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O Problema de Roteirização Periódiga de Veículos
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LUCIELE WU
O PROBLEMA DE ROTEIRIZAO PERIDICA DE
VECULOS
Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia de Transportes
So Paulo
2007
LUCIELE WU
O PROBLEMA DE ROTEIRIZAO PERIDICA DE
VECULOS
Dissertao apresentada Escola Politcnica da Universidade de So Paulo para obteno do Ttulo de Mestre em Engenharia de Transportes
rea de Concentrao: Engenharia de Transportes
Orientador: Prof. Dr. Cludio Barbieri da Cunha
So Paulo
2007
Este exemplar foi revisado e alterado em relao verso original, sob responsabilidade nica do autor e com a anuncia de seu orientador. So Paulo, 11 de junho de 2007. Assinatura do autor ____________________________ Assinatura do orientador _______________________
FICHA CATALOGRFICA
Wu, Luciele
O problema de roteirizao peridica de veculos / L. Wu. ed.rev. -- So Paulo, 2007 109 p.
Dissertao (Mestrado) - Escola Politcnica da Universidade
de So Paulo. Departamento de Engenharia de Transportes.
1. Roteirizao 2. Heurstica 3. Transportes 4.Logstica (Ad- ministrao de materiais) I. Universidade de So Paulo. Escola Politcnica. Departamento de Engenharia de Transportes II. t.
DEDICATRIA
Aos meus queridos pais e irms.
AGRADECIMENTOS
Primeiramente, agradeo ao professor Cludio Barbieri da Cunha por toda orientao,
estmulo e pacincia durante o desenvolvimento da dissertao, buscando sempre a melhor
forma de expresso das idias. Alm do apoio e preocupao pessoal em um dos momentos
decisivos da minha vida; sem a sua ajuda, meu rumo seria totalmente diferente.
Aos professores Nicolau Gualda, Hugo Yoshizaki, Marco Brinati e Rui Botter pelo
aprendizado durante as aulas que moldaram o meu conhecimento ao longo do curso.
Aos meus avs, pelo esprito de luta ao emigrar para um pas de lngua e costumes muito
diferentes.
Aos meus pais, meus maiores mestres, cujos ensinamentos guardo com grande carinho e
considerao para toda vida.
s minhas irms, Cristiane e Clarisse, que sempre estiveram presentes em todos os momentos
com pacincia e alegria.
A todos meus amigos, que me apoiaram e incentivaram para o trmino desta etapa dos meus
estudos.
Ao CNPq, pelo apoio financeiro concedido durante a realizao do projeto.
E por fim, agradeo a todos aqueles que contriburam de alguma maneira para que este
projeto pudesse ser realizado.
EPGRAFE
Conhecer a si mesmo e conhecer os outros,
vencer todas as batalhas.
Sun Tzu A Arte da Guerra
RESUMO
O problema de roteirizao peridica de veculos pode ser considerado como uma
generalizao do problema clssico de roteirizao devido a duas caractersticas prprias: um
perodo de planejamento maior que um dia, em que os veculos fazem diversas viagens, e
freqncias de visitas associadas a pontos a serem servidos. Esse tipo de problema pode ter
muitas aplicaes prticas. Atualmente, algumas indstrias automobilsticas brasileiras j
utilizam um sistema de coleta que se baseia na idia de roteirizao peridica, com a
finalidade de reduzir o estoque de peas. Assim como os problemas originais de roteirizao
de veculos, o problema aqui tratado tambm difcil de ser resolvido, sendo impossvel o uso
de algoritmos exatos para a obteno de uma soluo tima para o tamanho de problemas
encontrados na prtica. Isso motivou o estudo, que direcionou seus esforos na explorao de
novas estratgias de soluo para esse problema atravs de novas abordagens, de modo que
houvesse um aumento na qualidade de solues e uma diminuio do tempo de
processamento computacional. Dois procedimentos diferentes foram propostos para a
alocao dos clientes aos dias de visitas: uma heurstica de insero seqencial que visa
equilibrar os esforos dos diferentes dias do perodo de planejamento, e uma heurstica
baseada em algoritmos genticos. As rotas dirias so construdas atravs da utilizao do
algoritmo de economias de Clarke e Wright, que permite a obteno de boas solues em
tempos de processamento curtos. Experimentos computacionais so realizados para a
avaliao da eficincia de cada uma das heursticas propostas atravs da utilizao de
benchmarks retirados da literatura e problemas-teste gerados aleatoriamente, e os resultados
so tambm comparados aos anteriormente mostrados na literatura.
Palavras-chave: Roteirizao peridica. Heurstica. Transportes. Logstica.
ABSTRACT
The period vehicle routing problem can be viewed as a generalization of the classic vehicle
routing problem due to two singular features: a planning period longer than one day in which
vehicles make several trips and frequencies of visit associated to points to be serviced. This
type of problem may arise in different practical applications. Nowadays, some Brazilian auto-
maker industries are already utilizing a collect system based on the idea of the period routing
in order to reduce parts inventory. Similarly to the original vehicle routing problem, the
period vehicle routing problem is also hard to solve, making it impossible to use exact in
order to obtain an optimal solution for problem sizes found in practice. This motivated this
research study, which directed its efforts to the exploration of new strategies of solution
through new reasoning, leading to an increase in the quality of the solution and a decrease in
the computational processing time. The proposed heuristics are composed of three
consecutive stages: (i) assigning customers to days of visit while respecting their given
frequencies, (ii) building routes that serve all customers assigned to each day of the planning
horizon, and (iii) improving the obtained solution. Despite the distinction between the stages,
we managed to take into consideration the integration among the three decisions. Two
different procedures were proposed to the assignment of customers to days of visit: a
sequential insertion heuristic that aims to balance the workload among different days in the
time horizon, and a heuristic based on genetic algorithms. The daily routes are then
constructed by using the Clarke and Wrights savings algorithm, which allows good solutions
to be obtained in short processing times. Computational experiments are made in order to
evaluate the efficiency of each proposed heuristic using both benchmark problem sets from
the literature and randomly generated problems as well, and the results are compared to the
previously reported in the literature.
Keywords: Period routing. Heuristic. Transportation. Logistics.
SUMRIO
Lista de Figuras
Lista de Tabelas
Lista de Quadros
1. INTRODUO .............................................................................................................. 1
1.1 Descrio e Relevncia do Problema.......................................................................1
1.2 Metodologia............................................................................................................3
1.3 Delineamento do Trabalho ......................................................................................4
2. REVISO BIBLIOGRFICA ....................................................................................... 5
2.1 Problemas de Roteirizao de Veculos na Literatura ..............................................5
2.2 Trabalhos Desenvolvidos no mbito da EPUSP .....................................................7
2.3 Problemas de Roteirizao Peridica ....................................................................12
2.3.1 Roteirizao em Ns .....................................................................................12
2.3.2 Roteirizao em Arcos ..................................................................................20
2.3.3 Roteirizao com Instalaes Intermedirias .................................................20
2.4 Consideraes Finais do Captulo .........................................................................21
3. CARACTERIZAO DO PROBLEMA.................................................................... 23
3.1 Caracterizao Geral.............................................................................................23
3.2 Definio do Problema .........................................................................................26
3.3 Formulao Matemtica........................................................................................28
4. ESTRATGIA DE SOLUO.................................................................................... 33
4.1 Introduo.............................................................................................................33
4.2 Heursticas ALOCf e ALOCd Frota, Demanda e Clarke e Wright ......................36
4.3 Heursticas GRASPf e GRASPd GRASP, Clarke e Wright, Frota e Demanda ....43
4.4 Heursticas AGs Algoritmo Gentico e Clarke e Wright.....................................46
5. RESULTADOS COMPUTACIONAIS........................................................................ 56
5.1 Problemas-Teste ...................................................................................................56
5.2 Parmetros das Heursticas....................................................................................59
5.2.1 Parmetros para a estratgia ALOC...............................................................61
5.2.2 Parmetros para a estratgia GRASP.............................................................62
5.2.3 Parmetros para a estratgia AG....................................................................62
5.3 Resultados ............................................................................................................64
5.3.1 Primeira Etapa de Testes ...............................................................................65
5.3.1.1. Problemas de 50 Pontos.............................................................................66
5.3.1.2. Problemas de 75 Pontos.............................................................................69
5.3.1.3. Problemas de 100 Pontos...........................................................................71
5.3.1.4. Utilizao de Valores de Custos ................................................................75
5.3.1.5. Concluso da Primeira Etapa de Testes......................................................79
5.3.2 Segunda Etapa de Testes ...............................................................................80
5.4 Anlise dos Resultados Obtidos ............................................................................83
6. CONSIDERAES FINAIS........................................................................................ 86
6.1 Concluses ...........................................................................................................86
6.2 Recomendaes e Prximos Passos.......................................................................88
7. REFERNCIAS............................................................................................................ 91
LISTA DE FIGURAS
Figura 3.1: Exemplos de situaes com e sem ocorrncia de subtours .................................31
Figura 4.1: Roteirizao com e sem a utilizao do mtodo de economias de Clarke e Wright
.....................................................................................................................................40
Figura 4.2: Pseudocdigo das estratgias heursticas ALOCf e ALOCd...............................43
