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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes mécaniques
Mécanique
Saint Louis PC*1
année scolaire 2018-2019
Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
ProblématiquePlan
Quel est le spectre d'un instrument à cordes ?
Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
ProblématiquePlan
1) démontrer l'équation d'onde
Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
ProblématiquePlan
2) chercher des solutions d'ondes stationnaires
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
ProblématiquePlan
3) chercher des solutions d'ondes progressives
Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Modélisation d'une corde tendue horizontalement
On s'intéresse à une corde inextensible principalement suivant un
axe Ox tendue avec la tension T0, de masse linéique µ`. On néglige
la pesanteur. On note ~T (x , t) la tension qu'exerce à l'instant t la
partie de �l d'abscisse supérieure à x sur la partie de �l d'abscisse
inférieure à x . Le petit élément de longueur dx entre les abscisses xet x + dx est à l'altitude y(x , t) à l'instant t. Cet élément fait avec
l'axe Ox un angle α(t) petit.Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Etablissement de l'équation de propagation pourune corde vibrante tendue horizontalement(exercice)
Montrer que l'altitude y(x , t) à l'instant t suit
l'équation
∂2y
∂t2= c20
∂2y
∂x2avec c0 =
√T0
µ`
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Etablissement de l'équation de propagation pour une corde vibrante tenduehorizontalement (exercice)Le théorème du centre de masse s'écrit :
µ` dxd2~r
dt2= ~T (x + dx, t)− ~T (x, t)
dont la projection suivant ~ux donne :
µ` dx∂2x
∂t2≈ 0 = Tx (x + dx, t)− Tx (x, t) =
∂Tx
∂xdx
Aussi, on pourra considérer Tx =∣∣∣~T ∣∣∣ cosα ≈
∣∣∣~T ∣∣∣ = T0, constante. Donc, la
projection suivant ~uy de la tension est Ty =∣∣∣~T ∣∣∣ sinα ≈ T0α, ce qui permet
d'exprimer la projection suivant cet axe du théorème du centre de masse :
µ` dx∂2y
∂t2= T0α (x + dx, t)− T0α (x, t) = T0
∂α
∂xdx
Comme l'angle est α(t) ≈ ∂y∂x
on en déduit l'équation ∂2y
∂t2= c2
0
∂2y
∂x2avec la
célérité de l'onde c0 =
√T0µ`
.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Approximation des milieux continus (dé�nition)
Dans l'approximation des milieux continus, la
dimension entre les atomes, ions ou molécules (notée
a) et la longueur d'onde λ des ondes acoustiques qui
s'y propagent sont telles que
a� λ
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Elasticité d'un solide
l'élasticité d'un solide. Une barre solide de section S de longueur au
repos ` voit cette longueur varier de ∆` sous l'action d'une force ~F .
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Loi de Hooke et module de YoungLa loi de Hooke stipule que la force pour faire varier
la longueur ` d'une barre solide de section S est
proportionnelle à l'allongement ∆` :
F = E S∆`
`
où E est le module de Young (ou module d'élasticité),
typiquement de l'ordre de E ≈ 1011 N ·m−2.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Modélisation d'une tige solide par un milieu continudéformable
On s'intéresse à une tige solide de section S , de masse volumique
µ, suivant la loi de Hooke avec le module de Young E . On néglige
la pesanteur.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Etablissement de l'équation de D'Alembert dansle cas de la tige déformable (exercice)
Montrer que dans l'approximation continue, l'équation
suivie par la déformation peut s'écrire :
∂2ξ
∂t2= c20
∂2ξ
∂x2avec c0 =
√E
µ
