKE SARI
Student ID : 093114003
MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTEMENT
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2015
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iii
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
iv
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini adalah tugu peringatan akan kesetiaan Tuhan dalam hidupku
“Sebab tujuh kali orang benar jatuh, namun ia bangun kembali.
Jika engkau tawar hati pada masa kesesakan kecillah kekuatanmu.”
(Amsal 24:10)
“Karna kita tidak berjuang sendiri,
kita berjuang bersama orang-orang yang juga berjuang
bersama kita.”
(Matemacinta 2009)
Karya ini aku persembahkan untuk :
Keluarga terkasih dan Matemacinta 2009
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vi
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa makalah yang saya tulis
ini tidak memuat karya atau bagian orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan atau daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 15 Juli 2015
Penulis
Yuliana Rossi Yurike Sari
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
vii
ABSTRAK
Yuliana Rossi Yurike Sari. 2015. Pendugaan Model Fungsi
Produksi Cobb-Douglas. Makalah. Program Studi Matematika,
Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas
Sanata Dharma, Yogyakarta.
Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili
hubungan antara output dan input. Pendugaan fungsi produksi Cobb
Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil
produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan
untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu
perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya
karyawan yang bekerja dan modal yang di investasikan dalam proses
produksi.
Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap
parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut
Dengan
: Banyaknya output fisik pada selang waktu tertentu.
: Banyaknya karyawan yang mengerjakan pada selang
waktu tertentu.
: Banyaknya modal yang dikeluarkan pada selang waktu
tertentu.
: Parameter yang berubah dari waktu ke waktu.
: Galat random yang mungkin terjadi, mewakili faktor
musim, kerusakan mesin yang tidak bisa diprediksi, kinerja
karyawan, dan masih banyak lagi.
: Parameter yang berlaku untuk semua perusahaan dalam
sampel.
Fungsi produksi Cobb-Douglas dapat diubah dalam bentuk linear
terhadap parameter dengan menggunakan tranformasi logaritma, yang
dapat dinyatakan dalam persamaan berikut
dengan , ,
dan , maka
parameter dapat diduga menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRACT
Yuliana Rossi Yurike Sari. 2015. Estimation Cobb-Douglas
Production Function Model. A Paper. Mathematics Study Program,
Departemen of Mathematics, Faculty of Science and Technology,
Sanata Dharma University, Yogyakarta.
In economics, the Cobb-Douglas production functions model was widely
used to represent the relationship between output and inputs. The
Estimation of Cobb-Douglas production function was needed by a firm to
contribute an excellent product. The Estimation of Cobb-Douglas
production function was to estimate the physical output in a spesific time
which its input were the number of labours and investment capital.
Cobb-Douglas production function was non-linear to its parameter
in :
Where
: the numbers of physical output in a specific range of time
: the numbers of labor in a specific range of time
: the numbers of Input capital in a specific range of time
: parameter varies from firm to firm.
: Random disturbance representing factors such as weather,
un-predictable variations in machine or labor performance,
and so on.
: parameters were assumed common to all firms in the
sample.
Cobb-Douglas production function could be transform in to linear
form using logarithm transformation such as :
where , ,
and , so, the parameter
was estimated by using Ordinary Least Square
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang selalu
memberikan hikmat dan menyertai penulis hingga penulis mampu menyelesaikan
makalah ini dengan lancar dan baik. Makalah ini dimaksudkan untuk memenuhi
salah satu syarat dalam menyelesaikan pendidikan Strata 1 (S1) dan memperoleh
gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika di Universitas Sanata
Dharma Yogyakarta.
Penulis menyadari bahwa proses makalah ini melibatkan banyak pihak.
Ole karena itu pada kesempatan ini penulis sudah selayaknya mengucapkan
terimakasih kepada :
1. Y.G. Hartono, M.Sc., Ph.D., selaku Dosen Pembimbing Akademik dan
Ketua Program Studi.
2. Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Akademik tahun 2009-2013.
3. Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang telah
membimbing dengan sabar dan memberikan masukan dan koreksi yang
sangat bermanfaat selama proses penyusunan makalah ini.
4. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan
ilmu yang berguna kepada penulis.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
5. Keluarga terkasih, Bapak Petrus Deddy Supardianto, Ibu Mariana Sri
Amini, Richardo Surya Pratama, Odelo Ryou Gunawan, yang telah
memberikan cinta, doa, dukungan dan motivasi.
6. Teman-teman matematika 2009 : Yohana Buragoran, Faida Fitria Fatma,
Maria Etik Damayanti, Yohanes Dimas Nugrahanto Wibowo, Sekar Ayu
Anggraito, Fransiska Dwi Handryani, Dimas Adi Setiawan, Erlika Priyati,
atas kebersamaan, keceriaan, cinta, doa dan dukungan.
7. Sahabat terkasih Diljerti Panggalo, Crescentia Yuni Wahyu dan Stefanus
Denny Hariyanto atas kebersamaan dan dukungan.
8. Semua pihak yang telah mendukung, yang tidak dapat penulis sebutkan
satu persatu.
Penulis menyadari bahwa masih ada kekurangan dalam penulisan makalah
ini. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran demi
menyempurnakan makalah ini. Akhirnya, penulis berharap semoga makalah ini
dapat bermanfaat bagi para pembaca.
Yogyakarta, 15 Juli 2015
Penulis
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN
PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan dibawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata
Dharma :
Nama : Yuliana Rossi Yurike Sari
NIM : 093114003
Memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma, karya ilmiah saya
yang berjudul :
Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas
beserta perangkat-perangkat yang diperlukan (bila ada) demi pengembangan ilmu
pengetahuan. Dengan demikian, saya memberikan kepada Universitas Sanata
Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelola
dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis
tanpa perlu minta ijin dari saya maupun memberi royalti kepada saya selama tetap
mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada tanggal : 5 Agustus 2015
Yang menyatakan
(Yuliana Rossi Yurike Sari)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ............................................. ii
HALAMAN PENGESAHAN ......................................................................... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v
HALAMAN KEASLIAN KARYA ................................................................. vi
ABSTRAK ...................................................................................................... vii
ABSTRACT .................................................................................................... viii
KATA PENGANTAR .................................................................................... ix
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .......................... xi
DAFTAR ISI ................................................................................................... xii
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1
A. Latar Belakang Masalah ...................................................................... 1
B. Perumusan Masalah ............................................................................ 5
C. Pembatasan Masalah ........................................................................... 5
D. Tujuan Penulisan ................................................................................. 6
E. Manfaat Penulisan ............................................................................... 6
F. Metode Penulisan ................................................................................ 6
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
G. Sistematika Penulisan ......................................................................... 6
BAB II LANDASAN TEORI ......................................................................... 8
A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak .............................................. 8
B. Analisis Regresi .................................................................................. 15
1. Linearitas dalam Variabel ............................................................. 15
2. Linearitas dalam Parameter ........................................................... 16
C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil .......................... 18
1. Metode Kuadrat Terkecil .............................................................. 18
2. Sifat-sifat Penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi
Linear Berganda ............................................................................ 25
D. Metode Regresi Linear Intrinsik ......................................................... 27
1. Model Regresi Linear Intrinsik ..................................................... 27
2. Penduga Model Regresi Linear ..................................................... 30
E. Koefisien Determinasi ................................................................ 31
F. Asumsi-asumsi dalam Regresi ............................................................ 35
1. Multikolinearitas ........................................................................... 35
2. Heterokedastisitas ......................................................................... 39
3. Autokorelasi .................................................................................. 42
BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS ....................... 50
A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas ............................................... 50
B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas ............................ 56
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
BAB IV APLIKASI ........................................................................................ 65
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN .......................................................... 75
A. Kesimpulan ......................................................................................... 75
B. Saran .................................................................................................... 76
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................... 78
LAMPIRAN .................................................................................................... 80
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Manusia pada dasarnya adalah mahluk yang konsumtif. Hal itu
dapat dilihat dari cara manusia memenuhi kebutuhannya, yang tidak hanya
memprioritaskan kebutuhan primer, tetapi juga berusaha memenuhi
kebutuhan sekunder dan tersier. Beberapa barang yang mungkin termasuk
kebutuhan tersier pada beberapa tahun lalu, sudah menjadi prioritas primer
atau sekunder pada masa kini. Salah satu contohnya adalah handphone.
