応用のための 確率論・確率過程€¦ ·...

SGCライブラリ- 36

応用のための確率論・確率過程

Introduction to Probability Theoryand Stochastic Processes

松本 裕行 著

サイエンス社

まえがき

本書は，現在確率論を研究している人々，確率論を応用して種々の研究に携わっている人々にとっ

て必須事項となっている事柄について解説したものである．つまり，Lebesgue 積分論から始めて，

確率論の初歩である極限定理，ランダムウォークについて述べ，マルチンゲールなどの確率解析の

基礎理論から確率積分，確率微分方程式など現代確率論の基礎とその応用について述べた．最後の章では，最近の邦書には詳しくは書かれていない，1次元拡散過程について解説した．従って，駆け

足になってしまった感はあると思うし，重要な定理でも証明を省略した場合もいくつかあるが，確

率論・確率過程論の全体を概観できるのではないかと思っている．証明を省略した場合も基本的な

アイディアは述べてあるし，参考文献を必要に応じて参照しやすいように議論の筋道は標準的であ

るように心がけた．一方で，理解の助けとなるように，直感的あるいは発見的な議論も与えたとこ

ろもある．読者としては微積分を修得している人を想定している．必須の道具である測度論，Lebesgue積

分論（同じ意味に使う）に関しては学習していることが望ましいのは言うまでもないが，必要事項

は第 1章に述べたので参考にして欲しい．抽象的な Lebesgue測度論を用いた議論については，多

くの場合直感的な理解のできる確率論の話題の中でそれが使われている実例を見て，その必要性を

感じまた理解の助けにしてもらえるとよいと思う．また，確率論の基礎事項や応用に関して言えば，

具体例を自分でも計算してイメージをつかむことが大切だと思う．本書には具体的に計算できる例を多く載せてあるので活用していただければ幸いである．

確率論は，その応用とともに発展してきた分野であり，最近では数理ファイナンスへの応用がめ

ざましい．少し触れながら執筆中の著者の思いを書かせていただく．

1973 年に F.Black と M.Scholes による有名な論文 [3]が出版され，そして，1997 年に Scholes

が，初めて確率解析をファイナンス理論に応用して Black–Scholesの公式を証明した R.Merton とともにノーベル経済学賞を受賞した（Black氏は死去された）ことはよく知られている．現在では

世界中で様々な立場から数理ファイナンスが盛んに研究されている．そこでは確率論もしくは確率

過程論に基づいた議論が基礎となり，微積分がニュートン力学において果たす役割を確率解析が数

理ファイナンスにおいて果たしているとまで言われることがある．

ここ数年の間に，数理ファイナンスに関する様々なレベルの書物が数多く出版され，確率論に関

係した研究集会やセミナーでは，数理ファイナンスの問題に関する研究はもちろんのこと，数理ファイナンスにおける問題から派生した確率論の問題に関する講演をしばしば目にするようになった．

伝聞の話で恐縮だが，わが国における確率論研究の基礎を築かれた伊藤清先生が，確率論は他の分

野の数学を使って研究する分野であること，逆に他の分野への応用ができることがおもしろいと話

されたことがあると，聞いたことがある．数理ファイナンスは，その良い成功例であると思う．

数理ファイナンスについて語られるとき，伊藤の公式や確率微分方程式が確率解析の代名詞のよう

に言及されることが多いように思われるが，ここではマルチンゲールの理論の重要性を強調したい．マルチンゲールという概念は，確率過程の Markov 性とならんで，現代確率論の根幹にある基本

的原理と言ってもよい．例えば，伊藤の公式に現れる確率積分はマルチンゲールの枠組みで考える

ことになるし，今や数理ファイナンスの理論のマルチンゲールの理論を使わない定式化は考えられない．また，Stroock–Varadhan は拡散過程の構成という基本的な問題をマルチンゲール問題の枠

組みでとらえた．

離散時間の場合は独立確率変数の和が，連続時間の場合はブラウン運動がマルチンゲールの典型

的な例であり，これら基本的な確率過程の性質のいくつかはそのマルチンゲール性の帰結である．

本書では基本的な例から始めてその応用まで触れるように述べたので，マルチンゲールの重要性を

理解してもらえると幸いである．上に述べた Lebesgue 積分同様，マルチンゲールを使った議論に繰り返し触れることが重要であると思う．

また，数理ファイナンス以外に目を向けて，確率論の研究のみならず，その解析学，数論，統計

物理などへの幅広い応用で知られる M.Kac の著作を見ると，伊藤先生のことばと同じような考え

を強く感じる．Kac は解析学の結果を使って確率論の問題を解くだけでなく，逆に確率論を使って

様々な分野の問題の研究を行い，多くの成果を挙げた．代表的な仕事である Feynman–Kac の公式

や太鼓の問題と呼ばれる問題に関しては本文中で触れているので，その雰囲気を感じていただきたい．Kac に関しては彼の考えを見ることができる素晴らしい（そして薄いし読みやすい）著書 [28]

があるので，一度読まれることを強く薦めたい．

各章について，その概略を述べておく．

第 1章では，Lebesgue 積分論を概観しながら，確率論の導入をした．学習経験のある人には復

習用に，初めての人には理論のおおよそをつかむために使ってもらえればと思っている．第 2章では独立確率変数の和に対する極限定理について，最も基本的な大数の法則，中心極限定理，そして

