View
262
Download
4
Category
Preview:
Citation preview
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 1
PEMBAHASAN OSN MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN TAHUN 2018
PROVINSI SULAWESI SELATAN
01. Pada suatu data terdapat 25 bilangan bulat positif. Bilangan terbesar pada data tersebut adalah
55. Median dari data adalah 30. Rata-rata terbesar yang mungkin dari data tersebut adalah….
A. 40
B. 42
C. 45
D. 50
Jawab: B
Rata-rata terbesar diperoleh jika jumlah semua bilangan pada data mencapai jumlah maksimal.
Karena banyaknya bilangan adalah ganjil, maka jumlah terbesar dicapai apabila semua bilangan
di atas median adalah nilai tertinggi dan bilangan yang tersisa sama dengan median, sehingga
rata-rata terbesar yang mungkin adalah:
�̅� =13 × 30 + 12 × 55
25=1050
25= 42
02. Rata-rata usia sepasang suami istri pada saat mereka menikah adalah 25 tahun. Rata-rata usia
keluarga pada saat anak pertama mereka lahir adalah 18 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat
anak kedua lahir adalah 15 tahun. Rata-rata usia keluarga pada saat anak ketiga dan keempat
lahir (kembar) adalah 12 tahun. Jika saat ini rata-rata usia enam orang ini adalah 16 tahun, maka
usia anak pertama adalah… tahun.
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
Jawab: C
• Misalkan anak pertama lahir 𝑥 tahun setelah menikah, maka:
𝟐 × (𝟐𝟓 + 𝒙) = 𝟏𝟖 × 𝟑 ⟺ 25 + 𝑥 = 27 ⟺ 𝑥 = 2 Hal ini berarti bahwa rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak pertama adalah
25 + 2 = 27 tahun.
• Misalkan anak kedua lahir 𝑦 tahun setelah anak pertama lahir, maka:
𝟐 × (𝟐𝟕 + 𝒚) + 𝒚 = 𝟏𝟓 × 𝟒 ⟺ 54 + 3𝑦 = 60
⟺ 3𝑦 = 6 ⟺ 𝑦 = 2
Dengan demikian, rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak kedua adalah 29
tahun dan usia anak pertama 2 tahun.
• Misalkan anak ketiga dan keempat lahir 𝑧 tahun setelah anak kedua lahir, maka:
𝟐 × (𝟐𝟗 + 𝒛) + (𝟐 + 𝒛) + 𝒛 = 𝟏𝟐 × 𝟔 ⟺ 60 + 4𝑧 = 12 × 6
⟺ 15 + 𝑧 = 3 × 6⟺ 𝑧 = 3 Hal ini berarti bahwa rata-rata umur orang tua mereka setelah kelahiran anak ketiga dan
keempat adalah 32 tahun, usia anak pertama 5 tahun dan usia anak kedua 3 tahun.
• Misalkan saat ini 𝑡 tahun setelah anak ketiga dan keempat lahir, maka rata-rata usia orang tua
mereka (32 + 𝑡), anak pertama (5 + 𝑡), anak kedua (3 + 𝑡) dan anak ketiga dan keempat
masing-masing 2 tahun, sehingga:
𝟐 × (𝟑𝟐 + 𝒕) + (𝟓 + 𝒕) + (𝟑 + 𝒕) + 𝟐𝒕 = 𝟏𝟔 × 𝟔 ⟺ 72 + 6𝑡 = 16 × 6
⟺ 12 + 𝑡 = 16
⟺ 𝑡 = 4 Jadi, usia anak pertama sekarang adalah 5 + 4 = 9 tahun.
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 2
03. Pada sebuah laci terdapat beberapa kaos kaki berwarna putih dan berwarna hitam. Jika dua kaos
kaki diambil secara acak, maka peluang terpilihnya kedua kaos kaki berwarna putih adalah 1
2. Jika
banyak kaos kaki berwarna hitam adalah genap, maka paling sedikit kaos kaki berwarna putih
adalah….
A. 12
B. 15
C. 18
D. 21
Jawab: B
Misalkan 𝑚 adalah banyak kaos akaki berwarna putih dan
2𝑘 adalah banyak kaos kaki berwarna hitam.
Jika peluang terambilnya dua kaos kaki berwarna putih =1
2, maka:
𝐶2𝑚
𝐶2𝑚+2𝑘 =
1
2 ⟺
𝑚!2! (𝑚 − 2)!(𝑚 + 2𝑘)!
