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Ordonnanement hromatiquepolyèdres, omplexité et lassi�ationVinent JOSTEnadrement : Nadia BRAUNER, András SEBUniversité Joseph Fourier, Grenoble ILaboratoire Leibniz-IMAG 1
2
Ordonnanement par baths
I1 b b I2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b b01234
5678 Tolérane de températureTemps minimumde uisson
500 1000 1500 2000 C 3
Ordonnanement par baths◮ Représentation par un graphe pondéréI1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b b0246
8Température
Tempsuisson (I1, 2) (I2, 4)(I3, 5)(I4, 8) (I5, 7)(I6, 6)(I7, 2) (I8, 4)bbbb bbbb
bbbb
bbbbb
b
b
b
b b
b b
b bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
4
Ordonnanement par baths : partition en liques◮ {Baths réalisables} = {Cliques du graphe d'intervalles}I1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b b0246
8Température
Tempsuisson (I1, 2) (I2, 4)(I3, 5)(I4, 8) (I5, 7)(I6, 6)(I7, 2) (I8, 4)bbbb bbbb
bbbb
bbbbb
b
b
b
b b
b b
b bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
bb
bb
bb 4
Ordonnanement par baths parallèles◮ Temps d'opération d'un bath := maximum des tempsI1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b b6 Température
Tempsuisson (I1, 2) (I2, 4)(I3, 5)(I4, 8) (I5, 7)(I6, 6)(I7, 2) (I8, 4)bbbb bbbb
bbbb
bbbbb
b
b
b
b b
b b
b bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
bb
bb
bb 4
Ordonnanement par baths : diagramme de Gantt◮ 3 représentations d'une solutionI1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b b826 Température
Tempsuisson (I1, 2) (I2, 4)(I3, 5)(I4, 8) (I5, 7)(I6, 6)(I7, 2) (I8, 4)bbbb bbbb
bbbb
bbbbb
b
b
b
b b
b b
b bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
I2 I3 I4 I5 I1 I6 I7 I88 10 16 Ci 4
Ordonnanement par baths : taille du four bornée◮ Chaque bath ontient au plus b tâhes (exemple b = 3)I1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b b856 Température
Tempsuisson (I1, 2) (I2, 4)(I3, 5)(I4, 8) (I5, 7)(I6, 6)(I7, 2) (I8, 4)bbbb bbbb
bbbb
bbbbb
b
b
b
b b
b b
b bb
b
b
bb
b
b
bb
bb
b
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
bb
I2 I4 I5 I1 I3 I6 I7 I88 13 19 Ci 4
Menu du jour◮ I) Partition en liques : théorie lassique
5
Menu du jour◮ I) Partition en liques : théorie lassique◮ II) Extension de pré-partition en liques [PrExt℄
5
Menu du jour◮ I) Partition en liques : théorie lassique◮ II) Extension de pré-partition en liques [PrExt℄◮ III) Partition en liques bornées [PCliqB℄
5
Menu du jour◮ I) Partition en liques : théorie lassique◮ II) Extension de pré-partition en liques [PrExt℄◮ III) Partition en liques bornées [PCliqB℄◮ IV) Partition de oût minimum [PCliqW℄ 5
I) Partition en liques : théorie lassique6
Dé�nitions utiles◮ Le graphe omplémentaire
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb b
Gb
bb
bb
bb
b
G7
Dé�nitions utiles◮ Le graphe omplémentaire◮ Sous-graphe induit
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb b
G7
Dé�nitions utiles◮ Le graphe omplémentaire◮ Sous-graphe induit
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb bbbbb
bb
bb
(G ,U)7
Dé�nitions utiles◮ Le graphe omplémentaire◮ Sous-graphe induit par U ⊆ V
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb bbbbb
bb
bb
(G ,U)b
bb bb
b
bb b
bb bb bb
b
b
b
G[U]7
Dé�nitions utiles◮ Le graphe omplémentaire◮ Sous-graphe induit par U ⊆ V◮ Clique et stable
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb b b
bb
bb
bb
bb bb
bb
b bb
bb
bb
lique stable7
Partition en liques de G ⇐⇒ partition en stables de G
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb b
χ(G ) = χ(G )b
bb
bb
bb
b 8
Partition en liques de G ⇐⇒ Coloration de G
b
b
b bb
bb bb
bb
b bb b
bb b
χ(G ) = χ(G )b
bb
bb
bb
bbb
bb
bb
bb bb
bb 9
Problème : partition en liquesDonnées : Graphe G , entier kQuestion : ∃ partition de G en au plus k liques ?