1970 年代から研究が始まり大きな飛躍を遂げている大偏差原理の原型ともいえる Cramer の定理

を述べた．

第 3章，第 4章では，離散な時間パラメータをもつ確率過程として，ランダムウォークと離散時

間マルチンゲールについて解説した．これらは第 5章以下に述べる確率解析の理論の基礎となるも

のであり，確率過程の直感的な理解を助けるものである．さらに，確率積分や伊藤の公式などの離散時間版を見ることもできる．

第 5章から第 8章において，伊藤先生による確率積分，確率微分方程式の理論を中心とした確率

解析に関して述べた．その応用として，第 9章では，Euclid 空間上のラプラシアンに限定して，偏

微分方程式との関係と応用例について述べた．

第 10章では，1 次元拡散過程について述べた．伊藤–McKean [23] という（若干難解だが）世

界的な名著があり，理論がほぼ完成していることもあって，わかり易く述べられた著作は多くない．しかし，1次元の場合は偏微分方程式ではなく常微分方程式を解くことで多くのことがわかり，確

率論の学習，研究の中でしばしば必要となる．Bessel 過程の推移確率の具体形と，数理ファイナン

スにおいてアジアンオプションまたはアベレージオプションと呼ばれるオプションの価格付けの公

式に現れる Yor の公式の導出を応用例としながら解説をした．具体的な応用のいくつかにおいて

Bessel 関数に関する公式が必要となるので，付録において述べた．

最後に，本文を書く際に参考にした文献を挙げ，本書では触れることのできなかった話題について参考文献とともに述べた．

ii まえがき

Lebesgue 積分論，確率論を深く学んでいない読者のために，第 1章では本文中に問を，前半部

分においては各章の章末に演習問題を設けている．是非，一度手を動かして解いてみて欲しいと思う．ただ，ページ数の関係で解答を本書の中に付けることができなかった．サイエンス社のサポー

トページ http://www.saiensu.co.jp/support.htm にファイルをおいて頂くので，参照して欲しい．

本文中の誤り，誤植についても，そこにおいて頂く予定である．また，議論が完全には理解できな

い箇所には後から戻ることにして，行きつ戻りつしながら読み進めてもらいたいと思っている．

謝辞：大阪大学名誉教授の池田信行先生からは，筆者の大学院入学以来，研究に関する指導のみ

ならず，数学に対する姿勢のあり方や考え方まで，ときにはコーヒーやアルコールを飲みながら指導していただきました．この場を借りて深く感謝の意を表したいと思います．

谷口説男氏は初期の原稿を通読し，数学上の誤りの指摘とともに，多くの注意，助言を与えてく

ださいました．日常の電子メールや様々な場所での会話において氏から教わったことや刺激を受け

たことは限りなく，ここに感謝の意を表します．

小倉幸雄氏，富崎松代氏からは 1次元拡散過程に関する未発表の原稿を送って頂き，第 10章を

書く際に参考にさせて頂きました．小倉氏からは原稿への注意もいくつかして頂きました．高橋陽一郎氏からは，初期の原稿に対して重要な注意を頂きました．佐藤健一氏，白井朋之氏，貝瀬秀裕

氏，安藤友彦氏，孕石匡弘氏からは，数学上の誤りの指摘や注意をして頂きました．その他多くの

方々から，様々な指摘をしていただきました．ここに感謝したいと思います．最後になりましたが，

執筆の機会を頂きまた出版に際してお世話になったサイエンス社編集部の方々に深くお礼を申し上

げます．2004年 10月

松本裕行

iii

目 次

第 1章 確率変数，確率分布 1

1.1 確率分布の例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 離散分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 連続分布 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Lebesgue 積分論から確率論へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.1 測度空間，確率空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Lebesgue 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Lebesgueの収束定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.4 確率変数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 独立性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.4 確率変数の平均，分散 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Radon–Nikodym の定理と条件付確率，条件付期待値 . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.6 確率変数の収束 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7 特性関数，積率母関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

第 2章 独立確率変数の和 34

2.1 大数の法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2 中心極限定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 大偏差原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

第 3章 ランダムウォーク 48

3.1 単純ランダムウォーク . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.2 単純ランダムウォークの再帰性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 逆正弦法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4 区間からの脱出問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

第 4章 離散時間マルチンゲール 64

4.1 離散時間マルチンゲール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.2 停止時刻と任意抽出定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.3 ランダムウォークと差分ラプラシアン . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

第 5章 連続時間確率過程 78

5.1 連続確率過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 連続時間マルチンゲール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

第 6章 Brown 運動 92

6.1 Brown，Bachelier，Einstein から Wiener へ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.2 Brown 運動（Wiener 過程） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.3 Brown 運動の性質 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6.4 Markov 性と Blumenthal の 0-1 法則 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6.5 強 Markov 性と到達時刻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

第 7章 確率積分と伊藤の公式 111

7.1 確率積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2 伊藤の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

7.3 連続マルチンゲールの表現定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4 指数型マルチンゲールと 丸山–Girsanov の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.5 Stratonovich 確率積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.6 伊藤の公式再訪 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

第 8章 拡散過程と確率微分方程式 136

8.1 拡散過程 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

8.2 確率微分方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8.3 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8.4 解の一意性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

