Operação de inflação usando superfícies implícitas variacionais Apresentado por: Alvaro Cuno...

Operação de inflação usando superfícies

implícitas variacionais

Apresentado por: Alvaro Cuno

alvaro@lcg.ufrj.br

Laboratorio de Computação Gráfica-UFRJ

Junho -2003

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Resumo Neste seminário descreveremos os conceitos

relacionados ao processo de criação, à mão livre, de modelos usando superficies implícitas variacionais.

Apresentaremos uma interface que permite descrever uma silhueta e, a partir desta, a criação de um modelo 3D aproximado.

Também discutiremos de forma sucinta o problema da ambigüidade na criação de interfaces naturais para o computador.

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Sumario Contexto do seminário

O problema Trabalhos relacionados Objetivo da pesquisa

Marco Teórico Representação de objetos Superfícies implícitas variacionais Funções base radiais

Detalhes da implementação A operação de inflação

Interfaces naturais Conclusões Próximos passos

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O problema O ênfase dos atuais sistemas de modelagem 3D

(i.e. Maya, 3D Studio, etc.) está na criação e manipulação de modelos precisos.

Eles não permitem a criação rápida de objetos de forma livre. Porém, suas últimas versões ofereçam algumas liberdades.

O paradigma WIMP (Windows, Icons, Menus, Pointer ) usado no seu desenvolvimento requer um treinamento especial para poder realizar as suas complicadas operações de edição.

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Trabalhos relacionados Teddy: A Sketching Interface for 3D Freeform

Design [1] (SIGGRAPH 1999) Limitações:

O sistema não suporta a criação de multiplos modelos simultaneamente, não há operações para combinar objetos.

Os modelos criados têm topología esferíca (o usuario não pode criar um torus).

Free-form sketching with Variational Implicit Surfaces [2] (EUROGRAPHICS 2002) Limitações:

A sua representação não suporta sharp features na superficie. O merging é demasiadamente lento para um sistema interativo O sistema prototipo não foi disponibilizado.

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Pesquisa Desenvolver uma interface “natural” para a criação

rápida e interativa de objetos de forma livre. Onde a representação da superfície dos objetos estará definida implicitamente por funções base radiais.

Contribuições: Criação de objetos de forma livre inclusive com sharps edges,

corners e holes. Operações para fácil edição dos objetos (Inflation,

Merging, Oversketching, Cutting) A interface “natural”, “intuitiva” e “interativa” disponível

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Marco teórico: Representação de objetos A forma de um objeto sólido pode ser descrita

pela superfície S que delimita sua fronteira. Dentro da modelagem geométrica, uma

formulação discreta e duas formulações matemáticas se destacam na sua representação.

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Modelos Discretos: é uma representação poligonal definida por uma coleção de vértices, arestas e polígonos (triângulos).

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Vantagens Representação de superfícies de topologia arbitraria Hardware especializado para o rendering (triângulos)

Desvantagens Devido ao tamanho do modelo há dificuldade na sua

manipulação interativa. Somente pode “aproximar” superfícies suaves Resolução fixa

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Modelos Paramétricos: A superfície é descrita por uma coleção de mapeamentos, que correlacionam coordenadas do espaço de parâmetros em coordenadas de pontos sobre a superfície. Ou seja, um ponto p S pode ser descrito por:

A superfície está representada por partes (patchs) descritos por uma equação paramétrica.(hermite, bezier patches, splines, NURBS)

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Vantagens Amostragem em resolução arbitraria Modelagem de superfícies suaves

Desvantagens Precisa-se de muitos partes (patches) para modelar uma

superfície fechada. Isto origina costuras. Dificuldade para modelar detalhe fino

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Modelos Implícitos: A superfície é caracterizada analiticamente por uma função tal que:

F(x,y,z) = c Ou seja, F atua como uma função de classificação de

pontos do domínio de F, de modo que é possível decidir se um ponto pertence ou não à superfície do objeto pela avaliação desta função.

Também, um modelo implícito, pode ser descrito por amostragem discreta (gridded volumes and octree representations), sofrem das mesmas desvantagens das representações discretas

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Vantagens Topologia a arbitraria Testes do tipo inside/outside, collision detection Morphing, Blending, boolean operations Modelagem com CSG (Computer Solid Geometry) Fácil transformação para representação discreta por extração

de iso-superficies. Representam bem a suavidade e podem ser avaliadas em

resolução arbitraria Desvantagens

Visualização custosa, uma vez que a avaliação de F não fornece diretamente um ponto na superfície do objeto.

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Curva Implícita Curva Paramétrica

f(t): onde está a abelha no tempo t? D=f(x,y,z): Quão longe do objeto está?

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Superfícies implícitas algébricas: se a função que a define é polinomial.

A superfície implícita dessa função é o conjunto dos pontos onde a função tem valor zero

Classes de modelos implícitos

f(x,y,z)=0 [e.g. x2+y2+z2-r2=0]

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Superfícies implícitas baseadas em esqueletos: A superfície implícita será gerada a partir dos pontos localizados a uma distância D do esqueleto (Blobby,

Meta Balls, Soft Objects, etc.).