2! (𝑚 + 2𝑘 − 1)!
= 1
2
⟺𝑚(𝑚 − 1)
(𝑚 + 2𝑘)(𝑚 + 2𝑘 − 1)= 1
2
⟺ 2𝑚(𝑚 − 1) = (𝑚 + 2𝑘)(𝑚 + 2𝑘 − 1)
⟺ 2𝑚2 − 2𝑚 = 𝑚2 + (4𝑘 − 1)𝑚 + (4𝑘2 − 2𝑘)
⟺𝑚2 − (4𝑘 + 1)𝑚 − (4𝑘2 − 2𝑘) = 0
⟺𝑚 =(4𝑘 + 1) ± √(4𝑘 + 1)2 + 4(4𝑘2 − 2𝑘)
2
⟺𝑚 =(4𝑘 + 1) ± √32𝑘2 + 1
2
Nilai terkecil 𝑚 diperoleh dari nilai 𝑘 terkecil sedemikian sehingga 𝑚 bilangan asli.
Untuk nilai 𝑘 = 1 atau 2 diperoleh nilai 𝑚 yang irrasional.
Untuk nilai 𝑘 = 3 diperoleh:
𝑚 =(12 + 1) ± √32 × 9 + 1
2
=13 ± √289
2
=13±17
2= 15 atau − 2 (tidak memenuhi)
Dengan demikian paling sedikit kaos berwarna putih adalah 15 .
04. Salah satu contoh situasi untuk system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000 adalah….
A. Dua orang siswa membeli pensil dan penghapus seharga Rp6.000,00. Salah seorang siswa
tersebut membeli pensil dan tiga penghapus seharga Rp.6.000,00. Berapakah harga masing-
masing sebuah pensil dan penghapus?
B. Dua orang siswa membeli pensil dan tiga buah penghapus seharga Rp6.000,00. Selain itu, dia
juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp6.000,00.
Berapakah harga masing-masing pensil dan penghapus?
C. Seorang siswa akan membeli dua buah pensil dan tiga buah penghapus. Siswa tersebut
memiliki uang Rp12.000,00. Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?
D. Seorang siswa membeli sebuah pensil dan tiga penghapus seharga Rp6.000,00. Selain itu, dia
juga membeli dua buah pensil dan sebuah penghapus untuk adiknya seharga Rp6.000,00.
Berapakah harga masing-masing sebuah pensil dan penghapus?
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 3
Jawab: D
Cukup jelas.
• Alternatif A, tidak jelas jumlah pensil dan penghapus seharga Rp6.000,00
• Alternatif B, tidak jelas jumlah pensil yang dibeli pada kalimat pertama
• Alternatif C, tidak jelas harga dua pensil dan tiga penghapus
• Alternatif D, Misalkan 𝑥 adalah harga sebuah penghapus dan 𝑦 adalah harga sebuah pensil,
maka persamaan yang terbentuk adalah 𝑦 + 3𝑥 = 6000 dan 2𝑦 + 𝑥 = 6000. Kedua
persamaan ini equivalen dengan system persamaan 𝑥 + 2𝑦 = 6000 dan 3𝑥 + 𝑦 = 6000.
05. Semua bilangan real 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan 𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 5 ≥ 5 adalah….
A. 5 ≤ 𝑥 ≤ 14 B. 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14
C. 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14
D. 0 ≤ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14
Jawab: C
𝑥 + 3 − 4√𝑥 − 5 ≥ 5 ⟺ 𝑥 − 2 ≥ 4√𝑥 − 5
⟺ (𝑥 − 2)2 ≥ (4√𝑥 − 5)2, 𝑥 ≥ 5
⟺ 𝑥2 − 4𝑥 + 4 ≥ 16(𝑥 − 5), 𝑥 ≥ 5
⟺ 𝑥2 − 20𝑥 + 84 ≥ 0, 𝑥 ≥ 5
⟺ (𝑥 − 6)(𝑥 − 14) ≥ 0, 𝑥 ≥ 5
⟺ 𝑥 ≤ 6 atau 𝑥 ≥ 14, dan 𝑥 ≥ 5
⟺ 5 ≤ 𝑥 ≤ 6 , 𝑥 ≥ 14
06. Grafik fungsi kuadrat 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 1)2 + 𝑎 , dengan 𝑎 ≠ 0, tidak berpotongan dengan grafik
fungsi kuadrat 𝑦 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1, jika….