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Etablissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la tige déformable(exercice)La longueur du système à vide est
` = [(x + dx)]− [x] = dx
La longueur du système allongé est
`′ = [(x + dx) + ξ(x + dx, t)]− [x + ξ(x, t)] = ` +
∂ξ
∂xdx ⇒ ∆` =
∂ξ
∂xdx
Le théorème de la résultante cinétique donne
µ S dx∂2x
∂t2= µ S dx
∂2ξ
∂t2Fx (x + dx, t)− Fx (x, t) =
∂Fx
∂xdx
En�n la loi de Hooke donne
∂Fx
∂x=
∂
∂x
(E S
∆`
`
)= E S
∂
∂x
(∂ξ
∂x
)= E S
∂2ξ
∂x2
En remplaçant, on trouve µ S dx ∂2x∂t2
= E S ∂2ξ
∂x2dx. On a donc bien c0 =
√Eµ.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Modélisation d'un solide par une chaîne in�nie de ressorts
On s'intéresse à une chaîne horizontale (d'axe Ox) de ressorts sans
masse, tous identiques, de longueur à vide l0, de constante de
raideur k , séparés par des particules ponctuelles toutes identiques,de masse m. La masse numéro n est à l'abscisse xn(t). Onnégligera la pesanteur.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Établissement de l'équation de D'Alembert dansle cas de la chaîne in�nie de ressorts (exercice)
Montrer que dans l'approximation continue, l'équation
suivie par la déformation peut s'écrire :
∂2ξ
∂t2= c20
∂2ξ
∂x2avec c0 = a
√k
m
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Établissement de l'équation de D'Alembert dans le cas de la chaîne in�nie de ressorts(exercice)Le théorème de la résultante cinétique donne
md2xn
dt2= m
d2ξn
dt2= −k.
(Xn + ξn − Xn−1 − ξn−1 − l0
)+k. (Xn+1 + ξn+1 − Xn − ξn − l0)
En prenant en compte ce qui se passe à l'équilibre, on trouve :
d2ξn
dt2=
k
m
(ξn+1 + ξn−1 − 2.ξn
)Dans l'approximation des milieux continus, on va pouvoir écrire que la déformationξn varie lentement devant a : ξn(t) = ψ(x ≈ n.a, t). Aussi, on pourra déterminer ladéformation en x ≈ (n − 1) a et en x ≈ (n + 1) a
ξn+1(t) = ψ(x ≈ (n + 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t) + ∂ψ∂x
a + ∂2ψ
∂x2a2
2
ξn−1(t) = ψ(x ≈ (n − 1) a, t) ≈ ψ(x ≈ n a, t)− ∂ψ∂x
a + ∂2ψ
∂x2a2
2
L'équation de la déformation devient alors ∂2ψ
∂t2= c2
0
∂2ψ
∂x2avec c0 = a
√km.
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Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Valeurs de la vitesse du son dans di�érents solides
solide plomb plexiglass cuivre aluminium fer granit
c0 en km/s 1,2 1,8 3,8 5,1 5,1 6,0
Table � Vitesse du son dans di�érents solides
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Equation de d'Alembert (dé�nition)à une dimension, ψ (x , t) suit l'équation de
d'Alembert1
c20
∂2ψ
∂t2=∂2ψ
∂x2
La célérité de l'onde c0 s'exprime en m · s−1A trois dimensions, on peut généraliser :
1
c20
∂2ψ
∂t2= ∆ψ =
∂2ψ
∂x2+∂2ψ
∂y2+∂2ψ
∂z2
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Onde le long d'une cordePropagation du son dans un solideGénéralisation : équation de d'Alembert
Propriétés de l'équation de D'Alembertl'équation de d'Alembert est une équation de propagation d'onde. Il
s'agit d'une équation aux dérivées partielles en x , y , z et t.La linéarité de cette équation induit le théorème de superposition.
Si ψ1 et ψ2 sont solutions de l'équation de D'Alembert, alors
a1.ψ1 + a2.ψ2 est aussi solution (avec n'importe quelles constantes
a1 et a2).L'équation de D'Alembert est réversible. En e�et t → −t laisse
invariante l'équation. En optique, on parle de la loi du retour
inverse de la lumière.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Onde stationnaire plane (dé�nition)
Dans le cas d'une onde stationnaire plane,
ψ(x , t) = F (x)G (t)
(les dépendances d'une onde stationnaire vis-à-vis des
variables d'espace et de temps sont découplées.)