Superfícies implícitas baseadas em amostras

Classes de modelos implícitos

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O problema:

Superfícies implícitas variacionais

Dados os pontos (restrições) {c1,c2,...,cn}

e os escalares {h1,h2,...,hn} para cada um deles.

...procurar a função mais suave f(x) que interpole os pontos ci

avaliando f(ci)= hi ,para i=1,...,n

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Se definimos a palavra suave de um jeito particular, existe uma única solução para o problema.

A solução é uma função f(x) que satisfaça todas as restrições f(ci)= hi e que minimize o seguinte funcional E :

Caso 2D:

E mede a curvatura agregada de f(x) numa região de interesse

Uma função suave que não tenha regiões de alta curvatura terá um valor pequeno de E

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Há muitos métodos numéricos que são usados para resolver este problema: Elementos finitos Diferenças finitas

Estes métodos discretizam a região de interesse num conjunto de células e definem funções base locais sobre estas células

Então, a função solução f(x) é expressa como uma combinação linear destas funções base

Mas, a discretização origina funções que descrevem superfícies visivelmente escalonadas, tem dificuldade para representar detalhe fino e o custo do método cresce cubicamente com a resolução.

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Uma solução alternativa é expressar a solução f(x) em termos de funções base radiais centradas nas restrições ci

Extraordinariamente, é possível escolher as funções radiais de forma que resolvam automaticamente as equações diferenciais de E

Para a interpolação em 3D a função base mais comumente usada é:

x=(x,y,z)

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Usando a função base radial apropriada está demonstrado que podemos escrever a função de interpolação f(x) desta forma:

x=(x,y,z)

f(x) é definida como o somatório de uma coleção de funções base radiais.

Resolvendo para dj e para os coeficientes de P(x) sujeitos as restrições ci obtemos uma função que interpola as restrições e minimiza o funcional E.

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Definição do problema: Dado um conjunto de pontos ci, i=1,...,n e um conjunto

de valores hi, i=1,...,n encontrar uma função interpolante f:R3-R tal que:

Encontrar

Considerando a ortogonalidade ou side conditions:

(1)

(2)

n

j

n

jjjjj

n

jjj

n

jj zdydxdd

1 111

0

ii hxf )( ni ..1

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As equações (2) e (3) podem ser escritas na forma matricial, e assim obter di e pi:

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Características da matriz A utilização da função base thin-plate origina uma

matriz densa Os valores não-nulos aumentam fora da diagonal. A complexidade computacional cresce linearmente

quando mais restrições são adicionadas Ordem de complexidade para armazenamento: O(n2) Ordem de complexidade para operações aritméticas:

O(n3)

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Determina a continuidade e a suavidade da superfície representada

A thin-plate energy (equivalente à energia de segunda ordem) não é suficiente para produzir superfícies localmente detalhadas

Uma opção é usar uma função base que envolva primeiro, segunda e terceira ordem de energia. Produzirá uma matriz diagonalmente dominante, os valores não-nulos diminuem fora da diagonal; a qual pode ser corretamente manipula por o método dos gradientes conjugados

Funções base radiais

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Função base multi-ordem

O incremento da complexidade em relação ao incremento de # de restrições é medianamente linear com a função base multi-ordem em comparação com a função base thin-plate.

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Características da superfície resultante Manifold Suave (smooth) Sem costuras (seamless) A função base multi-ordem produzirá modelos

localmente mais detalhados mas mantendo sua suavidade global

A função base thin-plate produzirá modelos demasiados suaves, resultando modelos de tipo arredondados (blobby)

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Função base thin-plate(aproximadora)

Função base gaussiana Função base multi ordem

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Detalhes da implementação Pre-processamento

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A operação de inflação Amostragem e suavisação das pontas

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Geração de restrições no plano Z=0 (surface constraints and exterior constraints)

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Geração de restrições no plano Z=n (surface constraints and exterior constraints)

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Renderização Poligonização: Marching Cubes

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Geração de restrições no plano Z=n usando Spine (surface constraints and exterior constraints)

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Interfaces naturais Interfaces naturais

Nova forma de interação com o usuário Manipulação direta O usuário expressa idéias através de traços e o

computador faz uma determinada ação analisando as características perceptuais dos traços

Recognizer Reasoning Resolution

stroke User Interface

Arquitetura pipeline do sistema

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Desenho a mão livre Curvas e ambigüidade

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Conclusões A análise das funções base radiais e do funcional

de enegía utilizado permitem um maior controle sobre a superficie gerada.

O fato de inferir a intenção do usuário (em função do traço feito) e executar a operação de edição apropriada não é uma tarefa simples. É difícil estabelecer regras gerais que abranjam todos os casos.

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Próximos passos ... Múltiplos objetos Operações:

Merging Extrude Cutting

Funções base anisotrópicas Interface natural, interativa e intuitiva

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Referencias [1] IGARASHI T., MATSUOKA S., AND TANAKA H. Teddy:

A Sketching Interface for 3D Freeform Design. In Proceedings of SIGGRAPH 99.

[2] KARPENKO O., HUGHES J., AND RASKAR R. Free-form sketching with variational Implicit Surfaces. In Proceedings of EUROGRAPHICS 2002.

[3] TURK G., AND O´BRIEN J. Modelling with Implicit Surfaces that Interpolate. ACM Transaction on Graphics, 2002.

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