A. −1 < 𝑎 < 0 atau 0 < 𝑎 <1
2
B. −1 < 𝑎 < 0 atau 0 < 𝑎 < 1
C. −1 < 𝑎 <1
2 atau
1
2< 𝑎 < 1
D. 1 < 𝑎 <1
2 atau 𝑎 > 1
Jawab: A
𝑎(𝑥 − 1)2 + 𝑎 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1
⟺ 𝑎(𝑥2 − 2𝑥 + 1) + 𝑎 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1
⟺ 𝑎𝑥2 − 2𝑎𝑥 + 2𝑎 = (1 − 𝑎2)𝑥2 + 2𝑎 + 1
⟺ (𝑎2 + 𝑎 − 1)𝑥2 − 2𝑎𝑥 − 1 = 0
Agar kedua grafik tidak berpotongan, maka nilai Diskriminan harus lebih kecil nol (𝐷 < 0)
𝐷 = (2𝑎)2 − 4 × (𝑎2 + 𝑎 − 1)(−1) < 0, 𝑎 ≠ 0
⟺ 4𝑎2 + 4𝑎2 + 4𝑎 − 4 < 0
⟺ 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎 − 1 < 0
⟺ 2𝑎2 + 𝑎 − 1 < 0
⟺ (2𝑎 − 1)(𝑎 + 1) < 0, 𝑎 ≠ 0
⟺−1 < 𝑎 <1
2, 𝑎 ≠ 0
⟺−1 < 𝑎 < 0 atau 0 < 𝑎 <1
2
• 14
• • 5 6
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 4
07. Nilai sudut 𝑥 dan 𝑦 pada gambar berikut adalah….
A. 𝑥 = 74𝑜 ; 𝑦 = 104𝑜
B. 𝑥 = 37𝑜 ; 𝑦 = 104𝑜
C. 𝑥 = 74𝑜 ; 𝑦 = 114𝑜
D. 𝑥 = 37𝑜 ; 𝑦 = 106𝑜
Jawab: D
Berdasarkan gambar;
61 + 2𝑥 = 135 ⟺ 2𝑥 = 74
⟺ 𝑥 = 37𝑜
2𝑥 + 𝑦 = 180 ⟺ 𝑦 = 180 − 2𝑥
⟺ 𝑦 = 180 − 74
⟺ 𝑦 = 106𝑜
08. Diketahui tabel distribusi nilai kelas A dan kelas B sebagai berikut.
Kelas A Kelas B
Nilai Frekuensi
Nilai Frekuensi
65 4 65 6
70 3 70 4
75 6 75 6
80 7 80 3
85 6 85 7
90 5 90 6
95 4 95 2
100 1 100 2
Pernyataan berikut ini yang benar adalah….
A. Median nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
B. Mean nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
C. Modus nilai ulangan sama untuk kelas A dan kelas B
D. Jawaban A, B, dan C salah.
2𝑥
𝑦
135𝑜
61𝑜
2𝑥
𝑦 135𝑜
61𝑜
2𝑥
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 5
Jawab: A
Kelas A Kelas B
Nilai(𝑥) Frekuensi (𝑓) 𝑓.kom 𝑥𝑓
Nilai(𝑥) Frekuensi (𝑓) 𝑓.kom 𝑥𝑓 65 4 4 260 65 6 6 390
70 3 7 210 70 4 10 280
75 6 13 450 75 6 16 450
80 7 20 560 80 3 19 240
85 6 26 510 85 7 26 595
90 5 31 450 90 6 32 540
95 4 35 380 95 2 34 190
100 1 36 100 100 2 36 200
Jumlah 36 2920 Jumlah 36 2885
• Median
Letak median pada datum ke 1
2(36 + 1), antara datum ke-18 dan ke-19
Median untuk kelas A = 80 dan median untuk kelas B = 80
• Mean
Mean untuk kelas A =2920
36= 81,11 dan mean untuk kelas B =
2885
36= 80,14
• Modus
Modus untuk kelas A = 80 dan modus untuk kelas B = 85
09. Misalkan 𝑈𝑛 dan 𝑆𝑛 masing-masing menyatakan suku ke-𝑛 dan jumlah 𝑛 suku pertama suatu
barisan. Jika 𝑆𝑛 =𝑛2−𝑛
2𝑛, maka 𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈6 = ⋯.