10
Problème : partition en liquesDonnées : Graphe G , entier kQuestion : ∃ partition de G en au plus k liques ?Complexité : NP
10
Problème : partition en liquesDonnées : Graphe G , entier kQuestion : ∃ partition de G en au plus k liques ?Complexité : NP-omplet
10
L'inégalité χ(G ) ≥ α(G )
11
L'inégalité χ(G ) ≥ α(G )◮ Pas toujours serrée :
12
L'inégalité χ(G ) ≥ α(G )◮ Pas toujours serrée : χ(C5) = 3 > 2 = α(C5)
12
L'inégalité χ(G ) ≥ α(G )◮ Pas toujours serrée : χ(C5) = 3 > 2 = α(C5)◮ Deider si χ(G ) = α(G ) est NP-omplet
12
L'inégalité χ(G ) ≥ α(G )◮ Pas toujours serrée : χ(C5) = 3 > 2 = α(C5)◮ Deider si χ(G ) = α(G ) est NP-omplet◮ Trouver
◮ partition min en liques◮ stable maxNP-di�iles même si χ(G ) = α(G ) 12
Graphes parfaits : passé...◮ Def : Berge 1960Tout sous-graphe induit H de G véri�e χ(H) = α(H)
13
Graphes parfaits : passé...◮ Def : Berge 1960Tout sous-graphe induit H de G véri�e χ(H) = α(H)
PARFAIT
SANS-P4
INTERVALLESBIPARTI
COMPARABILITE TRIANGULE
13
Graphes parfaits : passé, présent...◮ Def : Berge 1960Tout sous-graphe induit H de G véri�e χ(H) = α(H)◮ Optimisation Grötshel, Lovász, Shrijver 1984Partition min en liques et stable max sont polynomiaux
13
Graphes parfaits : passé, présent...◮ Def : Berge 1960Tout sous-graphe induit H de G véri�e χ(H) = α(H)◮ Optimisation Grötshel, Lovász, Shrijver 1984Partition min en liques et stable max sont polynomiaux◮ SPGT Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas 2002Conjeture forte des graphes parfaits Berge 1960G parfait ⇐⇒ ni trou impair, ni antitrou impair
13
Graphes parfaits : passé, présent...◮ Def : Berge 1960Tout sous-graphe induit H de G véri�e χ(H) = α(H)◮ Optimisation Grötshel, Lovász, Shrijver 1984Partition min en liques et stable max sont polynomiaux◮ SPGT Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas 2002Conjeture forte des graphes parfaits Berge 1960G parfait ⇐⇒ ni trou impair, ni antitrou impairTrou impair Antitrou impair
13
Graphes parfaits : passé, présent...◮ Def : Berge 1960Tout sous-graphe induit H de G véri�e χ(H) = α(H)◮ Optimisation Grötshel, Lovász, Shrijver 1984Partition min en liques et stable max sont polynomiaux◮ SPGT Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas 2002Conjeture forte des graphes parfaits Berge 1960G parfait ⇐⇒ ni trou impair, ni antitrou impairTrou impair Antitrou impair◮ Reonnaissane polynomialeChudnovsky, Cornuéjols, Liu, Seymour, Vu²kovi¢ 2005 13
Futur des graphes parfaits : ordonnanement hromatique◮ Appliations de oloration =⇒ ontraintes supplémentaires
14
Futur des graphes parfaits : ordonnanement hromatique◮ Appliations de oloration =⇒ ontraintes supplémentaires◮ Contraintes étudiées en ordonnanement
14
Futur des graphes parfaits : ordonnanement hromatique◮ Appliations de oloration =⇒ ontraintes supplémentaires◮ Contraintes étudiées en ordonnanement◮ Nouveaux problèmes NP-di�iles dans les graphes parfaits...