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Forme mathématique des ondes stationnaires planes monochromatiques (OSPM)
ψ(x, t) = F (x).G(t) véri�e l'équation de D'Alembert ∂2ψ
∂x2= 1
c20
∂2ψ
∂t2, qui devient
F ”(x) G(t) =1
c20
F (x).G”(t)⇔ c20
F ”(x)
F (x)=
G”(t)
G(t)= cste
en e�et, le premier terme ne dépend que de x, le second que de t : il ne peut s'agir
que d'une constante. Si cette constante est positive, les fonctions sont
exponentielles, et divergent à l'in�ni : ce n'est pas physiquement acceptable. Aussi,
cette constante est négative, et on la notera −ω2. On trouve la solution de
G”(t)G(t)
= −ω2 : G(t) = G0. cos (ω.t + ϕG ). De même, la solution deF ”(x)F (x)
= −ω2
c20
est : F (x) = F0. cos(ωc0.x + ϕF
).
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Forme mathématique des ondes stationnairesplanes monochromatiques (OSPM)En utilisant la méthode de la séparation des variables,
on peut réécrire les solutions stationnaires de
l'équation de D'Alembert sous la forme
ψ (x , t) = ψ0. cos (k .x + ϕF ) . cos (ω.t + ϕG )
avec k = ωc0.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Comportement temporel d'une onde stationnaire
L'onde stationnaire oscille au cours du temps. Elle est comprise
entre ses deux enveloppes.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
N÷uds de vibration (dé�nition)
Les n÷uds de vibration sont les endroits où
ψ(x , t) = 0∀t.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Ventres de vibration (dé�nition)
Les ventres de vibration sont les endroits où
l'amplitude est maximale.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Espace entre deux n÷uds de vibration successifs ou deux ventrescos (k.xn + ϕF ) = cos (k.xn+1 + ϕF ) = 0 si
{k.xn + ϕF = π
2+ n.π
k.xn+1 + ϕF = π2
+ (n + 1) .π
soit k. (xn+1 − xn) = π, ou bien encore xn+1 − xn = λ2.
de même pour les ventres : cos (k.xk + ϕF ) = cos(
k.xk+1 + ϕF)
= ±1 si
{k.xk + ϕF = k.π
k.xk+1 + ϕF = (k + 1) .π
soit k.(
xk+1 − xk)
= π, ou bien encore xk+1 − xk = λ2.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Espace entre deux n÷uds de vibration successifsou deux ventresDeux n÷uds de vibration successifs sont éloignés deλ2.
Deux ventres de vibration successifs sont éloignés deλ2.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
FuseauxLes fuseaux sont séparés par deux n÷uds de vibration. Ils
contiennent chacun un ventre de vibration.
La largeur d'un fuseau est la distance entre deux n÷uds de
vibration consécutifs, donc elle vaut λ2.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration
un fuseau avec un n÷ud et un ventre de vibration.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Modes propres d'une corde vibrante �xée à ses deux extrémitésLes conditions aux limites pour une corde de longueur L �xée à ses deux extrémitésimposent un n÷ud aux deux extrémités donc un nombre entier de fuseaux donc
L = nλ
2⇒ f =
n c0
2 L
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Modes propres d'une corde vibrante �xée à sesdeux extrémitésLes conditions aux limites pour une corde de longueur
L �xée à ses deux extrémités imposent des solutions
de types OPSM telles que
L = nλ
2⇒ f =
n c02 L
où n est un entier non nul. Ces solutions sont
appelées modes propres de la corde.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Résonances sur la corde de Melde
Une extrémité de la corde vibre, tandis que l'autre est �xe. Les
vibrations sont importantes uniquement si la fréquence d'excitation
est une fréquence propre de la corde.Mécanique Ondes mécaniques
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Synthèse de Fourier en OPSM pour une corde �xée à sesdeux extrémitésLa solution générale de l'équation d'onde est