A. 6
32
B. 11
32
C. 1
2
D. 21
32
Jawab: B
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1, 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3, dan 𝑈6 = 𝑆6 − 𝑆5
𝑈2 =22 − 2
22−12 − 1
21=2
4=16
32
𝑈4 =42 − 4
24−32 − 3
23=12
16−6
8= 0
𝑈6 =62 − 6
26−52 − 5
25=30
64−20
32=15
32−20
32=−5
32
Jadi 𝑈2 − 𝑈4 + 𝑈6 = 16
32− 0 + (
−5
32) =
11
32
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 6
10. Jika 1
𝑛−𝑛
6+2
𝑛+1
3= −
1
6, hasil kali semua nilai 𝑛 yang mungkin adalah….
A. 18
B. 2
C. −18
D. −20 Jawab: C 1
𝑛−𝑛
6+2
𝑛+1
3= −
1
6⟺3
𝑛−𝑛
6= −
1
3−1
6=−1
2
⟺ 18 − 𝑛2 = −3𝑛
⟺ 𝑛2 − 3𝑛 − 18 = 0 Dengan menggunakan rumus hasil kali akar-akar persamaan kuadrat diperoleh hasil kali kedua
akar-akarnya adalah −18
Jadi, hasil kali semua nilai 𝑛 yang mungkin adalah −18
11. Menjelang tahun baru, harga sebuah kacamata dipotong (didiskon) dua kali seperti dinyatakan
pada tanda di samping. Seorang pembeli membayar sebesar Rp168.750,00 untuk kacamata
tersebut. Berapa harga kacamata tersebut sebelum dipotong harganya?
A. Rp262.500,00
B. Rp281.250,00
C. Rp375.000,00
D. Rp421.675,00
Jawab: C
Diskon 50% + 10% berarti Diskon 50% dari harga awal + 10% dari harga setelah diskon pertama.
Hal ini berarti bahwa total diskon = 50% + 10% x 50 = 55%
Dengan demikian, harga kacamata adalah 45% dari harga sebenarnya. Jadi, harga kacamata
sebelum dipotong adalah 100
45× 168.750 = 𝑅𝑝375.000,00
12. Diketahui 𝑥, 𝑦, dan 𝑧 adalah tiga bilangan bulat positif. Tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang
memenuhi (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 ada sebanyak….
A. 6
B. 90
C. 91
D. 128
Jawab: A
• Kemungkinan I; (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 162 , diperoleh nilai 𝑧 = 1 dan 3𝑥 + 𝑦 = 16.
Adapun tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi adalah (1,13,1); (2,10,1); (3,7,1); (4,4,1);
dan (5,1,1); sebanyak 5 pasangan terurut.
• Kemungkinan II; (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 44 , diperoleh nilai 𝑧 = 2 dan 3𝑥 + 𝑦 = 4.
Adapun tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi adalah (1,1,2); sebanyak 1 pasangan
terurut.
• Kemungkinan III; (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 = 28 , diperoleh nilai 𝑧 = 4 dan 3𝑥 + 𝑦 = 2. Pada
persamaan ini diperoleh nilai 𝑥 atau 𝑦 yang negative.
Jadi tiga bilangan terurut (𝑥, 𝑦, 𝑧) yang memenuhi (3𝑥 + 𝑦)2𝑧 = 256 sebanyak 6 pasang.
Diskon
50% + 10%
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 7
13. Diketahui sisi-sisi trapezium adalah 5 𝑐𝑚, 7 𝑐𝑚, 7 𝑐𝑚, dan 13 𝑐𝑚. Pernyataan di bawah yang
salah adalah….
A. Tinggi trapezium = √33 𝑐𝑚
B. Tinggi trapezium = 2√6 𝑐𝑚
C. Luas trapezium = 10√6 𝑐𝑚2
D. Luas trapezium = 9√33 𝑐𝑚2
Jawab: C
Kemungkinan I Kemungkinan II
• Pada gambar I diperoleh:
Tinggi trapezium, 𝑡2 = 72 − 42 = 49 − 16 = 33 ⟺ 𝑡 = √33
Luas trapezium, 𝐿 =(5+13)
2× √33 = 9√33 𝑐𝑚2.