8.5 拡散過程の構成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

第 9章 Brown 運動と偏微分方程式 157

9.1 Laplace 方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

9.2 Feynman–Kac の公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

第 10章 1次元拡散過程 171

10.1 尺度関数と標準測度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.2 境界条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.3 Green 関数と推移確率密度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

10.4 Bessel 過程の推移確率 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

10.5 到達時刻と最終脱出時刻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.6 幾何 Brown 運動の積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

付録 Bessel関数 200

おわりに 204

参考文献 206

索 引 210

v

第 1 章

確率変数，確率分布

本章では，Lebesgue 積分，測度論に関する事項を述べ，確率論の初歩的な

事項を復習する．Lebesgue 積分の必要性を確率論の具体例から理解して欲しい．簡単な例から始める．

1.1 確率分布の例

1.1.1 離散分布

まずは，素朴にサイコロを例にとって考える．独立という概念は 1.3 節で述

べるが，ここで使う程度のことは既知と思われるので用いることにする．

例 1.1 1から 6のいずれの目が出る確率も 1/6 であるサイコロを n 回独立

に投げるとき，6の目が出る回数を X とすると，X は 0, 1, ..., n のいずれか

であり X = r の確率 P (X = r) は，

P (X = r) = nCr

(16

)r (1 − 1

6

)n−r

, r = 0, 1, ..., n. (1.1)

例 1.2 例 1.1 のサイコロを何回も独立に投げるとき，はじめて 6の目が出るまでに投げた回数を Y，つまり Y + 1 回目に 6が出るとすると，Y は 0 以上

の整数のいずれかであり，Y = r の確率 P (Y = r) は

P (Y = r) =(

1 − 16

)r 16, r = 0, 1, ...

X も Y も実際にサイコロを投げてみないと値は分からず，サイコロに関す

る仮定から X = r，Y = r の確率（probability）が求まるだけである．この

ような変数を確率変数と呼ぶ．それぞれを一般化して，代表的な離散分布であ

る二項分布，幾何分布を定義しよう．これらの一般化は，「サイコロを投げて 6

の目が出るかどうかを考える」を「ある試行を行って確率 p の事象が起きるか

第 2 章

独立確率変数の和

公平なサイコロを繰り返し投げるとき投げる回数を多くすると各々の目の出

る割合が 1/6 に近づくように，独立に同じ試行を繰り返すときにある一つの事象の起きる割合がその事象の確率に近づくことは容易に想像できる．これは大

数の法則と呼ばれる定理によって数学的に実現される．また，事象の確率を実

際の試行の結果から近似すると考えたとき，誤差が正規分布に従うと考えてよ

いことが，中心極限定理によって正当化される．これらの極限定理は統計学な

どへの応用上重要である．本章では，大数の法則，中心極限定理について述べる．また，これも古典，常識になりつつある大偏差原理についても触れる．

本章，次章においては確率空間を明示しない．感覚的な理解が重要だからで

ある．確率変数に関わる事象の確率，平均，分散を P, E, V, によって表す．

2.1 大数の法則

{Xn}∞n=1 を独立（independent）で同じ確率分布に従う（identically dis-

tributed）確率変数列とする．このような確率変数列を i.i.d. と略記する．技

術的な困難を避け，定理のアイディアを述べるため，Xn の分散 V [Xn] = σ2

が存在することを仮定する．また，Xn の平均を m とし，Sn, Xn を次で定義

する：

Sn = X1 + X2 + · · · + Xn, Xn =Sn

n.

定理 2.1（大数の（弱）法則） Xn は n → ∞ のとき m に確率収束する．つ

まり，任意の ε > 0 に対して次が成り立つ：

limn→∞P (|Xn − m| < ε) = 1.

系 2.2 Xn が P (Xn = 1) = p, P (Xn = 0) = 1 − p, である Bernoulli 列と

第 3 章

ランダムウォーク

ユークリッド空間上の単純ランダムウォーク（酔歩，乱歩）は，最も基本的

な確率過程であり，前章で考察した i.i.d. の和の特別な場合である．ランダムウォークの列の極限としてブラウン運動が得られるため，シミュレーションに

おいてよく使われる．本章では，基本的な性質である再帰性について述べ，1 次

元ランダムウォークに対する逆正弦定理，区間からの脱出問題について述べる．

3.1 単純ランダムウォーク

d を自然数とし，Zd を d 次元整数格子とする：

Zd = {(x1, x2, ..., xd); xi, i = 1, 2, ..., d, は整数 }.

