P ropri étés Intégrales des Mod èles Cosmologiques non-homogènes

　　 PPropriropriétés Intégralesétés Intégrales des Moddes Modèles Cosmologiques non-èles Cosmologiques non-

homogèneshomogènes

Thomas BuchertThomas Buchert

LMU Munich LMU Munich

1. Dynamique intégrale non-linéaire

2. Statistique intégrale non-linéaire

Première Partie :

Dynamique Non-linéairedes Modèles Cosmologiques

Le ModLe Modèèle Standardle Standard

Bahcall et al. (1999)Bahcall et al. (1999)

Le Triangle CosmiqueLe Triangle Cosmique

LesParamètresCosmologiques

Le ModLe Modèèle Concordancele Concordance

Bahcall et al. (1999)Bahcall et al. (1999)

0,300,7

Le ModLe Modèèle le « Effectif « Effectif »»

Pourquoi nousconsideronsune distributionlissée ?

Exemple d’unePropriété Intégrale:La surface totaled’une sphère

A=4 R2Alune ¼ 40 Asphère

etla surface totale de la lune …

“Surface roughening”

représentantle volume totaldu modèle standard avec k > 0

“Surface roughening”

Lisser la GLisser la Géométrie des éométrie des EspacesEspaces

> 0 < 0 > 0

Modèle FriedmannEuclidien

Modèle non-homogène

Riemannien

VE

VR

k = 0

< > = 0

Aparté :

Le problème avec l’orange :

Comparaison des Comparaison des VolumesVolumes

Comparaison des Comparaison des VolumesVolumes

,g

t = const.

E3

PrPréserver la Masse Méserver la Masse MPrPréserver la Masse Méserver la Masse M

,g B0

B_M

MLa densité lissée riemannienne :

La densité lissée euclidienne :

La fraction des volumes :

Un ModUn Modèèle Simplele SimpleUn ModUn Modèèle Simplele Simple

e s p a c e e u c l i d i e n

= 1.64

Une vraie boule

VEuclid = 2/6 VRiemann

Fin de l’Aparté !

Maintenant :Modèles Newtoniens

DiffDifférence entre Modèlesérence entre Modèles homoghomogène et non-homogèneène et non-homogène

Modèle FriedmannEuclidien

Modèle non-homogène

EuclidienNon-commutativité

La Construction d’unLa Construction d’unModModèèle Gle Géénnéériquerique

La Construction d’unLa Construction d’unModModèèle Gle Géénnéériquerique

t1/3aD(t)=V

Le Modèle Standard

Espace - Temps de NewtonEspace - Temps de Newton

Le Modèle «Effectif»

a(t) = V 1/3

L’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienneL’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienne

t

MM

MM

x1

x2

xi = fi (qj,t)

i,j=1,2,3

L’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienneL’L’évolution lagrangienneévolution lagrangienne

t

M

M

x1

x2

La dLa déformation lagrangienneéformation lagrangienne

t

x1q1q1

f1 (q1 ,t)

v1 = f1 (q1 ,t)

x1

L’évolution du volumeL’évolution du volume L’évolution du volumeL’évolution du volume

xi = fi (qj , t) d3x = J(qi ,t) d3q

<A>: = 1/V sD A d3 x

Lisser une distribution Lisser une distribution AA Lisser une distribution Lisser une distribution AA

xi = fi (q1,t) d3x = J(qi ,t) d3q

Non-CommutativitNon-CommutativitééNon-CommutativitNon-Commutativitéé

Entropie d’information Entropie d’information relativerelative

Kullback-Leibler :

S > 0 d/dt S > 0 :

L’information dans l’Univers augmente !en compétition avec l’expansion

Quelle est la dynamique du domaine ?

Maintenant :Etude du taux d’expansion

Lisser sur un domaine spatial :

Le règle de non-commutativé :

L’équation de Raychaudhuri :

Lisser le taux d’expansion :

L’équation de Euler : d/dt vi = gi

) d/dt vi,j = vi,kvk,j + gi,j

Vi,j = 1/3 ij + ij + ij

i = j

L’équation de Newton : gi,i = – 4 G

)L’équation de Raychaudhuri

Les Les ééquations quations ggénéralisées énéralisées de Friedmann de Friedmann

Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :

Le Quatuor CosmiqueLe Quatuor Cosmique Le Quatuor CosmiqueLe Quatuor Cosmique

Les paramètres cosmologiques effectifs :

Le paramètre de Hubble effectif :

avec :

Modèle analytique de vitesses

Est-ce qu’il y a des autres possibilitésd’avoir Q = 0 ?