14
Futur des graphes parfaits : ordonnanement hromatique◮ Appliations de oloration =⇒ ontraintes supplémentaires◮ Contraintes étudiées en ordonnanement◮ Nouveaux problèmes NP-di�iles dans les graphes parfaits...◮ ...mais polynomiauxdans sous-lasses importantes pour appliations
14
Futur des graphes parfaits : ordonnanement hromatique◮ Appliations de oloration =⇒ ontraintes supplémentaires◮ Contraintes étudiées en ordonnanement◮ Nouveaux problèmes NP-di�iles dans les graphes parfaits...◮ ...mais polynomiauxdans sous-lasses importantes pour appliations
+ Relations min-max qui généralisent χ(G ) ≥ α(G )14
II) Extension de pré-partition en liques15
L'ubiquité des ontraintes de pré-a�etation1 53 4 14 6 2 95 6 3 175 92 77 9 216
L'ubiquité des ontraintes de pré-a�etation1 53 4 14 6 2 95 6 3 175 92 77 9 2◮ Sudoku : extension d'une pré-oloration 16
L'ubiquité des ontraintes de pré-a�etation1 53 4 14 6 2 95 6 3 175 92 77 9 2◮ Sudoku : extension d'une pré-oloration 16
L'ubiquité des ontraintes de pré-a�etation1 53 4 14 6 2 95 6 3 175 92 77 9 2◮ Sudoku : extension d'une pré-oloration 16
L'ubiquité des ontraintes de pré-a�etation1 53 4 14 6 2 95 6 3 175 92 77 9 2◮ Sudoku : extension d'une pré-oloration d'un graphe◮ 81 sommets 16
L'ubiquité des ontraintes de pré-a�etation1 53 4 14 6 2 95 6 3 175 92 77 9 2◮ Sudoku : extension d'une pré-oloration d'un graphe◮ 81 sommets◮ même ligne, olonne ou arré =⇒ arête 16
[PrExt℄ : extension de pré-partition en liquesDonnées : Graphe G , entier k ,famille de liques disjointes Q = {Q1,Q2, . . .} de GQuestion : ∃ partition de G en k liques qui étende Q ?
17
[PrExt℄ : extension de pré-partition en liquesDonnées : Graphe G , entier k ,famille de liques disjointes Q = {Q1,Q2, . . .} de GQuestion : ∃ partition de G en k liques qui étende Q ?Complexité : NP17
[PrExt℄ : extension de pré-partition en liquesDonnées : Graphe G , entier k ,famille de liques disjointes Q = {Q1,Q2, . . .} de GQuestion : ∃ partition de G en k liques qui étende Q ?Complexité : NP-omplet même dans les graphes parfaits17
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G
18
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G◮ Contrater haque lique de Q en un sommet
18
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G◮ Contrater haque lique de Q en un sommet◮ E�aer arêtes entre pré-liques
18
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G◮ Contrater haque lique de Q en un sommet◮ E�aer arêtes entre pré-liques
18
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G◮ Contrater haque lique de Q en un sommet◮ E�aer arêtes entre pré-liques◮ Voisinage d'une pré-lique := {Voisins ommuns}
18
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G◮ Contrater haque lique de Q en un sommet◮ E�aer arêtes entre pré-liques◮ Voisinage d'une pré-lique := {Voisins ommuns}
18
[PrExt℄ : la tehnique de ontration◮ Pour un graphe G et une pré-partition Q de G◮ Contrater haque lique de Q en un sommet◮ E�aer arêtes entre pré-liques◮ Voisinage d'une pré-lique := {Voisins ommuns}
18
[PrExt℄ : un erti�at d'optimalité
19
[PrExt℄ : le lemme de ontration
◮ Bijetion entre◮ partitions en liques de G qui étendent Q◮ partitions en liques de GQ 20
[PrExt℄ : le lemme de ontration
◮ Bijetion entre◮ partitions en liques de G qui étendent Q◮ partitions en liques de GQ
◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q 20
[PrExt℄ : le lemme de ontration
◮ Bijetion entre◮ partitions en liques de G qui étendent Q◮ partitions en liques de GQ
◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Hujter, Tuza 1996PrExt-parfait ⊃ split, sans-P4, bipartis-sans-P5, o-bipartis◮ Hertz 1989 GQ est parfait si G est Meyniel et |Qi | = 1 ∀ i 20
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs. . .
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs,◮ maisons. . .
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs,◮ maisons. . .
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs, maisons. . .