Kebutuhan konsumen yang meningkat dikarenakan pertumbuhan
ekonomi, politik maupun budaya dan masih banyak lagi faktor yang
mungkin terjadi di lingkungan masyarakat. Dalam budaya masyarakat,
banyak orang yang dengan mudah membelanjakan uangnya berdasarkan
keinginan atau promosi iklan semata. Hal ini sangat menguntungkan dan
membuka peluang bagi para penyedia barang dan jasa untuk tidak hanya
memenuhi kebutuhan manusia tetapi juga mencari keuntungan.
Karenanya, banyak perusahaan berlomba menawarkan beragam kebutuhan
konsumen dengan harga terjangkau dan kualitas yang baik. Keadaan ini
memaksa para produsen untuk berfikir keras tentang barang yang harus
diproduksi dan faktor-faktor yang mempengaruhi proses produksi itu
sendiri.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
Secara umum, produksi didefinisikan sebagai proses kombinasi
dan koordinasi faktor-faktor produksi (input) dalam pembuatan suatu
barang atau jasa (output/produk) (Beattie,dkk;1994).
Proses produksi adalah setiap kegiatan manusia untuk membuat
atau menciptakan barang dan atau meningkatkan daya guna atau manfaat
dari barang tertentu (Asri,dkk;1986). Dalam sebuah proses produksi, ada
beberapa faktor produksi meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan
mentah yang masuk, macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya
proses pengerjaan termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang
mengerjakan, jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil
diproduksi dan keuntungan yang akhirnya dapat diambil.
Fungsi produksi dapat didefinisikan sebagai relasi antara keluaran
fisik (output) dan masukan fisik (input) atau faktor-faktor produksi.
Menurut Beattie dalam bukunya yang berjudul The Economics of
Production, fungsi produksi adalah sebuah deskripsi matematis atau
kuantitatif dari berbagai macam kemungkinan produksi teknis yang
dihadapi oleh suatu perusahaan.
Menurut Griffin setidaknya ada 20 macam model fungsi produksi,
yang salah satunya adalah fungsi produksi Cobb-Douglas:
,
Dengan keterangan sebagai berikut:
: Total produksi, atau dapat disimbolkan dengan P(L,K),
: Banyaknya karyawan yang mengerjakan,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
: Nilai modal yang dikeluarkan,
: Faktor Produksi yang lain,
, dan adalah parameter yang dapat bervariasi dari waktu ke
waktu atau dari perusahaan ke perusahaan.
Permasalahan biaya produksi dan besarnya keuntungan merupakan
bagian penting dalam sebuah bisnis. Analisa dan optimalisasi bahan baku
yang terkait dengan biaya produksi harus dilakukan dengan cermat.
Keberhasilan optimalisasi bahan baku dalam sebuah produksi akan
menghemat biaya produksi dan meningkatkan keuntungan yang diperoleh.
Dapat disimpulkan bahwa permasalahan jumlah produk yang dihasilkan
serta pemaksimalan produksi pada jenis produk yang memberikan
keuntungan, sangat berpengaruh pada besarnya keuntungan yang
diperoleh.
Tujuan utama kegiatan produksi dalam perusahaan adalah
memaksimalkan proses penciptaan atau penambahan nilai. Secara
sederhana nilai yang berhasil diciptakan atau ditambah melalui proses
produksi akan mengalami perubahan nilai antara nilai masukan (input) dan
nilai akhir (output). Dalam melakukan kegiatan produksi itu, setidak-
tidaknya dalam jangka panjang, perusahaan harus memperoleh
keuntungan. Oleh karena itu, diperlukan fungsi produksi supaya dengan
fungsi produksi itu perusahaan dapat merencanakan hasil produksi dengan
baik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili
hubungan antara output dan input. Fungsi produksi pertama kali diusulkan
oleh Knut Wicksell (1851 - 1926) dan diuji secara statistika oleh Charles
Cobb dan Paul Douglas pada tahun 1928. Charles Cobb dan Paul Douglas
memodelkan pertumbuhan ekonomi Amerika pada tahun 1899 – 1922
dengan menggunakan pandangan sederhana dari ekonomi di mana hasil
produksi ditentukan oleh banyaknya tenaga kerja yang terlibat dan
besarnya modal yang diinvestasikan. Meskipun ada banyak faktor lain
yang mempengaruhi kinerja ekonomi, model mereka terbukti sangat
akurat.
Menurut Zellner et al, (1966) fungsi produksi Cobb-Douglas dibagi
menjadi dua model:
a. Model tradisional, dengan menetapkan asumsi dimana berdasarkan
pada keuntungan minimum deterministik.
b. Model statistika, dengan model Cobb-Douglas tradisional
Dengan keterangan sebagai berikut:
:Total produksi perusahaan ke-i, dengan f adalah selang
waktu tertentu,
:Banyaknya karyawan yang mengerjakan,
:Nilai modal yang dikeluarkan,
: Faktor produksi yang lain,
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
: Galat, yang mewakili faktor-faktor musim, variansi kinerja
mesin dan pekerjaan manusia yang tidak dapat diprediksi,
dan lain-lain.
, dan adalah parameter yang dapat bervariasi dari waktu ke
waktu atau dari perusahaan ke perusahaan.
Tulisan ini bertujuan untuk menduga parameter , dan dalam
fungsi produksi Cobb-Douglas stokastik dengan pendekatan statistika.
B. Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas dalam tulisan ini akan
dirumuskan sebagai berikut:
1. Apakah yang dimaksud dengan fungsi produksi Cobb-Douglas dan
bagaimana landasan teorinya?
2. Bagaimana menduga model fungsi produksi Cobb-Douglas dan
penerapannya pada sistem produksi?
C. Pembatasan Masalah
Penulisan hanya membahas seputar pendugaan model fungsi
produksi Cobb-Douglas stokastik dengan metode kuadrat terkecil, tidak
termasuk penyajian hipotesis. Model Cobb-Douglas yang dimaksud
bersifat linear intrinsik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
D. Tujuan Penulisan
Menduga parameter , dan dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil biasa.
E. Manfaat Penulisan
Dengan mempelajari topik ini, dapat lebih dipahami
pengaplikasian fungsi Cobb-Douglas dalam fungsi produksi.
F. Metode Penulisan
Penulisan menggunakan metode studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari buku dan jurnal yang berkaitan dengan sistem produksi dan
fungsi produksi Cobb-Douglas.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Perumusan Masalah
C. Pembatasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
BAB II LANDASAN TEORI
A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak
B. Analisis Regresi
C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil
D. Metode Regresi Linear Intrinsik
E. Koefisien Determinasi
F. Asumsi-asumsi dalam Regresi
BAB III MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS
A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas
B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas
BAB IV APLIKASI
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
B. Saran
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB II
LANDASAN TEORI
A. Variansi dan Kovariansi Variabel Acak
Pada Subbab ini akan dibahas konsep-konsep statistika yang akan
digunakan untuk analisis regresi.
Definisi 2.1 (Definisi Probabilitas Variabel Random Diskrit)
Probabilitas Y bernilai y, P(Y = y) didefinisikan sebagai jumlahan
probabilitas dari semua titik sampel di S yang bernilai y, dapat ditulis
P(Y = y) sebagai p(y).
Definisi 2.2
Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas
p(y). Maka nilai harapan dari Y, E(Y) didefinisikan menjadi
∑
Teorema 2.3
Untuk setiap distribusi probabilitas diskrit:
1.
2. ∑ , dengan asumsi seluruh nilai y memiliki probabilitas tak
nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
Teorema 2.4
Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y)
dan g(Y) adalah fungsi bilangan real dari Y. Maka nilai harapan dari g(Y)
adalah
∑
Bukti:
Teorema ini akan dibuktikan dengan cara mengambil variabel acak
Y berhingga dengan nilai . Karena g(y) mungkin bukanlah
fungsi satu-satu, andaikan g(Y) bernilai
(dengan m ≤ n). Mengikuti Definisi 2.1 variabel acak g(Y) untuk setiap
i=1,2, ... ,m dapat ditulis
∑
( )
Maka, dengan menggunakan Definisi 2.2 persamaan dapat ditulis menjadi
∑
∑
, ∑
( )
-
∑ ∑ ( )
( )
∑ ( ) ( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
Teorema 2.5
Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y)
dan c adalah konstanta. Maka .
Bukti :
Mengikuti fungsi karena Teorema 2.4
∑
∑
Karena ∑ (Teorema 2.3) maka .
Teorema 2.6
Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas
p(y), g(Y) adalah fungsi dari Y, dan c adalah konstanta. Maka
.
Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4
∑
∑
Teorema 2.7
Misal Y adalah variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas p(y)
dan adalah k fungsi dari Y. Maka
Bukti dengan menggunakan Teorema 2.4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
∑
∑
∑
∑
Definisi 2.8
Misal adalah fungsi variabel random diskrit ,
, memiliki fungsi probabilitas bersama maka
nilai harapan dari adalah
∑
∑∑
Jika adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas
bersama , maka
∫
∫ ∫
Teorema 2.9
Misal g adalah fungsi variabel acak dan c adalah
bilangan konsta. maka
.
Bukti dengan menggunakan Definisi 2.8
∑∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
Teorema 2.10
Misal adalah variabel acak dan
adalah fungsi dari . Maka
Bukti :
∑( )
∑
∑
∑
Definisi 2.11
Jika adalah variabel random dengan rata-rata , maka
variansi dari variabel random adalah
Standar deviasi dari adalah akar kuadrat dari .
Definisi 2.12
Jika adalah variabel random dengan rata-rata ,
maka covariansi dari adalah
) = E
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
Teorema 2.13
Jika adalah variabel random dengan rata-rata ,
maka
) =
Bukti:
) = E
= E(
Dengan menggunakan Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 didapat persamaan
) =
Karena = dan = maka
) =
=
=
Teorema 2.14
Misal dan adalah variabel acak diskrit
dengan dan ( ) didefinisikan
∑ dan ∑
untuk setiap konstanta dan . Maka:
a. ∑
b. ∑
∑∑ ,
Dimana ∑∑ adalah semua pasangan (i,j) dengan i<j.
c. ∑ ∑
Bukti:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
Teorema terdiri atas tiga bagian, dimana (a) secara langsung
mengikuti Teorema 2.9 dan Teorema 2.10 . untuk membuktikan (b), kita
menggunakan Definisi 2.11
∑ ∑
∑
∑
∑ ∑ ( )
Dengan menggunakan definisi variansi dan kovariansi didapat
persamaan
∑
∑ ∑ ( )
Karena = , maka
∑
∑∑ ( )
Bukti untuk (c) akan di tunjukkan dengan cara serupa.
)= E { }
= { ∑ ∑
(∑
∑
)}
= E { ∑ [∑
]}
= E [∑ ∑
]
= ∑ ∑ [ ( )]
= ∑ ∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
Dari bukti di atas dapat disimpulkan bahwa = , ini
berarti (b) adalah kasus khusus dari (c).
B. Analisis Regresi
Analisis Regresi mempelajari hubungan variabel tak bebas dengan
satu atau lebih variabel lain yang disebut variabel penjelas (explanatory
variables), dengan maksud menduga atau meramalkan nilai rata-rata
hitung (mean) atau rata-rata (populasi) variabel tak bebas, dipandang dari
segi nilai yang diketahui atau tetap (dalam pengambilan sampel berulang)
variabel penjelas.
Model Regresi Linear
1. Linearitas dalam Variabel
Suatu fungsi dikatakan linear dalam bila tampak
hanya dengan pangkat 1 (jadi, faktor seperti , √ , dan sebagainya
tidak termasuk, demikian pula jika perkalian atau pembagian dengan
variabel lain seperti, atau ⁄ , dimana adalah variabel lain, tidak
termasuk fungsi linear) dengan contoh model seperti berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
2. Linearitas dalam Parameter
Suatu fungsi dikatakan linear dalam parameter bila nampak
hanya dengan pangkat 1 dan tidak dikalikan atau dibagi dengan
parameter lain (misalnya, ,
⁄ dan seterusnya).
Definisi 2.15
Model linear secara statistik merelasikan respon acak dengan
himpunan variabel bebas dalam bentuk persamaan
Dengan adalah parameter yang tidak diketahui, adalah
variabel acak ( juga biasa disebut error atau galat) dan variabel
diasumsikan nilai yang diketahui. Dengan asumsi bahwa
E( )=0, maka
Mempertimbangkan bentuk persamaan dari model linear di atas,
nilai Y diharapkan sama dengan nilai
(fungsi dari variabel bebas ), ditambah galat acak . Dapat
diambil kesimpulan, menyatakan ketidakmampuan untuk menetapkan
model tepat secara alami. Dalam percobaan yang diulang, Y berubah-ubah
di sekitar E(Y) secara acak karena kegagalan memasukkan banyak variabel
yang mungkin mempengaruhi Y ke dalam model.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
Dari Definisi 2.15 diketahui model linear
Bila dilakukan n pengamatan, pada Y, maka persamaan untuk
dapat ditulis sebagai berikut
(2.1)
adalah pengamatan ke-i dari variabel bebas ke-j, i = 1, 2, ... , n dan
j = 1, 2, ... , k.
Model dapat ditulis dengan notasi matriks dengan .
*
+
*
+
[
] *
+
Dengan demikian, model (2.1) dapat ditulis dengan notasi matriks sebagai
berikut
. (2.2)
Model regresi linear yang melibatkan lebih dari satu variabel bebas
disebut model regresi linear berganda.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
C. Pendugaan Model dengan Metode Kuadrat Terkecil
1. Metode Kuadrat Terkecil
Prosedur untuk menduga parmeter dari model linear sederhana
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil dapat diilustrasikan
secara sederhana dengan garis lurus yang seharusnya melewati
himpunan titik- titik data. Misalkan dengan model
dipetakan menjadi himpunan titik data yang ditunjukkan oleh
Gambar 2.1. (Variabel bebas x bisa saja atau
⁄ atau , dan
juga untuk setiap variabel bebas w yang lain.) Dengan demikian di
dalilkan bahwa
dengan yang di dalamnya memiliki distribusi probabilitas dan
E( )=0. Jika dan adalah penduga dari parameter , maka
jelas
adalah penduga dari E(Y).
Gambar 2.1
Prosedur metode kuadrat terkecil untuk garis yang melewati
himpunan n titik data adalah serupa dengan metode membuat garis
yang cocok dengan tebaran titik-titik. Itulah sebabnya, diharapkan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
secara umum, selisih antara nilai yang diamati dan titik yang
bersesuaian pada garis akan “kecil”. Cara yang cocok untuk
menyelesaikan masalah ini adalah dengan meminimumkan jumlah
kuadrat dari selisih vertikal atau galat (lihat selisih yang
ditandai oleh garis vertikal pada Gambar 2.1). Idealnya garis lurus
mendekati himpunan titik-titik data.
Dengan demikian
(2.3)
dapat diduga dengan
(2.4)
adalah nilai prediksi y ke i (pada x = ). Maka selisih (galat) dari
nilai pengamatan adalah selisih dan jumlah kuadrat dari
galat yang diminimumkan adalah
∑
∑
(2.5)
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.4) didapatkan persamaan
berikut
∑
∑
(2.6)
Tujuan metode kuadrat terkecil adalah menentukan penduga
dari yaitu dan sehingga meminimumkan jumlah
kuadrat galat yang diduga dengan .
Dengan mnggunakan proses pendiferensialan
∑
,∑ ( )
-
(2.7)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
(∑
∑
)
∑
∑
∑ ∑
(2.8)
Dan
∑
∑
(2.9)
∑
{∑
}
(2.10)
(∑
∑
∑
)
∑
∑
∑
∑ ∑
∑
(2.11)
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.9), didapatkan
∑
∑
∑
∑
( )∑
∑
∑
(
∑
∑
)∑
∑
Setelah disederhanakan didapatkan penyelesaian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
∑
∑
Bila ∑ disimbolkan dengan Sxy dan
∑ disimbolkan dengan Sxx, maka
. (2.12)
Dalam menduga , untuk model regresi linear
berganda, mengikuti persamaan (2.2) maka dapat ditulis notasi
matriksnya sebagai berikut:
*
+ *
+ [
] *
+
Dengan menggunakan persamaan (2.2) diketahui bahwa
∑
Sehingga
∑
∑( ∑
)
Dengan meminimalkan nilai ∑
terhadap , ... . Misal
adalah penduga kuadrat terkecil. Penduga kuadrat terkecil tersebut harus
memenuhi
∑
∑ ( ∑
)
(2.13)
dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
∑
∑ ( ∑
)
(2.14)
Penyederhanaan persamaan (2.13) dan (2.14) dan mensubstitusikan
Sebagai solusi, menghasilkan
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
(2.15)
Persamaan (2.15) dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut
[
∑ ∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
∑
∑
]
[
]
[
∑
∑
∑
]
Ini berarti
Dengan
[
], [
]
[
]
, dan [
]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
Ditemukanlah penyelesaian untuk mencari
. (2.16)
.Contoh 2.1
Berdasarkan data berikut, akan ditentukan penduga dan
dengan model
Solusi
[ ]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[ ]
[
]
Langkah mencari :
(
|
) (
|
⁄
)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
(
|
⁄
⁄
)
(
|
⁄
⁄
⁄
⁄
)
(
|
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
)
Dan didapatkan
[
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
]
Sehingga didapatkan
[
⁄
⁄
⁄
⁄
⁄
] [
]
[
⁄
⁄
⁄ ]
[
]
= , = dan = , sehingga penduga modelnya
adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
2. Sifat-sifat Penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi
Linear Berganda
Dalam notasi matriks, variansi dan kovariansi menjadi elemen-
elemen dalam matriks Var-Cov.
