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OrigemOrigem FFíísicasica e e MatemMatemááticaticadasdas EstruturasEstruturas GeomGeoméétricastricas
FractaisFractais
ObjetivoObjetivo::ApresentarApresentar a a origemorigem dos dos fractaisfractais nanaMatemMatemááticatica nana FFíísicasica e e nana NaturezaNatureza
22
Indices de Indices de AssuntosAssuntos• Mecânica
- 1a, 2a, e 3a Leis de Newton• Mecânica do Continuo
- Equação de Movimento e Relações Contituivas- Diagramas Tensào X Deformação- Espaço dual e Grandezas Complementares
• Termodinâmica- 1a, 2a, 3a Leis- Teorema de Euler- Equação de Euler- Equação de Gibbs-Duheim- Funções e Potenciais Termodinâmicos
• Mecânica Estatistica- Leis da Mecânica das Partículas- Peso Estatistico- Espaço de Fase e Fractais- Contagem de Estados- Relação de Boltzmman- Contagem de Gibbs- Transformada de Laplace das Funções e Potenciais Termodinâmicos- MultiFractais
• A Fisica dos Fractais e a Teoria da Dissipação- Função de Dissipação- Padrões Geométricos formados em Fenômenos Dissipativos- Fractais Geométricos, Dinâmicos, e Termodinâmicos
• Teoria Fractal- Caracterização Fractal
• Proposta da Modelagem Fractal Ossea
33
MECÂNICA CLMECÂNICA CLÁÁSSICASSICA
• 1a Lei de Newton
• 2a Lei de Newton
• 3a Lei de Newton
1
N
i ii
p mv p m v
1
Ni
i
dpdpF Fdt dt
açao reaçãoF F
Mecânica das Partículas (Discreto)
44
MECÂNICA DO MECÂNICA DO CONTCONTííNUONUO
• Equação• de Movimento
• Leis Constitutivas : Sólido e Fluido
.d v
f Pdt
.v v
Mecânica dos Sólidos e Fluidos
55
DiagramasDiagramas de de TensãoTensão DeformaDeformaççãoão
• Comportamento:Elástico (Lei de Hooke), Plástico e Viscoso
66
EspaEspaççoo Dual e Dual e GrandezasGrandezasComplementaresComplementares
• Tensao X Deformação
Deformação X Tensão
1 12 2
U E
1 1 ????2 2
77
TERMODINÂMICATERMODINÂMICA
• 1a Lei: Balanço de Energia
• 2a Lei: Entropia
• 3a Lei: CalorEspecífico
Q W dU
0 0TotalQ dS
T
0lim 0T
dQdT
88
GrandezasGrandezas TermodinâmicasTermodinâmicas• Extensivas: dependem do
tamanho ou extensão do sistema
• Ex: Energia, Entropia, Numero de Partículas
• Intensivas:• Não dependem do
tamanho ou extensão do sistema
• Ex: Temperatura, Pressão, PotencialQuímico
, , ,U S V N
, ,T P
99
TeoremaTeorema de Euler de Euler parapara as as FunFunççõesõesHomogêneasHomogêneas emem EscalaEscala
1
nn
k kk k
FF X XX
1
n
k kk k
FdF X dXX
~ ;k x
F F dM M dU UX X dV V dV V
o o
o o
L ll L
ol
oL
Condição de Homogeneidade
1010
EquaEquaççãoão de Euler de Euler e e
EquaEquaççãoão GibbsGibbs--DuheimDuheim
1( , , ) PS U V N U V NT T T
( , , )U S V N TS PV N
0SdT VdP Nd
• Formalismo daEnergia
• Formalismo daEntropia
• Equação de Gibbs-Duheim
1111
EspaEspaççoo Dual e Dual e GrandezasGrandezasComplementaresComplementares
• Formalismo daEnergia
• Formalismo daEnergia
F U TS UST
1212
MotivaMotivaççãoão parapara o o SurgimentoSurgimentodos dos PotenciaisPotenciais TermodinâmicosTermodinâmicos
• Ciclo de Carnot:Maximização daEficiência – DuasIsotermas e Duas
Adiabáticas no Diagrama PV
Maximização do Trabalho
Energia Útil
1313
PotenciaisPotenciais TermodinâmicosTermodinâmicosouou
EnergiasEnergias LivresLivres de:de:
G U TS PV N
F U TS PV N
H U PV TS N
• Helmholtz
• Entalpia
• Gibbs
G H TS
1414
TransformadaTransformada de de LegendreLegendre
Descreve os Fenômenos utilizando as derivadas das Funçõe Extensivas
o que equivale as
Grandezas Intensivas
;U US T V PS V
1515
GrandezasGrandezas UteisUteis nana DescriDescriççãoão de de ProcessosProcessos TermodinâmicosTermodinâmicos
U UG U S VS V
UF U SS
UH U VV
• Helmholtz: ProcessoIsotérmico
• Entalpia: ProcessoIsobárico
• Gibbs: Isotérmico e Isobárico – Mudançasde Estado
1616
MECÂNICA ESTATMECÂNICA ESTATÍÍSTICASTICA
1
115 23~ 10 10
N
i iiN
i
i
p mv p m v
dpdpF Fdt dt
N particulas
1717
MecânicaMecânica dasdas ParticulasParticulasXX
TermodinâmicaTermodinâmicaComo relacionar as Grandezas Termodinâmicas com as
Leis Fundamentais da Mecânica das Particulas?