Figura 4.3: Pseudocdigo das estratgias heursticas GRASPf e GRASPd...........................45
Figura 4.4: Representao cromossmica de um indivduo de 10 pontos .............................49
Figura 4.5: Exemplo de ranking de indivduos.....................................................................50
Figura 4.6: Exemplo do cruzamento entre dois indivduos...................................................51
Figura 4.7: Pseudocdigo das heursticas AG1c e AG2c......................................................54
Figura 4.8: Pseudocdigo das heursticas AG1cr0, AG1cr1, AG1cr10, AG2cr0, AG2cr1,
AG2cr10.......................................................................................................................54
Figura 4.9: Pseudocdigo das heursticas AG1cmv e AG2mv .............................................55
LISTA DE TABELAS
Tabela 3.1: Exemplo de combinaes permitidas de dias de visitas para T = 6 dias..............28
Tabela 4.1: Dados do exemplo explicativo das heursticas frota e demanda .........................38
Tabela 4.2: Combinaes permitidas de dias de visitas ........................................................48
Tabela 4.3: Resumo das variantes de AG.............................................................................53
Tabela 5.1: Problemas-teste de Christofides e Beasley (1984) .............................................57
Tabela 5.2: Resumo dos problemas-teste utilizados .............................................................59
Tabela 5.3: Resumo das estratgias de soluo ....................................................................60
Tabela 5.4: Parmetros utilizados nas etapas de testes .........................................................60
Tabela 5.5: Parmetros utilizados pelas variantes da estratgia ALOC.................................61
Tabela 5.6: Parmetros utilizados pelas variantes da estratgia GRASP...............................62
Tabela 5.7: Parmetros utilizados pelas variantes da estratgia AG......................................64
Tabela 5.8: Resultados do problema-teste 50A ....................................................................66
Tabela 5.9: Resultados do problema-teste 50B.....................................................................67
Tabela 5.10: Resultados do problema-teste 50C...................................................................68
Tabela 5.11: Resultados do problema-teste 75A ..................................................................69
Tabela 5.12: Resultados do problema-teste 75B...................................................................70
Tabela 5.13: Resultados do problema-teste 75C...................................................................71
Tabela 5.14: Resultados do problema-teste 100A.................................................................72
Tabela 5.15: Resultados do problema-teste 100B.................................................................73
Tabela 5.16: Resultados do problema-teste 100C.................................................................74
Tabela 5.17: Melhor custo total obtido para os problemas-teste de 50 pontos.......................76
Tabela 5.18: Melhor custo total obtido para os problemas-teste de 75 pontos.......................77
Tabela 5.19: Melhor custo total obtido para os problemas-teste de 100 pontos.....................77
Tabela 5.20: Resumo das melhores variantes de diferentes variveis de deciso ..................79
Tabela 5.21: Melhores variantes das melhores estratgias de soluo para cada conjunto de
problemas de Christofides e Beasley (1984) .................................................................81
Tabela 5.22: Parmetros e resultados dos problemas 2, 5, 8 e 10 de Christofides e Beasley
(1984)...........................................................................................................................82
Tabela 5.23: Resultados de artigos anteriores e do presente estudo ......................................82
Tabela 5.24: Porcentagem de desvio acima do melhor resultado obtido ...............................82
LISTA DE QUADROS
Quadro 4.1: Resumo das estratgias de soluo heurstica propostas ...................................36
Quadro 5.1: Resumo das mudanas das melhores variantes na Anlise de Sensibilidade .....79
1
1. INTRODUO
1.1 Descrio e Relevncia do Problema
O presente texto trata o problema de roteirizao peridica de veculos, que pode ser
entendido como uma generalizao do problema clssico de roteirizao. Este procura alocar
pontos a veculos, de maneira que os roteiros, ou seqncias de atendimento, otimizem os
recursos utilizados. Isto ocorre da mesma maneira na roteirizao peridica, no entanto, cada
ponto requer uma determinada freqncia de visitas ao longo do perodo de planejamento
(uma vez, trs vezes, diariamente, etc.). Consequentemente, alm da alocao a veculos, h a
necessidade de alocar os pontos em dias de visitas no perodo, respeitando a freqncia de
visitas requerida.
Aplicaes prticas para o problema de roteirizao peridica podem ser encontradas na
coleta de peas automobilsticas e coleta de lixo industrial caracterizando problemas de
atendimento em ns, tipo caixeiro viajante , e coleta de lixo residencial e limpeza de ruas
caracterizando problemas em atendimento de arcos, tipo carteiro chins.
O abastecimento de uma indstria automobilstica atravs da coleta de peas uma aplicao
bastante atual. Um grande nmero de montadoras no Brasil atua com sistema just-in-time, ou
seja, no mantm e nem armazena estoque de insumos e matrias-primas utilizados na
produo dos veculos, sendo que essas peas chegam linha da produo da montadora na
hora em que o automvel fabricado. Geralmente, um operador logstico contratado para
efetuar as coletas nos fornecedores das quantidades necessrias, seguindo uma programao
de produo definida previamente.
A partir disso, a montadora evita a complexa tarefa de recebimento e movimentao de peas
de um elevado nmero de fornecedores, transferindo a responsabilidade pela coleta,
conferncia e entrega para um operador logstico. Sendo assim, o processo fica otimizado,
diminuindo os custos e evitando a formao de filas nas reas de desembarque.
2
Na poca em que a inflao brasileira era alta e instvel, as grandes montadoras no se
preocupavam com a eficincia do seu sistema e, muito menos, em diminuir os estoques, pois
toda ineficincia do sistema era compensada com aplicaes no mercado. Entretanto, no
momento em que a inflao baixou e estabilizou, e houve uma abertura do mercado brasileiro
para empresa estrangeiras, as montadoras tiveram que acompanhar as mudanas e aumentar a
eficincia do sistema para se tornarem mais competitivas.
Inserida nesse cenrio, era preciso que a montadora fizesse estudos e investimentos em
estratgias baseadas em viso sistmica. Notou-se que a rea de logstica, que havia sido
deixada de lado, atendia essas necessidades de integrao dos sistemas, o que diminuiu os
custos e desperdcios, causando, por conseqncia, um aumento do lucro e da eficincia. Com
o advento da tecnologia e a incorporao desses conceitos de logstica dentro da montadora,
foi possvel adotar o sistema just-in-time.
Como dito anteriormente, com este novo sistema adotado no h estoques nas montadoras,
consequentemente, os materiais so necessrios em lotes menores, mas com freqncia maior.
Logo, para evitar filas na rea de desembarque, coletar os produtos com uma determinada
freqncia ao longo de um perodo de planejamento era mais apropriado. Adotou-se a
denominao de sistema de coleta milk-run para essa prtica por ter semelhanas com o
antigo sistema de coleta de leite nas fazendas por cooperativas de laticnios.
Antes da implantao desse sistema, cada fazenda levava o leite produzido a cada dia para as
cooperativas, para que estas pasteurizassem o produto. Isso ocasionava um aumento de custo
do leite, devido aos gastos em transporte e embalagem, alm do tempo gasto em filas na rea
de desembarque. A fim de aprimorar o sistema e diminuir esses custos que conduziam a
aumentos no preo do produto final e prejuzos, as prprias cooperativas passaram a coletar o
leite nas fazendas, utilizando embalagens padronizadas. Em outras palavras, um veculo
passava pelas fazendas coletando embalagens cheias de leite e deixando embalagens vazias
para serem coletadas cheias em outro dia. Para tanto, uma programao de coletas tinha que
ser feita, bem como os roteiros que cada veculo iria percorrer em cada dia. Sendo que
algumas fazendas no produziam a quantidade de leite suficiente para coletas dirias, elas
recebiam visitas com alguns intervalos de tempo (periodicidade).
3
Uma vez que o leite um produto perecvel, um tempo mximo entre a sua produo e o
consumo no pode ser ultrapassado. Conseqentemente, houve a instituio de horrios pr-
determinados de coleta, semelhantes s restries de janela de tempo dos problemas de
roteirizao.
Juntamente com o uso desses novos conceitos e sistemas, alguns benefcios para as
montadoras foram obtidos, como preciso da entrega de peas, maior controle de peas em
trnsito, agilidade de embarque e desembarque, reduo de trnsito de materiais interno,
agilidade na tomada de decises, otimizao da frota e reduo dos custos.
Portanto, devido ao que foi exposto, nota-se a importncia do estudo do problema e do
desenvolvimento de novas estratgias de soluo do mesmo, que agilizem a tomada de
deciso, melhorem a qualidade da soluo obtida, otimizem os custos e diminuam os tempos
de processamentos computacionais, sendo esse o objetivo do trabalho atravs da explorao
de novas estratgias de soluo para o problema de roteirizao peridica.
1.2 Metodologia
Trs estratgias de soluo heursticas foram propostas com a finalidade de se obter melhores
resultados de problemas de roteirizao peridica. A obteno de uma soluo tima
praticamente impossvel devido ao grande esforo computacional e ao tempo de
processamento requerido para isto, uma vez que o problema NP-Difcil. Para tanto,
desenvolveram-se duas heursticas (um baseada em insero e outra baseada em GRASP -
Greedy Randomised Adaptative Search Procedure) e uma metaheurstica, algoritmo gentico.
H a proposio de uma formulao matemtica para um problema geral de roteirizao
peridica para demonstrar as principais restries operacionais e as decises envolvidas.
A avaliao do melhor mtodo de soluo, bem como uma comparao com resultados
encontrados na literatura, tambm so realizados para averiguar se as estratgias propostas
podem realmente serem utilizadas em roteirizao peridica.
4
1.3 Delineamento do Trabalho
Os captulos deste texto esto organizados e estruturados para que a compreenso do assunto
e de suas possveis solues seja facilitada.
O captulo a seguir corresponde reviso bibliogrfica, em que so apresentadas, de forma
resumida, as pesquisas feitas por outros autores. Tem como finalidade o melhor entendimento
dos conceitos e das estratgias de soluo j exploradas na literatura.
O captulo 3 mostra a caracterizao do problema com suas peculiaridades e a maneira como
ele vai ser tratado. A formulao matemtica tambm apresentada nessa seo.
No captulo seguinte, so apresentadas as estratgias de soluo propostas e um detalhamento
maior de cada uma delas. A avaliao dessas estratgias foi realizada atravs de experimentos
computacionais, encontrados no captulo 5.
No captulo 6, h a apresentao de consideraes finais e recomendao para prximos
passos da pesquisa. O captulo final destinado s referncias utilizadas na pesquisa.