y(x , t) =∞∑
n=1
sin (kn x) (An cos (ωn t) + Bn sin (ωn t))
où kn = n πL et ωn = n π c0
L . On admet que
An =2
L
∫ L
0
y(x , t = 0) sin (kn x) dx
Bn =2
ωn L
∫ L
0
dy
dt(x , t = 0) sin (kn x) dx
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Exemple : décomposition de Fourier en OPSM pour unecorde pincéeSi on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x0,après l'avoir éloignée de la distance y0 de l'axe Ox , on peut
montrer que Bn = 0 ∀n et
An =y0 L
x0 (L− x0)
√2
L
sin (kn x0)
k2n
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
L'évolution dans le temps d'une corde pincée
Si on lâche la corde sans vitesse initiale en la pinçant en x = x0,après l'avoir éloignée de la distance y0 de l'axe Ox , on peut
montrer que Bn = 0 ∀n et An = y0 Lx0(L−x0)
√2
Lsin(kn x0)
k2n.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Dé�nitions physiques relatives à la décomposition de Fourier
• le continu, la moyenne, l'o�set : fcontinu = C0 ;
• l'ondulation : fond (t) =∞∑
n=1
[Cn cos (nω t + φn)] ;
• le fondamental : f1 (t) = C1 cos (ω t + φ1) ;• l'harmonique de rang n : fn (t) = Cn cos (nω t + φn) ;
• la valeur e�cace : feff =√〈f 2 (t)〉 =
√C 20
+ 1
2
∞∑n=1
C 2n (formule
de Parseval).
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Spectre (dé�nition)
La représentation de |Cn| en fonction de n, ωn ou de
la fréquence fn = ωn2π est le spectre de f .
Exemple de spectre :
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes stationnaires monochromatiquesModes propresSpectre
Le phénomène de Gibbs
Il apparaît parfois une déformation du signal, connue sous le nom
de phénomène de Gibbs. Ce phénomène est un e�et de bord qui se
produit à proximité d'une discontinuité : pour représenter
convenablement une fonction discontinue, il faudrait une in�nité
d'harmoniques.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Forme d'une OPPM (dé�nition)
Une onde plane progressive monochromatique (ou
harmonique, ou encore OPPM)
• vers les x croissants :
hω = A cos [ω t − k x − ϕ0]
• vers les x décroissants :
mω = A cos [ω t + k x − ϕ0]
avec k = ωc .
On peut généraliser avec la forme :
ψ = A cos[ω t − ~k ·~r − ϕ0
]Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Véri�cation qu'une OPPM est solution del'équation de D'alembert (exercice)Sous quelle condition A. cos [ω.t − k .x − ϕ0],
A. cos [ω.t + k.x − ϕ0] et A. cos[ω.t − ~k .~r − ϕ0
]sont-elles solutions de l'équation de D'Alembert ?
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Véri�cation qu'une OPPM est solution de l'équation de D'alembert (exercice)
Il faut que ‖~k‖ = ωc.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Comportement temporel d'une OPPM
Une onde plane progressive monochromatique (ou harmonique) vers
les x croissants (resp. décroissant) est un sinus qui se déplace vers
la droite (resp. vers la gauche).
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Grandeurs temporelles d'une OPPM : pulsation,fréquence, période (dé�nition)
• ω : pulsation (en rad · s−1) ;• ν = ω
2π : fréquence (en Hz) ;
• T = 1
ν = 2πω : période (en s).
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Grandeurs spatiales d'une OPPM : vecteurd'onde, longueur d'onde, nombre d'onde(dé�nition)
• ~k : vecteur d'onde (en rad ·m−1) ;• σ =
|~k|2π : nombre d'onde (en m−1) ;
• λ = 1
σ = 2π
|~k| : longueur d'onde (en m).
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Relation entre OPPM complexe et réelle(dé�nition)
une onde plane progressive monochromatique a pour
amplitude :
ψ(~r , t) = Re(ψ(~r , t)
)où ψ est l'OPPM complexe associée.