e1, e2, ..., ed を Rd の標準基底とし（e は第 � 成分が 1 で他はすべて 0 であ

るベクトル），X1, X2,...を

P (Xi = e) = P (Xi = −e) =12d

, � = 1, 2, ..., d, i = 1, 2, ...,

である i.i.d. とするとき，

S0 = a ∈ Zd, Sn = a + X1 + · · · + Xn, n � 1,

によって定義される {Sn}∞n=0 を a を出発する d 次元単純（対称）ランダムウォークと呼ぶ．本章においても，確率空間については明示せず，事象 A の確

率は P (A)，ランダムウォークに関する確率変数 X の平均は E[X ] と表す．

Xi の確率分布が等確率でないものや各回でのジャンプの幅が 1 とは限らな

い一般のランダムウォークも考えられ，詳細な研究がある（[34]，[76] など参

照）．同じ議論が適用できる問題，興味深い問題も多くあるが，本書ではジャン

プの幅が 1 のランダムウォークのみを考える．図 3.1は，横軸に時間軸をとって，1 次元ランダムウォークを Mathematica

第 4 章

離散時間マルチンゲール

公平な賭けを考えることから導入され，Doob の研究によって発展したマル

チンゲールの理論は，現代確率論の基本原理を与え，解析学，数理ファイナンスへの応用においても必須の道具となる．平均 0 の独立確率変数列の和で定義

される離散時間確率過程は典型的な例であり，大数の強法則もマルチンゲール

の収束定理の枠組みでとらえることができる．本章においては，離散時間の場

合におけるマルチンゲールの理論の概要を述べる．確率解析における公式の原

型を見ることができるし，結果の多くは連続時間の場合に拡張される．

4.1 離散時間マルチンゲール

(Ω,� , P ) を確率空間とし，{�n, n = 0, 1, 2, ...}（簡単に {�n} とも書く）を � の部分 σ-加法族の増大列とする．{�n} はフィルトレーションと呼ばれ，フィルトレーションをもつ確率空間をフィルター付き確率空間と呼ぶ．

定義 4.1 {Xn, n = 0, 1, ...} をフィルター付き確率空間 (Ω,� , P ; {�n}) 上で定義された実数値確率過程とするとき，X が {�n}-適合とは，すべての n

に対して確率変数 Xn が �n-可測であることをいう．また，X が {�n}-可予測であるとは，すべての n � 1 に対して Xn が �n−1-可測であることをいう．

定義 4.2 {�n}-適合である確率過程 X = {Xn, n � 0} に対して，(i) E[|Xn|] < ∞, n � 0;

(ii) E[Xn+1|�n] = Xn, a.s., n � 0;

が成り立つとき，X を {�n} に関するマルチンゲールと呼ぶ．(ii) において

等号を � (�) に変えたとき，X を優マルチンゲール (劣マルチンゲール) と

呼ぶ．

条件 (ii) は，任意の n � 0，A ∈ �n に対して

第 5 章

連続時間確率過程

本章以降は連続時間をパラメータにもつ確率過程を考える．まず，連続時間

確率過程を考える枠組みを与え，基本的事項について述べる．なお確率過程X = {X(t), t � 0} は，連続なもの，つまり t �→ X(t) が時間パラメータ t に

ついて連続なものを主に考える．確率解析の理論およびその応用において，マ

ルチンゲールの理論は不可欠である．本章の後半においては，連続時間マルチ

ンゲールに関する一般的事項を述べる．

5.1 連続確率過程

Rd に値をとる確率変数の族 {X(t), t � 0} を Rd 上の確率過程という．t は

時間を表すパラメータである．熱核の研究に応用する場合や数理ファイナンス

で満期を設定する場合など，有界区間 [0, T ] を動くとする場合も多いが，特に

断らない限り [0,∞) を動くとする．多くの確率過程に対して，すべての時点で右連続かつ左極限をもつような経

路をもつ変形（変形については定理 5.1 参照）が存在することが知られている．

実際，第 7章で述べる確率積分は右連続マルチンゲールの空間で考えるのが標

準的であり，本書もそれに従う．しかし，応用としては連続な確率過程のみを

考えるのでそれには触れないことにする（[2], [19], [21] などを参照）．

本節では連続確率過程に関する基礎事項を述べていくが，その前に確率過程の連続性を示す際に有用な Kolmogorov の連続変形定理を述べておく．

定理 5.1 X = {X(t), t � 0} を確率空間 (Ω,� , P ) 上で定義された Rd-値

確率過程とする．任意の T > 0 に対して正の定数 α, β, C が存在して

E[|X(t) − X(s)|α] � C(t − s)1+β , 0 � s � t � T,

をみたせば，X の変形 X ′，つまり同じ確率空間上で定義された確率過程で

第 6 章

Brown 運動

Brown 運動は言うまでもなく，基本的かつ最も重要な確率過程である．本章

では，Brown 運動とその基本的な性質について述べる．数学としての研究が始まる以前の研究の歴史について述べることから始める．

6.1 Brown，Bachelier，Einstein から Wiener へ

Brown 運動の名は，イギリス人植物学者 R.Brown が 1827 年に，水に浮かべた花粉から出てくる微粒子の顕微鏡観察を行った結果発見した，微粒子の不

規則運動を公表したことにちなむ．ただ，オランダ人 A. van Leeuwenhoek に

よる顕微鏡の発見以後，このような微粒子の不規則運動に気づいていた人は他

にもいたようで，例えば A.Brongniart もその一人である．彼は Brown の発

見の重大性を初めて認識した人の一人で，Brown と議論を繰り返しただけでな

く，Brown の論文のフランス語訳まで出版している．受粉の研究に関連して顕微鏡を覗いていたためか，発見当初は多くの人がこの運動が生命現象であると

考えていた．Brown の最大の功績は，数多くの粒子の観察を行い有機物のみな

らず無機物に対しても微粒子の不規則運動が観測されること，従って “Brown

運動”が物理現象であることを示したことにあると思われる．なお，現在パリ

で Brongniart と言うと，パリ証券取引所を意味するそうである．これは建物

の設計者にちなんだもので，設計者は上に触れた植物学者の父親である．言うまでもなく，Brown 運動は微粒子と水の分子の衝突に起因するのだが，

人類が原子，分子に関する確たる知識をもつ前にこのことを予言したのが，A.