5
2. REVISO BIBLIOGRFICA
Este captulo tem como objetivo apresentar os trabalhos cientficos encontrados na literatura
que so correlatos ao tema da presente dissertao. Os textos estudados auxiliaram na
compreenso do problema e no conhecimento das estratgias de soluo j abordadas com o
objetivo de tentar solucionar o problema de roteirizao peridica. Verificou-se no ser um
assunto amplamente estudado, mas, como j mencionado anteriormente, demonstra ter uma
grande importncia no cenrio atual de diversas empresas e instituies.
2.1 Problemas de Roteirizao de Veculos na Literatura
A roteirizao peridica fundamenta-se nos conceitos bsicos de roteirizao de veculos, que
conhecido na literatura como Vehicle Routing Problem (VRP). Em linhas gerais, a
roteirizao de veculos pode ser definida como o atendimento de ns de demanda
geograficamente dispersos, sendo que, para cada ligao entre um par de ns, h distncias e
custos associados. A fim de atend-los, utiliza-se uma frota de veculos disponveis que
partem e retornam a um depsito central. O objetivo determinar o conjunto de rotas de
menor custo que atenda s necessidades dos ns, respeitando restries operacionais, tais
como capacidade dos veculos, durao da rotas, janelas de tempo, durao da jornada de
trabalho, entre outros.
O primeiro tipo de problema de roteirizao a ser estudado foi o caixeiro viajante (traveling
salesman problem). A idia encontrar o menor caminho possvel que um vendedor deve
percorrer, a partir de sua cidade, a fim de atender um conjunto de clientes (cidades), visitando
cada um deles exatamente uma nica vez. Ao longo de anos de estudos, novas restries
foram e esto sendo incorporadas ao caixeiro viajante, de modo a melhor representar os
diferentes problemas envolvendo roteiros de pessoas, veculos e cargas. De acordo com
Cunha (2000), os problemas de roteirizao so muitas vezes definidos como problemas de
mltiplos caixeiros viajantes com restries de capacidade e outras restries que dependem
de cada aplicao.
6
Tanto o problema do caixeiro viajante quanto os problemas de roteirizao so problemas que
podem ser formulados como problemas de programao linear inteira, e pertencentes
categoria de problemas NP-Difcil, ou seja, medida que o tamanho do problema aumenta, o
esforo computacional para resolv-lo cresce de maneira exponencial. Mesmo com o avano
da tecnologia dos computadores, problemas de maior porte encontrados em aplicaes
prticas apresentam muitas variveis e restries a serem consideradas; nem mesmo o mais
avanado computador existente no mercado poderia resolv-los (i.e. chegar a uma soluo
tima) em tempos de processamento aceitveis para instncias encontradas na prtica.
Logo, a fim de se obter uma soluo de boa qualidade com um tempo computacional
razoavelmente pequeno, resta a utilizao de heursticas e metaheursticas, que forneam uma
soluo apropriada ao que se deseja de uma soluo. Essas estratgias de soluo baseiam-se
em abordagens intuitivas, de modo que a estrutura particular do problema pode ser
considerada e explorada de forma inteligente (Cunha, 1997). Dada a diversidade dos
problemas de roteirizao em termos das suas restries, as estratgias de soluo baseadas
em heursticas so bastante especficas, carecendo de robustez, ou seja, elas no conseguem
produzir solues boas para problemas com caractersticas e restries diferentes daquelas
que foram levadas em considerao quando a estratgia foi planejada. Como apontado por
Hall e Partyka (1997), na roteirizao de veculos uma estratgia de soluo para um certo
tipo de problema com suas peculiaridades pode no ser adequada para um outro problema
similar (Teixeira, 2001).
Laporte et al. (2000) descrevem os principais mtodos para resoluo do problema de
roteirizao de veculos encontrados na literatura, classificados como heursticas clssicas e
tambm uma metaheurstica, a busca tabu, denominada pelos autores de heurstica moderna.
As heursticas clssicas analisadas so o algoritmo de economias de Clarke e Wright (1964)
em duas verses (paralela e seqencial); o algoritmo de varredura; o algoritmo de ptalas
(petal algorithm); o algoritmo do tipo agrupa-primeiro roteiriza-segundo (cluster-first, route-
second algorithm); e as heursticas de melhorias, do tipo 3-opt. Os autores comparam essas
heursticas clssicas de roteirizao atravs de testes com quatorze problemas considerados
benchmarks. Boas solues foram obtidas com um tempo de processamento menor quando
so utilizados o mtodo de economias de Clarke e Wright (1964) e o algoritmo de varredura
de Gillett e Miller (1974). A heurstica moderna analisada no artigo a busca tabu, assim
7
como algumas variantes desenvolvidas por outros autores. Embora a qualidade das solues
obtidas pela busca tabu, assim como suas variantes, seja bastante superior s das heursticas
clssicas, os tempos computacionais ainda so, em geral, muito elevados para aplicaes
comerciais. Segundo os autores, as metaheursticas, em particular a busca tabu, so muito
dependentes do contexto do problema e o ajuste de parmetros para cada caso afeta seu
desempenho, demonstrando a dificuldade em termos de robustez dessas estratgias de
soluo.
Conforme Laporte et al. (2000), uma tendncia futura de pesquisa a ser perseguida o
desenvolvimento de metaheursticas mais simples, rpidas e robustas que, mesmo com algum
prejuzo qualidade de solues, permitam a sua incorporao em pacotes comerciais.
Pirlot (1996) apresenta um detalhamento e uma anlise de trs metaheursticas muito
conhecidas e utilizadas. Para cada uma delas (busca tabu, algoritmo gentico e simmulated
annealing), o autor descreve a respectiva verso bsica, ilustrada pela aplicao em um
problema combinatrio de otimizao selecionado na literatura, bem como uma breve reviso
bibliogrfica e introduo discusso de tpicos mais avanados, como ajuste de parmetros,
refinamentos de idias bsicas e aspetos tericos. Outra opo que o autor descreve e afirma
ser uma tendncia a utilizao de mtodos hbridos, em que se utilizam duas metaheursticas
em conjunto.
2.2 Trabalhos Desenvolvidos no mbito da EPUSP
O presente trabalho integra um conjunto de pesquisas que vm sendo realizadas
principalmente nas reas de Engenharia Naval, Engenharia de Transportes e Engenharia de
Sistemas Logsticos da Escola Politcnica da Universidade de So Paulo. Envolvem,
genericamente, o desenvolvimento e a implementao computacional de novos algoritmos e
heursticas de soluo para problemas de roteirizao, programao e designao de veculos,
cujas principais contribuies mais recentes esto relacionadas a seguir:
8
Cunha (1997) trata o problema de roteirizao de veculos com restries operacionais,
tais como janelas de tempo e durao mxima de jornada de trabalho. A estratgia de
soluo proposta pelo autor baseada na relaxao lagrangeana das restries do modelo.
So desenvolvidas trs heursticas diferentes: duas para frota homognea (alocao
seqencial e alocao paralela) e outra para dois tipos de frota (agrupamento e alocao
seqencial). Ao final, compara-se o desempenho das trs heursticas propostas e depois se
utiliza a ltima heurstica para um caso prtico.
Brejon (1998) aborda um problema de programao de transporte de suprimentos para
unidades martimas de explorao de petrleo, visando a garantia de que os suprimentos
necessrios estejam na unidade martima solicitante na quantia correta e dentro dos
horrios solicitados. analisado como um problema de roteirizao e programao de
veculos com restrio de janelas de tempo. A estratgia de soluo utilizada se baseia na
heurstica de insero I1, proposta por Solomon (1987), modificada para se adequar s
restries do problema estudado. A alocao dos clientes s rotas segue um critrio de
primeiro inserir em uma rota os clientes mais distantes e depois os clientes no alocados
que tm menor valor de fim de janela de tempo, obviamente a insero feita juntamente
com um estudo de viabilidade de insero, que est relacionado a limites de capacidade,
distncia e tempo.
Souza (1999) prope uma estratgia de soluo para o problema de transporte do tipo
Carga nica Coleta e Entrega (Full Truckload Pickup and Delivery) com janelas de
tempo em duas etapas: na primeira so gerados todos os roteiros tecnicamente viveis
para atender as requisies de transporte dentro do perodo de programao, e na segunda
resolvido um problema de programao linear, do tipo partio de conjunto (set
partitioning) para a seleo dos melhores roteiros que minimizem o custo total do
transporte.
Znamensky (2000) aborda o problema de roteirizao e programao de veculos com
restries operacionais e temporais, visando o transporte de idosos e pessoas com
deficincias atravs de veculos de pequeno porte. Esse servio oferecido pela So
Paulo Transportes (SPTrans), no mbito do municpio de So Paulo, tendo como
denominao sistema ATENDE. Esse problema conhecido na literatura como dial-a-
9
ride de programao diria, que se caracteriza por transporte de passageiros de uma
origem a um destino porta-a-porta, com a possibilidade de solicitao do servio por
telefone. Uma caracterstica diferenciadora desse estudo a utilizao de mltiplos
depsitos de onde partem os veculos. A soluo proposta para o problema baseia-se em
uma heurstica de insero paralela; aps a gerao de uma primeira soluo, h uma
melhoria de busca local nas categorias de troca intra-rotas e inter-rotas (reinsero de
solicitaes ou troca de solicitaes). A heurstica produz bons resultados com reduo
significativa dos custos operacionais e de frota em relao maneira como feita a
programao atualmente.
Teixeira (2001) trata o problema de composio (ou dimensionamento) e roteirizao de
uma frota de veculos heterognea, levando em conta custos fixos e variveis, alm de
restries operacionais, com o objetivo de minimizar os custos de distribuio. A
estratgia de soluo est baseada em um algoritmo out-of-kilter para o agrupamento de
clientes segundo uma medida de economia que leva em conta no s a distncia como o
custo fixo dos clientes. Para o agrupamento de clientes, o problema de designao foi
modelado como de circulao com custo mnimo. As heursticas produzidas (bsica,
hbrida e soluo direta) se baseiam nas combinaes de rotas a partir da soluo dos
problemas de designao de frota, uma vez que ao compor e roteirizar uma frota de
veculos, os custos de distribuio so minimizados.