L'amplitude complexe (en ~r , à l'instant t), associée à
une onde plane monochromatique de pulsation ω et
de vecteur d'onde ~k est :
ψ = ψ0 ej(~k ·~r−ω t+ϕ0)
où ψ0 et ϕ sont des constantes.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Attention !on aurait pu choisir le complexe conjugué ψ0 e
−j(~k ·~r−ω t+ϕ0) qui a
la même partie réelle. Mais, une fois choisie la convention, il faut
s'y tenir.
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Attention !Si l'OPPM se propage suivant ~uz , ~k = k.~uz , et on peut réécrire :
ψ = ψ0.ej(k.z−ω.t+ϕ)
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Intérêt des OPPM complexesOn pourra remplacer l'OPPM réelle ψ par sa forme complexe
associée ψ dans toute équation suivie par ψ, pour peu que cette
équation soit linéaire. L'intérêt est de rendre, avec les complexes,
les calculs... plus simples qu'avec des fonctions trigonométriques !
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Véri�cation qu'une OPPM complexe est solutionde l'équation de D'alembert (exercice)
Sous quelle condition ψ0.ej(~k.~r−ω.t+ϕ0) est-elle
solution de l'équation de D'Alembert ?
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IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Véri�cation qu'une OPPM complexe est solution de l'équation de D'alembert(exercice)
Il faut que∣∣∣~k∣∣∣ = ω
c.
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Ondes planes stationnairesOndes planes progressives
Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Attention !ψ = ψ0.e
j .k.x .e−j .ω.t semble être de la forme F (x) ·G (t),cependant seule compte l'onde réelle
ψ = Re(ψ) = ψ0 cos (ω.t − k .x). On voit ainsi qu'il ne s'agit pas
d'une onde stationnaire.
Mécanique Ondes mécaniques
IntroductionEtablissement de l'équation de D'Alembert
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Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Onde stationnaire comme somme d'ondesprogressives (exercice)
Montrer que l'onde stationnaire apparaît comme la
superposition
• d'une onde plane progressive monochromatique
ψ+ =ψ0
2cos (ω.t − k.x + ϕG − ϕF )
qui se propage vers les x croissants ;
• et d'une onde plane progressive monochromatique
ψ− =ψ0
2cos (ω.t + k.x + ϕG + ϕF )
de même amplitude qui se propage vers les xdécroissants.
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Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Onde stationnaire comme somme d'ondes progressives (exercice)
ψ = ψ0. cos (k.x + ϕF ) . cos (ω.t + ϕG )
peut se réécrire
ψ =ψ0
2[cos (ω.t − k.x + ϕG − ϕF ) + cos (ω.t + k.x + ϕG + ϕF )]
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Exercice
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Ondes stationnaires et ré�exioncette onde stationnaire peut donc naître en particulier de la
ré�exion totale d'une OPPM incidente, du fait de la superposition
de l'OPPM se propageant vers les x croissants (onde incidente) et
de l'OPPM se propageant vers les x décroissants (onde ré�échie).
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Exercice
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Nécessité d'une superposition d'OPPMune OPPM n'est pas physique car elle a une extension in�nie dans
l'espace et dans le temps. Elle ne �nit jamais, et a débuté il y a un
temps in�ni !
L'OPPM est un outil mathématique intéressant car on peut
décomposer une onde sous la forme de superposition d'OPPM.
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Exercice
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Forme d'une onde plane progressive en généralOn cherche des solutions à l'équation de D'Alembert :
(∂
∂t− c0
∂
∂x
)(∂
∂t+ c0
∂
∂x
)ψ(x, t) = 0
Si on pose u = t − xc0
,∂h(u)∂t
= ∂h∂u
∂u∂t
= dhdu
et∂h(u)∂x
= ∂h∂u
∂x∂t
= − 1
c0dhdu
.
De même, si v = t + xc0
,∂m(v)∂t
= ∂m∂v
∂v∂t
= dmdv
et∂m(v)∂x
= ∂m∂v
∂x∂t
= 1
c0dmdv
.
h(
t − xc0
)et m
(t + x
c0
)sont donc solutions de l'équation de D'Alembert.