Einstein で，光量子の仮説と特殊相対性理論を発表したのと同じ 1905 年に，

「熱の分子運動学的理論が要求する静止流体内に浮遊している粒子の運動につ

いて」という題の論文として発表した．この中で，微粒子のランダムな運動が

Gauss 核 (6.1) または熱方程式 (6.2) によって記述されること，彼の得た公式から Avogadro 数の決定ができるはずであることが述べられている．

第 7 章

確率積分と伊藤の公式

伊藤は Markov 過程を確率微分方程式の解として Brown 運動から直接的に

構成するため，Levy の直感的な考えを数学的に実現し，Brown 運動に関する積分の概念を確率積分として定式化した．理論の中心の 1つである伊藤の公式

は，確率過程の解析における連鎖律を与える．さらに，国田–渡辺は有名な論文

[32] において，この理論を 2 乗可積分マルチンゲールに基づく理論として整理

し，大きく飛躍させた．現在伊藤解析と呼ばれるこの理論は，広い範囲に応用

できるように，国田–渡辺の結果に基づいて述べられることがほとんどである．本章では，Brown 運動，マルチンゲールに関する確率積分について述べ，伊藤

の公式を示す．さらに，応用上重要な指数型マルチンゲール，確率積分による

マルチンゲールの表現定理について述べる．

7.1 確率積分

本節では（局所）連続マルチンゲールに関する確率積分について述べる．Brown

運動は連続マルチンゲールだから，Brown 運動に関する確率積分を特別な場合

として含んでいることは言うまでもない．注意 7.1 に述べる通常の積分との違

いを念頭に読んで欲しい．

確率積分は 2 乗可積分なマルチンゲールの空間の元としてとらえる．このた

め，(Ω,� , P ; {�t}) を通常の条件をみたす確率空間とし，この上で定義される次のマルチンゲールの空間を考える．標準的な議論を紹介するため，右連続

マルチンゲールの空間も考える:

�2(�t) = {M = {M(t), t � 0}; M は右連続 {�t}-マルチンゲールでE[M(t)2] < ∞, t � 0},

�c2 (�t) = {M ∈�2(�t); t �→ M(t) は連続 }.

第 8 章

拡散過程と確率微分方程式

第 6章で Brown 運動が Markov 性をもつこと，ラプラシアンを生成作用素

にもつことを示した．一般の 2 階の偏微分作用素によって生成される Markov

過程を構成する問題は Kolmogorovによって提起され，彼は解析的方法を用い

て Markov 過程論の基礎的研究を行った．これに対して，Brown 運動からよ

り直感的，直接的に Markov 過程の経路の運動を把握しようとする方法が，伊

藤による確率微分方程式の方法である．本章では，拡散過程，確率微分方程式

に関する基本的事項を解説する．

8.1 拡散過程

Rd 上の強 Markov 過程，拡散過程についての基本的事項を与える．Rd の領域上で境界条件を付けて考えたり，一般に多様体などの上で考えることもで

きるが，ここでは Rd 上を動く時間的に一様な確率過程のみを扱う．1 次元の

場合は，境界条件をもつ場合も含めて，第 10章においても扱う．

X = {X(t), t � 0} を，通常の条件をみたす確率空間 (Ω,� , P ; {�t}) 上で定義された Rd 上の時間的に一様な推移関数

Ps,s+t(x, A) = Pt(x, A), x ∈ Rd, A ∈ �Rd ,

をもつ連続な Markov 過程とする．ここで，�Rd は Rd のボレル集合族である．条件 X(0) = x のもとでの条件付確率を Px と書く．Px は x を出発する

Markov 過程 X の確率法則を与え，このとき Markov過程を X = (X(t), Px)

と書く．6.4 節で述べたように，0 < t1 < · · · < tk, A1, ..., Ak ∈ �Rd , に対

して

Px(X(t1) ∈ A1, X(t2) ∈ A2, ..., X(tk) ∈ Ak) (8.1)

=∫

A1

Pt1(x, dx1)∫

A2

Pt2−t1(x1, dx2) · · ·∫

Ak

Ptk−tk−1(xk−1, dxk)

第 9 章

Brown 運動と偏微分方程式

Kolmogorov は，偏微分方程式の理論を用いて，拡散過程の研究の端緒を開

く仕事を行った．逆に，拡散過程を用いて偏微分方程式に関する研究を行うことができる．例えば，多様体上の拡散過程の推移確率密度関数または熱核およ

びその拡散過程を用いた表現を使って，幾何学の問題に応用することもできる

し，微分作用素の固有値に関する研究へも応用することができる．本章では，

Rd 上の Brown 運動に話を限り，Brown 運動とその汎関数を用いた偏微分方

程式の解の表現とその応用について，その一端を見る．

9.1 Laplace 方程式

D を Rd の有界な領域とし，その境界 ∂D は滑らかであると仮定する．∂D

上の連続関数 g に対して，Dirichlet 境界値問題⎧⎨⎩Δu(x) = 0, x ∈ D,

u(y) = g(y), y ∈ ∂D,(9.1)