Feriancic (2005) estuda o problema de distribuio de combustveis com caminhes
tanque para postos de abastecimento. A grande particularidade deste problema a frota
ser heterognea devido a diferentes conjuntos possveis de compartimentao para
transporte dos produtos, permitindo assim o transporte de um ou mais produtos em um
mesmo caminho tanque para mais de um cliente. Apesar de ser permitido transportar
mais de um produto por caminho (gasolina, lcool e diesel), cada compartimento tem
que estar sempre completamente cheio ou vazio. A estratgia de soluo proposta baseia-
se em definir a alocao tima dos pedidos aos veculos e a seqncia de entrega de cada
veculo. A frota prpria j pr-determinada e h a possibilidade de uso de frota
terceirizada. Os clientes so alocados segundo uma ordem decrescente de dificuldade nos
veculos, tambm ordenados de acordo com a sua serventia. Isto feito para que a
heurstica de insero seqencial inclua os clientes segundo uma ordem decrescente em
veculos de maior serventia ainda disponveis. A fim de validar a formulao matemtica,
10
bem como testar a sua consistncia, foram utilizados o Solver do Excel e o CPLEX da
ILOG; entretanto no foi possvel obter a soluo tima mesmo para instncias de menor
porte. A heurstica proposta baseia-se no GRASP (Greedy Randomised Adaptative Search
Procedure) a fim de promover vrios reincios da heurstica de alocao seqencial,
realocando apenas alguns clientes escolhidos aleatoriamente.
Mourad (2005) trata de um problema de roteirizao de carga completa com janelas de
tempo que incorpora algumas singularidades encontradas nas empresas do mercado
brasileiro. Uma diferena relevante para o problema clssico comumente estudado na
literatura a possibilidade de utilizao de uma frota spot como complemento de uma
frota dedicada. So consideradas ainda janelas de tempo, paradas especiais para execuo
de servios (manuteno do veculo, por exemplo), e mltiplos depsitos, dentro de um
horizonte de planejamento semanal, conferindo ao problema uma caracterstica dinmica.
A frota dedicada j pr-dimensionada, ento os clientes que no puderem ser atendidos
pela frota dedicada ou mesmo aqueles cujo atendimento por ela no for vivel so
automaticamente atendidos por uma frota terceirizada, ou spot. Foram propostas quatro
diferentes heursticas, todas baseadas em busca tabu. A soluo inicial obtida atravs de
uma heurstica de insero inspirada em Solomon (1987). A diferena entre as quatro
heursticas propostas se encontra na estrutura de controle da busca, como tipos de
proibio e perodo tabu. Primeiramente, so geradas doze instncias com diferentes
nmero de viagens por dia e restries locais de coleta e entrega, denominadas como
problemas reduzidos. Em seguida, quatro cenrios com diferentes parmetros para
problemas triviais da literatura tambm foram gerados. A heurstica TS4 demonstrou
melhor desempenho em todos os testes, bem como no modelo exato, o que mostra que a
utilizao de busca tabu para solucionar problemas de roteirizao com janelas de tempo
permite obter bons resultados.
Bonasser (2005) estuda o problema de roteirizao de veculos com mltiplos depsitos e
frota heterognea fixa. Sua estratgia de soluo se baseia em heursticas de economias,
busca tabu, colnia de formigas e uma metaheurstica hbrida (mtodo Routing AnTS),
desenvolvida especialmente para a soluo do problema em questo. O autor tambm
explora o desempenho dos mecanismos de diversificao e intensificao embutidos nos
mtodos. So utilizados com a finalidade de testar as estratgias de soluo conjuntos de
instncias clssicas para problemas de roteirizao de veculos em sua forma padro, com
11
frota heterognea e com mltiplos depsitos. Conclui-se que a busca tabu efetua a
intensificao com maior eficincia, enquanto a colnia de formigas promove melhor
diversificao. A metaheurstica hbrida, por sua vez, apresenta melhor desempenho que
as estratgias anteriores de uma maneira geral. Alguns resultados obtidos por Bonasser
(2005) superam os encontrados na literatura. Alm da utilizao dos problemas retirados
da literatura, aplicou-se as estratgias de soluo para uma situao real da Fora Area
Brasileira, no caso, a operao de assistncia humanitria realizada pela mesma. O autor
comprova que possvel a aplicao dos mtodos neste caso.
Abraho (2006) prope uma estratgia de soluo baseada em colnia de formigas para
tratar do problema de programao de manuteno preventiva de veculos. Este tipo de
problema considerado bastante complexo, em que poucos mtodos de soluo so
estudados para otimizar este tipo de programao. Segundo o autor, um problema do
tipo NP-Difcil, impedindo assim a formulao e soluo a partir de mtodos exatos,
como a programao linear. Utiliza-se, ento, o mtodo de colnia de formiga combinada
com mecanismos de intensificao e busca local. Esta estratgia foi aplicada
programao de manuteno preventiva da frota de aeronaves da Fora Area Brasileira.
Os resultados foram bons para a soluo dos problemas-teste, demonstrando que colnia
de formigas apropriada para este tipo de problema.
Znamensky (2006) aborda um sistema logstico conhecido como Vendor Managed
Inventory, em que um fornecedor controla e coordena as decises de reabastecimento,
sendo responsvel por manter os estoques de seus clientes dentro de limites pr-fixados.
O modelo proposto pelo autor incorpora decises relativas produo e manuteno de
estoque por parte do fornecedor, juntamente com a utilizao de frota heterognea na
distribuio e a busca da minimizao dos custos totais do sistema. Quatro heursticas de
duas etapas so propostas para a resoluo do problema abordado. A primeira etapa,
comum a todas as heursticas, baseia-se em uma heurstica retirada da literatura e fornece
uma soluo inicial vivel, utilizada como ponto de partida para a etapa de melhoria. Para
esta outra etapa, Znamensky (2006) utiliza a metaheurstica busca tabu. As heursticas
propostas foram avaliadas em um conjunto de teste, sendo obtidos resultados melhores
que os encontrados na literatura em todas as instncias testadas. Dentre as estratgias de
soluo avaliadas, destaca-se a heurstica baseada em busca tabu com diversificao, que
demonstrou ser superior s demais heursticas propostas. Os resultados obtidos indicam
12
que, no caso da frota disponvel ser heterognea, vantajosa a utilizao de uma
adaptao no procedimento de obteno da soluo inicial, como forma de priorizar a
utilizao de veculos que demonstraram maior eficincia.
2.3 Problemas de Roteirizao Peridica
O problema abordado nesta dissertao um caso geral de roteirizao de veculos,
expandido a um certo perodo de dias de planejamento, sendo que os clientes requerem um
nvel de servio atravs de uma determinada freqncia de visitas dentro desse mesmo
perodo. Conseqentemente, necessrio determinar tambm os melhores dias de visitas,
levando em considerao os impactos na roteirizao.
2.3.1 Roteirizao em Ns
Antes de receber a denominao de roteirizao peridica, o problema era considerado como
de designao (assignment) de dias de visitas, conforme denominao de Beltrami e Bodin
(1974) que estudaram o problema de coleta de lixo municipal da cidade de Nova Iorque
produzido por grandes instituies, tais como escolas e hospitais. Os autores foram os
pioneiros na discusso da periodicidade deste tipo de problema, pois, atravs de anlises,
notaram que havia grandes vantagens, em termos de economia, em se visitar alguns pontos
diversas vezes ao dia, ou mesmo em um determinado perodo de tempo maior que um dia.
Logo, o problema foi tratado como de roteirizao peridica. Diferencia-se da coleta de lixo
residencial pelo fato de ser uma roteirizao em ns e no em arcos, como no caso de limpeza
de rua e remoo de neve. Os autores discutem algumas estratgias de soluo: (i) os ns so
agrupados e depois roteirizados, ou (ii) os roteiros so criados e a partir deles os dias de
visitas so definidos. O mtodo de economias de Clarke e Wright (1964) utilizado para a
realizao da roteirizao diria dentro do perodo, podendo at considerar uma rota que
comea e termina em pontos diferentes, alm da opo de um ponto ser visitado mais de uma
vez.
13
Russel e Igo (1979) desenvolveram heursticas para designar clientes a dias da semana com a
finalidade de minimizar a distncia total percorrida. Segundo os autores, heursticas tm que
ser utilizadas devido ao tamanho das instncias encontradas na prtica e intratabilidade de
problemas de roteirizao de ns. Trs estratgias de soluo so discutidas, sendo uma delas
baseada no conceito de agrupar os pontos com freqncia de servio semelhantes e, em
seguida, agrup-los por proximidade. O ponto do grupo mais prximo ao centride,
relacionado a esse mesmo grupo, assume a soma da demanda dos pontos do grupo inteiro. Isto
feito com a finalidade de diminuir o tamanho do problema, tornando mais fcil a
manipulao de dados e a prpria roteirizao do problema posteriormente. Depois que uma
soluo de designao de dias obtida, expandem-se novamente os grupos aos pontos
originais para resolver o problema de roteirizao diria. A partir dessa soluo inicial, as
outras duas heursticas propostas pelos autores tm como objetivo melhorar essa soluo
considerando a roteirizao juntamente com a designao dos pontos.
Um dos primeiros artigos que adota a denominao de problema de roteirizao peridica de
veculos o de Christofides e Beasley (1984), que caracterizam o problema e apresentam o
modelo matemtico completo para um caso genrico. Os autores adotam um mtodo
heurstico de soluo baseado inicialmente na escolha inicial da melhor combinao permitida
de dias de visitas para cada ponto. A fase seguinte caracterizada por trocas (interchanges) de
combinaes de alguns pontos como uma tentativa de diminuir o custo total resultante das
roteirizaes dirias no perodo de planejamento.