Definisi 2.16
Matriks variansi-kovariansi dari dapat ditulis sebagai berikut
( ) ,[ ][ ] -
Ekivalen
( )
[
]
Asumsikan variabel random bebas dengan E( =0
dan Var( = dan asumsikan pula selisih variabel random y dan
, k = 1, 2, ..., n
berdistribusi disekitar nol dengan variansi tidak bergantung pada x.
Perhatikan bahwa Var (y) = Var ( ) = bersifat konstan.
1. E ( ) = , i = 1, 2, ..., k.
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.2) dan (2.16) kita
mendapatkan persamaan baru, yaitu :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
(2.17)
(2.18)
Dengan menggunakan Teorema 2.7 dan persamaan (2.17)
didapat persamaan seperti berikut
( ) (2.19)
( ) (2.20)
2. Var ( ) = , adalah elemen diagonal dari
matriks .
Dengan menggunakan definisi 2.17 dan mensubtitusi
persamaan (2.18) didapat persamaan baru
( ) ,[ ][ ] -
{ }
Karena , maka
(2.21)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
3. Cov ( = , adalah elemen di baris i dan kolom j
dari matriks , yang telah dibuktikan pada sifat nomer
dua.
4. Penduga tak bias dari adalah ∑
dengan
∑
. n adalah ukuran sampel dan k
adalah banyaknya variabel.
Dengan menguraikan persamaan (2.14) dan (2.15) didapatkan
Sehingga penduga untuk adalah
∑
D. Metode Regresi Linear Intrinsik
1. Model Regresi Linear Intrinsik
Model regresi nonlinear membutuhkan transformasi linear
untuk berubah menjadi model linear, karena ketika metode kuadrat
terkecil diaplikasikan pada model regresi linear, persamaan normal
nonlinear yang dihasilkan sering kali sulit untuk di selesaikan dengan
menggunakan pendugaan meminimumkan jumlahan galat kuadrat
secara langsung dengan prosedur iterasi. Karenanya, kesimpulan teori
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
normal yang digunakan pada model regresi linear tidak dapat
diaplikasikan dengan tepat pada model regresi nonlinear.
Namun, seringkali hanya nilai harapan yang diperhatikan
ketika akan dilakukan tranformasi. Sebagai contoh, perhatikan model
berikut
(2.22)
Pada model (2.22), faktor galat muncul dalam bentuk
penjumlahan sehingga transformasi logaritma tidak akan menghasilkan
model regresi linear. Karena nilai harapannya adalah
, nilai harapan tersebut dapat dengan mudah
dilinearkan dengan cara membuat logaritma dari fungsi tersebut
Jadi fungsi tersebut dapat ditulis ulang menjadi model regresi linear
dengan tetap mempertahankan , sebagai berikut
(2.23)
Dengan dan digunakan regresi linear untuk
menduga parameter dan dalam persamaan yang baru.
Secara umum, penduga metode kuadrat terkecil dari parameter
persamaan (2.23) tidak akan ekivalen dengan penduga parameter
nonlinear pada model asli (persamaan (2.22)). Karena model nonlinear
kuadrat terkecil yang asli mengimplikasikan minimalisasi jumlah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
kuadrat galat pada , dimana pada model yang ditransformasi kita
meminimalkan jumlah kuadrat galat pada logaritma dari .
Perhatikan pada model nonlinear asli pada persamaan (2.22)
mempunyai struktur galat yang bersifat penjumlahan, sehingga
logaritma dari persamaan (2.22) tidak menghasilkan persamaan (2.23).
Namun, jika struktur galat bersifat perkalian maka
(2.24)
dan mengambil langkah ini tepat karena
(2.25)
Jika galat yang baru adalah berdistribusi normal dengan
variansi konstan, maka prosedur standar penarikan kesimpulan model
regresi linear dapat diaplikasikan. Suatu model regresi nonlinear yang
dapat ditransformasikan menjadi model regresi linear yang ekivalen
disebut linear intrinsik.
Beberapa model terlihat nonlinear dalam parameter tetapi yang
sebenarnya adalah linear intrinsik karena dengan transformasi yang
cocok, model regresi dapat diubah ke dalam bentuk linear terhadap
parameter. Tetapi jika model tidak dapat dilinearisasikan terhadap
parameter maka model disebut model regresi intrinsik nonlinear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
2. Pendugaan Model Regresi Linear
Pendugaan model regresi linear menggunakan Metode Kuadrat
Terkecil, seperti yang telah dibahas dalam subbab sebelumnya.
Fungsi produksi Cobb Douglas merupakan salah satu contoh
model linear intrinsik, dengan bentuk persamaan
Perhatikan bahwa model tersebut tidak linear dalam parameter tetapi
model tersebut dapat dirubah dalam persamaan linear dengan
transformasi
Yang dapat juga ditulis
Dengan ,
= , = ,
= . Sehingga
model linear dalam parameter.
Dalam menduga , untuk model regresi linear
berganda, mengikuti persamaan (2.2) maka dapat ditulis notasi
matriksnya sebagai berikut:
*
+ *
+ *
+ [
]
Dengan menggunakan persamaan (2.2) diketahui bahwa
dan ∑
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
Dengan demikian penyelesaian kuadrat terkecil untuk
adalah yang dapat diperoleh melalui tahap pendiferensialkan
terhadap , dan menyamakan dengan nol. Sehingga ditemukanlah
penyelesaian untuk mencari , seperti persamaan (2.16).
.
E. Koefisien Determinasi
Koefisien determinasi ( ) adalah koefisien yang menjelaskan
besarnya presentase variansi Y yang dapat dijelaskan dengan model.
Koefisien determinasi dapat digunakan untuk menjelaskan kebaikan
model. Diberikan diagram Venn untuk memberikan gambaran mengenai
konsep koefisien determinasi.
Gambar 2.2
Pada diagram venn di atas, lingkaran Y mewakili variansi dalam
variabel bebas Y dan lingkaran X mewakili variansi dalam variabel
penjelas X. Irisan menunjukan bagian variansi yang dapat dijelaskan. Pada
diagram Venn (a) adalah kondisi awal variansi. Diagram Venn (b)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
menunjukan adanya irisan antara kedua lingkaran X dan Y tersebut. Hal ini
menunjukan bahwa sebagian variansi dari Y dapat dijelaskan oleh variansi
X. Semakin besar irisan yang ditunjukan pada diagram Venn (c), (d), (e)
semakin besar pula variansi Y yang dijelaskan oleh variansi X. Ketika
lingkaran Y dan lingkaran X itu berhimpit seperti tampak pada diagram
Venn (f), hal ini menunjukan bahwa 100 persen dari variansi Y dapat
dijelaskan oleh variansi X. semata-mata merupakan ukuran dari irisan
antara variansi Y dan variansi X. Pada gambar diagram Venn menunjukan
bahwa irisan antara variansi Y dan variansi X meningkat, ini berarti
meningkat pula proporsi variansi Y yang dapat dijelaskan oleh X. Ketika
lingkaran Y dan lingkaran X berhimpit, dapat dikatakan bahwa nilai
, karena 100 persen dari variansi Y dapat dijelaskan oleh X.
Sebaliknya, ketika lingkaran Y dan lingkaran X tidak berhimpit dan tidak
beririsan, dapat dikatakan , artinya variansi Y tidak dapat dijelaskan
oleh X.