を考える．本節の目的は，調和関数と呼ばれるこの方程式の解に対して Brown

運動を用いた確率表現が存在することを示し，その応用として Brown 運動の

再帰性について述べることである．上の仮定の下で，(9.1) は一意的な解をも

つことを注意しておく．

{B(t), t � 0}を通常の条件をみたすフィルター付き確率空間 (Ω,� , P ; {�t})上で定義された 0 を出発する Brown 運動とし，

τD,x = inf{t � 0; x + B(t) ∈ Rd \ D}

によって定義される停止時刻を用意する．

定理 9.1 u を D = D∪∂D 上連続，D 内では C2 級であって，方程式 (9.1)

第 10 章

1次元拡散過程

第 8章に述べたように，1 次元拡散過程はほぼ解明されていると言ってよい．

これは多くのことが，偏微分方程式ではなく，常微分方程式または積分方程式を解くことによって得られることが大きな理由である．しかし，今なお興味深

い問題があり研究は続けられているし，理論上も応用上も様々な場面で用いら

れる．本章では，このように確率論研究の基本の一つである 1 次元拡散過程に

ついて，具体的な計算を中心に見ていく．

10.1 尺度関数と標準測度

σ, b を R 上の連続関数とし，σ(x) > 0, x ∈ R, を仮定する．{B(t), t � 0}を 0 を出発する 1 次元 Brown 運動として，確率微分方程式

dX(t) = σ(X(t)) dB(t) + b(X(t)) dt, X(0) = x, (10.1)

を考える．b ≡ 0 のときは，時間変更の方法により，(10.1) の解が Brown 運

動を用いて表現できることを，8.4 節で述べた．

まず，スケール（尺度）を変えることによって，つまり適当な単調増加関数

s : R → R に対し s(X(t)) を考えることによって，b ≡ 0 の場合に帰着できる

ことを示そう．適当に c ∈ R をとり，s を

s′(x) = exp(−

∫ x

c

2b(ξ)(σ(ξ))2

dξ

)(10.2)

によって定まる関数とし，Y (t) = s(X(t)) とおく．

s′′(x) = −2b(x)σ(x)−2s′(x)

に注意すると，

dY (t) = s′(X(t))σ(X(t)) dB(t)

付録

Bessel関数

代表的な特殊関数である Bessel 関数が，Bessel 過程に関連する話題におい

て重要な役割を果たすことは第 10章で見た．ここでは，本文中に必要とした事項と公式を中心にまとめる．詳しいことは特殊関数に関する文献を参照され

たい．ちなみに筆者は [43] を愛用している．公式だけであれば，[53] も優れて

いる．

ν ∈ C に対して，2 階の線型常微分方程式

d2u

dz2+

1z

du

dz+

(1 − ν2

z2

)u = 0

を Bessel の微分方程式と呼ぶ．これは円柱領域における境界値問題に端を発

する方程式で，その解は解析学の種々の場面で重要な役割を果たす．

Jν(z) =(z

2

)ν ∞∑n=0

(−1)n(z/2)2n

n!Γ(ν + n + 1), z ∈ C \ (−∞, 0),

によって与えられる Bessel の微分方程式の解 Jν を，ν 次の第 1種円柱関数，

または (狭義の) Bessel 関数と呼ぶ．

Bessel 過程に関する結果に現れるのは，次の変形 Bessel 関数である：

Iν(z) = e−νπ√−1/2Jν(eπ

√−1/2z), −π < arg(z) < π/2,

=(z

2

)ν ∞∑n=0

(z/2)2n

n!Γ(ν + n + 1), z ∈ C \ (−∞, 0),

Kν(z) =π

2I−ν(z) − Iν(z)

sin(νπ), ν �∈ Z,

Kn(z) = limν→n

Kν(z), n ∈ Z.

Kν(z) は Macdonald 関数と呼ばれることもある．

I±ν(z), K±ν(z) は変形された Bessel の微分方程式

d2u

dz2+

1z

du

dz−

(1 +

ν2

z2

)u = 0 (A.1)

おわりに

最後に，本書を書くにあたって参考にした文献とさらに学習される方に推薦

したい文献を挙げる．また，筆者の浅学，知識不足とページ数の制限により割

愛せざるを得なかった話題についても述べておく．

第 1章に述べた測度論，Lebesgue 積分論に関する文献は多く，小谷 [37], 熊谷 [38],志賀 [73]など，最近では確率論とともに述べられていることが多い．古

くからある文献では，伊藤清三 [26], Rudin [68], などが挙げられる．Lebesgue

積分論に関しては，これらを参考にした．確率論の基礎事項に関しては，上に

挙げたもの以外に，Billingsley [1], 伊藤清 [21], 西尾 [56], Williams [85] も参

考にした．

第 2章，第 3章は，Feller [11], Sinai [72] を主に参考にした．前者は大部のものだが，具体的な例をふんだんに含んだ世界的な名著である．古いと言われ