• Pada gambar II diperoleh:
Tinggi trapezium, 𝑡2 = 72 − (6 − 𝑥)2 dan 𝑡2 = 52 − 𝑥2
72 − (6 − 𝑥)2 = 52 − 𝑥2
⟺ 49 − (36 − 12𝑥 + 𝑥2) = 25 − 𝑥2
⟺ 12𝑥 = 25 − 13 ⟺ 𝑥 = 1
Tinggi trapezium, 𝑡2 = 72 − 52 = 24 ⟺ 𝑡 = 2√6
Luas trapezium, 𝐿 =(7+13)
2× 2√6 = 20√6 𝑐𝑚2.
14. Bilangan prima 𝑝 dan 𝑞 masing-masing dua digit. Hasil penjumlahan 𝑝 dan 𝑞 merupakan bilangan
dua digit yang digitnya sama. Jika bilangan tiga digit 𝑟 merupakan perkalian 𝑝 dan 𝑞, maka dua
nilai 𝑟 yang mungkin adalah….
A. 121 dan 143
B. 169 dan 689
C. 403 dan 989
D. 481 dan 121
Jawab: C
Perhatikan nilai 𝑟 yang memenuhi pada table berikut.
Pilihan 𝑟 = 𝑝 × 𝑞 𝑝 𝑞 𝑝 + 𝑞 Keterangan
A 121 11 11 22 Memenuhi
143 11 13 24 Tidak Memenuhi
B 169 13 13 26 Tidak Memenuhi
689 13 53 66 Memenuhi
C 403 13 31 44 Memenuhi
989 23 43 66 Memenuhi
D 481 21 21 42 Tidak Memenuhi
121 11 11 22 Memenuhi
Berdasarkan table di atas bilangan 𝑟 yang memenuhi keduanya adalah C. 403 dan 989
7 cm 7 cm
13 cm
5 cm
t
4 cm
5 cm 7 cm
7 cm
13 cm
t
𝑥 6−𝑥
t
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 8
15. Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah bilangan bulat positif dengan 𝑦 > 1, sehingga 𝑥𝑦 = 318530, maka nilai 𝑥 − 𝑦
yang mungkin adalah….
A. 84375
B. 84369
C. 84363
D. 84357
Jawab: B
𝑥𝑦 = 318530 = (33)6(55)6
= (27)6(3125)6
= (27 × 3125)6
= (84.375)6
Dengan demikian, nilai 𝑥 = 84.375 dan 𝑦 = 6. Sehingga 𝑥 − 𝑦 = 84.375 − 6 = 84.369
16. Sebuah wadah memuat 5 bola merah dan 3 bola putih. Seseorang mengambil bola-bola
tersebut sebanyak 3 kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian.
Peluang bahwa pada setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah….
A. 1
448
B. 7
280
C. 1
56
D. 1
7
Jawab: D
Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan pertama =5×3
𝐶28
Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan kedua =4×2
𝐶26
Peluang terambilnya dua bola berbeda warna pada pengambilan ketiga =3×1
𝐶24
Peluang terambilnya masing-masing dua bola berbeda warna dalam tiga kali pengambilan tanpa
pengembalian =5×3
𝐶28 ×
4×2
𝐶26 ×
3×1
𝐶24 =
2×15
8×7×2×8
6×5×2×3
4×3=1
7
17. Perhatikan gambar berikut.
Persamaan garis hasil transformasi rotasi 𝑅(𝑂, 180𝑜)dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥
terhadap garis 𝐴𝐵 adalah….
A. 𝑦 = 2𝑥 + 4
B. 𝑦 = 2𝑥 − 4
C. 𝑦 = −2𝑥 + 4
D. 𝑦 = −2𝑥 − 4
••
A
B ••
y
(4, 4)
(0, 2)
x
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 9
Jawab: B
Bayangan 𝐴(0,2) dan 𝐵(4,4) oleh rotasi 𝑅(𝑂, 180𝑜)dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥
adalah:
𝐴(0,2)𝑅(𝑂,180𝑜)→ 𝐴′(0,−2)
𝑦=−𝑥→ 𝐴"(2,0)
𝐵(4,4)𝑅(𝑂,180𝑜)→ 𝐵′(−4, −4)
𝑦=−𝑥→ 𝐵"(4,4)
Persamaan garis yang melalui 𝐴" dan 𝐵" adalah Persamaan garis hasil transformasi rotasi
𝑅(𝑂, 180𝑜)dilanjutkan dengan pencerminan 𝑦 = −𝑥 terhadap garis 𝐴𝐵
Gradien garis yang melalui 𝐴" dan 𝐵" adalah 𝑚 =4−0
4−2= 2
Persamaan garis yang melalui 𝐴"(2,0) dengan gradien 2 adalah
𝑦 − 0 = 2(𝑥 − 2) ⟺ 𝑦 = 2𝑥 − 4
18. Diketahui 𝐹 = {9,10,11,12,13,… ,49,50} dan 𝐺 adalah himpunan bilangan yang anggota-
anggotanya dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan tiga atau lebih bilangan-bilangan asli
berurutan. Anggota 𝐹 ∩ 𝐺 sebanyak….