Dengan demikian, untuk menghitung dapat menggunakan
persamaan (2.3) dan (2.4) sehingga dapat ditulis
(2.26)
Sebelumnya, akan ditunjukkan bahwa ∑ dan diberikan
bahwa ,
∑ ∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
∑
∑
∑ ∑
∑
∑
∑
∑
(2.27)
Diketahui bahwa
(2.28)
Selanjutnya dengan model
(2.29)
didapatkan persamaan baru melalui cara mengurangkan persamaan (2.29)
dan (2.28)
Sehingga dapat diduga dengan
Dengan mengkuadratkan dan menjumlahkan persamaan (2.26), maka
didapatkan persamaan sebagai berikut
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
∑( ) ∑ ∑
∑
∑ (2.30)
Berbagai jumlah kuadrat yang muncul dalam persamaan (2.30)
dapat digambarkan sebagai berikut:
1. ∑ ∑ yang disebut sebagai jumlah kuadrat total (TSS)
2. ∑
yang disebut sebagai jumlah kuadrat dari regresi atau jumlah
kuadrat yang dapat dijelaskan oleh regresi (ESS) dan
3. ∑ yang disebut jumlah kuadrat galat (RSS)
Dengan kata lain, persamaaan (2.30) dapat ditulis ulang menjadi
TSS = ESS + RSS (2.31)
Definisi 2.17
Koefisien determinasi didefinisikan sebagai:
(2.32)
Dalam kasus dua variabel,
∑
∑
Dalam kasus tiga variabel,
∑ ∑
∑
Dengan menggeneralisasikan, kita mendapatkan untuk kasus k-variabel
∑ ∑ ∑
∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
∑ ∑
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
Dalam notasi matriks dapat ditulis menjadi
F. Asumsi-asumsi dalam Regresi
1. Multikolinearitas
Istilah multikolinearitas mula-mula ditemukan oleh Ragnar
Frisch. Multikolinearitas berarti adanya hubungan linear yang
sempurna atau pasti, diantara beberapa atau semua variabel yang
menjelaskan dari model regresi. Untuk regresi k-variabel, meliputi
variabel yang menjelaskan (dengan =1 untuk semua
pengamatan untuk memungkinkan adanya unsur intersep), suatu
hubungan linear yang pasti dikatakan ada apabila kondisi berikut
dipenuhi:
(2.33)
Dengan adalah konstanta sedemikian rupa
sehingga tidak semuanya secara simultan sama dengan nol.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Tetapi, untuk saat ini istilah multikolinearitas digunakan dalam
pengertian yang lebih luas untuk memasukkan kasus multikolinearitas
sempurna, seperti yang ditunjukkan oleh persamaan (2.33) maupun
kasus di mana variabel X berkolerasi tetapi tidak secara sempurna,
sebagai berikut
(2.34)
dengan adalah kesalahan unsur stokastik.
Perbedaan multikolinearitas sempurna dan kurang sempurna
bisa dilihat dalam contoh berikut, asumsikan bahwa , maka
persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi
(2.35)
yang menunjukan bagaimana berhubungan linear dengan variabel
lain atau bagaimana dapat diperoleh dari kombinasi linear variabel
yang lain. Dalam keadaan ini, keefisien korelasi antara variabel
dan kombinasi linear di sisi kanan dari persamaan (2.35) akan menjadi
sama dengan satu.
Serupa dengan persamaan (2.35) , jika , maka
persamaan (2.33) dapat ditulis menjadi
(2.36)
yang menunjukan bahwa tidak merupakan kombinasi linear yang
pasti dari lainnya karena juga ditentukan oleh unsur kesalahan
stokastik .
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
Sebagai contoh, perhatikan data hipotetis berikut ini:
10 50 52
15 75 75
18 90 97
24 120 129
30 150 152
Jelas bahwa . Ini berarti terdapat kolinearitas
sempurna antara dan karena koefisien . Variabel
diciptakan dari dengan hanya menambahkan bilangan random 2, 0,
7, 9, 2. Sekarang tidak ada lagi multikolinearitas sempurna antara
dan .
Model regresi mengasumsikan tidak adanya multikolinearitas
diantara variabel X, karena jika multikolinearitas dalam arti persamaan
(2.33), koefisien regresi variabel persamaan (2.34) tidak tertentu dan
kesalahannya tidak terhingga, dan jika multikolinearitas tidak
sempurna seperti dalam persamaan (2.34) , koefisien regresi meskipun
dapat ditentukan memiliki kesalahan standar yang besar (dibandingkan
dengan koefisien itu sendiri), yang berarti koefisien tidak dapat diduga
dengan ketepatan yang tinggi.
Ada beberapa metode untuk mendeteksi adanya
multikolinearitas. Diantaranya:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
1. Kolinearitas seringkali diduga ketika tinggi dan ketika
korelasi derajat nol juga tinggi, tetapi tidak satu pun atau sangat
sedikit koefisien regresi parsial yang secara individual penting
secara statistik atas dasar pengujian t yang konvesional. Jika
tinggi, ini akan berarti bahwa uji F dari prosedur analisis
varians dalam sebagian kasus akan menolak hipotesis nol
bahwa nilai koefisien kemiringan parsial secara simultan
adalah nol, meskipun uji t sebaliknya.
2. Korelasi derajat nol yang tinggi merupakan kondisi yang cukup
tetapi tidak perlu adanya kolinearitas karena hal ini dapat
terjadi meskipun melalui korelasi derajat nol atau sederhana
relatif rendah.
3. Menghitung Variance Inflation Factor (VIF) pada model
regresi. VIF menunjukan bagaimana varian dari penduga
meningkat karena kehadiran multikolinearitas.
Berikut langkah-langkahnya:
a. Lakukan regresi dengan yang lain dan hitunglah
koefisien determinasi ( ).
b. Hitung VIF
c. Bila VIF 10, maka ada multikolinearitas.
Salah satu cara untuk menanggulangi adanya multikolinearitas
adalah dengan menghilangkan salah satu variabel yang berkolerasi.
Namun demikian multikolineritas tidak dapat dihilangkan pada kasus-
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
kasus khusus, dalam kasus kali ini multikolinearitas tidak dapat
dihilangkan agar tidak bertentangan dengan hukum ekonomi. Namun
demikian, tetap harus disertai keterangan seberapa besar
multikolinearitas yang terjadi dalam data. Jika ada variabel dengan
VIF 10 maka variabel dapat dihilangkan dari model regresi.
2. Heterokedastisitas
Asumsi berikut dapat disebut dengan homoskedastisitas
(variansi yang sama) dengan menggunakan lambang,
(2.37)
Diberikan gambar model regresi dua variabel yang menunjukan
homoskedastisitas
Gambar 2.3
Variansi bersyarat dari (yang sama dari variansi ),
tergantung pada nilai tertentu, tetap sama. Tidak peduli nilai yang
diambil untuk variabel X.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
Diberikan gambar model regresi dua variabel yang menunjukan
heterokedastisitas
Gambar 2.4
Variansi bersyarat dari meningkat dengan meningkatnya X
(variansi tidak sama).
Pada umumnya, heterokedastisitas sering terjadi pada model-
model yang menggunakan data cross-sectional dari pada data runtun
waktu, dimana galat yang bersifat heterokedastisitas berubah seiring
perubahan ke-i. Konsekuensi dari keberadaan heterokedastisitas adalah
pendugaan metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang
bias untuk nilai variansi galat dan dengan demikian untuk variansi
koefisien regresi.
Cara untuk mendeteksi adanya heterokedastisitas adalah
dengan menggunakan uji Koenker–Bassett (KB). Berikut langkah-
langkahnya :
1. Diketahui model awal
2. Dapatkan nilai yang didapat dari meregresikan data dan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
3. Hitung nilai dan
kemudian regresikan dengan model
( )
4. Bila model adalah double log, maka nilai diregresikan
dengan
5. Uji Koenker–Bassett (KB)
a. Hipotesis
: tidak ada masalah heterokedastisitas
: ada masalah heterokedastisitas
b. Tingkat signifikansi
c. Kriteria pengujian
diterima bila (
) (
)
ditolak bila (
) atau (
)
d. Menghitung t
√∑
Dengan √∑
6. Membuat keputusan.
Masalah heterokedastisitas terkait dengan variansi dan galat
yang tidak konstan. Metode transformasi logaritma sering digunakan
untuk mengatasi masalah heterokedastisitas.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
3. Autokorelasi
Istilah Autokorelasi dapat didefinisikan sebagai “korelasi
antara anggota serangkaian observasi yang diurutkan menurut waktu
(seperti dalam data urutan waktu) atau ruang (seperti dalam data cross-
sectional)”. Konsekuensi dari keberadaan Autokorelasi adalah metode
kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga yang terlalu rendah untuk
nilai variasi dan karenanya menghasilkan penduga yang terlalu
tinggi untuk . Bahkan ketika penduga nilai variasi tidak terlalu
rendah, maka penduga dari nilai variasi dari koefisien regresi mungkin
akan terlalu rendah dan karenanya uji signifikansi dari uji t dan uji F
tidak valid lagi atau menghasilkan kesimpulan yang menyesatkan.