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Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Forme d'une onde plane progressive en généralUne onde plane progressive vers les x croissants peut
s'écrire :
ψ(x , t) = h
(t − x
c0
)Une onde plane progressive vers les x décroissants
peut s'écrire :
ψ(x , t) = m
(t +
x
c0
)
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Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Forme mathématique d'un paquet d'onde(dé�nition)
La décomposition continue d'une onde plane
complexe se propageant suivant Ox par une
superposition d'OPPM peut s'écrire
ψ =
∫ ∞0
A (ω) e j (ω t−k x) dω
où A (ω) est le spectre de cette onde.
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Exercice
Ondes planes progressives monochromatiquesLien entre ondes progressives et ondes stationnairesOndes progressives en général et paquet d'ondes
Extension d'un paquet d'ondesBien souvent A (ω) 6= 0 dans un domaine très limité, de largeur
∆ω : on parle de paquet d'ondes.
Dans le domaine des fréquences, le paquet d'ondes a une extension
∆ν = ∆ω2π .
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Exercice
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Paquet d'ondes
un paquet d'ondes. Il a été généré en superposant une vingtaine
d'OPPM.
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Exercice
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Spectre et transformée de FourierOn peut montrer que le paquet d'onde a, en un endroit, une durée
∆t telle que
∆t ∆ω ≈ 1
De la même façon, un instantané montrerait que l'extension spatiale
de l'onde est ∆x , reliée à la largeur en vecteur d'onde ∆k par :
∆x ∆k ≈ 1
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Exercice
Modélisation d'un instrument à corde
Les cordes des instruments de musique sont des objets cylindriques
homogènes, tendus entre deux points séparés par une longueur L.Le rayon du cylindre est a avec a� L.1) La corde de masse linéique µ est tendue avec la tension T0. Au
repos la corde est rectiligne et parallèle à l'axe horizontal (Ox).On étudie les mouvements de la corde autour de sa position
d'équilibre. On note y (x , t) le déplacement (ou ébranlement) du
point de la corde à l'abscisse x à l'instant t. L'axe Oy est l'axe
vertical ascendant.
1.a) Déterminer l'équation aux dérivées partielles que véri�e
l'ébranlement y(x , t).1.b) Calculer la célérité c pour une corde de piano de masse
volumique ρ = 7800 kg ·m−3, de tension T0 = 850 N, de diamètre
φ = 1, 2 mm.
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Exercice
Modélisation d'un instrument à corde
2) La corde est �xée à ses deux extrémités, x = 0 et x = L. Oncherche une solutions de l'équation di�érentielle précédente sous la
forme d'une onde harmonique caractérisée par la pulsation ω et la
norme du vecteur d'onde k .2.a) Quelle doit être la forme de cette onde harmonique ?
2.b) Montrer que seulement certaines fréquences sont possibles,
qu'on appellera fréquences propres de la corde.
2.c) Pour un mode propre donné, dé�nir les ventres et les n÷uds
de vibration. Quelle est la distance entre deux ventres consécutifs ?
entre deux n÷uds consécutifs ? entre un ventre et un n÷ud
consécutifs ?
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Exercice
Modélisation d'un instrument à corde
3) Solution générale
On écrit la solution correspondant aux conditions aux limites
y(0, t) = y(L, t) = 0 comme une superposition des modes propres :
y(x , t) =∞∑
n=1
[an cos
(n π c tL
)+ bn sin
(n π c tL
)]sin(n π x
L
)On donne les spectres calculés pour une corde pincée à la moitié de
sa longueur puis au cinquième de celle-ci, où cn =√
a2n + b2n :
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Exercice
Modélisation d'un instrument à corde
3.a) Comment peut-on expliquer l'absence de certains
harmoniques dans ces spectres ?
