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Panorama do Conteudo
Topicos Especiais em Pesquisa Operacional
1o. semestre 2018
Profa. Sandra A. Santos Aula 2 (28/02/2018) MS915 1 / 20
1 Parte 1: Otimizacao Sem DerivadasConjuntos simpleticosBusca em PadroesBusca linear e derivadas simpleticasInterpolacao polinomial e posicionamento de pontosRegioes de confianca e modelos para OSD
2 Parte 2: Otimizacao GlobalOtimizacao quadraticaTunelamentoBusca tabuRecozimento simuladoColonia de formigasBusca Gulosa, Aleatoria e AdaptativaAlgoritmos geneticosEnxame de PartıculasBusca Harmonica
3 Roteiro para as apresentacoes orais
Profa. Sandra A. Santos Aula 2 (28/02/2018) MS915 2 / 20
Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas
Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas
Otimizacaosem derivadas
6= Otimizacaonao suave
Existem derivadas em todos os pontos, mas sao impossıveis deserem calculadas
Funcoes provenientes de experimentosCaixas-pretas
Derivadas nao confiaveis (ruıdo)
-2 -1 1 2
1
2
3
4
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Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas Conjuntos simpleticos
Metodo de Nelder-Mead
J. A. Nelder & R. Mead (1965) A simplex method for function minimization26655 citacoes (Google Academico 17/fev/2018)
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e4/Nelder-Mead_Rosenbrock.gif
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Nelder-Mead_Himmelblau.gif
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/Nelder-Mead_Simionescu.gif
fminsearch http://www.mathworks.com/help/optim/ug/fminsearch.html
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Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas Busca em Padroes
Pattern Search
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Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas Busca linear e derivadas simpleticas
Simplex em Rn: casco convexo de n + 1 pontos x1, x2, . . . , xn+1 i.e.
S =
{y ∈ Rn | y =
n+1∑i=1
αixi , αi ∈ [0,1],n+1∑i=1
αi = 1
}
Pontos x1, x2, . . . , xn+1: vertices de S
Matriz de direcoes simpleticasV (S) = [x2 − x1, x3 − x1, . . . , xn+1 − x1] ∈ Rn×n
Vetor de diferencas funcionaisδ(f : S) = [f (x2)− f (x1), f (x3)− f (x1), . . . , f (xn+1)− f (x1)]T ∈ Rn
Gradiente simpleticoD(f : S) = V (S)−T δ(f : S)
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Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas Interpolacao polinomial e posicionamento de pontos
Taylor e modelo quadratico para OSD
f (x) ≈ f (x) +∇f (x)T (x − x) + 12(x − x)T∇2f (x)(x − x)
m(x) = c + gT (x − x) + 12(x − x)T H(x − x),
Conjunto amostral: Y = {y1, y2, . . . , yp}
Base ordenada: Φ = {φ1(x), φ2(x), . . . , φq(x)}
m(x) =
q∑j=1
αjφj (x), SL: M(Φ,Y)α = f (Y)
Se p = q, posicionamento⇔ nao singularidade de M(Φ,Y)
Polinomios de Lagrange
`j (y i ) = δij =
{1, se i = j0, se i 6= j , para i , j = 1, . . . ,q
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Parte 1: Otimizacao Sem Derivadas Regioes de confianca e modelos para OSD
0 1 2 3 4-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
0 1 2 3 4-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2
-1
0
1
2
3
Profa. Sandra A. Santos Aula 2 (28/02/2018) MS915 8 / 20
Parte 2: Otimizacao Global
Parte 2: Otimizacao Global
Pontos estacionarios × minimizadores globais
Estrategias determinısticas × aleatoriedade
Algoritmo ideal: capaz de produzir soluces de boa qualidade,em todos os casos, e em tempo aceitavel
Heurıstica: rapidez > qualidade ou qualidade > rapidez
para um determinado problema, mas sem garantia para outros
Metaheurısticas: estrategias gerais para guiar e controlarheurısticas especıficas para resolver o problema de interesse
NMinimize http://reference.wolfram.com/language/ref/NMinimize.html
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Parte 2: Otimizacao Global Otimizacao quadratica