Os autores concluem, aps uma breve discusso do modelo matemtico, que o problema
muito complexo, pois envolve um enorme nmero de variveis. A fim de ajudar a resoluo,
os autores propem duas relaxaes do problema de roteirizao de veculos que transformam
os subproblemas de roteirizaes dirias em um problema de mediana (median problem) e um
problema de caixeiro viajante. A primeira relaxao est baseada em um estudo anterior de
Christofides e Eilon (1969), comprovando que a distncia esperada das rotas dos veculos est
relacionada soma das distncias radiais dos clientes a um centro, sendo este escolhido para
cada um dos dias do perodo. Assim sendo, ao minimizar essas distncias radiais, possvel
obter uma minimizao global de custos. A outra relaxao baseada no conceito de caixeiro
viajante. Nota-se que ao diminuir a distncia total percorrida nos roteiros dos caixeiros
viajantes, a distncia da soluo da roteirizao de veculos tambm minimizada. Assim,
14
esperado que o mesmo ocorra no caso da roteirizao peridica de veculos (isto
comprovado ao final do estudo).
A heurstica proposta pelos autores baseia-se primeiro na escolha inicial das combinaes de
dias de entrega para os clientes e, em seguida, aps a realizao de roteirizaes dirias, h
uma troca (interchange) dessa combinao dos clientes, na tentativa de reduzir o custo total.
A dificuldade dessa estratgia avaliar o efeito da mudana de dias de visitas aos clientes,
uma vez que necessrio realizar a roteirizao diria das mudanas e comparar o resultado
final obtido com o resultado anterior.
A fase de alocao das combinaes permitidas de dias de atendimento dos clientes iniciada,
primeiramente, com a ordenao desses clientes em ordem decrescente em relao a uma
medida de importncia, em que se colocam os clientes com dias de combinao fixas no
topo da lista (no h no texto exemplos de pontos com combinao fixa, mas fazendo um
paralelo com instncias reais, pode-se dizer que so aqueles clientes que somente podem ser
atendidos em determinados dias, sem nenhuma flexibilidade). Para os demais clientes, a
ordenao feita com base na demanda de cada um deles, ou seja, os que tiverem demandas
maiores requeridas por visitas so alocados primeiro, evitando problemas posteriores de
viabilidade, dada a capacidade do veculo e a frota disponvel. Aps a ordenao dos clientes,
para cada um deles avaliado o aumento do custo total no perodo para as combinaes
permitidas de dias que respeitam a exigncia de freqncia de cada um deles. A melhor
combinao escolhida para cada ponto aquela que oferece o menor aumento geral dos
custos. A fase de trocas (interchanges) da heurstica a tentativa de melhoria da soluo,
caracterizada pela mudana da combinao de dias dos clientes, e realmente efetuar aquelas
que oferecem custos menores. Isto feito atravs de uma escolha de um subgrupo pequeno de
clientes e, dentre eles, enumera-se todas as possibilidades de combinaes, procurando
minimizar os custos totais, que neste caso representada apenas pela distncia.
Os autores testaram as estratgias para 11 tipos de problemas, sendo que os resultados obtidos
com a relaxao para um problema de caixeiro viajante deram menores custos, se comparados
com os resultados das rotas geradas pela heurstica que utiliza o problema de medianas.
Outro artigo que adota a denominao de roteirizao peridica o de Tan e Beasley (1984).
A partir da formulao de Fisher e Jaikumar (1981) de um problema de roteirizao com
15
designao de pontos para os veculos, os autores propem uma extenso da formulao
matemtica e comprovam que o problema de roteirizao peridica muito complexo para se
resolver atravs de mtodos exatos; assim, resolvem primeiro de maneira exata aps efetuar
uma relaxao de programao linear, que a troca de uma das restries na formulao. A
roteirizao de cada dia do perodo de planejamento feita atravs do mtodo de designao
de Fisher e Jaikumar (1981), em que um ponto-semente alocado para cada veculo, para em
seguida serem inseridos os demais pontos. A escolha dos pontos-semente pode ser feita
atravs de uma regra automtica. Depois de decidir os pontos-semente para cada veculo, a
escolha dos dias a serem associados a esses pontos feita atravs da anlise de uma matriz
contribuio, que definida como o menor valor de acrscimo de distncia ao inserir um
determinado ponto em um roteiro; sendo que essa distncia considerada como o total
viajado, ida e volta, do depsito at o ponto-semente passando pelo ponto a ser inserido. A
fim de melhorar a soluo, necessrio repetir o processo de escolha da semente e de
montagem da matriz de contribuio, por diversas vezes. Os testes computacionais so feitos
com a mesma base de dados de Christofides e Beasley (1984), sendo os resultados obtidos
bastante competitivos. Apesar de no conseguirem distncias percorridas menores que do
artigo anterior, no caso em que se aplica a relaxao de caixeiro viajante, os tempos
computacionais so baixos. Esse seria um trade-off a ser estudado e levado em considerao.
Chao et al. (1995) propem uma heurstica para resolver o problema de caixeiro viajante
peridico. Com a finalidade de facilitar a etapa de alocao de clientes em dias de visitas, um
algoritmo de designao busca equilibrar o nmero de clientes que so servidos em cada dia
no perodo, a fim de se obter uma soluo inicial. A idia do algoritmo implica, por
conseqncia, uma minimizao do nmero mximo de clientes visitados em um nico dia,
evitando a concentrao deles em alguns dias. Uma vez obtida essa soluo inicial, executa-se
uma fase de melhoria da soluo, baseada na realocao de cada ponto em dias diferentes,
sendo feita atravs da realocao de um ponto por vez. A mudana s efetuada caso ela
provoque uma melhoria na funo objetivo. Aps a escolha final dos dias de visitas para cada
cliente, executa-se uma etapa de limpeza (clean-up), em que se tenta diminuir a distncia total
percorrida atravs da mudana dos clientes para roteiros diferentes, alm da utilizao de um
algoritmo de melhoria do tipo 2-opt. A heurstica foi testada para 10 problemas-teste da
literatura e para mais 13 problemas gerados. Os resultados obtidos so melhores e mais
eficientes que os encontrados na literatura.
16
Cordeau et al. (1997) propem uma estratgia baseada em busca tabu para resolver trs
problemas bastante conhecidos: (i) roteirizao peridica, (ii) caixeiro viajante peridico, e
(iii) roteirizao de veculos com mltiplos depsitos. Uma contribuio deste trabalho a
comprovao que o problema de mltiplos depsitos pode ser formulado como um caso
especial de roteirizao peridica. Os princpios da busca tabu do artigo tm semelhanas com
o Tabouroute de Gendreau et al. (1994), com exceo escolha da soluo inicial, uma vez
que no h falsos incios para identificar uma soluo promissora, o perodo tabu constante,
os critrios dos parmetros de penalidade so diferentes, no h re-otimizaes peridicas, o
nmero de iteraes definido no incio, os nveis de aspirao so dependentes dos atributos
e no aplicada uma fase de intensificao. Utilizou-se uma heurstica, denominada GENI
para realizar a insero de clientes no roteirizados e a remoo de clientes de suas rotas
atuais a fim de reinseri-los em outras diferentes, sendo que as mudanas so efetuadas para
aquelas que demonstrarem menores custos. As buscas tabu dos trs problemas estudados so
semelhantes entre si, exceto pela construo da soluo inicial, podendo essa ser vivel ou
no. A diversificao do mtodo baseada em uma funo de penalidade dos atributos mais
recorrentes nas solues que implicam em aumento na funo objetivo. Os resultados obtidos
atravs dos testes com instncias retiradas da literatura mostraram que os algoritmos
desenvolvidos so melhores que os encontrados anteriormente.
Vianna et al. (1999) propuseram uma metaheurstica hbrida paralela (i.e., utilizando vrios
processadores em paralelo) para o problema de roteirizao peridica; a mesma se baseia em
algoritmo gentico paralelo, scatter search e uma heurstica de busca local, utilizando o
modelo de ilha (island model) na qual a populao de cromossomos repartida em vrias
subpopulaes, sendo que a freqncia de migrao entre subpopulaes dos cromossomos
baixa, somente executada quando a renovao da subpopulao necessria. As etapas da
estratgia de soluo so: gerao de um grupo de alternativas viveis de combinaes de
visitas para cada cliente de acordo com a freqncia de visitas requerida, seleo de uma das
alternativas para cada cliente, representao de solues atravs dos cromossomos, gerao de
uma populao inicial, evoluo e reproduo, e diversificao da populao. Os indivduos
so representados por genes que caracterizam os pontos de demanda que devem ser atendidos,
sendo que o cdigo que est contido em cada um deles representa as combinaes de dias de
visitas permitidas, escolhida de acordo com a freqncia requerida pelo determinado ponto.
Vianna et al. (1999) contabilizam a demanda diria servida medida que um cliente alocado
em uma combinao de dias de visitas, pois a frota diria pr-determinada, ento h uma
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capacidade mxima de atendimento por dia que pode ser utilizada. A regra para iniciar a
alocao dos cromossomos feita da seguinte maneira: a cada cliente, um grupo de
alternativas de combinaes de dias de visitas possveis atribudo, os clientes so ordenados
em grupos de nmero de alternativas possveis iguais, a alocao priorizada aos clientes que
tm um nmero menor de alternativas viveis de combinao de dias de visitas. Os clientes
dentro de cada grupo so escolhidos aleatoriamente e o grupo de alternativas viveis de
combinao de dias de visitas para este determinado cliente so testadas uma a uma. Caso este
cliente viole a capacidade total da frota de um determinado dia, a alternativa descartada. A
roteirizao diria realizada atravs do algoritmo de economias de Clarke e Wright (1964).
A fase de reproduo feita por cruzamento e mutao, sendo que nesta fase a capacidade
mxima diria da frota tambm tem que ser respeitada. A etapa de diversificao realizada
atravs de um operador de migrao (island model) com uma taxa de renovao pequena.