A. 14
B. 26
C. 29
D. 36
Jawab: C
𝐹 = {9,10,11,12,13, … ,49,50} ⟺ 𝑛(𝐹) = 42
Bilangan yang tidak dapat ditulis dalam jumlah 3 atau lebih bilangan asli berurutan adalah
bilangan prima atau yang dapat dinyatakan dalam bentuk 2𝑛, sehingga:
𝐹 − 𝐺 = {11,13, 𝟏𝟔, 17,19, 23, 29, 31, 𝟑𝟐, 37, 41,43,47} ⟺ 𝑛(𝐹 − 𝐺) = 13
𝑛(𝐹 ∩ 𝐺) = 𝑛(𝐹) − 𝑛(𝐹 − 𝐺) = 42 − 13 = 29
19. Kubus 𝐴𝐵𝐶𝐷 𝑃𝑄𝑅𝑆 memiliki sisi-sisi yang panjangnya 4 𝑐𝑚. Jika titik 𝑇 terletak pada
perpanjangan garis 𝐶𝑅 sehingga 𝑅𝑇 = 𝐶𝑅, maka luas daerah 𝑇𝐵𝐷 adalah…𝑐𝑚2.
A. 18
B. 24
C. 32
D. 64
Jawab: B
Perhatikan gambar!
𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 4 ⇒ 𝐴𝐶 = 4√2 ⟺ 𝑀𝐶 = 2√2 𝑐𝑚.
𝑀𝑇2 = 𝑀𝐶2 + 𝐶𝑇2
= (2√2)2 + 82
= 8 + 64 = 72
𝑀𝑇 = 6√2 𝑐𝑚
Luas daerah 𝑇𝐵𝐷 =1
2× 𝐵𝐷 ×𝑀𝑇
=1
2× 4√2 × 6√2 = 24𝑐𝑚2.
4
A
T
S
P Q
R
4
D
M
C
B
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 10
20. Diketahui ∆𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga siku-siku di 𝐶 dengan 𝐴𝐵 = 26 𝑐𝑚, 𝐶𝐵 = 24 𝑐𝑚. Di dalam ∆𝐴𝐵𝐶
terdapat lingkaran dalam. Luas daerah maksimum lingkaran dalam yang dapat dibuat dalam
segitiga tersebut adalah… 𝑐𝑚2.
A. 36𝜋
B. 25𝜋
C. 16𝜋
D. 9𝜋
Jawab: C
Lingkaran dengan luas maksimum di dalam segitiga adalah lingkaran yang menyinggung seluruh
sisi-sisi segitiga tersebut.
Dengan tigaan Pythagoras diperoleh 𝐴𝐶 = 10 𝑐𝑚.
Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 =1
2× 10 × 24 = 120 𝑐𝑚2
Keliling segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 10 + 24 + 26 = 60 𝑐𝑚
Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah:
𝑟 =Luas Segitiga
12× Keliling segitiga
=120
30= 4𝑐𝑚
Luas lingkaran dalam segitiga 𝐴𝐵𝐶 = 𝜋 × 42 = 16𝜋 𝑐𝑚2
21. rafik berikut menunjukkan persentase peserta berdasarkan jenis kelamin pada suatu ujian masuk
sekolah tinggi dari tahun 2013 sampai 2017. Sedangkan table dibawahnya menunjukkan jumlah
peserta ujian dan jumlah lulusan, serta komposisi lulusan berdasarkan jenis kelamin.