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs, maisons◮ et 'est tout ! Jost, Lévêque, Ma�ray 2005
21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs, maisons◮ et 'est tout ! Jost, Lévêque, Ma�ray 2005G est PrExt-parfait ⇐⇒ G est un graphe de Meyniel 21
Les graphes PrExt-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est PrExt-parfait si GQ est parfait pour tout Q◮ Par la queue : minimaux non-PrExt-parfaits
◮ trous impairs, maisons◮ et 'est tout ! Jost, Lévêque, Ma�ray 2005G est PrExt-parfait ⇐⇒ G est un graphe de Meyniel[PrExt℄ est polynomial sur les graphes de Meyniel 21
Complexité de [PrExt℄ sur lasse ( C | C )PARFAIT
SANS-P4
SPLIT
PERMUTATION
INTERVALLES
BIPARTI
FORET
LGBIP
MEYNIEL
PolynomialNP-omplet PrExt-parfait 22
III) Partition en liques bornées23
[PCliqB℄ : partition en liques de taille bornéeDonnées : Graphe G , entiers b et kQuestion : ∃ partition de G en k liques ayant au plus b sommets ?
24
[PCliqB℄ : partition en liques de taille bornéeDonnées : Graphe G , entiers b et kQuestion : ∃ partition de G en k liques ayant au plus b sommets ?
24
[PCliqB℄ : partition en liques de taille bornéeDonnées : Graphe G , entiers b et kQuestion : ∃ partition de G en k liques ayant au plus b sommets ?Complexité : NP
24
[PCliqB℄ : partition en liques de taille bornéeDonnées : Graphe G , entiers b et kQuestion : ∃ partition de G en k liques ayant au plus b sommets ?Complexité : NP-omplet, même dans les graphes parfaits
24
[PCliqB℄ : un erti�at d'optimalité
25
[PCliqB℄ : un erti�at d'optimalité
C1(U),C2(U), . . .Ct(U) := omposantes onnexes de G [U]σb(G ):= maxU⊆V t∑i=1 ⌈ |Ci (U)|b ⌉ 25
[PCliqB℄ : la formule de �Berge-Tutte-Gallai mod-b�◮ Finke, Jost, Seb®, Queyranne 2004On a toujours
χb(G ) ≥ σb(G ) := maxU⊆V ∑i ⌈ |Ci(U)|b ⌉
26
[PCliqB℄ : la formule de �Berge-Tutte-Gallai mod-b�◮ Finke, Jost, Seb®, Queyranne 2004On a toujours
χb(G ) ≥ σb(G ) := maxU⊆V ∑i ⌈ |Ci(U)|b ⌉◮ Cas ave égalité :
◮ χ(G ) = α(G ) (⇐ {G parfait, b ≥ |V |})26
[PCliqB℄ : la formule de �Berge-Tutte-Gallai mod-b�◮ Finke, Jost, Seb®, Queyranne 2004On a toujours
χb(G ) ≥ σb(G ) := maxU⊆V ∑i ⌈ |Ci(U)|b ⌉◮ Cas ave égalité :
◮ χ(G ) = α(G ) (⇐ {G parfait, b ≥ |V |})◮ �Berge-Tutte� pour ouplage max (⇐⇒ b = 2)
26
[PCliqB℄ : la formule de �Berge-Tutte-Gallai mod-b�◮ Finke, Jost, Seb®, Queyranne 2004On a toujours
χb(G ) ≥ σb(G ) := maxU⊆V ∑i ⌈ |Ci(U)|b ⌉◮ Cas ave égalité :
◮ χ(G ) = α(G ) (⇐ {G parfait, b ≥ |V |})◮ �Berge-Tutte� pour ouplage max (⇐⇒ b = 2)◮ Pour tout b : intervalles, triangulés, bipartis, o-LGBIP. . . 26
[PCliqB℄ : la formule de �Berge-Tutte-Gallai mod-b�◮ Finke, Jost, Seb®, Queyranne 2004On a toujours
χb(G ) ≥ σb(G ) := maxU⊆V ∑i ⌈ |Ci(U)|b ⌉◮ Cas ave égalité :
◮ χ(G ) = α(G ) (⇐ {G parfait, b ≥ |V |})◮ �Berge-Tutte� pour ouplage max (⇐⇒ b = 2)◮ Pour tout b : intervalles, triangulés, bipartis, o-LGBIP. . .