Foram realizados experimentos computacionais com instncias retiradas da literatura com
nmero de clientes variando de 50 a 417 e de horizonte de planejamento de 2 a 10 dias. Os
resultados obtidos so comparados com outros da literatura, verificando-se resultados
superiores em termos de tempo de processamento computacional e qualidade de soluo, o
que mostra que a utilizao de algoritmos genticos para este tipo de problema traz benefcios
em otimizao. Obviamente, uma boa codificao e definio de parmetros tambm so
importantes para alcanar estes resultados.
Shih e Chang (2001) estudaram o problema de coleta de resduo infecto-contagioso de
hospitais de Taiwan, que comeou a ser uma preocupao do governo devido aos problemas
ambientais decorrentes da falta de tratamento desse tipo de resduo. A estratgia de soluo
utilizada consiste em uma heurstica de duas fases: a primeira utiliza a heurstica space filling
curve mapping, atravs do particionamento timo por programao dinmica e melhoria do
tipo 2-opt; a segunda fase emprega um modelo de programao inteira mista para balancear a
carga de trabalho diria das rotas obtidas pela minimizao da mxima distncia viajada por
dia. Uma vez que se minimiza essa distncia, o custo operacional diminui por decorrncia.
Pode-se perceber, pelos resultados alcanados, que a distncia percorrida pelos veculos
pequena e a capacidade mxima veicular s atingida quando h coletas em hospitais
grandes, enquanto que a ocupao dos veculos que visitam vrios hospitais menores tambm
est bastante balanceada. Isto mostra que a segunda fase da heurstica proposta tem um bom
desempenho.
18
Baptista et al. (2002) propem uma nova formulao matemtica a partir da proposta por
Christofides e Beasley (1984), adaptada ao problema real de coleta de papel reciclvel na
cidade de Almada, em Portugal. O que diferencia esta formulao das anteriores o tamanho
do perodo (neste caso, um ms), o fato da frota no ser uma varivel, e a freqncia de visitas
de cada ponto se tornar uma varivel de deciso, uma vez que o volume de papel a ser
coletado varia de um perodo para o outro, inviabiliza a previso de demanda. Utiliza-se
tambm o mtodo de melhoria atravs de trocas (interchanges) desenvolvido por Christofides
e Beasley (1984). Devido s caractersticas particulares do problema, os resultados aps as
melhorias no so muito bons e dependem da soluo inicial adotada, que seria a escolha da
combinao permitida de dias de visitas para cada ponto.
Outro artigo encontrado que estuda a coleta de resduo reciclvel em Portugal o de Teixeira
et al. (2004). A diferena em relao ao trabalho de Baptista et al. (2002) so os trs tipos
distintos de resduos: vidro, papel e plstico/metal, que devem ser coletados separadamente. A
heurstica proposta tambm se baseia na de Christofides e Beasley (1984). A quantidade de
depsitos a serem visitados, bem como a quantidade e os tipos de resduos a serem coletados
so constantes, ou seja, as rotas e a designao de dias no precisam ser mudadas. Os roteiros
estticos no perodo so preferveis pela empresa de coleta uma vez que simplificam a
operao. O objetivo minimizar a distncia total, sujeito a restries de capacidade do
veculo e de durao dos roteiros. A capacidade de todos os veculos idntica, porm a
densidade de cada tipo de resduo diferente. A estratgia de soluo divide-se em trs fases:
(i) definio de zonas, (ii) definio de seqncias por tipo de resduo e (iii) construo das
rotas de coleta. Atravs dos resultados, percebe-se que a restrio de tempo de jornada de
trabalho mais limitante que a de capacidade veicular, devido disperso geogrfica dos
pontos de demanda. Devido falta de robustez do algoritmo, o mesmo no considerado
competitivo em relao aos de outros autores, como por exemplo, Cordeau et al. (1997),
quando a instncia tem um nmero menor de ns e um perodo de planejamento mais curto,
uma vez que a singularidade do problema estudado por Teixeira et al. (2004) justamente o
grande nmero de ns e o perodo de planejamento longo.
Alegre et al. (2004) estudam um caso de coleta de materiais para uma indstria
automobilstica em pontos geograficamente dispersos. A diferena reside no perodo de
planejamento, que muito longo (90 dias). A estratgia de soluo uma heurstica de duas
fases, sendo a primeira fase destinada designao dos dias de visitas e a segunda para
19
construo das rotas. A resoluo da designao dos fornecedores feita atravs de uma
adaptao da metaheurstica scatter search (Glover et al., 2003). O procedimento de soluo
testado atravs de dados de um problema real, assim como de problemas clssicos retirados da
literatura de roteirizao peridica. Os resultados alcanados so muito melhores que os
anteriores e, para o caso do problema real, a estratgia de soluo conduz a resultados
melhores que os atuais, que so obtidos manualmente.
Galvo (2004) estudou a otimizao do sistema de coleta de resduos de biomassa de madeira
para fins energticos no contexto de sua aplicao a um problema real relacionado ao
abastecimento de uma central produtora de energia e/ou vapor. O problema foi dividido em
duas partes: (i) seleo dos fornecedores e (ii) dimensionamento e a programao da frota em
cada dia de um perodo de planejamento, respeitando a restrio de jornada de trabalho; os
roteiros correspondem a viagens redondas. O problema da escolha dos fornecedores
formulado considerando uma estrutura semelhante ao problema de mochila binria (zero-one
knapsack problem), enquanto que para o problema de dimensionamento e programao da
frota utiliza-se uma estratgia de decomposio, dada a dificuldade de resolver o modelo
matemtico integrado, aparentemente de natureza combinatria. Nessa estratgia utilizado
algoritmo gentico para o dimensionamento de mnima frota necessria, enquanto que para a
programao dos veculos em cada um dos dias do perodo de planejamento usada a
resoluo de um problema do tipo bin-packing.
Tortelly e Occhi (2006) apresentam uma metaheurstica hbrida baseada em conceitos de
GRASP e busca tabu para resolver o problema de roteirizao peridica. A construo da
soluo inicial feita de duas maneiras, ambas utilizando GRASP para a designao aleatria
de dias de visitas aos pontos. A diferena est na utilizao ou no de um filtro para manter
apenas as solues melhores ao invs de apenas construir as solues sem critrio de escolha.
A roteirizao diria conseguida pelo mtodo de roteirizao em ptalas. Uma busca local
utilizando a busca tabu a cada iterao do GRASP realizada para melhorar a soluo inicial,
sendo esta soluo inicial utilizada como semente na busca tabu. A busca tabu incorpora
etapas de intensificao e diversificao utilizando memrias de curto e longo prazo, sendo
feita atravs de troca de clientes de rotas e de dias de visitas. Quando uma nova soluo
obtida melhor que a designada como semente, o valor de semente ento renovado. Aps
um determinado nmero de iteraes com busca tabu, uma nova semente construda atravs
de GRASP. Testes foram realizados com instncias retiradas da literatura e geradas
20
aleatoriamente, utilizando tambm a variante de busca tabu encontrada no estudo de Courdeau
et al. (1997). A utilizao de GRASP com filtro apresenta resultados bastante competitivos
comparados literatura sem aumentar o tempo de processamento, considerando a estratgia
sem filtro.
2.3.2 Roteirizao em Arcos
Um outro tipo de problema abordado em roteirizao peridica, e que se diferencia dos
anteriores, o de roteirizao peridica em arcos. Caracteriza-se pelo atendimento ao longo
de arcos, ao invs de ns. Os arcos de uma rede so no direcionados, e para que isso seja
considerado no modelo matemtico, cada ligao tem um custo extra a fim de que o veculo
no percorra o mesmo trecho de via duas vezes. Esse tipo de problema ocorre nos casos de
coleta de lixo domiciliar e limpeza de ruas, por exemplo. Lacomme et al. (2004) utilizam uma
penalidade (custo) para que o veculo no passe na mesma rua em direes diferentes. Outros
autores que estudam problemas deste tipo so Chu et al. (2004) e Ghiani et al. (2005). Ainda
uma novidade no meio cientfico, sendo assim, os autores no tm problemas benchmarks
para testar as heursticas desenvolvidas e compar-las para medir a sua eficincia.
2.3.3 Roteirizao com Instalaes Intermedirias
O trabalho de Angelelli e Speranza (2002) tambm inovador, no tendo sido identificados
outros semelhantes na literatura. Os autores abordam uma extenso do problema de
roteirizao peridica em que os veculos utilizados tem a possibilidade de restaurar suas
capacidades durante os roteiros atravs de instalaes intermedirias, podendo ser
reabastecidos ou no, e retornando ao depsito (ou garagem) apenas ao trmino da jornada de
trabalho. Em outras palavras, restaurar a capacidade significa que o veculo tem a
possibilidade de descarregar a carga que coletou dos pontos visitados nessas instalaes
intermedirias, podendo assim, ao sair de l, fazer a coleta de outros pontos com a capacidade
total zerada, como se tivesse sado do depsito central para visitar o primeiro ponto do roteiro
21
do dia. Sua utilizao pode ser vista em coletas de lixo em que o resduo tem que ser deixado
em estaes de tratamento e o veculo retorna ao depsito ao final da jornada, ou at mesmo
em problemas de distribuio em que alguns produtos so descarregados em armazns antes
do veculo retornar sua origem. A soluo inicial construda por um algoritmo de
varredura, e a melhoria obtida atravs do uso da metaheurstica busca tabu. A estrutura de
vizinhana utilizada na busca tabu tem quatro movimentos bsicos: (i) remoo de um cliente
e reinsero do mesmo em uma outra rota no mesmo dia, (ii) mudana de atribuio de dia de
visitas de um cliente, (iii) redistribuio de um grupo clientes pertencente a duas rotas de
mesmo dia para duas novas rotas, e (iv) simplificao de interseces que nada mais que a
troca de rotas entre veculos depois da passagem pela instalao intermediria. No h na
literatura problemas-teste para verificar a qualidade de solues da estratgia proposta. Logo,
a fim de testar a eficincia da busca tabu proposta, foram testadas para um problema simples
de roteirizao peridica com problemas retirados da literatura. Em seguida, instncias foram
geradas para checar a eficincia dos movimentos e a influncia da instalao intermediria.