Tahun Jumlah Peserta
Ujian Jumlah Lulusan
Persentase lulusan laki-laki
Persentase lulusan perempuan
2013 1400 800 60 40
2014 800 660 50 50
2015 1000 500 45 55
2016 500 400 48 52
2017 1100 800 64 36
80
0
20
40
60 60
40 36 50 50
64
2017
55
45
70
30
2013 2014 2015 2016
Laki-laki Perempuan
r
A C
B
24 26
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 11
Total peserta perempuan yang tidak lulus ujian selama lima tahun adalah… orang
A. 454
B. 476
C. 494
D. 536
Jawab: A
Perhatikan tabel kelulusan peserta perempuan berikut:
Tahun Jumlah Peserta
Ujian
Persentase peserta
perempuan
Jumlah peserta
perempuan
Jumlah Lulusan
Persentase lulusan
perempuan
Jumlah lulusan
perempuan
Peserta perempuan tidak lulus
2013 1400 40 560 800 40 320 240
2014 800 50 400 660 50 330 70
2015 1000 36 360 500 55 275 85
2016 500 45 225 400 52 208 17
2017 1100 30 330 800 36 288 42
Jumlah peserta perempuan tidak lulus 454
22. Diketahui 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Pernyataan berikut yang benar adalah….
A. 𝑥𝑦𝑧 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0
B. 𝑦𝑧
𝑥< 0, jika 𝑥𝑦 < 0
C. 𝑥𝑦 < 0, jika 𝑦𝑧 > 0
D. 𝑥𝑦 > 0, jika 𝑦𝑧 > 0
Jawab: C
Diketahui 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 dan 𝑥𝑧 < 0. Karena 𝑥4𝑦5𝑧2 < 0 maka 𝑦5 < 0 ⟺ 𝑦 < 0.
Akibatnya, 𝑥𝑦𝑧 > 0 dan 𝑦𝑧
𝑥> 0 untuk sebarang𝑥, 𝑦, dan 𝑧 sehingga pilihan A dan B salah.
Jika 𝑦𝑧 > 0 dan 𝑦 < 0 maka 𝑧 < 0. Karena 𝑥𝑧 < 0, maka 𝑥 > 0, sehingga 𝑥𝑦 < 0
23. Diberikan bilangan asli dua digit. Peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima
dan bersisa 5 jika dibagi 7 adalah….
A. 1
45
B. 1
30
C. 1
8
D. 1
4
Jawab: A
Banyak bilangan asli dua digit adalah 90. Bilangan asli dua digit yang penyusunnya bilangan prima
adalah 22, 23, 25, 27, 32, 33, 35, 37, 52, 53, 55, 57, 72, 73, 75, dan 77. Diantara bilangan-bilangan
tersebut, bilangan yang bersisa 5 jika dibagi 7 (habis dibagi 7 jika ditambahkan 2) adalah 33 dan
75. Dengan demikian, peluang bahwa bilangan tersebut memiliki digit penyusun prima dan
bersisa 5 jika dibagi 7 adalah 2
90=
1
45
Dibahas oleh Najamuddin dan Tim MGMP Matematika SMP Kota Makassar 12
24. Diketahui grafik fungsi bernilai real 𝑓 dan seperti pada gambar berikut.
Jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −1 adalah….
A. −3 − √2
B. −1
C. 0
D. 2
Jawab: B
• Untuk 𝑥 ≥ 0
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = −𝑥, sehingga
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = 𝑥 − 2 − (−𝑥) = 2𝑥 − 2 = −1 ⟺ 2𝑥 = 1 ⟺ 𝑥 =1
2
• Untuk 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) = −𝑥 − 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2, sehingga
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −𝑥 − 2 − (𝑥 + 2) = −2𝑥 − 4 = −1⟺ −2𝑥 = 3⟺ 𝑥 =−3
2
Jadi, jumlah semua nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) = −1 adalah 1
2+−3
2= −1
25. Diberikan ∆𝐴𝐵𝐶. Jika 𝐴𝐶 = 𝐴𝐵 = 1 𝑐𝑚 dan 𝐵𝐶 = √3𝑐𝑚, maka luas ∆𝐴𝐵𝐶 adalah…𝑐𝑚2.
A. 1
2√2
B. 1
2√3
C. 1
4√3
D. 1
4
Jawab: C
Perhatikan gambar!
𝑡2 = 12 − (1
2√3)
2
⟺ 𝑡2 = 1 −3
4=1
4
⟺ 𝑡 =1
2
Luas segitiga 𝐴𝐵𝐶 =1
2× √3 ×
1
2=1
4√3 cm2
X X
Y
Y
f
g
2
2
2 −2
−2 −2
−2
A
B
C
t
1
1
1
2√3
1
2√3
Recommended