◮ Def : G est borné-parfait si χb(H) = σb(H)pour tout b et tout sous-graphe induit H de G 26
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est borné-parfait si pour tout b et tout U ⊆ V
χb(G [U]) = σb(G [U])
27
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est borné-parfait si pour tout b et tout U ⊆ V
χb(G [U]) = σb(G [U])◮ Par les ornes : propriétés des bornés-parfaits◮ Par la queue : minimaux non-bornés-parfaits
27
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est borné-parfait si pour tout b et tout U ⊆ V
χb(G [U]) = σb(G [U])◮ Par les ornes : propriétés des bornés-parfaits
◮ ⊃ parfaits-sans-{K3 + v} De Werra 85. Gardi 04bb
b bb
bb
b
K3 + vb
bb b
b
b
K1,327
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est borné-parfait si pour tout b et tout U ⊆ V
χb(G [U]) = σb(G [U])◮ Par les ornes : propriétés des bornés-parfaits
◮ ⊃ parfaits-sans-{K3 + v} De Werra 85. Gardi 04◮ ⊃ parfaits-sans-K4 Hansen, Hertz, Kuplinski 93. FJQS 04
b b
b bb
bb
b
b
b
b
b
b
b
K427
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est borné-parfait si pour tout b et tout U ⊆ V
χb(G [U]) = σb(G [U])◮ Par les ornes : propriétés des bornés-parfaits
◮ ⊃ parfaits-sans-{K3 + v} De Werra 85. Gardi 04◮ ⊃ parfaits-sans-K4 Hansen, Hertz, Kuplinski 93. FJQS 04◮ ⊃ triangulés Jost 05
b bb
bbb
b
b
C4b
bb
bb
bb
bbb
C5 27
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Def : G est borné-parfait si pour tout b et tout U ⊆ V
χb(G [U]) = σb(G [U])◮ Par les ornes : propriétés des bornés-parfaits
◮ ⊃ parfaits-sans-{K3 + v} De Werra 85. Gardi 04◮ ⊃ parfaits-sans-K4 Hansen, Hertz, Kuplinski 93. FJQS 04◮ ⊃ triangulés Jost 05
◮ Par la queue : minimaux non-bornés-parfaits◮ trous impairs et leurs ompléments
27
Graphes bornés-parfaits : la apture du taureau◮ Par les ornes : propriétés des bornés-parfaits
◮ ⊃ parfaits-sans-{K3 + v}, parfaits-sans-K4, triangulés◮ Par la queue : minimaux non-bornés-parfaits
◮ trous impairs et leurs ompléments◮ antennes
b
b
b bb
bb bb
bb
b
b
b
bb b b
b
b C2ks ta bz
b
b
b bb
bb bb
bb
b
b
b
bb b b
b
b C2ks ta bz
b
b
b
b
b bb
b
b
b
b b
b
bb
b
b bb b
s ta bz C2k
Ann02k Ann12k Ann22k 27
[PCliqB℄ : un algorithme glouton pour les intervalles◮ Trier par ordre roissant des �ns d'intervallesI1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b bI9 b bI10 b bI11 b bIntervalles
Extrémités 28
[PCliqB℄ : un algorithme glouton pour les intervalles◮ Les intervalles ompatibles ave I1I1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b bI9 b bI10 b bI11 b bIntervalles
Extrémités 28
[PCliqB℄ : un algorithme glouton pour les intervalles◮ Un hoix glouton pour la lique ontenant I1 (b = 3)I1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b bI9 b bI10 b bI11 b b
B1 = {I1, I2, I3}IntervallesExtrémités 28
[PCliqB℄ : un algorithme glouton pour les intervalles◮ Après l'entrée, le gratin Dauphinois ! (b = 3)I1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b bI9 b bI10 b bI11 b b
B1 = {I1, I2, I3}B2 = {I4, I5, I7}IntervallesExtrémités 28
[PCliqB℄ : un algorithme glouton pour les intervalles◮ Garguantua est repu ! ! ! (b = 3)I1 b bI2 b bI3 b bI4 b bI5 b bI6 b bI7 b bI8 b bI9 b bI10 b bI11 b b
B1 = {I1, I2, I3}B2 = {I4, I5, I7}B3 = {I6, I8, I11}B4 = {I9}B5 = {I10}Intervalles
Extrémités 28
[PCliqB℄ : un algorithme glouton pour les intervalles◮ Solution duale dans la formule de Berge-Tutte-Gallai mod-3
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
b b
IntervallesExtrémités 28
Complexité de (Coloration | Partition en liques) b-bornéePARFAIT