Assinalamento quadratico: min xT Sxs.a x ∈ D , S ∈ Rn2×n2 ,
D =
xij ∈ {0, 1} :n∑
i=1
xij = 1 (j = 1, . . . , n) en∑
j=1
xij = 1 (i = 1, . . . , n)
Problema combinatorio fundamental - caixeiro viajante, entre outros
Localizacao de instalacoes; microeletronica; design de chips
Clique maximo (programacao quadratica indefinida)Grafo G = G(V ,E), vertices V e arestas E
Matriz AG = (aij)n×n definida por aij =
{1, se(i , j) ∈ E0, se(i , j) 6∈ E
min 12xT AGx
s.a x ∈ C , C =
{x ∈ Rn :
n∑i=1
xi = 1, xi ≥ 0(i = 1, . . . , n)
}
Redes sociais; bioinformatica; quımica computacional
Problemas NP-completos: nao podem ser resolvidos em tempo polinomial
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Parte 2: Otimizacao Global Tunelamento
Tunneling
Estrategia determinısticaFuncao de tunelamento, para escapar de solucoes locaisSucessivas minimizacoes locais usuais
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Parte 2: Otimizacao Global Busca tabu
Tabu search
A Busca Tabu mantem uma lista de solucoes candidatas visitadasrecentemente (Lista Tabu) e se recusa a revisitar estascandidatas por um ciclo pre-determinado de iteracoes.
Quando um otimo e encontrado, forca-se uma busca para umponto distante do corrente, pois nao e permitida a permanenciaou retorno para esse otimo. Isto faz com que uma regiao maisabrangente do espaco de solucoes seja visitada.
Tres nocoes principais caracterizam essa metaheurıstica:
espaco de buscavizinhancatabu
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Parte 2: Otimizacao Global Recozimento simulado
Simulated annealing
Analogia com processo termodinamico:• Aumento (brusco) da temperatura:
aumento da energia, movimentacao livre• Reducao (lenta) da temperatura:
estado de equilıbrio, com energia mınima
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Parte 2: Otimizacao Global Colonia de formigas
Ant colony optimization (ACO)
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Safari_ants.jpg http://www.nightlab.ch/antsim.php
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Parte 2: Otimizacao Global Busca Gulosa, Aleatoria e Adaptativa
GRASP
Greedy Randomized Adaptive Search Procedures
Processo iterativo com duas fases:
Construcao adaptativa e randomica de solucao viavelBusca Local (refinamento, p.ex. via downhill climbing e variacoes)
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Parte 2: Otimizacao Global Algoritmos geneticos
Genetic Algorithms
Inspirado no processo evolucionario:
populacao inicialreproducao e novos indivıduos(combinacao e permutacao de genes)variabilidade adicionalbaseada em crossover (recombinacoes) e mutacoes
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Parte 2: Otimizacao Global Enxame de Partıculas
Particle Swarm
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/ec/ParticleSwarmArrowsAnimation.gif
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Parte 2: Otimizacao Global Busca Harmonica
Harmony Search
Otimizacao & composicao musical:
Instrumento⇔ variaveis de decisaoNotas musicais⇔ valores das variaveisHarmonia⇔ vetor solucao
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Roteiro para as apresentacoes orais
Roteiro para as apresentacoes orais
Autores proponentes (referencias originais) ereferencias adicionais
Contextualizacao e hipoteses
Ideias basicas e algoritmo
Vantagens e Desvantagens
Exemplos
Algo mais: descricao de uma aplicacao interessante;implementacao propria, com resultados computacionais, etc.
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Roteiro para as apresentacoes orais
Atividade da aula
Com base no panorama apresentado:
elenque tres temas que chamaram a sua atencao;
comente sobre as suas escolhas;
aponte aquele(s) com o(s) qual(is) gostaria de trabalhar.
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