るかも知れないが，大学 2，3年生くらいの，恐らく多く時間のとれる時期に

トライして欲しい本である．後者は，比較的コンパクトでありながら，確率論

の様々な話題から統計学まで触れた良いテキストだと思う．

第 4章から第 9章までの Brown 運動，マルチンゲールに基づく確率解析の解説では，池田–渡辺 [19], Karatzas–Shreve [32], 長井 [54], Revuz–Yor [63],

Rogers–Williams [66], 渡辺 [81] などを参考にした．本書のみでも話の本筋は

理解できるように書いたつもりだが，証明を省略した，またはあらすじを述べ

るに止めた定理に関してはこれらを参照していただけると幸いである．特に，

連続マルチンゲールの表現定理については，最も重要な結果の一つである定理

7.10 に関しては詳しく述べられなかったので，上の文献で学習して頂きたい．第 10章に述べた 1 次元拡散過程に関しては，Durrett [8], Karatzas–Shreve

[32], Revuz–Yor [63], Rogers–Williams [66]などでも触れられてはいるが，や

はり頼りになるのは名著伊藤–McKean [23] である．しかし，読みやすいもの

ではなく，本書がそのとっかかりになれば幸いである．

本書で触れることのできなかった話題を述べておく．

一般のランダムウォークや有限 Markov 連鎖の理論は，確率論の基本の一つであり興味深い話題も多い．また，一般の Markov 過程や拡散過程を学習する

準備としても良いと思われるが，本書では割愛した．興味をもたれる方は，[34],

[37], [38], [72], [73], [76] などを参考にされるとよいと思う．

Markov過程の一般論，ポテンシャル論との関係を詳しく述べる余裕がなかっ

たし，Dirichlet 形式の理論については触れることができなかった．[13], [14],

[23], [60] などを参照して頂きたい．その他，局所時間，種々の極限定理，加法過程，Gauss 過程に関しても，詳しく述べることができなかった．特に，局所

時間に関しては，本書でも触れた田中の方程式，Levyの定理，Pitman の定理，

さらには Bessel 過程との関係が深く，非常に興味深いので残念に思っている．

[19], [32], [63] にそれぞれの立場からの興味深い解説があるので参考にして頂

きたい．これらは日本人研究者が基本的な部分で大きな貢献をした分野である．

大偏差原理についても，2.3 節で Cramer の定理を述べる以上のことはできなかった．現在では確率過程のレベルまで拡張され，物理学，工学，情報理論

に関係する問題などに幅広く応用されている．[4], [5], [10], [77] などを参照さ

れたい．

Malliavin 解析に関しては，熱核の表現を述べた際に触れた．これは，

Hormander 型の準楕円性の問題の考察のために P. Malliavin が導入した測

度論に基づいた経路空間上の解析学であり，中心的な課題は確率微分方程式の解などの Wiener 空間上の汎関数の解析である．現在では，Dirichlet 形式や

大偏差原理の理論とともに研究の標準的な道具とも言えるほど整理され，数値

解析や数理ファイナンスへも応用され始めている．本文中に触れた微分方程式

や幾何学への応用とともに，[19], [44], [71] およびこれらの参考文献を参照し

て頂きたい．

確率論の解析学への応用の一つとして，最近では，非線形方程式である KdV

方程式の理論へも応用され成果が上がっている．

Wiener 測度に代表される拡散過程の確率法則は経路空間上の測度であり，上

に述べたように Malliavin 解析は経路空間上の解析学である．これらと物理学

における Feynman の経路積分との関係は理解されているとは言い難いと思う．

しかし，大偏差原理や 2 次の Wiener 汎関数の研究，および本書でも触れた

Poincare 上半平面上のブラウン運動を用いた Selberg 跡公式の研究など限られた状況ではあるが，対応する古典力学との関係を見ることができる．

その他，統計力学などランダム系の物理学，生物モデル，情報理論などへ確

率論は応用され続けている．最近では計算機科学に関連する確率論の問題も研

究されている．モンテカルロ法については本文中に少し触れた．筆者の浅学の

ため触れることができないが，重要な応用は他にも多くあると思われる．

まえがきに述べたように，最近では数理ファイナンスが有名になったが，確率論はもともと他の分野への応用とともに発展してきた分野である．本書によっ

て確率論のおもしろさや大切さが，少しでも多くの人々，特に若い世代の人々

や今まで確率論に興味を持てなかった人々に伝われば幸いである．

205

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209

索 引

ア 行i.i.d. 34

アジアンオプション 194

アベレージオプション 194

位相的 σ-加法族 7

一様可積分 16

一様連続性定理 100

一般化逆 Gauss 分布 6

伊藤過程 116

伊藤の公式 118

伊藤の表現定理 125

Wiener 過程 94

Wiener 空間 94

Wiener 測度 94

Wald の等式 50

Lp 収束 28

Hermite 多項式 121

Jensen の不等式 25

Ornstein-Uhlenbeck 過程 146

カ 行概収束 27

外測度 9

階段過程 113

χ2 分布 33

下極限 19

拡散過程 137

確率過程 78

確率空間 8

確率収束 27

確率積分 113

確率測度 8

確率的流れ 142

確率微分方程式 141

確率分布 17

確率変数 1, 3, 17

確率密度関数 4

風巻の条件 132

可測 11

可測空間 7

Kac の公式 164

加法的集合関数 26

可予測 64

完全加法性 8

完全単調 31

完備 9

完備測度空間 10

ガンマ分布 5

緩慢変動関数 31

幾何 Brown 運動 146