Salah satu cara mendeteksi adanya Autokorelasi menggunakan
uji Durbin-Watson , dengan rumus
∑
∑
Dengan
: nilai galat yang diperoleh dari proses pendugaan metode
kuadrat terkecil.
: nilai galat yang mundur sebanyak satu satuan waktu.
Setelah mendapatkan nilai d, langkah selanjutnya adalah
membandingkan nilai d dengan nilai-nilai kritis dari dL dan dU dari
tabel statistik Durbin-Watson (tabel dilampirkan).
Kriteria pengujian:
1. Jika d 4dL, maka ada autokorelasi positif
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
2. Jika d 4dL, maka ada autokorelasi negatif
3. Jika dU d 4-dU, maka tidak ada autokorelasi
4. Jika dL ≤ d ≤ dU atau 4-dU ≤ d ≤ 4-dL, maka pengujian tidak
meyakinkan
Gambar 2.5
Masalah autokorelasi dapat ditangani dengan cara melakukan
transformasi pembedaan pertama pada data, yang dapat ditulis sebagai
berikut :
Contoh 2.2
Diketahui data terhadap pengeluaran konsumsi (Y), pendapatan( )
dan informasi kekayaan ( ). Akan diuji apakah data mengandung
multikolinearitas, heterokedastisitas dan Autokorelasi. Dengan model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
Y X2 X3
70 80 810
65 100 1009
90 120 1273
95 140 1425
110 160 1633
115 180 1876
120 200 2052
140 220 2201
155 240 2435
150 260 2686
Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka
.
[
]
[
]
[
]
[
]
Dengan dan model
regresinya adalah
Dengan koefisien determinasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
Uji Asumsi:
1. Multikolinearitas
a. Regresikan model dan hitung
*
+
[
]
*
+
*
+ *
+ *
+
Hitung VIF
Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10
(seperti yang telah dijelaskan di halaman 38).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
b. Regresikan model dan hitung
*
+
*
+
*
+
*
+ *
+ *
+
Hitung VIF
Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10
2. Heterokedastisitas
a. Hitung nilai dengan rumus
b. Hitung nilai dan
kemudian regresikan dengan model
( )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
[
]
[ ]
[ ]
*
+
*
+
*
+
*
+
c. Uji Koenker–Bassett (KB)
1. Hipotesis
: tidak ada masalah heterokedastisitas
: ada masalah heterokedastisitas
2. Tingkat signifikansi =0.05
3. Kriteria pengujian
diterima bila
ditolak bila atau
4. Menghitung t ,
Sebelumnya terlebih dahulu akan dihitung √∑
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
√
( )√∑
√
-0.0685
diterima karena . ini berarti data
tidak mengandung heterokedastisitas.
3. Autokorelasi
∑
∑
2.8906
Tidak dapat disimpulkan bahwa data mengandung autokorelasi
atau tidak.
0,6972 1,6413
2,3587
3,3028
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Dapat ditarik kesimpulan bahwa data terhadap pengeluaran
konsumsi (Y), pendapatan( ) dan informasi kekayaan ( ), dengan model
mengandung multikolinearitas dan tidak dapat disimpulkan apakah data
mengandung autokorelasi atau tidak.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB III
MODEL FUNGSI PRODUKSI COBB-DOUGLAS
A. Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Regresi Cobb-Douglas diperkenalkan pertama kali pada tahun
1927, menggunakan kumpulan data runtun waktu dari perusahaan
manufaktur Amerika sektor tenaga kerja, modal, dan output fisik, dengan
tujuan memahami hubungan antara level output dan kuantitas input pada
proses produksi.
Pada musim semi tahun 1927, saat memberi kuliah di Amherst,
Paul Douglas menggambar grafik dalam skala logaritma tiga variabel
untuk data manufaktur Amerika pada tahun 1899-1922: indeks total modal
yang dikoreksi berdasarkan perubahan dalam biaya barang (C), indeks
total banyaknya penerima gaji (L), dan indeks dari hasil produksi fisik (P).
Douglas mencatat bahwa indeks dari produksi terletak diantara modal dan
tenaga kerja yang berada sekitar sepertiga sampai seperempat diantara
batas bawah indeks dari tenaga kerja dan batas atas indeks dari modal.
Setelah berkonsultasi dengan temannya Charles W. Cobb, seorang
matematikawan, mereka memutuskan, berdasarkan pengamatan ini,
kontribusi relatif masing-masing faktor produksi, tenaga kerja dan modal,
terhadap hasil produksi. Bentuk Euler fungsi homogen sederhana dengan
derajat satu dipilih untuk menjelaskan persamaan ini.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
Dalam dunia ekonomi fungsi produksi Cobb-Douglas mewakili
hubungan antara output dan input. Fungsi produksi pertama kali diusulkan
oleh Knut Wicksell (1851 - 1926) dan diuji secara statistika oleh Charles
Cobb dan Paul Douglas pada tahun 1928. Charles Cobb dan Paul Douglas
memodelkan pertumbuhan ekonomi Amerika pada tahun 1899 – 1922
dengan menggunakan pandangan sederhana dari ekonomi di mana hasil
produksi ditentukan oleh banyaknya tenaga kerja yang terlibat dan
besarnya modal yang diinvestasikan. Meskipun ada banyak faktor lain
yang mempengaruhi kinerja ekonomi, model mereka terbukti sangat
akurat.
Dalam sebuah proses produksi, terdapat beberapa faktor produksi
yang meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk,
macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan
termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan,
jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan
keuntungan yang diperoleh.
Fungsi produksi didefinisikan sebagai relasi antara keluaran fisik
(output) dan masukan fisik (input) atau faktor-faktor produksi. Menurut
Beattie (1994) dalam bukunya The Economics of Production, fungsi
produksi adalah sebuah deskripsi matematis atau kuantitatif dari berbagai
macam kemungkinan produksi teknis yang dihadapi oleh suatu
perusahaan.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
Menurut Griffin setidaknya ada 20 macam model fungsi produksi,
yang salah satunya adalah fungsi produksi Cobb-Douglas:
atau ,
dengan atau (Chiang,1984).
Dengan keterangan sebagai berikut:
: Total produksi, atau dapat disimbolkan dengan P(L,K),
: Banyaknya karyawan yang mengerjakan,
: Nilai modal yang dikeluarkan,
: Faktor Produksi yang lain,
, dan adalah parameter yang dapat bervariasi dari waktu ke
waktu atau dari perusahaan ke perusahaan.
Secara umum, Beattie mendefinisikan produksi sebagai proses
kombinasi dan koordinasi faktor-faktor produksi (input) dalam pembuatan
suatu barang atau jasa (output/produk). Sehingga, total produksi
merupakan banyaknya output barang atau jasa yang berhasil di produksi.
Menurut William S. Vickrey (1964) dalam bukunya yang berjudul
Microstatics, Tenaga kerja terdiri atas jasa dari individu, yang digunakan
sebagai sumber langsung dari kepuasan atau tidakpuasan pada individu.
Vickrey mendefinisikan modal sebagai kategori dari barang fisik
yang mungkin dibentuk, dan akan membedakan dari istilah „modal‟ yang
hanya digunakan untuk menunjukkan kuantitas dari dana, atau kredit, atau
bakat untuk mengelola barang-barang dalam pasar. Ide pokok dalam
konsep modal adalah banyaknya atau kumpulan alat yang digunakan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
dalam produksi: bangunan, mesin, perbaikan yang permanen, inventaris
barang, dan sejenisnya.
Tan Bao Hong (2008) dalam jurnalnya yang berjudul Cobb-
Douglas Production Function menyatakan bentuk fungsi Cobb-Douglas
dalam rumusan berikut
Dengan keterangan sebagai berikut:
: Total produksi
(nilai semua barang-barang yang diproduksi dalam setahun),
: Input tenaga kerja
(banyaknya orang yang bekerja perjam dalam setahun),
: Input modal
(harga dari semua mesin, perlengkapan, dan bangunan),
: Total faktor produksivitas,
dan adalah output dari tenaga kerja dan modal. Nilainya konstan
bergantung oleh teknologi yang tersedia.