1. Régions sphériques

2. Conditions frontières

Les Boules en Fer de Les Boules en Fer de NewtonNewton

Les Boules en Fer de Les Boules en Fer de NewtonNewton

aaRR

« Top-Hat »

QR = 0

PropriPropriétéétés Globales s Globales des Moddes Modèèles Newtoniensles Newtoniens

Les conditions de frontiLes conditions de frontière sont périodiquesère sont périodiques

Le modèle effectif Newtoniensur l’échelle globale

est le même que le modèle standard !

Mais: les observationssont faites sur des échelles régionales

) on peut calculer les effets au niveau

régionalavec les outils standards !

Simulations des structures aux grands Simulations des structures aux grands échelleséchelles

E u c l i d e e n

MPA Garching

ModModèle èle lagrangien 2lagrangien 2ndnd ordre ordre 1024 cube1024 cube

C D M

Le modLe modèle èle lagrangien lagrangien perturbatifperturbatif avec avec un spectreun spectre coupcoupéé

numeriquenumerique

analytiqueanalytique

TZATZA

C D M

ModModèle analytique pourèle analytique pourles fluctuations intégralesles fluctuations intégrales

xxii = f = f ZZii (q,t) = a (t) (q,t) = a (t) qqii + b (t) + b (t) ii (q) (q)

v v ZZii = d/dt f = d/dt f ZZ

ii

)) Q QZZ = Q = QZZ ( v ( v ZZi i , v , v ZZ

i,ji,j ) )

1.1. L’approximation de Zel’dovich : L’approximation de Zel’dovich :

2.2. Evolution perturbative du volume : Evolution perturbative du volume :

JJZZ = det (f = det (f ZZi|ki|k) = a) = a33 [ 1 + b [ 1 + b I I + b + b22 II + b II + b33 III ] III ]

aaDD33 (t) = a (t) = a33 [ 1 + b [ 1 + b < I >< I >ii + b + b22 < II > < II >ii + b + b33 < III > < III >ii ] ]

Les Invariants de i|k := ( i / qk ) :

I := trace ( i|k )

II := ½ [ trace ( i|k )2 - i|jj|i ]

III := det ( i|k )

3.3. Evolution non-perturbative du volume Evolution non-perturbative du volume : :Les relations dans le cas sphérique :

< II > = 1/3 < I > 2 < III > = 1/27 < I > 3

) QZ= 0

RRésultat :ésultat : échelle 100 Mpc/héchelle 100 Mpc/hRRésultat :ésultat : échelle 100 Mpc/héchelle 100 Mpc/h

Variance CosmiqueVariance CosmiqueVariance CosmiqueVariance Cosmique

300 300 Mpc/hMpc/h 600 600 Mpc/hMpc/h

Conclusions :

Les effets Newtoniens sont régionaux

Il ne peut pas remplacerquantitativement «« l’énergie noire »»

«« Backreaction »» peut se comporterqualitativement comme `` (t) ‘’

Mais les autres paramètres cosmologiquessont influencés indirectement

et peuvent changer beaucoup !

Le Contexte RLe Contexte RelativisteelativisteLe Contexte RLe Contexte Relativisteelativiste

t1/3aD= VR

Espace - Temps de EinsteinEspace - Temps de Einstein

d2 s = - dt2 + gij dXi dXj

gij

t

La condition d’intégrabilité : La condition d’intégrabilité :

Les Les ééquations quations ggénéralisées énéralisées de Friedmann de Friedmann

Les fluctuations intégrales (« backreaction ») : Les fluctuations intégrales (« backreaction ») :

Le cas homogène :

Lisser la gLisser la géometrieéometrieLisser la gLisser la géometrieéometrie

,g

t = const.

E3

Conclusions :

Les équations relativistes intégralessont les mêmes

que les équations Newtoniennes !