幾何分布 2

期待値 22

逆 Gauss 分布 6

逆正弦法則 55, 165

強 Markov 過程 137

強 Markov 性 51

局所時間 135

局所マルチンゲール 89

クラス (D) 90

クラス (DL) 90

Green 関数 182

Green 作用素 182

Gronwall の不等式 144

経路 80

結合分布 17

Cauchy 分布 5

固有値の漸近分布 167

Kolmogorov の 0-1 法則 21

サ 行再帰的 51

最終脱出時刻 82

最大値の原理 159

座標過程 95

時間変更の方法 153

σ-加法族 7

指数分布 5

自然境界 175

弱収束 28

尺度関数 174

周辺分布 18

Schwarz の不等式 23

上極限 19

条件付確率 18

推移関数 102

推移作用素 102

Stratonovich 確率積分 132

スピード測度 174

正規化 23

正規分布 5

生成作用素 104, 140

正則拡散過程 172

正則境界 175

生存時間 137

積率母関数 29

絶対連続 24

増加過程 85

測度 8

測度空間 8

タ 行太鼓の問題 169

大数の強法則 35

大数の法則 34, 72

大偏差原理 42

Tauber 型定理 31

多重 Wiener 積分 121

畳みこみ 21

田中の公式 135

単関数 11

単調族 8

Chebyshev の不等式 23

Chapman-Kolmogorov の関係式 94

中心極限定理 39

超幾何分布 2

調和関数 157

直積測度 10

通常の条件 80

筒集合 10

強い解 145

t 分布 33

定義関数 11

停止時刻 49, 81

Dirac 測度 8

Dirichlet 境界値問題 157

Dynkin の公式 106

適合 64, 80

Doob の不等式 73, 83

Doob-Meyer 分解 90

同時分布 17

到達時刻 49, 82

投票問題 62

特性関数 29

独立 19, 20

de Moivre-Laplace の定理 40

ドリフト項 142

ドリフトの変換 153

Donsker の不変原理 96

ナ 行二項分布 2

2 次変分 85

2 次変分過程 89

2 乗 Bessel 過程 147

任意抽出定理 69, 83

任意停止定理 68

Novikov の条件 132

ハ 行Burkholder の不等式 90

パーペテュイティ 197

爆発時刻 137, 142

発展的可測 80

半マルチンゲール 118

Pitmanの定理 189

標準測度 174

標準偏差 22

Khintchine の重複対数の法則 42

Feynman–Kac の公式 163

211

フィルター付き確率空間 64, 80

フィルトレーション 64, 80

Fourier 変換 29

Feller の判定条件 176

Feller 半群 140

負の二項分布 2

Fubini の定理 13

Brown 運動 94

Brown 橋 148

Blumenthal の 0-1 法則 103

分散 22

分布 17

分布関数 6, 17

平均 22

平均値の定理 159

ベータ分布 5

Bessel 過程 147, 177

Holder の不等式 23

Bernstein の多項式 37

変形 78

Poisson 分布 2

Poincare 上半平面 155

法則収束 28

法則の意味の一意性 144

保存的 137

Bochner の定理 30

ほとんど至る所 14

Borel 集合族 9

Borel 筒集合 79

マ 行末尾 σ-加法族 21

Markov 過程 102

Markov 性 (半群の) 140

マルチンゲール 64, 82

マルチンゲール項 142

マルチンゲール変換 65

マルチンゲール問題 139

丸山–Girsanov の定理 130

道 80

道ごとの一意性 145

見本過程 80

Minkowski の不等式 23

無限分解可能分布 41

モーメント 22

ヤ 行有限確率空間 3

有限加法族 7

優マルチンゲール 64, 82

弱い解 143

ラ 行Radon–Nikodymの定理 24

Laplace 変換 29

Lamperti の関係 194

離散分布 2

Lipschitz 条件 148

流出境界 175

流入境界 175

Legendre 変換 43

Lebesgue 確率空間 9

Lebesgue 可測集合 10

Lebesgue–Stieltjes 測度 9

Levy の反転公式 30

レート関数 43

劣加法性 8

劣マルチンゲール 64, 82

連続分布 4

連続変形定理 78

ワ 行Weierstrass の多項式近似 37

212 索 引

著者略歴

松まつ本もと裕ひろ行ゆき

1957 年 広島県生まれ1982 年 京都大学理学部卒業1984 年 大阪大学大学院理学研究科博士課程（前期課程）数学専攻修了

岐阜大学教養部講師，助教授，名古屋大学情報文化学部助教授を経て，2002 年 名古屋大学大学院人間情報学研究科教授2003 年 名古屋大学大学院情報科学研究科教授2010 年 山形大学理学部数理科学科教授2012 年 青山学院大学理工学部物理・数理学科教授

理学博士（大阪大学）専 門 確率論，確率過程論とその微分作用素の解析，数理ファイナンスなどへの応用．

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ- 36

『応用のための 確率論・確率過程Introduction to Probability Theory and Stochastic Processes 』（電子版）

著　者 松本 裕行2017年 3 月 10日 初版発行 ISBN 978–4–7819–9915–9

この電子書籍は 2004年 11月 25日初版発行の同タイトルを底本としています．

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