Marc Nerlove (1965) dalam bukunya yang berjudul Estimation and
Identification of Cobb-Douglas Production Functions mempertimbangkan
perusahaan individual dengan tipe industri yang ditentukan. Misalkan
banyaknya satuan fisik produk perusahaan selama jangka waktu tertentu,
dan dan adalah banyaknya satuan input tenaga kerja dan modal,
selama periode waktu yang sama. Pada waktu tertentu (t) , dan pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
perusahaan tertentu (f), andaikan output berelasi dengan input-input
mengikuti fungsi produksi berikut :
(3.1)
Dengan dan berturut-turutadalah parameter yang mungkin
bervariasi dari waktu ke waktu atau dari perusahaan ke perusahaan. Dalam
konteks bagian ini, perhatian dibatasi untuk satu perusahaan pada suatu
waktu tertentu; maka subkrip t dan f akan dihilangkan. Sehingga
persamaan (3.1) dapat ditulis menjadi
(3.2)
Dengan merupakan notasi dari , merupakan notasi dari
, merupakan notasi dari dan merupakan notasi dari .
Persamaan (3.2) merupakan persamaan linear dalam parameter .
A.Zallner, J. Kmenta dan J. Dréze (1966) dalam jurnalnya yang
berjudul Specification and Estimation of Cobb-Douglas Production
Function Models menyatakan fungsi produksi Cobb-Douglas sebagai
berikut :
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
Dengan
: Banyaknya output fisik pada selang waktu tertentu.
: Banyaknya karyawan yang mengerjakan pada selang
waktu tertentu.
: Banyaknya modal yang dikeluarkan pada selang waktu
tertentu.
: Parameter yang berubah dari waktu ke waktu.
: Galat random yang mungkin terjadi, mewakili faktor
musim, kerusakan mesin yang tidak bisa diprediksi, kinerja
karyawan, dan masih banyak lagi.
: Parameter yang berlaku untuk semua perusahaan dalam
sampel.
merupakan parameter yang berubah dari perusahaan ke
perusahaan, yang dinyatakan dalam persamaan:
Dengan sebagai parameter biasa dan sebagai variabel random.
Pada dasarnya semua hasil pemikiran dari beberapa tokoh diatas
tentang Cobb-Douglas adalah sama dan hanya berbeda dalam penulisan
simbol saja. Oleh karena itu dalam tulisan ini, simbol akan mengikuti
seperti dalam jurnal yang ditulis Zellner.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
B. Pendugaan Model Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas dibutuhkan oleh suatu
perusahaan agar dapat merencanakan hasil produksi dengan baik.
Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan untuk menduga
banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu perusahaan
tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya karyawan
yang bekerja dan modal yang di investasikan dalam proses produksi.
Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap
parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut
model tersebut adalah model linear intrinsik.
Fungsi produksi Cobb Douglas tersebut dapat diubah dalam bentuk
linear terhadap parameter, yang dapat dinyatakan dalam persamaan berikut
dengan , ,
dan dapat diduga
parameter dengan menggunakan Metode Kuadrat Terkecil.
Tujuan Metode Kuadrat Terkecil adalah menentukan penduga dari
yaitu sehingga meminimumkan jumlah kuadrat
galat yang diduga dengan .
dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
Model tersebut dapat ditulis dengan notasi matriks
[
] [
] [
] + [
]
Atau dapat ditulis
Sehingga diperoleh
Tujuan Metode kuadrat terkecil adalah meminimumkan jumlah
kuadrat galat ( ). Sehingga ditemukan persamaan untuk mencari .
Sifat-sifat penduga Metode Kuadrat Terkecil untuk Regresi Linear
Berganda
1. E ( ) = , i = 1, 2, ..., k.
2. Var ( ) = , adalah elemen diagonal dari matriks
.
3. Cov ( = , adalah elemen di baris i dan kolom j dari
matriks .
4. Penduga tak bias dari adalah
dengan
. n adalah ukuran sample dan k adalah
banyaknya variabel.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
Contoh 3.1
Diberikan tabel data pertanian Taiwan tahun 1958-1972 yang
diambil dari buku Basic Econometrics tabel 7.3, akan diduga
dengan model
Dengan menggunakan transformasi linear didapatkan model baru
, , ,
dan .
Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka
.
No Tahun
Hasil
Produksi
Tenaga
Kerja Modal
(Y) (L) (K)
1 1958 16607.7 275.5 17803.7
2 1959 17511.3 274.4 18096.8
3 1960 20171.2 269.7 18271.8
4 1961 20932.9 267 19167.3
5 1962 20406 267.8 19647.6
6 1963 20831.6 275 20803.5
7 1964 24806.3 283 22076.6
8 1965 26465.8 300.7 23445.2
9 1966 27403 307.5 24939
10 1967 28628.7 303.7 26713.7
11 1968 29904.5 304.7 29957.8
12 1969 27508.2 298.6 31585.9
13 1970 29035.5 295.5 33474.5
14 1971 29281.5 299 34821.8
15 1972 31535.8 288.1 41794.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
[ ]
[ ]
[
]
[
]
Dengan demikian didapatkan
[
]
Sehingga didapatkan
[
] [
] [
]
Dengan dan model
regresinya adalah
Atau dapat ditulis menjadi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
Dengan koefisien determinasi
Uji Asumsi:
1. Multikolinearitas
a. Regresikan model
dan hitung
*
+
*
+
*
+
*
+ *
+ *
+
Hitung VIF
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
Tidak terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF < 10
b. Regresikan model
dan hitung
*
+
*
+
*
+
*
+ *
+ *
+
Hitung VIF
Tidak terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF < 10
2. Heterokedastisitas
a. Hitung nilai dengan rumus
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
b. Hitung nilai dan kemudian regresikan dengan model
( )
[
]
[ ]
[ ]
Dengan rumus
akan didapatkan nilai
*
+
*
+
*
+
*
+
c. Uji Koenker–Bassett (KB)
1. Hipotesis
: tidak ada masalah heterokedastisitas
: ada masalah heterokedastisitas
2. Tingkat signifikansi =0.05
3. Kriteria pengujian
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
diterima bila
ditolak bila atau
4. Menghitung t ,
Sebelumnya terlebih dahulu akan dihitung √∑
√∑
√
( )√∑
√
diterima karena ini
berarti tidak ada heterokedastisitas dalam data.
3. Autokorelasi
∑
∑
0.8918
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
Dapat disimpulkan bahwa data mengandung autokorelasi.
Dapat ditarik kesimpulan bahwa data terhadap hasil produksi (Y),
tenaga kerja( ) dan modal ( ), dengan model
Atau dapat ditulis menjadi
terdapat autokorelasi pada data. Konsekuensi dari keberadaan
Autokorelasi adalah metode kuadrat terkecil akan menghasilkan penduga
yang terlalu rendah untuk nilai variasi dan karenanya menghasilkan
penduga yang terlalu tinggi untuk .
2,4568
3,0545
1,5432
0,9455
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB IV
APLIKASI
Pada bab ini akan diberikan contoh aplikasi fungsi produksi Cobb-
Douglas untuk data area manufaktur untuk 51 kota pada tahun 2005,
dengan variabel tak bebas nilai yang ditambahkan variabel bebas
banyaknya tenaga kerja dan nilai modal , yang diambil dari
buku Basic Econometrics karangan Damodar N. Gujarati dan Dawn C.
Porter.
Akan diduga pada tabel data yang dilampirkan, dengan
model
Dengan menggunakan transformasi linear didapatkan model baru
, ,
, dan
.
Dengan rumus yang telah didapatkan dari persamaan (2.16) maka
.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
[ ]
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
[
]
[
]
Dengan demikian didapatkan
[
]
Sehingga didapatkan
[
] [
] [
]
Dengan dan model
regresinya adalah
Atau dapat ditulis menjadi
Dengan koefisien determinasi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
Pengujian asumsi :
1. Multikolinearitas
a. Regresikan model
dan hitung
*
+
*
+
*
+
*
+ *
+ *
+
Hitung VIF
Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10
b. Regresikan model
dan hitung
*
+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
*
+
*
+
*
+ *
+ *
+
Hitung VIF
Terdapat multikolinear dalam data karena nilai VIF > 10
2. Heterokedastisitas
a. Hitung nilai dengan rumus
b. Hitung nilai dan
kemudian regresikan dengan model
( )
Dengan rumus
akan didapatkan nilai
*
+
*
+
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
*
+
*
+
c. Uji Koenker–Bassett (KB)
1. Hipotesis
: tidak ada masalah heterokedastisitas
: ada masalah heterokedastisitas
2. Tingkat signifikansi =0.05
3. Kriteria pengujian
diterima bila
ditolak bila atau
4. Menghitung t ,
Sebelumnya terlebih dahulu akan dihitung √∑
√
( )√∑
√
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
diterima karena . ini berarti
tidak ada heterokedastisitas dalam data.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
[
]
[ ]
[ ]
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
5. Autokorelasi
∑
∑
1.9463
Dapat disimpulkan bahwa data tidak mengandung autokorelasi.