2.4 Consideraes Finais do Captulo
Neste captulo, foram resumidos textos retirados da literatura que esto relacionados com o
tema do presente estudo, o problema de roteirizao peridica. Foi importante, antes de tudo,
entender a base do problema de roteirizao simples perodo de um dia para verificar as
caractersticas deste tipo de problema e entender como foi o incio do desenvolvimento das
estratgias de soluo. Pirlot (1996) e Laporte et al. (2000) mostraram que a tendncia, alm
da utilizao de heursticas clssicas, era o emprego das chamadas metaheursticas. Muitos
trabalhos da Escola Politcnica tambm trataram deste assunto.
O problema de roteirizao peridica, tambm conhecido como problema de alocao, j foi
estudado no passado, podendo tratar ns ou arcos. Christofides e Beasley (1984) foram os
primeiros a utilizar a denominao de problema peridico. Os autores seguintes se basearam
bastante em seus estudos. Pode-se averiguar que os problemas, na grande maioria, tm
caractersticas muito singulares, o que torna as estratgias de soluo pouco robustas se forem
utilizadas em problemas diferentes. Verificou-se tambm que a utilizao tanto de heursticas
22
quanto de metaheursticas no problema de roteirizao peridica tambm era bem adequada,
levando obteno de resultados muito bons, porm com tempos computacionais maiores, em
se tratando de metaheursticas.
H a possibilidade do emprego de restries, como as averiguadas para o problema de
roteirizao simples, como janelas de tempo, por exemplo. A frota tambm pode ser tanto
homognea quanto heterognea, o que depende da formulao inicial. No se verificou o
emprego desta caracterstica em nenhum artigo de problema de roteirizao peridica, apenas
no estudo de Feriancic (2005) que trata o problema de roteirizao simples.
A durao do perodo tambm caracteriza o problema a ser tratado, podendo ser de um dia
com diversas visitas, como no problema estudado por Beltrami e Bodin (1974), ou com
perodos grandes, sendo o maior encontrado na literatura nos estudos de Alegre et al. (2004)
que utiliza um perodo de 90 dias. Pode-se concluir que outras restries influem na
determinao do tamanho do perodo, tais como funcionamento das instalaes, ou mesmo o
tempo de produo de algum produto. No necessariamente, um perodo maior de tempo
significa que a roteirizao fique mais fcil, depende tambm da quantidade total de pontos.
Em suma, importante dizer que h um problema mais geral de roteirizao em um perodo
de tempo em que a freqncia de visitas no definida a priori, e depende da quantidade
entregue e do consumo de cada cliente, o que d origem a uma categoria de problemas
denominada problemas de distribuio/roteirizao com estoque gerido pelo fornecedor -
reviso mais abrangente de trabalhos pode ser encontrada em Znamensky e Cunha (2003) e
Znamensky (2006).
23
3. CARACTERIZAO DO PROBLEMA
3.1 Caracterizao Geral
Em linhas gerais, o problema de roteirizao peridica de veculos, objeto da presente
pesquisa, tem, em sua essncia, a mesma idia central de um problema de roteirizao simples
cujo objetivo atender pontos de demanda conhecida geograficamente dispersos, podendo ser
coleta ou entrega, porm no ambos simultaneamente, alocando-os em veculos que iro
percorrer roteiros de acordo com uma seqncia de atendimento. A diferena entre ambos os
problemas reside no tamanho do perodo de planejamento, sendo um dia para o problema de
roteirizao simples e mais de um dia para a roteirizao peridica. Logo, pode-se definir o
problema de roteirizao simples como um problema particular de roteirizao peridica, em
que se utiliza apenas um dia no perodo de planejamento; sendo que, a partir do momento em
que este maior que um, h a necessidade de alocar os pontos em dias de visitas ao longo do
perodo. Tanto um quanto o outro, dentro do seu perodo de planejamento, tem como
obrigao visitar os pontos de demanda no mximo uma vez ao dia e atender plenamente a
demanda requerida do dia nesta vista.
No caso da roteirizao peridica, como h mais dias no perodo de planejamento, os pontos
de demanda podem ter freqncias de visitas maiores que um. Isto significa, em outras
palavras, que um determinado ponto de demanda que tenha uma freqncia de visitas maior
que um, obrigatoriamente deve receber mais de uma visita durante o perodo de planejamento;
porm, cada visita apenas efetuada por um nico veculo por dia. Esse nmero de visitas,
que j previamente conhecido e deve ser obrigatoriamente respeitado dentro do perodo de
planejamento, acontece devido a diversos fatores, tais como demanda requerida do ponto,
disponibilidade de estoque no ponto ou depsito, disponibilidade de espao do depsito,
quantidade mnima requerida de produtos por dia, possibilidade de fabricao da quantidade a
ser coletada, entre outros.
A freqncia de visitas pode ser definida em intervalos regulares ou no. Por exemplo,
intervalos regulares para um perodo de planejamento de quatro dias e uma freqncia de
24
visitas de dois correspondem a visitas no primeiro e terceiro dias ou no segundo e quarto dias.
Por outro lado, visitas no-regulares para um mesmo perodo de tempo podem ocorrer em
qualquer momento dentro do perodo primeiro e quarto dias ou terceiro e quarto dias, por
exemplo, respeitando apenas o nmero de viagens no perodo.
Para efetuar as visitas aos pontos de demanda nos roteiros montados na roteirizao, para
ambos os casos de roteirizao, uma frota utilizada, sendo esta pr-determinada ou no,
podendo ser tanto homognea quanto heterognea. Cada veculo desta frota possui uma
capacidade veicular conhecida que define a quantidade de demanda que pode ser coletada ou
entregue em cada roteiro servido por um determinado veculo. Esses podem partir e retornar a
um mesmo depsito, passando ou no por instalaes intermedirias, como visto em Angelelli
e Speranza (2002).
As visitas e os roteiros devem sempre respeitar restries operacionais do sistema, tais como,
janela de tempo, a prpria capacidade do veculo, durao de jornada de trabalho, entre
outros. Janelas de tempo so bastante estudadas na literatura e mostram uma situao bastante
real, pois os pontos de demanda muitas vezes precisam ser atendidos em um certo intervalo,
sendo que passado esse intervalo, no h mais como atender este ponto no dia em questo,
implicando inclusive em possveis penalidades. Outra restrio considerada em problemas de
instncias reais a jornada de trabalho do motorista, na qual se deve contemplar paradas
previstas pela legislao trabalhista. Porm, esta restrio no facilmente implementada,
pois h de se saber o tempo gasto entre os pontos de demanda e, talvez, a velocidade mdia do
veculo nas vias de acesso. Alm de ser relevante apenas em roteiro com durao longa que
ultrapassa a jornada do motorista, usualmente em sistemas de coleta e entrega no regionais.
A montagem dos roteiros no feita pura e simplesmente de uma forma aleatria, pois visa,
alm de atender todos clientes, reduzir os custos totais associados a eles. Esses custos podem
ser medidos financeiramente (frete, aluguel) ou por variveis absolutas como tempo, tamanho
da frota e distncia sendo estas tambm podendo ser associadas a valores financeiros. Logo,
mtodos ou estratgias de soluo de montagem de roteiros objetivam geralmente montar
roteiros que reduzam o custo de atender todos os clientes. Por esta razo, diversas estratgias
de roteirizao foram amplamente estudadas na literatura.
25
Mostradas todas as caractersticas acima, para o problema de roteirizao peridica, uma das
principais decises a serem tomadas a definio dos dias de atendimento de cada ponto
dentro do perodo de planejamento, respeitando a freqncia de visitas de cada um dos
pontos. H a necessidade de tomar um cuidado na alocao dos mesmos para que no haja
uma sobrecarga de trabalho em alguns dias e ociosidade em outros, ocorrendo um
desbalanceamento de demanda; consequentemente, a frota de cada dia do perodo poder ser
bastante diferente entre si, podendo talvez aumentar a necessidade de nmero de veculos no
perodo de planejamento.
Aps a seleo desses dias, que podem ser efetuados em intervalos regulares ou no, a
roteirizao diria do perodo deve ser realizada de acordo com as restries relativas frota,
j dito anteriormente. Isto pode ser feito por um dos diversos mtodos existentes na literatura,
visando sempre a otimizao de uma das medidas de eficincia escolhida (custo total,
distncia, etc.).
importante dizer que no necessariamente as decises tm que ser tomadas
sequencialmente. H a possibilidade de se resolver o problema integrado, em que todas as
decises so consideradas simultaneamente. Foi mostrada anteriormente uma seqncia
normalmente encontrada na literatura para a tomada de deciso do problema de roteirizao
peridica.
No entanto, a primeira soluo obtida no necessariamente possa ser a melhor possvel em
termos da medida que se visa otimizar. Portanto, h a possibilidade de utilizar diversas
tcnicas de melhoria, podendo haver mudana de dias de atendimento dos pontos de demanda
ou simplesmente mudana de um ponto de roteiro para outro num mesmo dia. Como j visto
na reviso bibliogrfica, os problemas de roteirizao so do tipo NP-Difcil, por esta razo, a
obteno da soluo tima para problemas mais complexos torna o processamento muito
demorado e muitas vezes impossvel de alcanar o valor timo. A dificuldade se agrava na
roteirizao peridica em relao ao problema de roteirizao simples devido dificuldade de
se medir as melhorias efetuadas na soluo: caso haja uma mudana dos pontos alocados a
cada rota em um mesmo dia, necessrio refazer a roteirizao para aquele dia dos roteiros
modificados; mas se a melhoria se basear na mudana de dias de atendimento dos pontos, h
de se efetuar novamente a roteirizao de todos os dias do perodo de planejamento para
verificar a conseqncia dessa mudana. No caso de Christofides e Beasley (1984), os autores
26
estudam todas as possibilidades de mudana, uma a uma, para depois escolher aquela que
melhora o resultado final; isso pode acarretar em um esforo computacional e um tempo de
processamento muito elevados, o que no aplicvel ao uso comercial.