On peut montrer que les coe�cients an associés à la corde pincée
décroissent globalement comme 1/n2. En revanche les amplitudes
des di�érents harmoniques de la corde frappée décroissent plutôt en
1/n (au moins à partir d'une certaine valeur de n).3.b) Comparer alors les sons d'un clavecin (instrument à corde
pincées) et d'un piano (instrument à corde frappées). Quel
caractère du son est alors ressenti à l'oreille ?
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Exercice
Modélisation d'un instrument à corde
1) Mouvements de la corde autour de sa position d'équilibre1.a) Puisque le poids est négligé, l'élément de corde, de longueur d` ≈ dx, demasse dm = µd`, est soumis à :
• la tension de la portion de �l située à droite : ~T (x + dx, t) ;
• la tension de la portion de �l située à gauche : −~T (x, t).
Le mouvement de la corde ayant lieu selon Oy , le théorème de la résultantecinétique appliqué à cet élément de corde s'écrit :
dm∂2y
∂t2~ey = ~T (x + dx, t)− ~T (x, t)
La projection sur Ox donne
0 = T (x+dx, t) cosα(x+dx, t)−T (x, t) cosα(x, t) ≈ T (x+dx, t)−T (x, t)⇒ T (x, t) = T0
car les angles sont petits. La projection sur Oy donne
µdx∂2y
∂t2= T0 sinα(x+dx, t)−T0 sinα(x, t) ≈ T0 [α(x + dx, t)− α(x, t)] = T0
∂α
∂xdx = T0
∂2y
∂x2dx
On trouve donc
(1)∂2y
∂t2= c2
∂2y
∂x2
où c =
√T0µ
.
1.b) Pour la corde de piano : c =√√√√ 850
7800×π(1,2×10−3
)2
4
⇒
c = 3, 1× 102 m · s−1 .
2) Modes propres, fréquences propres2.a) A cause des conditions aux limites, il faut prendre des ondes stationnaires :
y(x, t) = y0 cos (ω t + ϕ) cos (k x + ψ)
alors∂2y
∂t2= −ω2 y(x, t)
et∂2y
∂x2= −k2 y(x, t)
(1)⇒ ω2 = c2 k2, soit ω = c k .
2.b) Les conditions aux limites imposent :
∀t, y(0, t) = 0⇒ y(x, t) = y0 cos (ω t + ϕ) sin (k x)
et
∀t, y(L, t) = 0⇒ sin (k L) = 0⇔ k L = nπ ⇔ k =n π
L
où n est entier. Or, comme on a vu que ω = c k, alors fn = n c2 L
où n est entier
sont les fréquences propres.
L'élongation correspondante, y(x, t) = y0 cos(
n π c tL
+ ϕ)
sin(
n π xL
)est le
mode propre associé.2.c)Un n÷ud de vibration est un point qui reste immobile :
∀t, y(x, t) = 0⇔ sin
(n π x
L
)= 0⇔
n π x
L= p π ⇔ x =
p
nL =
pλ
2
où p est entier.Un ventre de vibration est un point où l'amplitude de vibration est maximale :
∀t sin
(n π x
L
)= ±1⇔
n π x
L= q π+
π
2= (2 q + 1)
π
2⇔ x = (2 q + 1)
L
2 n= (2 q + 1)
λ
4
où q est entier.
Deux n÷uds (ou deux ventres) consécutifs sont donc distants de λ2
.
Un n÷ud et un ventre consécutifs sont distants de λ4
.
3) Solution générale3.a) Les harmoniques éteints sont ceux qui s'annulent là où α(x) est maximal :- harmoniques pairs pour le premier spectre (L/2),- harmoniques multiples de 5 pour le second spectre (L/5). NB : pour la cordepincée en son milieu, il n'y a que des harmoniques impairs parce qu'une translationd'une demi-période (c'est-à-dire de L) transforme la fonction en son opposé.3.b) Le son d'un clavecin est moins riche en harmoniques que le son d'un pianopuisque les amplitudes des harmoniques élevés sont plus faibles que pour le piano,ce qui se traduit par une di�érence de timbre.
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