Dapat ditarik kesimpulan bahwa data area manufaktur untuk 51
kota pada tahun 2005, dengan variabel tak bebas nilai yang ditambahkan
variabel bebas banyaknya tenaga kerja dan nilai modal ,
dengan model
Atau dapat ditulis menjadi
mengandung multikolinearitas. Dalam kasus kali ini multikolinearitas
tidak dapat dihilangkan supaya tidak bertentangan dengan hukum
ekonomi.
1,4684 1,6309
2,3691
2,5316
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
Karena nilai dan terbatas, maka dapat dirancang besaran jumlah
output yang direncanakan. Misalnya perusahaan memiliki 2000 tenaga
kerja dan nilai modal 7000 dolar, maka diketahui outputnya sebagai
berikut
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Dalam sebuah proses produksi, terdapat beberapa faktor produksi
yang meliputi biaya bahan mentah, jumlah bahan mentah yang masuk,
macam-macam bahan mentah yang dibutuhkan, biaya proses pengerjaan
termasuk pembayaran karyawan, jumlah karyawan yang mengerjakan,
jumlah alat yang digunakan, jumlah barang yang berhasil diproduksi dan
keuntungan yang diperoleh.
Fungsi produksi Cobb-Douglas, dalam dunia ekonomi mewakili
hubungan antara output dan input. Pendugaan fungsi produksi Cobb
Douglas dibutuhkan oleh suatu perusahaan agar dapat merencanakan hasil
produksi dengan baik. Pendugaan fungsi produksi Cobb Douglas bertujuan
untuk menduga banyaknya output fisik yang dapat diproduksi oleh suatu
perusahaan tertentu dalam selang waktu tertentu, dengan input banyaknya
karyawan yang bekerja dan modal yang diinvestasikan dalam proses
produksi.
Pada musim semi tahun 1927, saat memberi kuliah di Amherst,
Paul Douglas menggambar grafik dalam skala logaritma tiga variabel
untuk data manufaktur Amerika pada tahun 1899-1922: indeks total modal
yang dikoreksi berdasarkan perubahan dalam biaya barang (C), indeks
total banyaknya penerima gaji (L), dan indeks dari hasil produksi fisik (P).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
Douglas mencatat bahwa indeks dari produksi terletak diantara modal dan
tenaga kerja yang berada sekitar sepertiga sampai seperempat diantara
batas bawah indeks dari tenaga kerja dan batas atas indeks dari modal.
Setelah berkonsultasi dengan temannya Charles W. Cobb, seorang
matematikawan, mereka memutuskan, berdasarkan pengamatan ini,
kontribusi relatif masing-masing faktor produksi, tenaga kerja dan modal,
terhadap hasil produksi. Bentuk Euler fungsi homogen sederhana dengan
derajat satu dipilih untuk menjelaskan persamaan ini.
Fungsi produksi Cobb Douglas bersifat nonlinear terhadap
parameter dan dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut
Fungsi Produksi Cobb-Douglas diduga dengan menggunakan metode
kuadrat terkecil biasa sehingga didapatlah nilai untuk parameter , dan
, dengan cara merubah model regresi linear menjadi model linear
intrinsik terlebih dahulu. Meskipun ada banyak faktor lain yang
mempengaruhi kinerja ekonomi, menurut Tan model mereka terbukti
sangat akurat.
B. Saran
Berdasarkan pembahasan dan kesimpulan yang telah dijabarkan
sebelumnya, maka diajukan saran bagi penelitian selanjutnya dengan
mengembangkan fungsi produksi Cobb-Douglas menjadi fungsi produksi
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
CES (Constant Elasticity of Substitution) yang dapat diduga dengan
metode pendugaan parameter model non-linear.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
DAFTAR PUSTAKA
Asri, Marwan & John Suprihanto. (1986). Manajemen perusahaan
pendekatan operasional. Yogyakarta: BPFE.
Beattie, Bruce R & C. Robert Taylor. (1985). The economics of
production. Yogyakarta: Gajah Mada University press.
Biddle, Jeff E. (2010). The Introduction of the Cobb Douglas Regression
and its Adoption. agricultural economics.
Chiang, Alpha C. (1984). Fundamental methods of mathematical
economics. New York: McGraw-Hill. Inc.
Griffin, Ronald C. & John M. Montgomery & M. Edward Rister. (1987).
Selecting functional form in production function analysis. Western
journal of agricultural economics, 12(2) : 216-227.
Gujarati, Damodar N. & Dawn C. Porter. (2009). Basic Econometrics.
New York: McGraw-Hill. Inc.
Intriligator, Michael D. & Ronald Bodkin & Cheng Hsiao. (1996).
Econometric Models, Techniques, and Applications. London:
Prentice Hall.
Myers, Raymond H., Montgomery, Dougla C., & Vining, G. Geoffrey.
2002. Generalized Linear Models: With Applications in
Engineering and The Sciences. New York : John Wiley & Sons,
INC.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Nerlove, Marc. (1965). Estimation and Identification of Cobb-Douglas
Production Function. Chicago: Rand Mcnally and Company.
Tan, Bao Hong. (2008). Cobb-Douglas Production Function.
Wackerly, Dennis D. & William Mendenhall III & Richard L. Scheaffer.
(2008). Mathematical Statistics with Applications . USA: Thomson
Learning.
Zellner, A. & J. Kmenta & J. Dreze. (1966). Specification and estimation
of cobb-douglas. Econometrica,Vol. 34, No. 4.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
LAMPIRAN
Tabel data area manufaktur untuk 50 kota, pada tahun 2005
No Nama Kota
Output
Tenaga
kerja
Input
Modal
Y X1 X2
1 Alabama 38,372,840 424,471 2,689,076
2 Alaska 1,805,427 19,895 57,997
3 Arizona 23,736,129 206,893 2,308,272
4 Arkansas 26,981,983 304,055 1,376,235
5 California 217,546,032 1,809,756 13,554,116
6 Colorado 19,462,751 180,366 1,790,751
7 Connecticut 28,972,772 224,267 1,210,229
8 Delaware 14,313,157 54,455 421,064
9 District of Columbia 159,921 2,029 7,188
10 Florida 47,289,846 471,211 2,761,281
11 Georgia 63,015,125 659,379 3,540,475
12 Hawaii 1,809,052 17,528 146,371
13 Idaho 10,511,786 75,414 848,220
14 Illinois 105,324,866 963,156 5,870,409
15 Indiana 90,120,459 835,083 5,832,503
16 Iowa 39,079,550 336,159 1,795,976
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17 Kansas 22,826,760 246,144 1,595,118
18 Kentucky 38,686,340 384,484 2,503,693
19 Louisiana 69,910,555 216,149 4,726,625
20 Maine 7,856,947 82,021 415,131
21 Maryland 21,352,966 174,855 1,729,116
22 Massachusetts 46,044,292 355,701 2,706,065
23 Michigan 92,335,528 943,298 5,294,356
24 Minnesota 48,304,274 456,553 2,833,525
25 Mississippi 17,207,903 267,806 1,212,281
26 Missouri 47,340,157 439,427 2,404,122
27 Montana 2,644,567 24,167 334,008
28 Nebraska 14,650,080 163,637 627,806
29 Nevada 7,290,360 59,737 522,335
30 New Hampshire 9,188,322 96,106 507,488
31 New Jersey 51,298,516 407,076 3,295,056
32 New Mexico 20,401,410 43,079 404,749
33 New York 87,756,129 727,177 4,260,353
34 North Carolina 101,268,432 820,013 4,086,558
35 North Dakota 3,556,025 34,723 184,700
36 Ohio 124,986,166 1,174,540 6,301,421
37 Oklahoma 20,451,196 201,284 1,327,353
38 Oregon 34,808,109 257,820 1,456,683
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39 Pennsylvania 104,858,322 944,998 5,896,392
40 Rhode Island 6,541,356 68,987 297,618
41 South Carolina 37,668,126 400,317 2,500,071
42 South Dakota 4,988,905 56,524 311,251
43 Tennessee 62,828,100 582,241 4,126,465
44 Texas 172,960,157 1,120,382 11,588,283
45 Utas 15,702,637 150,030 762,671
46 Vermont 5,418,786 48,134 276,293
47 Virginia 49,166,991 425,346 2,731,669
48 Washington 46,164,427 313,279 1,945,860
49 West Virginia 9,185,967 89,639 685,587
50 Wisconsin 66,964,978 694,628 3,902,823
51 Wyoming 2,979,475 15,221 361,536
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJIPLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Recommended