3.2 Definio do Problema
Conforme visto na seo anterior, o problema de roteirizao peridica tem diversas variantes
em termos de restries operacionais, perodo de planejamento, freqncia de visitas dos
pontos, entre outros. Descartar algumas restries no significa que o problema fique menos
real, pois as restries so utilizadas para representar especificamente cada caso. As restries
empregadas fazem parte do que se imagina ser um caso real.
No que tem se visto em aplicaes prticas no Brasil, principalmente as relacionadas
indstria automobilstica, o uso predominantemente de frota homognea. Janelas de tempo
so desejveis em alguns contextos, em que o cliente a ser atendido impe o horrio que
deseja, o que pode vir a prejudicar a montagem de roteiros, pois dois pontos de atendimento
prximos entre si podem ter horrios distantes, o que pode acarretar em veculos diferentes
para atend-los. Ou, at mesmo, o veculo retornar para um segundo atendimento. No caso do
milk-run, uma vez definidos os melhores roteiros em termos de distncia, as janelas de
atendimento so estabelecidas para cada empresa, e no o contrrio. Para o estudo, a varivel
tempo no foi considerada importante uma vez que o foco da pesquisa a atribuio de dias
de visitas aos pontos e a montagem dos roteiros dirios.
O perodo de planejamento foi considerado para que caracterizasse uma situao real, apesar
de no se basear em nenhum cenrio especfico. Optou-se por um perodo de seis dias, que
representa o funcionamento do processo entre a segunda-feira e o sbado. Obviamente, h a
possibilidade de se utilizar outros perodos diferentes de seis dias no caso do estudo, pois isto
depende dos dias de funcionamento das instalaes e da necessidade do que coletado. A
freqncia de visitas de cada um dos pontos de demanda, bem como a sua localizao
geogrfica e quantidade de demanda, so conhecidas a priori. Como o problema aqui estudado
27
de coleta, os veculos partem e retornam a um depsito ao final do turno de trabalho para
descarregar o veculo.
Freqncias de visitas regulares so mais facilmente planejadas, ajudando a coordenao de
operaes de coleta das indstrias. No caso do estudo, so definidas combinaes permitidas
de dias de visitas de acordo com a freqncia de visitas requerida, que so os dias que os
pontos sero atendidos no perodo. As possveis opes de freqncia de visitas so um, dois
ou trs, ou seja, um ponto de demanda pode ser ter coletas uma, duas ou trs vezes dentro do
perodo de seis dias; a cada visita, obrigatoriamente, um veculo coleta a demanda requisitada
daquele dia completamente. Ento, para cada um dos pontos de demanda h a necessidade de
designar uma combinao de dias de visitas.
A frota homognea e a capacidade do veculo no pode ser ultrapassada. O tamanho da frota
no pr-definido, o que significa que no h restrio de nmero de veculos para o
atendimento dos pontos. A programao de viagens dos veculos varia de acordo com os
pontos que sero visitados em cada dia; portanto, os roteiros podem mudar a cada dia, bem
como o nmero de veculos requeridos.
O custo total composto por custos fixo e varivel. O custo fixo determinado pelo maior
nmero de veculos por dia requeridos dentro do perodo de planejamento, o que,
normalmente, acontece no dia de maior volume de demanda, considerando a demanda medida
em espao no veculo. J o custo varivel baseado na distncia total percorrida em todo o
perodo por todos os veculos. Pode-se concluir, ento, que o resultado que conseguir
minimizar a frota e a distncia percorrida no perodo o melhor resultado para o problema.
No caso, como no se ir resolver um problema especfico, como, por exemplo, no caso de
Batista et al. (2002) e Shih e Chang (2001), no h custos pr-definidos para serem utilizados
no custo total. Logo, optou-se pela utilizao de frota como varivel principal de comparao
dos resultados, que se imagina ser uma varivel importante na tomada de deciso, e,
posteriormente, de distncia como varivel secundria.
Baseando-se no que foi exposto acima, pode-se resumir que se deseja seguir os seguintes
passos para se resolver o problema:
28
Atribuir as melhores combinaes permitidas de dias de visitas para o atendimento de
cada ponto, de acordo com a sua freqncia de visitas;
Definir os roteiros de cada dia do perodo, de modo a minimizar o custo total, este
diretamente relacionado ao tamanho da frota e distncia percorrida por cada veculo.
3.3 Formulao Matemtica
A formulao proposta a seguir est baseada na formulao original de Christofides e Beasley
(1984) com algumas modificaes que seguem o que foi exposto anteriormente.
Seja t = 1, 2, 3, ..., T, cada um dos dias de um perodo de planejamento com durao de T dias
e i = 1, 2, 3, ..., N, o conjunto de pontos (ou ns) a serem atendidos em T. A cada ponto i est
associada uma quantidade qi a ser coletada (ou entregue) em cada visita necessria durante o
perodo T. O ponto zero corresponde ao depsito central, de onde partem e para onde
retornam os veculos ao final dos roteiros em cada um dos dias t. Sejam k = 1, 2, ..., Ki, o
conjunto de combinaes permitidas de dias de visitas que cada ponto i requer em T, como
ilustrado na Tabela 3.1 para um horizonte de planejamento de T = 6 dias. Consequentemente,
define-se a constante kta que assume o valor um para os dias t em que deve ocorrer coleta na
combinao k, e zero, caso contrrio.
Tabela 3.1: Exemplo de combinaes permitidas de dias de visitas para T = 6 dias
Frequncia de visitas Combinao Dias de visita1 Seg2 Ter3 Qua4 Qui5 Sex6 Sab
1 Seg - Qua2 Ter - Qui3 Qua - Sex4 Qui - Sab
1 Seg - Qua - Sex2 Ter - Qui - Sab
3
1
2
A distncia entre dois pontos quaisquer i e j dada por dij.
29
Seja v = 1, 2, ..., NV, o ndice de cada um dos veculos disponveis de uma frota homognea
para ser utilizada ao longo do perodo T, sendo que NV indica o nmero de veculos
disponveis, apesar de, no caso estudado, no haver uma frota pr-determinada. A estimativa
de NV depende diretamente das combinaes selecionadas de k, pois caso em um determinado
dia haja um acmulo de pontos, o NV ser maior que em dias de menor demanda. O limitante
superior de NV quando ele tem o mesmo valor de N, ou seja, um veculo para cada cliente i.
A capacidade de cada veculo dada por Q, o custo varivel com a distncia percorrida
dado por Cv e o custo fixo de cada veculo no perodo T dado por Cf.
As variveis de deciso so:
k
iu = 1, se a combinao k escolhida para o ponto i;
zero, caso contrrio.
t
iy = 1, se ponto i visitado no dia t;
zero, caso contrrio.
vt
ijx = 1, se o veculo v vai do ponto i para o ponto j no dia t;
zero, caso contrrio.
fu = nmero de veculos da frota
A formulao dada a seguir.
Minimizar = = = =
+=T
t
NV
v
n
i
n
j
vt
ijijvuf xdCfCZ1 1 0 0
(3.1)
sujeito s seguintes restries:
30
=iKk
k
iu 1 ni ,...,2,1= (3.2)
=iKk
ktk
i
t
i auy niTt ,...2,1;,...,2,1 == (3.3)
=
+
NV
v
t
j
t
ivt
ij
yyx
1 2 ( )jinjniTt === ;,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1 (3.4)
= =
=n
i
n
j
vt
pj
vt
ip xx0 0
npnjni ,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1 ===
( )jiNVvTt == ;,...,2,1;,...,2,1 (3.5)
tjy , 0,,...,2,1 = jTt == =
NV
v
n
i
vt
ijx1 0
uf , 0,,...,2,1 == jTt (3.6)
Hi Hj
vt
ij Hx 1|| { }nHNVvTt ,...,2,1;,...,2,1;,...,2,1 == (3.7)
=
n
j
vt
ojx1
1 NVvTt ,...,2,1;,...,2,1 == (3.8)
= =
n
i
n
j
vt
ij
t
i Qxq1 0
NVvTt ,...,2,1;,...,2,1 == (3.9)
= =
NV
v
n
j
vt
ju xf1 1
0 Tt ,...,2,1= (3.10)
}1,0{tiy Ttni ,...,2,1;,...,2,1 == (3.11)
}1,0{kiu iKkni ,...,2,1;,...,2,1 == (3.12)
31
}1,0{vtijx Ttni ,...,2,1;,...,2,1 ==
NVvKk i ,...,2,1;,...,2,1 == (3.13)
A funo objetivo (3.1) visa minimizar o custo total, dado pelas parcelas de custo fixo da
utilizao dos veculos e custo varivel com a distncia total percorrida no perodo. A
restrio (3.2) assegura que apenas uma combinao permitida de dias de visitas seja
escolhida para cada ponto i, enquanto que a restrio (3.3) assegura que, para cada ponto i, as
visitas s ocorram nos dias t que lhe foram designados, baseada na combinao escolhida. J a
restrio (3.4) garante que um veculo s vai de um ponto i para um ponto j em um dia t, se
ambos os pontos i e j estiverem alocados para o dia t. A restrio (3.5) assegura a
continuidade de fluxo, ou seja, todo veculo que chega a um ponto i em um dia t sai desse
ponto. A restrio (3.6) garante que cada ponto i seja visitado somente nos dias de visitas
selecionados, e que todos os veculos retornam ao depsito central.
A impossibilidade de ocorrncia de subtours assegurada pela restrio (3.7), sendo H
qualquer subconjunto de pontos alocados a um veculo, excluindo-se o depsito, que no se
repetem e que fazem parte de um mesmo roteiro. O nmero mximo de arcos que podem
existir nesse roteiro no pode ser maior que o nmero de pontos menos uma unidade, evitando
assim, fechar o ciclo entre os pontos. Isto claramente observado na Figura 3.1. Na situao
em que ocorre o subtour, o nmero de arcos tem o mesmo
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