Globalement on n’a pas Q = 0Q est relié à <R>

( La courbure globale change avec la formation des structures ! )

Les autres paramètres cosmologiquespeuvent changer beaucoup,

alors: l’effet de la courbure peut être important ( «« l’énergie noire » )» )

Seconde Partie :

Statistique Non-linéairedes Modèles Cosmologiques

Les Fonctionelles de MinkowskiLes Fonctionelles de Minkowski

Minkowski (1903)Minkowski (1903)

Les Fonctionelles de Minkowski :

Propriétés intégralesdu domaine

Gauss-Bonnet

Ici: La Topologie !

La Morphologie du DomaineLa Morphologie du DomaineLa Morphologie du DomaineLa Morphologie du Domaine

Fonctionelles de Minkowski

Fonctionelles de Minkowski : Boule en Fer

La boule en fer de Newton :

Les équations généraliséesde Friedmann :

Le terme « réréaction » :

Point de Vue Morphologique :

La morphologie du domainecontrôle l’évolution effective

des champs dans le domaine

Mais la topologie peut changer !!

Changement de TopologieChangement de TopologieChangement de TopologieChangement de Topologie

SingularitSingularités des Frontsés des FrontsSingularitSingularités des Frontsés des Fronts

Comment construire un corps (un domaine)

à partir des données observées ?

Exemples des données :

catalogues des galaxies=

une collection de points

Le construction d’un corps ILe construction d’un corps ILe construction d’un corps ILe construction d’un corps I

CfACfAComaComa

Les contours « Les contours « excursion excursion »»Les contours « Les contours « excursion excursion »»

ModModèle èle BooleBoole

LeLe constructionconstruction d’un corps d’un corps IIII

MorphomMorphoméétrietrie

en fonctionen fonctionde l’de l’échelleéchelle

MorphomMorphoméétrietrie

en fonctionen fonctionde l’de l’échelleéchelle

rr rr

rr rr

11 22

33 44

Morphometrie d’un CatalogueMorphometrie d’un CatalogueMorphometrie d’un CatalogueMorphometrie d’un Catalogue

A P MA P M

Les donnLes données limitées au volume 3Dées limitées au volume 3DLes donnLes données limitées au volume 3Dées limitées au volume 3D

100 100 Mpc/hMpc/h

P S C zP S C z

0,8 Jy :0,8 Jy :676 / 661676 / 661

A P MA P M

Les Fluctuations MorphologiquesLes Fluctuations Morphologiquesdans le Catalogue PSCzdans le Catalogue PSCz

Les Fluctuations MorphologiquesLes Fluctuations Morphologiquesdans le Catalogue PSCzdans le Catalogue PSCz

Sloan Digital Sky Survey – Sample 12Sloan Digital Sky Survey – Sample 12 150 000 galaxies150 000 galaxies

Sloan Digital Sky SurveySloan Digital Sky SurveySloan Digital Sky SurveySloan Digital Sky Survey

Région 2

Région 1

Sample 12Sample 12

Sample 10Sample 10

　　 PPropriropriétés Intégralesétés Intégrales des Moddes Modèles Cosmologiques non-èles Cosmologiques non-

homogèneshomogènes

ConclusionsConclusions

　　 PPropriropriétés Intégralesétés Intégrales des Moddes Modèles Cosmologiques non-èles Cosmologiques non-

homogèneshomogènes

ConclusionsConclusionsModèle Newtonien : globalement = Modèle Standard

au niveau régional : 1) quatuor cosmique ! Q 2) variance cosmique

( Q petit, mais les autres paramètres changent beaucoup ! )

3) contrôlé par les fonctionelles de Minkowski

Modèle relativiste : courbure globale change avec la formation des structures ! <R> / Q

Aparté :

Relation entre la morphologiedu domaine

et la dynamique intégraledu domaine

Fixer la frontFixer la frontère du domaineère du domaine

S = const

dS = r S / |r S |

Espace de ParamEspace de Paramètres Completètres Complet

..

Lisser les Espace Lisser les Espace RiemannienRiemannien 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　

Ricci-Hamilton-FlowRicci-Hamilton-Flow

i ji j

i ji j

ｇｇｇｇ ｇｇｇｇ

KK KK

KKKK i ji j

i ji j

（）（）

Lisser la GLisser la Géometrie et la Masseéometrie et la MasseLisser la GLisser la Géometrie et la Masseéometrie et la Masse

,g

Preserving thePreserving theHamiltonian ConstraintHamiltonian Constraint

Preserving thePreserving theHamiltonian ConstraintHamiltonian Constraint

0,3 0,7