SANS-P4
GALLAI
TRIANGULE
INTERVALLES
BIPARTI
FORETco-LGBIP
PARFAIT-{K3 + v} PARFAIT-K4
BORNE-PARFAIT
PolynomialNP-omplet Borné-parfait+ polynomial 29
IV) Partition de oût minimum (en liques)30
Combinatoire polyèdrale31
Combinatoire polyèdrale, systèmes TDI et TDAU31
[PCliqW℄ : partition de oût minimum (en liques)Données : graphe G , fontion de oût f : P(V ) → R+(f est donnée par un orale de valeur)Résultat : une partition en liques K = {Q1,Q2, . . .Qk} de GObjetif : minimiser ∑ki=1 f (Qi )Complexité : exponentielle32
[PCliqW℄ : partition de oût minimum (en liques)Données : graphe G , fontion de oût f : P(V ) → R+(f est donnée par un orale de valeur)Résultat : une partition en liques K = {Q1,Q2, . . .Qk} de GObjetif : minimiser ∑ki=1 f (Qi )Complexité : exponentielle(PLNE)
min fyy(v) = 1 pour tout v ∈ VyQ ∈ {0, 1} pour toute lique Q de G32
[PCliqW℄ : partition de oût minimum (en liques)Données : graphe G , fontion de oût f : P(V ) → R+(f est donnée par un orale de valeur)Résultat : une partition en liques K = {Q1,Q2, . . .Qk} de GObjetif : minimiser ∑ki=1 f (Qi )Complexité : exponentielle(PLNE)
min fyy(v) = 1 pour tout v ∈ VyQ ∈ {0, 1} pour toute lique Q de G◮ dual de relaxation linéairemax1x(Dual) x(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G 32
[PCliqW℄ : partition de oût minimum (en liques)Données : graphe G , fontion de oût f : P(V ) → R+(f est donnée par un orale de valeur)Résultat : une partition en liques K = {Q1,Q2, . . .Qk} de GObjetif : minimiser ∑ki=1 f (Qi )Complexité : exponentielle(PLNE)
min fyy(v) = 1 pour tout v ∈ VyQ ∈ {0, 1} pour toute lique Q de G◮ dual de relaxation linéairemax1x(Dual) x(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G◮ Paires (G , f ) telles que (Dual) est TDI ou TDAU? 32
[PCliqW℄ : quelques lassiques de la ombinatoire polyèdrale◮ Le système ave variables x ∈ RVx(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G
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[PCliqW℄ : quelques lassiques de la ombinatoire polyèdrale◮ Le système ave variables x ∈ RVx(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G◮ est TDI si G est parfait et f ≡ 1 Fulkerson, Lovász 70's
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[PCliqW℄ : quelques lassiques de la ombinatoire polyèdrale◮ Le système ave variables x ∈ RVx(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G◮ est TDI si G est parfait et f ≡ 1 Fulkerson, Lovász 70's◮ est TDAU si G est omplet et f est sous-modulaire(Tronation de Dilworth Edmonds 70)
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[PCliqW℄ : quelques lassiques de la ombinatoire polyèdrale◮ Le système ave variables x ∈ RVx(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G◮ est TDI si G est parfait et f ≡ 1 Fulkerson, Lovász 70's◮ est TDAU si G est omplet et f est sous-modulaire(Tronation de Dilworth Edmonds 70)◮ est TDAU si G est (o-)omparabilité et f ≡ 1Greene, Kleitman, Cameron, Edmonds, Giles 70's 33
[PCliqW℄ : quelques lassiques de la ombinatoire polyèdrale◮ Le système ave variables x ∈ RVx(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G◮ est TDI si G est parfait et f ≡ 1 Fulkerson, Lovász 70's◮ est TDAU si G est omplet et f est sous-modulaire(Tronation de Dilworth Edmonds 70)◮ est TDAU si G est (o-)omparabilité et f ≡ 1Greene, Kleitman, Cameron, Edmonds, Giles 70's◮ d'autres as intéressants ? 33
[PCliqW℄ : une hybridation frutueuse mais omplexe◮ Complexité de [PCliqW℄ et as TDI du systèmex(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de G