Discreto X Contínuo
2020
MicroscMicroscóópicopico parapara MacroscMacroscóópicopico
• Termodinâmica : Transformada de Legendre
• Mecânica EstatisticaTransformada de Laplace
UF U SS
UH U VV
/E KTp e/ /F KT E KTZ e ou U Ee d
lnS k Z
2424
DefiniDefiniçção de Fractaisão de Fractais
• FRACTAIS: são objetos geométricos auto-invariantes por transformação de escala que possuem dimensão fracionária
• Invariância por Transformação de Escala - (partes semelhantes ao todo). = lo/Lo (fator de escala) que pode ser por:
AUTO-SIMILARIDADE ou AUTO-AFINIDADE.(Ex. um Pinheiro) (Ex. uma Trinca)
• A Extensão do Objeto, Md, depende do tamanho da régua de medida utilizada, Lo, isto é,
Md() = Mdod-D se D = d Md() = Mdo.
2525
Invariância por TransformaInvariância por Transformaçção de ão de EscalaEscala
Def: Partes Semelhantes ao Todo
• Exemplo: Pinus
Outros Exemplos:Nuvens, Trincas, Cristais
de Gelo, Rochas,Rios, Cidades, etc(Niveis Hierárquicos de
Estruturas)
2626
EstruturaEstrutura FractalFractal
Caracteristicas:•Apresenta vazios na Estrutura• Dimensão Fracionária• Invariância por Transformação de Escala
2727
ComparaComparaççãoão entreentre GeometriasGeometrias• Euclidiana de Formas Regular • Fractal de Formas Irregulares
2828
DimensõesDimensões de de ExcessoExcesso e de e de FaltaFalta
• Excede a um Ponto mas não é uma Reta• Excede a uma Reta mas não é um Plano• Excede a um Plano mas não é um Sólido
( 1)faltaD D d excessoD D d
1d D d
Perspectivas de Visualização
2929
Para que servem na PrPara que servem na Práática?tica?
• Servem para se Descrever Matematicamente Estruturas Irregulares, que a Geometria Euclidiana dos Elementos Básicos: Ponto, Reta, Plano e Espaço não écapaz
Geometria Regular Geometria Irregular
Modelagem Geométrica
3131
RelaRelaççõeõe MatemMatemááticasticas FractaisFractais
• Tudo sai da Modelagem Geométrica daEstrutura Fractal
q
q
p e
q e
q f q
•Probabilidadelocal ou peso estatístico
•Função de Partição
•Expoente de Massa Fractal
3232
RelaRelaççãoão FractaisFractais e e TermodinâmicaTermodinâmica
• TermodinâmicaFractal
• TermodinâmicaClássica
• Funções GeométricasFractais
• Funções e PotenciaisTermodinâmicas
3333
PadrõesPadrões de de DissipaDissipaççãoãoEncontradosEncontrados nana NaturezaNatureza
Geometrias Otimizadaspara os Processos de Dissipação
3535
ConclusãoConclusão• Visto que há uma relação direta entre as
Grandezas Fractais e os PotenciasTermodinâmicos.
• Portanto, a modelagem e a caracterizaçãogeométrica fractal podem fornecem informaçõesimportantes a serem utilizados nos modelos de Remodelação Óssea, Osseointegração, FraturaÓssea, etc.
• Todas as grandezas Extensivas e Intensivasque dependem da geometria Óssea podemutilizar a relação de Volume Ósseo nosModelos
• Fenômenos de Evolução DInâmica podemutilizar a Derivada do Volume no tempo
3636
AgradecimentosAgradecimentos
Muito Obrigado a Todos!
Vamos Trabalhar e Trabalhar
Medir, Calcular, Modelar para
para
PublicarTem muito pano para Manga
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