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[PCliqW℄ : une hybridation frutueuse mais omplexe◮ Complexité de [PCliqW℄ et as TDI du systèmex(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de Gf \ G LGBIP sans-P4 Intervalles Triangulé ParfaitUnitaire P P P P PMax-bath P P * P * NPC NPCSteiner TSP P ? NPC NPC NPCsur un arbreSous-modulaire P * EXP* NPH NPH EXP(modèle orale) 34
[PCliqW℄ : une hybridation frutueuse mais omplexe◮ Complexité de [PCliqW℄ et as TDI du systèmex(Q) ≤ f (Q) pour toute lique Q de Gf \ G LGBIP sans-P4 Intervalles Triangulé ParfaitUnitaire P P P P PMax-bath P P * P * NPC NPCSteiner TSP P ? NPC NPC NPCsur un arbreSous-modulaire P * EXP* NPH NPH EXP(modèle orale)◮ Pont entre relations min-max pour fontions sous-modulaireset graphes parfaits, mais pas de généralisation ommune 34
Apport énergetique◮ Extension de pré-oloration ([PrExt]-parfait = Meyniel)◮ Partition en liques bornées (onjetures borné-parfait)◮ Partition de oût minimum (systèmes TDAU et TDI)
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Apport énergetique, �bres alimentaires◮ Extension de pré-oloration ([PrExt]-parfait = Meyniel)◮ Partition en liques bornées (onjetures borné-parfait)◮ Partition de oût minimum (systèmes TDAU et TDI)♣ Conjeture de Fraenkel pour les palindr�mes Brauner, Jost 03♣ Ordonnanement juste-à-temps Lebaque, Jost, Brauner 04♣ Cas polynomial de [PCliqW℄ Gijswijt, Jost, Queyranne 06G est d'intervalles et f est valeur-polymatroïdale
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Apport énergetique, �bres alimentaires et vitamines◮ Extension de pré-oloration ([PrExt]-parfait = Meyniel)◮ Partition en liques bornées (onjetures borné-parfait)◮ Partition de oût minimum (systèmes TDAU et TDI)♣ Conjeture de Fraenkel pour les palindr�mes Brauner, Jost 03♣ Ordonnanement juste-à-temps Lebaque, Jost, Brauner 04♣ Cas polynomial de [PCliqW℄ Gijswijt, Jost, Queyranne 06G est d'intervalles et f est valeur-polymatroïdale♥ Jeux oopératif sur des strutures ombinatoires♥ Classi�ation de problèmes d'ordonnanement hromatique 35
Apport énergetique, �bres alimentaires et vitamines◮ Extension de pré-oloration ([PrExt]-parfait = Meyniel)◮ Partition en liques bornées (onjetures borné-parfait)◮ Partition de oût minimum (systèmes TDAU et TDI)♣ Conjeture de Fraenkel pour les palindr�mes Brauner, Jost 03♣ Ordonnanement juste-à-temps Lebaque, Jost, Brauner 04♣ Cas polynomial de [PCliqW℄ Gijswijt, Jost, Queyranne 06G est d'intervalles et f est valeur-polymatroïdale♥ Jeux oopératif sur des strutures ombinatoires♥ Classi�ation de problèmes d'ordonnanement hromatique♥ Freakombinatoris :
♥ PLNE ave variables sur les arêtes pour oloration Cornaz, Jost♥ PLNE ave variables sur les sommets pour le TSP 35
Apport énergetique, �bres alimentaires et vitamines◮ Extension de pré-oloration ([PrExt]-parfait = Meyniel)◮ Partition en liques bornées (♥ onjetures borné-parfait)◮ Partition de oût minimum (♥ systèmes TDAU et TDI)♣ Conjeture de Fraenkel pour les palindr�mes Brauner, Jost 03♣ Ordonnanement juste-à-temps Lebaque, Jost, Brauner 04♣ Cas polynomial de [PCliqW℄ Gijswijt, Jost, Queyranne 06G est d'intervalles et f est valeur-polymatroïdale♥ Jeux oopératif sur des strutures ombinatoires♥ Classi�ation de problèmes d'ordonnanement hromatique♥ Freakombinatoris :
♥ PLNE ave variables sur les arêtes pour oloration Cornaz, Jost♥ PLNE ave variables sur les sommets pour le TSP 35
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